Линии токов жидкости и вихревые линии. Плавно и резко изменяющееся движение

Методы исследования движений жидкости

а) Эйлера (локальный) – в фиксированной точке

б) Лагранжа (субстанциональный) – изменение параметров при перемещении из нач. фиксир. пол. точки

Внутренняя задача – распределение параметров состояния газов в движущейся среде.

Внешняя задача – исследует силовое взаимодействие подвижной среды с находящейся в ней тела.

Поле скоростей, виды течения.

Стационарное, нестационарное.

Одномерный, двумерный (плоский), трехмерный (пространственный). Векторное поле скоростей – это область пространства движущейся жидкости в каждой точке которой однозначно определен вектор скорости. Линия тока – линия касательная к которой в любой точке совпадает с направлением вектора скорости в точке касания. В стационарном потоке линия тока совпадает с траекторией движения. Поверхность, образованная непрерывным совокупностью линией тока – поверхность тока. Часть жидкости, заключенная внутри поверхности тока, проведенная через все точки некоторый замкнутый контур в потоке – трубкой тока. В стационарном случае поверхность тока не проницаема для потока. Струйкой называется линия тока в стационарном потоке. Струйка называется элементарной если её поперечные размеры малы и скорость не меняется вдоль сечения.

Расход и средняя скорость

Поперечное сечение струйки – живое сечение. Элементарный весовой расход - . Эл. масс. расход - . Эл. объемный. расход - . эл. площадь, удельный вес. V – скорость. Расход жидкости представляет собой количество жидкости, протекающей за единицу времени через фиксированную поверхность. () Средняя скорость – это условно постоянная по сечению потока скорость, обеспечивающая расход жидкости равный истинному расходу через это же сечение. Для несжимаемой жидкости .

4. Дифференциальные уравнения неразрывности

5. Полная энергия частиц текущей жидкости , Удельная энергия

6. Уравнение Бернулли для струйки

Дифференциальные уравнения динамики невязкой жидкости в форме Эйлера

Силы: давления, массовые, инерционные.

Интеграл Бернулли

Умножая уравнения Эйлера на dx... получим , U(х,у,z)- потенциал массовых сил. .

9. Угловые скорости движения частиц. . . Вращательное движение частиц жидкости называется вихревым.

Вихревая линия, вихревая трубка, вихревой шнур.

Область пространства вращающейся жидкости, в каждой точке которого однозначно определен вектор - называется вихревым полем. Совокупность вихревых линий, пронизывающих замкнутый контур называется вихревой трубкой, а жидкость её заполняющая – вихревым шнуром. Мерой интенсивности вихревого движения служит напряженность вихревого шнура .

. Бесконечно тонкий вихревой шнур - вихревая линия.

Циркуляция скорости

Элементарная циркуляция скорости - . , Г>0, если «ветер» в спину, и наоборот.

Теорема Стокса

Циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, не выходящему за пределы жидкости равна сумме напряжений всех вихрей, пронизывающих поверхность, опирающуюся на этот контур.

Замечания: а) если то , б) Если , то . .

Особенности видов движения, рассматриваемых в гидродинамике.

Можно выделить следующие виды движения.

Неустановившееся, по поведению скорости, давления, температуры и т. д.; установившееся, по тем же параметрам; неравномерное, в зависимости от поведения тех же параметров в живом сечении с площадью; равномерное, по тем же признакам; напорное, когда движение происходит под давлением p > p атм, (например, в трубопроводах); безнапорное, когда движение жидкости происходит только под действием силы тяжести.

Однако основными видами движения, несмотря на большое количество их разновидностей, являются вихревое и ламинарное движения.

Движение, при котором частицы жидкости вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюсы, называют вихревым движением.

Это движение жидкой частицы характеризуется угловой скоростью, компонентами (составляющими), которой являются:

Вектор самой угловой скорости всегда перпендикулярен плоскости, в которой происходит вращение.

Если определить модуль угловой скорости, то

Удвоив проекции на соответствующие координаты оси? x , ? y , ? z , получим компоненты вектора вихря

Совокупность векторов вихря называется векторным полем.

По аналогии с полем скоростей и линией тока, существует и вихревая линия, которая характеризует векторное поле.

Это такая линия, у которой для каждой точки вектор угловой скорости сонаправлен с касательной к этой линии.

Линия описывается следующим дифференциальным уравнением:

в котором время t рассматривается как параметр.

