Co bada przedmiot logiki matematycznej? Logika matematyczna: przedmiot, struktura i podstawowe zasady działania

Wstęp

Pytania do nauki:

Pojęcia i definicje logiki matematycznej.

Podstawowe działania algebry zdań.

Prawa i konsekwencje algebry Boole'a.

Wniosek

Wstęp

Teoretyczną podstawą budowy komputera są specjalne dyscypliny matematyczne. Jedną z nich jest algebra logiki, czyli algebra Boole’a (J. Boole to angielski matematyk XIX wieku, twórca tej dyscypliny). Jego aparatura jest szeroko stosowana do opisu obwodów komputerowych, ich projektowania i optymalizacji.

1. Pojęcia i definicje logiki matematycznej.

Logika- nauka badająca prawa i formy myślenia; doktryna metod rozumowania i dowodu.

Logika matematyczna (logika teoretyczna, logika symboliczna) to dział matematyki zajmujący się badaniem dowodów i zagadnień z podstaw matematyki. „Przedmiot współczesnej logiki matematycznej jest różnorodny”. Według definicji P. S. Poreckiego „logika matematyczna to logika według przedmiotu, matematyka według metody”. Według definicji N.I. Kondakowa „logika matematyczna jest drugim, po logice tradycyjnej, etapem rozwoju logiki formalnej, wykorzystującym metody matematyczne i specjalny aparat symboli oraz zgłębiającym myślenie za pomocą rachunku różniczkowego (języków sformalizowanych)”. Definicja ta odpowiada definicji S. K. Kleene’a: logika matematyczna to „logika opracowana przy użyciu metod matematycznych”. Również A. A. Markov definiuje współczesną logikę jako „naukę ścisłą posługującą się metodami matematycznymi”. Wszystkie te definicje nie są ze sobą sprzeczne, lecz się uzupełniają.

Zastosowanie metod matematycznych w logice staje się możliwe, gdy sądy formułuje się w jakimś precyzyjnym języku. Takie precyzyjne języki mają dwie strony: składnię i semantykę. Składnia to zbiór zasad konstruowania obiektów językowych (zwykle nazywanych formułami). Semantyka to zbiór konwencji opisujących nasze rozumienie formuł (lub niektórych z nich) i pozwalających nam uznać niektóre formuły za prawdziwe, a inne nie.

Logika matematyczna bada logiczne powiązania i relacje leżące u ich podstaw wnioskowanie logiczne (dedukcyjne)., posługując się językiem matematyki.

Poprzez myślenie abstrakcyjne poznajemy prawa świata, istotę przedmiotów i to, co mają ze sobą wspólnego. Głównymi formami myślenia abstrakcyjnego są pojęcia, sądy i wnioski.

Pojęcie- forma myślenia odzwierciedlająca istotne cechy pojedynczego przedmiotu lub klasy jednorodnych obiektów. Pojęcia w języku wyrażane są w słowach.

Zakres koncepcji- zbiór obiektów, z których każdy ma cechy składające się na treść pojęcia. Istnieją koncepcje ogólne i indywidualne.

Ze względu na objętość rozróżnia się następujące relacje pojęć:

tożsamość lub zbieżność objętości, co oznacza, że ​​objętość jednego pojęcia jest równa objętości innego pojęcia;

podporządkowanie lub włączenie tomów: zakres jednego z pojęć jest całkowicie zawarty w zakresie drugiego;

wyjątek tomy - przypadek, w którym nie ma ani jednej cechy, która byłaby w dwóch tomach;

skrzyżowanie lub częściowa zbieżność tomów;

podporządkowanie tomy - przypadek, gdy tomy dwóch wykluczających się pojęć włącza się do tomu trzeciego.

Osąd- jest to forma myślenia, w której potwierdza się lub zaprzecza coś na temat przedmiotów, cech lub ich relacji.

Wnioskowanie- forma myślenia, dzięki której z jednego lub większej liczby sądów, zwanych przesłankami, otrzymujemy, zgodnie z pewnymi regułami wnioskowania, sąd-wniosek.

Algebra w najszerszym tego słowa znaczeniu nauka o działaniach ogólnych, podobnych do dodawania i mnożenia, które można wykonywać nie tylko na liczbach, ale także na innych obiektach matematycznych.

Algebra logiki (algebra zdań, algebra Boole’a 1 ) - dział logiki matematycznej, w którym badane są operacje logiczne na instrukcjach. Najczęściej przyjmuje się (tzw. logika binarna lub binarna, w przeciwieństwie do np. logiki trójskładnikowej), że zdania mogą być tylko prawdziwe lub fałszywe.

Przykłady algebr: algebra liczb naturalnych, algebra liczb wymiernych, algebra wielomianów, algebra wektorów, algebra macierzy, algebra zbiorów itp. Przedmiotami algebry logicznej lub algebry Boole'a są zdania.

Oświadczenie- to dowolne zdanie dowolnego języka (wyrażenie), którego treść można określić jako prawdziwe lub fałszywe.

Każde oświadczenie lub PRAWDA, Lub FAŁSZ; nie może być obu jednocześnie.

W języku naturalnym zdania wyrażane są za pomocą zdań oznajmujących. Zdania wykrzyknikowe i pytające nie są stwierdzeniami.

Stwierdzenia można wyrażać za pomocą symboli matematycznych, fizycznych, chemicznych i innych. Można tworzyć instrukcje na podstawie dwóch wyrażeń liczbowych, łącząc je znakami równości lub nierówności.

Oświadczenie to tzw prosty(elementarne), jeśli żadna jego część sama w sobie nie jest stwierdzeniem.

Nazywa się instrukcję składającą się z prostych instrukcji złożony(skomplikowane).

Proste zdania w algebrze logicznej oznacza się dużymi literami łacińskimi:

A= (Arystoteles - twórca logiki),

W= (Banany rosną na jabłoniach).

O uzasadnieniu prawdziwości lub fałszywości prostych stwierdzeń decyduje się poza algebrą logiki. Na przykład prawdziwość lub fałszywość stwierdzenia: „Suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni” ustala geometria, a w geometrii Euklidesa to stwierdzenie jest prawdziwe, a w geometrii Łobaczewskiego jest fałszywe.

Zdaniu prawdziwemu przypisuje się 1, fałszywemu 0. Zatem A = 1, W = 0.

Algebra logiki jest abstrahowana od treści semantycznej zdań. Interesuje ją tylko jeden fakt – czy dane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe, co pozwala określić prawdziwość lub fałszywość zdań złożonych metodami algebraicznymi.

