Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby. Jak znaleźć pierwiastek kwadratowy? Właściwości, przykłady ekstrakcji korzeni

Wyodrębnianie pierwiastka z dużej liczby. Drodzy przyjaciele!W tym artykule pokażemy, jak wyodrębnić pierwiastek dużej liczby bez użycia kalkulatora. Jest to konieczne nie tylko do rozwiązywania niektórych typów problemów z egzaminu Unified State Exam (niektóre wymagają ruchu), ale także do ogólnego rozwoju matematyki. Wskazana jest znajomość tej techniki analitycznej.

Wydawałoby się, że wszystko jest proste: rozłóż to na czynniki i wyodrębnij. Bez problemu. Na przykład liczba 291600 po rozłożeniu da produkt:

Obliczamy:

Jest jedno ALE! Metoda jest dobra, jeśli można łatwo określić dzielniki 2, 3, 4 itd. Ale co, jeśli liczba, z której wyodrębniamy pierwiastek, jest iloczynem liczb pierwszych? Na przykład 152881 jest iloczynem liczb 17, 17, 23, 23. Spróbuj od razu znaleźć te dzielniki.

Istota metody, którą rozważamy- To czysta analiza. Dzięki rozwiniętym umiejętnościom korzeń można szybko znaleźć. Jeśli umiejętność nie została przećwiczona, ale podejście jest po prostu zrozumiałe, to jest trochę wolniejsze, ale nadal zdeterminowane.

Weźmy pierwiastek z 190969.

Najpierw ustalmy, pomiędzy którymi liczbami (wielokrotnościami stu) mieści się nasz wynik.

Oczywiście wynik pierwiastka tej liczby mieści się w przedziale od 400 do 500, ponieważ

400 2 =160000 i 500 2 =250000

Naprawdę:

pośrodku, bliżej 160 000 czy 250 000?

Liczba 190969 jest mniej więcej pośrodku, ale wciąż bliżej 160000. Możemy stwierdzić, że wynik naszego pierwiastka będzie mniejszy niż 450. Sprawdźmy:

Rzeczywiście jest to mniej niż 450, od 190 969< 202 500.

Sprawdźmy teraz liczbę 440:

Oznacza to, że nasz wynik jest mniejszy niż 440, ponieważ 190 969 < 193 600.

Sprawdzanie numeru 430:

Ustaliliśmy, że wynik tego pierwiastka mieści się w przedziale od 430 do 440.

Iloczyn liczb z 1 lub 9 na końcu daje liczbę z 1 na końcu. Na przykład 21 na 21 równa się 441.

Iloczyn liczb z 2 lub 8 na końcu daje liczbę z 4 na końcu. Na przykład 18 na 18 równa się 324.

Iloczyn liczb z cyfrą 5 na końcu daje liczbę z cyfrą 5 na końcu. Na przykład 25 na 25 równa się 625.

Iloczyn liczb z 4 lub 6 na końcu daje liczbę z 6 na końcu. Na przykład 26 na 26 równa się 676.

Iloczyn liczb z 3 lub 7 na końcu daje liczbę z 9 na końcu. Na przykład 17 na 17 równa się 289.

Ponieważ liczba 190969 kończy się liczbą 9, jest to iloczyn liczby 433 lub 437.

*Tylko oni po podniesieniu do kwadratu mogą na końcu dać 9.

Sprawdzamy:

Oznacza to, że wynikiem pierwiastka będzie 437.

Oznacza to, że wydaje się, że „znaleźliśmy” poprawną odpowiedź.

Jak widać maksymalnie wymagane jest wykonanie 5 akcji w kolumnie. Być może od razu trafisz w sedno lub zrobisz tylko trzy kroki. Wszystko zależy od tego, jak dokładnie dokonasz wstępnego oszacowania liczby.

Wyodrębnij samodzielnie korzeń 148996

Taki dyskryminator uzyskuje się w zadaniu:

Statek motorowy pokonuje 336 km wzdłuż rzeki do miejsca przeznaczenia i po zatrzymaniu wraca do punktu wyjścia. Znajdź prędkość statku na wodzie stojącej, jeśli aktualna prędkość wynosi 5 km/h, postój trwa 10 godzin, a statek wraca do punktu wyjścia po 48 godzinach od wypłynięcia. Podaj odpowiedź w km/h.

Zobacz rozwiązanie

Wynik pierwiastka mieści się w przedziale od 300 do 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Rzeczywiście 90 000<148996<160000.

Istota dalszego rozumowania sprowadza się do ustalenia, w jaki sposób liczba 148996 jest zlokalizowana (odległa) względem tych liczb.

Obliczmy różnice 148996 - 90000=58996 i 160000 - 148996=11004.

Okazuje się, że 148996 jest bliskie (znacznie bliższe) 160000. Zatem wynik pierwiastka będzie na pewno większy niż 350, a nawet 360.

Możemy stwierdzić, że nasz wynik jest większy niż 370. Dalej jest jasne: skoro 148996 kończy się liczbą 6, oznacza to, że musimy podnieść liczbę kończącą się na 4 lub 6. *Tylko te liczby po podniesieniu do kwadratu dają koniec 6 .

Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Formuły korzeniowe. Właściwości pierwiastków kwadratowych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Na poprzedniej lekcji dowiedzieliśmy się, czym jest pierwiastek kwadratowy. Czas dowiedzieć się, które z nich istnieją receptury na korzenie czym są właściwości korzeni i co można z tym wszystkim zrobić.

Wzory pierwiastków, właściwości pierwiastków i zasady pracy z korzeniami- to w zasadzie to samo. Istnieje zaskakująco niewiele wzorów na pierwiastki kwadratowe. Co z pewnością mnie cieszy! A raczej możesz napisać wiele różnych formuł, ale do praktycznej i pewnej pracy z korzeniami wystarczą tylko trzy. Wszystko inne wypływa z tych trzech. Chociaż wiele osób myli trzy formuły rdzeniowe, tak…

Zacznijmy od najprostszego. Tutaj jest:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Rozdział pierwszy.

Znajdowanie największego pierwiastka kwadratowego z podanej liczby całkowitej.

170. Uwagi wstępne.

A) Ponieważ będziemy mówić o wyodrębnianiu tylko pierwiastka kwadratowego, aby skrócić mowę w tym rozdziale, zamiast „pierwiastka kwadratowego” będziemy mówić po prostu „pierwiastek”.

B) Jeśli podniesiemy liczby ciągu naturalnego do kwadratu: 1,2,3,4,5. . . , wówczas otrzymujemy następującą tabelę kwadratów: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 121 144. .,

Oczywiście istnieje wiele liczb całkowitych, których nie ma w tej tabeli; Oczywiście nie da się wyodrębnić całego pierwiastka z takich liczb. Dlatego jeśli chcesz na przykład wyodrębnić pierwiastek z dowolnej liczby całkowitej. wymagane do znalezienia √4082, wówczas zgadzamy się rozumieć to wymaganie w następujący sposób: wyodrębnij cały pierwiastek z 4082, jeśli to możliwe; jeśli nie jest to możliwe, to musimy znaleźć największą liczbę całkowitą, której kwadrat wynosi 4082 (taka liczba to 63, gdyż 63 2 = 3969, a 64 2 = 4090).