Вихревые линии во многом ведут себя так же, как и линии тока.

Вихревое движение называют также турбулентным.

Если в пространстве, занятом жидкостью, существуют области, в которых ω 0, т. е. внутри их имеет место вращение частиц жидкости, то движение в таких областях называетсявихревым (например, в области пограничного слоя, образующегося вокруг твердого тела, обтекаемого потоком вязкой жидкости). В пограничном слое по направлению нормали к поверхности тела скорость резко возрастает, и поэтому в нем ω0 (∂w / ∂n 0).

Линия называетсявихревой , когда в каждой ее точке касательная совпадает с направлением вектора угловой скоростиω. Дифференциальное уравнение вихревой линии получается из соотношенияωdl = 0 и имеет вид

Вихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой кривойC (не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии. Из определения вихревой линии и вихревой поверхности следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая угловой скорости равна нулю.

Потоком вектора угловой скоростиJ  через поверхностьназывают интеграл:

где ω n – проекция угловой скорости вращения на нормаль к поверхности .

Другая теорема Гельмгольца – о вихрях: поток вектора угловой скорости через замкнутую поверхность всегда равен нулю . Докажем ее.

Действительно, путем непосредственных вычислений из формул (1.11) получим, с одной стороны, что

а

с другой, – что если поверхностьзамкнутая, то, согласно теореме Остроградского (о преобразовании объемного интеграла в поверхностный),

где V – объем, ограниченный поверхностью .

Но тогда, согласно (1.18), находим, что

Рис. 3. Вихревая трубка

Из формулы (1.19) вытекает важное свойство вихревых трубок. Выделим в вихревой трубке некоторую замкнутую поверхность (рис. 3), образованную двумя любыми поперечными сечениями ( 1 и  2) и боковой поверхностью. Так как поток вектора угловой скорости по боковой поверхности равен нулю, то, согласно (1.19):

Отсюда, вследствие произвольного выбора сечений  1 и 2 , получаем, что поток вектора угловой скорости в данный момент времени по длине элементарной вихревой трубки не меняется. Следовательно, этот поток есть величина, характерная для всей вихревой трубки, и ее (величину) называютинтенсивностью (или напряжением )вихревой трубки .

Если величина вектора угловой скорости постоянна по поперечному сечению вихревой трубки, то из (1.20) получим

ω 1 n  1 = ω 2 n  2 = ω in  i = const.

На основе этого сделаем следующий вывод: сечение вихревой трубки не равняется нулю, так как в подобном случае ω , что физически неверно. Таким образом, вихревая трубка не обрывается внутри среды. Но, однако, можно выделить только четыре типа вихревых трубок, т. е. когда «вихревой шнур» (вихревая трубка): 1) начинается и заканчивается на свободной поверхности жидкости; 2) начинается на свободной поверхности жидкости, а заканчивается на твердой стенке; 3) начинается и заканчивается на твердой стенке; 4) является замкнутым.

В идеальной жидкости вихри не могут изменять свою интенсивность, они как бы «обречены» существовать вечно, не имея возможности возникать и вырождаться. В реальной жидкости (из-за трения) вихри зарождаются, а затем диффундируют, т. е. вырождаются.

Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению. Сравнительно просто можно определять скорости частиц жидкости. Поэтому возникает вопрос об установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей в жидкости. Для решения данного вопроса введем характерную для поля скоростей величину – циркуляцию скорости вдоль некоторой линии .

Циркуляцией вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную к контуру:

Тогда связь между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей дается известной теоремой Стокса:интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру , один раз опоясывающему вихревую трубку :

Теорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непосредственное измерение скорости специальными приборами не представляет трудности, а суммирование слагаемых, входящих в интеграл по замкнутому контуру, является операцией более точной, чем дифференцирование распределения скоростей (необходимое для вычисления rotw ) и последующее суммирование.

Из этой теоремы вытекает важное следствие: если в какой-либо области течение безвихревое (w = 0, rotw = 0), т. е. потенциальное, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в этой области, равно нулю (Г = 0). Из рассмотренной теоремы, кроме того, следует, что конечная циркуляция скорости определяетэффект действия вихрей на поле скоростей в потоке жидкости.

