Jak rozwiązywać przykłady z potęgami i ułamkami. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie potęg

Ułamek to stosunek licznika do mianownika, a mianownik nie może być równy zero, a licznik może być dowolny.

Podnosząc dowolny ułamek do dowolnej potęgi, musimy osobno podnieść licznik i mianownik ułamka do tej potęgi, po czym musimy policzyć te potęgi i w ten sposób otrzymać ułamek podniesiony do potęgi.

Na przykład:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​/ 3) · (2 ​​/ 3) = 2^3 / 3^3

Stopień ujemny

Jeśli mamy do czynienia ze stopniem ujemnym, to najpierw należy „odwrócić ułamek”, a dopiero potem podnieść go do stopnia zgodnie z zasadą zapisaną powyżej.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Stopień literowy

Podczas pracy z wartościami dosłownymi, takimi jak „x” i „y”, potęgowanie odbywa się według tej samej zasady, co poprzednio.

Możemy się także sprawdzić podnosząc ułamek ½ do potęgi 3, w wyniku czego otrzymujemy ½ * ½ * ½ = 1/8, co w zasadzie jest takie samo jak

Dosłowne potęgowanie x^y

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych z potęgami

Jeśli pomnożymy potęgi o tych samych podstawach, to sama podstawa pozostanie taka sama i dodamy wykładniki. Jeśli podzielimy stopnie o tych samych podstawach, wówczas podstawa stopnia również pozostanie taka sama, a wykładniki stopni zostaną odjęte.

Można to bardzo łatwo pokazać na przykładzie:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

To samo moglibyśmy uzyskać, gdybyśmy po prostu podnieśli mianownik i licznik oddzielnie do potęgi 3 i 4.

Podnoszenie ułamka z potęgą do innej potęgi

Podnosząc ułamek, który jest już do potęgi, ponownie do potęgi, musimy najpierw wykonać potęgowanie wewnętrzne, a następnie przejść do zewnętrznej części potęgowania. Innymi słowy, możemy po prostu pomnożyć te potęgi i podnieść ułamek do otrzymanej potęgi.

Na przykład:

(2^4)^2 = 2^4 2 = 2^8

Podniesione do jednego, pierwiastek kwadratowy

Nie wolno nam też zapominać, że podniesienie absolutnie dowolnego ułamka do potęgi zerowej da nam 1, tak jak każdej innej liczby, podniesione do potęgi równej zero otrzymamy 1.

Zwykły pierwiastek kwadratowy można również wyrazić jako potęgę ułamka zwykłego

Pierwiastek kwadratowy 3 = 3^(1/2)

Jeśli mamy do czynienia z pierwiastkiem kwadratowym, pod którym znajduje się ułamek, to możemy sobie wyobrazić ten ułamek, w którego liczniku będzie pierwiastek kwadratowy drugiego stopnia (ponieważ jest to pierwiastek kwadratowy)

A mianownik będzie również zawierał pierwiastek kwadratowy, tj. innymi słowy, zobaczymy związek dwóch pierwiastków, może to być przydatne do rozwiązania niektórych problemów i przykładów.

Jeśli podniesiemy ułamek pod pierwiastkiem kwadratowym do drugiej potęgi, otrzymamy ten sam ułamek.

Iloczyn dwóch ułamków o tej samej mocy będzie równy iloczynowi tych dwóch ułamków, z których każdy osobno będzie miał własną moc.

Pamiętaj: nie możesz dzielić przez zero!

Nie zapomnij też o bardzo ważnej uwadze, że ułamek taki, że mianownik nie powinien być równy zero. W przyszłości w wielu równaniach będziemy stosować to ograniczenie zwane ODZ – zakresem wartości dopuszczalnych

Porównując dwa ułamki o tej samej podstawie, ale różnych potęgach, większy będzie ułamek, którego potęga jest większa, a mniejszy będzie ułamkiem o mniejszej potędze; jeśli nie tylko podstawy, ale i potęgi są równe, ułamek uważa się za taki sam.

Formuły stopni wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania wyrażeń złożonych, w rozwiązywaniu równań i nierówności.

Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:

Operacje na stopniach.