V) Jeśli liczba ta jest mniejsza niż 100, jej pierwiastek znajduje się za pomocą tabliczki mnożenia; Zatem √60 wyniesie 7, ponieważ siedem 7 równa się 49, czyli mniej niż 60, a osiem 8 równa się 64, czyli więcej niż 60.

171. Wyodrębnianie pierwiastka z liczby mniejszej niż 10 000, ale większej niż 100. Powiedzmy, że musimy znaleźć √4082. Ponieważ liczba ta jest mniejsza niż 10 000, jej pierwiastek jest mniejszy niż √l0,000 = 100. Z drugiej strony liczba ta jest większa niż 100; oznacza to, że pierwiastek jest większy (lub równy 10). (Jeśli na przykład trzeba było znaleźć √ 120 , to chociaż liczba 120 > 100, jednak √ 120 równa się 10, ponieważ 11 2 = 121.) Ale każda liczba większa niż 10, ale mniejsza niż 100 ma 2 cyfry; Oznacza to, że wymaganym pierwiastkiem jest suma:

dziesiątki + jedności,

i dlatego jego kwadrat musi być równy sumie:

Suma ta musi być największym kwadratem liczby 4082.

Weźmy największą z nich, 36, i załóżmy, że kwadrat pierwiastka dziesiątek będzie równy dokładnie temu największemu kwadratowi. Wtedy liczba dziesiątek w pierwiastku musi wynosić 6. Sprawdźmy teraz, czy tak powinno być zawsze, tj. liczba dziesiątek w pierwiastku jest zawsze równa największemu pierwiastkowi całkowitemu z liczby setek rodnika.

Rzeczywiście, w naszym przykładzie liczba dziesiątek pierwiastka nie może być większa niż 6, ponieważ (7 dec.) 2 = 49 setek, co przekracza 4082. Ale nie może być mniejsza niż 6, ponieważ 5 dec. (z jednostkami) wynosi mniej niż 6 des., a tymczasem (6 des.) 2 = 36 setek, czyli mniej niż 4082. A ponieważ szukamy największego całego pierwiastka, nie powinniśmy brać za pierwiastek 5 des, gdy nawet 6 dziesiątek to niewiele.

I tak znaleźliśmy liczbę dziesiątek pierwiastka, czyli 6. Zapisujemy tę liczbę po prawej stronie znaku =, pamiętając, że oznacza to dziesiątki pierwiastka. Podnosząc go do kwadratu, otrzymujemy 36 setek. Odejmujemy te 36 setek od 40 setek liczby pierwiastkowej i odejmujemy pozostałe dwie cyfry tej liczby. Pozostała część 482 musi zawierać 2 (6 dec.) (jednostki) + (jednostki)2. Iloczyn (6 dec.) (jednostki) musi być dziesiątkami; dlatego iloczynu podwójnego dziesiątek przez jedności należy szukać w dziesiątkach reszty, czyli w 48 (ich liczbę otrzymujemy oddzielając jedną cyfrę z prawej strony w pozostałej części 48 "2). Podwojone dziesiątki pierwiastka uzupełnij 12. Oznacza to, że jeśli pomnożymy 12 przez jednostki pierwiastka (które nadal są nieznane), to powinniśmy otrzymać liczbę zawartą w 48. Dlatego dzielimy 48 przez 12.

Aby to zrobić, narysuj pionową linię na lewo od reszty i za nią (cofając się od linii o jedno miejsce w lewo w celu, który się teraz pojawi) napiszemy podwójną pierwszą cyfrę pierwiastka, czyli 12, i podziel przez to 48. W iloraz otrzymamy 4.

Jednakże nie możemy z góry zagwarantować, że liczbę 4 można przyjąć jako jednostki pierwiastka, ponieważ teraz podzieliliśmy przez 12 całą liczbę dziesiątek z pozostałej części, podczas gdy niektóre z nich mogą nie należeć do iloczynu podwójnego dziesiątek przez jednostek, ale są częścią kwadratu jednostek. Dlatego liczba 4 może być duża. Musimy to wypróbować. Jest to oczywiście odpowiednie, jeśli suma 2 (6 dec.) 4 + 4 2 nie jest większa niż reszta 482.

W rezultacie otrzymujemy sumę obu na raz. Otrzymany produkt okazał się 496, czyli więcej niż pozostała część 482; Oznacza to, że liczba 4 jest duża. Następnie przetestujmy kolejną mniejszą liczbę 3 w ten sam sposób.

Przykłady.

W przykładzie 4, dzieląc 47 dziesiątek reszty przez 4, otrzymujemy jako iloraz 11. Ponieważ jednak liczba jednostek pierwiastka nie może być dwucyfrową liczbą 11 lub 10, musimy bezpośrednio przetestować liczbę 9.

W przykładzie 5, po odjęciu 8 od pierwszej ściany kwadratu, reszta wynosi 0, a następna ściana również składa się z zer. To pokazuje, że żądany pierwiastek składa się tylko z 8 dziesiątek i dlatego w miejsce jedności należy wstawić zero.

172. Wyodrębnianie pierwiastka z liczby większej niż 10000. Powiedzmy, że musimy znaleźć √35782. Ponieważ liczba rodnikowa przekracza 10 000, jej pierwiastek jest większy niż √10000 = 100 i dlatego składa się z 3 lub więcej cyfr. Bez względu na to, z ilu cyfr się składa, zawsze możemy go uznać za sumę tylko dziesiątek i jedności. Jeśli na przykład pierwiastek okaże się 482, to możemy to policzyć jako liczbę 48 des. + 2 jednostki Wtedy kwadrat pierwiastka będzie składał się z 3 wyrazów:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (jednostka) + (jednostka) 2 .

Teraz możemy rozumować dokładnie tak samo, jak przy znajdowaniu √4082 (w poprzednim akapicie). Jedyna różnica będzie taka, że ​​aby znaleźć dziesiątki pierwiastka z 4082, musieliśmy wyodrębnić pierwiastek z 40, a można to zrobić za pomocą tabliczki mnożenia; teraz, aby otrzymać dziesiątki√35782, będziemy musieli wziąć pierwiastek z 357, czego nie można zrobić za pomocą tabliczki mnożenia. Ale możemy znaleźć √357, stosując technikę opisaną w poprzednim akapicie, ponieważ liczba 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Następnie postępujemy tak jak przy szukaniu √4082, czyli: na lewo od reszty 3382 rysujemy pionową linię i za nią piszemy (cofając się o jedno miejsce od tej prostej) podwójną liczbę dziesiątek znalezionego pierwiastka, tj. 36 (dwa razy 18). W pozostałej części oddzielamy jedną cyfrę po prawej stronie i dzielimy liczbę dziesiątek reszty, czyli 338, przez 36. W ilorazie otrzymujemy 9. Testujemy tę liczbę, dla której przypisujemy ją do 36 po prawej stronie i pomnóż przez to. Produkt okazał się 3321, czyli mniej niż reszta. Oznacza to, że odpowiednia jest liczba 9, zapisujemy ją u podstawy.

