Что такое функция? Функциональная зависимость, или функция, - это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной. Основные свойства функции

Функция - это математическая величина, показывающая зависимость одного элемента «у» от другого «х».

Иначе сказать: зависимость у называется функцией переменной величины х , если каждому значению, которое может принимать х соответствует одно или несколько определяемых значений у . Переменная х - это аргумент функции .

Величина у всегда зависит от величины х , следовательно, аргумент х является независимой переменной , а функция у - зависимой переменной .

Поясним на примере:

Пусть Т - это температура кипения воды , а Р - атмосферное давление. При наблюдении установлено, что каждому значению, которое может принимать Р , соответствует всегда одно и то же значение Т . Таким образом, Т - это функция аргумента Р .

Функциональная зависимость Т от Р позволяет при наблюдении температуры кипения воды без барометра определять давление по специальным таблицам, например таким:

Видно, что есть значения аргумента Т , которые температура кипения принимать не может, например, она не может быть меньше «абсолютного нуля» (- 273 °С). То есть, невозможному значению Т = - 300 °С, не соответствует никакое значение Р . Поэтому в определении сказано: «каждому значению, которое может принимать х…» , а не каждому значению х…

При этом Р является функцией аргумента Т . Таким образом, зависимость Р от Т позволяет, при наблюдении за давлением без термометра определять температуру кипения воды по аналогичной таблице:

Второе определение функции.

Если каждому значению аргумента х отвечает одно значение функции у , то функция называется однозначной ; если два и более, - то многозначной (двузначной, трехзначной). Если не оговаривается, что функция многозначна, следует понимать, что она однозначна.

Например:

Сумма (S ) углов многоугольника - это функция числа (n ) сторон. Аргумент n может принимать только целые значения, но не меньше, чем 3 . Зависимость S от n выражается через формулу:

S = π (n - 2).

За единицу измерения в данном примере принят радиан . При этом n - это функция аргумента S и функциональная зависимость n от S выражается формулой:

n = S / π + 2.

Аргумент S может принимать только значения, которые кратны π , (π , 2 π , 3 π и т.д.).

Поясним на еще одном примере :

Сторона квадрата х является функцией его площади S (x = √ S ). Аргумент может принимать любые положительные значения.

Аргумент - это всегда переменная величина , функция, обычно, тоже переменная величина, зависящая от аргумента, но не исключена возможность ее постоянства.

Например:

Расстояние движущейся точки от неподвижной - это функция времени пребывания в пути, она обычно меняется, но при движении точки по окружности расстояние от центра остается постоянным.

При этом, продолжительность движения по окружности не является функцией расстояния от центра.

Таким образом, когда функция является постоянной величиной , то аргумент и функцию нельзя менять местами.

ЛЕКЦИЯ 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ.

1. Понятие функции

Понятие функции, наряду с понятием числа и переменной величины, является одним из главнейших понятий современной математики. В естествознании и технике мы часто встречаемся с зависимостями одних величин от других с так называемыми функциональными зависимостями.

Функциональная зависимость одной величины (y) от другой (x) означает, что каждому значению x соответствует единственное значение y . Величина x при этом называется независимой переменной, а y зависимой переменной, или функцией этой переменной. Также говорят, что x аргумент функции y .

Термин ¾функция¿ впервые был введен в 1692 г. Готфридом Вильгельмом Лейбницем.

1. Площадь S квадрата является функцией длины a его стороны: S = a2 . 2. Объем V шара можно выразить через радиус R шара:

V = 4 3 πR3 .

3. Объем конуса V с данной высотой h зависит от радиуса r его основания:

V = 1 3 πr2 h.

4. Пусть путь z , пройденный свободно падающим телом, зависит от времени t ,

протекшего с момента, когда началось падение. Эта зависимость выражается формулой z = gt 2 2 (g ускорение свободного падения).

Определение 1. Если каждому значению, которое может принять переменная x , по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение переменной y , то говорят, что y есть однозначная функция от x , и обозначают y = f (x) .

Множество всех значений аргумента x , для которых функция y = f (x) определена, называется областью определения этой функции (О.О.Ф.).

Множество всех значений, принимаемых переменной y , называют областью значений функции (О.З.Ф.) функции y = f (x) .

