Pierakstiet komplektus, kas ir iekrāsoti. Komplekti

Nodarbības mērķi un uzdevumi:

Izglītojoši:

• atkārtot un konsolidēt saņemtos paziņojumus:
• par kopu, kopas elementu, apakškopu, kopu krustpunktu, kopu savienību;
• nostiprināt prasmes:
• nosaka elementu piederību kopai un tās apakškopai (apakškopām), kā arī kopai, kas ir krustpunkts, kopu savienība;
• diagrammā atrodiet kopai nepiederošo elementu laukumu, kā arī kopas laukumu, kas ir kopu krustpunkts, savienība un nosauciet elementus no šī apgabala;
• noteikt attiecību raksturu starp divām dotajām kopām (kopa-apakškopa, ir krustpunkts, nav krustojuma);
• pareizi attēlo piedāvāto situāciju;
• datorprasmes grafiskajā redaktorā Paint.

Izstrāde:

• veicināt bērnos spēju novērot, salīdzināt, vispārināt attīstību;
• iemācīt bērniem argumentēt un pierādīt;
• veicināt domāšanas, atmiņas, uzmanības attīstību;
• veicināt runas attīstību;
• attīstīt skolēnu izziņas darbību;
• attīstīt interesi par priekšmetu;
• attīstīt prasmi strādāt ar personālo datoru.

Pedagogi:

• veicināt draudzīgas attiecības studentu kolektīvā;
• izglītot kognitīvās vajadzības;
• izkopt darbā patstāvību, precizitāti;
• attīstīt savstarpēju sapratni un pašapziņu.

Nodarbības veids: Izpētītā materiāla atkārtošana un vispārināšana.

Aprīkojums un mācību materiālu izmantošana.

1. “Datorzinātne spēlēs un uzdevumos”. 3.klase 2 daļās. Mācību grāmata-piezīmju grāmatiņa, 2.daļa. Autoru grupa Goryachev A.V., Gorina K.I., Suvorova N.I. - M .: "Balass", 2008.

2. Izdales materiāls. Darba lapu uzdevumi. 2. pielikums

3. Personālais dators. Lietojumprogrammu pakotne "Grafiskais redaktors Paint".

4. Multivides projektors.

5. Interaktīvā tāfele un SmartBoard programmatūra. Prezentācija "Kopas. Attiecības starp kopām". 1.pielikums.

6. Katram skolēnam skaitļu kopa no 1 līdz 5 (vēlams, lai katram skaitlim būtu sava krāsa).

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments

II. Materiāla atkārtošana un vispārināšana.

Darbs ar interaktīvo tāfeli

1 lapa. Tēmas nosaukums.

2 lappuse. Komplekti. Iestatiet elementus.

Mutiskais darbs (skolotājs uzdod jautājumus un skolēni atbild)

Kas ir komplekts? ( objektu grupa ar kopīgu nosaukumu).

No kā sastāv komplekti? (no elementiem).

Sniedziet tukšas kopas piemēru (cilvēkiem ir daudz astes, dzīvniekiem ir daudz roku, ......); komplekti ar vienu elementu (daudzi burti K krievu alfabētā, cilvēku galvas, ......).

Kādi komplekti ir parādīti attēlā? Cik elementu ir šajā komplektā? (daudzas mājas - trīs elementi, daudzi spaiņi - viens elements, daudzi koki - daudzi elementi, daudzi ziedi - daudzi elementi, daudzi akmeņi - astoņi elementi, ......).

Tātad, pastāstiet man, cik elementu var ietvert komplektā? ( kopa var ietvert vienu elementu, var ietvert daudz vai ne pārāk daudz elementu un var būt tukša - šī ir kopa, kurā nav neviena elementa).

Uzdevumi no 3. līdz 6. lappusēm tiek izpildīti vienlaicīgi uz tāfeles un darba lapās. Skolēni pārmaiņus dodas pie tāfeles.

3 lappuse. Komplekti. Apakškopas.

Mutiski.

Kā sauc kopu, kas pieder citai kopai? (apakškopa).

Darbs ar interaktīvo tāfeli.(trīs skolēni pēc kārtas nāk pie tāfeles un noēno apļus ar irbuli).

