Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.
Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:
- Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
- Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
- Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.
Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.
Быстрый переход
Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты
Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:
P Б =(1/K)*100%,
где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;
K – коэффициент БК на исход.
Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.
Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.
Расчёт вероятности события игроком
Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:
P И =(УМ/М)*100%,
где P И – вероятность события по мнению игрока;
УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;
М – общее количество матчей.
Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.
И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.
Определение ценности ставки
Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:
V= P И *K-100%,
где V – ценность;
P И – вероятность исхода по мнению беттера;
K – коэффициент БК на исход.
Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.
Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.
Нравится нам это или нет, но наша жизнь полна всевозможных случайностей, как приятных так и не очень. Поэтому каждому из нас не помешало бы знать, как найти вероятность того или иного события. Это поможет принимать верные решения при любых обстоятельствах, которые связаны с неопределенностью. К примеру, такие знания окажутся весьма кстати при выборе вариантов инвестирования, оценке возможности выигрыша в акции или лотерее, определении реальности достижения личных целей и т. д., и т. п.
Формула теории вероятности
В принципе, изучение данной темы не занимает слишком много времени. Для того чтобы получить ответ на вопрос: "Как найти вероятность какого-либо явления?", нужно разобраться с ключевыми понятиями и запомнить основные принципы, на которых базируется расчёт. Итак, согласно статистике, исследуемые события обозначаются через A1, А2,..., An. У каждого из них есть как благоприятствующие исходы (m), так и общее количество элементарных исходов. К примеру, нас интересует, как найти вероятность того, что на верхней грани кубика окажется четное число очков. Тогда А - это бросок m - выпадение 2, 4 или 6 очков (три благоприятствующих варианта), а n - это все шесть возможных вариантов.
Сама же формула расчета выглядит следующим образом:
С одним исходом все предельно легко. А вот как найти вероятность, если события идут одно за другим? Рассмотрим такой пример: из карточной колоды (36 шт.) показывается одна карта, затем она прячется снова в колоду, и после перемешивания вытаскивается следующая. Как найти вероятность того, что хоть в одном случае была вытащена дама пик? Существует следующее правило: если рассматривается сложное событие, которое можно разделить на несколько несовместимых простых событий, то можно сначала рассчитать результат для каждого из них, а затем сложить их между собой. В нашем случае это будет выглядеть так: 1 / 36 + 1 / 36 = 1 / 18 . А как же быть тогда, когда несколько происходят одновременно? Тогда результаты умножаем! Например, вероятность того, что при одновременном подбрасывании сразу двух монет выпадут две решки, будет равна: ½ * ½ = 0.25.
Теперь возьмем еще более сложный пример. Предположим, мы попали на книжную лотерею, в которой из тридцати билетов десять являются выигрышными. Требуется определить:
- Вероятность того, что оба окажутся выигрышными.
- Хотя бы один из них принесет приз.
- Оба окажутся проигрышными.
Итак, рассмотрим первый случай. Его можно разбить на два события: первый билет будет счастливым, и второй также окажется счастливым. Учтем, что события зависимы, поскольку после каждого вытаскивания общее количество вариантов уменьшается. Получаем:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
Во втором случае понадобится определить вероятность проигрышного билета и учесть, что он может быть как первым по счету, так и вторым: 10 / 30 * 20 / 29 + 20 / 29 * 10 / 30 = 0,4598.
Наконец, третий случай, когда по разыгранной лотерее даже одной книжки получить не получится: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.
Итак, поговорим на тему, которая интересует очень многих. В данной статье я вам отвечу на вопрос о том, как рассчитать вероятность события. Приведу формулы для такого расчета и несколько примеров, чтобы было понятнее, как это делается.
Что такое вероятность
Начнем с того, что вероятность того, что то или иное событие произойдет – некая доля уверенности в конечном наступлении какого-то результата. Для этого расчета разработана формула полной вероятности, позволяющая определить, наступит интересующее вас событие или нет, через, так называемые, условные вероятности. Эта формула выглядит так: Р = n/m, буквы могут меняться, но на саму суть это никак не влияет.