Функция называется четной, если для любого x из области определения выполняется равенство f (−x) = f (x).

Функция называется нечетной, если для любого x из области определения выполняется равенство f (−x) = −f (x).

Функция называется периодической с периодом T > 0, если при любом x из области

Решение. Область определения арксинуса – множество точек из отрезка [−1, 1]. Следовательно, задача сводится к решению неравенства

Итак, f (−x) = −f (x), т. е. функция нечетная.

f (x + 2π) = tg(x + 2π) sin(3x + 2π) + ctg(2x + 2π) =

Tg x sin 3x + ctg 2x = f (x).

Итак, f (x + 2π) = f (x), т. е. функция периодическая с периодом 2π.

2. Способы задания функции

Аналитический способ это задание функции с помощью формул или уравнений.

Например: y = sin x, y = x2 , y2 + x2 = 1 и т. д.

Если уравнение, при помощи которого задается функция, не разрешено относительно y , то функция называется неявной. Когда такое решение возможно, неявная функция может быть приведена к явной форме, т. е. к виду y = f (x) .

Например, уравнение 2x + 3y − 5 = 0 можно рассматривать как функцию, заданную неявно. Решив его относительно y , мы получим ту же функцию, но уже в явном виде:

y = 5 − 2x.

Отметим, что при аналитическом способе задания функции встречаются случаи, когда функция задана не одной, а несколькими формулами, например:

Табличный способ это способ задания функции при помощи таблицы. Примерами такого задания являются таблицы тригонометрических функций, логарифмов и т. д. Табличный способ задания функции широко используется в различного рода экспериментах и наблюдениях. Таблицы просты в обращении, но недостатком этого способа является то, что функция задается не для всех значений аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f (x) называется множество точек (x, y) плоскости XOY , координаты которых связаны соотношением y = f (x) .

Преимуществом графического способа задания функции является его наглядность. Графический способ задания функции используется при работе различных самопишущих приборов. В медицине, например, работа сердца анализируется с помощью кардиографа.

Функции cтепенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические, постоянная (константа) называются основными элементарными функциями.

Графики основных элементарных функций

3. Многозначные функции

Иногда приходится рассматривать ситуацию, когда каждому значению независимой переменной x ставится в соответствие несколько значений y. В этом случае говорят, что

для √ x > 0: каждому положительному соответствуют два действительных числа,

отличающихся между собой знаками, квадраты которых равны x . Что же касается функции Arcsinx , то она приводит в соответствие каждому значению x из отрезка [−1, 1] бесконечное множество значений y , которые могут быть записаны по формуле

y = (−1)k arcsin x + πk, (k = 0, 2, . . .).

Если приходится рассматривать функцию как многозначную, то это необходимо оговаривать особо.

4. Обратная функция

Если уравнение y = f (x) может быть однозначно разрешено относительно x , то говорят, что функция x = g(y) обратная по отношению к y = f (x) . Обозначается x = f −1 (y) . Причем y ≡ f (f−1 (y)).

Иногда придерживаются стандартных обозначений: под x понимают независимую переменную, а под y функцию, т. е. зависимую переменную. В таком случае обратную функцию следует писать в виде y = g(x) .

Например, можно говорить, что функции y = 2x и y = log2 x являются взаимно обратными. Чтобы из графика данной функции y = f (x) получить график обратной ей функции y = g(x) , достаточно первый график симметрично отобразить относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Пример 5. Дана функция y = 1 − 2−x . Найти обратную функцию.

2−x = 1 − y, x =− lg(1 − y) .lg 2

Область определения функции (О.О.Ф.) −∞ < y < 1 .

5. Сложная функция

Пусть переменная y зависит от переменной u , которая в свою очередь зависит от переменной x: y = f (u), u = ϕ(x) . Тогда при изменении x будет меняться u , а потому будет меняться и y . Значит, y является функцией x: y = f (ϕ(x)). Эта функция называется сложной функцией (или функцией от функции), переменная u – промежуточной. Указанную сложную функцию называют также суперпозицией функций f и ϕ .

Пример 6. Дана функция f (x) = arccos(lg(x)) . Найти а) f (10 1 ); б) f (1); в) f (10).

