РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Воспользуемся полученной нами ранее барометрической формулой:

и получим зависимость концентрации молекул от высоты. Поскольку

И , то

(9.17)

Если изобразить графики зависимостей в соответствии с (9.17) при различных температурах, то легко видеть, что с понижением температуры основная часть молекул располагается ближе к поверхности Земли. При абсолютном нуле все молекулы должны были бы расположиться на поверхности. Наоборот, при высоких температурах молекулы располагаются почти равномерно.

Конкретное распределение молекул устанавливается в результате действия противоположных факторов: сила притяжения концентрирует молекулы вблизи поверхности, а тепловое движение разбрасывает по всем высотам.

В числителе показателя степени экспоненты (9.17) стоит фактически энергия молекулы в поле силы тяжестиε р . Поэтому (9.17) можно записать в виде

(9.18)

Больцман доказал, что распределение (9.18) справедливо для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в тепловом движении в любом потенциальном поле . Поэтому распределение (18) называют распределением Больцмана . Это распределение можно представить в виде

(9.19)

где – количество молекул, попадающих в пределы объема , расположенного в точке с координатами x, y, z.

Это распределение можно объединить с распределением Максвелла, выделив из молекулы, компоненты скорости которых лежат в пределах от до ,от до , от до :

(9.20)

Очень часто энергия частиц может только дискретные значения из ряда: . В этом случае распределение Больцмана дает количество частиц , которые находятся в состоянии с энергией и имеет вид:

где – коэффициент пропорциональности, который определяется из условия нормировки. В этом случае условие нормировки сводится к требованию того, чтобы сумма частиц во всех состояниях была равна общему количеству частиц в системе :

Найдем значение нолрмирующего множителя, подставив (9.21) в (9.22):

(9.23)

Таким образом, окончательно распределение Больцмана для систем с дискретными разрешенными значениями энергии можно записать в виде:

(9.24)

СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЕС

Понятие «статистический вес » (используется также термин термодинамическая вероятность ) является одним из основных в статистической физике. Чтобы сформулировать его определение необходимо сначала определить понятия макросостояние и микросостояние .

Одно и тоже состояние макроскопического тела можно охарактеризовать по-разному. Если состояние охарактеризовано заданием макроскопических параметров состояния (давление, объем, температура, плотность и т.п.) то такое состояние будем называть макросостоянием .

Если состояние охарактеризовано путем задания координат и скоростей всех молекул тела, то такое состояние будем называть микросостоянием .

Очевидно, что одно и то же макросостояние может быть реализовано различными способами, то есть различными микросостояниями. Число различных микросостояниий, которыми может быть реализовано данное макросостояние называется статистическим весом или термодинамической вероятностью .

Для пояснения указанных понятий рассмотрим модель (!) - сосуд, в котором находятся N молекул. Предположим, что сосуд разделен на две одинаковые части, и различные макросостояния отличаются количеством молекул в левой и правой половинах сосуда . Поэтому в рамках модели будем считать состояние молекулы заданным, если известно, в какой из половин сосуда она находится .

Различные микросостояния отличаются при этом тем, какие именно молекулы находятся справа и слева. 1,2 – 3,4 (как показано на рисунке 9.5) одно из состояний. 1,3 – 2,4 – другое микросостояние.

Каждая из молекул может с равной вероятностью находиться и слева, и справа. Поэтому вероятность i -той молекуле находиться, например, справа равна ½. Появление в левой части сосуда той молекулы наряду с той является статистически независимым событием , поэтому вероятность нахождения слева двух молекул равна ½ ½ = ¼; трех молекул – 1/8; четырех – 1/16 и т.д. Следовательно, вероятность любого размещения (микросостояния) молекул равна .

Утверждение о том, что, вероятности каждого их микросостояний равны, называются эргодической гипотезой , и оно лежит в основе статистической физики.

Рассмотрим N = 4. Каждое из размещений молекул в половинах сосуда является конкретным микросостоянием. Тогда макросостоянию с числом молекул слева соответствует 1 микросостояние. Статистический вес такого макросостояния равен 1, а вероятность его реализации – 1/16. Для иных макростоляний можно утверждать следующее:

Соответствует 6 микросостояний статистический вес 6, 6/16

Соответствует 4 микросостояния статистический вес 4, 4/16

Соответствует 1 микросостояние статистический вес 1, 1/16

Теперь можно видеть, что вследствие принятия эргодической гипотезы, статистический вес оказывается пропорциональным вероятности (обычной!) реализации данного макросостояния.

