История развития систем счисления.
Современный человек в повседневной жизни окружен огромным количеством самой разнообразной информации, не малая доля которой приходится на числовую информацию. Действительно, мы запоминаем номера телефонов, подсчитываем стоимость покупок, ведем счет школьным урокам и их продолжительности и т.д.. Историки доказали, что и в глубокой древности люди могли записывать числа, производили над ними различные арифметические действия, но записывались числа совершенно по другим принципам, чем мы это делаем сегодня.
Что же такое число? Первоначально понятие числа было «привязано» к предметам, которые пересчитывали. С развитием письменности появляется отвлеченное понятие натурального числа. Необходимость производить измерения, т.е. сравнение с другой величиной того же рода, выбранной в качестве эталона, привело к появлению дробных чисел. Дальнейшее развитие понятия числа было связано непосредственно с развитием математики. Сегодня число это фундаментальное понятие математики и информатики, под которым понимают его величину, а не символьную запись. Условные знаки, применяемые для обозначения чисел, называют цифрами.
Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением.
Системой счисления называют способы записи чисел и правила действий над числами.
Первые упоминания о системах счисления можно отнести к 10 – 11 тысячелетию до н.э.. При раскопках культурных слоев относящихся к этому периоду, археологи обнаружили записи в виде последовательности черточек – палочек. Ученые считают, что таким образом записывались числа и количество палочек, записанных в строку, равно значению числа. Такая система счисления была названа единичной (палочной) . Дальнейшее развитие счета привело к усовершенствованию и развитию систем счисления. За свою историю человечество использовало различные системы счисления и многие свидетельства этому дошли до наших дней. Например, тот факт, что в часу 60 минут и в минуте 60 секунд свидетельствует о том, что когда-то, люди использовали шестидесятеричную систему счисления. Действительно, археологи обнаружили, при раскопках на месте древней Вавилонской цивилизации следы использования такой системы счисления. Двенадцать месяцев в году и двенадцать делений на циферблате часов, свидетельствуют о том, что вероятнее всего, когда-то использовалась и двенадцатеричная система счисления.
В древней Руси была принята так называемая алфавитная система счисления, в которой цифры обозначались буквами кириллицы со специальным знаком, который назывался титло и служил для того, чтобы цифры отличать от букв.
Современная десятичная система счисления возникла в Индии приблизительно в V в. н.э., возникновение этой системы стало возможным после того, как для обозначения отсутствующей величины стали использовать цифру «0».
Позиционные и непозиционные системы счисления.
Системы счисления, в которых числа записывают как последовательность цифр, можно разбить на два класса: позиционные и непозиционные. В непозиционных системах значения цифр не изменяются при изменении их положения в последовательности. В качестве примера непозиционной системы приведем известную всем римскую систему счисления. В римской системе счисления символ Х на любом месте равен 10, но в записи слева от старшего (например, ХС) символ х равен –10, а в сочетании перед младшим (например, XV ) равен +10. В непозиционных системах счисления действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют правил. В этих системах нельзя выразить отрицательные и дробные числа, поэтому непозиционные системы имеют ограниченное применение. В основном их используют для наименования дат, томов, глав и т.д.
Напротив, в позиционных системах счисления количественное значение цифры в числе зависит от ее позиции.
Дадим определения основным, наиболее важным, понятиям позиционных систем счисления, к которым относятся основание, алфавит и базис систем счисления
Основание системы счисления показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении на соседнюю позицию, и какое число различных знаков (цифр) входит в так называемый алфавит системы счисления.
Алфавитом системы счисления называется набор символов (цифр), используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Так алфавиты рассматриваемых в дальнейшем систем счисления следующие:
Двоичная: 0,1.
Восьмеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7.
Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D ,E ,F .
Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры по позиции. Другими словами можно сказать, что базис системы счисления составляют числа, являющиеся последовательными степенями основания системы счисления.
Основанием системы счисления может быть любое натуральное число ≥ 2. Одним из примеров позиционной системы счисления является десятичная система, широко используемая в жизни. В качестве десятичных цифр применяются арабские цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – являющиеся алфавитом десятичной системы счисления. Основание системы счисления равно 10, это говорит о том, что значения цифр стоящих в соседних позициях отличаются в десять раз, а также то, что в алфавите 10 знаков цифр. Базис десятичной системы счисления составляют числа: 1, 10, 100, 1000, 10000 … 10 n , это означает, что цифра стоящая в нулевой позиции несет вклад – единицы, цифра стоящая в первой позиции несет вклад – десятки, цифра стоящая во второй позиции несет вклад – сотни и т.д..
