Симметричное случайное блуждание. Эксперимент: Что гипотеза случайного блуждания говорит о прогнозировании финансовых рынков

Другие разделы

Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое: xpiyrovov - треугольник, цетресо - мера. Иными словами, тригонометрия - наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад.

Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (1в. н.э.), хотя и не приобрели специального названия.

В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными. В IV-V вв. появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты (476 - ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок он назвал ардхаджива .

Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX в. слово джива (или джиба) было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XII в. это слово было заменено латинским синус (sinus - изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус - это сокращение латинского выражения complementy sinus, т. е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cos а = sin (90° - а)).

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком Абул-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). 

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов - это касательная к единичной окружности).

Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера и известного французского ученого Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Я. Бернулли, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin х, например, - это угол (а можно сказать, и дуга), синус которого равен х.

Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии . Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т. д.).

Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере.

Во всяком случае в геометрической форме многие формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками. (Правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVII в.- их вывел английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А первый рисунок синусоиды появился в 1634 г.)

Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.

Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Л . Эйлер (1707-1783), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал многие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым разным областям математики. (Несмотря на то что в 1776 г. Эйлер потерял зрение, он до последних дней продолжал диктовать все новые и новые работы.)

После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Область применения тригонометрии охватывает самые разные сферы математики, некоторые разделы естествознания и техники.

Тригонометрия имеет несколько разновидностей:

Сферическая тригонометрия занимается изучением сферических треугольников.


Прямолинейная или плоская тригонометрия изучает обычнее треугольники.

Значительно развили тригонометрию древнегреческие и эллинистические ученые. Однако в работах Евклида и Архимеда тригонометрия представлена в геометрическом виде. Теоремы о длине хорд применяются в законах синусов. А теорема Архимеда для деления хорд соответствует формулам для синусов суммы и разности углов.

В настоящее время математики используют новую запись известных теорем, например, sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Предположительно первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом Никейским , которого по праву считают «отцом тригонометрии». Ему принадлежит заслуга в создании сводной таблицы величин дуг и хорд для серии углов. Более того именно Гиппарх Никейский впервые стал использовать 360° окружности.

Клавдий Птолемей значительно развил и расширил учение Гиппарха. Теорема Птолемея гласит: сумма произведений противоположных сторон циклического четырехугольника равна произведению диагоналей. Следствием теоремы Птолемея стало понимание эквивалентности четырех формул суммы и разности для синуса и косинуса. Кроме того, Птолемей вывел формулу половинного угла. Все свои результаты Птолемей использовал при составлении тригонометрических таблиц. К сожалению, ни одной подлинной тригонометрической таблицы Гиппарха и Птолемея не сохранилось до наших дней.

Тригонометрические вычисления нашли свое применение почти во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
С помощью тригонометрии (техника триангуляции) можно измерять расстояния между звездами, между ориентирами в географии, производить контроль над системами навигации спутников.

Тригонометрия успешно применяется в технике навигации, теории музыки, акустике, оптике, при анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятности, статистике, биологии и медицине, химии и теории чисел (криптографии), сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, топографии и геодезии, архитектуре и фонетике, машиностроении и компьютерной график е .

ТРИГОНОМЕТРИЯ –(от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Термин «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.

В тригонометрии выделяют три вида соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через ее центр. Тригонометрия началась именно с наиболее сложной, сферической части. Она возникла прежде всего из практических нужд. Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звездным небом с незапамятных времен вели и астрологи.

Естественно, все измерения, связанные с расположением светил на небосводе, – измерения косвенные. Прямые могли быть проведены только на поверхности Земли, но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то пунктами и тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Аналогичным образом вычисляли и размеры острова в море. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие. Этим и занимается тригонометрия. А поскольку звезды и планеты представлялись древним точками на небесной сфере, то сначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Ее считали разделом астрономии.

А начиналось все очень давно. Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах, потому что у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления .

Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида (конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников. Такие таблицы нужны потому, что значения тригонометрических функций нельзя вычислить по аргументам с помощью арифметических операций. Тригонометрические функции приходилось рассчитывать заранее и хранить в виде таблиц. Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд, отвечающих всем углам от 0 до 180°, кратным 7,5°. По существу, это таблица синусов. Труды Гиппарха до нас не дошли, но многие сведения из них включены в Альмагест (II в.) – знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика Клавдия Птолемея (ум. ок.160 н. э.). Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге. В Альмагесте автор приводит таблицу длин хорд окружности радиуса в 60 единиц, вычисленных с шагом 0,5° с точностью до 1/3600 единицы, и объясняет, как эта таблица составлялась. Труд Птолемея несколько веков служил введением в тригонометрию для астрономов.

