Algorytm odejmowania kolumn. Zapisany algorytm odejmowania

Odejmowanie liczby jednocyfrowej B z liczby jedno- lub dwucyfrowej A, nie przekraczającej 18, sprowadza się do znalezienia takiej liczby Z, Co B+c=a, i uwzględnia tabelę dodawania liczb jednocyfrowych.

Jeśli liczby A I B polisemantyczny i B< а , wówczas znaczenie odejmowania pozostaje takie samo jak w przypadku odejmowania w zakresie 20, ale technika znajdowania różnicy staje się inna: różnicę między liczbami wielocyfrowymi najczęściej oblicza się, wykonując obliczenia w kolumnie, zgodnie z pewnym algorytmem . Dowiedzmy się, jak powstaje ten algorytm i jakie fakty teoretyczne leżą u jego podstaw.

Rozważmy różnicę pomiędzy liczbami 586 i 342. Skorzystajmy z zasady zapisywania liczb w systemie dziesiętnym i przedstawmy tę różnicę w postaci: 586-342=(5·102+8·10+6)-(3 ·102+4·10+2) .

Aby od liczby 5,102+8,10+6 odjąć sumę 3,102+4,10+2, wystarczy odjąć od niej po kolei każdy wyraz tej sumy, a następnie: (5,102+ 8,10+6) -(3,102+4,10+2)=(5,102+8,10+6)-3,102-4,10-2.

Aby odjąć liczbę od sumy, wystarczy odjąć ją od dowolnego wyrazu (większego lub równego tej liczbie). Dlatego odejmujemy liczbę 3 102 od wyrazu 5 102, liczbę 4 10 od wyrazu 8 10 i liczbę 2 od wyrazu 6, a następnie:

(5 102+8 10+6)-3 102-4 10-2=(5 102-3 102)+(8 10-4 10)+(6-2).

Skorzystajmy z rozdzielności mnożenia względem odejmowania i usuńmy z nawiasów 102 i 10. Wtedy wyrażenie będzie wyglądać następująco:

(5-3)·102+(8-4)·10+(6-2). Widzimy, że odejmowanie trzycyfrowej liczby 342 od trzycyfrowej liczby 586 zostało zredukowane do odjęcia liczb jednocyfrowych reprezentowanych przez cyfry odpowiednich cyfr w zapisie danych liczb trzycyfrowych. Różnice 5-3, 8-4 i 6-2 znajdujemy korzystając z tabeli dodawania i uzyskując wyrażenie: 2.102+4.10+4, które jest reprezentacją liczby 244 w systemie dziesiętnym. Zatem 586-342=244.

Wyrażenie (5-3) 102+(8-4) 10+(6-2) określa regułę odejmowania, którą zwykle realizuje kolumna:

Widzimy, że odejmowanie liczby wielocyfrowej od liczby wielocyfrowej opiera się na:

Sposób zapisywania liczby w systemie dziesiętnym;

Zasady odejmowania liczby od sumy i sumy od liczby;

Właściwość rozdzielcza mnożenia względem odejmowania;

Tabela dodawania jednocyfrowego.

Nietrudno sprawdzić, że jeśli w którymś miejscu odjemnika znajduje się liczba jednocyfrowa mniejsza niż liczba w tym samym miejscu odejmowania, to odejmowanie opiera się na tych samych faktach teoretycznych i tabeli dodawania liczby jednocyfrowe.

Rozważmy różnicę 850-437. Skorzystajmy z zasady zapisywania liczb w systemie dziesiętnym i przedstawmy tę różnicę w postaci: 850-437=(8·102+5·10+0)-(4·102+3·10+7). Ponieważ od liczby 0 nie można odjąć 7, niemożliwe jest wykonanie odejmowania podobnego do tego, co zrobiono w pierwszym przypadku. Dlatego weźmy jedną dziesiątkę z liczby 850 i przedstawmy ją jako 10 jednostek - system liczb dziesiętnych nam na to pozwala - wówczas otrzymamy wyrażenie:

(8,102+4,10+10)-(4,102+3,10+7).