В качестве примера рассмотрим число 5555, записанное в привычной для Вас, системе счисления с основанием равным 10.
5 3 5 2 5 1 5 0 = 5000+500+50+5
Как видно из примера 5 стоящая в 0-й позиции несет вклад равный 5 единицам, 5 стоящая на 1-й позиции несет вклад равный 5 десяткам, 5 стоящая на 2-й позиции несет вклад равный 5 сотням, 5 стоящая на 3-й позиции несет вклад равный 5 тысячам.
В любой позиционной системе счисления с основанием больше 1 число записывается в виде последовательностей цифр, разделенных запятой на две последовательности
Позиции , расположенные левее запятой пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, а справа от запятой пронумерованы подряд слева направо -1, -2, -3 и т. д. Пронумерованные позиции называются разрядами .
Последовательность цифр расположенных слева от запятой называется целой частью числа, а справа от запятой называется дробной частью.
В современных ЭВМ в настоящее время в основном используется позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 16 и 10, хотя были попытки, правда не совсем успешные, использования и других систем счисления (например, троичной).
Следует отметить важную особенность основания системы счисления – в любой позиционной системе счисления основание записывается как 10, но оно имеет различное количественное значение. Например, в двоичной системе счисления 10 это два, в троичной 10 это три, а в десятичной 10 это десять.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
СУРГУТСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (ФИЛИАЛ) ТюмГУ
Тема: «История систем счисления»
Выполнила:
студентка 1 курса БД-154-О
Кутова А. А.
Проверила:
Волкова Т.Г
Сургут 2015
1. История систем счисления
2. Десятичная система счисления
Литература
1. История систем счисления
Система счисления - это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.
Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами
Но что же люди понимают тогда под словом "число"?
Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.
Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.
Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.
Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?
Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.
Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.
Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.
Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.
Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.
Единичная система
Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).
Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.
Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.
Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система
В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.
Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:
Единицы Десятки Сотни
В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи . Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.
Вавилонская шестидесятеричная система
Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.
Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.
Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.
Например: Число 32 записывали так:
Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60 2 , 216000=60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной .
Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.
Пример. Число 92=60+32 записывали так:
а число 444 в этой системе записи чисел имело вид
т.к. 444=7*60+24.
Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший разряд (левый) и младший.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60. число единичный шестидесятеричный
Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда
что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.
Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:
Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.
Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.
Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.
Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).
Римская система
Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.
Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:
1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);
2. разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);
3. сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.
Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).
Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).
Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").
2. Десятичная система счисления
Десятичная сис тема счисления - это всем нам привычная и хорошо известная позиционная система счисления, но мы начнем изучение именно с нее и рассмотрим ее с позиций, которые помогут нам понять другие непривычные нам системы счисления.
Итак, основанием системы является число десять (10), это значит что для изображения чисел используется десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
Давайте просто посчитаем в этой системе, будем считать и записывать числа из имеющихся в нашем распоряжении цифр:
Ноль - 0 ;
Один - 1 ;
Восемь - 8 ;
Девять - 9 ;
А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число десять? Чтобы выкрутится из ситуации, введем новое понятие - "десяток" и скажем, что десять - это один десяток и ноль единиц. А это уже можно и записать - "10".
Итак, Десять - 10 (один десяток, ноль единиц)
Одиннадцать - 11 (один десяток, одна единица)
Двадцать - 20 (два десятка, ноль единиц)
Девяносто девять - 99 (девять десятков, девять единиц)
Сто - 100 (одна сотня, ноль десятков, ноль единиц)
И так всегда, когда нам перестает хватать цифр для отображения следующего числа, мы укрупняем единицы счета (т.е. считаем десятками, сотнями и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.
Рассмотрим число 4329 записанное в десятичной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: четыре тысячи, три сотни, два десятка и девять единиц. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.
4329 = 4 *1000+3 *100+2 *10+9 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.