Если в сосуде содержится N молекул, то можно доказать, что статвес макросостояния, заключающегося в том, что слева n молекул, а справа (N – n)

(9.25)

Если для четырех молекул вероятность собраться в одной из половин сосуда составляет 1/16, то есть вполне ощутимую величину, то уже для N = 24 эта вероятность составляет порядка .

При нормальных условиях в 4 см 3 воздуха содержится около 10 20 молекул. Вероятность собраться им в одной из частей сосуда оценивается величиной .

Таким образом, с увеличением количества молекул в системе вероятность существенных отклонений от приблизительного равенства количеств молекул в частях сосуда очень быстро убывает. Это соответствует тому, что статвес состояний с приблизительно равным количеством молекул в половинах оказывается очень большим и быстро убывает по мере отклонения от равенства молекул в частях.

Если число N не очень велико, то с течением времени наблюдаются – заметные отклонения количества молекул в одной из половины от N / 2 . Случайные отклонения физической величиныx от ее среднего значения называются флуктуациям:

. (9.26)

Среднее арифметическое абсолютной флуктуации равно нулю. Поэтому в качестве характеристики флуктуаций чаще рассматривают среднюю квадратичную флуктуацию :

Более удобной и показательной является относительная флуктуация :

Причем в статистической физике доказывается соотношение:

, (9.28)

т.е. величина относительной флуктуации обратно пропорционально корню из количества частиц в системе . Это утверждение подтверждает наш качественный вывод.

Аналогично количеству молекул в одной из половин сосуда флуктуируют вблизи средних значений и другие макроскопические характеристики состояния – давление, плотность, и т.п.

Рассмотрим природу равновесных и неравновесных состояний и процессов с точки зрения статистической физики. Равновесным , по определению, является такое состояние, которое не имеет тенденции к изменению с течением времени. Ясно, что таким свойством в наибольшей мере будет обладать наиболее вероятное из всех макросостояний системы, то есть состояние, реализуемое наибольшим количеством микросостояний, а значит обладающее наибольшим статистическим весом. Поэтому равновесное состояние можно определить как состояние, статвес которого максимален .

Примером типичного необратимого процесса может служить распространение на весь объем сосуда молекул газа, первоначально сосредоточенных в одной из его половин. Этот процесс является необратимым, так как вероятность того, что в результате теплового движения все молекулы соберутся в одной из половин сосуда, очень мала. Соответственно всегда необратимым является процесс , обратный которому крайне маловероятен .

ЛЕКЦИЯ № 10 СТАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

10.1. ЭНТРОПИЯ

Как мы установили, вероятность состояния системы пропорциональна ее статическому весу, поэтому в качестве характеристики вероятности состояния можно было бы использовать сам статвес W. Однако W не является аддитивной величиной. Поэтому для характеристики состояния системы используют величину

которую называют энтропией системы. Действительно, если мы рассмотрим две системы по 4 молекулы в каждой, то статистический вес состояния, когда в каждой из подсистем находится, например, по одной молекуле слева будет равен 16, т.е. . Это соотношение справедливо для любых состояний. Следовательно, статвес неаддитивен . В то же время энтропия состояния результирующей системы т.е. является величиной аддитивной .

Поскольку при протекании необратимых процессов в изолированной системе она переходит из менее вероятных в более вероятные состояния, можно утверждать, что энтропия изолированной системы возрастает при протекании в ней необратимых процессов .

Равновесное состояние является наиболее вероятным состоянием, а значит, энтропия системы перешедшей в равновесное состояние максимальна.

Поэтому можно утверждать, что энтропия изолированной системы остается постоянной, если она находится в равновесном состоянии, или возрастает, если в ней протекают необратимые процессы.

Утверждение о том, что энтропия изолированной системы не убывает, называетсявторым началом термодинамики или законом возрастания энтропии .

Энтропия является , очевидно, функциейсостояния и должна определятся параметрами состояния. Самыми простыми свойствами обладает одноатомный идеальный газ – его состояния полностью определяется заданием двух параметров, например, температуры и объема. Соответственно его энтропию можно определить как функцию температуры и объема: . Соответствующие вычисления показывают, что энтропия моля идеального газа определяется выражением

где - есть некоторая константа, с точностью до которой определяется энтропия.

Из-за хаотического движения изменения в положении каждой частицы (молекулы, атома и т.д.) физической системы (макроскопического тела) носят характер случайного процесса. Поэтому можно говорить о вероятности обнаружить частицу в той или иной области пространства.

Из кинематики известно, что положение частицы в пространстве характеризуется ее радиусом-вектором или координатами.

Рассмотрим вероятность dW() обнаружить частицу в области пространства определяемой малым интервалом значений радиуса-вектора , если физическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Векторный интервал будем измерять объемом dV=dxdydz.