Примеры вероятности
На простейшем примере разберем эту формулу и применим ее. Допустим, у вас есть некое событие (Р), пусть это будет бросок игральной кости, то есть равносторонний кубик. И нам требуется подсчитать, какова вероятность выпадения на нем 2 очков. Для этого нужно число положительных событий (n), в нашем случае – выпадение 2 очков, на общее число событий (m). Выпадение 2 очков может быть только в одном случае, если на кубике будет по 2 очка, так как по другому, сумма будет больше, из этого следует, что n = 1. Далее подсчитываем число выпадения любых других цифр на кости, на 1 кости – это 1, 2, 3, 4, 5 и 6, следовательно, благоприятных случаев 6, то есть m = 6. Теперь по формуле делаем нехитрое вычисление Р = 1/6 и получаем, что выпадение на кости 2 очков равно 1/6, то есть вероятность события очень мала.
Еще рассмотрим пример на цветных шарах, которые лежат в коробке: 50 белых, 40 черных и 30 зеленых. Нужно определить какова вероятность вытащить шар зеленого цвета. И так, так как шаров этого цвета 30, то есть, положительных событий может быть только 30 (n = 30), число всех событий 120, m = 120 (по общему количеству всех шаров), по формуле рассчитываем, что вытащить зеленый шар вероятность равна будет Р = 30/120 = 0,25, то есть 25 % из 100. Таким же образом, можно вычислить и вероятность вытащить шар другого цвета (черного она будет 33%, белого 42%).
Профессиональный беттер должен хорошо ориентироваться в коэффициентах, быстро и правильно оценивать вероятность события по коэффициенту и при необходимости уметь перевести коэффициенты из одного формата в другой . В данном мануале мы расскажем о том, какие бывают виды коэффициентов, а так же на примерах разберём, как можно высчитывать вероятность по известному коэффициенту и наоборот.
Какие бывают типы коэффициентов?
Существует три основных вида коэффициентов, которые предлагают игрокам букмекеры: десятичные коэффициенты , дробные коэффициенты (английские) и американские коэффициенты . Наиболее распространённые коэффициенты в Европе - десятичные. В Северной Америке популярны американские коэффициенты. Дробные коэффициенты - наиболее традиционный вид, они сразу же отражают информацию о том сколько нужно поставить, чтобы получить определённую сумму.
Десятичные коэффициенты
Десятичные или еще их называют европейские коэффициенты - это привычный формат числа, представленный десятичной дробью с точностью до сотых, а иногда даже до тысячных. Пример десятичного коэффициента - 1.91. Рассчитать прибыль в случае с десятичными коэффициентами очень просто, достаточно лишь умножить сумму вашей ставки на этот коэффициент. Например, в матче "Манчестер Юнайтед" - "Арсенал" победа "МЮ" выставлена с коэффициентом - 2.05, ничья оценена коэффициентом - 3.9, а победа "Арсенала" равняется - 2.95. Предположим, что мы уверены в победе "Юнайтед" и ставим на них 1000 долларов. Тогда наш возможный доход рассчитывается следующим образом:
2.05 * $1000 = $2050;
Правда ведь ничего сложного?! Точно так же рассчитывается возможный доход при ставке на ничью и победу "Арсенала".
Ничья: 3.9 * $1000 = $3900;
Победа "Арсенала": 2.95 * $1000 = $2950;
Как рассчитать вероятность события по десятичным коэффициентам?
Представим теперь что нам нужно определить вероятность события по десятичным коэффициентам, которые выставил букмекер. Делается это так же очень просто. Для этого мы единицу делим на этот коэффициент.