Jeśli teraz zastosujemy zasady odejmowania sumy od liczby i liczby od sumy, a także rozdzielność mnożenia względem odejmowania, otrzymamy wyrażenie (8-4) 102+(4-3) 10+( 10-7) lub 4 102+1 ·10+3. Ostatnia suma to liczba 413 zapisana w zapisie dziesiętnym. Zatem 850-437 = 413.

Opisany proces pozwala nam formułować w sposób ogólny algorytm odejmowania liczb w dziesiętnym systemie liczbowym.

1. Odejmowanie piszemy pod odjemnikiem, tak aby odpowiednie cyfry znajdowały się pod sobą.

2. Jeżeli cyfra cyfry jedności odjemnika nie przekracza odpowiedniej cyfry odjemnika, odejmij ją od cyfry odjemnika, wpisz różnicę w cyfrze jedności żądanej liczby, a następnie przejdź do następnej cyfra.

3. Jeżeli liczba jednostek odejmowania jest większa niż jednostek odejmowania, tj. B 0 > A 0, a cyfra dziesiątek odjemnej jest różna od zera, wówczas cyfrę dziesiątek odjemnej zmniejszamy o 1, jednocześnie zwiększając cyfrę jedności odjemnej o 10, po czym odejmujemy 10 + od liczby a0 numer B 0 i zapisz różnicę cyfr jedności żądanej liczby, a następnie przejdź do następnej cyfry.

4. Jeżeli liczba jednostek odejmowania jest większa niż liczba jednostek odejmowania, stojąc w miejscu dziesiątek, setek itp. odjemna jest równa zeru, wówczas pierwszą niezerową cyfrę odjemnej (po miejscu jedności) zmniejszamy o 1, wszystkie cyfry dolnych cyfr aż do miejsca dziesiątek włącznie zwiększamy o 9 i cyfrę w jednostkach postaw przez 10: odejmij B 0 na 10 + A 0, Zapisujemy różnicę w cyfrze jedności żądanej liczby i przechodzimy do następnej cyfry.

5. W kolejnej kategorii powtarzamy opisany proces.

6. Odejmowanie kończy się w momencie odjęcia odejmowania od najbardziej znaczącej cyfry.

Algorytm odejmowania liczby wielocyfrowej od liczby wielocyfrowej opiera się na następujących faktach teoretycznych:

· sposób zapisu liczby w systemie dziesiętnym;

· zasady odejmowania liczby od sumy i sumy od liczby;

· własność rozdzielcza w zakresie odejmowania;

· jednocyfrowa tabela dodawania.

Zadanie 5. Zilustruj teoretyczne podstawy algorytmu odejmowania, obliczając różnice: a) 586 - 342; b) 850 - 437.

Rozwiązanie. a) Rozważmy różnicę pomiędzy liczbami 586 i 342. Skorzystajmy z zasady zapisywania liczb w systemie dziesiętnym i przedstawmy tę różnicę w tej postaci: 586-342 = (5 102 + 8 10 + 6) - (3 102 + + 4 10 + 2).

Aby odjąć sumę 3,102 + 4,10 + 2 od liczby 5,102 + 8,10 + 6, wystarczy odjąć od niej po kolei każdy wyraz tej sumy, a następnie: (5,102 + 8·10 + 6) - (3 102 + 4 10 + 2) = (5 102 + 8 10 + 6) -
- 3,102 - 4,10 - 2.

Aby odjąć liczbę od sumy, wystarczy odjąć ją od dowolnego wyrazu (większego lub równego tej liczbie). Dlatego odejmujemy liczbę 3 102 od wyrazu 5 102, liczbę 4 10 od wyrazu 8 10 i liczbę 2 od wyrazu 6, a następnie:

(5 102 + 8 10 + 6) - 3 102 - 4 10 - 2 = (5 102 - 3 102) + (8 10 - 4 10) + (6 - 2).