Чтобы понять, как ученые древности составляли тригонометрические таблицы, надо познакомиться с методом Птолемея. Метод основан на теореме – произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Пусть ABCD – вписанный четырехугольник, АD – диаметр окружности, а точка O – ее центр (рис. 1). Если известно, как вычислять хорды, стягивающие углы DOC = a и DОВ = b, т. е. сторону СD и диагональ B, то, по теореме Пифагора , из прямоугольных треугольников АDВ и АDС можно найти АВ и АС, а потом, по теореме Птолемея, – BC = (АС ·ВD – АВ ·СD ) /АD , т.е. хорду, стягивающую угол ВОС = b – a. Некоторые хорды, например стороны квадрата, правильных шестиугольника и восьмиугольника, отвечающие углам 90, 60 и 45°, легко определить. Известна также сторона правильного пятиугольника, которая стягивает дугу в 72°. Приведенное выше правило позволяет вычислять хорды для разностей этих углов, например для 12° = 72° – 60°. Кроме того, можно находить хорды половинных углов, однако этого недостаточно, чтобы рассчитать, чему равна хорда дуги в 1°, – хотя бы потому, что все названные углы кратны 3°. Для хорды 1° Птолемей нашел оценку, показав, что она больше 2/3 хорды (3/2)° и меньше 4/3 хорды (3/4)° – двух чисел, совпадающих с достаточной для его таблиц точностью.

Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы в сочинениях 4–5 вв. перешли к полухордам двойной дуги, т.е. в точности к линиям синуса (рис. 2). Они пользовались и линиями косинуса – вернее, не его самого, а «обращенного» синуса, получившего позднее в Европе название «синус-верзус», сейчас эта функция, равная 1 – cos a, уже не употребляется. Впоследствии тот же подход привел к определению тригонометрических функций через отношения сторон прямоугольного треугольника.

За единицу измерения отрезков MP , OP , PA принималась дуговая минута. Так, линия синуса дуги AB = 90° есть OB – радиус окружности; дуга AL , равная радиусу, содержит (округленно) 57°18" = 3438".

Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4–5 веке н.э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45" (т.е. через 1/24 часть дуги квадранта).

Термины «синус» и «косинус» пришли от индийцев, не обошлось и без любопытного недоразумения. Полухорду индийцы называли «ардхаджива» (в переводе с санскрита – «половина тетивы лука»), а потом сократили это слово до «джива». Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как «джиба», а затем оно превратилось в «джайб», что на арабском языке означает «выпуклость», «пазуха». Наконец, в 7 в. «джайб» буквально перевели на латынь словом «sinus», которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское «котиджива» – синус остатка (до 90°), а на латинском – sinus complementi, т.е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова «косинус». Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и «секущая») введены в 1583 немецким ученым Финком.

Большой вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые, например, Аль-Баттани (ок. 900 н.э.). В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа (940–997), присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся и в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает и основные соотношения между этими линиями.

Итак, к концу 10 в. ученые исламского мира уже оперировали, наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического треугольника. Арабские математики составили точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в 1" и точностью до 1/700 000 000. Очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы ни находился мусульманин.

Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал Трактат о полном четырехстороннике астронома Насир-эд-Дин из Туса (1201–1274), известного так же под именем ат-Туси. Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.

В 12 в. был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией.

Трактат Насир-эд-Дина произвел большое впечатление на немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436–1476). Современники больше знали его под именем Региомонтана (так переводится на латинский название его родного города Кенигсберга, ныне – Калининграда). Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятиричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами, а не шестидесятиричными дробями. До введения десятичных дробей оставался только один шаг, но он потребовал более 100 лет. Труд Региомонтана О треугольниках всех родов пять книг сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение Насир-эд-Дина в науке мусульманских стран.