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ

Federalna państwowa budżetowa instytucja edukacyjna wyższej edukacji zawodowej

„Państwowy Uniwersytet Pedagogiczny w Lipiecku”

Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki

Katedra Matematyki

Test na ten temat:

„Historia rozwoju logiki matematycznej”

Wykonane:

Studentka drugiego roku

Grupa MF-2

Ponamareva Wiktoria Siergiejewna

Doradca naukowy:

Doktorat SC, profesor nadzwyczajny

Erszowa Aleksandra Aleksiejewna

Lipieck, 2014

Wstęp

§1. Historia powstania logiki matematycznej

§2. Zastosowanie logiki matematycznej

§3. Logika matematyczna w technologii

§4. Logika matematyczna w kryptografii

§5. Logika matematyczna w programowaniu

Wniosek

Bibliografia

notacja matematyczna kryptografia logika programowanie

Wstęp

Logika<#"center">§1. Historia powstania logiki matematycznej

Logika matematyczna jest ściśle związana z logiką i jej zawdzięcza swoje powstanie. Podstawy logiki, nauki o prawach i formach ludzkiego myślenia (stąd jedna z jej nazw - logika formalna), położył największy starożytny filozof grecki Arystoteles (384-322 p.n.e.), który w swoich traktatach szczegółowo zbadał terminologię logiki, szczegółowo przeanalizował teorię wnioskowania i dowodu, opisał szereg operacji logicznych, sformułował podstawowe prawa myślenia, w tym prawa sprzeczności i wykluczenia trzeciej. Wkład Arystotelesa w logikę jest bardzo duży i nie bez powodu nazywa się go logiką Arystotelesa. Sam Arystoteles zauważył, że stworzona przez niego nauka i matematyka (wówczas nazywana arytmetyką) miały ze sobą wiele wspólnego. Próbował połączyć te dwie nauki, a mianowicie sprowadzić refleksję, czy raczej wnioskowanie, do obliczeń opartych na zasadach wyjściowych. W jednym ze swoich traktatów Arystoteles zbliżył się do jednej z gałęzi logiki matematycznej – teorii dowodu.

Następnie wielu filozofów i matematyków opracowało indywidualne przepisy logiki, a czasem nawet nakreśliło kontury współczesnego rachunku zdań, ale najbliżej powstania logiki matematycznej był już w drugiej połowie XVII wieku wybitny niemiecki naukowiec Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 - 1716), który wskazał drogę do przeniesienia logiki „z pełnego niepewności królestwa werbalnego do królestwa matematyki, gdzie relacje między przedmiotami lub zdaniami są określone z całkowitą precyzją”. Leibniz miał nawet nadzieję, że w przyszłości filozofowie zamiast bezowocnie się kłócić, wezmą papier i sprawdzą, który z nich ma rację. Jednocześnie Leibniz w swoich pracach poruszał także kwestię binarnego systemu liczbowego.

Należy zaznaczyć, że pomysł wykorzystania dwóch znaków do kodowania informacji jest bardzo stary. Australijscy aborygeni liczyli po dwóch, a niektóre plemiona łowiecko-zbierackie z Nowej Gwinei i Ameryki Południowej również stosowały binarny system liczenia. Niektóre plemiona afrykańskie przekazują wiadomości za pomocą bębnów w formie kombinacji dźwięcznych i tępych uderzeń. Znanym przykładem kodowania dwuznakowego jest alfabet Morse'a, w którym litery alfabetu są reprezentowane przez pewne kombinacje kropek i myślników.

Po Leibnizie wielu wybitnych naukowców prowadziło badania w tej dziedzinie, ale prawdziwy sukces odniósł tu angielski matematyk-samouk George Boole (1815-1864), którego determinacja nie znała granic. Sytuacja materialna rodziców Jerzego (którego ojciec był szewcem) pozwoliła mu ukończyć jedynie szkołę podstawową dla ubogich. Po pewnym czasie Buhl, po zmianie kilku zawodów, otworzył małą szkołę, w której uczył. Dużo czasu poświęcił samokształceniu i wkrótce zainteresował się ideami logiki symbolicznej. W 1847 r. Boole opublikował artykuł „Mathematical Analysis of Logic, or Experience in the Calculus of Deductive Inferences”, a w 1854 r. swoje główne dzieło: „A Study of the Laws of Thinking, na którym opierają się matematyczne teorie logiki i prawdopodobieństwa”. pojawił się.

Boole wynalazł rodzaj algebry – system notacji i reguł mających zastosowanie do wszelkiego rodzaju obiektów, od liczb i liter po zdania. Korzystając z tego systemu, mógł kodować stwierdzenia (twierdzenia, które należało udowodnić jako prawdziwe lub fałszywe) za pomocą symboli swojego języka, a następnie manipulować nimi, podobnie jak manipuluje się liczbami w matematyce. Podstawowe operacje algebry Boole'a to koniunkcja (AND), dysjunkcja (OR) i negacja (NOT).

Po pewnym czasie stało się jasne, że system Boole'a dobrze nadaje się do opisu elektrycznych obwodów przełączających. Prąd w obwodzie może płynąć lub nie, tak jak zdanie może być prawdziwe lub fałszywe. A kilka dekad później, już w XX wieku, naukowcy połączyli aparat matematyczny stworzony przez George'a Boole'a z binarnym systemem liczbowym, kładąc w ten sposób podwaliny pod rozwój cyfrowego komputera elektronicznego.

Do niektórych zapisów dzieła Boole’a w mniejszym lub większym stopniu odnosili się zarówno przed, jak i po nim inni matematycy i logicy. Jednak dziś w tej dziedzinie dzieła George'a Boole'a zaliczane są do klasyków matematyki, a on sam słusznie uważany jest za twórcę logiki matematycznej, a tym bardziej jej najważniejszych działów - algebry logiki (algebra Boole'a ) i algebra zdań.

Rosyjscy naukowcy P.S. również wnieśli ogromny wkład w rozwój logiki. Poretsky (1846-1907), I.I. Żegalkin (1869-1947).

W XX wieku ogromną rolę w rozwoju logiki matematycznej odegrał D. Hilbert (1862-1943), który zaproponował program formalizacji matematyki związany z rozwojem podstaw samej matematyki. Wreszcie w ostatnich dziesięcioleciach XX wieku szybki rozwój logiki matematycznej nastąpił dzięki rozwojowi teorii algorytmów i języków algorytmicznych, teorii automatów, teorii grafów (S.K. Kleene, A. Church, A.A Markov, P.S. Nowikow, Hegel i wielu innych).

Hegel (1770-1831) wypowiadał się bardzo ironicznie o prawie sprzeczności i prawie wyłączonego środka. Szczególnie to drugie przedstawił w następującej formie: „Duch jest zielony czy nie jest zielony” i zadał „podchwytliwe” pytanie: które z tych dwóch stwierdzeń jest prawdziwe? Odpowiedź na to pytanie nie jest jednak trudna. Żadne z dwóch stwierdzeń: „Duch jest zielony” i „Duch nie jest zielony” nie jest prawdziwe, ponieważ oba są pozbawione znaczenia. Prawo wyłączonego środka ma zastosowanie tylko do zdań znaczących. Tylko one mogą być prawdziwe lub fałszywe. To, co jest pozbawione sensu, nie jest ani prawdą, ani fałszem. Heglowska krytyka praw logicznych opierała się, jak to często bywa, na nadawaniu im znaczenia, którego nie mają, i przypisywaniu im funkcji, z którymi nie mają one żadnego związku. Przykładem takiego podejścia jest przypadek krytyki prawa wyłączonego środka. Krytyka prawa wyłączonego środka (L. Bauer) doprowadziła do powstania nowego kierunku w logice – logiki intuicjonistycznej. W tym drugim przypadku prawo to nie jest akceptowane i odrzucane są wszystkie metody rozumowania z nim związane. Wśród odrzuconych znajduje się na przykład dowód prowadzący do sprzeczności lub absurdu.

