Co to jest funkcja? Zależność funkcjonalna lub funkcja to zależność między dwiema zmiennymi, w której każda wartość zmiennej niezależnej. Podstawowe własności funkcji

Funkcjonować jest wielkością matematyczną pokazującą zależność jednego elementu „y” od drugiego "X".

Innymi słowy: uzależnienie Na zwaną funkcją zmienną X, jeśli każda wartość, jaką można przyjąć X odpowiada jednej lub większej liczbie zdefiniowanych wartości Na. Zmienny X- Ten argument funkcji.

Ogrom Na zawsze zależy od rozmiaru X dlatego argument X Jest zmienna niezależna i funkcja Na - zmienna zależna.

Wyjaśnijmy na przykładzie:

Pozwalać T jest temperaturą wrzenia wody, oraz R- Ciśnienie atmosferyczne. W trakcie obserwacji ustalono, że każdą wartość można przyjąć R, zawsze odpowiada tej samej wartości T. Zatem, T jest funkcją argumentu R.

Zależność funkcjonalna T z R pozwala określić ciśnienie za pomocą specjalnych tabel, obserwując temperaturę wrzenia wody bez barometru, na przykład:

Widać, że istnieją znaczenia argumentT, którego temperatura wrzenia nie może przyjąć np. nie może być mniejsza niż „zero absolutne” (-273°C). Oznacza to, że jest to wartość niemożliwa T= - 300°C, żadna wartość nie odpowiada R. Dlatego definicja mówi: „każda wartość, jaką można przyjąć X…", a nie dla każdej wartości x...

W której R Jest funkcja argumentuT. Zatem zależność R z T pozwala, monitorując ciśnienie bez termometru, określić temperaturę wrzenia wody za pomocą podobnej tabeli:

Druga definicja funkcji.

Jeśli wartość każdego argumentu X odpowiada jednej wartości funkcji Na, wówczas wywoływana jest funkcja niedwuznaczny; jeśli dwa lub więcej, to polisemantyczny(dwucyfrowe, trzycyfrowe). Jeśli nie jest powiedziane, że funkcja jest wielowartościowa, należy rozumieć, że jest ona jednowartościowa.

Na przykład:

Suma ( S) kąty wielokąta wynoszą funkcja liczbowa (N) boki. Argument N może przyjmować tylko wartości całkowite, ale nie mniejsze niż 3 . Uzależnienie S z N wyrażone wzorem:

S = π (N - 2).

Jednostką miary w tym przykładzie jest radian. W której N- Ten funkcja argumentu S i zależność funkcjonalna N z S wyrażone wzorem:

N = S/ π + 2.

ArgumentS może przyjmować tylko wartości będące wielokrotnościami π , (π , 2 π , 3 π itp.).

Wyjaśnijmy jeszcze jedną rzecz przykład:

Bok kwadratu X jest funkcją jego pola S (X = √ S). Argument może przyjąć dowolną wartość dodatnią.

Argument- zawsze zmienna ilość, funkcja jest zwykle również wartością zmienną, w zależności od argumentu, ale nie wyklucza się możliwości jej stałości.

Na przykład:

Odległość punktu ruchomego od nieruchomego jest funkcją czasu podróży; zwykle się zmienia, ale gdy punkt porusza się po okręgu, odległość od środka pozostaje stała.

Jednocześnie czas ruchu w kręgu nie jest funkcja odległości od centrum.

Więc kiedy funkcja jest stała wartość, wówczas argument i funkcja nie mogą zostać zamienione.

WYKŁAD 1. ZALEŻNOŚĆ FUNKCJONALNA.

1. Pojęcie funkcji

Pojęcie funkcji, obok pojęcia liczby i zmiennej, jest jednym z najważniejszych pojęć współczesnej matematyki. W naukach przyrodniczych i technologii często spotykamy się z zależnościami jednych wielkości od innych, tzw. zależnościami funkcjonalnymi.