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514–1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в1596 его учеником Отто. Углы шли через 10"", а радиус делился на 1 000 000 000 000 000 частей, так что синусы имели 15 верных цифр.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник (1473–1543), Тихо Браге (1546–1601) и Иоганн Кеплер (1571–1630). Франсуа Виет (1540–1603) дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон (1643–1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе. Леонард Эйлер (1707–1783) ввел и само понятие функции, и принятую в наши дни символику. Величины sin x , cos x и т.д. он рассматривал как функции числа x – радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу x всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он также обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента, что позволило превратить многочисленные и зачастую весьма замысловатые тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

К концу 18 в. тригонометрия как наука уже сложилась. Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике – везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника.

Решение любых треугольников, в конечном счете, сводится к решению прямоугольных треугольников (т.е. таких, у которых один из углов – прямой). Поскольку все прямоугольные треугольники с заданным острым углом подобны друг другу, отношения их соответственных сторон одинаковы. Например, в прямоугольном треугольнике ABC отношение двух его сторон, например, катета а к гипотенузе с , зависит от величины одного из острых углов, например А . Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. Всего таких отношений в треугольнике шесть, и им отвечают шесть тригонометрических функций (обозначения сторон и углов треугольника на рис. 3).

Так как А + В = 90°, то

sin A = cos B = cos (90° – A ),

A = ctg B = ctg (90° – A ).

Из определений вытекает несколько равенств, связывающих тригонометрические функции одного и того же угла между собой:

С учетом теоремы Пифагора a 2 + b 2 = c 2 можно выразить все шесть функций через какую-нибудь одну. Например, синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством

sin 2 A + cos 2 A = 1.

Некоторые соотношения между функциями:

Эти формулы справедливы и для тригонометрических функций любого угла, но ими надо пользоваться осторожно, поскольку правые и левые части могут иметь разные области определения.

Есть только два прямоугольных треугольника, у которых и углы «хорошие» (выражаются целым или рациональным числом градусов), и хотя бы одно из отношений сторон рационально. Это равнобедренный треугольник (с углами 45, 45 и 90°) и половина равностороннего треугольника (с углами 30, 60, 90°) – как раз те два случая, когда значения тригонометрических функций удается вычислить прямо по определению. Эти значения приведены в таблице

Словарь Ушакова

Тригонометрия

тригономе трия , тригонометрии, мн. нет, жен. (от греч. trigonos - треугольник и metreo - мерю) (мат. ). Отдел геометрии о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Энциклопедический словарь

Тригонометрия

(от греч. trigonon - треугольник и...метрия), раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

Словарь Ожегова

ТРИГОНОМЕ ТРИЯ, и, ж. Раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольника.

| прил. тригонометрический, ая, ое.

Словарь Ефремовой

Тригонометрия

ж.
Раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их применение к
решению задач.

Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Тригонометрия

Соотношения между сторонами и углами треугольников (см.) выражаются при помощи особого рода функций, назыв. тригонометрическими. Этим функциям даны особые названия: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.

Предположим, что, приняв точку О за центр, радиусом ОА опишем дугу AB. Точка А наз. началом дуги AB, а точка В - концом дуги AB. Представим себе угол АОВ, вершина которого находится в точке О, а стороны проходят через точки А и В. При изменении радиуса ОА дуга AB, ограниченная сторонами данного угла, меняется, но отношение AB/OA остается неизменным. Это отношение служит мерою данного угла. Так как равные углы можно отложить по разные стороны прямой ОА, то, для того, чтобы отличить один угол от другого, согласились один из углов выражать числом положительным, а другой числом отрицательным. Если дуги AB и AB", описанные радиусом ОА равны, то и угол АОВ равен углу АОВ". Если напр. AB/OA = 1/3 , то согласимся говорить, что угол АОВ равен 1/3 и что угол АОВ" равен ( - 1/3) . Таким образом всякому отвлеченному числу (положительному или отрицательному) соответствует вполне определенный угол. Если мы из конца дуги В опустим перпендикуляры ВР и BQ на прямую ОА и на прямую ОС, перпендикулярную к ОА , то получим отрезки ОР и OQ (черт. 2), которые назыв. проекциями 0В на ОА и на ОС. Предположим, что угол АОВ не меняется, а изменяется радиус ОА ; в таком случае отношения ОР/OA и OQ/OA остаются неизменными.

Здесь возможны следующие частные случаи. Проекция 0В на О А может быть направлена в ту же сторону, как и отрезок ОА или же в сторону противоположную (черт. 3).

Точно так же проекция 0В на ОС может иметь направление ОС или направление противоположное (черт. 4).

