Jak dzielić ułamki złożone. Wzór na mnożenie ułamków zwykłych

Z ułamkami można zrobić wszystko, łącznie z dzieleniem. W tym artykule przedstawiono dzielenie ułamków zwyczajnych. Podane zostaną definicje i omówione zostaną przykłady. Rozważmy szczegółowo dzielenie ułamków przez liczby naturalne i odwrotnie. Omówione zostanie dzielenie ułamka zwykłego przez liczbę mieszaną.

Dzielenie ułamków

Dzielenie jest odwrotnością mnożenia. Podczas dzielenia nieznany czynnik znajduje się w znanym iloczynie innego czynnika, przy czym jego znaczenie zostaje zachowane w przypadku zwykłych ułamków.

Jeśli konieczne jest podzielenie ułamka zwykłego a b przez c d, to aby określić taką liczbę, należy pomnożyć przez dzielnik c d, ostatecznie da to dywidendę a b. Znajdźmy liczbę i zapiszmy ją a b · d c , gdzie d c jest odwrotnością liczby c d. Równości można zapisać korzystając z własności mnożenia, a mianowicie: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, gdzie wyrażenie a b · d c jest ilorazem dzielenia a b przez c d.

Stąd otrzymujemy i formułujemy zasadę dzielenia ułamków zwyczajnych:

Definicja 1

Aby podzielić ułamek zwykły a b przez c d, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.

Zapiszmy regułę w postaci wyrażenia: a b: c d = a b · d c

Zasady dzielenia sprowadzają się do mnożenia. Aby się tego trzymać, musisz dobrze rozumieć mnożenie ułamków zwykłych.

Przejdźmy do rozważenia podziału ułamków zwyczajnych.

Przykład 1

Podziel 9 7 przez 5 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego.

Rozwiązanie

Liczba 5 3 jest ułamkiem odwrotnym 3 5. Konieczne jest skorzystanie z reguły dzielenia ułamków zwykłych. Zapisujemy to wyrażenie następująco: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Odpowiedź: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Przy skracaniu ułamków oddzielamy całą część, jeśli licznik jest większy od mianownika.

Przykład 2

Podziel 8 15: 24 65. Zapisz odpowiedź w postaci ułamka zwykłego.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać, musisz przejść od dzielenia do mnożenia. Zapiszmy to w następującej formie: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Konieczne jest dokonanie redukcji i robi się to w następujący sposób: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Wybierz całą część i uzyskaj 13 9 = 1 4 9.

Odpowiedź: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Dzielenie ułamka nadzwyczajnego przez liczbę naturalną

Korzystamy z reguły dzielenia ułamka przez liczbę naturalną: aby podzielić a b przez liczbę naturalną n, wystarczy pomnożyć mianownik przez n. Stąd otrzymujemy wyrażenie: a b: n = a b · n.

Reguła dzielenia jest konsekwencją reguły mnożenia. Zatem przedstawienie liczby naturalnej w postaci ułamka da równość tego typu: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Rozważmy dzielenie ułamka przez liczbę.

Przykład 3

Podziel ułamek 16 45 przez liczbę 12.

Rozwiązanie

Zastosujmy zasadę dzielenia ułamka przez liczbę. Otrzymujemy wyrażenie w postaci 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Skróćmy ułamek. Otrzymujemy 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Odpowiedź: 16 45: 12 = 4 135 .

Dzielenie liczby naturalnej przez ułamek

Zasada podziału jest podobna O zasada dzielenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły: aby podzielić liczbę naturalną n przez ułamek zwykły a b, należy pomnożyć liczbę n przez odwrotność ułamka a b.

Na podstawie reguły mamy n: a b = n · b a, a dzięki zasadzie mnożenia liczby naturalnej przez ułamek zwykły otrzymujemy nasze wyrażenie w postaci n: a b = n · b a. Warto rozważyć ten podział na przykładzie.

Przykład 4

Podziel 25 przez 15 28.

Rozwiązanie

Musimy przejść od dzielenia do mnożenia. Zapiszmy to w postaci wyrażenia 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Skróćmy ułamek i uzyskajmy wynik w postaci ułamka 46 2 3.

Odpowiedź: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dzielenie ułamka przez liczbę mieszaną

Dzieląc ułamek zwykły przez liczbę mieszaną, możesz łatwo zacząć dzielić ułamki zwykłe. Trzeba zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.

Przykład 5

Podziel ułamek 35 16 przez 3 1 8.

Rozwiązanie

Ponieważ 3 1 8 jest liczbą mieszaną, przedstawmy ją jako ułamek niewłaściwy. Wtedy otrzymujemy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Teraz podzielmy ułamki. Otrzymujemy 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Odpowiedź: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dzielenie liczby mieszanej odbywa się w taki sam sposób, jak zwykłych liczb.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:

1. Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2. Dodaj ułamki i .

Odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Kiedy nadchodzi koniec zadania, zwyczajowo pozbywamy się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać całą jego część. W naszym przypadku całą część można łatwo wyizolować – dwa podzielone przez dwa równa się jeden:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów redukcji ułamków zwykłych do tego samego mianownika. Dzisiaj przyjrzymy się tylko jednemu z nich, ponieważ inne metody mogą wydawać się początkującemu skomplikowane.

Istota tej metody polega na tym, że w pierwszej kolejności przeszukiwane jest LCM mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.

Liczniki i mianowniki ułamków są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodajmy ułamki i

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i . Najpierw podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskaj pierwszy dodatkowy współczynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, narysuj małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisz znajdujący się nad nią dodatkowy współczynnik:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i zapisujemy dodatkowy czynnik znajdujący się nad nim:

Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:

Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Redukując ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Dodając te kawałki otrzymamy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niewłaściwy, więc podkreśliliśmy całą jego część. W rezultacie otrzymaliśmy (całą pizzę i kolejną szóstą pizzę).

Należy pamiętać, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucjach edukacyjnych nie jest zwyczajowo pisać tak szczegółowo. Musisz umieć szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych czynników do nich, a także szybko pomnożyć znalezione dodatkowe czynniki przez swoje liczniki i mianowniki. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy zapisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też druga strona medalu. Jeżeli na pierwszych etapach nauki matematyki nie będziemy robić szczegółowych notatek, wówczas zaczną pojawiać się tego typu pytania. „Skąd taka liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:

1. Znajdź LCM mianowników ułamków;
2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z instrukcji podanych powyżej.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy to nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj go:

Dodatek nie zmieścił się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. Jest to dozwolone w matematyce. Jeżeli wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest ono przenoszone do następnego wiersza, przy czym należy postawić znak równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugiej linii oznacza, że ​​jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszej linii.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część

Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków zwykłych:

1. Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, ale mianownik pozostawić bez zmian.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.

Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
2. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład możesz odjąć ułamek od ułamka, ponieważ ułamki mają te same mianowniki. Ale nie można odjąć ułamka od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajdujemy przy użyciu tej samej zasady, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad pierwszym ułamkiem. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad drugim ułamkiem.

Następnie ułamki mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymamy 4. Napisz cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:

Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Ułamki te będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwsze zdjęcie przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugie zdjęcie przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Przecinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć części.

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Powinniśmy to uprościć. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek.

Aby skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez (NWD) liczby 20 i 30.

Znajdujemy więc gcd liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony gcd, czyli przez 10

Otrzymaliśmy odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli raz zjesz pizzę, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie zostanie zapisane jako , wówczas iloczyn będzie nadal równy . Ponownie zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka działa:

Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze

A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeżeli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy zaznaczyć całą jej część.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.

Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:

Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o pizzy tej samej wielkości. Zatem wartość wyrażenia wynosi

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby skrócić ten ułamek, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.

Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez znaleziony teraz gcd, czyli przez 15

Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka

Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Nie zmieni to znaczenia pięciu, ponieważ wyrażenie to oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiemy, równa się pięć:

Liczby wzajemne

Teraz zapoznamy się z bardzo interesującym tematem z matematyki. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.

Definicja. Odwróć numerA to liczba, która po pomnożeniu przezA daje jeden.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.

Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Inaczej mówiąc, pomnóżmy ułamek sam, tylko do góry nogami:

Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.

Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo pomiędzy dwa. Ile pizzy dostanie każda osoba?

Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwie równe części, z których każda stanowi pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

Dzielenie ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Liczby odwrotne pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.

Aby podzielić ułamek przez liczbę, należy pomnożyć ułamek przez odwrotność dzielnika.

Korzystając z tej zasady zapiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.

Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dywidenda jest ułamkiem, a dzielnikiem jest liczba 2.

Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, należy pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotnością dzielnika 2 jest ułamek. Więc musisz pomnożyć przez

Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki zwykłe (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszą częścią tych działań było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.

Teraz czas zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobra wiadomość jest taka, że ​​te operacje są jeszcze prostsze niż dodawanie i odejmowanie. Rozważmy najpierw najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez oddzielonej części całkowitej.

Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki oddzielnie. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.

Aby podzielić dwa ułamki, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi ułamek.

Przeznaczenie:

Z definicji wynika, że ​​dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby „odwrócić” ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego podczas całej lekcji będziemy się głównie zastanawiać nad mnożeniem.

W wyniku mnożenia może powstać ułamek redukowalny (i często powstaje) - należy go oczywiście zmniejszyć. Jeśli po wszystkich redukcjach ułamek okaże się nieprawidłowy, należy zaznaczyć całą część. Ale to, co na pewno nie stanie się w przypadku mnożenia, to redukcja do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, największych czynników i najmniejszych wspólnych wielokrotności.

Z definicji mamy:

Mnożenie ułamków zwykłych przez części całkowite i ułamki ujemne

Jeśli ułamki zawierają część całkowitą, należy je zamienić na niewłaściwe - i dopiero wtedy pomnożyć według schematów przedstawionych powyżej.

Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go usunąć z mnożenia lub całkowicie usunąć, zgodnie z następującymi zasadami:

1. Plus przez minus daje minus;
2. Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.

Do tej pory z tymi zasadami spotykano się jedynie przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy konieczne było pozbycie się całej części. W przypadku pracy można je uogólnić, aby „spalić” kilka wad jednocześnie:

1. Negatywy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnych przypadkach może przetrwać jeden minus - ten, dla którego nie było partnera;
2. Jeśli nie ma już minusów, operacja jest zakończona - możesz rozpocząć mnożenie. Jeżeli ostatni minus nie zostanie przekreślony, bo nie było dla niego pary, to wychodzimy poza granice mnożenia. Wynikiem jest ułamek ujemny.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Wszystkie ułamki zwykłe zamieniamy na niewłaściwe, a następnie z mnożenia usuwamy minusy. To, co zostaje, mnożymy według zwykłych zasad. Otrzymujemy:

Jeszcze raz przypomnę, że minus występujący przed ułamkiem z zaznaczoną całą częścią odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego całej części (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).

Zwróć także uwagę na liczby ujemne: podczas mnożenia są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i zwiększenia dokładności całego zapisu.

Redukowanie ułamków na bieżąco

Mnożenie jest operacją bardzo pracochłonną. Liczby tutaj okazują się dość duże i aby uprościć problem, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami i dlatego można je zredukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Z definicji mamy:

We wszystkich przykładach liczby, które zostały zmniejszone i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.

Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na ich miejscu pozostają jednostki, których, ogólnie rzecz biorąc, nie trzeba zapisywać. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć całkowitej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal się zmniejszała.

Jednak nigdy nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami istnieją podobne liczby, które chcesz po prostu zmniejszyć. Spójrz:

Nie możesz tego zrobić!

Błąd występuje, ponieważ podczas dodawania licznik ułamka daje sumę, a nie iloczyn liczb. W związku z tym niemożliwe jest zastosowanie podstawowej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy konkretnie mnożenia liczb.

Po prostu nie ma innych powodów, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzedniego problemu wygląda następująco:

Prawidłowe rozwiązanie:

Jak widać, prawidłowa odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie rzecz biorąc, należy zachować ostrożność.

Wcześniej czy później wszystkie dzieci w szkole zaczynają uczyć się ułamków zwykłych: ich dodawania, dzielenia, mnożenia i wszystkich możliwych operacji, które można wykonać na ułamkach zwykłych. Aby zapewnić dziecku odpowiednią pomoc, sami rodzice nie powinni zapominać, jak dzielić liczby całkowite na ułamki, w przeciwnym razie nie będziesz w stanie mu w żaden sposób pomóc, a jedynie go zdezorientujesz. Jeśli musisz zapamiętać tę akcję, ale po prostu nie możesz umieścić wszystkich informacji w głowie w jednej regule, ten artykuł ci pomoże: nauczysz się dzielić liczbę przez ułamek i zobaczysz jasne przykłady.

Jak podzielić liczbę na ułamek

Zapisz swój przykład w formie szkicu, aby móc robić notatki i wymazywać. Pamiętaj, że liczbę całkowitą zapisuje się pomiędzy komórkami, dokładnie w miejscu ich przecięcia, a liczby ułamkowe zapisuje się każdą w osobnej komórce.

• W tej metodzie należy odwrócić ułamek do góry nogami, to znaczy zapisać mianownik w liczniku, a licznik w mianowniku.
• Znak dzielenia należy zamienić na mnożenie.
• Teraz wystarczy, że wykonasz mnożenie według zasad, które już poznałeś: licznik mnoży się przez liczbę całkowitą, ale nie dotykasz mianownika.

Oczywiście w wyniku tej akcji w liczniku pojawi się bardzo duża liczba. Nie możesz pozostawić ułamka w tym stanie - nauczyciel po prostu nie zaakceptuje tej odpowiedzi. Skróć ułamek dzieląc licznik przez mianownik. Zapisz wynikową liczbę całkowitą na lewo od ułamka w środku komórek, a reszta będzie nowym licznikiem. Mianownik pozostaje niezmieniony.

Algorytm ten jest dość prosty, nawet dla dziecka. Po wykonaniu go pięć-sześć razy dziecko zapamięta procedurę i będzie mogło zastosować ją do dowolnych ułamków.

Jak podzielić liczbę przez ułamek dziesiętny

Istnieją inne rodzaje ułamków zwykłych - ułamki dziesiętne. Podział na nie następuje według zupełnie innego algorytmu. Jeśli spotkasz się z takim przykładem, postępuj zgodnie z instrukcjami:

• Najpierw zamień obie liczby na ułamki dziesiętne. Jest to łatwe do zrobienia: twój dzielnik jest już przedstawiony jako ułamek zwykły, a liczbę naturalną oddzielasz przecinkiem, otrzymując ułamek dziesiętny. Oznacza to, że jeśli dywidenda wyniosła 5, otrzymasz ułamek 5,0. Musisz oddzielić liczbę przez tyle cyfr, ile jest po przecinku i dzielniku.
• Następnie musisz zamienić oba ułamki dziesiętne na liczby naturalne. Na początku może się to wydawać nieco zagmatwane, ale jest to najszybszy sposób podziału i zajmie Ci kilka sekund po kilku sesjach treningowych. Ułamek 5,0 stanie się liczbą 50, ułamek 6,23 stanie się liczbą 623.
• Zrób dzielenie. Jeśli liczby są duże lub dzielenie nastąpi z resztą, zrób to w kolumnie. W ten sposób możesz wyraźnie zobaczyć wszystkie działania w tym przykładzie. Nie musisz celowo stawiać przecinka, ponieważ pojawi się on sam podczas długiego procesu dzielenia.

Ten rodzaj dzielenia początkowo wydaje się zbyt zagmatwany, ponieważ trzeba zamienić dywidendę i dzielnik na ułamek, a następnie z powrotem na liczby naturalne. Ale po krótkiej praktyce natychmiast zaczniesz widzieć liczby, które musisz po prostu podzielić przez siebie.

Pamiętaj, że umiejętność prawidłowego dzielenia przez nie ułamków zwykłych i liczb całkowitych może przydać się wiele razy w życiu, dlatego dziecko musi doskonale znać te zasady i proste zasady, aby w wyższych klasach nie stały się przeszkodą, przez którą dziecko nie jest w stanie rozwiązać bardziej skomplikowanych zadań.

Aby rozwiązać różne problemy z zajęć z matematyki i fizyki, musisz dzielić ułamki zwykłe. Jest to bardzo łatwe do wykonania, jeśli znasz pewne zasady wykonywania tej operacji matematycznej.

Zanim przejdziemy do formułowania zasady dzielenia ułamków, przypomnijmy sobie kilka terminów matematycznych:

1. Górna część ułamka nazywana jest licznikiem, a dolna częścią mianownikiem.
2. Podczas dzielenia liczby nazywa się następująco: dywidenda: dzielnik = iloraz

Jak dzielić ułamki zwykłe: ułamki zwykłe

Aby podzielić dwa ułamki proste, pomnóż dywidendę przez odwrotność dzielnika. Ułamek ten nazywany jest również odwróconym, ponieważ uzyskuje się go przez zamianę licznika i mianownika. Na przykład:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Jak dzielić ułamki: ułamki mieszane

Jeśli musimy podzielić ułamki mieszane, to tutaj wszystko jest również dość proste i jasne. Najpierw zamieniamy ułamek mieszany na zwykły ułamek niewłaściwy. Aby to zrobić, pomnóż mianownik takiego ułamka przez liczbę całkowitą i dodaj licznik do powstałego iloczynu. W rezultacie otrzymaliśmy nowy licznik ułamka mieszanego, ale jego mianownik pozostanie niezmieniony. Ponadto dzielenie ułamków zostanie przeprowadzone dokładnie w taki sam sposób, jak dzielenie prostych ułamków. Na przykład:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Jak podzielić ułamek przez liczbę

Aby podzielić ułamek prosty przez liczbę, należy tę ostatnią zapisać jako ułamek zwykły (nieregularny). Jest to bardzo łatwe: liczbę tę zapisuje się w miejscu licznika, a mianownik takiego ułamka jest równy jeden. Dalszy podział odbywa się w zwykły sposób. Spójrzmy na to na przykładzie:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Jak dzielić ułamki dziesiętne

Często dorosły ma trudności z podzieleniem liczby całkowitej lub ułamka dziesiętnego przez ułamek dziesiętny bez pomocy kalkulatora.

Aby więc podzielić ułamki dziesiętne, wystarczy skreślić przecinek w dzielniku i przestać na niego zwracać uwagę. W dzielnej przecinek należy przesunąć w prawo dokładnie o tyle miejsc, ile znajdował się w części ułamkowej dzielnika, w razie potrzeby dodając zera. A następnie wykonują zwykłe dzielenie przez liczbę całkowitą. Aby było to bardziej jasne, rozważmy następujący przykład.