Chciałbym zwrócić uwagę na istotę wszelkiej krytyki praw logiki formalnej: wszyscy zwolennicy koncepcji „rozszerzenia” logiki formalnej przesuwają środek ciężkości badań logicznych z badania poprawnych metod rozumowania na rozwój problemów szczegółowych: teorii wiedzy, przyczynowości, indukcji itp. Do logiki wprowadzane są tematy, które same w sobie są interesujące i ważne, ale nie mają związku z samą logiką formalną, jako zbiorem technik prawidłowego myślenia. Prawo wyłączonego środka, bez uwzględnienia samych sprzeczności, zabrania uznania dwóch sprzecznych zdań za jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe. To jest jego znaczenie.

Wniosek: nie można wzbraniać się przed uznaniem jednego z dwóch sprzecznych ze sobą twierdzeń za prawdziwe i szukania pomiędzy nimi czegoś trzeciego.

Wynik zastosowania: uzyskuje się jednoznaczne logiczne myślenie.

Czwarte prawo jest prawem racji dostatecznej.

Sformułowanie: każda prawdziwa myśl ma wystarczającą podstawę.

Komentarz: Prawo to zasadniczo stwierdza, że ​​wszystkie myśli, które można wyjaśnić, uważa się za prawdziwe, a te, których nie da się wyjaśnić, za fałszywe. W logice zdań prawo to nie ma formuły, gdyż ma charakter substancjalny. Warto zastanowić się nad tym bardziej szczegółowo:

Wystarczającą, czyli realną, niefikcyjną podstawą naszych przemyśleń może być indywidualna praktyka. Rzeczywiście, prawdziwość niektórych sądów potwierdza ich bezpośrednie porównanie z faktami rzeczywistości (Przykład: „[To prawda, że] Pada deszcz”, „[To kłamstwo, że] byłem w Acapulco”). Ale osobiste doświadczenie jest ograniczone. Dlatego w realnych działaniach zawsze trzeba polegać na doświadczeniach innych ludzi. Dzięki rozwojowi wiedzy naukowej podmiot opiera swoje myśli na doświadczeniach swoich poprzedników, zapisanych w prawach i aksjomatach nauki, w zasadach i przepisach istniejących w każdej dziedzinie ludzkiej działalności. Aby potwierdzić jakiś konkretny przypadek, nie trzeba uciekać się do jego praktycznej weryfikacji ani uzasadniać go osobistym doświadczeniem. Jeżeli znam np. prawo Archimedesa, to niekoniecznie muszę szukać wanny z wodą, żeby postawić tam jakiś przedmiot i dowiedzieć się, ile stracił na wadze. Prawo Archimedesa będzie wystarczającą podstawą do potwierdzenia tego konkretnego przypadku.

Celem nauki jest nie tylko zdobywanie wiedzy, ale także jej przekazywanie. Dlatego też w formalnym przedstawieniu zdobytej już wiedzy nie można dopuszczać żadnych błędów logicznych. Zatem wiedza musi być logicznie kontrolowana. To jest dokładnie to, co jest optymalne dla jego zachowania, przekazywania i rozwoju. I dlatego wiedza naukowa, jako zbiór sprawdzonych już twierdzeń logicznych, może stanowić podstawę późniejszego rozumowania dowodowego.

Prawo racji dostatecznej sprowadza się właściwie do następującego wymogu: „każdy sąd musi zostać uzasadniony, zanim zostanie uznany za prawdę”. Zatem z tego prawa wynika, że ​​przy właściwym rozumowaniu niczego nie należy przyjmować po prostu na wiarę. W każdym przypadku każdego stwierdzenia należy podać powody, dla których uważa się je za prawdziwe. Jak widzimy, prawo racji dostatecznej początkowo pełni rolę zasady metodologicznej, która zapewnia zdolność myślenia do dostarczania podstaw do późniejszego rozumowania. Przecież wszystko, co zostało już poprawnie udowodnione, może posłużyć jako podstawa do kolejnych dowodów.

Wniosek: wystarczającą podstawą dla każdej myśli może być każda inna myśl, która została już sprawdzona i uznana za prawdziwą, z czego wynika prawdziwość danej myśli.

Wynik zastosowania: prawo zapewnia ważność myślenia. We wszystkich przypadkach, gdy coś stwierdzamy, jesteśmy zobowiązani udowodnić, że mamy rację, tj. dostarczają wystarczających powodów potwierdzających prawdziwość naszych myśli.

§2. Zastosowanie logiki matematycznej

Połączenie podejścia matematyczno-logicznego z innymi podejściami matematycznymi, przede wszystkim z koncepcjami i metodami probabilistyczno-statystycznymi – na tle głębokiego zainteresowania urządzeniami obliczeniowymi – w dużej mierze zadecydowało o ukształtowaniu się koncepcji cybernetyki jako złożonego kierunku naukowego z procesy jako jej przedmiot.

W niektórych przypadkach stosuje się aparat techniczny logiki matematycznej (synteza obwodów styków przekaźnika); Ponadto, co szczególnie ważne, idee logiki matematycznej oczywiście w teorii algorytmów, ale także całej nauki jako całości i charakterystyczny dla niej styl myślenia miały i nadal mają bardzo duży wpływ na te unikalne obszary działalności, których treścią jest automatyczne przetwarzanie informacji (informatyka), wykorzystanie w kryptografii i automatyzacja procesów kontrolnych (cybernetyka).

Informatyka to nauka zajmująca się badaniem komputera, a także interakcji komputera z osobą.

Budowa maszyn logicznych to ciekawy rozdział w historii logiki i cybernetyki. Uchwyca pierwsze projekty stworzenia sztucznej inteligencji i pierwsze debaty na temat możliwości tego. Idea maszyn logicznych pojawiła się w XIII wieku wraz z hiszpańskim scholastykiem Raymondem Lullem, następnie została rozważona przez Leibniza i zyskała nowy rozwój w XIX wieku, po pojawieniu się logiki matematycznej. W 1870 roku angielski filozof i ekonomista William Stanley Jevons zbudował w Manchesterze fortepian logiczny , który wyodrębnił konsekwencje z algebraicznie zapisanych przesłanek, podkreślając dopuszczalne kombinacje terminów. Nazywa się to również rozkładem zdań na części składowe. Należy zwrócić uwagę na możliwość praktycznego wykorzystania maszyny logicznej do rozwiązywania złożonych problemów logicznych.

Nowoczesne komputery uniwersalne są także maszynami logicznymi. To wprowadzenie operacji logicznych uczyniło je tak elastycznymi; pozwala im także modelować rozumowanie. Zatem gałąź arytmetyczna inteligentne automaty połączone z logicznym. Jednak w latach dwudziestych logika formalna wydawała się zbyt abstrakcyjna i metafizyczna, aby można ją było zastosować w życiu. Tymczasem już wtedy można było przewidzieć wprowadzenie rachunku logicznego do technologii.

Logika matematyczna ułatwia mechanizację pracy umysłowej. Dzisiejsze maszyny wykonują znacznie bardziej złożone operacje logiczne niż ich skromne prototypy z przełomu wieków.

Problem sztucznej inteligencji jest złożony i wieloaspektowy. Prawdopodobnie nie pomylimy się, jeśli powiemy, że ostateczne granice mechanizacji myślenia można ustalić jedynie eksperymentalnie. Zauważmy też, że we współczesnej cybernetyce mówi się o możliwości modelowania nie tylko formalnych, ale i znaczących procesów myślowych.