Направление ОС выбрано так, чтобы прямой

угол А ОС был положительный. Если угол АОВ равен α , то синусом α (Sin α) назыв. отношение OQ/OA в случае, если OQ имеет одинаковое направление с ОС. Если же OQ направлено противоположно ОС, то

Sin α = - OQ/OA

Отношение OP/OA назыв. косинусом α, (Cos α) в случае, если ОР одинаково направлено с OA. Если же ОР имеет противоположное направление с ОА, то

Cos α = - OP/OA

В учебниках Т. можно найти доказательство следующих формул:

Sin ( - α) = - Sin α, Cos ( - α) = Cos α,

Sin (π /2 - α) = Cos α, Cos (π /2 - α) = Sin α,

Sin (π - α) = Sin α, Cos (π - α) = -Cos α,

Sin (π + α) = - Sin α, Cos (π + a) = -Cos α,

Sin (2 π - α) = - Sin α, Cos (2 π - α) = Cos α,

Sin (2 π + α) = Sin α, Cos (2 π + α) -Cos α.

При помощи этих формул вычисление Sinα и Cosα приводится к случаю, когда α число положительное, не превосходящее π /4

Из формул

Sin (α + β) = Sin α Cosß + Cos α Sinß,

Cos (α + ß) = Cos α Cosß - Sin α Sinß

Sina + Sinb = 2Sin[(a + b)/2] Cos[(a - b)/2],

Sina - Sinb = 2Sin[(a - b)/2] Cos[(a + b)/2],

Cosa + Cosb = 2Cos[(a + b)/2] Cos[(a - b)/2],

Cosa - Cosb = 2Sin[(a + b)/2] Sin[(a - b)/2].

Функции Sin2 α и Cos2 α выражаются через Sin α и Cos α следующим образом:

Sin2 α = 2Sin α Cos α,

Cos2 α = Cos 2 α - Sin 2 α.

Вследствие соотношения

Cos 2 α + Sin 2 α = 1

последняя формула принимает следующие виды;

Cos2a = 1 - 2Sin 2 α или Cos2a = SCos 2 α - 1.

Здесь для сокращения написано Sin 2 α и Cos 2 a вместо (Sin α) 2 и (Cos α) 2 . Тригонометри-ческие функции тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec) и косеканс (cosec) определяются следующим образом:

tg α = Sin α /Cos α, ctg α = Cos α /Sin α,

sec α = 1/Cos α, cosec α = 1/Sin α

Отметим некоторые свойства тангенса.

tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 - tg α tg β)

tg2 α = (2tg α)/(1 - tg 2 α)

tg α /2 = Sin α /(1 + Cos α) = (1 - Cos α)/Sin α

Функции обратные тригонометрическим наз. круговыми: арксинус (arc Sin), арккосинус (arc Cos), арктангенс (arc tg), арккотангенс (arc ctg), арксеканс (arc sec) и арккосеканс (arc cosec). Если напр. tg α = a, то α = arc tga. Так как данному числу a соответствует множество различных α , то для большей определенности согласились под arc tga понимать число, лежащее в промежутке (- π /2, π /2 ). В этом промежутке тангенс может иметь любое значение. Подобным же образом предполагается, что числа arc Sina, arc ctga и arc coseca лежат между - π /2 и π /2, а числа arc Cosa и arc seca между О и π . Тригонометрические функции имеют очень важное значение: они встречаются в очень многих вопросах анализа и геометрии. Так как вычисления облегчаются при помощи логарифмов, то в таблицах помещаются не самые тригонометрические функции, но их логарифмы (см.). Углы в таблицах выражены не числами, а градусами. Если данный угол равен α , то он содержит 180 α / π градусов; 60-ая часть градуса наз. минутой, а 60-ая часть минуты - секундой. Тригонометрические таблицы вычисляются при помощи рядов (см.).

Соотношения между сторонами и углами прямолинейного треугольника (см.) выражаются следующими формулами. Если обозначим углы треугольника через A, В и С, а противолежащие им стороны через a, b и с, то получим

А + B + С = π,

SinA/a = SmB/b = SinC/c

a 2 = b 2 + с 2 - 2bс.CosA,

a = b.CosC + c.CosB,

tg[(Α - Β)/2] = [(a - b)/(a + b)]Ctg(С/2)

Если периметр треугольника, т. е. а + b + c обозначим для краткости через 2р, то получим

В этих формулах корень квадратный имеет значение положительное. Если s обозначает площадь треугольника, то s = 1/2(ab).Sinc или s = √.