Мы уже выписывали общие уравнения потока несжимаемой жидкости при наличии завихренности:

Физическое содержание этих уравнений было на словах описано Гельмгольцем в трех теоремах. Прежде всего представьте себе, что мы вместо линий потока нарисовали вих ревые линии. Под вихревыми линиями мы подразумеваем линии поля, которые имеют направление вектора Ω, а плотность их в любой области пропорциональна величине Ω. Из уравнения (II) дивергенция Ω всегда равна нулю [вспомните гл.3,§ 7(вып.5): дивергенция ротора всегда нуль]. Таким образом, вихревые линии подобны линиям поля В: они нигде не кончаются и нигде не начинаются и всегда стремятся замкнуться. Формулу (III) Гельмгольц описал словами: вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это означает, что если бы вы пометили частички жидкости, расположенные на некоторой вихревой линии, например окрасив их чернилами, то в процессе движения жидкости и переноса этих частичек они всегда отмечали бы новое положение вихревой линии. Каким бы образом ни двигались атомы жидкости, вихревые линии движутся вместе с ними. Это один из способов описания законов. Он также содержит и метод решения любых задач. Задавшись первоначальным видом потока, скажем задав всюду v, вы можете вычислить Ω. Зная v, можно также сказать, где будут вихревые линии немного позднее: они движутся со скоростью v. А с новым значением Ω можно воспользоваться уравнениями (I) и (II) и найти новую величину v. (Точно как в задаче о нахождении поля В по данным токам.) Если нам задан вид потока в какой-то один момент, то в принципе мы можем вычислить его во все последующие моменты. Мы получаем общее решение невязкого потока.

Мне бы хотелось показать вам, как (по крайней мере частично) можно понять утверждение Гельмгольца, а следовательно, формулу (III). Фактически это просто закон сохранения момента импульса, примененный к жидкости. Представьте себе маленький жидкий цилиндр, ось которого параллельна вихревым линиям (фиг. 40.13,а). Спустя некоторое время, тот же самый объем жидкости будет находиться где-то в другом месте. Вообще говоря, он будет иметь форму цилиндра с другим диаметром и находиться в другом месте. Он может еще иметь другую ориентацию (фиг. 40.13,б). Но если изменяется диаметр, то длина тоже должна измениться так, чтобы объем остался постоянным (поскольку мы считаем жидкость несжимаемой). Кроме того, поскольку вихревые линии связаны с веществом, их плотность увеличивается обратно пропорционально уменьшению площади поперечного сечения цилиндра. Произведение Ω на площадь цилиндра А будет оставаться постоянной, так что в соответствии с Гельмгольцем

Теперь обратите внимание, что при нулевой вязкости все силы на поверхности цилиндрического объема (или любого объема в этом веществе) перпендикулярны поверхности. Силы давления могут заставить его изменить форму, но без танген циальных сил величина момента количества движения жидкости внутри измениться не может. Момент количества движения жидкости внутри маленького цилиндра равен произведению его момента инерции / на угловую скорость жидкости, которая пропорциональна завихренности Ω. Момент же инерции цилиндра пропорционален тr 2 . Поэтому из сохранения момента количества движения мы бы заключили, что

Но масса будет одной и той же (M 1 = M 2 ), а площадь пропорциональна R 2 , так что мы снова получим просто уравнение (40.21). Утверждение Гельмгольца, которое эквивалентно формуле (III), есть просто следствие того факта, что в отсутствие вязкости момент количества движения элемента жидкости измениться не может.

Есть хороший способ продемонстрировать движущийся вихрь с помощью аппаратуры, показанной на фиг. 40.14. Это «барабан» диаметром и длиной около 60 см, состоящий из цилиндрической коробки с натянутым на ее открытое основание толстым резиновым листом. Барабан стоит на боку, а в центре его твердого дна вырезано отверстие диаметром около 8 см. Если резко ударить по резиновой диафрагме рукой, то из отверстия вылетает кольцевой вихрь. Хотя этот вихрь увидеть нельзя, можно смело утверждать, что он существует, так как он гасит пламя свечи, стоящей в 3—6 м от барабана. По запаздыванию этого эффекта вы можете сказать, что «нечто» распространяется с конечной скоростью. Лучше разглядеть то, что вылетает, можно, предварительно напустив в барабан дыму. Тогда вы увидите вихри в виде изумительно красивых колец «табачного дыма».

