Н. Никитин Геометрия. Признаци за успоредност на две прави

Определение 1

Правата $c$ се нарича секущаза прави $a$ и $b$, ако ги пресича в две точки.

Да разгледаме две прави $a$ и $b$ и секуща $c$.

При пресичането им възникват ъгли, които означаваме с числа от $1$ до $8$.

Всеки от тези ъгли има име, което често се използва в математиката:

• се наричат ​​двойки ъгли $3$ и $5$, $4$ и $6$ лежащ на кръст;
• двойки ъгли $1$ и $5$, $4$ и $8$, $2$ и $6$, $3$ и $7$ се наричат подходящо;
• се наричат ​​двойки ъгли $4$ и $5$, $5$ и $6$ едностранчив.

Признаци на успоредни прави

Теорема 1

Равенството на двойка напречни ъгли за правите $a$ и $b$ и секанса $c$ показва, че правите $a$ и $b$ са успоредни:

Доказателство.

Нека напречните ъгли на правите $a$ и $b$ и напречната $c$ са равни: $∠1=∠2$.

Нека покажем, че $a \parallel b$.

При условие, че ъглите $1$ и $2$ са прави ъгли, получаваме, че правите $a$ и $b$ ще бъдат перпендикулярни на правата $AB$ и следователно успоредни.

При условие, че ъглите $1$ и $2$ не са прави ъгли, от точката $O$ - средата на отсечката $AB$, начертаваме перпендикуляр $OH$ на правата $a$.

На правата $b$ нанасяме отсечката $BH_1=AH$ и начертаваме отсечката $OH_1$. Получаваме два равни триъгълника $ОНА$ и $ОH_1В$ по двете страни и ъгъла между тях ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), следователно $∠3=∠4$ и $ ∠5=∠6$. защото $∠3=∠4$, тогава точката $H_1$ лежи на лъча $ON$, следователно точките $H$, $O$ и $H_1$ принадлежат на една права. защото $∠5=∠6$, тогава $∠6=90^(\circ)$. Така правите $a$ и $b$ са перпендикулярни на правата $HH_1$ са успоредни. Теоремата е доказана.

Теорема 2

Равенството на двойка съответни ъгли за правите $a$ и $b$ и секущата $c$ показва, че правите $a$ и $b$ са успоредни:

ако $∠1=∠2$, тогава $a \parallel b$.

Доказателство.

Нека съответните ъгли на правите $а$ и $b$ и секущата $с$ са равни: $∠1=∠2$. Ъгли $2$ и $3$ са вертикални, така че $∠2=∠3$. Така че $∠1=∠3$. защото ъгли $1$ и $3$ са напречни, тогава правите $a$ и $b$ са успоредни. Теоремата е доказана.

Теорема 3

Ако сумата от два едностранни ъгъла за правите $a$ и $b$ и напречната $c$ е равна на $180^(\circ)C$, то правите $a$ и $b$ са успоредни:

ако $∠1+∠4=180^(\circ)$, тогава $a \parallel b$.

Доказателство.

Нека сумата от едностранните ъгли за прави $a$ и $b$ и напречната $c$ е $180^(\circ)$, например

$∠1+∠4=180^(\circ)$.

Ъгли $3$ и $4$ са съседни, така че

$∠3+∠4=180^(\circ)$.

От получените равенства става ясно, че напречните ъгли $∠1=∠3$, от което следва, че правите $a$ и $b$ са успоредни.

Теоремата е доказана.

От разгледаните характеристики следва, че правите са успоредни.

Примери за решаване на проблеми

Пример 1

Пресечната точка разделя отсечките $AB$ и $CD$ наполовина. Докажете, че $AC \parallel BD$.

дадени: $AO=OB$, $CO=OD$.

Докажи: $AC \parallel BD$.

Доказателство.

От условията на задачата $AO=OB$, $CO=OD$ и равенството на вертикалните ъгли $∠1=∠2$ по първия критерий за равенство на триъгълниците следва, че $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$ . Така $∠3=∠4$.

Ъгли $3$ и $4$ лежат напречно на две прави $AC$ и $BD$ и напречна $AB$. Тогава, според първия критерий за успоредност на прави, $AC \parallel BD$. Твърдението е доказано.

Пример 2

Даден е ъгъл $∠2=45^(\circ)$ и $∠7$ е $3$ пъти по-голям от дадения ъгъл. Докажете, че $a \parallel b$.

дадени: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.

Докажи: $a \parallel b$.

Доказателство:

1. Нека намерим стойността на ъгъл $7$:

$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.

1. Вертикални ъгли $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
2. Нека намерим сумата от вътрешните ъгли $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.

Според третия критерий за успоредност на правите $a \parallel b$. Твърдението е доказано.