Если R радиус круга, описанного около треугольника, а r - радиус круга вписанного, то

R = a/(2SinA) = (abc)/(4s) и r = s/p.

Из перечисленных формул можно вывести другие при помощи перестановки букв. Напр., из формулы

а 2 = b 2 + с 2 - 2bс.CosA

b 2 = а 2 + с 2 - 2ас. CosB.

При помощи указанных формул по данным частям треугольника вычисляются остальные его части. Подобная задача, называемая решением треугольников, встречается во многих практических вопросах: при геодезических съемках, при определении высот, при нахождении расстояния между неприступными точками и т. д.

Переходим теперь к треугольникам сферическим. Решение этих треугольников составляет предмет сферической тригонометрии. Предположим, что на поверхности шара радиуса R начерчен треугольник, вершины которого суть A, В и С. Соединив центр шара О с точками A, В и С, получим трехгранный угол, содержащий три плоских угла и три двугранных угла. Величины двугранных углов, ребра которых суть ОА, ОВ и ОС, обозначим через А, В и С, а величины противоположных им плоских углов через а, b и с. Будем предполагать, что шесть чисел А, В, С, а, b, с выражены в градусах, и что ни одно из них не превосходит 180°. Между этими числами имеют место следующие основные соотношения:

Cosa = Cosb.Cosс + Sinb. Sinс. CosА,

SinA/Sina = SinB/Sinb = SinC/Sinc

Cosa.Sinb - Sina.Cosb.CosC = Sinc.CosA,

Cosa.SinB - Cosb.CosС.SinА = СоsA.Sin С,

Ctga. Sinb - CtgA.SinC = Cosb.CosC,

CosA = - CosB.CosC + SinB.SinC.Cosa.

Если a + b + c = 2p, то

Сумма углов сферического треугольника содержит более 180°. Число A + В + С - 180° наз. сферическими избытком данного треугольника и обозначается буквою ε . Для определения числа градусов, содержащихся в одной из сторон сферического треугольника, углы которого даны, служат формулы

Площадь сферического треугольника равна (π /180) ε.R 2 , где R радиус шара.

Формула Люилье (l"Huillier) дает возможность вычислить сферический избыток по сторонам треугольника.

Укажем еще на формулы Деламбра:

Sin[(A + B)/2]:Cos = Cos[(a - b)/2]:Cos

Sin[(A - B)/2]:Cos = Sin[(a - b)/2]:Sin

Cos[(A + B)/2]:Sin = Cos[(a + b)/2]:Cos

Cos[(A - B)/2]:Sin = Sin[(a + b)/2]:Sin

и на формулы Непера:

tg[(A + B)/2] = (ctg)(Cos[(a - b)/2]/Cos[(a + b)/2])

tg[(A - B)/2] = (ctg)(Sin[(a - b)/2]/Sin[(a + b)/2])

tg[(a + b)/2] = (tg)(Cos[(A - B)/2]/Cos[(A + B)/2])

tg[(a - b)/2] = (tg)(Sin[(A - B)/2]/Sin[(A + B)/2]) Из перечисленных формул получим новых при помощи перестановки букв.

Формулы сферической Т. очень часто применяются в астрономии.

Не перечисляя учебников тригонометрии, укажем на J. A. Serret, "Trait é de Trigonomé trie". Сведения по истории Т. можно найти в сочинении: Moritz Cantor, "Vorlesungen ü ber Geschichte der Mathematik", доведенном до 1759 г. (до года рождения Лагранжа). Кроме того, в 1900 г. появилась первая часть сочинения: A. von Braunm ühl, "Vorlesungen ü ber Geschichte der Trigonometrie", в которой история Т. доведена до половины XVII стол. (до изобретения логарифмов).

Д. С.

Словари русского языка

- -
Обычно, когда хотят кого-то напугать СТРАШНОЙ МАТЕМАТИКОЙ в пример приводят всякие синусы и косинусы, как нечто очень сложное и гадкое. Но на самом деле - это красивый и интересный раздел, который можно понимать и решать.
Тему начинают проходить в 9 классе и не всегда всё ясно с первого раза, много тонкостей и хитростей. Я попытался рассказать что-то по теме.

