При математическом описании вращательного движения важно знать момент инерции системы относительно оси. В общем случае процедура нахождения этой величины предполагает реализацию процесса интегрирования. Облегчить вычисления позволяет так называемая теорема Штейнера. Рассмотрим ее подробнее в статье.
Что такое момент инерции?
До того как привести формулировку теоремы Штейнера, следует разобраться с самим понятием момента инерции. Допустим, имеется некоторое тело определенной массы и произвольной формы. Этим телом может быть, как материальная точка, так и любой двумерный и трехмерный объект (стержень, цилиндр, шар и т.д.). Если рассматриваемый объект совершает круговое движение вокруг некоторой оси с постоянным угловым ускорением α, тогда можно записать следующее уравнение:
Здесь величина M представляет суммарный момент сил, который придает ускорение α всей системе. Коэффициент пропорциональности между ними - I, называется моментом инерции. Эта физическая величина рассчитывается по следующей общей формуле:
Здесь r - это дистанция между элементом с массой dm и осью вращения. Это выражение означает, что необходимо найти сумму произведений квадратов расстояний r 2 на элементарную массу dm. То есть момент инерции не является чистой характеристикой тела, что его отличает от линейной инерции. Он зависит от распределения массы по всему объекту, который вращается, а также от расстояния до оси и от ориентации тела относительно нее. Например, стержень будет иметь разный I, если его вращать относительно центра масс и относительно конца.
Момент инерции и теорема Штейнера
Известный швейцарский математик, Якоб Штейнер, доказал теорему о параллельных осях и моменте инерции, которая теперь носит его фамилию. Эта теорема постулирует, что момент инерции для абсолютно любого твердого тела произвольной геометрии относительно некоторой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси, которая пересекает центр масс тела и параллельна первой, и произведения массы тела на квадрат дистанции между этими осями. Математически эта формулировка записывается так:
I Z и I O - моменты инерции относительно оси Z и параллельной ей оси O, которая проходит через центр масс тела, l - расстояние между прямыми Z и O.
Теорема позволяет, зная величину I O , рассчитать любой другой момент I Z относительно оси, которая параллельна O.
Доказательство теоремы
Формулу теоремы Штейнера можно легко получить самостоятельно. Для этого рассмотрим произвольное тело на плоскости xy. Пусть начало координат проходит через центр масс этого тела. Рассчитаем момент инерции I O которая проходит через начало координат перпендикулярно плоскости xy. Поскольку расстояние до любой точки тела выражается формулой r = √ (x 2 + y 2), тогда получаем интеграл:
I O = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ m ((x 2 +y 2) *dm)
Теперь переместим параллельно ось вдоль оси x на расстояние l, например, в положительном направлении, тогда расчет для новой оси момента инерции будет выглядеть следующим образом:
I Z = ∫ m (((x+l) 2 +y 2)*dm)
Раскроем полный квадрат в скобках и разделим подынтегральные суммы, получим:
I Z = ∫ m ((x 2 +l 2 +2*x*l+y 2)*dm) = ∫ m ((x 2 +y 2)*dm) + 2*l*∫ m (x*dm) + l 2 *∫ m dm
Первое из этих слагаемых является величиной I O , третье слагаемое, после проведения интегрирования, дает член l 2 *m, а вот второе слагаемое равно нулю. Обнуление указанного интеграла связано с тем, что он берется от произведения иксов на элементы массы dm, что в среднем дает ноль, так как центр масс находится в начале координат. В итоге, получается формула теоремы Штейнера.
Рассмотренный случай на плоскости можно обобщить на объемное тело.
Проверка формулы Штейнера на примере стержня
Приведем простой пример, на котором продемонстрируем, как пользоваться рассмотренной теоремой.
Известно, что для стержня длиной L и массой m момент инерции I O (ось проходит через центр масс) равен m*L 2 /12, а момент I Z (ось проходит через конец стержня) равен m*L 2 /3. Проверим эти данные, воспользовавшись теоремой Штейнера. Поскольку расстояние между двумя осями равно L/2, тогда получаем момент I Z:
I Z = I O + m*(L/2) 2 = m*L 2 /12 + m*L 2 /4 = 4*m*L 2 /12 = m*L 2 /3
То есть мы проверили формулу Штейнера и получили такое же значение для I Z , что и в источнике.
Аналогичные вычисления можно проводить и для других тел (цилиндра, шара, диска), получая при этом необходимые моменты инерции, и не производя интегрирования.
Момент инерции и перпендикулярные оси
Рассмотренная теорема касается параллельных осей. Для полноты информации полезно также привести теорему для перпендикулярных осей. Она формулируется так: для плоского объекта произвольной формы момент инерции относительно перпендикулярной ему оси будет равен сумме двух моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных и лежащих в плоскости объекта осей, при этом все три оси должны проходить через одну точку. Математически это записывается так:
Здесь z, x, y - три взаимно перпендикулярные оси вращения.
