Алгоритм вычитания в столбик. Алгоритм письменного вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначно-го числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b +с=а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а , то смысл действия вычи-тания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определен-ному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 586 и 342. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 586-342=(5·102+8·10+6)-(3·102+4·10+2).

Чтобы вычесть из числа 5·102+8·10+6 сумму 3·102+4·10+2, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (5·102+8·10+6)-(3·102+4·10+2)=(5·102+8·10+6)-3·102-4·10-2.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-нибудь одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 3·102 вычитаем из слагаемого 5·102, число 4·10 - из слагаемого 8·10, а число 2 - из слагаемого 6, тогда:

(5·102+8·10+6)-3·102-4·10-2=(5·102-3·102)+(8·10-4·10)+(6-2).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид:

(5-3)·102+(8-4)·10+(6-2). Видим, что вычитание трехзначного числа 342 из трехзначного числа 586 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 5-3, 8-4 и 6-2 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2·102+4·10+4, которое является записью числа 244 в десятичной системе счисления. Таким образом, 586-342=244.

Выражение (5-3)·102+(8-4)·10+(6-2) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного ос-новывается на:

Способе записи числа в десятичной системе счисления;

Правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

Свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

Таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде умень-шаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и.таблица сложения однозначных чисел.

Рассмотрим разность 850-437. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 850-437=(8·102+5·10+0)-(4·102+3·10+7). Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 7, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 850 один десяток и представим его в виде 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать - тогда будем иметь выражение:

(8·102+4·10+10)-(4·102+3·10+7).

Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (8-4)·102+(4-3)·10+(10-7) или 4·102+1·10+3. Последняя сумма есть запись числа 413 в десятичной системе счисления. Значит, 850-437=413.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответ-ствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b 0 > a 0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а0 число b 0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц умень-шаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b 0 из 10 + а 0, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

В основе алгоритма вычитания многозначного числа из многозначного лежат следующие теоретические факты:

· способ записи числа в десятичной системе счисления;

· правила вычитания числа из суммы и суммы из числа;

· свойство дистрибутивности относительно вычитания;

· таблица сложения однозначных чисел.

Задача 5. Проиллюстрировать теоретические основы алгоритма вычитания, вычислив разности: а) 586 - 342; б) 850 - 437.

Решение. а) Рассмотрим разность чисел 586 и 342. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 586-342 = (5·102 + 8·10 + 6)-(3·102 + + 4·10 + 2).

Чтобы вычесть из числа 5·102 + 8·10 + 6 сумму 3·102 + 4·10 + 2, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (5·102 + 8·10 + 6) - (3·102 + 4·10 + 2) = (5·102 + 8·10 + 6) -
- 3·102 - 4·10 - 2.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-нибудь одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 3·102 вычитаем из слагаемого 5·102, число 4·10 - из слагаемого 8·10, а число 2 - из слагаемого 6, тогда:

(5·102 + 8·10 + 6) - 3·102 - 4·10 - 2 = (5·102 - 3·102) + (8·10 - 4·10) + (6 - 2).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (5 - 3)·102 + (8 - 4)·10 + (6 - 2). Видим, что вычитание трехзначного числа 342 из трехзначного числа 586 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 5 - 3, 8 - 4 и 6 - 2 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2·102 + 4·10 + 4, которое является записью числа 244 в десятичной системе счисления. Таким образом, 586 - 342 = 244.

б) Рассмотрим разность 850 - 437. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 850 - 437 = (8·102 + 5·10 + 0)-(4·102 + 3·10 + 7). Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 7, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 850 один десяток и представим его в виде 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать - тогда будем иметь выражение:

(8·102 + 4·10 + 10) - (4·102 + 3·10 + 7).

Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (8 - 4)·102 + (4 - 3)·10 + (10 -7) или 4·102 + 1·10 + 3. Последняя сумма есть запись числа 413 в десятичной системе счисления. Значит, 850 - 437 = 413.

Разность многозначных чисел обычно находят выполняя вычитание столбиком.

В общем виде алгоритм вычитания многозначных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируется так:

• Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

• Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

• Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0>a0 , а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + a0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

• Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10 + a0 , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

В следующем разряде повторяем описанный процесс.

Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания, вычислив разности: a) 578 - 345; б) 646 - 207.

2. Выполните вычитание, объясняя каждый шаг алгоритма:

а) 84072 - 63894; б) 940235 - 32849;

в) 935204 - 326435; г) 653481 - 233694.