Lai izpildītu šo uzdevumu, skolēniem tabulā jāatrod katras kopas apzīmējums, jānosaka, kurā komplektā ir vairāk elementu un jāaizpilda lielie apļi.

• Pirmais skolēns: Bērnu ir vairāk nekā trešās klases skolēnu un skolēnu, tāpēc lielāko apli krāsojam sarkanā krāsā.
• Otrais students: Skolēnu ir vairāk nekā trešo klašu skolēnu, tāpēc vidējo apli krāsojam zilā krāsā.
• Trešais skolēns: Trešklasnieku ir mazāk nekā skolēnu un bērnu, tāpēc mazāko apli krāsojam zaļā krāsā.

pieteikumu) un aizpildiet apļus ar krāsainiem zīmuļiem.

4 lpp. Daudzu krustojums.

Mutiski.

Kādas kopas sauc par krustojošām? (ja tiem ir kopīgi elementi).

Vingrinājums: Sadaliet elementus atbilstošajos komplektos.

Studenti pārmaiņus dodas pie tāfeles un pārceļ elementus uz atbilstošām kopām, savukārt ir jāpaskaidro, kāpēc viņš šo elementu sadala konkrētajā komplektā.

Piemēram: arbūzs - ēdams, bet ne sarkans - daudz ēdams; pipari - ēdamie un sarkanie - komplektu krustpunkts; kleita - sarkana, bet ne ēdama - daudz sarkana; bumba - nav ēdama un nav sarkana - atrodas ārpus komplektiem.

Pārējie skolēni strādā pie darba lapām (sk. pieteikumu) un ar bultiņu parādiet pārvietošanās ceļu.

5 lappuse. Savstarpēja komplektu sakārtošana.

Otrais students: Daudz savvaļas dzīvnieku un daudz mājdzīvnieku. Šiem komplektiem ir vienādi elementi (piemēram, cūka, pīle, zoss - mājdzīvnieks un savvaļas dzīvnieks), kas nozīmē, ka tie krustojas. Mēs savienojam ar pirmo shēmu.

Trešais students: Daudz putnu un daudz kukaiņu. Nav tādu putnu, kas būtu kukaiņi, un nav tādu kukaiņu, kas būtu putni, kas nozīmē, ka kopas nekrustojas. Mēs savienojam ar trešo shēmu.

Vingrinājums: Izveidojiet atbilstību starp shēmu un kopām.

6 lapa. Komplekti. Iestatiet elementus. Kopu krustpunkts un savienība (vārdi "NOT", "UN", "OR").

Vingrinājums: Ievadiet skaitļu numurus skaitļos. Cik vāveru ir katrā komplektā? (Atbildes ierakstiet tabulas šūnās). Attēlu tabulas daļas izkrāso.

Studentu atbildes:

Vāveres 9. attēlā.

Vāveres ar sēnēm 3.

Vāveres ar riekstiem 4.

Vāveres ar sēnēm un riekstiem 1 (9. att.). Tabulā ir nokrāsots apļa un ovāla krustojuma laukums, diagrammā krustojuma zonā ir ierakstīts cipars 9.

Vāveres ar sēnēm vai riekstiem 6 ir vāveres, kurām ir gan sēnes, gan rieksti (9. att.), tikai rieksti (3.7. att.), tikai sēnes (1., 4., 6. att.). Tabulā viss aplis un viss ovāls ir nokrāsots. Uz diagrammas aplī, ārpus ovāla, ir uzrakstīti skaitļi 3, 7; ovālā ārpus apļa - skaitļi 1, 4, 6.

Vāveres, kurām nav sēņu 6 (1., 2., 4., 5., 6., 8. att.). Tabulā nav pārkrāsots tikai apļa laukums.

Vāveres, kurām nav riekstu 5 (2., 3., 5., 7., 8. att.). Tabulā nav pārkrāsota tikai ovāla zona.

Diagrammā taisnstūrī ārpus apļa un ovāla ir ierakstīti skaitļi 2, 5, 8 - tās ir vāveres, kurām nav riekstu un sēņu.

III. Fiziskās audzināšanas minūte

Robots veic vingrinājumus un skaita secībā:

Viens! - kontakti nedzirksteļo,
- Divi! - locītavas nečīkst,
-Trīs!- objektīvs ir caurspīdīgs.
Esmu smuka un skaista!

1,2,3,4,5 — varat ķerties pie lietas!