Но ряд чисел 1000, 100, 10, 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 (основания системы счисления) и поэтому можно записать:
4329 = 4 *10 3 +3 *10 2 +2 *10 1 +9 *10 0
Аналогично для дробного числа (десятичной дроби) например: 0.235 (ноль целых двести тридцать пять тысячных), про него можно сказать, что оно содержит: две десятых доли, три сотых доли и пять тысячных долей. И его значение можно вычислить следующим образом:
0.235 = 2 *0.1 + 3 *0.01 + 5 *0.001
И здесь ряд чисел 0.1 0.01 0.001 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 и мы также можем записать:
0.235 = 2 *10 -1 + 3 *10 -2 + 5 *10 -3
Для смешанного числа 752.159 аналогичным образом можем записать:
752.369 = 7 *10 2 +5 *10 1 +2 *10 0 +3 *10 -1 +6 *10 -2 +9 *10 -3
Теперь, если мы пронумеруем разряды целой части любого числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение любого произвольного десятичного числа может быть вычислено по формуле:
N = d n 10 n +d n-1 10 n-1 +…+d 1 10 1 +d 0 10 0 +d -1 10 -1 +d -2 10 -2 +…+d -(m-1) 10 -(m-1) +d -m 10 -m
Где: n - количество разрядов в целой части числа минус единица;
m - количество разрядов в дробной части числа
d i - цифра стоящая в i -м разряде
Эта формула называется формулой поразрядного разложения десятичного числа, т.е. числа записанного в десятичной системе счисления. Но если в этой формуле число десять заменить на некоторое натуральное число q , то мы получим формулу разложения для числа выраженного в системе счисления с основанием q :
N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m
С помощью последней формулы мы всегда можем получить значение числа записанного в любой позиционной системе счисления.
Вывод
Сегодня мы привыкли пользоваться в повседневной жизни десятичной системой счисления. Десятичными цифрами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.
Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения. Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.
Литература
1. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/system.html
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F
3. http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm
4. Босова Л.Л. Информатика и ИКТ: Учебник для 6 класса. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012
5. http://www.reshinfo.com/desytichnaja_systema.php
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование истории систем счисления. Описание единичной и двоичной систем счисления, древнегреческой, славянской, римской и вавилонской поместной нумерации. Анализ двоичного кодирования в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
контрольная работа , добавлен 04.11.2013
Понятие системы счисления. История развития систем счисления. Понятие натурального числа, порядковые отношения. Особенности десятичной системы счисления. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.
курсовая работа , добавлен 29.04.2017
Совокупность приемов и правил записи и чтения чисел. Определение понятий: система счисления, цифра, число, разряд. Классификация и определение основания систем счисления. Разница между числом и цифрой, позиционной и непозиционной системами счисления.
презентация , добавлен 15.04.2015
Понятие и математическое содержание систем счисления, их разновидности и сферы применения. Отличительные признаки и особенности позиционных и непозиционных, двоичных и десятичных систем счисления. Порядок перевода чисел из одной системы в другую.
презентация , добавлен 10.11.2010
Система счисления, применяемая в современной математике, используемые в ЭВМ. Запись чисел с помощью римских цифр. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления. Перевод дробных и смешанных двоичных чисел. Арифметика в позиционных системах счисления.
реферат , добавлен 09.07.2009
Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще. История цифр. Числа и счисление. Способы запоминания чисел.
реферат , добавлен 13.04.2008
Математическая теория чисел. Понятие систем счисления. Применения двоичной системы счисления. Компьютерная техника и информационные технологии. Алфавитное неравномерное двоичное кодирование. Достоинства и недостатки двоичной системы счисления.
реферат , добавлен 25.12.2014
Определения системы счисления, числа, цифры, алфавита. Типы систем счисления. Плюсы и минусы двоичных кодов. Перевод шестнадцатеричной системы в восьмеричную и разбитие ее на тетрады и триады. Решение задачи Баше методом троичной уравновешенной системы.
презентация , добавлен 20.06.2011
История развития систем счисления. Непозиционная, позиционная и десятичная система счисления. Использование систем счисления в компьютерной технике и информационных технологиях. Двоичное кодирование информации в компьютере. Построение двоичных кодов.
курсовая работа , добавлен 21.06.2010
Сущность двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления, их отличительные черты и взаимосвязь. Пример алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую. Составление таблицы истинности и логической схемы для заданных логических функций.