Ogólnie rzecz biorąc, aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby całkowitej, należy najpierw wyodrębnić pierwiastek z jej setek; jeśli ta liczba jest większa niż 100, wówczas będziesz musiał poszukać pierwiastka z liczby setek tych setek, to znaczy z dziesiątek tysięcy tej liczby; jeśli ta liczba jest większa niż 100, będziesz musiał wyciągnąć pierwiastek z liczby setek dziesiątek tysięcy, czyli z milionów danej liczby itp.

Przykłady.

W ostatnim przykładzie po znalezieniu pierwszej cyfry i odjęciu jej kwadratu otrzymujemy resztę 0. Kolejne 2 cyfry odejmujemy 51. Oddzielając dziesiątki otrzymujemy 5 des, natomiast podwójna znaleziona cyfra pierwiastka to 6. Oznacza to, że dzieląc 5 przez 6 otrzymamy 0. Ustawiamy 0 na drugim miejscu w pierwiastku i do reszty dodajemy kolejne 2 cyfry; otrzymujemy 5110. Następnie kontynuujemy jak zwykle.

W tym przykładzie wymagany pierwiastek składa się tylko z 9 setek, dlatego w miejscach dziesiątek i jedności należy umieścić zera.

Reguła. Aby wydobyć pierwiastek kwadratowy z danej liczby całkowitej, dzieli się ją od prawej do lewej strony po krawędzi po 2 cyfry w każdej z wyjątkiem ostatniej, która może mieć jedną cyfrę.
Aby znaleźć pierwszą cyfrę pierwiastka, weź pierwiastek kwadratowy z pierwszej ściany.
Aby znaleźć drugą cyfrę, od pierwszej ściany odejmuje się kwadrat pierwszej cyfry pierwiastka, drugą ściankę przenosi się do reszty, a liczbę dziesiątek otrzymanej liczby dzieli się przez dwukrotność pierwszej cyfry pierwiastka ; wynikowa liczba całkowita jest testowana.
Test ten przeprowadza się w ten sposób: za pionową kreską (na lewo od reszty) wpisz dwukrotnie wcześniej znalezioną liczbę pierwiastka i do niej po prawej stronie dodaj sprawdzaną cyfrę, czyli liczbę wynikową, po tym dodaniu , mnoży się przez sprawdzaną cyfrę. Jeżeli po mnożeniu wynikiem jest liczba większa od reszty, to sprawdzana cyfra nie jest odpowiednia i należy sprawdzić kolejną, mniejszą cyfrę.
Kolejne cyfry pierwiastka odnajdujemy tą samą techniką.
Jeśli po usunięciu ściany liczba dziesiątek wynikowej liczby okaże się mniejsza niż dzielnik, to znaczy mniej niż dwukrotność znalezionej części pierwiastka, wówczas wstawiają 0 do pierwiastka, usuwają następną ścianę i kontynuować akcję dalej.

173. Liczba cyfr pierwiastka. Z rozważenia procesu znajdowania pierwiastka wynika, że ​​cyfr w pierwiastku jest tyle, ile ścian liczby pierwiastkowej ma po 2 cyfry (lewa ścianka może mieć jedną cyfrę).

Rozdział drugi.

Wyodrębnianie przybliżonych pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych i ułamków .

Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z wielomianów, zobacz dodatki do drugiej części § 399 i nast.

174. Znaki dokładnego pierwiastka kwadratowego. Dokładny pierwiastek kwadratowy z danej liczby to liczba, której kwadrat jest dokładnie równy podanej liczbie. Wskażmy kilka znaków, po których można ocenić, czy z danej liczby można wyprowadzić dokładny pierwiastek, czy też nie:

A) Jeśli z danej liczby całkowitej nie zostanie wyodrębniony dokładny cały pierwiastek (resztę uzyskuje się przy ekstrakcji), to z takiej liczby nie można znaleźć dokładnego pierwiastka ułamkowego, ponieważ każdy ułamek, który nie jest równy liczbie całkowitej, pomnożony przez siebie , również daje ułamek w iloczynie, a nie liczbę całkowitą.

B) Ponieważ pierwiastek ułamka jest równy pierwiastkowi licznika podzielonemu przez pierwiastek z mianownika, nie można znaleźć dokładnego pierwiastka ułamka nieredukowalnego, jeśli nie można go wyodrębnić z licznika lub mianownika. Na przykład dokładnego pierwiastka nie można wyodrębnić z ułamków 4/5, 8/9 i 11/15, ponieważ w pierwszym ułamku nie można go wyodrębnić z mianownika, w drugim - z licznika, a w trzecim - ani z licznika, ani z mianownika.

Z liczb, z których nie można wydobyć dokładnego pierwiastka, można wydobyć jedynie przybliżone pierwiastki.

175. Pierwiastek przybliżony z dokładnością do 1. Przybliżony pierwiastek kwadratowy z dokładnością do 1 z danej liczby (całkowitej lub ułamkowej, nie ma to znaczenia) to liczba całkowita spełniająca następujące dwa wymagania:

1) kwadrat tej liczby nie jest większy od podanej liczby; 2), ale kwadrat tej liczby powiększony o 1 jest większy od tej liczby. Innymi słowy, przybliżony pierwiastek kwadratowy z dokładnością do 1 to największy całkowity pierwiastek kwadratowy z danej liczby, czyli pierwiastek, którego nauczyliśmy się znajdować w poprzednim rozdziale. Pierwiastek ten nazywamy przybliżonym z dokładnością do 1, gdyż aby otrzymać pierwiastek dokładny musielibyśmy do tego przybliżonego pierwiastka dodać jakiś ułamek mniejszy od 1, więc jeśli zamiast nieznanego pierwiastka dokładnego weźmiemy ten przybliżony, to zrobimy błąd mniejszy niż 1.

Reguła. Aby wyodrębnić przybliżony pierwiastek kwadratowy z dokładnością do 1, musisz wyodrębnić największy pierwiastek całkowity z części całkowitej danej liczby.

Liczba znaleziona na podstawie tej reguły jest przybliżonym pierwiastkiem z wadą, ponieważ brakuje dokładnego pierwiastka z określonego ułamka (mniejszego niż 1). Jeśli zwiększymy ten pierwiastek o 1, otrzymamy kolejną liczbę, w której jest pewien nadmiar nad pierwiastkiem dokładnym, i to nadmiar jest mniejszy niż 1. Pierwiastek ten powiększony o 1 można też nazwać pierwiastkiem przybliżonym z dokładnością do 1, ale z nadmiarem. (Nazwy: „z niedoborem” lub „z nadmiarem” w niektórych książkach matematycznych zastępuje się innymi, równoważnymi: „przez niedobór” lub „przez nadmiar”).