Возьмем уже имеющиеся данные и посчитаем вероятность каждого события:
Победа "Манчестер Юнайтед": 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Ничья: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Победа "Арсенала": 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
Дробные коэффициенты (Английские)
Как понятно из названия дробный коэффициент представлен обыкновенной дробью. Пример английского коэффициента - 5/2. В числителе дроби находиться число, являющееся потенциальной суммой чистого выигрыша, а в знаменателе расположено число обозначающее сумму которую нужно поставить, чтобы этот выигрыш получить. Проще говоря, мы должны поставить $2 доллара, чтобы выиграть $5. Коэффициент 3/2 означает что для того чтобы получить $3 чистого выигрыша нам придётся сделать ставку в размере $2.
Как рассчитать вероятность события по дробным коэффициентам?
Вероятность события по дробным коэффициентам рассчитать так же не сложно, нужно всего на всего разделить знаменатель на сумму числителя и знаменателя.
Для дроби 5/2 рассчитаем вероятность: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Для дроби 3/2 рассчитаем вероятность:
Американские коэффициенты
Американские коэффициенты в Европе непопулярны, зато в Северной Америке очень даже. Пожалуй, данный вид коэффициентов самый сложный, но это только на первый взгляд. На самом деле и в этом типе коэффициентов ничего сложного нет. Сейчас во всем разберёмся по порядку.
Главной особенностью американских коэффициентов является то, что они могут быть как положительными , так и отрицательными . Пример американских коэффициентов - (+150), (-120). Американский коэффициент (+150) означает, что для того чтобы заработать $150 нам нужно поставить $100. Иными словами положительный американский коэффициент отражает потенциальный чистый заработок при ставке в $100. Отрицательный же американский коэффициент отражает сумму ставки, которую необходимо сделать для того чтобы получить чистый выигрыш в $100. Например коэффициент (- 120) нам говорит о том, что поставив $120 мы выиграем $100.
Как рассчитать вероятность события по американским коэффициентам?
Вероятность события по американскому коэффициенту считается по следующим формулам:
(-(M)) / ((-(M)) + 100)
, где M - отрицательный американский коэффициент;
100 / (P + 100)
, где P - положительный американский коэффициент;
Например, мы имеем коэффициент (-120), тогда вероятность рассчитывается так:
(-(M)) / ((-(M)) + 100); подставляем вместо "M" значение (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
Таким образом, вероятность события с американским коэффициентом (-120) равна 54,5%.
Например, мы имеем коэффициент (+150), тогда вероятность рассчитывается так:
100 / (P + 100); подставляем вместо "P" значение (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
Таким образом, вероятность события с американским коэффициентом (+150) равна 40%.
Как зная процент вероятности перевести его в десятичный коэффициент?
Для того чтобы рассчитать десятичный коэффициент по известному проценту вероятности нужно 100 разделить на вероятность события в процентах. Например, вероятность события составляет 55%, тогда десятичный коэффициент этой вероятности будет равен 1,81.
100 / 55% = 1,81
Как зная процент вероятности перевести его в дробный коэффициент?
Для того чтобы рассчитать дробный коэффициент по известному проценту вероятности нужно от деления 100 на вероятность события в процентах отнять единицу. Например, имеем процент вероятности 40%, тогда дробный коэффициент этой вероятности будет равен 3/2.
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Дробный коэффициент равен 1,5/1 или 3/2.
Как зная процент вероятности перевести его в американский коэффициент?
Если вероятность события больше 50%, то расчёт производится по формуле:
- ((V) / (100 - V)) * 100, где V - вероятность;
Например, имеем вероятность события 80%, тогда американский коэффициент этой вероятности будет равен (-400).
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
В случае если вероятность события меньше 50%, то расчёт производиться по формуле:
((100 - V) / V) * 100 , где V - вероятность;
Например, имеем процент вероятности события 20%, тогда американский коэффициент этой вероятности будет равен (+400).
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
Как перевести коэффициент в другой формат?
Бывают случаи, когда необходимо перевести коэффициенты из одного формата в другой. Например, у нас есть дробный коэффициент 3/2 и нам нужно перевести его в десятичный. Для перевода дробного коэффициента в десятичный мы сначала определяем вероятность события с дробным коэффициентом, а затем эту вероятность переводим в десятичный коэффициент.