Плотность вероятности (функция вероятности распределения значений радиуса-вектора )

.

(2.10)

Частица в данный момент времени реально где-то находится в указанном пространстве, значит должно выполняться условие нормировки:

Найдем функцию вероятности распределения частиц f() классического идеального газа. Газ занимает весь объем V и находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой Т.

При отсутствии внешнего силового поля все положения каждой частицы равновероятны, т.е. газ занимает весь объем с одинаковой плотностью. Поэтому f() = c onst.

Используя условие нормировки найдем, что

,

т. е . f(r)=1/V .

Если число частиц газа N, то концентрация n = N/V .

Следовательно, f(r ) =n/N .

Вывод : в отсутствие внешнего силового поля вероятность dW() обнаружить частицу идеального газа в объеме dV не зависит от положения этого объема в пространстве, т.е. .

Поместим идеальный газ во внешнее силовое поле.

В результате пространственного перераспределения частиц газа плотность вероятности f() ¹ c onst.

Концентрация частиц газа n и давление его Р будут различными, т.е. в пределе где D N - среднее число частиц в объеме D V и давление в пределе , где D F- абсолютное значение средней силы, действующей нормально на площадку D S.

Если силы внешнего поля являются потенциальными и действуют в одном направлении (например, сила тяжести Земли направлена вдоль оси z), то силы давления, действующие на верхнее dS 2 и нижнее dS 1 основания объема dV, не будут равны друг другу (рис. 2.2).

Рис. 2.2

В этом случае разность сил давления dF на основания dS 1 и dS 2 должна быть скомпенсирована действием сил внешнего поля .

Суммарная разность сил давления dF = nGdV,

где G - сила, действующая на одну частицу со стороны внешнего поля.

Разность сил давления (по определению давления) dF = dPdxdy. Следовательно, dP = nGdz.

Из механики известно, что потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле связана с силой этого поля соотношением .

Тогда разность давлений на верхнее и нижнее основания выделенного объема dP = - n dW p .

В состоянии термодинамического равновесия физической системы ее температура Т в пределах объема dV везде одинакова. Поэтому используем уравнение состояния идеального газа для давления dP = kTdn.

Решив совместно последние два равенства получим, что

- ndW p = kTdn или .

После преобразований найдем, что

или

,

где ℓ n n o - постоянная интегрирования (n o - концентрации частиц в том месте пространства, где W p =0).

После потенцирования, получим

Вероятность обнаружить частицу идеального газа в объеме dV, расположенного у точки, определяемой радиусом-вектором , представим в виде

где Р о = n o kT.

Применим распределение Больцмана к атмосферному воздуху, находящему в поле тяготения Земли.

В состав атмосферы Земли входят газы: азот - 78,1 %; кислород - 21 %; аргон-0,9 %. Масса атмосферы -5,15 × 10 18 кг. На высоте 20-25 км - слой озона.

Вблизи земной поверхности потенциальная энергия частиц воздуха на высоте h W p = m o gh , где m o - масса частицы.

Потенциальная энергия на уровне Земли (h=0) равна нулю (W p =0).

Если в состоянии термодинамического равновесия частицы земной атмосферы имеют температуру Т, то изменение давления атмосферного воздуха с высотой происходит по закону

.

(2.15)

Формула (2.15) называется барометрической формулой ; применима для разреженных смесей газов.

Заключение : для земной атмосферы чем тяжелее газ, тем быстрее падает его давление в зависимости от высоты, т.е. по мере увеличения высоты атмосфера должна все более обогащаться легкими газами. Из-за изменения температуры атмосфера не находится в равновесном состоянии. Следовательно, барометрическую формулу можно применять к малым участкам, в пределах которых изменения температуры не происходит. Кроме того, на неравновесность земной атмосферы влияет гравитационное поле Земли, которое не может удержать ее вблизи поверхности планеты. Происходит рассеивание атмосферы и тем быстрее, чем слабее гравитационное поле. Например, земная атмосфера рассеивается достаточно медленно. За время существования Земли (~ 4-5 млрд. лет) она потеряла малую часть своей атмосферы (в основном легких газов: водорода, гелия и др.).

Гравитационное поле Луны слабее земного, поэтому она практически полностью потеряла свою атмосферу.

Неравновесность земной атмосферы можно доказать следующим образом. Допустим, что атмосфера Земли пришла в состояние термодинамического равновесия и в любой точке ее пространства она имеет постоянную температуру. Применим формулу Больцмана (2.11), в которой роль потенциальной энергии выполняет потенциальная энергия гравитационного поля Земли, т.е.