176. Pierwiastek przybliżony z dokładnością do 1/10. Załóżmy, że musimy znaleźć √2,35104 z dokładnością do 1/10. Oznacza to, że musisz znaleźć ułamek dziesiętny składający się z całych jednostek i dziesiątych, który spełnia dwa poniższe wymagania:

1) kwadrat tego ułamka nie przekracza 2,35104, ale 2) jeśli zwiększymy go o 1/10, to kwadrat tego zwiększonego ułamka przekroczy 2,35104.

Aby znaleźć taki ułamek, najpierw znajdujemy przybliżony pierwiastek z dokładnością do 1, to znaczy wyodrębniamy pierwiastek tylko z liczby całkowitej 2. Otrzymujemy 1 (a reszta to 1). Numer 1 piszemy w rdzeniu i stawiamy po nim przecinek. Teraz będziemy szukać liczby dziesiątych. Aby to zrobić, usuwamy do reszty 1 cyfry 35 na prawo od przecinka dziesiętnego i kontynuujemy wyodrębnianie tak, jakbyśmy wyodrębniali pierwiastek z liczby całkowitej 235. Wynikową cyfrę 5 zapisujemy w pierwiastku w miejsce dziesiątek. Nie potrzebujemy pozostałych cyfr liczby pierwiastkowej (104). To, że wynikowa liczba 1,5 będzie w rzeczywistości przybliżonym pierwiastkiem z dokładnością do 1/10, można zobaczyć na poniższym przykładzie. Gdybyśmy znaleźli największy pierwiastek z liczby całkowitej z 235 z dokładnością do 1, otrzymalibyśmy 15. Zatem:

15 2 < 235, ale 16 2 > 235.

Dzieląc wszystkie te liczby przez 100, otrzymujemy:

Oznacza to, że liczba 1,5 jest ułamkiem dziesiętnym, który nazwaliśmy przybliżonym pierwiastkiem z dokładnością do 1/10.

Stosując tę ​​technikę, możemy również znaleźć następujące pierwiastki przybliżone z dokładnością do 0,1:

177. Przybliżony pierwiastek kwadratowy z dokładnością do 1/100 do 1/1000 itd.

Załóżmy, że musimy znaleźć przybliżone √248 z dokładnością do 1/100. Oznacza to: znajdź ułamek dziesiętny, który składałby się z części całkowitych, dziesiątych i setnych i który spełniałby dwa warunki:

1) jego kwadrat nie przekracza 248, ale 2) jeśli zwiększymy ten ułamek o 1/100, to kwadrat tego zwiększonego ułamka przekroczy 248.

Taki ułamek znajdziemy w następującej kolejności: najpierw znajdziemy liczbę całkowitą, potem cyfrę dziesiątek, potem cyfrę setną. Pierwiastkiem liczby całkowitej jest 15 liczb całkowitych. Aby otrzymać liczbę dziesiątych, jak widzieliśmy, należy dodać do pozostałych 23 jeszcze 2 cyfry na prawo od przecinka dziesiętnego. W naszym przykładzie tych liczb w ogóle nie ma, w ich miejsce wstawiamy zera. Dodając je do reszty i kontynuując tak, jakbyśmy znajdowali pierwiastek z liczby całkowitej 24 800, znajdziemy cyfrę dziesiątych 7. Pozostaje znaleźć cyfrę setną. Aby to zrobić, do reszty 151 dodajemy jeszcze 2 zera i kontynuujemy wyodrębnianie, tak jakbyśmy znajdowali pierwiastek z liczby całkowitej 2 480 000. Otrzymujemy 15,74. To, że liczba ta jest w rzeczywistości przybliżonym pierwiastkiem z 248 z dokładnością do 1/100, można zobaczyć na poniższym przykładzie. Gdybyśmy znaleźli największy pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej 2 480 000, otrzymalibyśmy 1574; Oznacza:

1574 2 < 2 480 000, ale 1575 2 > 2 480 000.

Dzieląc wszystkie liczby przez 10 000 (= 100 2), otrzymujemy:

Oznacza to, że 15,74 to ułamek dziesiętny, który nazwaliśmy pierwiastkiem przybliżonym z dokładnością do 1/100 z 248.

Stosując tę ​​technikę do znajdowania pierwiastka przybliżonego z dokładnością od 1/1000 do 1/10000 itd., otrzymujemy co następuje.

Reguła. Aby wyodrębnić przybliżony pierwiastek z danej liczby całkowitej lub z danego ułamka dziesiętnego z dokładnością od 1/10 do 1/100 do 1/100 itd., najpierw znajdź przybliżony pierwiastek z dokładnością do 1, wyodrębniając pierwiastek z liczba całkowita (jeśli nie, piszą o pierwiastku z 0 liczb całkowitych).

Następnie znajdują liczbę dziesiątych. Aby to zrobić, dodaj do reszty 2 cyfry pierwiastka liczby po prawej stronie przecinka (jeśli ich tam nie ma, dodaj dwa zera do reszty) i kontynuuj ekstrakcję tak, jak podczas wyodrębniania pierwiastka z liczby całkowitej . Wynikową liczbę zapisuje się u pierwiastka w miejscu dziesiątych.

Następnie znajdź liczbę setną. Aby to zrobić, do reszty dodaje się dwie liczby po prawej stronie tych, które właśnie zostały usunięte itp.

Zatem wyodrębniając pierwiastek liczby całkowitej z ułamkiem dziesiętnym, należy podzielić na twarze po 2 cyfry, zaczynając od przecinka, zarówno w lewo (w części całkowitej liczby), jak i w prawo (w część ułamkowa).

Przykłady.

1) Znajdź do 1/100 pierwiastków: a) √2; b) √0,3;

W ostatnim przykładzie zamieniliśmy ułamek 3/7 na ułamek dziesiętny, obliczając 8 miejsc po przecinku, aby utworzyć 4 ścianki potrzebne do znalezienia 4 miejsc po przecinku pierwiastka.

178. Opis tablicy pierwiastków kwadratowych. Na końcu tej książki znajduje się tabela pierwiastków kwadratowych obliczonych czterocyfrowo. Korzystając z tej tabeli, można szybko znaleźć pierwiastek kwadratowy liczby całkowitej (lub ułamka dziesiętnego) wyrażonej nie więcej niż czterema cyframi. Zanim wyjaśnimy strukturę tej tabeli, zauważmy, że pierwszą znaczącą cyfrę żądanego pierwiastka zawsze możemy znaleźć bez pomocy tabel, po prostu patrząc na liczbę pierwiastkową; łatwo możemy też określić, jakie miejsce po przecinku oznacza pierwsza cyfra pierwiastka i w związku z tym w którym miejscu pierwiastka, gdy znajdziemy jego cyfry, musimy postawić przecinek. Oto kilka przykładów:

1) √5"27,3 . Pierwszą cyfrą będzie 2, ponieważ lewa strona liczby pierwiastkowej to 5; a pierwiastek z 5 jest równy 2. Ponadto, ponieważ w części całkowitej rodnika są tylko 2 twarze, wówczas w części całkowitej żądanego pierwiastka muszą znajdować się 2 cyfry, a zatem jego pierwsza cyfra 2 musi znaczy dziesiątki.