Вероятность события с дробным коэффициентом 3/2 равна 40%.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
Теперь переведём вероятность события в десятичный коэффициент, для этого 100 делим на вероятность события в процентах:
100 / 40% = 2.5;
Таким образом, дробный коэффициент 3/2 равен десятичному коэффициенту 2.5. Аналогичным образом переводятся, например, американские коэффициенты в дробные, десятичные в американские и т.д. Самое сложное во всём этом лишь расчёты.
Объединением
(логической суммой)
N событий называют событие
,
которое наблюдается каждый раз, когда
наступаетхотя бы одно из
событий
.
В частности, объединением
событий A и B
называют событие A
+
B
(у некоторых авторов
),
которое наблюдается, когданаступает
или
A,
или
B
или
оба этих события одновременно
(Рис. 7).
Признаком пересечения в текстовых
формулировках событий служит союз“или”
.
Рис. 7. Объединение событий A+B
Необходимо
учитывать, что вероятности события
P{A} соответствует
как левая часть заштрихованной на Рис. 7
фигуры, так и её центральная часть,
помеченная как
.
И исходы, соответствующие
событию B,
располагаются как в правой части
заштрихованной
фигуры, так и в помеченной
центральной части. Таким образом,
при сложении
и
площадка
реально войдет в эту сумму дважды, а
точное выражение для площади заштрихованнойфигуры имеет
вид
.
Итак, вероятность объединения двух событий A и B равна
Для большего числа событий общее расчетное выражение становится крайне громоздким из-за необходимости учета многочисленных вариантов взаимного наложения областей. Однако, если объединяемые события являются несовместными (см. с. 33), то взаимное наложение областей оказывается невозможным, а благоприятная зона определяется непосредственно суммой областей, соответствующих отдельным событиям.
Вероятность
объединения
произвольного числанесовместных
событий
определяется выражением
|
|
Следствие 1
:
Полная группа
событий состоит из событий
несовместных, одно из которых в опыте
обязательно реализуется. В результате,если события
…
,образуют
полную группу
,
то для них
Таким образом,
С
ледствие
3
Учтем,
что противоположным
утверждению «произойдет хотя бы
одно из событий
…
»
является утверждение «ни одно из событий
…
не реализуется». Т.е., иначе говоря, «в
опыте будут наблюдаться события
,
и
,
и …, и
»,
что представляет собой уже пересечение
событий, противоположных исходному
набору. Отсюда, с учетом (2 .0), для
объединения произвольного числа событий
получаем
|
|
Следствия
2, 3 показывают, что в тех случаях, когда
непосредственный расчет вероятности
какого-то события является проблематичным,
полезно оценить
трудоёмкость исследования события
ему противоположного. Ведь, зная значение
,
получить из (2 .0) нужную величину
никакого труда уже не представляет.
Примеры расчетов вероятностей сложных событий
Пример 1 : Двое студентов (Иванов и Петров) вместе я вились на защиту лабораторной работы, выучив первые 8 кон трольных вопросов к этой работе из 10 имеющихся. Проверяя подготовленность, п реподаватель задает каждому лишь оди н случайно выбираемый вопрос. Определить вероятность следующих событий:
A = “Иванов защитит лабораторную работу”;
B = “Петров защитит лабораторную работу”;
C = “оба защитят лабораторную работу”;
D = “хотя бы один из студентов защитит работу”;
E = “только один из студентов защитит работу”;
F = “никто из них не защитит работу”.
Решение. Отметим, что способность защитить работу как Иванова, т ак и Петрова в отдельности определяется лишь числом освоенных вопросов, поэтом у . (Примечание: в данном примере значения получаемых дробей сознательно не сокращались для упрощения сопоставления результатов расчетов.)