где g - гравитационная постоянная; М з - масса Земли; m o - масса частицы воздуха; r - расстояние частицы от центра Земли. = R з , где R з - радиус Земли, то

.

(2.17)

Это означает, что n ¥ ¹ 0. Но число частиц в атмосфере Земли - конечно. Поэтому такое число частиц не может быть распространено по бесконечному объему.

Следовательно, действительно земная атмосфера не может находиться в равновесном состоянии.

Барометрическая формула. Рассмотрим газ, находящийся в равновесии в поле силы тяжести. В этом случае сумма действующих сил на каждый элемент объема газа равна нулю. Выделим малый объем газа на высоте h (рис.2.7) и рассмотрим действующие на него силы:

На выделенный объем действует сила давления газа снизу, сила давления газа сверху и сила тяжести. Тогда баланс сил запишется в виде

где dm – масса выделенного объема. Для этого объема можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона

Выражая величину dm , можно получить уравнение

.

Разделяя переменные, получим

.

Проинтегрируем полученное уравнение, учтя, что температура постоянна,

.

Пусть давление на поверхности равно p 0 , тогда полученное уравнение легко преобразовать к виду

. (2.24)

Полученная формула называется барометрической и достаточно хорошо описывает распределение давления по высоте в атмосфере Земли и других планет. Важно помнить, что эта формула была выведена из предположения равновесия газа, при этом величины g и T считались постоянными, что, конечно, не всегда справедливо для реальной атмосферы.

Распределение Больцмана. Запишем барометрическую формулу (2.24) через концентрацию частиц, воспользовавшись тем, что p = nkT :

, (2.25)

где m 0 - масса молекулы газа.

Такой же вывод можно провести для любой потенциальной силы (не обязательно для силы тяжести). Из формулы (2.25) видно, что в числителе экспоненты стоит потенциальная энергия одной молекулы в потенциальном поле. Тогда формулу (2.25) можно записать в виде

. (2.26)

В таком виде эта формула пригодна для нахождения концентрации молекул, находящихся в равновесии в поле любой потенциальной силы.

Найдем число частиц газа, координаты которых находятся в элементе объема dV = dxdydz

.

Полное число частиц в системе может быть записано в виде

.

Здесь интеграл формально записан по всему пространству, но надо иметь в виду, что объем системы конечен, что приведет к тому, что интегрирование будет вестись по всему объему системы. Тогда отношение

как раз и даст вероятность того, что частица попадет в элемент объема dV . Тогда для этой вероятности запишем

,

где величина потенциальной энергии молекулы будет, вообще говоря, зависеть от всех трех координат. Пользуясь определением функции распределения, можно записать функцию распределения молекул по координатам в следующем виде:

. (2.27)

Это и есть функция распределения Больцмана по координатам частиц (или по потенциальным энергиям, имея в виду, что потенциальная энергия зависит от координат). Легко показать, что полученная функция нормирована на единицу.

Связь распределений Максвелла и Больцмана. Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями распределения Гиббса. Температура определяется средней кинетической энергией. Поэтому возникает вопрос, почему в потенциальном поле температура постоянная, хотя по закону сохранения энергии при изменении потенциальной энергии частиц должна также изменяться их кинетическая энергия, а следовательно, как кажется на первый взгляд, и их температура. Другими словами, почему в поле тяжести при движении частиц вверх у всех них кинетическая энергия уменьшается, а температура остается постоянной, т.е. остается постоянной их средняя кинетическая энергия, а при движении частиц вниз энергия всех частиц увеличивается, а средняя энергия остается постоянной?

Это объясняется тем, что при подъеме из потока частиц выбывают наиболее медленные, т.е. «наиболее холодные». Поэтому расчет энергии ведется по меньшему числу частиц, которые на исходной высоте были в среднем «более горячими». Иначе говоря, если с нулевой высоты на высоту прибыло какое-то число частиц, то их средняя энергия на высоте равна средней энергии всех частиц на нулевой высоте, часть которых не смогла достигнуть высоты из-за малой кинетической энергии. Однако если на нулевой высоте рассчитать среднюю энергию частиц, достигших высоты , то она больше средней энергии всех частиц на нулевой высоте. Поэтому можно сказать, что средняя энергия частиц на высоте действительно уменьшилась и в этом смысле они «охладились» при подъеме. Однако средняя энергия всех частиц на нулевой высоте и высоте одинакова, т.е. и температура одинакова. С другой стороны, уменьшение плотности частиц с высотой также является следствием выбывания частиц из потока.