Funkcjonalna zależność jednej wielkości (y) od drugiej (x) oznacza, że ​​każdej wartości x odpowiada pojedyncza wartość y. Wartość x nazywana jest zmienną niezależną, a y zmienną zależną lub funkcją tej zmiennej. Mówi się również, że x jest argumentem funkcji y.

Termin „funkcja” został po raz pierwszy wprowadzony w 1692 roku przez Gottfrieda Wilhelma Leibniza.

1. Pole S kwadratu jest funkcją długości a jego boku: S = a2. 2. Objętość V kuli można wyrazić promieniem R kuli:

V = 4 3 πR3.

3. Objętość stożka V o danej wysokości h zależy od promienia r jego podstawy:

V = 1 3 πr2 godz.

4. Niech droga z, którą przebywa swobodnie spadające ciało, zależy od czasu t,

upłynął od chwili rozpoczęcia upadku. Zależność tę wyraża wzór z = gt 2 2 (g przyspieszenie swobodnego spadania).

Definicja 1. Jeśli każda wartość, jaką może przyjąć zmienna x, jest zgodnie z jakąś regułą lub prawem powiązana z jedną konkretną wartością zmiennej y, to mówią, że y jest jednowartościową funkcją x i oznaczają y = f (X).

Zbiór wszystkich wartości argumentu x, dla których zdefiniowana jest funkcja y = f (x), nazywany jest dziedziną definicji tej funkcji (O.O.F.).

Zbiór wszystkich wartości przyjętych przez zmienną y nazywa się dziedziną wartości funkcji (O.Z.F.) funkcji y = f (x).

Funkcja jest wywoływana nawet wtedy, gdy dla dowolnego x z dziedziny definicji zachodzi równość f (−x) = f (x).

Funkcję nazywamy nieparzystą, jeśli dla dowolnego x z dziedziny definicji zachodzi równość f (−x) = −f (x).

Funkcję nazywa się okresową z okresem T > 0, jeśli dla dowolnego x z obszaru

Rozwiązanie. Dziedziną definicji arcsine jest zbiór punktów z odcinka [−1, 1]. W rezultacie problem sprowadza się do rozwiązania nierówności

Zatem f (−x) = −f (x), czyli funkcja jest nieparzysta.

f (x + 2π) = tan(x + 2π) sin(3x + 2π) + łóżeczko(2x + 2π) =

Tg x grzech 3x + łóżko 2x = f (x).

Zatem f (x + 2π) = f (x), tj. funkcja jest okresowa z okresem 2π.

2. Metody określania funkcji

Metoda analityczna polega na określeniu funkcji za pomocą wzorów lub równań.

Na przykład: y = grzech x, y = x2, y2 + x2 = 1 itd.

Jeśli równanie, za pomocą którego określona jest funkcja, nie zostanie rozwiązane w odniesieniu do y, wówczas funkcję nazywa się ukrytą. Gdy takie rozwiązanie jest możliwe, funkcję ukrytą można sprowadzić do postaci jawnej, czyli do postaci y = f (x).

Na przykład równanie 2x + 3y - 5 = 0 można postrzegać jako funkcję ukrytą. Po rozwiązaniu tego dla y otrzymujemy tę samą funkcję, ale w jawnej formie:

y = 5 - 2x.

Należy pamiętać, że w przypadku analitycznej metody określania funkcji zdarzają się przypadki, gdy funkcja jest dana nie przez jeden, ale przez kilka wzorów, na przykład:

Metoda tabelaryczna to sposób określania funkcji za pomocą tabeli. Przykładami takiego zadania są tablice funkcji trygonometrycznych, logarytmów itp. Tabelaryczna metoda wyznaczania funkcji znajduje szerokie zastosowanie w różnego rodzaju eksperymentach i obserwacjach. Tabele są łatwe w użyciu, ale wadą tej metody jest to, że funkcja nie jest określona dla wszystkich wartości argumentów.