1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, dodaje się ich wskaźniki:

jestem·a n = za m + n .

2. Dzieląc stopnie o tej samej podstawie, ich wykładniki odejmuje się:

3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:

(abc…) n = za n · b n · do n …

4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:

(a/b) n = za n /b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:

(a m) n = za m n .

Każdy powyższy wzór jest prawdziwy w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacje z korzeniami.

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnika pierwiastków:

3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi:

4. Jeśli zwiększysz stopień zakorzenienia N raz i jednocześnie wbudować N potęga jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

5. Jeśli zmniejszysz stopień zakorzenienia N jednocześnie wyodrębnij korzeń N-ta potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku niedodatnim (całkowitym) definiuje się jako podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika niedodatniego:

Formuła jestem:a n = a m - n można używać nie tylko do M> N, ale także z M< N.

Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Do formuły jestem:a n = a m - n stało się sprawiedliwe, kiedy m=n, wymagana jest obecność stopnia zerowego.

Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby różnej od zera z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.

Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopień M-ta potęga tej liczby A.

Logiczne jest, aby przejść do omówienia operacje na ułamkach algebraicznych. Na ułamkach algebraicznych definiowane są następujące operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i podnoszenie do potęgi naturalnej. Co więcej, wszystkie te działania są zamknięte w tym sensie, że w wyniku ich wykonania uzyskuje się ułamek algebraiczny. Przyjrzyjmy się każdemu z nich w kolejności.

Tak, warto od razu zauważyć, że działania z ułamkami algebraicznymi są uogólnieniami odpowiednich działań z ułamkami zwykłymi. Dlatego odpowiednie zasady pokrywają się niemal dosłownie z zasadami dodawania i odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania ułamków zwykłych.

Nawigacja strony.

Dodawanie ułamków algebraicznych

Dodawanie dowolnych ułamków algebraicznych mieści się w jednym z dwóch przypadków: w pierwszym dodawane są ułamki o tych samych mianownikach, w drugim o różnych mianownikach. Zacznijmy od zasady dodawania ułamków o podobnych mianownikach.

Aby dodać ułamki algebraiczne o takich samych mianownikach, należy dodać liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.

Ogłoszona reguła pozwala przejść od dodawania ułamków algebraicznych do dodawania wielomianów występujących w licznikach. Na przykład, .

Aby dodać ułamki algebraiczne o różnych mianownikach, należy postępować zgodnie z następującą zasadą: sprowadzić je do wspólnego mianownika, a następnie dodać powstałe ułamki o tych samych mianownikach.

Na przykład, dodając ułamki algebraiczne, należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika, w wyniku czego przyjmą postać I odpowiednio, po czym wykonuje się dodanie tych ułamków o tych samych mianownikach: .

Odejmowanie

Następną czynność, czyli odejmowanie ułamków algebraicznych, wykonujemy analogicznie do dodawania. Jeśli mianowniki pierwotnych ułamków algebraicznych są takie same, wystarczy odjąć wielomiany w licznikach i pozostawić mianownik bez zmian. Jeżeli mianowniki są różne, najpierw przeprowadza się redukcję do wspólnego mianownika, po czym odejmuje się powstałe ułamki o tych samych mianownikach.

Podajmy przykłady.

Odejmijmy ułamki algebraiczne i , ich mianowniki są zatem takie same . Powstały ułamek algebraiczny można dalej zredukować: .

Teraz odejmiemy ułamek od ułamka. Są to ułamki algebraiczne o różnych mianownikach dlatego najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, którym w tym przypadku jest 5 x (x-1), mamy I . Pozostało tylko odjąć:

Mnożenie ułamków algebraicznych

Ułamki algebraiczne można mnożyć. Czynność tę wykonuje się podobnie do mnożenia ułamków zwykłych według następującej zasady: aby pomnożyć ułamki algebraiczne, należy pomnożyć oddzielnie liczniki i mianowniki.

Podajmy przykład. Pomnóżmy ułamek algebraiczny przez ułamek . Zgodnie z przyjętą zasadą tak . Pozostaje tylko przekonwertować powstały ułamek na ułamek algebraiczny, w tym przypadku należy pomnożyć jednomian i wielomian (i w ogólnym przypadku pomnożyć wielomiany) w liczniku i mianowniku: .