Существенное отличие этой теоремы от теоремы Штейнера заключается в том, что она применима только к плоским (двумерным) твердым объектам. Тем не менее на практике ее достаточно широко используют, мысленно разрезая тело на отдельные слои, а затем, складывая полученные моменты инерции.
Момент инерции определяется как , если распределение массы равномерно, то заменяется на – элементарный объём, – плотность вещества. .
Теорема Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тала на квадрат расстояния а между осями: .
Момент инерции:
1) однородного тонкого стержня массы , длины относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню:
2) однородного тонкого стержня массы , длины относительно оси, проходящей через один из концов стержня:
3) тонкого кольца массы , радиуса R относительно оси симметрии, перпендикулярной плоскости кольца:
4) однородного диска (цилиндра) массы , радиуса R, высоты h относительно оси симметрии, перпендикулярной основанию: 
.
21. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
При вращении тела с угловой скоростью все его элементарные массы движутся со скоростью они обладают кинетической энергией , 
– для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. При вращении на материальные точки массы , образующие твёрдое тело, действуют как внешние, так и внутренние силы. За промежуток времени испытывает перемещение ,при этом силы совершают работу . Работа всех сил будет равна . При сложении с учётом 3-его закона Ньютона сумма работ внутренних сил = 0. Следовательно, . В соответствии с теоремой о кинетической энергии, приращение кинетической энергии = работе всех сил, действующих на тело .
Вычислим кинетическую энергию твёрдого тела, совершающего произвольное плоское движение. все точки движутся в параллельных плоскостях. Вращение совершается вокруг оси, перпендикулярно плоскостям, и движется вместе с некоторой точкой О. Скорость материальной точки массы представим в виде 
. Тело перемещается поступательно, следовательно, , – выражение кинетической энергии тела, совершающего произвольное плоское движение. Если в качестве точки О выбрать центр масс, тогда и .
Гироскопы.
Гироскоп (или волчок) – массивное твёрдое тело, симметричное некоторой оси, совершающее вращения вокруг неё с большой угловой скоростью. В силу симметрии гироскопа выполняется . При попытке повернуть вращающийся гироскоп вокруг некоторой оси наблюдается гироскопический эффект – под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг прямой О’O’, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О’’О’’ (ось ОО и прямая О’O’ предполагаются лежащими в плоскости чертежа, а прямая О’’О’’ и силы f1 и f2 – перпендикулярными к этой плоскости). Объяснение эффекта основано на использование уравнения момента . Момент импульса поворачивается вокруг оси ОХ в силу соотношения . Вместе с вокруг ОХ поворачивается и гироскоп. Вследствие гироскопического эффекта на подшипнике, на котором вращается гироскоп, начинают действовать гироскопические силы . Под действием гироскопических сил ось гироскопа стремиться занять положение, параллельное угловой скорости вращения Земли.
Описанное поведение гироскопа положено в основу гироскопического компаса . Преимущества гироскопа: указывает точное направление на географический северный полюс, его работа не подвержена воздействию металлических предметов.
Прецессия гироскопа
– особый вид движения гироскопа имеет место в том случае, если момент действующих на гироскоп внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Рассмотрим движение гироскопа с одной закреплённой точкой на оси под действием силы тяжести , – расстояние от закреплённой точки до центра инерции гироскопа, – угол между гироскопом и вертикалью. направлен момент перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа. Уравнение движения: приращение импульса = Следовательно, изменяет своё положение в пространстве таким образом, что его конец описывает окружность в горизонтальной плоскости. За промежуток времени гироскоп повернулся на угол 
ось гироскопа описывает конус вокруг вертикальной оси с угловой скоростью – угловая скорость прецессии.
Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел
Момент инерции тела аддитивная величина, равная сумме моментов инерции всех частиц тела:
Здесь m i - масса i -той частицы, которую можно связать с плотностью вещества r i и объёмом частицы:
m i = r i DV i .
Тогда 
.
Если тело однородно, то есть его плотность повсюду одинакова, то r можно вынести за знак суммы:
Разделяя тело на всё более мелкие частицы, сведём задачу отыскания момента инерции к вычислению интеграла:
Интегрирование проводится по всему объёму тела V .
В качестве примера вычислим момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси z , проходящей через его центр масс - точку С (рис. 9.3). Длина стержня - l , его масса - M .
На расстоянии x от оси вращения выделим элемент dx , масса которого dm = .
| |
Рис. 9.3
Момент инерции этой частицы стержня равен:
.