Metoda graficzna. Wykres funkcji y = f (x) jest zbiorem punktów (x, y) płaszczyzny XOY, których współrzędne powiązane są zależnością y = f (x).

Zaletą graficznego sposobu określania funkcji jest jej przejrzystość. Graficzna metoda określania funkcji jest stosowana podczas obsługi różnych urządzeń rejestrujących. Na przykład w medycynie pracę serca analizuje się za pomocą kardiografu.

Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, odwrotne trygonometryczne, stałe (stałe) nazywane są podstawowymi funkcjami elementarnymi.

Wykresy podstawowych funkcji elementarnych

3. Funkcje wielowartościowe

Czasami trzeba rozważyć sytuację, w której każda wartość zmiennej niezależnej x jest powiązana z kilkoma wartościami y. W tym przypadku tak mówią

dla √ x > 0: na każdą dodatnią przypadają dwie liczby rzeczywiste,

różniące się znakami, których kwadraty są równe x. Jeśli chodzi o funkcję Arcsinx, dopasowuje ona każdą wartość x z segmentu [−1, 1] do nieskończonego zbioru wartości y, co można zapisać za pomocą wzoru

y = (−1)k arcsin x + πk, (k = 0, 2, ...).

Jeśli musisz uznać funkcję za wielowartościową, należy to wyraźnie określić.

4. Funkcja odwrotna

Jeśli równanie y = f (x) można jednoznacznie rozwiązać w odniesieniu do x, wówczas mówi się, że funkcja x = g (y) jest odwrotnością y = f (x). Oznaczone przez x = f −1 (y) . Co więcej, y ≡ f (f-1 (y)).

Czasem stosuje się standardową notację: x rozumie się jako zmienną niezależną, a y jako funkcję, czyli zmienną zależną. W takim przypadku funkcję odwrotną należy zapisać w postaci y = g(x) .

Można na przykład powiedzieć, że funkcje y = 2x i y = log2 x są wzajemnie odwrotne. Aby otrzymać wykres jej funkcji odwrotnej y = g(x) z wykresu danej funkcji y = f (x), wystarczy wyświetlić pierwszy wykres symetrycznie względem dwusiecznej pierwszej i trzeciej współrzędnej kąty.

Przykład 5. Biorąc pod uwagę funkcję y = 1 − 2−x . Znajdź funkcję odwrotną.

2−x = 1 − y, x =− log(1 − y) .lg 2

Dziedzina definicji funkcji (O.O.F.) −∞< y < 1 .

5. Funkcja złożona

Niech zmienna y zależy od zmiennej u, która z kolei zależy od zmiennej x: y = f (u), u = ϕ(x) . Następnie, gdy zmieni się x, zmieni się u, a zatem i y również się zmieni. Oznacza to, że y jest funkcją x: y = f (ϕ(x)). Funkcja ta nazywana jest funkcją zespoloną (lub funkcją funkcji), zmienna u jest pośrednia. Ta złożona funkcja nazywana jest także superpozycją funkcji f i ϕ.

Przykład 6. Biorąc pod uwagę funkcję f (x) = arccos(log(x)) . Znajdź a) f (10 1 ); b) f (1); c) f (10).

a) f (10 1 ) = arccos(log(10 1 )) = arccos(−1) = π.

b), c) oblicz to sam.

Funkcją elementarną nazywa się każdą funkcję otrzymaną z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby superpozycji i czterech operacji arytmetycznych. Na przykład wielomian stopnia n jest funkcją elementarną.

6. Parametryczna metoda określania funkcji

Mówi się, że funkcja jest określona parametrycznie, jeśli zależność y od x jest określona za pomocą parametru t: gdzie t przebiega po pewnych wartościach liczbowych.

Jeśli naniesiemy te punkty na płaszczyznę XOY, zobaczymy, że przy ciągłej zmianie t otrzymamy okrąg o promieniu jeden ze środkiem w początku. Możesz też zrobić to inaczej, wykluczyć parametr t, wtedy x2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1.