Skorzystajmy z rozdzielności mnożenia względem odejmowania i usuńmy 102 i 10 z nawiasów. Wtedy wyrażenie będzie wyglądać następująco: (5 - 3) 102 + (8 - 4) 10 + (6 - 2). Widzimy, że odejmowanie trzycyfrowej liczby 342 od trzycyfrowej liczby 586 zostało zredukowane do odjęcia liczb jednocyfrowych reprezentowanych przez cyfry odpowiednich cyfr w zapisie danych liczb trzycyfrowych. Różnice 5 - 3, 8 - 4 i 6 - 2 znajdujemy korzystając z tabeli dodawania i uzyskując wyrażenie: 2,102 + 4,10 + 4, które jest reprezentacją liczby 244 w systemie dziesiętnym. Zatem 586 - 342 = 244.

b) Rozważmy różnicę 850 - 437. Skorzystajmy z zasady zapisywania liczb w systemie dziesiętnym i przedstawmy tę różnicę w postaci: 850 - 437 = (8 102 + 5 10 + 0) - (4 102 + 3 10 + 7 ). Ponieważ od liczby 0 nie można odjąć 7, niemożliwe jest wykonanie odejmowania podobnego do tego, co zrobiono w pierwszym przypadku. Dlatego weźmy jedną dziesiątkę z liczby 850 i przedstawmy ją jako 10 jednostek - system liczb dziesiętnych nam na to pozwala - wówczas otrzymamy wyrażenie:

(8,102 + 4,10 + 10) - (4,102 + 3,10 + 7).

Jeśli teraz zastosujemy zasady odejmowania sumy od liczby i liczby od sumy, a także rozdzielność mnożenia względem odejmowania, otrzymamy wyrażenie (8 - 4) 102 + (4 - 3) 10 + ( 10 -7) lub 4 102 + 1 ·10 + 3. Ostatnią sumą jest liczba 413 zapisana w systemie dziesiętnym. Zatem 850 - 437 = 413.

Różnicę między liczbami wielocyfrowymi zwykle można znaleźć, wykonując odejmowanie kolumn.

Ogólnie algorytm odejmowania liczb wielocyfrowych zapisanych w systemie dziesiętnym jest sformułowany w następujący sposób:

• Odejmowanie piszemy pod odjemną tak, aby odpowiednie cyfry znajdowały się pod sobą.

• Jeśli cyfra cyfry jedności odejmowania nie przekracza odpowiedniej cyfry odjemnika, odejmij ją od cyfry odjemnika, wpisz różnicę w cyfrze jedności żądanej liczby, a następnie przejdź do następnej cyfry.

• Jeśli liczba jednostek odejmowania jest większa niż jednostek odjemnej, tj. b0>a0, a cyfra dziesiątek odjemnej jest różna od zera, wówczas cyfrę dziesiątek odjemnej zmniejszamy o 1, jednocześnie zwiększając cyfrę jedności odjemnej o 10, po czym od liczby 10 odejmujemy + a0 numer b0 i zapisz różnicę cyfr jedności żądanej liczby, a następnie przejdź do następnej cyfry.

• Jeśli cyfra jednostek odejmowania jest większa niż cyfra jednostek odjemnika, a cyfry dziesiątek, setek itp. należy umieścić odjemna jest równa zeru, wówczas pierwszą niezerową cyfrę odjemnej (po miejscu jedności) zmniejszamy o 1, wszystkie cyfry dolnych cyfr aż do miejsca dziesiątek włącznie zwiększamy o 9 i cyfrę w jednostkach postaw przez 10: odejmij b0 z 10 + a0, zapisz różnicę cyfr jedności żądanej liczby i przejdź do następnej cyfry.

W kolejnej kategorii powtarzamy opisany proces.

Odejmowanie kończy się, gdy od najbardziej znaczącej cyfry odejmowana jest odjemna.

Ćwiczenia do samodzielnej pracy

1. Zilustrować podstawy teoretyczne algorytmu odejmowania poprzez obliczenie różnic: a) 578 - 345; b) 646 - 207.

2. Wykonaj odejmowanie, wyjaśniając każdy krok algorytmu:

a) 84072 - 63894; b) 940235 - 32849;

c) 935204 - 326435; d) 653481 - 233694.