§3.MatematycznylogikaVtechnologia

Rola logicznego przetwarzania danych binarnych na obecnym etapie rozwoju technologii komputerowej znacznie wzrosła. Wynika to przede wszystkim z tworzenia systemów technicznych. wdrażanie w takiej czy innej formie technologii zdobywania i gromadzenia wiedzy, modelujących indywidualne funkcje intelektualne człowieka. Trzon takich systemów stanowią potężne komputery i systemy obliczeniowe. Ponadto istnieje duża klasa problemów stosowanych, które można sprowadzić do rozwiązywania problemów logicznych, na przykład przetwarzania i syntezy obrazu oraz problemów transportowych. Wymaganą wydajność narzędzi obliczeniowych osiąga się poprzez równoległość i potokowanie procesów obliczeniowych. Jest to realizowane z reguły w oparciu o bardzo duże układy scalone (VLSI). Jednakże technologia VLSI i jej struktura nakładają na algorytmy szereg specyficznych wymagań, a mianowicie: regularność, równoległą organizację obliczeń, superliniową złożoność operacyjną (wielokrotne wykorzystanie każdego elementu danych wejściowych), lokalizację połączeń obliczeniowych, dwu- wymiarowość przestrzeni realizacji obliczeń. Wymagania te powodują konieczność rozwiązania problemu efektywności nurkowania algorytmu w środowisko obliczeniowe, czyli jak się powszechnie mówi, mapowanie algorytmu w architekturę obiektów obliczeniowych. Obecnie udowodniono, że dotychczasowe poglądy były błędne, a mianowicie, że przejście na architekturę komputerów równoległych będzie wymagało jedynie niewielkich modyfikacji znanych algorytmów. Okazało się, że równoległość i potokowanie procesów obliczeniowych wymaga opracowania nowych algorytmów nawet dla tych zadań, dla których istniały dobrze przestudiowane i przetestowane metody i algorytmy rozwiązania, ale skupione na sekwencyjnej zasadzie realizacji. Zdaniem ekspertów w najbliższej dekadzie należy spodziewać się pojawienia się nowych koncepcji budowy narzędzi obliczeniowych. Przewidywania opierają się na wynikach trwających zaawansowanych badań, w szczególności w dziedzinie biochipów i organicznych elementów przełączających. Niektóre obszary mają na celu tworzenie obwodów w postaci warstw cząsteczek organicznych i filmów o wysoko rozwiniętej strukturze. Zdaniem badaczy pozwoli to m.in. rosnąć komputery oparte na inżynierii genetycznej i wzmocnieniu analogii pomiędzy elementami systemów technicznych a komórkami mózgowymi. Tym samym neurokomputery imitujące funkcje intelektualne obiektów biologicznych, w tym człowieka, przyjmują realny kształt. Najwyraźniej elektronika molekularna stanie się podstawą do stworzenia komputerów szóstej generacji. Wszystko to obiektywnie determinuje intensywne prace nad metodami syntezy algorytmów logicznego przetwarzania danych i ich efektywnego zanurzenia w środowisku operacyjnym elementów binarnych. Jest oczywiste, że elementy binarne i dane binarne najpełniej odpowiadają sobie nawzajem pod względem reprezentacji i przetwarzania tych ostatnich na takich elementach, jeśli rozważymy je osobno. Rzeczywiście, załóżmy, że algebra logiki na liczbach (0,1) jest realizowana na elemencie binarnym, wykorzystując w najszerszym zakresie jego zasoby operacyjne. Inaczej mówiąc, pojawia się pytanie o skuteczność, a czasami nawet o możliwość zaimplementowania danego algorytmu w takiej sieci (strukturze). Na tym polega istota zanurzenia algorytmu w strukturze.

§4. Logika matematyczna w kryptografii

Kryptografia bada metody wysyłania wiadomości w przebraniu, tak aby tylko zamierzeni odbiorcy nadawcy mogli zdjąć przebranie i przeczytać wiadomość. Ogólny schemat ochrony informacji przedstawiono na rysunku 2. Etap kodowania błędów polega na wprowadzeniu do przesyłanego komunikatu nadmiaru informacji wystarczającego do pokonania zakłóceń na linii komunikacyjnej. Załóżmy na przykład sekwencję znaków typu 0I 1. Jednocześnie w sieci komunikacyjnej z pewnym prawdopodobieństwem mogą wystąpić błędy odbioru sygnału 0 zamiast sygnału 1lub odwrotnie, wówczas koder przesyła wartość 00000 w pięciu impulsach dla każdego symbolu komunikatu ai if ai -0 i odwrotnie. Po stronie odbiorczej odebrana sekwencja impulsów jest dzielona na pięć impulsów, zwanych blokami. Jeżeli odebrany blok zawiera 2 lub mniej 0 impulsów, wówczas podejmowana jest decyzja, że ​​przesłano symbol ai-1. W ten sposób początkowe prawdopodobieństwo błędu zostanie znacznie zmniejszone. Bardziej eleganckie metody kodowania, które przy wystarczającej niezawodności pozwalają na wprowadzenie nie tak dużego nadmiaru informacji. Aby wyrazić to w formie informacyjnej, konieczne jest wprowadzenie określonego alfabetu, z którego będzie się składał komunikat (skończone uporządkowane zbiory tych symboli). Oznaczmy przez A potęgę wybranego alfabetu. Założymy także, że wszystkie zbiory informacji, czyli zbiór wszystkich możliwych wiadomości, są skończone. Jako miarę informacji w wiadomości o danej długości możemy przyjąć log 2oczywiście z ilości różnych wiadomości. Wtedy ilość informacji przypadająca na jeden znak alfabetu X=log 2A. Następnie mamy do czynienia ze słowami o długości S, wtedy całkowita liczba takich słów będzie wynosić N=AS (kartezjański stopień S alfabetu), a zatem ilość informacji w słowie Y=Log 2N=log 2Jak=SX. Lwia część kryptoanalizy składa się z metod opartych na probabilistycznej analizie kryptogramu i proponowanego języka źródłowego. Ponieważ w każdym języku potocznym występuje nadmiar informacji nierównomiernie rozłożonych w słowach, litery alfabetu tego języka mogą mieć stałe szczególne cechy. Na przykład w języku angielskim jest to często powtarzana litera mi ponadto kombinacje liter i ich kombinacje mogą być charakterystykami częstotliwościowymi. Ogólny schemat kryptosystemu z tajnym kluczem pokazano na rysunku 3. Tutaj X to zwykły tekst, Y to szyfr tekstowy, K to klucz szyfrujący, R to sekwencja losująca.

§5.MatematycznylogikaVprogramowanie

Funkcja jednego argumentu to reguła, która dopasowuje dowolną wartość leżącą w zakresie tego argumentu (która będzie jednocześnie dziedziną definicji tej funkcji) z inną wartością leżącą w zakresie wartości funkcji.