Событие C можно сформулировать иначе как «работу защитит и Иванов, и Петров», т.е. произойдут и событие A , и событие B . Таким образом, событие C является пересечением событий A и B , и в соответствии с (2 .0)
где сомножитель “7/9” появляется из-за того, что наступление события A означает, что Иванову достался «удачный» вопрос, а значит на долю Петрова из оставшихся 9 вопросов приходится теперь лишь 7 «хороших» вопросов.
Событие D подразумевает, что «работу защитит или Иванов, или Петров, или они оба вместе», т.е. произойдёт хотя бы одно из событий A и B . Итак, событие D является объединением событий A и B , и в соответствии с (2 .0)
что соответствует ожиданиям, т.к. даже для каждого из студентов в отдельности шансы на успех довольно велики.
С обытие Е означает, что «либо работу защитит Ивано в, а Петров «п ровалится», или Иванову попадется неудачный во прос, а Петров с защитой справится». Два альтернативных варианта являются взаимоисключающими (несовместными), поэтому
Наконец, утверждение F окажется справедливым лишь если « и Иванов, и Петров с защитой не справятся». Итак,
На этом решение задачи завершено, однако полезно отметить следующие моменты:
1. Каждая из
полученных вероятностей удовлетворяет
условию (1 .0), н
о
если для
и
получить
конфликт
ующие с
(1 .0) в
принципе невозможно, то для
попытка и
спользования
(2 .0) вместо (2 .0) привела бы к явно
некорр
ектному значению
.
Важно помнить, что подобное значение
вероятности принципиально невозможно,
и при получении столь парадоксального
результата незамедлительно приступать
к поиску ошибки.
2. Найденные вероятности удовлетворяют соотношения м
.
Э то вполне ожидаемо, т.к. события C , E и F образуют полн ую группу, а события D и F противоположны друг другу. Учет этих соотношений с одной стороны может быть использо ван для перепроверки расчетов, а в другой ситуации может послужить основой альтернативного способа решения задачи.
П римечание : Не пренебрегайте письменной фиксацией точной формулировки события, иначе по ходу решения задачи Вы можете непроизвольно перейти к иной трактовке смысла этого события, что повлечет ошибки в рассуждениях.
Пример 2 : В крупной партии микросхем, не прошедших выходной контроль качества, 30% изделий являются бракованными. Если из этой партии наугад выбрать какие-либо две микросхемы, то какова вероятность, что среди них:
A = “обе годные”;
B = “ровно 1 годная микросхема”;
C = “обе бракованные”.
Проанализируем следующий вариант рассуждений (осторожно, содержит ошибку):
Так как речь идет о крупной партии изделий, то изъятие из неё нескольких микросхем практически не влияет на соотношение числа годных и бракованных изделий, а значит, выбирая несколько раз подряд какие-то микросхемы из этой партии, можно считать, что в каждом из случаев остаются неизменными вероятности
=
P
{
выбрано бракованное изделие } = 0,3 и
=
P
{
выбрано годное изделие } = 0,7.
Для наступления события A необходимо, чтобы и в первый, и во второй раз было выбрано годное изделии, а потому (учитывая независимость друг от друга успешности выбора первой и второй микросхемы) для пересечения событий имеем
Аналогично, для наступления события С нужно, чтобы оба изделия оказались бракованными , а для получения B нужно один раз выбрать годное, а один – бракованное изделие.
Признак ошибки. Х отя все полученные выше вероятност и выглядят правдоподобными, при их совместном анализе легко з аметить, что .Однако случаи A , B и C образуют полную группу событий, для которой должно выполняться .Это противоречие указывает на наличие какой-то ошибки в рассуждениях.
С уть ошибки. Введем в рассмотрение два вспомогате льных события :
= “первая
микросхема – годная, вторая - бракованная”;
=
“первая микросхема – бракованная,
вторая – годная”.
Очевидно, что
,
однако именно такой вариант расчета
был выше использован для получения
вероятности события
B
,
хотя события
B
и
не являются э
квивалентными
.
На самом деле,
,
т.к. формулировка
события
B
требует, чтобы среди микросхем ровно
одна
, но совсем
не
обязательно первая
была годной
(а другая – бракованной). Поэтому, хотя
событие
не является дублем события
,
а должно учиты
ваться независимо.