Поэтому закон сохранения энергии при подъеме частиц на высоту приводит к уменьшению их кинетических энергий и выбыванию частиц из потока. Благодаря этому, с одной стороны, плотность частиц с высотой уменьшается, а с другой стороны, их средняя кинетическая энергия сохраняется, несмотря на то, что кинетическая энергия каждой из частиц убывает. Это возможно подтвердить прямым расчетом, который рекомендуется проделать в качестве упражнения.

Атмосфера планет. Потенциальная энергия частицы массой в поле тяготения шарообразного небесного тела равна

, (2.28)

где – масса тела; – расстояние от центра тела до частицы; – гравитационная постоянная. Атмосфера планет, в том числе и Земли, не находится в равновесном состоянии. Например, вследствие того, что атмосфера Земли находится в неравновесном состоянии, ее температура не постоянна, как это должно было быть, а изменяется с высотой (уменьшается с увеличением высоты). Покажем, что равновесное состояние атмосферы планеты в принципе невозможно. Если бы оно было возможно, то плотность атмосферы должна была бы изменяться с высотой по формуле (2.26), которая принимает вид

(2.29)

где учтено выражение (2.28) для потенциальной энергии, – радиус планеты. Формула (2.29) показывает, что при плотность стремится к конечному пределу

(2.30)

Это означает, что если в атмосфере имеется конечное число молекул, то они должны быть распределены по всему бесконечному пространству, т.е. атмосфера рассеяна.

Поскольку, в конечном счете, все системы стремятся к равновесному состоянию, то атмосфера планет постепенно рассеивается. У некоторых из небесных тел, например у Луны, атмосфера полностью исчезла, другие, например Марс, имеют очень разряженную атмосферу. Таким образом, атмосфера Луны достигла равновесного состояния, а атмосфера Марса уже находится близко к достижению равновесного состояния. У Венеры атмосфера очень плотная и, следовательно, находится в начале пути к равновесному состоянию.

Для количественного рассмотрения вопроса о потере атмосферы планетами необходимо принять во внимание распределение молекул по скоростям. Силу земного притяжения могут преодолеть лишь молекулы, скорость которых превосходит вторую космическую. Эти молекулы находятся в «хвосте» распределения Максвелла и их относительное число незначительно. Тем не менее за значительные промежутки времени потеря молекул является чувствительной. Поскольку вторая космическая скорость у тяжелых планет больше, чем у легких, интенсивность потери атмосферы у массивных небесных тел меньше, чем у легких, т.е. легкие планеты теряют атмосферу быстрее, чем тяжелые. Время потери атмосферы зависит также от радиуса планеты, состава атмосферы и т.д. Полный количественный анализ этого вопроса является сложной задачей.

Экспериментальная проверка распределения Больцмана. При выводе распределения Больцмана не налагалось никаких ограничений на массу частиц. Поэтому в принципе оно применимо и для тяжелых частиц. Возьмем в качестве этих частиц, например, песчинки. Ясно, что они расположатся в некотором слое у сосуда. Строго говоря, это является следствием распределения Больцмана. При больших массах частиц показатель экспоненты столь быстро изменяется с высотой, что равен нулю везде за пределами слоя песка. Что касается пространства внутри слоя, то там надо принять во внимание объем песчинок. Это сведется к чисто механической задаче на минимум потенциальной энергии при заданных связях. Задачи такого типа рассматриваются не в статистической физике, а в механике.

Для того чтобы тяжелые частицы не «осели на дно», распределились в достаточно большом слое на высоте, необходимо чтобы их потенциальная энергия была достаточно малой. Этого можно достигнуть, помещая частицы в жидкость, плотность которой лишь на немного меньше плотности материала частиц. Обозначив плотность и объем частиц и , а плотность жидкости – , видим, что сила, действующая на частицу, равна . Следовательно, потенциальная энергия такой частицы на высоте от дна сосуда равна

(2.31)

Поэтому распределение концентраций этих частиц по высоте дается формулой

Чтобы эффект был достаточно хорошо заметен, частицы должны быть достаточно малыми. Число таких частиц на разных высотах в сосуде считают с помощью микроскопа. Эксперименты такого рода впервые были выполнены начиная с 1906 г. Ж.Б. Перреном (1870-1942).

Проделав измерения, можно прежде всего убедиться, действительно ли концентрация частиц изменяется по экспоненциальном закону. Перрен доказал, что это действительно так, и, следовательно, распределение Больцмана справедливо. Далее, исходя из справедливости распределения и измерив независимыми способами объемы и плотности частиц, можно по результатам эксперимента найти значение постоянной Больцмана , поскольку все остальные величины в (2.32) являются известными.

Таким путем Перрен измерил и получил результат, весьма близкий к современному. Другим независимым способом значение было получено Перреном из опытов с броуновским движением.