2) √9.041. Oczywiście w tym pierwiastku pierwszą cyfrą będą 3 jednostki pierwsze.

3) √0,00"83"4. Pierwszą znaczącą cyfrą jest 9, ponieważ ściana, z której należałoby wyciągnąć pierwiastek, aby otrzymać pierwszą znaczącą cyfrę, to 83, a pierwiastek z 83 to 9. Ponieważ wymagana liczba nie będzie zawierać ani liczb całkowitych, ani dziesiątych, pierwsza cyfra 9 musi oznaczać części setne.

4) √0,73"85. Pierwsza cyfra znacząca to 8 dziesiątych.

5) √0,00"00"35"7. Pierwszą znaczącą cyfrą będzie 5 tysięcznych.

Poczynimy jeszcze jedną uwagę. Załóżmy, że musimy wyodrębnić pierwiastek z liczby, która po odrzuceniu zajętego w niej słowa jest reprezentowana przez ciąg liczb w następujący sposób: 5681. Pierwiastkiem tym może być jedna z poniższych:

Jeśli weźmiemy pierwiastki, które podkreślamy jedną linią, to wszystkie zostaną wyrażone przez ten sam ciąg liczb, dokładnie te liczby, które otrzymamy przy wyodrębnianiu pierwiastka z 5681 (będą to liczby 7, 5, 3, 7 ). Dzieje się tak dlatego, że ściany, na które należy podzielić pierwiastek, szukając cyfr pierwiastka, będą we wszystkich tych przykładach takie same, zatem cyfry dla każdego pierwiastka będą takie same (tylko pozycja przecinka dziesiętnego punkt będzie oczywiście inny). W ten sam sposób we wszystkich pierwiastkach podkreślonych przez nas dwiema liniami należy otrzymać te same liczby, dokładnie te, które służą do wyrażenia √568,1 (będą to liczby 2, 3, 8, 3) i dla tej samej powód. Zatem cyfry pierwiastków liczb reprezentowanych (po przecinku) w tym samym wierszu liczb 5681 będą dwu (i tylko dwu) rodzaju: albo będzie to rząd 7, 5, 3, 7, albo rząd 2, 3, 8, 3. To samo można oczywiście powiedzieć o każdym innym szeregu liczb. Dlatego, jak teraz zobaczymy, w tabeli każdy rząd cyfr liczby pierwiastkowej odpowiada dwóm rzędom cyfr pierwiastków.

Teraz możemy wyjaśnić strukturę tabeli i sposób jej użycia. Dla przejrzystości objaśnień pokazaliśmy tutaj początek pierwszej strony tabeli.

Tabela ta znajduje się na kilku stronach. Na każdym z nich, w pierwszej kolumnie po lewej stronie, umieszczone są cyfry 10, 11, 12... (aż do 99). Liczby te wyrażają pierwsze 2 cyfry liczby, z której obliczany jest pierwiastek kwadratowy. W górnej poziomej linii (jak również na dole) znajdują się liczby: 0, 1, 2, 3... 9, reprezentujące 3. cyfrę tej liczby, a dalej na prawo znajdują się cyfry 1, 2, 3. . . 9, reprezentujący czwartą cyfrę tej liczby. Wszystkie pozostałe linie poziome zawierają 2 czterocyfrowe liczby wyrażające pierwiastki kwadratowe odpowiednich liczb.

Załóżmy, że musisz znaleźć pierwiastek kwadratowy jakiejś liczby, będącej liczbą całkowitą lub wyrażoną jako ułamek dziesiętny. Przede wszystkim znajdujemy bez pomocy tablic pierwszą cyfrę pierwiastka i jej cyfrę. Następnie odrzucimy przecinek w tej liczbie, jeśli taki istnieje. Załóżmy najpierw, że po odrzuceniu przecinka zostaną np. tylko 3 cyfry. 114. W tabelach w skrajnej lewej kolumnie znajdujemy 2 pierwsze cyfry, czyli 11, i przesuwamy się od nich w prawo wzdłuż linii poziomej, aż dotrzemy do kolumny pionowej, na górze (i na dole) której znajduje się 3. cyfra liczby , czyli 4. W tym miejscu znajdziemy dwie czterocyfrowe liczby: 1068 i 3376. Którą z tych dwóch liczb należy przyjąć i gdzie w niej postawić przecinek, o tym decyduje pierwsza cyfra pierwiastka i jego cyfrę, którą znaleźliśmy wcześniej. Zatem, jeśli musimy znaleźć √0,11"4, to pierwsza cyfra pierwiastka to 3 dziesiąte i dlatego za pierwiastek musimy przyjąć 0,3376. Gdybyśmy musieli znaleźć √1,14, pierwszą cyfrą pierwiastka byłoby 1, a my Wtedy wzięlibyśmy 1,068.

W ten sposób z łatwością znajdziemy:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 itd.

Załóżmy teraz, że musimy znaleźć pierwiastek liczby wyrażonej (przez usunięcie przecinka) 4 cyframi, na przykład √7"45,6. Zauważając, że pierwszą cyfrą pierwiastka są 2 dziesiątki, znajdujemy dla numer 745, jak już wyjaśniono, cyfry 2729 (liczbę tę zauważamy tylko palcem, ale jej nie zapisujemy.) Następnie przechodzimy od tej liczby dalej w prawo, aż do prawej strony stołu (za ostatnia pogrubiona linia) natrafiamy na pionową kolumnę, w której na górze (i na dole) zaznaczona jest 4-ta cyfra podanej liczby, czyli liczba 6, i tam znajdujemy cyfrę 1. Będzie to poprawka, którą należy zastosować (w myślach) do znalezionej wcześniej liczby 2729, otrzymujemy 2730. Zapisujemy tę liczbę i w odpowiednim miejscu stawiamy przecinek: 27,30.

W ten sposób znajdziemy np.:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 itd.

Jeśli liczba pierwiastkowa jest wyrażona tylko przez jedną lub dwie cyfry, możemy założyć, że po tych cyfrach następuje jedno lub dwa zera, a następnie postępować jak wyjaśniono dla liczby trzycyfrowej. Na przykład √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 itd.

Wreszcie, jeśli liczba pierwiastkowa jest wyrażona przez więcej niż 4 cyfry, wówczas weźmiemy tylko pierwsze 4 z nich, resztę odrzucimy i aby zmniejszyć błąd, jeśli pierwsza z odrzuconych cyfr wynosi 5 lub więcej niż 5, wtedy zwiększymy o l czwartą z pozostałych cyfr. Więc:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; i tak dalej.