Pojęcie funkcji zostało przeniesione do języków programowania. Język programowania ma zwykle wiele wbudowanych funkcji, takich jak sin, cos, sqrt itp. Dodatkowo programista ma możliwość definiowania własnych funkcji. Mogą pracować nie tylko z liczbami rzeczywistymi, ale także z różnymi typami danych, zwykle obejmującymi liczby całkowite, rzeczywiste, logiczne, znakowe. Mogą także pracować ze strukturami. W językach Pascal, Algol=68 i PL/1 występują np. typy rekordy (rekordy), tablice (tablice), listy (listy), pliki rekordów (pliki składające się z rekordów) oraz wartości funkcji ​mogą być wskaźnikami do tych struktur. Wszystko to jest zgodne z koncepcją dziedziny definicji, poza którą funkcja nie jest zdefiniowana. W językach programowania obszar ten jest zwykle określany poprzez określenie typu danych, którym jest określony zbiór wartości. Zatem w Pascalu kompilator musi upewnić się, że żadna funkcja nie zostanie zastosowana do wartości niewłaściwego typu, która wykraczałaby poza zakres funkcji.

Funkcja wielu argumentów. Teraz musimy uogólnić definicję, aby objąć funkcje wielu argumentów. Aby to zrobić, zbierzemy n argumentów w uporządkowany zbiór, który potraktujemy jako jeden argument. Weźmy funkcję odejmowania diff(x.y). Jest to interpretowane jako pokaz par<х,у>do liczb całkowitych. W postaci zbioru par uporządkowanych można to zapisać następująco: diff = (<<5,3>, 2>. <<6,3>, 3>, <<4,5>, -1>...) Gdybyśmy zamiast tego mieli funkcję z czterema argumentami h(x,y,z,w), użylibyśmy odwzorowania zdefiniowanego na czwórkach . Technikę tę wykorzystuje się także w programowaniu. Jeśli chcesz zmniejszyć liczbę argumentów procedury lub funkcji (a wszystkie są tego samego typu), to w Fortranie możesz zapisać te wartości w tablicy i przekazać tę tablicę jako parametr, a nie indywidualne wartości. W bardziej ogólnym przypadku (na przykład w Pascalu), gdy argumenty mogą mieć różne typy, możesz przekazać rekord jako parametr i zapisać wartości jako osobne składniki tego rekordu. W rzeczywistości zbiór n elementów w matematyce odpowiada notacji w programowaniu. Każdy z jego elementów jest wzięty z własnego, osobnego obszaru, tak jak w przypadku nagrywania. Jedyna różnica polega na tym, że komponent jest identyfikowany na podstawie jego lokalizacji (pozycji), a nie nazwy. Relacyjny model danych współpracuje ze zbiorami uporządkowanych zbiorów, które odpowiadają plikom nagrań przechowywanym w maszynie. Logikę matematyczną wykorzystuje się także w innych obszarach informatyki – jest to rozwój w zakresie modelowania i automatyzacji inteligentnych procedur – kierunek tzw. sztucznej inteligencji.

Wniosek

Logika matematyczna wniosła ogromny wkład w szybki rozwój technologii informatycznych w XX wieku, jednak koncepcja „sądu”, która pojawiła się w logice już za czasów Arystotelesa i na której opiera się logiczna podstawa języka naturalnego, , wypadł z pola widzenia. Takie zaniedbanie wcale nie przyczyniło się do rozwoju kultury logicznej w społeczeństwie, a nawet wzbudziło wśród wielu złudzenie, że komputery są w stanie myśleć nie gorzej niż sami ludzie. Wielu nie wstydzi się nawet faktu, że na tle powszechnej komputeryzacji u progu trzeciego tysiąclecia absurdy logiczne w samej nauce (nie mówiąc już o polityce, stanowieniu prawa i pseudonauce) są jeszcze częstsze niż pod koniec XIX wieku . Aby zrozumieć istotę tych absurdów, nie trzeba odwoływać się do skomplikowanych struktur matematycznych z relacjami wielomiejscowymi i funkcjami rekurencyjnymi stosowanymi w logice matematycznej. Okazuje się, że aby zrozumieć i przeanalizować te absurdy, wystarczy zastosować znacznie prostszą matematyczną strukturę sądu, która nie tylko nie zaprzecza matematycznym podstawom współczesnej logiki, ale w jakiś sposób je uzupełnia i poszerza.

Bibliografia

1.Igoshin, V.I. Logika matematyczna i teoria algorytmów [Tekst] / V.I. Igoszyn. - M.: Akademia, 2008. - 448 s.; z chorym.

Styazhkin, N.I. Tworzenie logiki matematycznej [Tekst] / N.I. Styazhkin. - M.: Nauka, 1967. - 508 s.; z chorym.

Markov, AA Elementy logiki matematycznej [Tekst] / A.A. Markowa. - M.: MSU, 2004. - 310 s.; z chorym.

Curry, H.B. Podstawy logiki matematycznej [Tekst]/Kh.B. Curry. - M.: Mir, 1969. - 568 s.; z chorym.

Korepetycje

Potrzebujesz pomocy w studiowaniu jakiegoś tematu?

Nasi specjaliści doradzą lub zapewnią korepetycje z interesujących Cię tematów.
Prześlij swoją aplikację wskazując temat już teraz, aby dowiedzieć się o możliwości uzyskania konsultacji.

Jedna z nazw współczesnej logiki, która pojawiła się w drugiej. podłoga. 19 początek XX wiek zastąpić tradycyjną logikę. Termin logika symboliczna jest również używany jako inna nazwa współczesnego etapu rozwoju nauki logiki. Definicja… … Encyklopedia filozoficzna

logika matematyczna- LOGIKA SYMBOLICZNA, logika matematyczna, logika teoretyczna to dziedzina logiki, w której wnioski logiczne są badane za pomocą rachunku logicznego opartego na ścisłym języku symbolicznym. Termin „L. Z." najwyraźniej był po raz pierwszy... Encyklopedia epistemologii i filozofii nauki

LOGIKA MATEMATYCZNA- Nazywa się to także logiką symboliczną. M. l. jest to ta sama arystotelesowska logika sylogistyczna, tyle że jedynie kłopotliwe wnioski werbalne zastępuje się w niej symboliką matematyczną. Osiąga się to po pierwsze zwięzłość, po drugie przejrzystość, w... ... Encyklopedia kulturoznawstwa

LOGIKA MATEMATYCZNA- Logika MATEMATYCZNA, logika dedukcyjna, wykorzystanie metod matematycznych do badania sposobów rozumowania (wniosków); matematyczna teoria rozumowania dedukcyjnego... Nowoczesna encyklopedia

LOGIKA MATEMATYCZNA- logika dedukcyjna, w tym matematyczne metody badania metod rozumowania (wniosków); matematyczna teoria rozumowania dedukcyjnego. Logika matematyczna nazywana jest także logiką stosowaną w matematyce... Wielki słownik encyklopedyczny

LOGIKA MATEMATYCZNA- (logika symboliczna), dział analityczny logiki, wynik zastosowania metod matematycznych do problemów logiki klasycznej. Rozważa pojęcia, które mogą być prawdziwe lub fałszywe, związek między pojęciami i ich manipulację, w tym... ... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

LOGIKA MATEMATYCZNA- jedna z wiodących sekcji współczesnej logiki i matematyki. Powstał w latach 19-20 Art. jako realizacja idei możliwości zapisania wszystkich założeń wyjściowych w języku znaków zbliżonym do matematycznego i tym samym zastąpienia rozumowania obliczeniami... ... Najnowszy słownik filozoficzny

logika matematyczna- rzeczownik, liczba synonimów: 1 logistyka (9) Słownik synonimów ASIS. V.N. Trishin. 2013… Słownik synonimów

logika matematyczna- - Tematyka telekomunikacji, podstawowe pojęcia EN logika matematyczna... Przewodnik tłumacza technicznego