7. Funkcje graficzne

Rozważmy najprostsze przekształcenia wykresów funkcji.

1. Wykres funkcji y = f (x + a) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f (x) poprzez równoległe przesunięcie go wzdłuż osi Ox o |a| jednostki skali w kierunku przeciwnym do znaku a.

2. Wykres funkcji y = f (kx) (k >

poprzez „ściskanie” go w kierunku osi Oy o współczynnik k dla k > 1 i „rozciąganie” go od osi Oy o współczynnik 1/k przy

k< 1.

3. Wykres funkcji y = kf (x) (k > 0) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f (x)

„rozciągając” go od osi Ox o współczynnik k dla k > 1 i „ściskając” go w kierunku osi Ox o współczynnik 1/k przy

k< 1.

4. Wykres funkcji y = f (x) + b otrzymujemy z wykresu funkcji y = f (x) poprzez równoległe przesunięcie go wzdłuż osi Oy o |b| jednostki skali w kierunku zgodnym ze znakiem b.

5. Wykres funkcji y = −f (x) jest symetryczny do wykresu funkcji y = f (x) względem osi Ox.

Rozważmy skonstruowanie wykresu funkcji y = kf (mx + b) + a poprzez przekształcenie wykresu funkcji y = f (x). Na początek przeprowadźmy transformację tożsamości

Teraz stosując kolejno przekształcenia 1 – 5 budujemy wymagany wykres funkcji.

Przykład 8. Skonstruuj wykres funkcji y = 3 sin(2x + 4) przekształcając wykres funkcji y = sin x.

Rozwiązanie. Dokonajmy transformacji tożsamości

y = 3 grzech(2x + 4) = 3 grzech 2(x + 2).

Zbudujemy wykres funkcji w następującej kolejności. 1. Skonstruuj wykres funkcji y = sin x na odcinku.

2. Wykres funkcji y = 2 sin x otrzymuje się przez skompresowanie wykresu funkcji y = sin x o połowę wzdłuż osi odciętych.

3. Aby skonstruować wykres funkcji y = sin 2(x + 2), należy przesunąć wykres funkcji y = sin 2x w lewo wzdłuż osi odciętych o dwie jednostki.

4. Wykres funkcji y = 3 sin 2(x + 2) otrzymujemy z wykresu funkcji y = sin 2(x + 2) rozciągając go wzdłuż rzędnej trzykrotnie.

I. y = grzech x. II. y = grzech 2x.

III. y = grzech 2(x + 2). IV. y = 3 grzech 2(x + 2).

Definicja: Funkcja numeryczna to zgodność, która wiąże każdą liczbę x z pewnego zbioru z pojedynczą liczbą y.

Przeznaczenie:

gdzie x jest zmienną niezależną (argumentem), y jest zmienną zależną (funkcją). Zbiór wartości x nazywany jest dziedziną funkcji (oznaczoną jako D(f)). Zbiór wartości y nazywany jest zakresem wartości funkcji (oznaczonym E(f)). Wykresem funkcji jest zbiór punktów na płaszczyźnie o współrzędnych (x, f(x))

Metody określania funkcji.

1. metoda analityczna (przy użyciu wzoru matematycznego);
2. metoda tabelaryczna (przy użyciu tabeli);
3. metoda opisowa (z wykorzystaniem opisu słownego);
4. metoda graficzna (za pomocą wykresu).

Podstawowe własności funkcji.

1. Parzyste i nieparzyste

Funkcja jest wywoływana nawet jeśli
– dziedzina definicji funkcji jest symetryczna względem zera
f(-x) = f(x)

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi 0 lat

Funkcja nazywa się nieparzystą, jeśli
– dziedzina definicji funkcji jest symetryczna względem zera
– dla dowolnego x z dziedziny definicji f(-x) = –f(x)

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.