Komentarz. Tabele wskazują przybliżony pierwiastek kwadratowy, czasem z niedoborem, czasem z nadmiarem, a mianowicie ten z tych przybliżonych pierwiastków, który jest bliższy dokładnego pierwiastka.

179. Wyciąganie pierwiastków kwadratowych z ułamków zwykłych. Dokładny pierwiastek kwadratowy ułamka nieredukowalnego można wyprowadzić tylko wtedy, gdy oba wyrazy ułamka są dokładnymi kwadratami. W takim przypadku wystarczy osobno wyodrębnić pierwiastek z licznika i mianownika, na przykład:

Najłatwiejszym sposobem znalezienia przybliżonego pierwiastka kwadratowego ułamka zwykłego z pewną dokładnością dziesiętną jest najpierw przekształcenie ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny i obliczenie w tym ułamku liczby miejsc po przecinku, która byłaby dwukrotnie większa od liczby miejsc po przecinku w żądanym katalogu głównym.

Można to jednak zrobić inaczej. Wyjaśnijmy to na następującym przykładzie:

Znajdź przybliżone √ 5 / 24

Niech mianownik będzie dokładnym kwadratem. Aby to zrobić, wystarczy pomnożyć oba wyrazy ułamka przez mianownik 24; ale w tym przykładzie możesz zrobić to inaczej. Rozłóżmy 24 na czynniki pierwsze: 24 = 2 2 2 3. Z tego rozkładu wynika, że ​​jeśli 24 zostanie pomnożone przez 2 i kolejne 3, to w iloczynie każdy prosty czynnik zostanie powtórzony parzystą liczbę razy, a zatem , mianownik stanie się kwadratem:

Pozostaje obliczyć √30 z pewną dokładnością i podzielić wynik przez 12. Należy pamiętać, że dzielenie przez 12 zmniejszy również ułamek wskazujący stopień dokładności. Jeśli więc znajdziemy √30 z dokładnością do 1/10 i podzielimy wynik przez 12, otrzymamy przybliżony pierwiastek ułamka 5/24 z dokładnością do 1/120 (czyli 54/120 i 55/120)

Rozdział trzeci.

Wykres funkcjix = √y .

180. Funkcja odwrotna. Podajmy jakieś równanie, które określa Na jako funkcja X na przykład tak: y = x 2 . Można powiedzieć, że determinuje nie tylko Na jako funkcja X , ale także odwrotnie, determinuje X jako funkcja Na , choć w sposób dorozumiany. Aby ta funkcja była jednoznaczna, musimy rozwiązać to równanie dla X , biorąc Na dla znanego numeru; Zatem z równania, które wzięliśmy, znajdujemy: y = x 2 .

Wyrażenie algebraiczne otrzymane dla x po rozwiązaniu równania definiującego y jako funkcję x nazywa się funkcją odwrotną funkcji definiującej y.

Zatem funkcja x = √y funkcja odwrotna y = x 2 . Jeśli, jak to zwykle bywa, oznaczamy zmienną niezależną X i osoba zależna Na , wówczas uzyskaną teraz funkcję odwrotną można wyrazić w następujący sposób: y = √ x . Zatem aby otrzymać funkcję odwrotną do zadanej (bezpośredniej) należy wyprowadzić z równania definiującego tę daną funkcję X w zależności od y i w wynikowym wyrażeniu zamień y NA X , A X NA y .

181. Wykres funkcji y = √ x . Ta funkcja nie jest możliwa przy wartości ujemnej X , ale można go obliczyć (z dowolną dokładnością) dla dowolnej wartości dodatniej X i dla każdej takiej wartości funkcja otrzymuje dwie różne wartości o tej samej wartości bezwzględnej, ale o przeciwnych znakach. Jeśli jesteś zaznajomiony √ Jeśli oznaczymy tylko wartość arytmetyczną pierwiastka kwadratowego, wówczas te dwie wartości funkcji można wyrazić w następujący sposób: y = ± √x Aby wykreślić wykres tej funkcji, należy najpierw sporządzić tabelę jej wartości. Najłatwiej jest utworzyć tę tabelę, korzystając z tabeli wartości funkcji bezpośrednich:

y = x 2 .

jeśli wartości Na przyjąć jako wartości X , i wzajemnie:

y = ± √x

Nanosząc wszystkie te wartości na rysunek, otrzymujemy następujący wykres.

Na tym samym rysunku przedstawiliśmy (linią przerywaną) wykres funkcji bezpośredniej y = x 2 . Porównajmy te dwa wykresy ze sobą.

182. Zależność między wykresami funkcji bezpośrednich i odwrotnych. Aby skompilować tabelę wartości funkcji odwrotnej y = ± √x wzięliśmy za X te liczby, które znajdują się w tabeli funkcji bezpośredniej y = x 2 służyły jako wartości dla Na , i dla Na wziął te liczby; dla których w tej tabeli były wartości X . Wynika z tego, że oba wykresy są takie same, jedynie wykres funkcji bezpośredniej jest tak położony względem osi Na - jak wykres funkcji odwrotnej jest położony względem osi X - ow. W rezultacie, jeśli zagniemy rysunek wokół linii prostej OA dzieląc kąt prosty xOj , tak aby część rysunku zawierająca półoś Jednostka organizacyjna , spadł na część zawierającą półoś Oh , To Jednostka organizacyjna kompatybilny z Oh , wszystkie działy Jednostka organizacyjna zbiegnie się z podziałami Oh i punkty paraboli y = x 2 zrównają się z odpowiednimi punktami na wykresie y = ± √x . Na przykład punkty M I N , którego rzędna 4 i odcięte 2 I - 2 , będzie pokrywać się z punktami M" I N" , dla którego odcięta 4 i współrzędne 2 I - 2 . Jeśli te punkty pokrywają się, oznacza to, że linie proste MM” I NN" prostopadły do OA i podziel tę prostą na pół. To samo można powiedzieć o wszystkich innych odpowiadających sobie punktach na obu wykresach.

Zatem wykres funkcji odwrotnej powinien być taki sam jak wykres funkcji bezpośredniej, ale wykresy te są zlokalizowane inaczej, a mianowicie symetrycznie względem siebie względem dwusiecznej kąta xOj . Można powiedzieć, że wykres funkcji odwrotnej jest odbiciem (jak w lustrze) wykresu funkcji prostej względem dwusiecznej kąta xOj .