В последующем были проведены также эксперименты другого типа, полностью подтвердившие распределение Больцмана. Из экспериментов другого типа можно указать, например, на проверку зависимости поляризации полярных диэлектриков от температуры, рассмотренную выше.

Пример 2.2. Перрен использовал распределение гуммигутовых зерен в воде для измерения постоянной Авогадро. Плотность частиц гуммигута составляла r = 1,21×10 3 кг/м 3 , их объем t = 1,03×10 -19 м 3 . Температура, при которой проводился эксперимент, была равна . Найти высоту , на которой плотность распределения гуммигутовых зерен уменьшилась в два раза.

Принимая во внимание, что, по условию задачи, t(r - r 0) = 0,22×10 -16 кг, получаем на основе формулы (2.32) h = kT ln2/ = 12,3×10 -6 м.

Пример 2.3. В воздухе при температуре и давлении Па взвешены шарообразные частицы радиусом 10 -7 м. Найти массу взвешенной частицы.

По формуле (2.32) находим t(r - r 0) = kT ln2/gh = 1,06×10 -23 кг.

Учитывая, что t = 4,19×10 -21 м 3 , находим (r - r 0) = 2,53×10 -3 кг/м 3 . Поскольку r 0 = 1,293 кг/м 3 , получаем r = 1,296 кг/м 3 и, следовательно, масса частицы

Распределение Больцмана

Статистика Максвелла - Больцмана - статистический метод описания физических систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц, движущихся по законам классической механики (то есть классического идеального газа); предложена в 1871 г. австрийским физиком Л. Больцманом .

Вывод распределения

Из общего распределения Гиббса. Рассмотрим систему частиц, находящуюся в однородном поле. В таком поле каждая молекула идеального газа обладает полной энергией

Где

Кинетическая энергия её поступательного движения, а - потенциальная энергия во внешнем поле, которая зависит от её положения.

Подставим это выражение для энергии в распределение Гиббса для молекулы идеального газа (где - вероятность того, что частица находится в состоянии со значениями координат и импульсов , в интервале )

,

где интеграл состояний равен:

интегрирование ведется по всем возможным значениям переменных. Далее интеграл состояний можно написать в виде:

,

мы находим, что нормированное на единицу распределение Гиббса для молекулы газа при наличии внешнего поля имеет вид:

.

Полученное распределение вероятностей, характеризующее вероятность того, что молекула имеет данный импульс и находится в данном элементе объема, носит название распределение Максвелла - Больцмана .

Некоторые свойства

При рассмотрении распределения Максвелла - Больцмана, бросается в глаза важное свойство - его можно представить как произведение двух множетелей:

.

Первый множитель есть ничто иное как распределение Максвелла, оно характеризует распределение вероятностей по импульсам. Второй множитель зависит только лишь от координат частиц и определяется видом её потенциальной энергии. Он характеризует вероятность обнаружения частицы в объеме dV.

Согласно теории вероятности , распределение Максвелла - Больцмана можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых событий - вероятность данного значения импульса и данного положения молекулы. Первая из них:

представляет распределение Максвелла; вторая вероятность:

Распределение Больцмана. Очевидно, что каждое из них нормировано на единицу.

Независимость вероятностей дает важный результат: вероятность данного значения импульса совершенно не зависит от положения молекулы и, наоборот, вероятность положения молекулы не зависит от её импульса. Это значит что распределение частиц по импульсам (скоростям) не зависит от поля, другими словами остается тем же самым от точки к точке пространства, в котором заключен газ. Меняется лишь вероятность обнаружения частицы или, что то же самое, число частиц.

См.также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Распределение Больцмана" в других словарях:

распределение Больцмана - Bolcmano skirstinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Boltzmann distribution; Boltzmann distribution law vok. Boltzmannsche Verteilung, f; Boltzmannsches Verteilungsgesetz, n; Boltzmann Verteilung, f rus. больцмановское распределение,… … Fizikos terminų žodynas

Статистич. метод описания физ. св в систем, содержащих большое число невзаимодействующих ч ц, движущихся по законам классич. механики (т. е. св в классич. идеального газа). Создана австр. физиком Л. Больцманом в 1868 71. В Б. с. рассматривается… … Физическая энциклопедия

Распределение Гиббса распределение, определяющее количества частиц в различных квантовых состояниях. Основывается на постулатах статистики: Все доступные микросостояния системы равновероятны. Равновесию соответствует наиболее вероятное… … Википедия

Физическая статистика для систем из большого числа невзаимодействующих частиц. Строго Б.с. подчиняются атомные и молекулярные идеальные газы, т. е. газы, у которых потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю.… … Большая советская энциклопедия