а) f (10 1 ) = arccos(lg(10 1 )) = arccos(−1) = π.

б), в) вычислить самостоятельно.

Всякая функция, которая получается из основных элементарных функций путем конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий, называется элементарной функцией. Например, многочлен степени n элементарная функция.

6. Параметрический способ задания функции

Говорят, что функция задана параметрически, если зависимость y от x задана с помощью параметра t: где t пробегает некоторые числовые значения.

Если построить эти точки на плоскости XOY, можно увидеть, что при непрерывном изменении t мы получим окружность радиуса единица с центром в начале координат. Или можно поступить по другому, исключить параметр t, тогда x2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1.

7. Построение графиков функций

Рассмотрим простейшие преобразования графиков функции.

1. График функции y = f (x + a) получается из графика функции y = f (x) параллельным сдвигом его вдоль оси Ox на |a| единиц масштаба в направлении, противоположном знаку a.

2. График функции y = f (kx) (k >

”сжатием” его к оси Oy в k раз при k > 1 и ”растяжением” от оси Oy в 1/k раз при

k < 1.

3. График функции y = kf (x) (k > 0) получается из графика функции y = f (x)

”растяжением” его от оси Ox в k раз при k > 1 и ”сжатием” к оси Ox в 1/k раз при

k < 1.

4. График функции y = f (x) + b получается из графика функции y = f (x) параллельным сдвигом его вдоль оси Oy на |b| единиц масштаба в направлении, совпадающим со знаком b.

5. График функции y = −f (x) симметричен графику функции y = f (x) относительно оси Ox.

Рассмотрим построение графика функции y = kf (mx + b) + a путем преобразования графика функции y = f (x). Предварительно выполним тождественное преобразование

Теперь последовательно применяя преобразования 1 – 5, строим искомый график функции.

Пример 8. Построить график функции y = 3 sin(2x + 4) преобразованием графика функции y = sin x.

Решение. Выполним тождественное преобразование

y = 3 sin(2x + 4) = 3 sin 2(x + 2).

Будем строить график функции в следующем порядке. 1. Строим график функции y = sin x на сегменте .

2. График функции y = 2 sin x получится сжатием графика функции y = sin x в два раза вдоль оси абцисс.

3. Для построения графика функции y = sin 2(x + 2) надо график функции y = sin 2x перенести влево вдоль оси абцисс на две единицы.

4. График функции y = 3 sin 2(x + 2) получим из графика функции y = sin 2(x + 2) растяжением его вдоль оси ординат в три раза.

I. y = sin x. II. y = sin 2x.

III. y = sin 2(x + 2). IV. y = 3 sin 2(x + 2).

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);
2. табличный способ (с помощью таблицы);
3. описательный способ (с помощью словесного описания);
4. графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1

Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) .

4. Экстремумы

Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max).

Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции.

Х max – точка максимума
У max – максимум

Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min).

Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции.

X min – точка минимума
Y min – минимум

X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x).

Задачи и тесты по теме "Основные свойства функции"

• Свойства функций - Числовые функции 9 класс

  Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1

• Свойства логарифмов - Показательная и логарифмическая функции 11 класс

  Уроков: 2 Заданий: 14 Тестов: 1

• Функция квадратного корня, его свойства и график - Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня 8 класс

  Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1

• Степенные функции, их свойства и графики - Степени и корни. Степенные функции 11 класс

  Уроков: 4 Заданий: 14 Тестов: 1

• Функции - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике

  Заданий: 24

Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.

Примеры.

1. Найти область определения функции.

Решение: область определения функции находится из условия

Определение функции, области задания и множества значений. Определения, связанные с обозначением функции. Определения сложной, числовой, действительной, монотонной и многозначной функции. Определения максимума, минимума, верхней и нижней граней для ограниченных функций.

Определение
Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции (или областью значений ).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Само отображение f называется характеристикой функции .

Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y - это элемент из множества значений функции, а - это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции f называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией : .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и - это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и - это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности - это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений - вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения - это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов - “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция - это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция - это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m ) функции f , на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу - значением 0 :
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей) , если для всех таких что выполняется неравенство:
.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус : . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1) .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2) .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n) ,
где n - целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией . А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией .

Это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции - это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция - это функция.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.