Fakt 1.
\(\bullet\) Weźmy liczbę nieujemną \(a\) (czyli \(a\geqslant 0\) ). Następnie (arytmetyka) pierwiastek kwadratowy z liczby \(a\) nazywa się taką liczbę nieujemną \(b\) , po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy liczbę \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tak samo jak )\quad a=b^2\] Z definicji wynika, że \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ograniczenia te są ważnym warunkiem istnienia pierwiastka kwadratowego i należy o nich pamiętać!
Przypomnijmy, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny. Oznacza to, że \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ile wynosi \(\sqrt(25)\)? Wiemy, że \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Ponieważ z definicji musimy znaleźć liczbę nieujemną, wówczas \(-5\) nie jest odpowiednie, dlatego \(\sqrt(25)=5\) (ponieważ \(25=5^2\) ).
Znalezienie wartości \(\sqrt a\) nazywa się pierwiastkiem kwadratowym z liczby \(a\) , a liczbę \(a\) nazywa się wyrażeniem radykalnym.
\(\bullet\) Na podstawie definicji wyrażenie \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), itp. nie ma sensu.

Fakt 2.
Do szybkich obliczeń przyda się poznanie tablicy kwadratów liczb naturalnych od \(1\) do \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(tablica)\]

Fakt 3.
Jakie operacje można wykonać na pierwiastkach kwadratowych?
\(\pocisk\) Suma lub różnica pierwiastków kwadratowych NIE JEST RÓWNA pierwiastkowi kwadratowemu z sumy lub różnicy \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Zatem jeśli chcesz obliczyć na przykład \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , to początkowo musisz znaleźć wartości \(\sqrt(25)\) i \(\ sqrt(49)\ ), a następnie złóż je. Stąd, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jeśli przy dodawaniu \(\sqrt a+\sqrt b\) nie można znaleźć wartości \(\sqrt a\) lub \(\sqrt b\) to takie wyrażenie nie jest dalej przekształcane i pozostaje takie jakie jest. Na przykład w sumie \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) możemy znaleźć \(\sqrt(49)\) is \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nie można przekształcić w w każdym razie, dlatego \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Niestety, wyrażenia tego nie da się już bardziej uprościć\(\bullet\) Iloczyn/iloraz pierwiastków kwadratowych jest równy pierwiastkowi kwadratowemu iloczynu/ilorazu, czyli \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod warunkiem, że obie strony równości mają sens)
Przykład: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Korzystając z tych właściwości, wygodnie jest znaleźć pierwiastki kwadratowe dużych liczb poprzez ich rozkład na czynniki.
Spójrzmy na przykład. Znajdźmy \(\sqrt(44100)\) . Ponieważ \(44100:100=441\) , to \(44100=100\cdot 441\) . Zgodnie z kryterium podzielności liczba \(441\) jest podzielna przez \(9\) (ponieważ suma jej cyfr wynosi 9, a jest podzielna przez 9), zatem \(441:9=49\), to znaczy \(441=9\ cdot 49\) .
W ten sposób otrzymaliśmy: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Spójrzmy na inny przykład: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokażmy, jak wprowadzać liczby pod pierwiastkiem kwadratowym na przykładzie wyrażenia \(5\sqrt2\) (krótka notacja wyrażenia \(5\cdot \sqrt2\)). Ponieważ \(5=\sqrt(25)\) , to \ Pamiętaj też, że np.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Dlaczego? Wyjaśnijmy to na przykładzie 1). Jak już rozumiesz, nie możemy w jakiś sposób przekształcić liczby \(\sqrt2\). Wyobraźmy sobie, że \(\sqrt2\) jest pewną liczbą \(a\) . W związku z tym wyrażenie \(\sqrt2+3\sqrt2\) to nic innego jak \(a+3a\) (jedna liczba \(a\) plus trzy kolejne takie same liczby \(a\)). I wiemy, że jest to równe czterem takim liczbom \(a\) , czyli \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Często mówią „nie można wyodrębnić pierwiastka”, gdy nie można pozbyć się znaku \(\sqrt () \ \) pierwiastka (radykalnego) podczas znajdowania wartości liczby . Na przykład możesz wziąć pierwiastek liczby \(16\) ponieważ \(16=4^2\) , a zatem \(\sqrt(16)=4\) . Nie da się jednak wyodrębnić pierwiastka z liczby \(3\), to znaczy znaleźć \(\sqrt3\), ponieważ nie ma liczby, którą podniesienie do kwadratu dałoby \(3\) .
Takie liczby (lub wyrażenia zawierające takie liczby) są irracjonalne. Na przykład liczby \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) i tak dalej. są irracjonalne.
Wymierne są także liczby \(\pi\) (liczba „pi”, w przybliżeniu równa \(3,14\)), \(e\) (ta liczba nazywana jest liczbą Eulera, jest w przybliżeniu równa \(2,7 \)) itp.
\(\bullet\) Należy pamiętać, że każda liczba będzie albo wymierna, albo niewymierna. I razem wszystkie liczby wymierne i wszystkie niewymierne tworzą zbiór zwany zbiór liczb rzeczywistych. Zbiór ten jest oznaczony literą \(\mathbb(R)\) .
Oznacza to, że wszystkie liczby, które obecnie znamy, nazywane są liczbami rzeczywistymi.

Fakt 5.
\(\bullet\) Moduł liczby rzeczywistej \(a\) jest liczbą nieujemną \(|a|\) równą odległości od punktu \(a\) do \(0\) na prawdziwa linia. Na przykład \(|3|\) i \(|-3|\) są równe 3, ponieważ odległości od punktów \(3\) i \(-3\) do \(0\) to takie same i równe \(3 \) .
\(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą nieujemną, to \(|a|=a\) .
Przykład: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to \(|a|=-a\) .
Przykład: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mówią, że dla liczb ujemnych moduł „zjada” minus, natomiast liczby dodatnie, a także liczba \(0\) moduł pozostawia niezmieniony.
ALE Ta zasada dotyczy tylko liczb. Jeśli pod Twoim znakiem modułu znajduje się niewiadoma \(x\) (lub inna niewiadoma), na przykład \(|x|\) , o której nie wiemy, czy jest dodatnia, zerowa czy ujemna, to pozbądź się modułu nie możemy. W tym przypadku to wyrażenie pozostaje takie samo: \(|x|\) . \(\bullet\) Obowiązują następujące formuły: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(pod warunkiem ) a\geqslant 0\] Bardzo często popełniany jest następujący błąd: mówią, że \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) to jedno i to samo. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy \(a\) jest liczbą dodatnią lub zerem. Ale jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to jest to fałsz. Wystarczy rozważyć ten przykład. Weźmy zamiast \(a\) liczbę \(-1\) . Wtedy \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale wyrażenie \((\sqrt (-1))^2\) w ogóle nie istnieje (w końcu nie można użyć znaku pierwiastka wstawiając liczby ujemne!).
Dlatego zwracamy uwagę na fakt, że \(\sqrt(a^2)\) nie jest równe \((\sqrt a)^2\) ! Przykład 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), ponieważ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Ponieważ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , to \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (wyrażenie \(2n\) oznacza liczbę parzystą)
Oznacza to, że przy uwzględnieniu pierwiastka liczby w pewnym stopniu stopień ten zmniejsza się o połowę.
Przykład:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (zwróć uwagę, że jeśli moduł nie jest dostarczony, okazuje się, że pierwiastek liczby jest równy \(-25\ ) ; ale pamiętamy, że z definicji pierwiastka tak się nie dzieje: przy wyciąganiu pierwiastka powinniśmy zawsze otrzymać liczbę dodatnią lub zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ponieważ każda liczba do potęgi parzystej jest nieujemna)