2. Częstotliwość

Funkcję f(x) nazywamy okresową z kropką, jeśli dla dowolnego x z dziedziny definicji f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Wykres funkcji okresowej składa się z nieskończenie powtarzających się identycznych fragmentów.

3. Monotonia (rosnąca, malejąca)

Funkcja f(x) rośnie na zbiorze P, jeśli dla dowolnego x 1 i x 2 z tego zbioru tak, że x 1

Funkcja f(x) maleje na zbiorze P, jeśli dla dowolnego x 1 i x 2 z tego zbioru tak, że x 1 f(x 2) .

4. Skrajności

Punkt X max nazywamy punktem maksymalnym funkcji f(x), jeśli dla wszystkich x z pewnego otoczenia X max jest spełniona nierówność f(x) f(X max).

Wartość Ymax =f(Xmax) nazywana jest maksimum tej funkcji.

X max – punkt maksymalny
Maksymalnie - maksymalnie

Punkt X min nazywa się punktem minimalnym funkcji f(x), jeżeli dla wszystkich x z pewnego otoczenia X min jest spełniona nierówność f(x) f(X min).

Wartość Y min = f(X min) nazywana jest minimum tej funkcji.

X min – punkt minimalny
Y min – minimalna

X min , X max – punkty ekstremalne
Y min , Y max – ekstrema.

5. Zera funkcji

Zero funkcji y = f(x) to wartość argumentu x, przy której funkcja przyjmuje wartość zero: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – zera funkcji y = f(x).

Zadania i testy na temat „Podstawowe właściwości funkcji”

• Właściwości funkcji - Funkcje numeryczne 9. klasa

  Lekcje: 2 Zadania: 11 Testy: 1

• Własności logarytmów - Funkcje wykładnicze i logarytmiczne klasa 11

  Lekcje: 2 Zadania: 14 Testy: 1

• Funkcja pierwiastkowa, jej własności i wykres - Funkcja pierwiastka kwadratowego. Właściwości pierwiastka kwadratowego stopnia 8

  Lekcje: 1 Zadania: 9 Testy: 1

• Funkcje potęgowe, ich własności i wykresy - Stopnie i korzenie. Funkcje mocy klasa 11

  Lekcje: 4 Zadania: 14 Testy: 1

• Funkcje - Ważne tematy do przeglądu Unified State Examination z matematyki

  Zadania: 24

Po przestudiowaniu tego tematu powinieneś potrafić znaleźć dziedzinę definicji różnych funkcji, wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji za pomocą wykresów oraz zbadać funkcje pod kątem parzystości i nieparzystości. Rozważmy rozwiązanie podobnych problemów na podstawie poniższych przykładów.

Przykłady.

1. Znajdź dziedzinę definicji funkcji.

Rozwiązanie: dziedzinę definicji funkcji wyznacza się z warunku

Definicja funkcji, zakresu i zbioru wartości. Definicje związane z notacją funkcji. Definicje funkcji zespolonych, liczbowych, rzeczywistych, monotonicznych i wielowartościowych. Definicje granic maksymalnych, minimalnych, górnych i dolnych funkcji ograniczonych.

Definicja
Funkcjonować y = f (X) nazywa się prawem (regułą, odwzorowaniem), zgodnie z którym każdemu elementowi x zbioru X towarzyszy jeden i tylko jeden element y zbioru Y.

Zbiór X nazywa się dziedzina funkcji.
Zbiór elementów y ∈ Y, które mają preobrazy w zbiorze X, nazywa się zbiór wartości funkcji(Lub Zakres wartości).

Domena funkcje są czasami wywoływane zestaw definicji Lub wiele zadań Funkcje.

Element x ∈X zwany argument funkcji Lub zmienna niezależna.
Element y ∈ Y zwany wartość funkcji Lub zmienna zależna.

Samo odwzorowanie f nazywa się charakterystyka funkcji.

Cecha f ma tę właściwość, że jeżeli dwa elementy i ze zbioru definicji mają równe wartości: , to .