Warto zauważyć, że przed pomnożeniem ułamków algebraicznych wskazane jest rozłożenie na czynniki wielomianów znalezionych w ich licznikach i mianownikach. Wynika to z możliwości redukcji powstałej frakcji. Na przykład,
.

Działanie to zostało omówione bardziej szczegółowo w artykule.

Dział

Przejdźmy do operacji na ułamkach algebraicznych. Następnym krokiem jest dzielenie ułamków algebraicznych. Poniższa zasada sprowadza dzielenie ułamków algebraicznych do mnożenia: aby podzielić jeden ułamek algebraiczny przez drugi, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego.

Ułamek algebraiczny, odwrotność danego ułamka, to ułamek, w którym licznik i mianownik są zamienione. Innymi słowy, dwa ułamki algebraiczne uważa się za wzajemnie odwrotne, jeśli ich iloczyn jest identycznie równy jeden (przez analogię).

Podajmy przykład. Zróbmy podział . Ułamek odwrotny dzielnika to . Zatem, .

Bardziej szczegółowe informacje znajdziesz w artykule wspomnianym w poprzednim akapicie: Mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych.

Podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi

Na koniec przechodzimy do ostatniej akcji z ułamkami algebraicznymi - podnoszeniem do potęgi naturalnej. , a także sposób, w jaki zdefiniowaliśmy mnożenie ułamków algebraicznych, pozwala nam zapisać zasadę podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi: trzeba osobno podnieść licznik do tej potęgi i osobno mianownik.

Pokażmy przykład wykonania tej akcji. Podnieśmy ułamek algebraiczny do drugiej potęgi. Zgodnie z powyższą zasadą mamy . Pozostaje podnieść jednomian w liczniku do potęgi, a także podnieść wielomian w mianowniku do potęgi, co da ułamek algebraiczny postaci .

Rozwiązanie innych typowych przykładów pokazano w artykule podnosząc ułamek algebraiczny do potęgi.

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Prawa autorskie należą do mądrych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny www., łącznie z materiałami wewnętrznymi i wyglądem, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Lekcja na temat: „Zasady mnożenia i dzielenia potęg o tych samych i różnych wykładnikach. Przykłady”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 7
Podręcznik do podręcznika Yu.N. Podręcznik Makarycheva do podręcznika A.G. Mordkowicz

Cel lekcji: nauczyć się wykonywać operacje na potęgach liczb.

Na początek przypomnijmy sobie pojęcie „potęgi liczby”. Wyrażenie w postaci $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ można przedstawić jako $a^n$.

Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ta równość nazywa się „zapisywaniem stopnia jako iloczynu”. Pomoże nam to określić, jak mnożyć i dzielić potęgi.
Pamiętać:
A– podstawa stopnia.
N– wykładnik.
Jeśli n=1, co oznacza liczbę A wziąłem raz i odpowiednio: $a^n= 1$.
Jeśli n= 0, wtedy $a^0= 1$.

Dlaczego tak się dzieje, dowiemy się, zapoznając się z zasadami mnożenia i dzielenia potęg.

Zasady mnożenia

a) Jeżeli mnoży się potęgi o tej samej podstawie.
Aby otrzymać $a^n * a^m$, zapisujemy stopnie jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
Rysunek pokazuje, że liczba A wzięli n+m razy, wtedy $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Przykład.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ta właściwość jest wygodna w użyciu, aby uprościć pracę przy podnoszeniu liczby do wyższej potęgi.
Przykład.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jeżeli mnoży się stopnie o różnych podstawach, ale tym samym wykładniku.
Aby otrzymać $a^n * b^n$, zapisujemy stopnie jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Jeśli zamienimy czynniki i policzymy powstałe pary, otrzymamy: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Zatem $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Przykład.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Zasady podziału

a) Podstawa stopnia jest taka sama, wskaźniki są różne.
Rozważ podzielenie potęgi o większym wykładniku poprzez podzielenie potęgi o mniejszym wykładniku.