Fakt 6.
Jak porównać dwa pierwiastki kwadratowe?
\(\bullet\) W przypadku pierwiastków kwadratowych prawdą jest: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPrzykład:
1) porównaj \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Najpierw przekształćmy drugie wyrażenie na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Zatem od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Pomiędzy jakimi liczbami całkowitymi znajduje się \(\sqrt(50)\)?
Ponieważ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porównajmy \(\sqrt 2-1\) i \(0.5\) . Załóżmy, że \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((dodaj jeden do obu stron))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((podnosząc obie strony do kwadratu))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(wyrównane)\] Widzimy, że otrzymaliśmy błędną nierówność. Dlatego nasze założenie było błędne i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Należy pamiętać, że dodanie określonej liczby do obu stron nierówności nie wpływa na jej znak. Mnożenie/dzielenie obu stron nierówności przez liczbę dodatnią również nie wpływa na jej znak, natomiast mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności!
Możesz podnieść obie strony równania/nierówności TYLKO JEŚLI obie strony są nieujemne. Na przykład w nierówności z poprzedniego przykładu można podnieść obie strony do kwadratu, w nierówności \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Należy o tym pamiętać \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2\około 1,4\\ &\sqrt 3\około 1,7 \end(wyrównane)\] Znajomość przybliżonego znaczenia tych liczb pomoże Ci przy porównywaniu liczb! \(\bullet\) Aby wydobyć pierwiastek (o ile da się go wydobyć) z jakiejś dużej liczby, której nie ma w tabeli kwadratów, należy najpierw ustalić, pomiędzy którymi „setkami” się ona znajduje, a następnie – pomiędzy którymi „ dziesiątki”, a następnie określ ostatnią cyfrę tej liczby. Pokażmy, jak to działa na przykładzie.
Weźmy \(\sqrt(28224)\) . Wiemy, że \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) itd. Zauważ, że \(28224\) mieści się w przedziale od \(10\,000\) do \(40\,000\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) znajduje się pomiędzy \(100\) a \(200\) .
Ustalmy teraz, pomiędzy którymi „dziesiątkami” mieści się nasza liczba (czyli np. pomiędzy \(120\) a \(130\)). Również z tabeli kwadratów wiemy, że \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., następnie \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Widzimy więc, że \(28224\) mieści się pomiędzy \(160^2\) a \(170^2\) . Dlatego liczba \(\sqrt(28224)\) mieści się w przedziale od \(160\) do \(170\) .
Spróbujmy ustalić ostatnią cyfrę. Przypomnijmy, jakie liczby jednocyfrowe po podniesieniu do kwadratu dają na końcu \(4\)? Są to \(2^2\) i \(8^2\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) zakończy się liczbą 2 lub 8. Sprawdźmy to. Znajdźmy \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Dlatego \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Aby odpowiednio rozwiązać Unified State Exam z matematyki, należy najpierw przestudiować materiał teoretyczny, który wprowadza w liczne twierdzenia, wzory, algorytmy itp. Na pierwszy rzut oka może się to wydawać dość proste. Jednak znalezienie źródła, w którym teoria do Unified State Exam z matematyki jest przedstawiona w sposób łatwy i zrozumiały dla uczniów na każdym poziomie wykształcenia, jest w rzeczywistości dość trudnym zadaniem. Podręczniki szkolne nie zawsze można mieć pod ręką. Znalezienie podstawowych wzorów do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki może być trudne nawet w Internecie.

Dlaczego studiowanie teorii matematyki jest tak ważne nie tylko dla osób przystępujących do egzaminu Unified State Exam?

1. Ponieważ poszerza horyzonty. Studiowanie materiału teoretycznego z matematyki jest przydatne dla każdego, kto chce uzyskać odpowiedzi na szeroki zakres pytań związanych z wiedzą o otaczającym go świecie. Wszystko w przyrodzie jest uporządkowane i ma jasną logikę. To właśnie znajduje odzwierciedlenie w nauce, dzięki której można zrozumieć świat.
2. Ponieważ rozwija inteligencję. Studiując materiały referencyjne do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki, a także rozwiązując różne problemy, osoba uczy się myśleć i rozumować logicznie, kompetentnie i jasno formułować myśli. Rozwija umiejętność analizowania, uogólniania i wyciągania wniosków.

Zapraszamy do osobistej oceny wszystkich zalet naszego podejścia do systematyzacji i prezentacji materiałów edukacyjnych.

Przyjrzyjmy się temu algorytmowi na przykładzie. Znajdziemy

1. krok. Liczbę pod pierwiastkiem dzielimy na dwucyfrowe twarze (od prawej do lewej):

2. krok. Bierzemy pierwiastek kwadratowy z pierwszej ścianki, czyli z liczby 65 otrzymujemy liczbę 8. Pod pierwszą ścianą zapisujemy kwadrat liczby 8 i odejmujemy. Do reszty przypisujemy drugą ścianę (59):

(liczba 159 to pierwsza reszta).

Trzeci krok. Podwajamy znaleziony pierwiastek i wynik zapisujemy po lewej stronie:

4. krok. W pozostałej części po prawej stronie oddzielamy jedną cyfrę (159), a po lewej stronie otrzymujemy liczbę dziesiątek (jest ona równa 15). Następnie dzielimy 15 przez podwójną pierwszą cyfrę pierwiastka, czyli przez 16, ponieważ 15 nie jest podzielne przez 16, iloraz daje zero, co zapisujemy jako drugą cyfrę pierwiastka. Tak więc w ilorazie otrzymaliśmy liczbę 80, którą ponownie podwajamy i usuwamy kolejną krawędź

(liczba 15 901 to druga reszta).

5. krok. W drugiej reszcie oddzielamy jedną cyfrę od prawej i otrzymaną liczbę 1590 dzielimy przez 160. Wynik (liczba 9) zapisujemy jako trzecią cyfrę pierwiastka i dodajemy do liczby 160. Otrzymaną liczbę 1609 mnożymy przez 9 i znajdź następną resztę (1420):

Następnie wykonywane są czynności w kolejności określonej w algorytmie (pierwiastek można wyodrębnić z wymaganą dokładnością).

Komentarz. Jeśli wyrażenie radykalne jest ułamkiem dziesiętnym, wówczas cała jego część jest dzielona na krawędzie dwóch cyfr od prawej do lewej, część ułamkowa - dwie cyfry od lewej do prawej i pierwiastek jest wyodrębniany zgodnie z określonym algorytmem.

MATERIAŁ DYDAKTYCZNY

1. Weź pierwiastek kwadratowy z liczby: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.