Как функция от ε/μ, построенная для 4 различных температур. С ростом температуры ступенька размывается Статистика Ферми Дирака в статистической физике квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с… … Википедия

Статистически равновесная ф ция распределения по импульсам р и координатам r ч ц идеального газа, молекулы к рого движутся по законам классич. механики, во внеш. потенц. поле: f(p, r) = Aехр{ (р2/2m+U(r))/kT}. (1) Здесь p2/2m кинетич. энергия… … Физическая энциклопедия

- (Максвелла Больцмана распределение) равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям (E) во внешнем силовом поле (напр., в поле тяготения); определяется функцией распределения f e E/kT, где E сумма кинетической и потенциальной энергий … Большой Энциклопедический словарь

- (Максвелла Больцмана распределение), равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям во внешнем силовом поле (например, в поле тяготения); определяется функцией распределения f ≈ e E/kT, где Е сумма кинетической и потенциальной… … Энциклопедический словарь

Функция плотности распределения Распределение Максвелла распределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и… … Википедия

При рассмотрении закона распределения Максвелла предполагалось, что молекулы равномерно распределяются по всему объему сосуда, что справедливо, если объем сосуда небольшой.

Для больших объемов равномерность распределения молекул по объему нарушается из-за действия силы тяжести, вследствие чего плот­ность, а следовательно, и число молекул в единице объема будут неодинаковым.

Рассмотрим молекулы газа, находящегося в поле тяготения Земли.

Выясним зависимость давления атмосферы от высоты над поверхно­стью Земли. Допустим, на поверхности Земли (h = 0) давление атмосфе­ры P 0 . На высоте h оно равно P. При увеличении высоты на dh давление уменьшится на dP:

dP = - ρgdh (9.49)

[ρ - плотность воздуха на данной высоте, ρ = mn 0 , где m - масса моле­кулы, n 0 - концентрация молекул].

Используя соотношение P = n 0 kТ, получаем

Полагая, что на некоторой высоте h Т = соnst, g = соnst, разделяя пе­ременные, интегрируем выражение (9.50):

,

Получаем

(9.51) - барометрическая формула .

Барометрическая формула показывает зависимость давления газа от высоты над поверхностью Земли.

Если учесть, что концентрация молекул воздуха в атмосфере определяет дав­ление, то формулу (9.51) можно записать в виде

(9.52)

Из формулы (9.52) следует, что с понижением температуры число частиц на высоте, отличной от нуля, убывает и при Т = 0К обращается в нуль, т. е. при 0К все молекулы расположились бы на земной поверх­ности.

Так как потенциальная энергия молекул на различной высоте раз­лична и на высоте h определяется по формуле где Е П = mgh, то [см.

(9.53)

- закон Больцмана , показывающий распределение участвующих в теп­ловом движении молекул в потенциальном поле сил, в частности в поле силы тяжести.

Методика решения задач

В задачах данного типа используют свойства распределения Максвелла и Больцмана.

Пример 3.3. Определите среднюю арифметическую скорость <υ˃ молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 кг/м 3 .

Дано: Р=35кПа=35∙10 3 Па; ρ=0,3 кг/м 3 .

Найти : <υ˃ .

Решение: Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории идеальных газов,

, (1)

где n – концентрация молекул; m 0 - масса одной молекулы; <υ кв ˃ .- средняя квадратичная скорость молекул.

Учитывая, что
, а
, получаем

Так как плотность газа

,

где m – масса газа; V - его объём; N - число молекул газа, уравнение (1) можно записать в виде

или
. Подставляя это выражение в формулу (2), находим искомую среднюю арифметическую скорость:

Ответ: <υ˃=545 м/с.

Пример 3.5. Найти относительное число газа, скорость которого отличается не более чем на δη = 1% значения средней квадратичной скорости.

Дано: δη = 1%.

Найти :

Решение В распределении Максвелла

подставим значение

; δυ = υ кв δη.

Относительное число молекул будет

Ответ :

Пример 3.6. При какой температуре газа число молекул со скоростями в заданном интервале υ, υ + dυ будет максимальной? Масса каждой молекулы m.

Для нахождения искомой температуры необходимо исследовать функцию распределения Максвелла на экстремум
.

.

Пример 3.7. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул идеального газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность ρ = 1кг/м 3 .

Умножив числитель и знаменатель в подкоренных выражениях (3.4) на число Авогадро N а, получим следующие формулы для скоростей:

.