История записи чисел и систем счисления ведется с появления счета у людей. Люди изображали количество различных предметов с помощью засечек или черточек. Их наносили на поверхности, служившие в то время «бумагой»: глиняные дощечки, древесную кору или камни. Первые сведения о таких записях археологи относят к периоду палеолита, то есть к 10-11 тысячелетию до нашей эры.
Такой способ записи получил название единичной системы счисления. Все числа обозначались строкой черточек (или любых других знаков, например, точек): чем больше знаков в строке – тем больше число. Эта система счета была не удобна, ведь, при больших числах, было легко ошибиться в количестве палочек. Каждый раз их приходилось пересчитывать.
Для упрощения подсчета предметы стали объединять в небольшие группы по 3, 5 и 10 единиц. При этом каждой группе соответствовал свой знак-обозначение на письме. Поскольку самым удобным счетом всегда был счет на пальцах, то первыми свое обозначение получили объединения предметов из 10 и 5 единиц. Именно это положило начало удобной системе счисления.
Система, которой пользовались древние греки, называлась аттической. Первые четыре числа записывались черточками. Для числа пять существовал свой знак – «пи», как и для числа десять – первая буква слова «дека». Сотня, тысяча и десять тысяч на письме обозначались как H, X, M.
На смену этой системе в третьем веке до нашей эры пришла ионийская система. Числа от одного до девяти в ней обозначались буквами греческого алфавита: с первой по девятую. Буквами с десятую по восемнадцатую обозначались десятки – от десяти до девяноста. И последними девятью записывались сотни – от ста до девятисот.
С помощью алфавита также записывали числа восточные и южные славяне. Часть из них пользовалась славянским алфавитом, наделяя каждую букву числовым значением. Другая – только теми буквами, которые встречаются в греческом алфавите. Отличать буквы от цифр позволял специальный значок, который ставился над числом – «титло». Такая нумерация применялась в России до XVIII века.
Начало правления Петра I принесло в страну арабскую нумерацию, которой пользуются и сегодня. Однако в богослужебных книгах до сих пор используют славянскую систему записи.
Каждый из нас хотя бы немного знаком с «римской системой», которой обозначаются века, юбилейные даты, названия конференций, строфы стихов и главы книг. Именно ей пользовались когда-то Древние римляне. Исследователи считают, что она была заимствована жителями Рима у этрусков. Все целые числа в этой системе до 5000 записывают с помощью цифр I, V, X. Если впереди стоит большая цифра, а за ней – меньшая, они складываются. Если наоборот – меньшая перед большей – вычитаются. Одна и та же цифра ставится подряд не более, чем три раза. Любое арифметическое действие в такой записи чисел становится сложной задачей. Однако до XIII века в Италии и до XVI века в странах Западной Европы пользовались именно ей.
Первую поместную или позиционную нумерацию «создали» в Вавилоне в 4000 годах до нашей эры. Ее суть в том, что одна цифра может обозначать разные числа, в зависимости от места, где стоит. Яркий пример – современная десятичная система. В зависимости от позиции в числе цифра может обозначать и десяток, и единицу, и сотню.
Вавилонская система была шестидесятеричной, поскольку за основу изначально взяли не 10, а 60. Все числа меньше записывались двумя знаками – десятков и единиц. Сами числа записывались на глиняных табличках треугольными палочками, поэтому имели вид клина. Знаки повторяли в зависимости от числа.
Шестидесятеричная система не распространилась дальше Древнего Вавилона, но шестидесятеричные дроби использовались в странах Средней Азии, Западной Европы, Среднего Востока и Северной Африки. До появления десятичных дробей они играли важную роль в астрономии и других науках. Сегодня об этой системе нам напоминает деление минуты на 60 секунд, а часа – на 60 минут, угла на 360 градусов.
Все системы счисления условно можно разделить на позиционные и непозиционные. Те знаки, которые мы в них используем для записи чисел, называют цифрами.
Положение цифры в записанном числе в непозиционных системах не влияют на величину, которая ей обозначается. Это, к примеру, системы, использующие буквы для записи цифр – славянская и римская.
Положение цифры в позиционных системах определяет значение величины, которая ей записана. При этом позиция – место, которое занимает эта цифра в числе. А количество цифр, которые используются для записи, называются основанием системы. Примерами такой системы – вавилонская шестидесятеричная и современная десятичная.