LOGIKA MATEMATYCZNA- logika teoretyczna, logika symboliczna, dział matematyki zajmujący się studiowaniem matematyki. dowody i pytania z podstaw matematyki. Szkic historyczny. Idea zbudowania uniwersalnego języka dla całej matematyki i formalizacji oparta na... ... Encyklopedia matematyczna

Książki

• Logika matematyczna, Erszow Jurij Leonidowicz, Palutin Jewgienij Andriejewicz. Książka przedstawia podstawowe klasyczne rachunki logiki matematycznej: rachunek zdań i rachunek predykatów; znajduje się tam krótkie podsumowanie podstawowych pojęć teorii mnogości i teorii... Kup za 1447 UAH (tylko Ukraina)
• Logika matematyczna, Ershov Yu.L.. Książka przedstawia podstawowe klasyczne rachunki logiczne logiki matematycznej: rachunek zdań i rachunek predykatów; znajduje się krótkie podsumowanie podstawowych pojęć teorii mnogości i teorii...

Inne sekcje

LOGIKA MATEMATYCZNA, logika dedukcyjna, w tym matematyczne metody badania metod rozumowania (wniosków); matematyczna teoria rozumowania dedukcyjnego. Logika matematyczna nazywana jest także logiką stosowaną w matematyce.

Pojęcia teorii dedukcyjnej i rachunku różniczkowego odgrywają ważną rolę w logice matematycznej.Rachunek różniczkowy to zbiór reguł wnioskowania, które pozwalają uznać, że niektóre formuły można wyprowadzić. Reguły wnioskowania dzielą się na dwie klasy. Niektóre z nich bezpośrednio kwalifikują niektóre formuły jako możliwe do wyprowadzenia. Takie reguły wnioskowania są zwykle nazywane aksjomaty . Inne pozwalają na uznanie formuł za możliwe do wyprowadzenia, jeśli są one syntaktycznie powiązane w jakiś z góry określony sposób ze skończonymi zbiorami formuł możliwych do wyprowadzenia. Powszechnie stosowaną regułą drugiego typu jest zasada modus ponens: jeśli formuły i są dedukowalne, to formuła również.

Związek rachunku różniczkowego z semantyką wyrażają pojęcia przydatności semantycznej i kompletności semantycznej rachunku różniczkowego. Rachunek I mówi się, że jest semantycznie odpowiedni dla języka I, jeśli jakakolwiek formuła języka I, w którym można ją wyprowadzić, jest poprawna. Podobnie rachunek I jest semantycznie zupełny w języku I, jeżeli jakakolwiek poprawna formuła w języku I daje się wyprowadzić w I.

Logika matematyczna bada logiczne powiązania i relacje leżące u podstaw logicznego (dedukcyjnego) wnioskowania za pomocą języka matematyki.

Wiele języków rozpatrywanych w logice matematycznej ma semantycznie kompletne i semantycznie użyteczne rachunki. W szczególności znany jest wynik K. Gödla, że ​​tzw. klasyczny rachunek predykatów jest semantycznie kompletny i semantycznie odpowiedni dla języka klasycznej logiki predykatów pierwszego rzędu. Z drugiej strony istnieje wiele języków, dla których zbudowanie semantycznie pełnego i semantycznie odpowiedniego rachunku różniczkowego jest niemożliwe. W tej dziedzinie klasycznym rezultatem jest twierdzenie Gödla o niezupełności, które stwierdza niemożność semantycznie pełnego i semantycznie użytecznego rachunku różniczkowego dla języka arytmetyki formalnej.

Warto zauważyć, że w praktyce wiele elementarnych operacji logicznych jest obowiązkową częścią zestawu instrukcji wszystkich nowoczesnych mikroprocesorów i dlatego jest zawartych w językach programowania. Jest to jedno z najważniejszych praktycznych zastosowań metod logiki matematycznej omawianych we współczesnych podręcznikach informatyki.

Działy logiki matematycznej

Algebra logiki


Logika zdań


Teoria dowodów


Teoria modelu

Logika zdań (lub logika zdań z angielskiej logiki zdań lub rachunek zdań) to teoria formalna, której głównym przedmiotem jest koncepcja zdania logicznego. Pod względem wyrazistości można ją scharakteryzować jako klasyczną logikę zerowego rzędu.

Pomimo swojego znaczenia i szerokiego zakresu zastosowania logika zdań jest logiką najprostszą i ma bardzo ograniczone możliwości badania sądów

Algebra logiki (algebra zdań) - dział logiki matematycznej, w którym badane są operacje logiczne na instrukcjach. Najczęściej zakłada się, że zdania mogą być tylko prawdziwe lub fałszywe.

Podstawowymi elementami, na których opiera się algebra logiki, są twierdzenia. Instrukcje są zbudowane na zestawie na elementach, dla których zdefiniowano trzy operacje:

Negacja (operacja jednoargumentowa),


Koniunkcja (binarna),


Dysjunkcja (binarna),

oraz stałe - zero logiczne 0 i jedynka logiczna 1.

Teoria prawdopodobieństwa to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem zdarzeń losowych, ich właściwości i działań na nich.

W teorii prawdopodobieństwa bada się te zdarzenia losowe, które można odtworzyć w tych samych warunkach i które mają następującą właściwość: w wyniku eksperymentu, pod warunkiem S, zdarzenie A może wystąpić z pewnym prawdopodobieństwem p.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa to: zdarzenie, prawdopodobieństwo, zdarzenie losowe, zjawisko losowe, oczekiwanie matematyczne, dyspersja, dystrybuanta, przestrzeń prawdopodobieństwa.

Jako nauka teoria prawdopodobieństwa pojawiła się w połowie XVII wieku. Pierwsze prace pojawiają się w związku z obliczaniem prawdopodobieństw w grach hazardowych. Badanie przewidywania wygranej w rzucie kostką,Blaise’a Pascala i Pierre’a Fermataw korespondencji z 1654 r. odkryli pierwsze prawa probabilistyczne. W szczególności w tej korespondencji doszli do pojęcia oczekiwań matematycznych oraz twierdzeń o mnożeniu i dodawaniu prawdopodobieństw. Wyniki te zostały przedstawione w 1657 roku w książce H. Huygensa „O obliczeniach w grach hazardowych”, która jest pierwszym traktatem z teorii prawdopodobieństwa.

Osiągnął wielki sukces w teorii prawdopodobieństwa Jakub Bernoulli : ustalił prawo wielkich liczb w najprostszym przypadku, sformułował wiele koncepcji współczesnej teorii prawdopodobieństwa. Napisał monografię z teorii prawdopodobieństwa, wydaną pośmiertnie w 1713 r., zatytułowaną „Sztuka założeń”.

W pierwszej połowie XIX wieku zaczęto stosować teorię prawdopodobieństwa do teorii błędów obserwacyjnych. W tym momencie zostało to udowodnioneTwierdzenie Moivre'a-Laplace'a (1812) i twierdzenie Poissona(1837), które są pierwszymi twierdzeniami granicznymi. Laplace rozszerzył i usystematyzował matematyczne podstawy teorii prawdopodobieństwa. Gauss i Legendre opracowali metodę najmniejszych kwadratów.

