Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie przedmiotu nie jako całości, ale w oddzielnych częściach. Zacznij studiować ten temat - akcje. Udziały są częściami równymi, na który podzielony jest ten lub inny obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu w postaci liczby całkowitej, należy uwzględnić części lub ułamki jakiejś miary. Utworzone od czasownika „dzielić” - dzielić na części i mające arabskie korzenie, samo słowo „ułamek” powstało w języku rosyjskim w VIII wieku.
Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą dziedzinę matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było dla ludzi bardzo trudne do zrozumienia.
Nowoczesną formę prostych reszt ułamkowych, których części oddzielone są poziomą linią, jako pierwszy propagował Fibonacci – Leonardo z Pizy. Jego dzieła datowane są na rok 1202. Jednak celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób mnożone są ułamki mieszane o różnych mianownikach.
Mnożenie ułamków zwykłych o różnych mianownikach
Na początek warto to ustalić rodzaje ułamków:
- prawidłowy;
- błędny;
- mieszany.
Następnie musisz pamiętać, jak mnożone są liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama zasada tego procesu nie jest trudna do samodzielnego sformułowania: wynikiem mnożenia ułamków prostych o identycznych mianownikach jest wyrażenie ułamkowe, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków . Oznacza to, że nowym mianownikiem jest kwadrat jednego z pierwotnie istniejących.
Podczas mnożenia Ułamki zwykłe o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła nie ulega zmianie:
A/B * C/D = a*c / b*d.
Jedyna różnica polega na tym, że liczba utworzona pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i oczywiście nie można jej nazwać kwadratem jednego wyrażenia liczbowego.
Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
W przykładach zastosowano metody redukcji wyrażeń ułamkowych. Liczby licznikowe można redukować tylko za pomocą liczb mianownikowych; nie można redukować sąsiadujących współczynników powyżej lub poniżej linii ułamkowej.
Oprócz ułamków prostych istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Jak działa mnożenie?
Do rozważenia podano kilka przykładów.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę tego działania można zapisać jako:
A* B/C = a*b /C.
W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. Szczególny przypadek:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Istnieje inne rozwiązanie mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:
D* mi/F = mi/f: d.
Technikę tę przydaje się, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, przez liczbę całkowitą.
Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ten przykład dotyczy sposobu przedstawiania ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego i można go również przedstawić jako wzór ogólny:
A BC = a*b+ c/c, gdzie mianownik nowego ułamka tworzy się poprzez pomnożenie całej części przez mianownik i dodanie go przez licznik pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.
Proces ten działa także w odwrotnym kierunku. Aby oddzielić całą część od reszty ułamkowej, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik za pomocą „rogu”.
Mnożenie ułamków niewłaściwych produkowane w ogólnie przyjęty sposób. Pisząc pod jedną linią ułamkową, należy w razie potrzeby zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i ułatwić obliczenie wyniku.
W Internecie jest wielu pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych w różnych odmianach programów. Wystarczająca liczba takich serwisów oferuje pomoc w obliczaniu mnożenia ułamków o różnych liczbach w mianownikach - tak zwane kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych. Praca z nim nie jest trudna, wypełniasz odpowiednie pola na stronie serwisu, wybierasz znak operacji matematycznej i klikasz „oblicz”. Program oblicza automatycznie.
Temat działań arytmetycznych na ułamkach zwykłych jest aktualny w całej edukacji uczniów gimnazjów i szkół średnich. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobytą wcześniej wiedzę o zasadach transformacji i obliczeń stosuje się w jej pierwotnej formie. Dobrze opanowana wiedza podstawowa daje całkowitą pewność skutecznego rozwiązania najbardziej skomplikowanych problemów.
Podsumowując, warto zacytować słowa Lwa Nikołajewicza Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Zwiększenie licznika – zasług – nie jest w mocy człowieka, ale każdy może zmniejszyć swój mianownik – swoją opinię o sobie, a przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.
Treść lekcji
Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:
- Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
- Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
Najpierw nauczmy się dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian:
Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:
Przykład 2. Dodaj ułamki i .
Odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Kiedy nadchodzi koniec zadania, zwyczajowo pozbywamy się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać całą jego część. W naszym przypadku całą część można łatwo wyizolować – dwa podzielone przez dwa równa się jeden:
Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:
Przykład 3. Dodaj ułamki i .
Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:
Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia 
Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:
Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.
Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:
- Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.
Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.
Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Istnieje kilka sposobów redukcji ułamków zwykłych do tego samego mianownika. Dzisiaj przyjrzymy się tylko jednemu z nich, ponieważ inne metody mogą wydawać się początkującemu skomplikowane.
Istota tej metody polega na tym, że w pierwszej kolejności przeszukiwane jest LCM mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.
Liczniki i mianowniki ułamków są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki.
Przykład 1. Dodajmy ułamki i
Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6
LCM (2 i 3) = 6
Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i . Najpierw podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskaj pierwszy dodatkowy współczynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.
Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, narysuj małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisz znajdujący się nad nią dodatkowy współczynnik:
To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.
Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i zapisujemy dodatkowy czynnik znajdujący się nad nim:
Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:
Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:
To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.
Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:
Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Redukując ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).
Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Dodając te kawałki otrzymamy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niewłaściwy, więc podkreśliliśmy całą jego część. W rezultacie otrzymaliśmy (całą pizzę i kolejną szóstą pizzę).
Należy pamiętać, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucjach edukacyjnych nie jest zwyczajowo pisać tak szczegółowo. Musisz umieć szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych czynników do nich, a także szybko pomnożyć znalezione dodatkowe czynniki przez swoje liczniki i mianowniki. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy zapisać ten przykład w następujący sposób:
Ale jest też druga strona medalu. Jeżeli na pierwszych etapach nauki matematyki nie będziemy robić szczegółowych notatek, wówczas zaczną pojawiać się tego typu pytania. „Skąd taka liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.
Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:
- Znajdź LCM mianowników ułamków;
- Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
- Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
- Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
- Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia 
.
Skorzystajmy z instrukcji podanych powyżej.
Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków
Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4
Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka
Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:
Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:
Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy to nad trzecim ułamkiem:
Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki
Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:
Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj go:
Dodatek nie zmieścił się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. Jest to dozwolone w matematyce. Jeżeli wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest ono przenoszone do następnego wiersza, przy czym należy postawić znak równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugiej linii oznacza, że jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszej linii.
Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część
Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:
Otrzymaliśmy odpowiedź
Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków zwykłych:
- Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
- Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Najpierw nauczmy się odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, ale mianownik pozostawić bez zmian.
Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:
Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.
Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia 
Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:
Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:
- Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
- Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Na przykład możesz odjąć ułamek od ułamka, ponieważ ułamki mają te same mianowniki. Ale nie można odjąć ułamka od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Wspólny mianownik znajdujemy przy użyciu tej samej zasady, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad pierwszym ułamkiem. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad drugim ułamkiem.
Następnie ułamki mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki.
Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12
LCM (3 i 4) = 12
Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i
Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymamy 4. Napisz cztery nad pierwszym ułamkiem:
To samo robimy z drugim ułamkiem. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:
Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:
Otrzymaliśmy odpowiedź
Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę
To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Ułamki te będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika):
Pierwsze zdjęcie przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugie zdjęcie przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Przecinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć części.
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia 
Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.
Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.
Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:
Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:
Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:
Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.
Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:
Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Powinniśmy to uprościć. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek.
Aby skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez (NWD) liczby 20 i 30.
Znajdujemy więc gcd liczb 20 i 30:
Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony gcd, czyli przez 10
Otrzymaliśmy odpowiedź
Mnożenie ułamka przez liczbę
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.
Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.
Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1
Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli raz zjesz pizzę, dostaniesz pizzę
Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie zostanie zapisane jako , wówczas iloczyn będzie nadal równy . Ponownie zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka działa:
Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik ułamka przez 4
Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:
Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze
A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:
Mnożenie ułamków
Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeżeli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy zaznaczyć całą jej część.
Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.
Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:
Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:
Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:
I weź dwa z tych trzech kawałków:
Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:
Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:
Innymi słowy, mówimy o pizzy tej samej wielkości. Zatem wartość wyrażenia wynosi
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:
Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:
Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby skrócić ten ułamek, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.
Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:
Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez znaleziony teraz gcd, czyli przez 15
Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka
Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Nie zmieni to znaczenia pięciu, ponieważ wyrażenie to oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiemy, równa się pięć:
Liczby wzajemne
Teraz zapoznamy się z bardzo interesującym tematem z matematyki. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.
Definicja. Odwróć numerA to liczba, która po pomnożeniu przezA daje jeden.
Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:
Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.
Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:
Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Inaczej mówiąc, pomnóżmy ułamek sam, tylko do góry nogami:
Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:
Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.
Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.
Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.
Dzielenie ułamka przez liczbę
Powiedzmy, że mamy pół pizzy:
Podzielmy to równo pomiędzy dwa. Ile pizzy dostanie każda osoba?
Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwie równe części, z których każda stanowi pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.
Dzielenie ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Liczby odwrotne pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.
Aby podzielić ułamek przez liczbę, należy pomnożyć ułamek przez odwrotność dzielnika.
Korzystając z tej zasady zapiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.
Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dywidenda jest ułamkiem, a dzielnikiem jest liczba 2.
Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, należy pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotnością dzielnika 2 jest ułamek. Więc musisz pomnożyć przez
Aby poprawnie pomnożyć ułamek przez ułamek lub ułamek przez liczbę, musisz znać proste zasady. Przeanalizujemy teraz szczegółowo te zasady.
Mnożenie ułamka zwykłego przez ułamek.
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz obliczyć iloczyn liczników i iloczyn mianowników tych ułamków.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Spójrzmy na przykład:
Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a także mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ razy 3)(7 \razy 3) = \frac(4)(7)\\\)
Ułamek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) został zmniejszony o 3.
Mnożenie ułamka przez liczbę.
Na początek przypomnijmy sobie zasadę, dowolną liczbę można przedstawić jako ułamek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Skorzystajmy z tej zasady przy mnożeniu.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Ułamek niewłaściwy \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) przeliczone na ułamek mieszany.
Innymi słowy, Mnożąc liczbę przez ułamek, mnożymy liczbę przez licznik, a mianownik pozostawiamy bez zmian. Przykład:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Mnożenie ułamków mieszanych.
Aby pomnożyć ułamki mieszane, należy najpierw przedstawić każdy ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy, a następnie skorzystać z reguły mnożenia. Mnożymy licznik przez licznik i mnożymy mianownik przez mianownik.
Przykład:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Mnożenie ułamków i liczb odwrotnych.
Ułamek \(\bf \frac(a)(b)\) jest odwrotnością ułamka \(\bf \frac(b)(a)\), pod warunkiem, że a≠0,b≠0.
Ułamki \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazywane są ułamkami odwrotnymi. Iloczyn ułamków odwrotnych jest równy 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Przykład:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Powiązane pytania:
Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?
Odpowiedź: Iloczyn ułamków zwykłych to pomnożenie licznika przez licznik, mianownika przez mianownik. Aby uzyskać iloczyn ułamków mieszanych, należy je zamienić na ułamek niewłaściwy i pomnożyć zgodnie z zasadami.
Jak pomnożyć ułamki zwykłe o różnych mianownikach?
Odpowiedź: nie ma znaczenia, czy ułamki mają takie same czy różne mianowniki, mnożenie odbywa się zgodnie z zasadą znajdowania iloczynu licznika z licznikiem, mianownika z mianownikiem.
Jak pomnożyć ułamki mieszane?
Odpowiedź: najpierw musisz zamienić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, a następnie znaleźć iloczyn, korzystając z zasad mnożenia.
Jak pomnożyć liczbę przez ułamek?
Odpowiedź: mnożymy liczbę przez licznik, ale mianownik pozostawiamy bez zmian.
Przykład 1:
Oblicz iloczyn: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)
Rozwiązanie:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( czerwony) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Przykład nr 2:
Oblicz iloczyn liczby i ułamka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Rozwiązanie:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Przykład nr 3:
Zapisz odwrotność ułamka \(\frac(1)(3)\)?