Więc potrzebujemy $\frac(a^n)(a^m)$, Gdzie n>m.

Zapiszmy stopnie jako ułamek:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Dla wygody dzielenie zapisujemy jako ułamek prosty.

Teraz skróćmy ułamek.

Okazuje się, że $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Oznacza, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ta właściwość pomoże wyjaśnić sytuację związaną z podniesieniem liczby do potęgi zerowej. Załóżmy, że n=m, wtedy $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Przykłady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Podstawy stopnia są różne, wskaźniki są takie same.
Powiedzmy, że $\frac(a^n)( b^n)$ jest konieczne. Zapiszmy potęgi liczb w postaci ułamków:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Dla wygody wyobraźmy sobie.

Korzystając z właściwości ułamków, dzielimy duży ułamek na iloczyn małych, otrzymujemy.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Odpowiednio: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Przykład.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Cele: powtórz zasadę mnożenia ułamków zwykłych i naucz, jak zastosować tę zasadę do mnożenia dowolnych ułamków zwykłych; utrwalić podczas ćwiczeń umiejętności redukcji ułamków zwykłych i własności potęg o tych samych podstawach.

Podczas zajęć

I. Analiza pracy testowej.

1. Wskaż błędy popełniane przez uczniów na teście.

2. Rozwiązywać zadania, które sprawiały uczniom trudność.

II. Praca ustna.

1. Powtórz właściwości stopni o tych samych podstawach:

2. Obecny jako potęga z podstawą

Zapoznaj się z podstawową właściwością ułamka i wykorzystaj ją do skracania ułamków.

III. Wyjaśnienia nowego materiału.

1. Udowodnimy, że równość

prawdziwe dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych, czyli dla b≠0 i d≠0.

2. Zasada: Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć jego liczniki i pomnożyć mianowniki, a pierwszy iloczyn zapisać jako licznik, a drugi jako mianownik ułamka.

3. Rozważ rozwiązania przykładów 1, 2, 3 i 4 na stronach 26-27 podręcznika.

4. Zasada mnożenia ułamków dotyczy iloczynu trzech lub więcej czynników.

Na przykład:

1. Rozwiąż zadanie nr 108 (ustnie).

2. Rozwiąż zadanie nr 109 (a, c, e) na tablicy i w zeszytach.

Uczniowie podejmują decyzję samodzielnie, następnie następuje sprawdzenie rozwiązania.

3. Rozwiąż nr 112 (c; d; f).

Praca domowa: przestudiuj akapit 5 (1-4); rozwiązać nr 109 (b; d; f),

Nr 112 (a; b; d), Nr 118 (a; c; d), Nr 119 (b; d), Nr 120 (a; c).

Lekcja 2

Cele: wyprowadzić zasadę podnoszenia ułamka zwykłego do potęgi i nauczyć uczniów stosowania tej zasady podczas wykonywania ćwiczeń; utrwalić zasadę mnożenia ułamków zwykłych i umiejętności zmniejszania ułamków zwykłych, rozwijać logiczne myślenie uczniów.

Podczas zajęć

I. Praca ustna.

4. Sprawdzaj losowo swoją pracę domową w zeszytach.

II. Nauka nowego materiału.

1. Rozważmy kwestię podniesienia ułamka do potęgi. Udowodnijmy to

2. Zasada. Aby podnieść ułamek do potęgi, należy podnieść licznik i mianownik do tej potęgi i zapisać pierwszy wynik w liczniku, a drugi w mianowniku ułamka.

3. Przeanalizuj rozwiązanie przykładu 5 na stronie 28 podręcznika:

III. Robienie ćwiczeń.

1. Rozwiąż ustnie zadanie nr 115.

2. Rozwiąż zadanie nr 116 samodzielnie, sprawdzając lub komentując na miejscu.

IV. Samodzielna praca (10 min).

V. Podsumowanie lekcji.

1. Stwórz regułę mnożenia ułamków zwykłych.

2. Stwórz regułę podnoszenia ułamka do potęgi.

Praca domowa: poznać zasady ust. 5; rozwiązać nr 117, nr 121 (a; d), nr 122 (a; c), nr 123 (a), nr 124, nr 130 (a; b).