Позиционные системы используют небольшое число знаков, что позволяет просто записывать большие числа. Именно поэтому она более распространена сегодня в мире. Кроме того, она обеспечивает удобство и простоту при выполнении арифметических действий над числами.
Самое большое распространение в наше время получила индо-арабская десятичная система. В ней впервые появился ноль при записи чисел. Такое название она носит, поскольку использует десять цифр.
Легче всего понять различия между позиционной системой и непозиционной системой, сравнив два числа, записанные в одной и другой. В первой сравниваются цифры, стоящие в одном и том же месте, слева на право. Чем больше число, тем больше сама величина. Например, число 245 будет больше числа 123, потому что 2 в этой позиции больше 1. Для непозиционной системы такой закон не действует. Если мы будем сравнивать римские IX и VI, то первое будет больше второго, хотя I в одинаковой позиции меньше V.
Двоичная система счисления с основанием 2 представляет положительную позиционную систему счисления с целыми числами. Она позволяет записать все числовые значения с помощью двух знаков. Чаще всего используют цифры 0 и 1.
Основанием для восьмеричной положительной позиционной системы служит 8. Любое число в ней можно записать с помощью цифр от 0 до 7. Эту систему используют цифровые и компьютерные устройства. Именно она использовалась на заре компьютерной эры, однако сейчас уступила место более продвинутой – шестнадцатеричной.
Самая узнаваемая в мире, десятичная система представляет собой позиционную систему с основанием 10. Для обозначения чисел использует арабские цифры от 0 до 9.
Одна из самых популярных систем древности – двенадцатеричная – до сих пор используется в некоторых областях науки. Она же является основной у некоторых народов Тибета и Нигерии, но напоминает о себе и в других культурах. Например, в нашем языке сохранилось слово «дюжина», а в английском языке «dozen», которые отсылают нас к числу двенадцать. Основанием ее является 12. В качестве знаков используются буквы A и B и цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Шестнадцатеричная система счисления – представляет позиционную положительную систему с основанием в 16 знаков. В качестве ее цифр используют буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F для обозначения чисел от десяти до пятнадцати и цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Шестнадцатеричная система счисления используется в современных компьютерных программах, для кодировки шрифтов. Шестнадцатеричным числом во многих современных компьютерных графических программ кодируют цвета. Также шестнадцатеричным кодом шифруют цвет web-дизайнеры. Например, код #00ff00 обозначает зеленый цвет. Две буквы f в середине этого кода соответствуют числу 256 в десятичной системе счисления.
При работе с компьютерами чаще всего используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. И человек, и компьютер отлично справляются при работе в этих системах. Но отдельные случаи заставляют обратиться к менее популярным системам счисления. Такими системами являются семеричная, троичная и система счисления с основанием 32. Все арифметические действия в них не отличаются от привычных.
Первобытному человеку считать почти не приходилось. "Один", "два" и "много" - вот все его числа. Современным людям приходится иметь дело с числами буквально на каждом шагу. Нужно уметь правильно назвать и записать любое число, как бы велико оно ни было. Если бы каждое число называлось особым именем и обозначалось в письме особым знаком, то запомнить все эти слова и знаки было бы никому не под силу. Как же справиться с этой задачей? Нас выручает хорошая система обозначений.
Совокупность немногих названий и знаков, позволяющих записать любое число и дать ему имя, называется системой счисления или нумерацией.
Практически на всем земном шаре алфавитом в языке чисел служат 10 цифр, от 0 до 9. Девять из них используются для обозначения первых девяти натуральных чисел, а десятый - нуль - не обозначает никакого числа, он представляет собой так называемую "позиционную пробку". Этот язык называется десятичной системой счисления.
Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой. С точки зрения чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.
В последнее время с десятичной системой серьезно конкурируют двоичная и, отчасти, троичная системы, которыми "предпочитают" пользоваться современные вычислительные машины.
Как люди считали и как называли числа до изобретения письменности, никто точно не знает. Об этом можно только догадываться. Несомненно, одно: человечество овладевало счетом очень медленно. Однако ко времени изобретения письменности люди уже умели неплохо считать.
Четыре тысячи лет назад наиболее развитые народы (египтяне, халдеи) умели писать и пользоваться не только целыми, но и простейшими дробными числами. Более того, тогда уже существовали школы, в которых обучали искусству счета.