IV. Zināšanu kontrole. Patstāvīgs darbs.

Klases skolēni ir sadalīti divās grupās.

1 grupa veic uzdevumus uz lapām 3. pielikums, 2. grupa veic uzdevumus datoros 4. pielikums Pēc 5-7 minūtēm skolēni mainās vietām.

Uzdevums uz lapām tiek veikts ar krāsainiem zīmuļiem.

1 uzdevums. Ar ģeometrisku formu palīdzību taisnstūris un aplis attēlo piedāvāto situāciju.

2 uzdevums. Izkrāsojiet daļu diagrammas tā, lai apgalvojums būtu patiess.

Uzdevums datoros tiek veikts Paint grafiskajā redaktorā. Pirmais un otrais uzdevums ir parādīti vienā failā.

Ceļš uz failu ( Skolotājs runā, un skolēni izpilda viņa norādījumus.

Desktop -> Grade 3 Folder -> (atvērt ar dubultklikšķi) -> Self-Work File -> (ar peles labo pogu noklikšķiniet)-> Open with Paint.

1 uzdevums. Izmantojot ģeometrisko primitīvu taisnstūri un elipsi, attēlojiet piedāvāto situāciju.

2 uzdevums. Izmantojot aizpildīšanas rīku, pārkrāsojiet diagrammas daļu, lai apgalvojums būtu patiess.

Pēc uzdevumu izpildes skolotājs pārbauda darba pareizību.

V. Nodarbības rezultāti.

Puiši, šodien mēs esam atkārtojuši, kas ir kopa, apakškopa, krustojums un kopu savienība.

• Tātad, pastāstiet man, cik elementu var būt komplektā? (cik vien vēlaties).
• Kā sauc kopu, kas pieder citai kopai? (apakškopa).
• Un kādi elementi ir iekļauti divu kopu krustpunktā? (kas ir iekļauti vienā un otrā komplektā).

VI. Mājasdarbs.

1 uzdevums tiek uzrādītas bukletos un izdalītas katram studentam (sk. pieteikumu). Attēlu tabulas daļas izkrāso. Paskaties tabulā, cik ežu jābūt katrā komplektā. Izkrāso ežus. Ierakstiet skaitļus tabulas tukšajās šūnās.

2 uzdevums veikta pēc studenta pieprasījuma. Izdomājiet uzdevumu komplektu savstarpējai sakārtošanai. Iesniedziet savu darbu uz A4 papīra. Darbā jābūt komplektu nosaukumiem, diagrammai, rasējumiem.

VII. Atspulgs.

• Kurš uzdevums tev šodien patika visvairāk?
• Kāds uzdevums izraisīja problēmu?

Katram no jums uz rakstāmgalda ir naturālu skaitļu komplekts no 1 līdz 5, noskaņu kokā iekariet kādu no cipariem, pie kādas atzīmes vērtējat nodarbību.

Kopas jēdziens ir viens no matemātikas pamatjēdzieniem. Tam nav definīcijas. Angļu matemātiķis Bertrāns Rasels šo jēdzienu aprakstīja šādi: "Kopa ir dažādu elementu kopums, kas iecerēts kā vienots veselums." Var runāt par daudzstūra skaldņu kopu, taisnes punktu kopu, naturālo skaitļu kopu, krievu alfabēta burtu kopu utt.

Kopu var norādīt, uzskaitot tās sastāvu, atdalot to ar komatiem cirtaini iekavās. Piemēram, ja kopa sastāv no skaitļiem 5, 7 un 25, tad ierakstiet . Pašus skaitļus 5, 7, 25 sauc par kopas elementiem. Secībai, kādā komplekta elementi ir norādīti iekavās, nav nozīmes. Kopa nevar saturēt vienu un to pašu elementu divas reizes. To, ka 5 ir kopas elements, raksta šādi: . Kopu, kurā nav neviena elementa, sauc par tukšu un apzīmē ar .

Tiek uzskatīts, ka divas kopas ir vienādas, ja tās sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem. Piemēram, ja , tad .

Ja kopā ir ietverti visi kopas elementi, tad kopu sauc par kopas apakškopu un raksta. Piemēram, kopa ir iepriekš aprakstītās kopas apakškopa. Tukša kopa ir jebkuras kopas apakškopa. Turklāt katra kopa ir pati par sevi apakškopa: .