Пример 3

дадени: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

Докажи: $AC \паралелно BD$, $AD \паралелно BC$.

Доказателство:

За разглежданите чертежи страната $AB$ е обща.

защото триъгълниците $ABC$ и $ADB$ са равни, то $AD=CB$, $AC=BD$, както и съответните ъгли са равни $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠ 5=∠6 $.

Двойката ъгли $3$ и $4$ са напречни за правите $AC$ и $BD$ и съответния секанс $AB$, следователно, съгласно първия критерий за успоредност на правите $AC \parallel BD$.

Двойката ъгли $5$ и $6$ са напречни за правите $AD$ и $BC$ и съответния секанс $AB$, следователно, съгласно първия критерий за успоредност на правите $AD \parallel BC$.

Страница 1 от 2

Въпрос 1.Докажете, че две прави, успоредни на трета, са успоредни.
Отговор. Теорема 4.1. Две прави, успоредни на трета, са успоредни.
Доказателство.Нека правите a и b са успоредни на правата c. Да приемем, че a и b не са успоредни (фиг. 69). Тогава те не се пресичат в някаква точка C. Това означава, че две прави минават през точка C успоредно на права c. Но това е невъзможно, тъй като през точка, която не лежи на дадена права, можете да начертаете най-много една права, успоредна на дадената. Теоремата е доказана.

Въпрос 2.Обяснете кои ъгли се наричат ​​едностранни вътрешни ъгли. Какви ъгли се наричат ​​вътрешни напречни?
Отговор.Двойките ъгли, които се образуват, когато правите AB и CD се пресичат със секущата AC, имат специални имена.
Ако точките B и D лежат в една и съща полуравнина спрямо права линия AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат ​​едностранни вътрешни ъгли (фиг. 71, а).
Ако точките B и D лежат в различни полуравнини спрямо права линия AC, тогава ъглите BAC и DCA се наричат ​​вътрешни напречни ъгли (фиг. 71, b).

Ориз. 71

Въпрос 3.Докажете, че ако вътрешните ъгли на едната двойка са равни, то вътрешните ъгли на другата двойка също са равни и сборът от вътрешните ъгли на всяка двойка е 180°.
Отговор.Секущата AC образува с правите AB и CD две двойки вътрешни едностранни ъгли и две двойки вътрешни напречни ъгли. Вътрешните напречни ъгли на една двойка, например ъгъл 1 и ъгъл 2, са съседни на вътрешните напречни ъгли на друга двойка: ъгъл 3 и ъгъл 4 (фиг. 72).

Ориз. 72

Следователно, ако вътрешните ъгли на едната двойка са равни, тогава вътрешните ъгли на другата двойка също са равни.
Двойка вътрешни кръстосани ъгли, например ъгъл 1 и ъгъл 2, и двойка вътрешни едностранни ъгли, например ъгъл 2 и ъгъл 3, имат един общ ъгъл - ъгъл 2, а други два ъгъла са съседни : ъгъл 1 и ъгъл 3.
Следователно, ако вътрешните напречни ъгли са равни, тогава сумата от вътрешните ъгли е 180°. И обратното: ако сборът на вътрешните пресичащи се ъгли е равен на 180°, то пресичащите се вътрешни ъгли са равни. Q.E.D.

Въпрос 4.Докажете тест за успоредни прави.
Отговор. Теорема 4.2 (тест за успоредни прави).Ако вътрешните напречни ъгли са равни или сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 180°, тогава правите са успоредни.
Доказателство.Нека правите a и b образуват равни вътрешни напречни ъгли със секанса AB (фиг. 73, а). Да кажем, че правите a и b не са успоредни, което означава, че се пресичат в някаква точка C (фиг. 73, b).

Ориз. 73

Секущата AB разделя равнината на две полуравнини. В една от тях лежи точка C. Да построим триъгълник BAC 1, равен на триъгълник ABC, с връх C 1 в друга полуравнина. По условие вътрешните напречни ъгли на успоредника a, b и секущата AB са равни. Тъй като съответните ъгли на триъгълници ABC и BAC 1 с върхове A и B са равни, те съвпадат с вътрешните ъгли, разположени на кръст. Това означава, че правата AC 1 съвпада с правата a, а правата BC 1 съвпада с правата b. Оказва се, че две различни прави a и b минават през точки C и C 1. А това е невъзможно. Това означава, че правите a и b са успоредни.
Ако правите a и b и напречната AB имат сбор от вътрешните едностранни ъгли, равна на 180°, то, както знаем, вътрешните ъгли, лежащи на кръст, са равни. Това означава, че според доказаното по-горе, правите a и b са успоредни. Теоремата е доказана.

Въпрос 5.Обяснете кои ъгли се наричат ​​съответни ъгли. Докажете, че ако вътрешните напречни ъгли са равни, то съответните ъгли също са равни и обратно.

Отговор.Ако за двойка вътрешни напречни ъгли един ъгъл се замени с вертикален, тогава получаваме двойка ъгли, които се наричат ​​съответните ъгли на тези прави с напречна. Което трябваше да се обясни.
От равенството на вътрешните кръстосани ъгли следва равенството на съответните ъгли и обратно. Да кажем, че имаме две успоредни прави (тъй като по условие вътрешните ъгли, разположени един срещу друг, са равни) и напречна, които образуват ъгли 1, 2, 3. Ъгли 1 и 2 са равни като вътрешни ъгли, разположени един срещу друг. А ъгли 2 и 3 са равни като вертикални. Получаваме: \(\ъгъл\)1 = \(\ъгъл\)2 и \(\ъгъл\)2 = \(\ъгъл\)3. От свойството за транзитивност на знака за равенство следва, че \(\ъгъл\)1 = \(\ъгъл\)3. Обратното твърдение може да се докаже по подобен начин.
От това получаваме знака, че правите линии са успоредни на съответните ъгли. А именно: правите са успоредни, ако съответните ъгли са равни. Q.E.D.

Въпрос 6.Докажете, че през точка, която не лежи на дадена права, можете да прекарате права, успоредна на нея. Колко прави, успоредни на дадена права, могат да бъдат начертани през точка, която не лежи на тази права?

Отговор.Проблем (8). Дадени са права AB и точка C, която не лежи на тази права. Докажете, че през точка C можете да прекарате права, успоредна на правата AB.
Решение. Правата AC разделя равнината на две полуравнини (фиг. 75). Точка B лежи в една от тях. Нека добавим ъгъл ACD от полуправата CA към друга полуравнина, равна на ъгъл CAB. Тогава правите AB и CD ще бъдат успоредни. Всъщност за тези прави и секущата AC вътрешните ъгли BAC и DCA лежат на кръст. И тъй като са равни, правите AB и CD са успоредни. Q.E.D.
Сравнявайки постановката на задача 8 и аксиома IX (основното свойство на успоредните прави), стигаме до важно заключение: през точка, която не лежи на дадена права, е възможно да се начертае права, успоредна на нея, и то само една.

Въпрос 7.Докажете, че ако две прави са пресечени от трета права, то пресичащите се вътрешни ъгли са равни, а сборът от вътрешните едностранни ъгли е 180°.

Отговор. Теорема 4.3(обратното на теорема 4.2). Ако две успоредни прави се пресичат с трета права, тогава пресичащите се вътрешни ъгли са равни, а сборът от вътрешните едностранни ъгли е 180°.
Доказателство.Нека a и b са успоредни прави и c е права, пресичаща ги в точки A и B. Нека начертаем права a 1 през точка A, така че вътрешните напречни ъгли, образувани от напречната c с правите a 1 и b, да са равни (фиг. 76).
Според принципа на успоредността на правите, правите a 1 и b са успоредни. И тъй като през точка A минава само една права, успоредна на права b, то права a съвпада с права a 1.
Това означава, че вътрешни напречни ъгли, образувани от напречна с
успоредните прави a и b са равни. Теоремата е доказана.

Въпрос 8.Докажете, че две прави, перпендикулярни на трета, са успоредни. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.
Отговор.От теорема 4.2 следва, че две прави, перпендикулярни на трета, са успоредни.
Да предположим, че всеки две прави са перпендикулярни на трета права. Това означава, че тези прави се пресичат с третата права под ъгъл, равен на 90°.
От свойството на ъглите, образувани при пресичане на успоредни прави с напречна, следва, че ако правата е перпендикулярна на една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна и на другата.

Въпрос 9.Докажете, че сборът от ъглите на триъгълник е 180°.

Отговор. Теорема 4.4.Сборът от ъглите на триъгълник е 180°.
Доказателство.Нека ABC е дадения триъгълник. Нека начертаем права през върха B, успоредна на правата AC. Нека отбележим върху нея точка D, така че точките A и D да лежат от двете страни на правата BC (фиг. 78).
Ъглите DBC и ACB са равни като вътрешни напречни, образувани от напречната BC с успоредни прави AC и BD. Следователно сборът от ъглите на триъгълник при върховете B и C е равен на ъгъл ABD.
А сборът от трите ъгъла на триъгълника е равен на сбора от ъглите ABD и BAC. Тъй като това са едностранни вътрешни ъгли за успоредни AC и BD и секуща AB, сборът им е 180°. Теоремата е доказана.

Въпрос 10.Докажете, че всеки триъгълник има поне два остри ъгъла.
Отговор.Наистина, нека приемем, че триъгълникът има само един остър ъгъл или изобщо няма остри ъгли. Тогава този триъгълник има два ъгъла, всеки от които е най-малко 90°. Сумата от тези два ъгъла е не по-малка от 180°. Но това е невъзможно, тъй като сборът от всички ъгли на триъгълника е 180°. Q.E.D.

1. Първият признак на паралелизъм.

Ако, когато две прави пресичат трета, вътрешните ъгли, разположени на кръст, са равни, тогава тези прави са успоредни.

Нека правите AB и CD са пресечени от правата EF и ∠1 = ∠2. Да вземем точка O - средата на отсечката KL на секущата EF (фиг.).

Нека спуснем перпендикуляра OM от точка O върху правата AB и го продължим, докато пресече правата CD, AB ⊥ MN. Нека докажем, че CD ⊥ MN.

За да направите това, помислете за два триъгълника: MOE и NOK. Тези триъгълници са равни един на друг. Действително: ∠1 = ∠2 съгласно теоремата; ОK = ОL - по конструкция;

∠MOL = ∠NOK, като вертикални ъгли. Така страната и двата съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и двата съседни ъгъла на друг триъгълник; следователно ΔMOL = ΔNOK и следователно ∠LMO = ∠KNO,
но ∠LMO е прав, което означава, че ∠KNO също е прав. Така правите AB и CD са перпендикулярни на една и съща права MN, следователно те са успоредни, което трябваше да се докаже.

Забележка. Пресечната точка на прави MO и CD може да се установи чрез завъртане на триъгълника MOL около точка O на 180°.

2. Вторият знак за паралелизъм.

Да видим дали правите AB и CD са успоредни, ако при пресичане на третата права EF съответните ъгли са равни.

Нека някои съответни ъгли са равни, например ∠ 3 = ∠2 (фиг.);

∠3 = ∠1, като вертикални ъгли; това означава, че ∠2 ще бъде равно на ∠1. Но ъгли 2 и 1 са пресичащи се вътрешни ъгли и вече знаем, че ако когато две прави пресичат третата, пресичащите се вътрешни ъгли са равни, тогава тези прави са успоредни. Следователно AB || CD.

Ако, когато две прави пресичат трета, съответните ъгли са равни, тогава тези две прави са успоредни.

На това свойство се основава изграждането на успоредни прави с линийка и чертожен триъгълник. Това става по следния начин.

Нека прикрепим триъгълника към линийката, както е показано на фиг. Ще преместим триъгълника така, че едната му страна да се плъзга по линийката, и ще начертаем няколко прави линии по някоя друга страна на триъгълника. Тези линии ще бъдат успоредни.

3. Третият знак за паралелизъм.

Уведомете ни, че когато две прави AB и CD се пресичат с трета права, сумата от всички вътрешни едностранни ъгли е равна на 2 д(или 180°). Дали в този случай правите AB и CD ще бъдат успоредни (фиг.).

Нека ∠1 и ∠2 са вътрешни едностранни ъгли и сборът им е 2 д.

Но ∠3 + ∠2 = 2 дкато съседни ъгли. Следователно ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Следователно ∠1 = ∠3 и тези вътрешни ъгли са напречни. Следователно AB || CD.

Ако, когато две прави пресичат трета, сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 2 d (или 180°), тогава тези две прави са успоредни.

Признаци на успоредни прави:

1. Ако при пресичане на две прави с трета вътрешните напречни ъгли са равни, тогава тези прави са успоредни.

2. Ако, когато две прави пресичат трета, съответните ъгли са равни, тогава тези две прави са успоредни.

3. Ако при пресичане на две прави с трета сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180°, то тези две прави са успоредни.

4. Ако две прави са успоредни на трета права, то те са успоредни една на друга.

5. Ако две прави са перпендикулярни на трета права, то те са успоредни една на друга.

Аксиомата на Евклид за паралелизма

Задача. През точка M, взета извън правата AB, начертайте права, успоредна на правата AB.

Използвайки доказаните теореми за признаците на успоредност на прави, този проблем може да бъде решен по различни начини,

Решение. 1-ва стъпка (чертеж 199).

Начертаваме MN⊥AB и през точка M прокарваме CD⊥MN;

получаваме CD⊥MN и AB⊥MN.

Въз основа на теоремата („Ако две прави са перпендикулярни на една и съща права, те са успоредни.“) заключаваме, че CD || AB.

2-ри метод (чертеж 200).

Начертаваме MK, пресичаща AB под произволен ъгъл α, и през точката M прекарваме права EF, образуваща ъгъл EMK с правата MK, равен на ъгъл α. Въз основа на теорема (), заключаваме, че EF || AB.

След като решихме тази задача, можем да считаме за доказано, че през всяка точка M, взета извън правата линия AB, е възможно да се начертае права линия, успоредна на нея. Възниква въпросът колко прави, успоредни на дадена права и минаващи през дадена точка, могат да съществуват?

Практиката на конструиране ни позволява да приемем, че има само една такава права линия, тъй като с внимателно изпълнен чертеж прави линии, начертани по различни начини през една и съща точка, успоредна на една и съща права линия, се сливат.

На теория отговорът на поставения въпрос се дава от така наречената аксиома за паралелизъм на Евклид; тя е формулирана по следния начин:

През точка, взета извън дадена права, може да се начертае само една права, успоредна на тази права.

На чертеж 201 през точка O е прекарана права SC, успоредна на права AB.

Всяка друга права, минаваща през точка O, вече няма да бъде успоредна на правата AB, а ще я пресича.

Аксиомата, възприета от Евклид в неговите Елементи, която гласи, че на равнина, през точка, взета извън дадена права, може да се начертае само една права линия, успоредна на тази права, се нарича Аксиомата на Евклид за паралелизма.

Повече от две хиляди години след Евклид много математици се опитваха да докажат това математическо твърдение, но опитите им винаги бяха неуспешни. Едва през 1826 г. големият руски учен, професор в Казанския университет Николай Иванович Лобачевски доказва, че с помощта на всички останали аксиоми на Евклид това математическо твърдение не може да бъде доказано, че наистина трябва да се приеме като аксиома. Н. И. Лобачевски създава нова геометрия, която, за разлика от геометрията на Евклид, се нарича геометрия на Лобачевски.

1. Ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни:

Ако а||° СИ b||° С, Че а||b.

2. Ако две прави са перпендикулярни на третата права, то те са успоредни:

Ако а⊥° СИ b⊥° С, Че а||b.

Останалите признаци на паралелност на линиите се основават на ъглите, образувани при пресичане на две прави линии с трета.

3. Ако сборът на вътрешните едностранни ъгли е 180°, то правите са успоредни:

Ако ∠1 + ∠2 = 180°, тогава а||b.

4. Ако съответните ъгли са равни, то правите са успоредни:

Ако ∠2 = ∠4, тогава а||b.

5. Ако вътрешните напречни ъгли са равни, тогава правите са успоредни:

Ако ∠1 = ∠3, тогава а||b.

Свойства на успоредните прави

Твърденията, обратни на свойствата на успоредните прави, са техните свойства. Те се основават на свойствата на ъглите, образувани от пресичането на две успоредни прави с трета права.

1. Когато две успоредни прави пресичат трета права, сумата от образуваните от тях вътрешни едностранни ъгли е равна на 180°:

Ако а||b, тогава ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Когато две успоредни прави пресичат трета права, съответните ъгли, образувани от тях, са равни:

Ако а||b, тогава ∠2 = ∠4.

3. Когато две успоредни прави пресичат трета права, напречните ъгли, които образуват, са равни:

Ако а||b, тогава ∠1 = ∠3.

Следното свойство е специален случай за всяко предишно:

4. Ако една права в равнина е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, то тя е перпендикулярна и на другата:

Ако а||bИ ° С⊥а, Че ° С⊥b.

Петото свойство е аксиомата за успоредни прави:

5. През точка, която не лежи на дадена права, може да се прекара само една права, успоредна на дадената права.

1. Аксиома на паралелите. През дадена точка можете да прекарате най-много една права, успоредна на дадената.

2. Ако две прави са успоредни на една и съща права, то те са успоредни една на друга.

3. Две прави, перпендикулярни на една и съща права, са успоредни.

4. Ако две успоредни прави се пресичат с трета, то образуваните вътрешни напречни ъгли са равни; съответните ъгли са равни; вътрешните едностранни ъгли се събират до 180°.

5. Ако при пресичане на две прави с трета се образуват равни вътрешни напречни ъгли, то правите са успоредни.

6. Ако при пресичане на две прави с трета се образуват равни съответни ъгли, то правите са успоредни.

7. Ако при пресичане на две прави с трета сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 180°, то правите са успоредни.

Теорема на Талес. Ако от едната страна на ъгъла са положени равни сегменти и през краищата им са начертани успоредни прави, пресичащи втората страна на ъгъла, тогава равни сегменти също са положени от втората страна на ъгъла.

Теорема за пропорционалната отсечка. Успоредни линии, пресичащи страните на ъгъл, изрязват пропорционални сегменти върху тях.

Триъгълник. Признаци за равенство на триъгълници.

1. Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

2. Ако страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и два съседни ъгъла на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

3. Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, то триъгълниците са равни.

1. От две страни.

2. По катет и хипотенуза.

3. По хипотенуза и остър ъгъл.

4. По крака и остър ъгъл.

Теорема за сумата от ъглите на триъгълник и нейните следствия

1. Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е 180°.

2. Външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.

3. Сборът от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на

4. Сборът от външните ъгли на двуъгълника е 360°.

5. Ъглите с взаимно перпендикулярни страни са равни, ако и двата са остри или и двата тъпи.

6. Ъгълът между ъглополовящите на съседни ъгли е 90°.

7. Симетрали на вътрешни едностранни ъгли с успоредни прави и напречна са перпендикулярни.

Основни свойства и особености на равнобедрен триъгълник

1. Ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са равни.

2. Ако два ъгъла на триъгълник са равни, то той е равнобедрен.

3. В равнобедрен триъгълник медианата, ъглополовящата и височината, прекарани към основата, съвпадат.

4. Ако някоя двойка отсечки от тройката съвпада в триъгълник - медиана, ъглополовяща, височина, то той е равнобедрен.

Неравенството на триъгълника и неговите последствия

1. Сборът от двете страни на триъгълник е по-голям от третата му страна.

2. Сумата от връзките на полилинията е по-голяма от сегмента, свързващ началото

първата връзка с края на последната.

3. Срещу по-големия ъгъл на триъгълника лежи по-голямата страна.

4. Срещу по-голямата страна на триъгълника лежи по-големият ъгъл.

5. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е по-голяма от катета.

6. Ако перпендикулярни и наклонени линии се изчертават от една точка до права линия, тогава

1) перпендикулярът е по-къс от наклонените;

2) по-голяма наклонена кореспондира с по-голяма проекция и обратно.

Средната линия на триъгълника.

Отсечката, свързваща средите на двете страни на триъгълника, се нарича средна линия на триъгълника.

Теорема за средната линия на триъгълника.

Средната линия на триъгълника е успоредна на страната на триъгълника и равна на половината от него.

Теореми за медианите на триъгълник

1. Медианите на триъгълник се пресичат в една точка и го разделят в съотношение 2:1, като се брои от върха.

2. Ако медианата на триъгълник е равна на половината от страната, към която е начертан, тогава триъгълникът е правоъгълен.

3. Медианата на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, е равна на половината от хипотенузата.

Свойство на перпендикулярни ъглополовящи към страните на триъгълник. Перпендикулярните ъглополовящи към страните на триъгълника се пресичат в една точка, която е центърът на окръжността, описана около триъгълника.

Теорема за височината на триъгълника. Правите, съдържащи височините на триъгълника, се пресичат в една точка.

Теорема за ъглополовящата триъгълник. Симетралите на триъгълник се пресичат в една точка, която е центърът на окръжността, вписана в триъгълника.

Свойство ъглополовяща триъгълник. Симетралата на триъгълник разделя страната му на сегменти, пропорционални на другите две страни.

Признаци за подобие на триъгълници

1. Ако два ъгъла на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла на друг, то триъгълниците са еднакви.

2. Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни на друг и ъглите между тези страни са равни, то триъгълниците са еднакви.

3. Ако трите страни на един триъгълник са съответно пропорционални на трите страни на друг, то триъгълниците са подобни.

Площи на подобни триъгълници

1. Отношението на площите на подобни триъгълници е равно на квадрата на коефициента на подобие.

2. Ако два триъгълника имат равни ъгли, тогава техните площи се отнасят като произведението на страните, които затварят тези ъгли.

В правоъгълен триъгълник

1. Крат на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на хипотенузата и синуса на противоположния или на косинуса на острия ъгъл, прилежащ към този катет.

2. Катет на правоъгълен триъгълник е равен на друг катет, умножен по тангенса на противоположния или по котангенса на острия ъгъл, прилежащ към този катет.

3. Катет на правоъгълен триъгълник, лежащ срещу ъгъл 30°, е равен на половината от хипотенузата.

4. Ако катет на правоъгълен триъгълник е равен на половината от хипотенузата, то ъгълът срещу този катет е 30°.

5. R = ; r = , където a, b са катетите, а c е хипотенузата на правоъгълния триъгълник; r и R са радиусите съответно на вписаната и описаната окръжност.

Питагоровата теорема и обратното на Питагоровата теорема

1. Квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на катетите.

2. Ако квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите му две страни, то триъгълникът е правоъгълен.

Пропорционално означава в правоъгълен триъгълник.

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, е средната пропорционална на проекциите на катетите върху хипотенузата, а всеки катет е средната пропорционална на хипотенузата и неговата проекция върху хипотенузата.

1. Теорема за косинусите. Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни без удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.

2. Следствие от косинусовата теорема. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на всичките му страни.

3. Формула за медиана на триъгълник. Ако m е медианата на триъгълника, начертана към страна c, тогава m = , където a и b са останалите страни на триъгълника.

4. Теорема за синусите. Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли.

5. Обобщена теорема на синусите. Съотношението на страната на триъгълника към синуса на срещуположния ъгъл е равно на диаметъра на окръжността, описана около триъгълника.

Формули за площ на триъгълник

1. Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината.

2. Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях.

3. Площта на триъгълник е равна на произведението на неговия полупериметър и радиуса на вписания кръг.

4. Площта на триъгълник е равна на произведението на трите му страни, разделено на четири пъти радиуса на описаната окръжност.

5. Формула на Херон: S=, където p е полупериметърът; a, b, c - страни на триъгълника.

Елементи на равностранен триъгълник. Нека h, S, r, R са височината, площта, радиусите на вписаната и описаната окръжност на равностранен триъгълник със страна a. Тогава
Четириъгълници

Успоредник. Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

Свойства и признаци на успоредник.

1. Диагоналът разделя успоредника на два равни триъгълника.

2. Противоположните страни на успоредник са равни по двойки.

3. Срещуположните ъгли на успоредник са равни по двойки.

4. Диагоналите на успоредник се пресичат и разполовяват в точката на пресичане.

5. Ако противоположните страни на четириъгълник са равни по две, то този четириъгълник е успоредник.

6. Ако две срещуположни страни на четириъгълник са равни и успоредни, то този четириъгълник е успоредник.

7. Ако диагоналите на четириъгълник се разполовяват от пресечната точка, то този четириъгълник е успоредник.

Свойство на средите на страните на четириъгълник. Средните точки на страните на всеки четириъгълник са върховете на успоредник, чиято площ е равна на половината от площта на четириъгълника.

Правоъгълник.Успоредник с прав ъгъл се нарича правоъгълник.

Свойства и характеристики на правоъгълник.

1. Диагоналите на правоъгълника са равни.

2. Ако диагоналите на един успоредник са равни, то този успоредник е правоъгълник.

Квадрат.Квадратът е правоъгълник, чиито страни са равни.

Ромб.Ромбът е четириъгълник, чиито страни са равни.

Свойства и признаци на ромба.

1. Диагоналите на ромба са перпендикулярни.

2. Диагоналите на ромба делят ъглите му наполовина.

3. Ако диагоналите на успоредник са перпендикулярни, то този успоредник е ромб.

4. Ако диагоналите на успоредник разделят ъглите му наполовина, то този успоредник е ромб.

Трапец.Трапецът е четириъгълник, чиито само две противоположни страни (основи) са успоредни. Средната линия на трапец е сегмент, свързващ средните точки на неуспоредни страни (страни).

1. Средната линия на трапеца е успоредна на основите и равна на тяхната полусума.

2. Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапеца, е равна на половината от разликата на основите.

Забележително свойство на трапец. Пресечната точка на диагоналите на трапец, пресечната точка на продълженията на страните и средата на основите лежат на една и съща права линия.

Равнобедрен трапец. Трапецът се нарича равнобедрен, ако страните му са равни.

Свойства и признаци на равнобедрен трапец.

1. Ъглите при основата на равнобедрен трапец са равни.

2. Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.

3. Ако ъглите при основата на трапец са равни, то той е равнобедрен.

4. Ако диагоналите на трапеца са равни, то той е равнобедрен.

5. Проекцията на страничната страна на равнобедрен трапец върху основата е равна на половината от разликата на основите, а проекцията на диагонала е половината от сбора на основите.

Формули за площта на четириъгълник

1. Площта на успоредника е равна на произведението на основата и височината.

2. Площта на паралелограма е равна на произведението на съседните му страни и синуса на ъгъла между тях.

3. Площта на правоъгълник е равна на произведението на двете му съседни страни.

4. Площта на ромба е равна на половината от произведението на неговите диагонали.

5. Площта на трапец е равна на произведението на половината от сумата на основите и височината.

6. Площта на четириъгълник е равна на половината от произведението на неговите диагонали и синуса на ъгъла между тях.

7. Формула на Херон за четириъгълник, около който може да се опише окръжност:

S = , където a, b, c, d са страните на този четириъгълник, p е полупериметърът и S е площта.

Подобни фигури

1. Съотношението на съответните линейни елементи на подобни фигури е равно на коефициента на подобие.

2. Отношението на площите на подобни фигури е равно на квадрата на коефициента на подобие.

Правилен многоъгълник.

Нека a n е страната на правилен n-ъгълник, а r n и R n са радиусите на вписаната и описаната окръжност. Тогава

кръг.

Окръжността е геометричното място на точки в равнината, които са отдалечени от дадена точка, наречена център на окръжността, на същото положително разстояние.

Основни свойства на окръжност

1. Диаметър, перпендикулярен на хордата, разделя хордата и дъгите, свързани с нея, наполовина.

2. Диаметър, минаващ през средата на хорда, която не е диаметър, е перпендикулярна на тази хорда.

3. Перпендикулярът на хордата минава през центъра на окръжността.

4. Равните хорди са разположени на равни разстояния от центъра на кръга.

5. Хордите на окръжност, които са на равни разстояния от центъра, са равни.

6. Окръжността е симетрична спрямо който и да е диаметър.

7. Дъгите на окръжност, затворени между успоредни хорди, са равни.

8. От две хорди, тази, която е по-малко отдалечена от центъра, е по-голяма.

9. Диаметърът е най-голямата хорда на окръжност.

Допирателна към окръжност. Права линия, която има една обща точка с окръжност, се нарича допирателна към окръжността.

1. Допирателната е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт.

2. Ако права линия a, минаваща през точка от окръжност, е перпендикулярна на радиуса, прекаран до тази точка, тогава правата a е допирателна към окръжността.

3. Ако прави, минаващи през точка M, докосват окръжността в точки A и B, тогава MA = MB и ﮮAMO = ﮮBMO, където точка O е центърът на окръжността.

4. Центърът на окръжност, вписана в ъгъл, лежи върху ъглополовящата на този ъгъл.

Допирателни окръжности. Казва се, че две окръжности се докосват, ако имат една обща точка (допирна точка).

1. Допирната точка на две окръжности лежи на центровата им линия.

2. Окръжности с радиуси r и R с центрове O 1 и O 2 се докосват външно тогава и само ако R + r = O 1 O 2.

3. Окръжности с радиуси r и R (r

4. Окръжности с центрове O 1 и O 2 се докосват външно в точка K. Определена права линия докосва тези окръжности в различни точки A и B и пресича общата допирателна, минаваща през точка K в точка C. Тогава ﮮAK B = 90° и ﮮO 1 CO 2 = 90°.

5. Отсечката от общата външна допирателна към две допирателни окръжности с радиуси r и R е равна на отсечката от общата вътрешна допирателна, затворена между общите външни. И двата сегмента са равни.

Ъгли, свързани с окръжност

1. Размерът на дъгата на окръжност е равен на размера на централния ъгъл, опрян върху нея.

2. Вписан ъгъл е равен на половината от ъгловата стойност на дъгата, върху която лежи.

3. Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.

4. Ъгълът между пресичащите се хорди е равен на половината от сбора на противоположните дъги, пресичани от хордите.

5. Ъгълът между две секущи, пресичащи се извън окръжността, е равен на полуразликата на дъгите, пресичани от секущите върху окръжността.

6. Ъгълът между допирателната и хордата, изтеглен от точката на контакт, е равен на половината от ъгловата стойност на дъгата, изрязана върху окръжността от тази хорда.

Свойства на кръговите хорди

1. Линията на центровете на две пресичащи се окръжности е перпендикулярна на общата им хорда.

2. Продуктите на дължините на отсечките от хордите AB и CD на окръжност, пресичащи се в точка E, са равни, т.е. AE EB = CE ED.

Вписани и описани окръжности

1. Центровете на вписаната и описаната окръжност на правилен триъгълник съвпадат.

2. Центърът на окръжността, описана около правоъгълен триъгълник, е средата на хипотенузата.

3. Ако в четириъгълник може да се впише окръжност, то сумите на противоположните му страни са равни.

4. Ако четириъгълник може да бъде вписан в окръжност, то сборът от срещуположните му ъгли е 180°.

5. Ако сборът от срещуположните ъгли на четириъгълник е 180°, то около него може да се начертае окръжност.

6. Ако в трапец може да се впише окръжност, тогава страната на трапеца се вижда от центъра на окръжността под прав ъгъл.

7. Ако окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава радиусът на окръжността е средно пропорционален на сегментите, на които точката на контакт разделя страната.

8. Ако окръжност може да бъде вписана в многоъгълник, тогава нейната площ е равна на произведението от полупериметъра на многоъгълника и радиуса на тази окръжност.

Теоремата за допирателната и секущата и нейното следствие

1. Ако допирателна и секуща се начертаят към окръжност от една точка, тогава произведението на цялата секуща и външната й част е равно на квадрата на допирателната.

2. Произведението на целия секанс и неговата външна част за дадена точка и дадена окръжност е константа.

Обиколката на окръжност с радиус R е равна на C= 2πR