W drugiej połowie XIX wieku większości odkryć w teorii prawdopodobieństwa dokonali naukowcy rosyjscyP. L. Czebyszew i jego uczniowie oraz A. M. Lapunow i A. A Markov.W 1867 r. Czebyszew sformułował i po prostu udowodnił prawo wielkich liczb w bardzo ogólnych warunkach. W 1887 roku jako pierwszy sformułował i zaproponował metodę rozwiązywania centralnego twierdzenia granicznego dla sum niezależnych zmiennych losowych. W 1901 roku Lapunow udowodnił to twierdzenie w bardziej ogólnych warunkach. Markow w 1907 roku po raz pierwszy rozważał schemat testowania połączony w łańcuch, kładąc w ten sposób podwaliny pod teorię łańcuchów Markowa. Wniósł także znaczący wkład w badania dotyczące teorii wielkich liczb i centralnego twierdzenia granicznego.

Na początku XX wieku rozszerzył się zakres zastosowań teorii prawdopodobieństwa, powstały systemy uzasadnień ściśle matematycznych i nowe metody teorii prawdopodobieństwa. W tym okresie, dzięki wysiłkomAndriej Nikołajewicz Kołmogorowteoria prawdopodobieństwa przybiera nowoczesną formę.

W 1926 roku, jako student, Kołmogorow uzyskał niezbędne i wystarczające warunki, w których obowiązuje prawo wielkich liczb. W 1933 r. w swojej pracy „Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa” Kołmogorow wprowadził aksjomatykę teorii prawdopodobieństwa, która jest powszechnie uznawana za najlepszą.

Aparat matematyczny teorii prawdopodobieństwa jest szeroko stosowany w nauce i technologii. W szczególności w astronomii do obliczania orbit komet stosuje się metodę najmniejszych kwadratów. W medycynie teorię prawdopodobieństwa wykorzystuje się także przy ocenie skuteczności metod leczenia.

/ BDE Matematyka /

Odliczenie

Pamiętasz, jak Sherlock Holmes ciągle mówił o swoich zdolnościach dedukcyjnych? Czym więc jest odliczenie?

ODLICZENIE (łac. odliczenie - odliczenie)- jest to forma myślenia, w której nowa myśl jest wyprowadzana w sposób czysto logicznyz poprzednich myśli. Ta sekwencja myśli nazywana jest konkluzją, a każdy element tej konkluzji jest albo wcześniej udowodnioną myślą, aksjomatem, albo hipotezą. Ostatnia myśl danego wniosku nazywana jest konkluzją.

Wnioskowanie dedukcyjne, będące przedmiotem tradycyjnej logiki, stosujemy zawsze, gdy potrzebujemy rozważyć jakieś zjawisko w oparciu o znane nam już ogólne stanowisko i wyciągnąć niezbędny wniosek na temat tego zjawiska. Znamy na przykład następujący konkretny fakt – „dana płaszczyzna przecina piłkę” i ogólną zasadę dotyczącą wszystkich płaszczyzn przecinających piłkę – „każdy przekrój piłki przez płaszczyznę jest okręgiem”. Stosując tę ​​ogólną zasadę do konkretnego faktu, każda prawidłowo myśląca osoba z pewnością dojdzie do tego samego wniosku: „to oznacza, że ​​ta płaszczyzna jest kołem”.

Struktura rozumowania dedukcyjnego i przymusowy charakter jego regułukazano najczęstsze relacje między przedmiotami świata materialnego: relacje rodzajowe, gatunkowe i indywidualne, tj. ogólne, szczegółowe i indywidualne: to, co jest właściwe każdemu gatunkowi danego rodzaju, jest także właściwe każdemu gatunkowi; to, co jest właściwe wszystkim osobnikom danego rodzaju, jest także właściwe każdemu osobnikowi.

Teorię dedukcji po raz pierwszy szczegółowo opracował Arystoteles. Wyjaśnił wymagania, jakie muszą spełniać poszczególne myśli składające się na wnioskowanie dedukcyjne, zdefiniował znaczenie terminów i ujawnił zasady niektórych typów wnioskowania dedukcyjnego. Pozytywną stroną doktryny dedukcji Arystotelesa jest to, że odzwierciedla ona rzeczywiste prawa obiektywnego świata.

Termin „odliczenie” w wąskim znaczeniu tego słowa oznacza także:
1) Metoda badawcza składa się z: w celu aby uzyskać nową wiedzę o przedmiocie lub grupie jednorodnych obiektów, należy po pierwsze znaleźć najbliższy rodzaj, do którego należą te przedmioty, a po drugie zastosować do nich odpowiednie prawo właściwe całemu danemu rodzajowi przedmiotów. Metoda dedukcyjna odgrywa w matematyce ogromną rolę. Wiadomo, że wszystkie twierdzenia wyprowadza się logicznie, stosując dedukcję z małej, skończonej liczby zasad początkowych zwanych aksjomatami.
2) Forma prezentacji materiału w książce, wykładzie, referacie, rozmowie, gdy przechodzą od przepisów ogólnych, zasad, ustaw do przepisów, zasad, przepisów mniej ogólnych.
Ta metoda pozwala ustawić formalne teorie aksjomatyczne.
2. Określanie tylko aksjomatów
W tym przypadku reguły wnioskowania uważa się za ogólnie znane, dlatego podano jedynie aksjomaty. Dlatego przy tej konstrukcji twierdzeń tak mówią półformalna teoria aksjomatyczna.
3. Określanie jedynie reguł wnioskowania
Ten sposób konstruowania twierdzeń polega na określeniu jedynie reguł wnioskowania, gdyż zbiór aksjomatów jest pusty. Na tej podstawie tak zdefiniowana teoria jest szczególnym przypadkiem teorii formalnej. Później odmiana ta stała się znana jako teoria wnioskowania naturalnego.

Do głównych właściwości teorii dedukcyjnych należą:
1. Kontrowersje
Teorię, w której zbiór twierdzeń obejmuje cały zbiór formuł, nazywa się sprzeczną.
2. Kompletność
Zupełną nazywa się teorię, w której dla dowolnego wzoru F również można wyprowadzić F lub jego negacja -F.
3. Niezależność aksjomatów
Kiedy określonego aksjomatu teorii nie można wywnioskować z innych aksjomatów, nazywa się go niezależny. System aksjomatów nazywa się niezależnym tylko wtedy, gdy każdy zawarty w nim aksjomat jest niezależny.
4. Rozwiązywalność
Kiedy teoria ma skuteczny algorytm, który pozwala określić liczbę kroków udowadniających twierdzenie, nazywa się ją rozstrzygalny. Na przykład logika zdań, logika pierwszego rzędu (rachunek predykatów), arytmetyka formalna (teoria S).

Logika matematyczna, podobnie jak logika klasyczna, bada procesy wnioskowania i pozwala na podstawie prawdziwości jednych sądów wyciągać wnioski na temat prawdziwości lub fałszywości innych, niezależnie od ich konkretnej treści. Zastosowanie metod matematycznych w logice (algebraizacja logiki i konstrukcja rachunków logicznych) dało początek rozwojowi nowej dziedziny matematyki zwanej „logiką matematyczną”. Głównym zadaniem logiki matematycznej jest formalizacja wiedzy i rozumowania. Matematyka jest nauką, w której wszystkie twierdzenia są udowadniane za pomocą wniosków, dlatego logika matematyczna jest w istocie nauką matematyczną.