Введение в мир тригонометрии:
Прежде чем кидаться с головой в формулы, нужно понять из геометрии, что такое синус, косинус и тд.
Синус угла - отношение противолежащей (углу) стороны к гипотенузе.
Косинус - отношение прилежащей к гипотенузе.
Тангенс - противолежащей стороны в прилежащей стороне
Котангенс - прилежащей к противолежащей.

Теперь рассмотрим окружность единичного радиуса на координатной плоскости и отметим на нем какой-то угол альфа: (картинки кликабельны, по крайней мере некоторые)
-
-
Тонкие красные линии - перпендикуляр из точки пересечения окружности и прямой угла на оси ох и оу. Красные х и у - значение координаты х и у на осях (серые х и у просто для того, чтобы указать, что это оси координат, а не просто линии).
Надо отметить, что углы считаются от положительного направления оси ох против часовой стрелки.
Найдем для него синус, косинус и тд.
sin a: противолежащая сторона равна у, гипотенуза равна 1.
sin a = y / 1 = y
Чтобы было совсем понятно, откуда я беру у и 1, для наглядности расставим буквы и рассмотрим треугольники.
- -
AF = AE = 1 - радиус окружности.
Следовательно и AB = 1, как радиус. AB - гипотенуза.
BD = CA = y - как значение по оу.
AD = CB = x - как значение по ох.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Далее косинус:
cos a: прилежащая сторона - AD = х
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Так же выводим тангенс и котангенс .
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Уже внезапно мы вывели формулу тангенса и котангенса.

Ну давайте с конкретными углами рассмотрим как решается.
Например, а = 45 градусов.
Получаем прямоугольный треугольник в одним углом 45 градусов. Кому-то сразу ясно, что это разнобедренный треугольник, но всё равно распишу.
Найдем третий угол треугольника (первый 90, второй 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Если два угла равны, то и стороны при них равны, вроде так это звучало.
Итак, получается как будто, если сложить два таких треугольника друг на друга, мы получим квадрат с диагональю равной радиусу = 1. По теореме пифагора мы знаем, что диагональ квадрата со стороной а равна а корней из двух.
Теперь думаем. Если 1 (гипотенуза ака диагональ) равна стороне квадрата умноженной на корень из двух, тогда сторона квадрата должна быть равна 1/sqrt(2), а если домножить числитель и знаменатель этой дроби на корень из двух, то получим sqrt(2)/2. А так как треугольник равнобедренный, то AD = AC => x = y
Находим наши тригонометрические функции:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
С остальными значениями углов работать надо так же. Только треугольники будут не равнобедренные, но стороны находятся так же легко по теореме Пифагора.
Таким макаром мы получаем таблицу значений тригонометрических функций от разных углов:
-
-
Притом эта таблица читерская и очень удобная.
Как ее составить самому без лишних хлопот: рисуешь такую таблицу и пишешь в клеточках цифры 1 2 3.
-
-
Теперь из этих 1 2 3 извлекаешь корень и делишь на 2. Получается вот так:
-
-
Теперь отчеркиваем синус и пишем косинус. Его значения - зеркально отраженный синус:
-
-
Тангенс вывести так же легко - надо разделить значение строки синуса, на значение строки косинуса:
-
-
Значение котангенса - это перевернутое значение тангенса. В итоге получаем вот такую штуку:
- -

Обратите внимание , что тангенс не существует в П/2, например. Подумайте почему. (На ноль делить нельзя.)

Что тут нужно запомнить: синус - это значение у, косинус - значение х. Тангенс - это отношение у к х, а котангенс - наоборот. так что, чтобы определять значения синусов/косинусов достаточно нарисовать табличку, которую я выше рассказал и круг с осями координат (по ней удобно смотреть значения при углах 0, 90, 180, 360).
- -

Ну и я надеюсь, что вы умеете различать четверти :
- -
От того, в какой четверти находится угол, зависит знак его синуса, косинуса и тд. Хотя, абсолютно примитивные логически размышления выведут вас на верный ответ, если вы будете учитывать, что во второй и третьей четверти х отрицателен, а у отрицателен в третьей и четвертой. Ничего страшного и пугающего.