Кольца дыма (фиг. 40.15,а) — это просто баранка из вихревых линий. Поскольку Ω=Vx v, то эти вихревые линии описывают также циркуляцию v (фиг. 40.15,б). Для того чтобы объяснить, почему кольцо движется вперед (т. е. в направлении, составляющем с направлением Ω правый винт), можно рассуждать так: скорость циркуляции увеличивается к внут ренней поверхности кольца, причем скорость внутри кольца направлена вперед. Поскольку линии Ω переносятся вместе с жидкостью, то и они движутся вперед со скоростью v. (Конечно, большая скорость на внутренней части кольца ответственна за движение вперед вихревых линий на его внешней части.)

Здесь необходимо указать на одну серьезную трудность. Как мы уже отмечали, уравнение (40.90) говорит, что если первоначально завихренность Ω была равна нулю, то она всегда останется равной нулю. Этот результат — крушение теории «сухой» воды, ибо он означает, что если в какой-то момент значение Ω равно нулю, то оно всегда будет равно нулю, и ни при каких обстоятельствах создать завихренность нельзя. Однако в нашем простом опыте с барабаном мы могли породить вихревые кольца в воздухе, который до того находился в покое. (Ясно, что пока мы не ударили по барабану, внутри него v = 0 и Ω = 0.) Все знают, что, загребая веслом, можно создать в воде вихри. Несомненно, для полного понимания поведения жидкости следует перейти к теории «мокрой» воды.

Другим неверным утверждением в теории «сухой» воды является предположение, которое мы делали при рассмотрении потока на границе между ним и поверхностью твердого предмета. Когда мы обсуждали обтекание потоком цилиндра (например, фиг. 40.11), то считали, что жидкость скользит по поверхности твердого тела. В нашей теории скорость на поверхности твердого тела могла иметь любое значение, зависящее от того, как началось движение, и мы не учитывали никакого «трения» между жидкостью и твердым телом. Однако то, что скорость реальной жидкости должна на поверхности твердого тела сходить на нуль,— экспериментальный факт. Следовательно, наши решения для цилиндра и с циркуляцией, и без нее неправильны, как и результат о создании вихря. О более правильных теориях я расскажу вам в следующей главе.

Вихревым движением называется вращательное движение частицы вокруг осей, проходящих через частицу.

Изучение вихревого движения жидкости и газа в аэродинамике имеет важное практическое значение. На вихревой теории, в частности, основаны методы определения аэродинамических характеристик крыльев бесконечного и конечного размаха. При обтекании тел реальным потоком может происходить отрыв потока с образованием вихрей (рис. 2.6).

Вращательное движение частиц характеризуется угловыми скоростями:

, ,

.

То есть в каждой точке пространства вращение жидких частиц можно охарактеризовать вектором угловой скорости , модуль которого равен . Каждый такой вектор характеризует местное вращение жидкости.

При исследовании полей угловых скоростей обычно вводят понятия, аналогичные тем, которые были введены применительно к полю линейных скоростей. Для описания поля угловых скоростей вращения вводится понятие вихревыхлиний. Построение вихревых линий аналогично построению линий тока (рис. 2.7).

Вихревой линией называется линия, проведенная в данный момент времени в потоке жидкости или газа, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней.

По аналогии с линиями тока можно записать дифференциальные уравнения вихревых линий:

.

Кроме понятия вихревых линий вводится понятие вихревых трубок. Рассмотрим произвольный малый замкнутый контур, не совпадающий с вихревой линией, и проведем через каждую точку этого контура вихревую линию (рис. 2.8). Совокупность этих линий образует вихревую трубку. Жидкость или газ, заключенные в ней, называются вихревым шнуром (вихревой нитью или вихрем).

Боковые поверхности вихревой трубки образованы вихревыми линиями, и, следовательно, поток вихря вектора скорости через боковую поверхность равен нулю.

Так как , то поток вихря для любых поперечных сечений вихревой трубки (интенсивность вихря) одинаков: . Если для поперечного сечения вихревой трубки , то интенсивность вихревой трубки постоянна:

.

Отсюда, вторая теорема Гельмгольца звучит следующим образом:

Поток вихря вектора скорости сквозь произвольно проведенное поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки.

Из этой теоремы можно сделать вывод о возможных формах существования вихрей:

1. Сечение вихревой трубки нигде не равно 0, так как при и постоянной интенсивности вихревой трубки угловая скорость вращения , что физически невозможно.

2. Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя (вихревые кольца), либо опираются на стенку (поверхность твердого тела) или на свободную поверхность (поверхность раздела двух сред с разной плотностью). Вихри теоретически могут иметь бесконечную протяженность, что возможно только в идеальной жидкости. В реальных условиях под действием сил вязкостного трения вихрь постепенно разрушается. Значение интенсивности (или напряжения) вихря связано с возникающей вокруг вихря циркуляцией вектора скорости.

При отсутствии вихревого движения . Если в этом случае траектории частиц представляют собой замкнутые кривые, то такое движение является частным случаем циркуляционного течения (частицы вращаются относительно оси, не проходящей через нее, и не вращаются относительно собственных осей).

В аэрогидромеханике важную роль играет понятие циркуляции скорости Г. Выделим в движущейся жидкости произвольный замкнутый контур (рис. 2.9). Пусть в некоторой точке этого контура скорость равна V , а проекция ее на касательную к данной точке контура равна . Запишем произведение и возьмем от него криволинейный интеграл по контуру :

Определяемая таким образом величина Г называется циркуляцией скорости по замкнутому контуру . При вычислении Г направление обхода контура (направление интегрирования) считается положительным, если охваченная контуром область остается слева.

Рассмотрим в качестве примера циркуляционного течения обтекание несимметричного профиля крыла плоскопараллельным потоком.

Допустим, что среда обтекает крыло, вызывая появление подъемной силы. Тогда скорости течения под нижней поверхностью крыла меньше скорости невозмущенного набегающего потока, а над верхней поверхностью – больше . Характер возмущенного течения у крыла можно выяснить, вычитая из локальных скоростей скорости прямолинейного поступательного потока. В результате получим поток возмущения, т. е. движение, которое возникает в среде от присутствия крыла. Поскольку влияние крыла местное, то линии тока потока возмущения не уходят на бесконечность, а должны иметь начало и конец на поверхности крыла или быть замкнутыми. Такой поток с замкнутыми линиями тока и называют циркуляционным. Таким образом, течение у крыла можно представить как сумму поступательного невозмущенного потока и течения по замкнутым траекториям (рис. 2.10).

Интенсивность циркуляционного потока у крыла характеризуется величиной циркуляции скорости по замкнутому контуру :

где – элемент дуги контура; – проекция скорости на элемент . В общем случае произвольно выбранный контур может не совпадать с линией тока циркуляционного течения (рис. 2.11). Таким образом, циркуляционным называется движение, при котором циркуляция скорости ; если , то движение среды происходит без циркуляции.

Если циркуляция скорости вокруг профиля (крыла) равна нулю, то профиль (крыло) не создает подъемной силы. Если величина подъемной силы не равна нулю, то в обязательном порядке около профиля создается циркуляционное течение и циркуляция скорости .

Применим понятие циркуляции скорости к сечению вихревой трубки, проведенному по нормали к ее оси. Вихревая нить индуцирует вокруг себя поле скоростей. При скорость движения частиц на расстоянии от оси вихря определяется как . Выберем замкнутый контур, охватывающий вихрь, в виде окружности радиусом . Тогда циркуляция вектора скорости по этому контуру будет равна , где – площадь, охватываемая окружностью. Полученное выражение есть не что иное, как удвоенная интенсивность вихревой трубки.

Таким образом, мы рассмотрели методы описания движения среды, математическое описание движения жидкой частицы, движения без вращения частицы, вихревого движения. Далее будут рассмотрены уравнения движения газа как сплошной среды.

Контрольные вопросы и задания

1. На основании анализа уравнения линии тока покажите, что через критическую точку может проходить бесконечное число линий тока.

2. В некоторой точке пространства движущейся жидкости площадь поперечного сечения трубки тока становится равной нулю. Какой кинематический объект находится в этой точке пространства, если линии тока направлены в его сторону?

3. Почему через каждую точку потока можно провести только одну линию тока? Не находится ли данное положение в противоречии с кинематическим образом, о котором говорится в задании 2?

4. В чем принципиальное отличие движения жидкой частицы от движения твердого тела?

5. Потенциал скорости для некоторой точки пространства движущейся жидкости равен . Запишите выражение для расчета величины скорости потока через потенциал.

DA , равна .

В каком из вариантов наблюдается циркуляционное течение?

9. Объясните, почему на рис. 2.11 вектор скорости в нижней части контура обхода направлен именно таким образом.

10. Исходя из положения, что угловая скорость вращения не может быть равной ¥, объясните, что будет происходить с вихревым жгутом, образовавшимся в некотором месте пространства, и как он может себя вести.