Учитывая несовместность событий
и
,
вероятность их логической суммы будет
равна
После указанного исправления расчетов имеем
что косвенно подтверждает корректность найденных вероятностей.
Примечание : Обращайте особое внимание на отличие в формулировках событий типа “только первый из перечисленных элементов должен…” и “только один из перечисленных элем ентов должен…”. Последнее событие явно шире и включае т в свой состав первое как один из (возможно многочисленны х) вариантов. Эти альтернативные варианты (даже при совпадении их вероятностей) следует учитывать независимо друг от друга.
П римечание : Слово “процент” произошло от “ per cent ”, т.е. “на сотню”. Представление частот и вероятностей в процентах позволяет оперировать более крупными значениями, что иногда упрощает восприятие значений “на слух”. Однако использовать в расчетах для правильной нормировки умножение или деление на “100 %” громоздко и неэффективно. В связи с этим, не з абывайте при использовании значений, упомя нутых в процентах, подставлять их в расчетные выражения у же в виде долей от единицы (например, 35% в расчете записываетс я как “0,35”), чтобы минимизировать риск ошибочной нормировки результатов.
Пример 3 : Набор резисторов содержит один резистор н оминалом 4 кОм, три резистора по 8 кОм и шесть резист оров с сопротивлением 15 кОм. Выбранные наугад три резистора соединяются друг с другом параллельно. Определить вероятность получения итогового сопротивления, не превышающего 4 кОм.
Реш ение. Сопротивление параллельного соединения рез исторов может быть рассчитано по формуле
.
Это позволяет ввести в рассмотрение события, такие как
A
= “выбраны три резистора по 15 кОм” =
“
”;
B
= “в
зяты два
резистора по 15 кОм и один с сопротивление
м
8 кОм” =“
”…
Полная группа событий, соответствующих условию задачи, включает ещё целый ряд вариантов, причем именно таких, к оторые соответствуют выдвинутому требованию о получении сопротивления не более чем 4 кОм. Однако, хотя “прямой” путь решения, предполагающий расчет (и последующее сумми рование) вероятностей, характеризующих все эти события, и является правильным, действовать таким образом нецелесообразно.
Отметим, что для получения итогового сопротивления менее 4 кОм д остаточно, чтобы в используемый набор вошел хотя бы один резистор с сопротивлени ем менее 15 кОм. Таким образом, лишь в случае A требование задачи не выполняется, т.е. событие A является противоположным исследуемому. Вместе с тем,
.
Таким образом, .
П
ри
мечание
:
Рассчитывая вероятность некоторого
события
A
,
не забывайте проанализировать трудоемкость
определени
я вероятности
события ему противоположного. Если
расс
читать
легко, то
именно с этого и надо начинать решен
ие
задачи
, завершая его применением
соотношения
(2 .0).
П ример 4 : В коробке имеются n белых, m черных и k красных шаров. Шары по одному наугад извлекаются из коробки и возвращаются обратно после каждого извлечения. Определить вероятность события A = “белый шар будет извлечен раньше, чем черный ” .
Реш ение. Рассмотрим следующую совокупность событий
= “белый шар
извлекли при первой же попытке”;
= “сначала вынули
красный шар, а затем - белый”;
=
“дважды вынули красный шар, а на третий
раз - белый
”…
Так к
ак
шарики возвращаются, то последовательность
соб
ытий
может быть формально бесконечно
протяженной.
Эти события являются несовместными и составляют в совокупности тот набор ситуаций, при которых происходит событие A . Таким образом,
Несложно заметить,
что входящие в сумму слагаемые образуют
геометрическую прогрессию
с начальным элементом
и знаменателем
.
Но сумм
а элементов бесконечной
геометрической прогрессии равна
|
|
.
Таким образом, . Л юбопытно, что эта вероятность (как следует из полученно го выражения) не зависит от числа красных шаров в коробке.