Думаю будет не лишним упомянуть и формулы приведения аля привидения, как всем слышится, что имеет и толику правды. Формул как таковых не имеется, за ненужностью. Сам смысл всего этого действа: Мы легко находим значения углов только для первой четверти (30 градусов, 45, 60). Тригонометрические функции периодичны, поэтому мы можем любой большой угол перетащить в первую четверть. Тогда мы сразу найдем ее значение. Но просто перетащить мало - нужно не забыть про знак. Вот для этого и есть формулы приведения.
Итак, мы имеем большой угол, а точнее больше 90 градусов: а = 120. И нужно найти его синус и косинус. Для этого мы разложим 120 на такие углы, с которыми можно работать:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Видим, что этот угол лежит во второй четверти, синус там положительный, следовательно знак + перед синусом сохраняется.
Чтобы избавиться от 90 градусов, мы меняем синус на косинус. Ну это такое правило, надо запомнить:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
А можно представить и по-другому:
sin 120 = sin (180 - 60)
Чтобы избавиться от 180 градусов мы функцию не меняем.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Получили то же значение, значит всё верно. Теперь косинус:
cos 120 = cos (90 + 30)
Косинус во второй четверти отрицателен, значит ставим знак минус. И меняем функцию на противоположную, так как надо убрать 90 градусов.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Или:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Что нужно знать, уметь и делать, чтобы переводить углы в первую четверть:
-разложить угол на удобоваримые слагаемые;
-учесть, в какой четверти находится угол, и поставить соответствующий знак, если функция в этой четверти отрицательна или положительна;
-избавиться от лишнего:
*если надо избавиться от 90, 270, 450 и остальные 90+180n, где n - любое целое число, то функция меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот);
*если надо избавиться от 180 и остальных 180+180n, где n - любое целое число, то функция не меняется. (Тут есть одна фича, но объяснить словами ее трудно, ну и ладно).
Вот и всё. Я не считаю нужным запоминать сами формулы, когда можно запомнить пару правил и легко пользоваться ими. Кстати эти формулы очень легко доказываются:
-
-
А еще составляют громоздкие таблицы, то мы то знаем:
-
-

Основные уравнения тригонометрии: их нужно знать очень и очень хорошо, наизусть.
Основное тригонометрическое тождество (равенство):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Не веришь - лучше проверь сам и убедись. Подставь значения разных углов.
Эта формула очень и очень полезная, всегда помните ее. с помощью нее можно выражать синус через косинус и наоборот, что иногда очень полезно. Но, как и с любой другой формулой, с ней нужно уметь обращаться. Всегда помните, что знак тригонометрической функции зависит от той четверти, в которой находится угол. Поэтому при извлечении корня нужно знать четверть .

Тангенс и котангенс: эти формулы мы уже вывели в самом начале.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a

Произведение тангенса и котангенса:
tg a * ctg a = 1
Потому что:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - дроби сокращаются.

Как видите все формулы - это игра и комбинация.
Вот еще две, полученные из деления на косинус квадрат и синус квадрат первой формулы:
-
-
Обратите внимание, что две последние формулы можно использовать с ограничением значения угла а, так как делить на ноль нельзя.

Формулы сложения: доказываются с помощью векторной алгебры.
- -
Применяются редко, но метко. Формулы а скане есть, но может неразборчиво или цифровой вид воспринимается легче:
- -

Формулы двойного угла:
Их получают, опираясь на формулы сложения, например: косинус двойного угла - это cos 2a = cos (a + a) - ничего не напоминает? Просто бетту заменили альфой.
- -
Две последующие формулы выведены из первой подстановкой sin^2(a) = 1 - cos^2(a) и cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
С синусом двойного угла проще и применяется он нааамного чаще:
- -
А особые извращенцы могут вывести тангенс и котангенс двойного угла, учитывая, что tg a = sin a / cos a и тд.
-
-

Для вышеупомянутых лиц Формулы тройного угла: выводятся они сложением углов 2а и а, так как формулы двойного угла мы уже знаем.
-
-

Формулы половинного угла:
- -
Как их выводят мне неизвестно, точнее как это объяснить... Если расписать эти формулы, подставляя основное тригонометрическое тождество с а/2, то ответ сойдется.

Формулы сложения и вычитая тригонометрических функций:
-
-
Получаются они из формул сложения, но всем пофиг. Встречаются не часто.