3. Oblicz wartość wyrażeń, korzystając z zasad odejmowania sumy od liczby oraz liczby i sumy: a) 2362 - (839 + 1362); b) (1241 + 576) - 841.

4. Oblicz wartość wyrażenia korzystając z zasady dodawania różnicy do liczby: a) 6420 + (3580 - 1736); b) 5480 + (6290 - 3480).

5. Oblicz wartość wyrażenia stosując zasadę odejmowania różnicy od liczby: a) 3720 - (1742 - 2678); b) 2354 - (965 - 1246).

6. Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z reguły odejmowania liczby od różnicy: a) (4317 - 1928) - 317; b) (5243 - 1354) - 1643.

Zasady teoretyczne leżące u podstaw odejmowania liczb wielocyfrowych:

Reprezentacja liczby w systemie dziesiętnym;

Zasady odejmowania liczby od sumy i sumy od liczby;

Tabelaryczne przypadki dodawania liczb jednocyfrowych;

Właściwości rozdzielcze mnożenia względem odejmowania.

1) Odejmujemy pod odjemną, ściśle cyfrę pod cyfrą.

2) Odejmowanie zaczynamy od miejsca jedności. Jeśli liczba jedynek w kategorii jednostkowej odejmowania jest większa lub równa liczbie jednostek w kategorii jednostkowej odejmowania, to wykonujemy odejmowanie, wynik zapisujemy w kategorii jednostkowej różnicy i przechodzimy do odejmowanie w następnym kroku. wypisać.

3) Jeżeli liczba jednostek w miejscu jednostek odjemnicy jest mniejsza niż liczba jednostek w miejscu jednostek odejmowania, to zmniejsz liczbę jednostek w miejscu dziesiątek odjemnika (jeśli w miejscu dziesiątek nie ma zera) miejsce dziesiątek) o 1, zwiększając jednocześnie liczbę jednostek w zmniejszanej kategorii jednostek o 10, po czym dokonujemy odejmowania. Wynikowy wynik zapisujemy w kategorii jednostek różnicy.

4) Jeśli liczba jednostek w cyfrze dziesiątek odjemnej wynosi zero, wówczas pierwszą z cyfr odjemnej znajdujemy w kocie. liczba jednostek nie jest równa zero i zmniejszamy w niej liczbę jednostek o 1, jednocześnie zwiększając liczbę jednostek w tych cyfrach w kocie. wynosi zero przez 9, a liczbę jednostek w cyfrze jedności zmniejsza się o 10. Wykonujemy odejmowanie, odpowiedź wpisujemy w odpowiednią cyfrę różnicy i przystępujemy do odejmowania w kolejnej cyfrze.

5) W kolejnej kategorii powtarza się punkt 2, 3 lub 4.

6) Proces odejmowania uważa się za zakończony, gdy odejmiemy odejmowaną cyfrę od najbardziej znaczącej cyfry.

Metodologia badania algorytmu.

Oczywiście młodsi uczniowie nie mogą opanować pisemnych algorytmów odejmowania w ogólnej formie. Ale nauczyciel musi je znać.

To pozwoli mu:

Przy zapoznawaniu uczniów z algorytmem należy odpowiednio zorganizować prace przygotowawcze;

Zarządzaj działaniami uczniów mającymi na celu opanowanie algorytmu;

W ćwiczeniach utrwalających algorytm należy uwzględnić wszystkie możliwości jego wykorzystania.

Opisy algorytmów podawane są uczniom szkół podstawowych w uproszczonej formie, gdzie zapisano jedynie najważniejsze punkty:

1) odejmowanie należy zapisać pod odjemnikiem, tak aby odpowiednie cyfry znajdowały się pod sobą;

2) odejmowanie należy rozpocząć od najniższej cyfry, tj. najpierw odejmij jednostki.

Pozostałe operacje zawarte w algorytmie są albo wyjaśniane młodszym uczniom na konkretnych przykładach, albo dowiadują się o nich w trakcie wykonywania specjalnych zadań. wybrane ćwiczenia.