В первобытном письме букв не было. Каждая вещь, каждое действие изображалось картинкой. Постепенно картинки упрощались. Наряду с изображением предметов и действий появились особые фигуры, обозначающие различные свойства вещей, а так же значки для слов, соответствующих нашим предлогам и союзам.
Так возникла письменность, называемая иероглифами; при иероглифической записи каждому значку соответствует не звук, как у нас, а целое слово.
Специальных знаков (цифр) для записи чисел тогда не было. Но словам "один", "два", ... "семнадцать" и так далее соответствовали определенные иероглифы. Их было не так уж много, так как больших чисел люди тогда не знали.
В некоторых странах (например, Китае и Японии) иероглифическое письмо сохранилось и до наших дней. Вот, для примера (см. рис. 2), несколько иероглифов:
Рис. 2
У славян порядок цифр при записи числа был такой же, как в его устном названии. Говорят, например, "пятнадцать" (по-славянски - "пять на десять"), называя вперед цифру единиц, потом десяток. Славяне так и писали, то есть впереди писали пятерку, а за нею десяток. Наоборот, в числе "двадцать три" сначала называют десятки, потом единицы, у славян сначала три потом двадцать это отображалось в письме.
Чтобы отличить числа от букв, над ними ставили особый значок - титло. Оно ставилось только над одной из цифр. Место цифры, ее положение в записи числа не имело значения.
С помощью этих знаков легко записывались большие числа. Знак титло обозначал тысячи. С помощью повторения этого знака можно было записывать очень большие числа
Числа до тысячи в Древней Руси назывались почти так же, как сейчас. Существовала небольшая разница в произношении (например, "один" называли "един" и тому подобное). Десять тысяч называлось "тьма", и число это считалось столь огромным, что тем же словом обозначалось всякое, не поддающееся учету множество.
В более позднее время (XVI - XVII вв.) появилась своеобразная система наименования чисел, так называемое "великое славянское число", в этой системе числа до 999999 назывались почти так же, как теперь. Слово "тьма" обозначает уже миллион. Кроме того, появляются следующие названия: "тьма тем", или "легион" (то есть миллион миллионов, или триллион, равен 10); "легион легионов", или "модр" (септиллион, 1024); наконец, "модр модров", или "ворон" (то есть 1048).
Позиционная нумерация возникла, по-видимому, в древнем Вавилоне (примерно четыре тысячи лет назад). О ней будет сказано чуть позднее. В Индии она приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля. У индусов эту систему чисел заимствовали арабы, ставшие в VIII - IX вв. одним из самых культурных народов мира. От арабов переняли ее европейцы (отсюда название - "арабские цифры").
Особый интерес представляет вавилонская математика. Вавилонская нумерация просуществовала полторы тысячи лет (с XVIII до III в. до нашей эры) и пользовалась широким распространением на всем Ближнем Востоке. Она оказала влияние на китайскую, индийскую и греческую математику.
Вавилоняне писали палочками на пластинках из мягкой глины и обжигали потом свои "рукописи". Получались прочные кирпичные "документы", частично уцелевшие до нашего времени, их нередко находят при раскопках в Месопотамии (теперь Ирак). Поэтому изучить вавилонскую историю и математику в частности удалось довольно хорошо.
На рубеже XIX - XVIII вв. до нашей эры произошло слияние двух народов: сумерийцев и аккадян. Каждый из этих народов имели достаточно развитую торговлю, весовые и денежные единицы, однако разработанной нумерации ни один из этих народов не имел.
У аккадян основная единица - "мекель" - была примерно в 60 раз меньше единицы у сумерийцев - "мины" (примерно пол килограмма). Денежной единицей служила мина серебра.
После слияния этих народов "имели хождение" обе системы единиц: минами и мекелями пользовались так, как теперь пользуются килограммами и граммами (рублями и копейками) с той лишь разницей, что более крупная единица равнялась не 100, а 60 мелким единицам. Со временем появилась более крупная единица - "талант": 1 талант = 60 мин, 1 мина = 60 мекелей.
Как же вавилоняне записывали числа? Они писали палочками, вдавливая их в глину, поэтому основными графическими элементами были у них клинья. Первый обозначал единицы, второй - десятки, смотри рис. 3.