Вычислив подобным образом, моменты инерции всех элементов стержня, сложим их, взяв интеграл:
Таким образом:
I z = . (9.7)
Интегрирование проведено по x в пределах от до .
Как изменится момент инерции этого стержня, если ось вращения перенести в другое место? Провести её, например, через край стержня?
В этом случае прежний интеграл нужно рассмотреть в пределах от 0 до l :
. (9.8)
Новое значение момента инерции того же стержня заметно возросло. Связано это с тем, что момент инерции тела определяется не только его массой, но и её распределением относительно оси вращения.
Вычислим момент инерции ещё одного тела: сплошного цилиндра относительно его геометрической оси.
Рис. 9.4
Пусть M - масса, а R - радиус цилиндра (рис. 9.4). Выделим в этом цилиндре цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr . Масса этого слоя:
dm = r × dV = r × 2pr × dr × l ,
где: r - плотность материала цилиндра;
l - его длина.
Все частицы этого слоя находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения - геометрической оси цилиндра, значит, момент инерции слоя равен:
dI = dm × r 2 = r × 2pr × dr × l × r 2 .
Для отыскания момента инерции цилиндра проинтегрируем последнее выражение:
.
Отметим, что pR 2 l = V - объём цилиндра, а rpR 2 l = rV = M - его масса.
Тогда момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси можно окончательно записать в таком виде:
Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции I c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела М на квадрат расстояния между осями :
I = I c + Ma 2 , (9.9)
где а - расстояние между осями.
На рисунке 9.5 оси вращения перпендикулярны плоскости чертежа: через точку 0 проходит произвольная ось; параллельная ей ось проведена через центр масс тела - точку С . Расстояние между осями - а .
Выделим элемент тела массой Dm i . Его момент инерции относительно оси 0 равен:
Как следует из рисунка , откуда:
. (9.11)
Рис. 9.5
Теперь момент инерции частицы Dm i (9.10) можно представить такой суммой:
Для отыскания момента инерции всего тела, нужно сложить моменты инерции всех его частиц:
Здесь за знак суммы вынесена постоянная величина - расстояние между осями а . Первое слагаемое справа = Ма 2 , так как = М - масса тела. Второе слагаемое = I С - момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс. Третье слагаемое равно нулю, так как сумма равна произведению массы тела на вектор , проведённый от оси С к центру масс тела. Но ось С проходит через центр масс, поэтому = 0 и = М = 0.
Собрав эти результаты в уравнение (9.12), получим выражение теоремы Гюйгенса-Штейнера:
I O = I C + Ma 2 .
Эта теорема значительно упрощает задачу вычисления моментов инерции.
Известен, например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс (9.7):
Воспользовавшись теоремой Гюйгенса-Штейнера, легко вычислим момент инерции этого же стержня относительно оси z ’, проходящей, например, через край стержня (рис. 9.3):
I z ’ = I z + Ma 2 , a = l /2.
.
Это значение момента инерции совпадает с результатом (9.8), который был получен методом прямого интегрирования.
Лекция 10 «Механика твёрдого тела»
План лекции:
1. Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя.
2. Энергия движущегося тела.
2.1. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
2.2. Кинетическая энергия тела при плоском движении.
3. Скатывание тела с наклонной плоскости.
Предположим, что мы умеем вычислять моменты инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс. Теперь возникает задача вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси. Она решается с помощью теоремы Штейнера.
Эта теорема утверждает, что момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния центра масс тела от оси вращения.
Для доказательства теоремы рассмотрим некую ось С , проходящую через центр масс и параллельную ей ось О , отстоящую от оси С на расстоянии а. Ось О может находиться и вне тела. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа (рис. 2.12).
Рис. 2.12. К доказательству теоремы Штейнера
Из рис. 2.12 видно, что положение элемента массы относительно этих осей определяется векторами и , связь между которыми имеет вид:
Квадрат расстояния равен скалярному произведению
Тогда момент инерции тела относительно оси О можно представить в следующем виде:
Последнее слагаемое в этом выражении есть момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Обозначим его через Сумма 
. Напомним, что оси О
и С
параллельны и следовательно, вектор перпендикулярен оси С.
Поэтому скалярное произведение Таким образом, мы получаем:
(2.10.1)
Уравнение движения твердого тела.
Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы и, следовательно, его движение описывается с помощью шести дифференциальных уравнений второго порядка. Три из них описывают движение центра масс твердого тела:
, 
, 
, (2.11.1)
где — координаты центра масс тела, — проекции внешних сил на оси координат, m — масса тела. Три других являются уравнениями моментов относительно осей ОХ , ОУ и ОZ в декартовой системе координат:
, 
, 
, (2.11.2)
где L x , L y , L z — моменты импульса системы относительно осей ОХ , ОУ , ОZ , а M x , M y , M z — моменты внешних сил относительно этих же осей.