Tradycyjny program: zapoznanie się z technikami pisania. dodawanie/odejmowanie w temacie „Tysiąc”; dodawanie/odejmowanie „w kolumnie” liczb dwucyfrowych zgodnie ze schematem działań: Wyjaśnij rozwiązanie przykładu 43 - 29 „w kolumnie”: Jednostki zapisuję pod jednostkami, dziesiątki pod dziesiątkami. Odejmuję jednostki. Pożyczam 1 dziesiątkę. 13-9=4. Piszę pod jednostkami 4.

Odejmę dziesiątki. Wzięliśmy jedną dziesiątkę, więc w odjemnej pozostały 3 dziesiątki. 3-2=1. Piszę 1 poniżej dziesiątek. Przeczytałem odpowiedź: różnica wynosi 14.

Rozważane są kolejno różne przypadki odejmowania liczb trzycyfrowych.

Program Istominy: Dzieci zapoznają się z pisemnymi algorytmami dodawania i odejmowania po opanowaniu numerowania liczb w zakresie miliona.

Rozpoczynając naukę algorytmów pisemnego dodawania i odejmowania, uczniowie wykonują zadanie:

O ile można skrócić liczbę 308282, aby cyfry jednostek i dziesiątek zmieniły się, ale liczby w pozostałych miejscach pozostały takie same?

(Analiza sposobu działania przy odejmowaniu w kolumnie). Wyjaśnij, jak odejmować liczby. Zgadnij, dlaczego odejmowanie liczb wielocyfrowych „w kolumnie” musi zaczynać się od miejsca jednostek? (Skoncentruj się na wprowadzaniu wpisów „w kolumnie”, omawiając wpisy prawidłowe i nieprawidłowe).

Pytanie 6.Algorytmy pisemnego dodawania i odejmowania.

Jak pokazuje praktyka, opanowanie pisemnych algorytmów dodawania i odejmowania nie jest zadaniem łatwym. Jedną z przyczyn trudności jest niewłaściwa organizacja procesu edukacyjnego. Należy skupić się na osobowości ucznia, jego indywidualnych zdolnościach.

Podczas wykonywania pisemnych obliczeń zmęczenie szybko narasta podczas pracy z liczbami, ponieważ konieczne jest wykonanie dużej liczby operacji, aby znaleźć wynik, poświęcić więcej wysiłku i czasu, wymagać większej koncentracji uwagi, dlatego pojawiają się błędy. Aby uniknąć szybkiego zmęczenia, pomoże naprzemienne wykonywanie różnych czynności: ustnej i pisemnej, rozwiązywania przykładów poprzez rozwiązywanie problemów, rzadszego wykonywania standardowych zadań, większej liczby zadań wymagających pomysłowości i niestandardowego podejścia.

Studenci nie męczą się tak szybko, jeśli w pełni przyswoją sobie nową wiedzę i otrzymają przykładową kalkulację zapisaną zarówno w formie symbolicznej, jak i słownej (w formie wyjaśnienia rozwiązania). Studiowanie tematu powinno być również poprzedzone pracami przygotowawczymi, ponieważ zrozumienie studiowanego materiału jest ogromną wewnętrzną zachętą do studiowania matematyki.

Dzieciom należy pokazywać znajomy materiał, ponieważ często próbują postrzegać cały materiał jako nowy, bez podkreślania tego, co jest znane, a jednocześnie przestudiowanie dużej ilości materiałów edukacyjnych może nie być możliwe. Studiowanie pisemnych obliczeń pozwala stawiać problematyczne pytania, organizować wspólne poszukiwanie odpowiedzi na nie i uczyć samokontroli.

Techniki pisemne obejmują następujące przypadki (patrz tabela powyżej)

dodawanie i odejmowanie bez przechodzenia przez dziesięć;

zasada sprawdzania dodawania i odejmowania;

pisemne techniki dodawania poprzez przekazywanie dziesiątek;

pisemne techniki odejmowania umożliwiające poruszanie się po dziesiątkach.

Na etapie przygotowawczym możesz podać tabelę dodawania i odejmowania w zakresie 20, przestudiował ustne techniki dodawania i odejmowania w zakresie 100. Podczas zapoznawania się musisz pokazać 2 rodzaje technik nagrywania: w wierszu i kolumnie, zwracając uwagę że przy dodawaniu i odejmowaniu jednostki drugiej liczby podpisuje się pod jednostkami pierwszej liczby, a dziesiątki pod dziesiątkami.