Ar komplektiem varat veikt vairākas darbības.

Komplektu savienība

Zīmējums. Komplektu savienība
Kopa ir kopu savienība un ja tā ietver visus kopas elementus un visus kopas elementus. Kopu savienība ir rakstīta šādi: Paskaidrosim to, attēlojot kopas un izmantojot Eilera apļus (1. att.). Katrs no komplektiem un ir attēlots, izmantojot apļus. Attēlā redzamais komplekts. 1 ir parādīts kā ēnots attēls. Ļaujiet,. Tad .

Jebkurai kopai apgalvojums ir patiess

Daudzu krustojums

Kopa ir kopu krustpunkts un, ja tajā ir tikai tie elementi, kas pieder gan kopai, gan kopai. Iestatiet krustojuma apzīmējumu: . Iepriekš minētajiem komplektiem.

Zīmējums. Daudzu krustojums
Šeit ir vēl viens piemērs. . Šeit kopu krustpunkts ir tukša kopa, jo Komplektiem nav kopīgu elementu.

Zīmējums. Iestatiet atšķirību
Iestatiet atšķirību

Kopas atšķirība ir to elementu kopa, kas nav ietverti . Komplektu atšķirības tiek apzīmētas šādi:

Jau minētajiem komplektiem . 3. attēlā iestatītā atšķirība ir ietonēta.

Simetrisko kopu atšķirība

Norādīts . Kā parādīts 4. attēlā sarkanā krāsā,

Arī apgalvojums ir patiess

Zīmējums. Simetrisko kopu atšķirība

Citiem vārdiem sakot, kopu simetrisko starpību veido visi tie pirmās kopas elementi, kas nav otrajā, kopā ar tiem otrās kopas elementiem, kas nav pirmajā. Komplektiem no iepriekšējiem piemēriem .

Komplekti Delphi un FreePascal

Veidu definēšana un mainīgo lielumu deklarēšana

FreePascal un Delphi atbalsta datu tipus darbam ar kopām. Komplekta apraksta formāts ir šāds

Tipa tipa nosaukums = bāzes_tipa kopa

Kopas programmā Pascal sastāv no tāda paša veida datiem, ko sauc par bāzi. Bāzes tipam var būt ne vairāk kā 256 atšķirīgas vērtības. Elementu skaits komplektā nedrīkst pārsniegt 255.

Kopu deklarāciju piemēri

Tips Dgt = 0..9;

Cipari = Dgt kopa;

DigitChar = kopa "0".."9";

Piemēra augšējā rindā ir ietverta diapazona tipa Dgt definīcija, otrajā rindā ir definēts tips Digits, kas ir pamata tipa Dgt elementu kopa. Varēja iztikt bez atsevišķas diapazona tipa deklarācijas. Piemēram, DigitChar tips ir rakstzīmju kopa, no kurām katra var būt no "0" līdz "9".

Pamata tipam nav jābūt diapazona veidam. Char tipa elementu kopa ir definēta tālāk. Tas ir likumīgi, jo Char tips satur 256 atšķirīgas vērtības.

Tips Junk = Char komplekts;

Tomēr, izmantojot veselu skaitli kā pamattipu, būtu kļūda, jo iespējamo vērtību skaits šim tipam ir lielāks par 256:

Tips Junk = komplekts Vesels skaitlis ; //Tas ir aizliegts!!!

Nav pieņemami izmantot kā bāzes tipu, aprakstot kopas un reālus datu tipus, piemēram, reālos, jo tie nav kārtas.

Kad kopas veids ir definēts, var deklarēt šāda veida mainīgos. Piemēram,

Jūs varat izmantot dizainu komplekts no un tieši pie mainīgo lielumu deklarācijas. Piemēram,

Varsc: komplekts 0..9;

Komplektu veidošana

Lai izveidotu komplektu, tiek izmantots tā sauktais komplekta konstruktors. To var uzrakstīt šādos veidos.