Рис. 3
Эти знаки очень наглядны, количество клинышков бросается в глаза, так что пересчитывать их не приходится. Но клинописное письмо очень неудобно для оценки величины промежутков между числами, а необходимость переписывать все от руки приводила к частым опискам. Знак разделения был необходим, и он появился. Начиная с некоторого времени, на вавилонских кирпичиках появляется значок ^, соответствующий нашему нулю.
Однако, введя "позиционную пробку" в середине чисел, вавилоняне так и не додумались ставить ее на конце. И до самого падения вавилонской культуры числа 1, 60, 3000 записывались одинаково.
Только индусы, заимствовавшие у них позиционную нумерацию, научились правильно использовать знак нуля, и, введя вместо 60 основание 10, дали счислению его современную форму.
Три тысячи лет назад индусы уже пользовались современной нумерацией, хотя в памятниках того времени и не упоминаются числа, большие 100000. В более поздних источниках встречаются значительно большие числа - до ста квадриллионов (1017). В одной из сравнительно молодых легенд о Будде говорится, что он знал названия чисел до 1054. Впрочем, индусы, по - видимому, не представляли себе бесконечности натурального ряда, они полагали, что существует какое-то наибольшее число, известное только богам.
Доказательство бесконечности числового ряда - заслуга древнегреческих ученых.
Древние системы счисления
отличаются большим разнообразием, поскольку привычный нам способ записи чисел с помощью десяти знаков появился далеко не сразу.
Прежде всего надо отметить, что существовали две основные системы счисления - пятеричная и привычная нам десятеричная. Кроме них, существовала так же 12-ричная, которая в Англии вплоть до 19 века вообще главенствовала. Из Древнего Вавилона пришла к нам и 60-ричная система счисления, которая применяется до сих пор при измерении угловых величин - круг, состоящий из 360 градусов делится без остатка на многие удобные цифры. Стоит отметить, что в древние системы счисления
ряда народов прослеживаются остатки более древней пятеричной системы - у древних римлян и майя например.
Разнообразие в на самом деле небольшое - в основном десятичная или пятерично-десятичная. Но, вот когда дело доходило до записи на бумаге или камне, то тут, как говорится, каждый был сам себе голова. Академий наук тогда не было, министерств тоже, о стандартах школьного образования тем более никто не слыхивал, китайцы знали о достижениях греков мягко говоря маловато, и наоборот. Поэтому, каждый изобретал свой способ записи.
Пожалуй самым древним обозначением числа можно считать вертикальную палочку. Почти у всех древних народов она естественным образом изображала единицу. Дальше шли соответственно две, три, реже четыре палочки. Дальше в основном вводили новые знаки по достижении какого-то числа, при котором записывать большое числа палочек было просто неудобно.
Инки в Южной Америке придумали вообще уникальную сисему счисления - типу - числа обозначались узелками на шнурках! Различалась форма узелков, цвет шнурков, их расположение на шнурке. Система была довольно сложной, требовала специального обучения, но она вполне удовлетворяла инков, позволяя вести даже двойной счёт в бухгалтерии!
В Древнем Египте бытовала десятичная система счисления и существовало несколько систем обозначения чисел. Иероглифическая форма записи, когда для всех степеней десяти, включая единицу, был свой знак. Подобно другим системама счисления, любое число можно было обозначить сложением числовых значений этих знаков. Это "парадная", довольно громоздкая форма записи, поэтому существовала жреческая (иератическая) система счисления, в которой для единиц, десятков и т.д. были отдельные знаки. Складывать в такой записи тоже приходилось, но надпись была заметно короче. Позднее возникло ещё более простое демотическое письмо. Пока египетские системы счисления в моём не сделаны, по причине затруднений с кодировками и шрифтами для древнеегипетских надписей.
Настоящей переворотом стало открытие полноценного понятия нуля индийскими математиками. Благодаря этому появилась привычная нам десятичная ПОЗИЦИОННАЯ система счисления, рассказывать о которой нет особого смысла. Во многих странах существуют свои обозначения для чисел, но на поверку - все они отличаются друг от друга только внешним видом знаков(цифр) и не более того.
Я постарался не только собрать все эти системы счисления Древнего Мира и разных народов воедино, но и сделать удобным для использования. В итоге получилась программа "Титло" - переводчик чисел .
Ещё по этой теме:
