Една от основните геометрични фигури е триъгълникът. Образува се при пресичане на три отсечки. Тези отсечки образуват страните на фигурата, а точките на тяхното пресичане се наричат върхове. Всеки студент, изучаващ курс по геометрия, трябва да може да намери периметъра на тази фигура. Придобитото умение ще бъде полезно за мнозина в зряла възраст, например ще бъде полезно за студент, инженер, строител,
Има различни начини за намиране на периметъра на триъгълник. Изборът на необходимата формула зависи от наличните изходни данни. За да напишете тази стойност в математическата терминология, се използва специално обозначение - P. Помислете какво е периметърът, основните методи за изчисляването му за триъгълни фигури от различни видове.
Най-лесният начин да намерите периметъра на фигура е, ако имате данни за всички страни. В този случай се използва следната формула:
Буквата "P" обозначава стойността на самия периметър. От своя страна "a", "b" и "c" са дължините на страните.
Знаейки размера на трите количества, ще бъде достатъчно да се получи тяхната сума, която е периметърът.
Алтернативен вариант
В математическите задачи всички дадени дължини рядко са известни. В такива случаи се препоръчва да се използва алтернативен начин за намиране на желаната стойност. Когато условията определят дължината на две прави, както и ъгъла между тях, изчислението се извършва чрез търсене на третата. За да намерите това число, трябва да извадите корен квадратен по формулата:
.
Периметър от двете страни
За да изчислите периметъра, не е необходимо да знаете всички данни на геометрична фигура. Разгледайте методите на изчисление от двете страни.
Равнобедрен триъгълник
Триъгълникът се нарича равнобедрен, ако поне две от страните му имат еднаква дължина. Те се наричат странични, а третата страна се нарича основа. Еднаквите прави образуват върхов ъгъл. Характеристика на равнобедрен триъгълник е наличието на една ос на симетрия. Оста е вертикална линия, започваща от горния ъгъл и завършваща в средата на основата. В основата си оста на симетрия включва следните понятия:
- ъглополовяща на върха на ъгъла;
- медиана към основа;
- височината на триъгълника;
- среден перпендикуляр.
За да определите периметъра на равнобедрен триъгълник, използвайте формулата.
В този случай трябва да знаете само две количества: основата и дължината на едната страна. Обозначението "2a" предполага умножаване на дължината на страната по 2. Към получената цифра трябва да добавите стойността на основата - "b".
В изключителния случай, когато дължината на основата на равнобедрен триъгълник е равна на неговата странична линия, може да се използва по-прост метод. Изразява се в следната формула:
За да получите резултата, достатъчно е да умножите това число по три. Тази формула се използва за намиране на периметъра на правилен триъгълник.
Полезно видео: задачи по периметъра на триъгълник
Триъгълник правоъгълен
Основната разлика между правоъгълен триъгълник и други геометрични форми от тази категория е наличието на ъгъл от 90 °. На тази основа се определя типът фигура. Преди да определите как да намерите периметъра на правоъгълен триъгълник, струва си да се отбележи, че тази стойност за всяка плоска геометрична фигура е сумата от всички страни. Така че в този случай най-лесният начин да разберете резултата е да сумирате трите стойности.
В научната терминология тези страни, които са в съседство с правия ъгъл, се наричат "крака", а противоположната на 90º ъгъл е хипотенузата. Характеристиките на тази фигура са изследвани от древногръцкия учен Питагор. Според Питагоровата теорема квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.
.
Въз основа на тази теорема е изведена друга формула, която обяснява как да се намери периметърът на триъгълник при две известни страни. Можете да изчислите периметъра с определената дължина на краката, като използвате следния метод.
.
За да разберете периметъра, като имате информация за размера на единия крак и хипотенузата, трябва да определите дължината на втората хипотенуза. За тази цел се използват следните формули:
.
Също така периметърът на описания тип фигура се определя без данни за размерите на краката.
Ще трябва да знаете дължината на хипотенузата, както и ъгъла, прилежащ към нея. Познавайки дължината на един от краката, ако има ъгъл, съседен на него, периметърът на фигурата се изчислява по формулата:
.
Предварителна информация
Периметърът на всяка плоска геометрична фигура в равнината се определя като сбор от дължините на всичките й страни. Триъгълникът не е изключение от това. Първо даваме концепцията за триъгълник, както и видовете триъгълници в зависимост от страните.
Определение 1
Триъгълник ще наричаме геометрична фигура, която е съставена от три точки, свързани с отсечки (фиг. 1).
Определение 2
Точките в Дефиниция 1 ще се наричат върхове на триъгълника.
Определение 3
Отсечките в рамките на Дефиниция 1 ще се наричат страни на триъгълника.
Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и 3 страни.
В зависимост от съотношението на страните една към друга триъгълниците се делят на мащабни, равнобедрени и равностранни.
Определение 4
Триъгълникът се нарича мащабен, ако нито една от страните му не е равна на друга.
Определение 5
Ще наречем триъгълник равнобедрен, ако две от страните му са равни една на друга, но не са равни на третата страна.
Определение 6
Триъгълник се нарича равностранен, ако всичките му страни са равни една на друга.
Можете да видите всички видове тези триъгълници на фигура 2.
Как да намерим периметъра на скален триъгълник?
Нека ни е даден мащабен триъгълник с дължини на страните, равни на $α$, $β$ и $γ$.
Заключение:За да намерите периметъра на скален триъгълник, съберете всички дължини на страните му заедно.
Пример 1
Намерете периметъра на скален триъгълник, равен на $34$ cm, $12$ cm и $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Отговор: $57 виж.
Пример 2
Намерете периметъра на правоъгълен триъгълник, чийто катети са $6$ и $8$ cm.
Първо, намираме дължината на хипотенузите на този триъгълник, като използваме Питагоровата теорема. Тогава го обозначаваме с $α$
$α=10$ Съгласно правилото за изчисляване на периметъра на скален триъгълник, получаваме
$P=10+8+6=24$ cm
Отговор: $24 виж.
Как да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник?
Нека ни е даден равнобедрен триъгълник, чиито дължини на страните ще бъдат равни на $α$, а дължината на основата ще бъде равна на $β$.
По дефиниция на периметъра на плоска геометрична фигура получаваме това
$P=α+α+β=2α+β$
Заключение:За да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник, добавете два пъти дължината на страните му към дължината на основата му.
Пример 3
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако страните му са $12$ cm, а основата му е $11$ cm.
От примера по-горе виждаме това
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Отговор: $35 виж.
Пример 4
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако неговата височина, прекарана към основата, е $8$ cm, а основата е $12$ cm.
Разгледайте фигурата според условието на проблема:
Тъй като триъгълникът е равнобедрен, $BD$ също е медиана, следователно $AD=6$ cm.
По теоремата на Питагор от триъгълника $ADB$ намираме страната. Тогава го обозначаваме с $α$
Според правилото за изчисляване на периметъра на равнобедрен триъгълник получаваме
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Отговор: $32 виж.
Как да намерите периметъра на равностранен триъгълник?
Нека ни е даден равностранен триъгълник с дължини на всички страни, равни на $α$.
По дефиниция на периметъра на плоска геометрична фигура получаваме това
$P=α+α+α=3α$
Заключение:За да намерите периметъра на равностранен триъгълник, умножете дължината на страната на триъгълника по $3$.
Пример 5
Намерете периметъра на равностранен триъгълник, ако страната му е $12$ cm.
От примера по-горе виждаме това
$P=3\cdot 12=36$ cm
P=a+b+c Как да намерим обиколката на триъгълник: Всеки знае, че обиколката се намира лесно - просто трябва да съберете трите страни на триъгълника. Има обаче няколко други начина да се намери сумата от дължините на страните на триъгълник. Стъпка 1 Като се има предвид радиуса на окръжността, вписана в триъгълника, и нейната площ, намерете периметъра, като използвате формулата P=2S/r. 
Стъпка 2 Ако знаете два ъгъла, например α и β, съседни на страната, и дължината на тази страна, тогава, за да намерите периметъра, използвайте формулата a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). 
Стъпка 3 Ако условието определя съседни страни и ъгъл β между тях, вземете предвид косинусовата теорема, когато намирате периметъра. Тогава P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), където a^2 и b^2 са квадратите на дължините на съседните страни. Изразът под корена е дължината на третата неизвестна страна, изразена чрез косинусовата теорема. 
Стъпка 4 За равнобедрен триъгълник формулата за периметъра приема формата P=2a+b, където a са страните, а b е неговата основа. Стъпка 5 Изчислете периметъра на правилен триъгълник по формулата P=3a. Стъпка 6 Намерете периметъра, като използвате радиусите на окръжностите, вписани в триъгълника или описани около него. И така, за равностранен триъгълник запомнете и използвайте формулата P=6r√3=3R√3, където r е радиусът на вписаната окръжност, а R е радиусът на описаната окръжност. Стъпка 7 За равнобедрен триъгълник приложете формулата P=2R(2sinα+sinβ), където α е ъгълът при основата, а β е ъгълът срещу основата.
Всеки триъгълник е равен на сбора от дължините на трите му страни. Общата формула за намиране на периметъра на триъгълници е:
П = а + b + ° С
Където Пе периметърът на триъгълника а, bИ ° С- неговите страни.
Може да се намери чрез добавяне на дължините на страните му последователно или чрез умножаване на дължината на страната по 2 и добавяне на дължината на основата към продукта. Общата формула за намиране на периметъра на равнобедрени триъгълници ще изглежда така:
П = 2а + b
Където Пе периметърът на равнобедрен триъгълник, а- която и да е от страните, b- база.
Можете да го намерите, като добавите дължините на страните му последователно или като умножите дължината на която и да е от страните му по 3. Общата формула за намиране на периметъра на равностранните триъгълници ще изглежда така:
П = 3а
Където Пе периметър на равностранен триъгълник, а- която и да е от страните му.
Квадрат
За да измерите площта на триъгълник, можете да го сравните с успоредник. Помислете за триъгълник ABC:
Ако вземете равен на него триъгълник и го прикрепите така, че да получите успоредник, получавате успоредник със същата височина и основа като този триъгълник:
В този случай общата страна на сгънатите заедно триъгълници е диагоналът на образувания успоредник. От свойството на успоредниците е известно, че диагоналът винаги разделя успоредника на два равни триъгълника, което означава, че площта на всеки триъгълник е равна на половината от площта на успоредника.
Тъй като площта на успоредник е равна на произведението на основата и височината му, площта на триъгълника ще бъде равна на половината от този продукт. Така че за Δ ABCплощ ще бъде равна на
Сега разгледайте правоъгълен триъгълник:
Два еднакви правоъгълни триъгълника могат да бъдат сгънати в правоъгълник, ако са облегнати един на друг с хипотенузата. Тъй като площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните му страни, площта на даден триъгълник е:
От това можем да заключим, че площта на всеки правоъгълен триъгълник е равна на произведението на краката, разделено на 2.
От тези примери може да се заключи, че площта на всеки триъгълник е равна на произведението от дължината на основата и височината, паднала до основата, разделено на 2. Общата формула за намиране на площта на триъгълниците ще изглежда така:
| С = | ах а |
| 2 |
Където Се площта на триъгълника, а- неговата основа з а- височина спусната до основата а.
Периметърът на всеки триъгълник е дължината на линията, която ограничава фигурата. За да го изчислите, трябва да знаете сумата от всички страни на този многоъгълник.
Изчисляване от дадени стойности на дължините на страните
Когато стойностите им са известни, това не е трудно да се направи. Означавайки тези параметри с буквите m, n, k и периметъра с буквата P, получаваме формулата за изчисляване: P = m + n + k. Задача: Известно е, че триъгълникът има страни с дължина 13,5 дециметра, 12,1 дециметра и 4,2 дециметра. Разберете периметъра. Решаваме: Ако страните на този многоъгълник са a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, тогава P = 29,8 dm. Отговор: P = 29,8 dm.
Периметър на триъгълник, който има две равни страни
Такъв триъгълник се нарича равнобедрен триъгълник. Ако тези равни страни са дълги a сантиметра, а третата страна е дълга b сантиметра, тогава периметърът е лесен за намиране: P \u003d b + 2a. Задача: триъгълникът има две страни по 10 дециметра, основата е 12 дециметра. Намерете P. Решение: Нека страната a = c = 10 dm, основата b = 12 dm. Сумата от страните P \u003d 10 dm + 12 dm + 10 dm \u003d 32 dm. Отговор: P = 32 дециметра.
Периметър на равностранен триъгълник
Ако и трите страни на триъгълника имат еднакъв брой единици, той се нарича равностранен триъгълник. Друго име е правилно. Периметърът на правилен триъгълник се намира по формулата: P \u003d a + a + a \u003d 3 a. Задача: Имаме равностранен триъгълен парцел. Едната страна е 6 метра. Намерете дължината на оградата, която може да огради тази област. Решение: Ако страната на този многоъгълник е a= 6m, тогава дължината на оградата е P = 3 6 = 18 (m). Отговор: P = 18 m.
Триъгълник с ъгъл 90°
Нарича се правоъгълна. Наличието на прав ъгъл дава възможност да се намерят неизвестни страни, като се използва дефиницията на тригонометричните функции и теоремата на Питагор. Най-дългата страна се нарича хипотенуза и се обозначава с. Има още две страни, a и b. Следвайки Питагоровата теорема, имаме c 2 = a 2 + b 2 . Крака a \u003d √ (c 2 - b 2) и b \u003d √ (c 2 - a 2). Като знаем дължината на два катета a и b, изчисляваме хипотенузата. След това намираме сумата от страните на фигурата, като събираме тези стойности. Задача: Катетите на правоъгълен триъгълник са с дължина 8,3 сантиметра и 6,2 сантиметра. Трябва да се изчисли периметърът на триъгълника. Решаваме: Нека означим краката a = 8,3 см, b = 6,2 см. Според Питагоровата теорема хипотенузата c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 ,33 = 10,4 ( см). Р = 24,9 (cm). Или P \u003d 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) \u003d 24,9 (cm). Отговор: P = 24,9 см. Стойностите на корените са взети с точност до десети. Ако знаем стойностите на хипотенузата и крака, тогава ще получим стойността на P чрез изчисляване на P \u003d √ (c 2 - b 2) + b + c. Задача 2: Парче земя, разположено под ъгъл 90 градуса, 12 км, единият крак - 8 км. Колко време отнема да обиколите цялата местност, ако се движите със скорост 4 километра в час? Решение: ако най-големият сегмент е 12 km, по-малкият е b = 8 km, тогава дължината на целия път ще бъде P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (км). Намерете времето, като разделите разстоянието на скоростта. 28,9:4 = 7,225 (h). Отговор: можете да се придвижите за 7,3 часа.Вземаме стойността на квадратния корен и отговора до най-близката десета. Възможно е да се намери сумата от страните на правоъгълен триъгълник, дадена една от страните и стойността на един от острите ъгли. Знаейки дължината на катета b и стойността на срещуположния ъгъл β, намираме неизвестната страна a = b/ tg β. Намерете хипотенузата c = a: sinα. Периметърът на такава фигура се намира чрез събиране на получените стойности. P = a + a/ sinα + a/ tg α, или P = a(1 / sin α+ 1+1 / tg α). Задача: В правоъгълник Δ ABC с прав ъгъл C катетът BC има дължина 10 m, ъгъл A е 29 градуса. Трябва да намерим сумата от страните Δ ABC. Решение: Означаваме известния катет BC = a = 10 m, ъгъла срещу него, ∟А = α = 30°, тогава катета AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), хипотенузата AB = c = 10 : 0,5 = 20 (m). P \u003d 10 + 17,2 + 20 \u003d 47,2 (m). Или P \u003d 10 (1 + 1,72 + 2) \u003d 47,2 м. Имаме: P \u003d 47,2 м. Вземаме стойността на тригонометричните функции с точност до стотни, закръгляме стойността на дължината на страните и периметър до десети. Имайки стойността на катета α и включения ъгъл β, намираме на какво е равен вторият катет: b = a tg β. Хипотенузата в този случай ще бъде равна на крака, разделен на косинуса на ъгъла β. Намираме периметъра по формулата P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β) a. Задача: Катетът на триъгълник с ъгъл 90 градуса е 18 см, включеният ъгъл е 40 градуса. Намерете P. Решение: Означете известния катет BC = 18 cm, ∟β = 40°. Тогава неизвестният катет AC = b = 18 0,83 = 14,9 (cm), хипотенуза AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Сумата от страните на фигурата е P = 56,3 (cm). Или P \u003d (1 + 1,3 + 0,83) * 18 \u003d 56,3 см. Отговор: P = 56,3 см. Ако са известни дължината на хипотенузата c и някакъв ъгъл α, тогава краката ще бъдат равни на произведението на хипотенузата за първия - по синуса и за втория - по косинуса на този ъгъл. Периметърът на тази фигура е P = (sin α + 1+ cos α)*c. Задача: Хипотенузата на правоъгълен триъгълник AB = 9,1 сантиметра, а ъгълът е 50 градуса. Намерете сумата от страните на тази фигура. Решение: Означаваме хипотенузата: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, тогава един от катетите BC има дължина a = 9,1 0,77 = 7 (cm), катет AC = b = 9 ,1 0,64 = 5,8 (cm). Така че периметърът на този многоъгълник е P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Или P = 9,1 (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Отговор: P = 21,9 сантиметра.
Произволен триъгълник, чиято една от страните е неизвестна
Ако имаме стойностите на две страни a и c и ъгъла между тези страни γ, намираме третата по косинусовата теорема: b 2 \u003d c 2 + a 2 - 2 ac cos β, където β е ъгълът между страни a и c. След това намираме периметъра. Задача: Δ ABC има отсечка AB с дължина 15 dm, отсечка AC, чиято дължина е 30,5 dm. Стойността на ъгъла между тези страни е 35 градуса. Изчислете сбора на страните Δ ABC. Решение: Използвайки косинусовата теорема, изчисляваме дължината на третата страна. BC 2 \u003d 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 \u003d 930,25 + 225 - 750,3 \u003d 404,95. BC = 20,1 см. P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) Имаме: P = 65,6 dm.
Сборът от страните на произволен триъгълник, чиито дължини на двете страни са неизвестни
Когато знаем дължината само на един сегмент и стойността на два ъгъла, можем да намерим дължината на две неизвестни страни, като използваме синусовата теорема: „в триъгълник страните винаги са пропорционални на стойностите на синусите на противоположните ъгли." Където b = (a * sin β) / sin a. По същия начин c = (a sin γ): sin a. Периметърът в този случай ще бъде P \u003d a + (a sin β) / sin a + (a sin γ) / sin a. Задача: Имаме Δ ABC. В него дължината на страната BC е 8,5 mm, стойността на ъгъла C е 47 °, а ъгълът B е 35 градуса. Намерете сумата от страните на тази фигура. Решение: Означаваме дължините на страните BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - (47° + 35 °) = 180° - 82° = 98°. От съотношенията, получени от синусовата теорема, намираме катетите AC = b = (8,5 0,57): 0,73= 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Следователно сумата от страните на този многоъгълник е P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Отговор: P = 23,5 mm. В случай, че има само дължината на един сегмент и стойностите на два съседни ъгъла, първо изчисляваме ъгъла, противоположен на известната страна. Всички ъгли на тази фигура се събират до 180 градуса. Следователно ∟A = 180° - (∟B + ∟C). След това намираме неизвестни сегменти с помощта на синусовата теорема. Задача: Имаме Δ ABC. Той има отсечка BC равна на 10 см. Ъгъл B е 48 градуса, ъгъл C е 56 градуса. Намерете сумата от страните Δ ABC. Решение: Първо, намерете стойността на ъгъл A срещу страната BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Сега, със синусовата теорема, изчисляваме дължината на страната AC \u003d 10 0,74: 0,97 \u003d 7,6 (cm). AB = BC * sin C / sin A = 8,6. Периметърът на триъгълника P \u003d 10 + 8,6 + 7,6 \u003d 26,2 (cm). Резултат: P = 26,2 см.
Изчисляване на периметъра на триъгълник по радиуса на вписаната в него окръжност
Понякога нито една от страните не е известна от състоянието на проблема. Но има стойността на площта на триъгълника и радиуса на вписаната в него окръжност. Тези количества са свързани: S = r p. Познавайки стойността на площта на триъгълника, радиус r, можем да намерим полупериметъра p. Намираме p = S: r. Задача: Парцелът е с площ 24 m 2, радиусът r е 3 м. Намерете броя на дърветата, които трябва да бъдат засадени равномерно по линията, обхващаща този парцел, ако между два трябва да има разстояние от 2 метра съседните. Решение: Намираме сумата от страните на тази фигура, както следва: P \u003d 2 24: 3 \u003d 16 (m). След това делим на две. 16:2= 8. Общо: 8 дървета.
Сборът от страните на триъгълник в декартови координати
Върховете Δ ABC имат координати: A (x 1; y 1), B (x 2; y 2), C(x 3; y 3). Намерете квадратите на всяка страна AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 \u003d (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 \u003d (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. За да намерите периметъра, просто съберете всички сегменти. Задача: Координати на върховете Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Намерете сумата от страните на тази фигура. Решение: като поставим стойностите на съответните координати във формулата на периметъра, получаваме P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Имаме: P = 16,6. Ако фигурата не е в равнина, а в пространството, тогава всеки от върховете има три координати. Следователно формулата за сбора на страните ще има още един член.
векторен метод
Ако формата е дадена чрез координати на върха, периметърът може да се изчисли с помощта на векторния метод. Векторът е отсечка, която има посока. Неговият модул (дължина) се обозначава със символа ǀᾱǀ. Разстоянието между точките е дължината на съответния вектор или модулът на вектора. Помислете за триъгълник, разположен върху равнина. Ако върховете имат координати A (x 1; y 1), M (x 2; y 2), T (x 3; y 3), тогава намираме дължината на всяка от страните по формулите: ǀAMǀ = √ ( (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) 2 + ( 1 - 3) 2). Получаваме периметъра на триъгълника, като съберем дължините на векторите. По същия начин намерете сумата от страните на триъгълник в пространството.