1. 
   Kopas elementi ir norādīti kvadrātiekavās, atdalot tos ar komatiem. Tiem jābūt konstantēm, mainīgajiem vai bāzes tipa izteiksmēm. Piemēram sc:= kur x ir vesela skaitļa tipa mainīgais.
2. 
   [a..b]. Šajā gadījumā komplektā ir visas bāzes tipa vērtības, sākot ar a un beidzas b. Izmantojot šo komplekta norādīšanas veidu, tam vajadzētu būt a b. Piemēram, izteiciens sc:= nozīmē to pašu, ko sc:=.
3. 
   1. un 2. metodes kombinācija. Piemēram, sc:=.
4. 
   Tukšo komplektu norāda ar atvērtu un uzreiz aizvērtu kvadrātiekava. Piemēram sc:=.

Operācijas komplektos

Operators	Apraksts	Piemērs
+	Komplektu savienība	c:=a+b; d:=+;
*	Daudzu krustojums	c:=*;
-	Iestatiet atšķirību	c:= - ;
=	Kopu vienādības pārbaude. Rezultāts ir Būla tips	Programmas paraugs1; x:==;
	Taisnība, ja tā ir.	Programmas paraugs2; Var a,b: kopa 1...100; a:=;
iekšā	Būla izteiksme x iekšā A pārbauda, ​​vai x komplekta elements A. Mainīgs (vai nemainīgs) x jābūt komplekta pamatnei A veids.	x:=10 collas ;
>	Komplektu simetriskā atšķirība. Tikai priekš bezmaksas paskāls . IN Delfos nestrādā. Piemērā uz ekrāna tiek parādīti visi kopas C elementi, kas ir kopu A un B simetriskā starpība. Ir vēl viens veids, kā noskaidrot kopas sastāvu, izņemot operatora izmantošanu. iekšā, Nē.	($mode delphi) Programmas paraugs4; Var a,b,c: baitu kopa; b:=; i:=0 līdz 255 Do
	Kopu nevienlīdzības pārbaude. AB nozīme taisnība ja kopa A nav vienāda ar kopu B.	($mode delphi) Programmas paraugs5; Var a,b: baitu kopa; b:=;

Problēmu risināšanas piemēri

1. uzdevums

Vai ir rinda s vismaz divi identiski mazie angļu burti? (Piemēram, virknē "book" ir šādi burti. Šis ir burts "o". Bet virknē "Elem 1221" nav.)

Risinājums

Ļaujiet M- visu mazo angļu burtu komplekts no a pirms tam z. Apzīmē ar B mazo angļu burtu kopa, kas jau atrasta skatoties no rindas sākuma.

Mēs varam piedāvāt šādu algoritmu.

Ja esam sasnieguši algoritma 5. punktu, tad virknē nav neviena mazā angļu burta.

Rakstīsim programmu.

Programma EngLetter;

i, len: vesels skaitlis;

B, M: Char komplekts;

WriteLn ("Ievadiet virkni");
len:=garums(-i);
Kamēr iBegin

Ja s[i] B Tad
WriteLn("Jā");
beigas;

Ja s[i] M Tad

B:=B+]; // Komplektu savienība

beigas;

WriteLn("Nē");

2. uzdevums

Doti naturālie skaitļi un . ( ) Vai naturālu skaitļu decimāldaļās ir vienādi cipari?

Risinājums

Ļaut ir ciparu kopa , Un ir ciparu kopa . Tad ciparu kopa, kas atrodas gan skaitļa apzīmējumā, gan skaitļa apzīmējumā,

Ja , tad ir izplatīti skaitļi. Katra no aprakstītajām kopām satur ne vairāk kā 10 elementus, katrs elements ne vairāk kā 10. Tas nozīmē, ka to attēlošanai var izmantot Pascal valodu kopas.

Definējiet datu tipus

Tipa cipars = 0..9;

SetDigit = ciparu kopa;

Mēs izceļam naturāla skaitļa ciparu kopas konstruēšanas apakšproblēmu x procedūrā

Tad mēs varam piedāvāt šādu problēmas risināšanas algoritmu.

Tagad mēs sastādīsim MakeSet procedūras algoritmu.

Ko nozīmē izteiciens "cipara ierakstā paliek vismaz viens cipars"? Atrodot daļējos koeficientus, dalot ar 10, mēs galu galā iegūsim nulli.

Izveidosim programmu, izmantojot šo algoritmu.