Если перемещать точку приложения силы вдоль линии ее действия, то моменты сил и результирующие силы не будут меняться, если мы имеем дело с абсолютно твердым телом. В этом случае не будут меняться и уравнения движения (2.11.1), (2.11.2).
Если найдены решения уравнений (2.11.1), (2.11.2), при известных начальных условиях, то определены и шесть координат, характеризующих движение твердого тела. Эти координаты являются функциями времени. Однако системы уравнений (2.11.1) и (2.11.2) не всегда позволяют получить решение в аналитической форме. В этом случае говорят, что уравнение движения не удается проинтегрировать, и решение уравнений находят путем численного интегрирования.
т.е. момент инерции тела относительно
произвольной оси OZ равен моменту инерции
тела относительно оси OZq, проходящей через
центр масс тела параллельно оси OZ, плюс
произведение массы тела на квадрат расстояния
между осями OZ и OZq. Это утверждение иногда
называют теоремой о параллельных осях
или
теоремой Штейнера.
Именно поэтому, очень
важно знать (или уметь вычислять) моменты
инерции различных тел относительно осей OZq,
проходящих через центр масс тела.
Расчет момента инерции
производится на практике следующим образом:
если твердое тело сплошное, то его можно
разбить на бесконечно большое количество
бесконечно малых частей массы dm = pdV, где
р - плотность тела в данном месте, a dV - объем
кусочка dm, и суммирование заменить на
интегрирование по объему тела V, т.е.
где Rq - расстояние от кусочка dm до оси OZo.
В качестве примера вычислим момент инерции
тонкого однородного стержня (длиной L и массой
М) относительно перпендикулярной ему оси,
проходящей через его середину (центр масс
тонкого однородного стержня находится в его
середине). Направим ось ОХ вдоль стержня и
поместим начало координат в середине стержня
Укажем еще для примера, что момент инерции
полого цилиндра массой М и радиусом R
относительно оси цилиндра равен MR 2 . Если же
цилиндр сплошной, то его момент инерции
Рассмотренные выше простейшие виды
движения твердого тела - поступательное
движение и вращение - особенно важны потому,
что любое произвольное движение твердого тела
сводится к ним. Можно строго доказать, что
произвольное движение твердого тела можно
представить в виде совокупности поступательного
движения всего тела со скоростью какой -либо
его точки О и вращения вокруг оси, проходящей
через эту точку. При этом скорость
поступательного движения v 0 зависит от того,
какую именно точку мы выбрали.
сказать, что угловая скорость имеет "абсолютный"
характер, то есть можно говорить об угловой
скорости вращения твердого тела, не указывая
при этом, через какую именно точку проходит ось
вращения. Поступательная же скорость v 0 такого
"абсолютного" характера не имеет. Обычно в
качестве точки О выбирают центр масс тела.
Преимущества такого выбора выяснятся ниже.
5. Плоское движение
Рассмотрим наиболее простой вид
произвольного движения твердого тела, так
называемое плоское движение,
когда все точки
тела движутся в параллельных плоскостях,
ориентация которых в пространстве остается
неизменной, а тело вращается вокруг оси,
перпендикулярной этим плоскостям.
Будем рассматривать плоское движение в
неподвижной ИСО XYZ, причем плоскость XOY
совместим с плоскостью движения частиц, в
которой находится центр масс тела, скорость
которого v 0 = у цм относительно неподвижной
системы будем считать скоростью
поступательного движения тела (скорость v 0 ,
естественно, расположена в плоскости XOY).
Далее будем считать, что все силы f k ,
действующие на тело, параллельны плоскости
XOY. Тогда уравнение поступательного движения
тела можно записать в виде:
центра масс тела. Уравнение (3.12) проектируется
на оси ОХ и OY.
Уравнение вращательного движения тела
вокруг оси OZq,
проходящей через центр масс
тела перпендикулярно неподвижной плоскости
XOY, совпадает по форме с уравнением
вращательного движения тела вокруг
закрепленной оси (3.9):
Последнее утверждение (его можно строго
доказать!) выглядит довольно странным, так как
уравнение (3.9) было написано относительно ИСО,
система же отсчета (ось OZo), в которой
происходит вращение тела, не является
инерциальной, так как центр масс тела движется с
ускорением а 0 . Тем не менее это так, и связан
этот факт именно с тем, что мы выбрали в
качестве точки О при рассмотрении
поступательного движения центр масс тела. При
решении конкретных задач уравнения (3.12) и
(3.13) следует еще дополнить кинематическими