3. Вычислите значение выражений, используя правила вычитания суммы из числа и числа и суммы: а) 2362 - (839 + 1362); б) (1241 + 576) - 841.

4. Вычислите значение выражения, используя правило прибавления к числу разности: а) 6420 + (3580 - 1736); б) 5480 + (6290 - 3480).

5. Вычислите значение выражения, используя правило вычитания разности из числа: а) 3720 - (1742 - 2678); б) 2354 - (965 - 1246).

6. Вычислите значение выражения, используя правило вычитания числа из разности: а) (4317 - 1928) - 317; б) (5243 - 1354) - 1643.

Теоретические положения, лежащие в основе вычитания многозначных чисел:

Представление числа в десятичной системе счисления;

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа;

Табличные случаи сложения однозначных чисел;

Дистрибутивные св-ва умножения относительно вычитания.

1) Записываем вычитаемое под уменьшаемым строго разряд под разрядом.

2) Начинаем вычитание с разряда единиц. Если число единиц в разряде единиц уменьшаемого больше или равно числу единиц в разряде единиц вычитаемого, то производим вычитание и записываем рез-ат в разряд ед-ц разности и переходим к вычитанию в след. разряде.

3) Если число ед-ц в разряде ед-ц уменьшаемого меньше числа ед-ц в разряде ед-ц вычитаемого, то уменьшаем число ед-ц в разряде десятков уменьшаемого (в случае, если в разряде десятков не стоит ноль) на 1, увеличивая одновременно число ед-ц в разряде ед-ц уменьшаемого на 10, после чего выполняем вычитание. Записываем полученный рез-ат в разряде ед-ц разности.

4) Если число ед-ц в разряде десятков уменьшаемого равно нулю, то находим первый из разрядов в уменьшаемом, в кот. число ед-ц не равно нулю и уменьшаем в нем число ед-ц на 1, одновременно увеличивая число ед-ц в тех разрядах, в кот. стоит ноль на 9, а число ед-ц в разряде ед-ц уменьшаемого на 10. Производим вычитание, записываем ответ в соотв разряд разности и переходим к вычитанию в след разряде.

5) В след разряде повторяется №2, 3 или 4.

6) Процесс вычитания считаем законченным, когда произвели вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Методика изучения алгоритма.

Безусловно, младшие школьники не могут освоить алгоритмы письменного вычитания в общем виде. Но учителю их знать необходимо.

Это позволит ему:

При ознакомлении учащихся с алгоритмом правильно ор­ганизовать подготовительную работу;

Управлять деятельностью школьников, направленной на усвоение алгоритма;

В упражнениях на закрепление алгоритма учитывать все возможности его использования.

Описания алгоритмов даются учащимся начальных классов в упрощённом виде, где фиксируются только основные моменты:

1) вычитаемое нужно записать под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

2) вычитание следует начинать с низшего разряда, т.е. вычи­тать сначала единицы.

Другие операции, входящие в алгоритм, либо разъясняются младшим школьникам на конкретных примерах, либо осозна­ются ими в процессе выполнения спец. подобранных упражне­ний.

Традиционная программа: знакомство с приёмами письм. сложения/вычитания в теме «Тысяча»; сложение/вычитание «в столбик» двузначных чисел по образцу действий: Объясни решение примера 43 - 29 «в столбик»: Пишу единицы под единицами, десятки - под десятками. Вычитаю единицы. Занимаю 1 десяток. 13-9=4. Пишу под еди­ницами 4.

Вычитаю десятки. Один десяток мы взяли, поэтому в умень­шаемом осталось 3 десятка. 3-2=1. Пишу 1 под десятками. Читаю ответ: разность равна 14.

Последовательно рассматриваются различные случаи вычита­ния трёхзначных чисел.

Программа Истоминой: дети знакомятся с алгоритмами письменною сложения и вычитания после того, как усвоят нумерацию чисел в пре­делах миллиона.

Приступая к изучению алгоритмов письменного сложения и вычита­ния, учащиеся выполняют задание:

На сколько можно уменьшить 308282, чтобы изменились цифры, стоя­щие в разряде единиц и десятков, а цифры других разрядов остались те же?

(Анализ способа действий при вычитании в столбик). Объясни, как вы­полнено вычитание чисел. Догадайся, почему вычитание многозначных чисел «в столбик» нужно начинать с разряда единиц? (Акцентирование внимания на выполнении записи «в столбик», обсуждение верной и неверной записей).