Tipa cipars = 0..9;

SetDigit = ciparu kopa;

Procedūra MakeSet(x: Integer; out s: SetDigit);

Var pēdējais: cipars;

s:=; // Vēl neesmu atradis nevienu x ciparu

Kamēr x>0 Darīt
pēdējais:= x mod 10; //Cipara x pēdējais cipars

s:=s+; //Iekļaut pēdējo x ciparu kopā

x:=x div 10 //Atvienojiet pēdējo ciparu

beigas;

Varm,n,s,r: Integer;

Write("m, n = ");
MakeSet(s,A);

WriteLn("summa ",s);

WriteLn("atšķirība", r);

WriteLn("Nav kopīgu ciparu")

WriteLn("Ir kopējie skaitļi")

Jautājumi un uzdevumi patstāvīgam risinājumam

1. 
   Aprēķiniet bez datora
   1. 
      d:=+;
   2. 
      c:=*;
   3. 
      c:= - ;
   4. 
      x:=10 collas ;
2. 
   Vai, aprakstot kopu, var izmantot ShortInt kā bāzes veidu? Baiti? Int64? Char? Stīga? Dubults?
3. 
   Uzrakstiet programmu problēmas risināšanai. Cik nepāra ciparu ir virknē s? Saskaitiet katru ciparu tik reižu, cik tas parādās virknē. Piemēram, virknē "AwDc12 h215" ir trīs nepāra cipari: divi vieni un pieci.
4. 
   Rindā ir teksts krievu valodā, kas rakstīts ar lielajiem burtiem. Izvadiet tos patskaņus, kas nav šajā tekstā.
5. 
   Nosakiet, kuras virknes rakstzīmes b nav rindā a. Piemēram, ja a="abcd", b="baMCc", atbilde ir "MC".
6. 
   Nosakiet kopējos ciparus naturālo skaitļu apzīmējumā a Un b, t.i. cipariem, kas ir arī numura ievadē a, un skaitļa apzīmējumā b. Vai tā ir taisnība, ka numurs c rakstīts tikai izmantojot šīs kopīgās a Un b cipariem, ja ciparus var izmantot atkārtoti?
7. 
   Teikuma beigās tiek likta viena no pieturzīmēm: punkts, jautājuma zīme, izsaukuma zīme - vai to kombinācija, piemēram, trīs punkti pēc kārtas, jautājuma zīme ar izsaukuma zīmi, vairākas izsaukuma zīmes pēc kārtas. Uzrakstiet programmu, lai saskaitītu teikumu skaitu noteiktā virknē. Starp secīgām pieturzīmēm nav atstarpju.

Literatūra

1. 
   Maikls van Kanets. Bezmaksas Pascal versijas 2.4.2 uzziņu rokasgrāmata. - 2010. gada novembris
2. 
   Borland palīdzība BDS2006.
3. 
   Kolmogorovs A.N., Fomins S.V. Funkciju teorijas elementi un funkcionālā analīze.: Mācību grāmata augstskolām. - M.: Nauka, 1989.
4. 
   Kormen T., Leyzerson Ch., Rivest R., Stein K. Algorithms. Būvniecība un analīze. Otrais izdevums. - Maskava, Sanktpēterburga, Kijeva. Izdevniecība "Williams", 2010.
5. 
   ķekars. // http://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE
6. 
   Faronovs V.V. Turbo Pascal 7.0. Sākotnējais kurss. Apmācība. - M.: "Zināšanas", 1998. gads

Matemātiskā analīze ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar funkciju izpēti, pamatojoties uz ideju par bezgalīgi mazu funkciju.

Matemātiskās analīzes pamatjēdzieni ir daudzums, kopa, funkcija, bezgalīgi maza funkcija, robeža, atvasinājums, integrālis.

Vērtība sauc visu, ko var izmērīt un izteikt ar skaitli.

daudzi ir dažu elementu kopums, ko vieno kāda kopīga iezīme. Kopas elementi var būt skaitļi, figūras, objekti, jēdzieni utt.

Kopas tiek apzīmētas ar lielajiem burtiem, bet kopas elementus - ar mazajiem burtiem. Komplekta elementi ir ietverti cirtainos lencēs.

Ja elements x pieder komplektam X, tad raksti x∈X (∈ - pieder).
Ja kopa A ir daļa no kopas B, tad rakstiet A ⊂ B (⊂ - ir ietverts).

Kopu var definēt vienā no diviem veidiem: uzskaitot un definējot īpašību.