35 (podaj tylko zapis, bez konieczności obliczania). Warunek 12 z przykładu jest oddzielony od odpowiedzi

linia oznaczająca znak równości.

Wyjaśnienie pisemnego dodawania i odejmowania można rozpocząć od ustnych rozwiązań przykładów dodawania i odejmowania liczb dwucyfrowych bez przechodzenia przez dziesięć. Następnie niezależnie zapisz przykład w kolumnie, ponieważ jest to wygodniejsze. Nauczyciel powinien pokazać, że w każdej z cyfr liczby sumują się jako pojedyncze cyfry. Dodawanie i odejmowanie zaczynamy od jedności. Aby wprowadzić obliczenia z przejściem przez cyfrę, możesz zadać zadanie zaobserwowania różnicy między przykładami:

47 47 47 74 74 74

32 33 34 53 54 55

Na początkowym etapie możesz pozwolić, aby punkt służył jako sygnał odniesienia do samokontroli. Punkt (sygnał referencyjny) jest czynnikiem czysto psychologicznym, dlatego zwiększy uwagę. Jeśli uczeń jest zmęczony i czuje, że jego uwaga jest osłabiona, może zakończyć temat. Jasne algorytmy prezentowane w podręcznikach do matematyki dla szkół podstawowych pomogą Ci opanować nową wiedzę.

Na przykład: 56+23. Rozumowanie uczniów: Poniżej piszę 56, w kolumnie 23 piszę (jednostki podpisuję pod jednostkami, dziesiątki pod dziesiątkami), stawiam znak +, podkreślam, obliczam. Dodaję jedności, dodaję dziesiątki, czytam odpowiedź. Algorytm odejmowania: odejmij jedności, odejmij dziesiątki, przeczytaj odpowiedź. Opierają się one na pisemnych algorytmach dodawania i odejmowania z kursu matematyki.

Działanie dodawania opiera się na następującym algorytmie:

Wpisz drugie wyrazy pod pierwszym, tak aby odpowiednie cyfry znalazły się pod sobą.

Dodaj cyfry jedności. Jeżeli kwota jest mniejsza niż 10, jest ona zapisywana w kategorii jednostek odpowiedzi i przenoszona do kolejnej kategorii.

Jeśli suma cyfr jest większa niż 10 lub równa, to przedstaw ją w postaci: 10 + c 0, gdzie c 0 jest liczbą jednocyfrową, wpisz c 0 w cyfrze jedności odpowiedzi i dodaj 1 do cyfrę dziesiątek pierwszego wyrazu, po czym przechodzą do cyfry dziesiątek.

Powtórz te same kroki z dziesiątkami, następnie z setkami itd. Proces dodawania kończy się po dodaniu najważniejszych cyfr.

Algorytm odejmowania.

Zapisz odejmowanie b n, b n -1 ... b 1 , b 0 pod odjemnikiem, tak aby odpowiednie cyfry znalazły się pod sobą.

Jeżeli cyfra w cyfrze jedności odjemnika nie przekracza odpowiedniej cyfry odjemnika, wówczas jest ona odejmowana od odpowiedniej cyfry odjemnika, a następnie przechodzi do następnej cyfry.

3. Jeżeli liczba jednostek odejmowania jest większa od liczby jednostek odejmowania, tj. 0

4. Jeżeli cyfra jednostki odejmowania jest większa od cyfry jednostek odjemnika, a cyfry dziesiątek, setek itp. wstawiaj odjemna jest równa 0, następnie weź pierwszą cyfrę odjemną różną od 0 (po miejscu jednostek), zmniejsz ją o 1, wszystkie cyfry dolnych cyfr, aż do miejsca dziesiątek włącznie, zwiększa się o 9, a cyfrę w jednostkach wstaw przez 10, odejmij b 0 od 10+ a 0, wynik zapisz w cyfrze jednostek różnicy i przejdź do następnej cyfry.