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона, введя в него плотность

Определим отсюда величину и, подставив её в выражения, определяющие скорость молекул, получим:

Пример 3.4. Идеальный газ с молярной массой M находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором g. Найти давление газа как функцию высоты h, если при h = 0 давление Р = Р 0 , а температура меняется с высотой как T = T 0 (1 - α·h), где α – положительная постоянная.

При увеличении высоты на бесконечно малую величину давление получает приращение dP = - ρgdh, где ρ - плотность газа. Знак минус появился, так как с увеличением высоты давление уменьшилось.

Поскольку рассматривается идеальный газ, плотность ρ может быть найдена из уравнения Mенделеева-Клапейрона:

Подставим значение плотности ρ и температуры Т, получим разделяя переменные:

Интегрируя это выражение, находим зависимость давления газа от высоты h:

Так как при h = 0 Р = Р 0 получаем значение постоянной интегрирования С = Р 0 . Окончательно функция Р(h) имеет вид

Необходимо отметить, что, так как давление является величиной положительной, полученная формула справедлива для высот
.

Пример. Французский физик Ж.Перрен, наблюдал под микроскопом изменение концентрации взвешенных в воде (ρ=1г/см 3 ) шариков гуммигута (ρ 1 =1,25г/см 3 ) с изменением высоты, экспериментально определил постоянную Авогадро. Определите это значение, если температура взвеси Т=298К, радиус шариков =0,21 мкм, а при расстоянии между двумя слоями Δ h =30мкм число шариков гуммигута в одном слое в два раза больше, чем в другом.

Дано: ρ=1г/см 3 =1000кг/м 3 ; ρ=1,25 г/см 3 =1250кг/м 3 ; Т=280 К; r =0,21мкм=0,21∙10 -6 м; Δ h =30мкм=3∙10 -5 м;
.

Найти : N A .

Решение. Барометрическую формулу

,

Используя уравнение состояния P=nkT, можно преобразовать для высот h 1 и h 2 к виду

и
,

где n 0 , n 1 и n 2 - соответственно концентрация молекул на высоте h 0 , h 1 и h 2 ; М – молярная масса; g- ускорение свободного падения; R- молярная газовая постоянная.

. (1)

Прологарифмировав выражение (1), получим

(2)

Масса частицы
; m=ρV=ρπr 3 . Подставив эти формулы в (2) и учитывая поправку на закон Архимеда, получим

Откуда искомое выражение для постоянной Авогадро

Ответ: N A =6,02∙10 23 моль -1 .

Пример. Какова температура Т азота, если средняя длина свободного пробега <ℓ˃ молекул азота при давлении Р=8кПа составляет 1мкм. Эффективный диаметр молекул азота d =0,38нм. .

Дано: <ℓ˃ =1мкм=1∙10 -6 м; Р=8кПа=8∙10 3 Па; d=0,38нм=0,38∙10 -9 м;

Найти : Т.

Решение. Согласно уравнению состояния идеального газа

где n – концентрация молекул; k - постоянная Больцмана.

,

откуда
. Подставив эту формулу в выражение (1), найдём искомую температуру азота

Ответ: Т=372 К.

Пример. При температуре Т=280 К и некотором давлении средняя длина <ℓ 1 ˃ свободного пробега молекул равна 0,1 мкм. Определите среднее число столкновений молекул в 1с, если давление в сосуде уменьшить до 0,02 первоначального давления. Температуру считать постоянной, а эффективный диаметр молекулы кислорода принять равным 0,36нм.

Дано: Т=280 К; <ℓ 1 ˃ =0,1мкм=0,1∙10 -6 м; М=32∙10 -3 кг/моль;
; d=0,36нм=0,36∙10 -9 м;

Найти : .

Решение. Среднее число . молекулы к средней длине её свободного пробега <ℓ 2 ˃. при том же давлении:

, (1)

где средняя скорость молекул определяется по формуле

(2)

где R – молярная газовая постоянная; М – молярная масса вещества.

Из формул
иP=nkT следует, что средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна давлению:

,

откуда
. Подставив это выражение в формулу (1) и учитывая (2), получаем искомое среднее число столкновений молекул в 1с:

Ответ:

Дано: P =100мкПа=10 -4 Па; r =15см=0,15 м; T=273 К; d=0,38нм=0,38∙10 -9 м.

Найти :

Решение. Вакуум можно считать высоким, если средняя длина свободного пробега молекул газа гораздо больше линейных размеров сосуда, т.е. должно выполняться условие

˃˃ 2r

Средняя длина свободного пробега молекул газа

(учли P=nkT).

Вычисляя, получаем =58,8 м, т.е 58,8 м ˃˃0,3 м.

Ответ: да, вакуум высокий.