Piemēram, uzskaitījums definē šādas kopas:

• A=(1,2,3,5,7) - skaitļu kopa
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) ir dažu elementu kopa x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) ir naturālu skaitļu kopa
• Z=(0,±1,±2,...,±n) ir veselu skaitļu kopa

Tiek izsaukta kopa (-∞;+∞). skaitļa līnija, un jebkurš skaitlis ir šīs līnijas punkts. Lai a ir patvaļīgs punkts reālajā taisnē un δ ir pozitīvs skaitlis. Intervālu (a-δ; a+δ) sauc δ-punkta a apkārtne.

Kopa X ir ierobežota no augšas (no apakšas), ja ir tāds skaitlis c, ka jebkuram x ∈ X ir izpildīta nevienādība x≤с (x≥c). Šajā gadījumā tiek izsaukts cipars augšējā (apakšējā) mala kopas X. Tiek izsaukta kopa, kas ierobežota gan augšā, gan zemāk ierobežots. Tiek saukta mazākā (lielākā) no kopas augšējām (apakšējām) virsmām precīza augšējā (apakšējā) sejašis komplekts.

Pamata ciparu kopas

N	(1,2,3,...,n) Visu kopa
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Iestat veseli skaitļi. Veselo skaitļu kopa ietver naturālo skaitļu kopu.
J	ķekars racionālie skaitļi. Papildus veseliem skaitļiem ir arī daļskaitļi. Daļa ir formas izteiksme , kur lpp ir vesels skaitlis, q-dabisks. Decimāldaļas var rakstīt arī kā . Piemēram: 0,25 = 25/100 = 1/4. Veselus skaitļus var rakstīt arī kā . Piemēram, daļskaitļa formā ar saucēju "viens": 2 = 2/1. Tādējādi jebkuru racionālu skaitli var uzrakstīt kā decimālo daļu – galīgi vai bezgalīgi periodisku.
R	Daudzi no visiem reāli skaitļi. Iracionālie skaitļi ir bezgalīgas neperiodiskas daļas. Tie ietver: Divas kopas (racionālie un iracionālie skaitļi) kopā veido reālo (vai reālo) skaitļu kopu.

Ja kopa nesatur elementus, tā tiek izsaukta tukšs komplekts un ierakstīts Ø .

Loģiskās simbolikas elementi

Apzīmējums ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kvantators

Rakstot matemātiskās izteiksmes, bieži tiek izmantoti kvantori.

kvantators sauc par loģisku simbolu, kas raksturo tam sekojošos elementus kvantitatīvā izteiksmē.

• ∀- vispārējais kvantētājs, tiek lietots vārdu "visiem", "jebkuram" vietā.
• ∃- eksistenciālais kvantators, tiek lietots vārdu "pastāv", "ir" vietā. Tiek izmantota arī simbolu kombinācija ∃!, kas tiek lasīta, jo tāda ir tikai viena.

Operācijas komplektos

Divas kopas A un B ir vienādas(A=B), ja tie sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem.
Piemēram, ja A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), tad A=B.

Savienība (summa) kopas A un B sauc par kopu A ∪ B, kuras elementi pieder vismaz vienai no šīm kopām.
Piemēram, ja A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), tad A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Krustojums (produkts) kopas A un B sauc par kopu A ∩ B, kuras elementi pieder gan kopai A, gan kopai B.
Piemēram, ja A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), tad A ∩ B = (2,4)

atšķirība kopas A un B sauc par kopu AB, kuras elementi pieder kopai A, bet nepieder kopai B.
Piemēram, ja A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), tad AB = (1,2)

Simetriskā atšķirība kopas A un B sauc par kopu A Δ B, kas ir kopu AB un BA atšķirību savienība, tas ir, A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Piemēram, ja A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), tad A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)

Kopas operāciju īpašības

Permutācijas īpašības

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

asociatīvais īpašums

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Saskaitāmas un neskaitāmas kopas

Lai salīdzinātu jebkuras divas kopas A un B, starp to elementiem tiek noteikta atbilstība.

Ja šī atbilstība ir viens pret vienu, tad kopas sauc par līdzvērtīgām vai līdzvērtīgām, A B vai B A.

1. piemērs

Trijstūra ABC kājas BC un hipotenūzas AC punktu kopai ir vienāda jauda.