Symbol oznaczający cechę może być taki sam jak symbol elementu wartości funkcji. Oznacza to, że możesz zapisać to w ten sposób: . Warto pamiętać, że y jest elementem ze zbioru wartości funkcji i stanowi regułę, zgodnie z którą element y jest przypisywany elementowi x.

Sam proces obliczania funkcji składa się z trzech kroków. W pierwszym kroku wybieramy element x ze zbioru X. Następnie, korzystając z reguły, element x wiąże się z elementem zbioru Y. W trzecim kroku element ten zostaje przypisany do zmiennej y.

Prywatna wartość funkcji wywołać wartość funkcji, mając wybraną (konkretną) wartość jej argumentu.

Wykres funkcji f nazywa się zbiorem par.

Złożone funkcje

Definicja
Niech funkcje i będą dane. Ponadto dziedzina definicji funkcji f zawiera zbiór wartości funkcji g. Wtedy każdemu elementowi t z dziedziny definicji funkcji g odpowiada element x, a ten x odpowiada y. Ta korespondencja nazywa się złożona funkcja: .

Funkcja złożona jest również nazywana złożenie lub superpozycja funkcji i czasami oznaczane w następujący sposób: .

W analizie matematycznej ogólnie przyjmuje się, że jeśli cecha funkcji jest oznaczona jedną literą lub symbolem, to określa tę samą zgodność. Jednakże w innych dyscyplinach istnieje inny sposób notacji, zgodnie z którym odwzorowania o tej samej charakterystyce, ale różnych argumentach, uważa się za różne. Oznacza to, że mapowania są uważane za różne. Podajmy przykład z fizyki. Załóżmy, że rozważamy zależność pędu od współrzędnych. I załóżmy zależność współrzędnych od czasu. Wtedy zależność impulsu od czasu jest funkcją złożoną. Ale dla zwięzłości jest on oznaczony w następujący sposób: . Dzięki takiemu podejściu i są różne funkcje. Biorąc pod uwagę te same wartości argumentów, mogą dawać różne wartości. Zapis ten nie jest akceptowany w matematyce. Jeśli wymagana jest redukcja, należy wprowadzić nową cechę. Na przykład . Wtedy wyraźnie widać, że i są to różne funkcje.

Poprawne funkcje

Dziedziną funkcji i zbiorem jej wartości może być dowolny zbiór.
Na przykład ciągi liczbowe to funkcje, których dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości są liczby rzeczywiste lub zespolone.
Iloczyn krzyżowy jest również funkcją, ponieważ dla dwóch wektorów i istnieje tylko jedna wartość wektora. Tutaj dziedziną definicji jest zbiór wszystkich możliwych par wektorów. Zbiór wartości to zbiór wszystkich wektorów.
Wyrażenie logiczne jest funkcją. Jego dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych (lub dowolny zbiór, w którym zdefiniowana jest operacja porównania z elementem „0”). Zbiór wartości składa się z dwóch elementów - „prawda” i „fałsz”.

Funkcje numeryczne odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej.

Funkcja numeryczna to funkcja, której wartościami są liczby rzeczywiste lub zespolone.

Funkcja rzeczywista lub rzeczywista to funkcja, której wartościami są liczby rzeczywiste.

Maksymalne i minimalne

Liczby rzeczywiste mają operację porównania. Dlatego zbiór wartości funkcji rzeczywistej może być ograniczony i mieć największe i najmniejsze wartości.

Wywoływana jest właściwa funkcja ograniczone od góry (od dołu), jeśli istnieje liczba M taka, że ​​nierówność zachodzi dla wszystkich:
.

Wywoływana jest funkcja liczbowa ograniczony, jeśli istnieje liczba M taka, że ​​dla wszystkich:
.

Maksymalne M (minimalne m) funkcja f, na pewnym zbiorze X, wartość funkcji wywoływana jest dla pewnej wartości jej argumentu, dla której dla wszystkich
.