Вопрос 6. Алгоритмы письменного сложения и вычитания.

Как показывает практика усвоение алгоритмов письменного сложения и вычитания не является легким делом. Одна из причин затруднений в неправильной организации учебного процесса. Должна быть направленность на личность школьника, его индивидуальные способности.

При выполнении письменных вычислений быстро развивается усталость при работе с числами, так как требуется выполнить большое количество операций, чтобы найти результат, затратить больше сил и времени, требуется большая сосредоточенность внимания, следовательно, появляются ошибки. Избежать быстрой утомляемости поможет чередование различной деятельности: устной с письменной, решение примеров с решением задач, стандартные задания выполнять реже, больше заданий, требующих смекалки, нестандартных подходов.

Учащиеся не так быстро устают, если они достаточно полно воспринимают новые знания и получают образец вычисления, записанный в знаковой форме, а также в словесной формулировке (в виде объяснения решения). Изучению темы также должны предшествовать подготовительная работа, так как понимание изучаемого материала является огромным внутренним стимулом к изучению математики.

Следует детям показывать знакомый материал, так как часто они пытаются воспринимать весь материал как новый, не выделяя известного, а одновременно изучение большого учебного материала может быть не под силу. Изучение письменных вычислений дает возможность для постановки проблемных вопросов, организации совместного поиска на них ответов, обучении самоконтролю.

Письменные приемы включают следующие случаи (см. табл. выше)

сложение и вычитание без перехода через десяток;

правило проверки сложения и вычитания;

письменные приемы сложения с переходом через десяток;

письменные приемы вычитания с переходом через десяток.

На подготовительном этапе можно давать таблицу сложения и вычитания в пределах 20, изученные устные приемы сложения и вычитания в пределах 100. При ознакомлении необходимо показать 2 вида записи приемов: в строчку и в столбик, обращая внимание, что при сложении и вычитании единицы второго числа подписываются под единицами первого числа, а десятки под десятками.

35 (дать только запись, не требуя вычисления).Условие 12 примера отделяется от ответа

чертой, которая обозначает знак «равно».

Объяснение письменного сложения и вычитания можно начать с устного решения примеров на сложение и вычитание двузначных чисел без перехода через десяток. Затем самостоятельно выполнить запись примера в столбик, как более удобную. Учителю следует показать, что в каждом из разрядов числа складываются как однозначные. Сложение и вычитание начинается с единиц. Для введения вычислений с переходом через разряд можно дать задание наблюдать различие между примерами:

47 47 47 74 74 74

32 33 34 53 54 55

На начальном этапе можно разрешить использовать точку в качестве опорного сигнала для самоконтроля. Точка (опорный сигнал) – фактор чисто психологический, следовательно, повысит внимание. Если ученик устал, чувствует, что внимание ослаблено, то может поставить точку. Усвоить новые знания помогут четкие алгоритмы, которые представлены в учебниках математики для начальных школы.

Например: 56+23. Рассуждения учащихся: пишу 56 ниже пишу в столбик 23 (единицы подписываю под единицами, десятки под десятками), ставлю знак +, подчеркиваю, вычисляю. Складываю единицы, складываю десятки, читаю ответ. Алгоритм вычитания: вычитаю единицы, вычитаю десятки, читаю ответ. Они составлены на основе алгоритмов письменного сложения и вычитания курса математики.

В основе действия сложения лежит следующий алгоритм:

Записывают второе слагаемых под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

Складывают цифры разряда единиц. Если сумма меньше 10, ее записывают в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду.

Если сумма цифр больше 10 или равно, то представляют ее в виде: 10+с 0 , где с 0 - однозначное число, записывают с 0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к цифре десятков первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс сложения заканчивается, когда произведено сложение цифр старших разрядов.

Алгоритм вычитания.

Записывают вычитаемое b n , b n -1 …b 1 ,b 0 под уменьшаемым, так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, то ее вычитают из соответствующей цифры уменьшаемого, после чего переходят к следующему разряду.

3.Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, т.е. a 0

4. Если цифра единицы вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны 0, то берут первую, отличную от 0, цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшают ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличивают на 9, а цифру в разряде единиц на 10, вычитают b 0 из 10+ a 0 , записывают результат в разряде единиц разности и переходят к следующему разряду.