Как понимаете, так еще куучи формул, перечисление которых просто бессмысленно, потому что я не смогу что-то адекватное о них написать, а сухие формулы можно найти где угодно, и являют они собой игру с предыдущими имеющимися формулами. Всё жутко логично и точно. Расскажу только на последок о методе вспомогательного угла:
Преобразование выражения a cosx + b sinx к виду Acos(x+) или Asin(x+) называется методом введения вспомогательного угла (или дополнительного аргумента). Метод применяется при решении тригонометрических уравнений, при оценке значений функций, в задачах на экстремум, и что важно отметить, некоторые задачи не могут быть решены без введения вспомогательного угла.
Как ты я не пытался объяснить этот метод, ничего не вышло, так что придется самим:
-
-
Вещь страшная, но полезная. Если порешать задачи, должно получиться.
Отсюда например: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Следующими по курсу идут графики тригонометрических функций. Но для одного урока хватит. Учитывая, что в школе это преподают по полгода.

Пишите свои вопросы, решайте задачи, просите сканы каких-нибудь заданий, разбирайтесь, пробуйте.
Всегда ваш, Дэн Фарадей.

Данная заметка носит методический характер и призвана напомнить (или научить:)), что такое случайное блуждание и какова его роль в биржевой торговле. Случайное блуждание (или броуновское движение или random walk)-это процесс с независимыми приращениями, причем каждое приращение обладает нулевым средним. Пример такого процесса: берем монетку и кидаем. Если орел, то очередное приращение равно +1, если решка-очередное приращение равно -1. Кидаем много раз и суммируем нарастающим итогом. В общем, проще не придумаешь.
Несмотря на простоту такого построения оно имеет чрезвычайно важную роль для понимания динамики цен на бирже. Взглянем на график случайного блуждания:

Данная картинка является вполне типичной. Как видно, тут есть многое из любимых атрибутов теханализа-уровни, фигуры, тренды, итд. Да и вообще, картинка явно похожа на реальные цены. Таким образом, случайное блуждание-это явно неплохая модель рынка.

Раз мы нашли такую удачную математическую модель реальной жизни, то неплохо было бы обсудить свойства модели. Основные свойства таковы:
1) На случайном блуждании нельзя заработать. Никакими методами, в том числе и управлением капиталом и риск-менеджментом. Это связано с тем, что процесс этот не имеет памяти-каждое следующее приращение никак не связано с предыдущим.
2) Случайное блуждание с вероятностью, стремящейся к 1, достигнет любого наперед заданного уровня-хоть миллиона, хоть миллиарда. Это, в среднем, происходит за время, пропорциональное квадрату величины уровня.
Уже из свойства 1) вытекает, что любители огульного использования теханализа не понимают, что они делают. И если даже и зарабатывают, то не знают почему-что плохо. Я не против теханализа, но причины того, что он иногда работает-весьма нетривиальны.
Из свойства 2) вытекает, что рынок может уйти чертовски далеко вообще без причин-привет любителям продажи опционов и торговцам без стопов.
Теперь ответим на вопрос-почему рынок так похож на случайное блуждание? Причин две:
1) Просто непрерывный поток лимитных и рыночных ордеров, каждый из которых не связан ни с каким другим, приведут к случайному блужданию цены.
2) Торгующие, как правило, ищут закономерности в цене (то есть отклонения цены от случайного блуждания). И если находят-начинают вблизи этой закономерности торговать. Дальше происходит нетривиальная эволюция, которую я здесь пояснять не буду, но в итоге этой эволюции рано или поздно закономерность перестанет существовать. Именно поэтому успешные трейдеры не любят просто так делиться своими торговыми системами.
И, в заключение, обсудим философские аспекты модели. Модель случайного блуждания-это всего лишь математическая модель. А реальный рынок-это набор людей. И, естественно, если бы мы знали все про всех торгующих, то никакая модель случайного блуждания нам вообще была бы не нужна-для нас каждое движение цены было бы не случайным, а полностью понятным. Но все про всех знать нельзя, а вот кое-что и про некоторых-запросто. И любая хорошая торговая система-это прежде всего знание некой особенности поведения некоторых торгующих на рынке.

Приложение: генерация случайного блуждания в Excel
Для генерации случайного блуждания в эксель можно использовать, например, такой код:

Option Explicit
Sub Rand_Walk()
Dim x As Single, s As Single
Dim i As Integer, imax As Integer
imax = 10000
s = 0
For i = 1 To imax
Randomize
x = Rnd()
x = 2 * x - 1
s = s + x
Cells(i, 1) = i
Cells(i, 2) = s
Next i
End Sub

Его нужно скопировать в код любого листа эксель. Запустить и построить график по первым двум столбцам листа. После этого можно любоваться квазибиржевыми котировками.