Górna krawędź Lub dokładna górna granica Funkcja rzeczywista ograniczona powyżej to najmniejsza liczba, która ogranicza jej zakres wartości z góry. Oznacza to, że jest to liczba s, dla której dla każdego i dla dowolnego istnieje argument, którego wartość funkcji przekracza s′: .
Górną granicę funkcji można oznaczyć w następujący sposób:
.

Górna granica funkcji z górnym ograniczeniem

Dolna krawędź Lub dokładny dolny limit Funkcja rzeczywista ograniczona od dołu to największa liczba ograniczająca jej zakres wartości od dołu. Oznacza to, że jest to liczba i, dla której dla każdego i dla dowolnego istnieje argument, którego wartość funkcji jest mniejsza niż i′: .
Dolną część funkcji można oznaczyć w następujący sposób:
.

Wartość dolna dolnej funkcji ograniczonej jest punktem w nieskończoności.

Zatem każda funkcja rzeczywista na niepustym zbiorze X ma górną i dolną granicę. Ale nie każda funkcja ma maksimum i minimum.

Jako przykład rozważmy funkcję zdefiniowaną na przedziale otwartym.
Jest ona ograniczona w tym przedziale od góry przez wartość 1 i poniżej - wartość 0 :
dla wszystkich .
Funkcja ta ma górną i dolną granicę:
.
Ale nie ma maksimum i minimum.

Jeśli rozważymy tę samą funkcję na odcinku, to na tym zbiorze jest ona ograniczona od góry i od dołu, ma górną i dolną granicę oraz ma maksimum i minimum:
dla wszystkich ;
;
.

Funkcje monotoniczne

Definicje funkcji rosnących i malejących
Niech funkcja będzie zdefiniowana na pewnym zbiorze liczb rzeczywistych X. Funkcja nazywa się ściśle rosnący (ściśle malejący)
.
Funkcja nazywa się nie malejący (nie rosnący), jeśli dla wszystkich takich, że zachodzi nierówność:
.

Definicja funkcji monotonicznej
Funkcja nazywa się monotonny, jeśli nie maleje lub nie rośnie.

Funkcje wielowartościowe

Przykład funkcji wielowartościowej. Jego gałęzie są oznaczone różnymi kolorami. Każda gałąź jest funkcją.

Jak wynika z definicji funkcji, każdy element x z dziedziny definicji jest powiązany tylko z jednym elementem ze zbioru wartości. Istnieją jednak odwzorowania, w których element x ma kilka lub nieskończoną liczbę obrazów.

Jako przykład rozważmy funkcję arcsinus: . Jest to odwrotność funkcji Zatoka i wyznacza się z równania:
(1) .
Dla danej wartości zmiennej niezależnej x należącej do przedziału równanie to spełnia nieskończenie wiele wartości y (patrz rysunek).

Nałóżmy ograniczenie na rozwiązania równania (1). Pozwalać
(2) .
W tym przypadku dana wartość odpowiada tylko jednemu rozwiązaniu równania (1). Oznacza to, że zgodność określona równaniem (1) pod warunkiem (2) jest funkcją.

Zamiast warunku (2) można nałożyć dowolny inny warunek postaci:
(2.n) ,
gdzie n jest liczbą całkowitą. W efekcie dla każdej wartości n otrzymamy własną funkcję, inną od pozostałych. Jest wiele podobnych funkcji funkcja wielowartościowa. A funkcja określona na podstawie (1) pod warunkiem (2.n) wynosi gałąź funkcji wielowartościowej.

Jest to zbiór funkcji zdefiniowanych na pewnym zbiorze.

Gałąź funkcji wielowartościowej jest jedną z funkcji wchodzących w skład funkcji wielowartościowej.

Funkcja jednowartościowa jest funkcją.

Bibliografia:
O.I. Besow. Wykłady z analizy matematycznej. Część 1. Moskwa, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 2003.
CM. Nikolski. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 1983.