Logika matematyczna zapewniła środki do konstruowania teorii logicznych i aparaturę obliczeniową do rozwiązywania problemów. Logika matematyczna i teoria algorytmów znalazły szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach badań naukowych i technologii (na przykład w teorii automatów, w językoznawstwie, w teorii obwodów przekaźnikowych, w badaniach ekonomicznych, w technologii komputerowej, w systemach informatycznych itp.). Podstawowe pojęcia logiki matematycznej leżą u podstaw takich zastosowań, jak bazy danych, systemy ekspertowe i systemy programowania logicznego. Te same koncepcje stają się podstawą metodologiczną opisu analizy i modelowania zautomatyzowanej zintegrowanej produkcji.

Zagadnienia badane przez logikę matematyczną można rozpatrywać zarówno za pomocą teorii semantycznej (semantycznej), która opiera się na pojęciu algebry, jak i teorii formalno-aksjomatycznej (syntaktycznej), opartej na pojęciu rachunku logicznego. Kurs analizuje oba te podejścia, zaczynając od algebry zdań, która jest następnie uogólniana na algebrę predykatów, a oba służą zrozumieniu konstrukcji rachunków logicznych i ich szczególnych przypadków: rachunku zdań i rachunku predykatów.

Rozdział I. Algebra zdań

Algebra zdań może być traktowana jako transpozycja na inny język (algebraiczny) wyników badanych w rozdziale „Funkcje logiczne” przy użyciu języka funkcjonalnego. W podejściu funkcjonalnym każda operacja logiczna i formuła jest powiązana z konkretną funkcją dwuwartościową. W podejściu algebraicznym operacje logiczne są interpretowane jako algebraiczne, działające na zbiorze dwóch elementów.

1. Instrukcje i operacje na nich. Formuły

Mówiąc to dowolne stwierdzenie, o którym można całkiem zdecydowanie i obiektywnie stwierdzić, czy jest prawdziwe, czy fałszywe.

Przykładowo stwierdzenie „2 > 0” jest stwierdzeniem i jest prawdziwe, a stwierdzenie „2< 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

Istnieją instrukcje proste i złożone; instrukcję nazywa się prostą, jeśli żadna jej część nie jest instrukcją. Wyrażenia proste będziemy oznaczać początkowymi wielkimi literami alfabetu łacińskiego A, B, C lub A 1, A 2, . . .. Wyrażenia złożone charakteryzują się tym, że powstają z kilku prostych stwierdzeń wykorzystujących operacje logiczne, tj. są formułami algebry zdań.

Przypomnijmy, że struktura algebraiczna lub algebra to struktura utworzona przez pewien zbiór wraz z wprowadzonymi na nim operacjami. Zdefiniujmy algebrę zdań.

Oznaczmy przez B = (0, 1) – zbiór instrukcji. Zdefiniujmy operacje na zbiorze B .

Odmowa Zdanie to stwierdzenie, które jest prawdziwe, jeśli A jest fałszywe i odwrotnie. Negacja jest oznaczona przez (A) i jest operacją jednoargumentową.

Niech A i B będą pewnymi instrukcjami, wprowadźmy na nich operacje binarne.

Spójnik Zdania A i B są zdaniami, które przyjmują wartość prawdziwości wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania A i B są prawdziwe. Spójnik oznaczamy przez A B (AB).

Dysjunkcja zdania A i B to stwierdzenie, które przyjmuje wartość true, jeśli przynajmniej jedno ze zdań A lub B jest prawdziwe. Rozłączenie oznaczamy przez A B.

Przez implikację twierdzenia A i B to stwierdzenia, których wynikiem jest fałsz wtedy i tylko wtedy, gdy A jest prawdą, a B jest fałszywe. Wyznaczony AB.

Równorzędność Zdania A i B są zdaniami prawdziwymi wtedy i tylko wtedy, gdy zdania A i B mają to samo znaczenie. Oznaczenie operacji to AB (AB).

Operacje logiczne definiuje się także za pomocą tablic tzw tablice prawdy . Przedstawiamy zbiorczą tabelę prawdy dla wszystkich wprowadzonych operacji logicznych.

Zmienna zdaniowa (ekspresyjna). to zmienna, której wartościami są proste stwierdzenia. Oznaczmy zmienne ekspresyjne przez X 1 , X 2 , . . . , X N .

Pojęcie wzoru algebry zdań wprowadza się przez indukcję. Wzory algebry zdań Czy:

1) stałe logiczne 0 i 1;

2) zmienne zdaniowe;

3) jeśli A I W - formuły, to każde z wyrażeń ( A), (A) (W), (A) (W), (A) (W), (A) ~ (W) istnieje formuła;

4) inne wzory, z wyjątkiem wzorów skonstruowanych zgodnie z ust. 1) - 3), nie.

Oznaczmy przez M – zbiór wszystkich wzorów algebry zdań, M jest zamykany operacjami logicznymi.

Dla wzoru skonstruowanego zgodnie z ust. 3 wzoru A I B nazywane są podformułami. Liczbę nawiasów we wzorze można zmniejszać. Kolejność działań we wzorze zależy od ich priorytetu. Lista operacji logicznych w kolejności malejącej według priorytetu:
~. Zmiana kolejności działań, podobnie jak w operacjach algebraicznych, odbywa się za pomocą nawiasów.

Pozwalać U – formuła na zmienne zdaniowe X 1 , X 2 , . . . , X N, oznaczony U(X 1 , X 2 , . . . , X N). Zbiór określonych wartości zmiennych zdaniowych X 1 , X 2 , . . . , X N nazywa się interpretacją wzoru U i jest wyznaczony I(U).

Formuła nazywa się wykonalny , jeśli istnieje zbiór wartości zmiennych, dla których ta formuła przyjmuje wartość 1 (istnieje interpretacja I(U), na którym wzór jest prawdziwy).

Formuła nazywa się do obalenia , jeśli istnieje zbiór wartości zmiennych, dla których formuła ta przyjmuje wartość 0 (istnieje interpretacja I(U), na którym wzór jest fałszywy).

Formuła nazywa się identyczne z prawdą (wzór TI) lub tautologia , jeśli wzór ten przyjmuje wartość 1 dla wszystkich zbiorów wartości zmiennych (wzór jest prawdziwy we wszystkich interpretacjach).

Formuła nazywa się identycznie fałszywe (wzór TL) lub sprzeczność , jeśli formuła ta przyjmuje wartość 0 dla wszystkich zbiorów wartości zmiennych (wzór jest fałszywy we wszystkich interpretacjach).

Formuły A I W są nazywane równowartość (oznaczone A  W), jeśli dla dowolnych wartości zmiennych zdaniowych wartość wzoru A odpowiada wartości formuły W.

Problemy związane z określeniem równoważności, spełnialności, falsyfikowalności, identycznej prawdziwości i fałszywości formuł można rozwiązać, konstruując tablice prawdy, ale istnieją mniej kłopotliwe sposoby rozwiązania tych problemów.