Odpowiedź: \(\frac(3)(1) = 3\)
Przykład nr 4:
Oblicz iloczyn dwóch wzajemnie odwrotnych ułamków: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Rozwiązanie:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Przykład nr 5:
Czy ułamki odwrotne mogą być:
a) jednocześnie z właściwymi frakcjami;
b) jednocześnie ułamki niewłaściwe;
c) jednocześnie liczby naturalne?
Rozwiązanie:
a) Aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie, podamy przykład. Ułamek \(\frac(2)(3)\) jest właściwy, jego ułamek odwrotny będzie równy \(\frac(3)(2)\) - ułamkowi niewłaściwemu. Odpowiedź: nie.
b) prawie we wszystkich wyliczeniach ułamków warunek ten nie jest spełniony, ale są liczby, które spełniają warunek bycia jednocześnie ułamkiem niewłaściwym. Na przykład ułamek niewłaściwy to \(\frac(3)(3)\), jego ułamek odwrotny jest równy \(\frac(3)(3)\). Otrzymujemy dwa ułamki niewłaściwe. Odpowiedź: nie zawsze pod pewnymi warunkami, gdy licznik i mianownik są równe.
c) liczby naturalne to liczby, których używamy podczas liczenia, na przykład 1, 2, 3,…. Jeśli weźmiemy liczbę \(3 = \frac(3)(1)\), to jej odwrotnym ułamkiem będzie \(\frac(1)(3)\). Ułamek \(\frac(1)(3)\) nie jest liczbą naturalną. Jeśli przejdziemy przez wszystkie liczby, odwrotność liczby będzie zawsze ułamkiem zwykłym, z wyjątkiem 1. Jeśli weźmiemy liczbę 1, wówczas jej odwrotność będzie wynosić \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Liczba 1 jest liczbą naturalną. Odpowiedź: mogą być jednocześnie liczbami naturalnymi tylko w jednym przypadku, jeśli jest to liczba 1.
Przykład nr 6:
Wykonaj iloczyn ułamków mieszanych: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Rozwiązanie:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Przykład nr 7:
Czy dwie odwrotności mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi?
Spójrzmy na przykład. Weźmy ułamek mieszany \(1\frac(1)(2)\), znajdź jego ułamek odwrotny, w tym celu zamieniamy go na ułamek niewłaściwy \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Jego odwrotny ułamek będzie równy \(\frac(2)(3)\) . Ułamek \(\frac(2)(3)\) jest ułamkiem właściwym. Odpowiedź: Dwa ułamki wzajemnie odwrotne nie mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi.
Kolejną operacją, którą można wykonać na ułamkach zwykłych, jest mnożenie. Postaramy się wyjaśnić jego podstawowe zasady przy rozwiązywaniu problemów, pokazać, jak mnożyć ułamek zwykły przez liczbę naturalną i jak poprawnie pomnożyć trzy ułamki zwykłe lub więcej.
Zapiszmy najpierw podstawową zasadę:
Definicja 1
Jeśli pomnożymy jeden ułamek zwykły, wówczas licznik powstałego ułamka będzie równy iloczynowi liczników pierwotnych ułamków, a mianownik będzie równy iloczynowi ich mianowników. W formie dosłownej dla dwóch ułamków a / b i c / d można to wyrazić jako a b · c d = a · c b · d.
Spójrzmy na przykład prawidłowego zastosowania tej reguły. Załóżmy, że mamy kwadrat, którego bok jest równy jednej jednostce liczbowej. Następnie obszar figury będzie wynosić 1 kwadrat. jednostka. Jeśli podzielimy kwadrat na równe prostokąty o bokach równych 1 4 i 1 8 jednostkom liczbowym, otrzymamy, że składa się on teraz z 32 prostokątów (bo 8 4 = 32). Odpowiednio powierzchnia każdego z nich będzie równa 1 32 powierzchni całej figury, tj. 1 32 m2 jednostki.
Mamy zacieniony fragment o bokach równych 5 8 jednostkom liczbowym i 3 4 jednostkom liczbowym. Odpowiednio, aby obliczyć jego powierzchnię, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez drugi. Będzie to równe 5 8 · 3 4 mkw. jednostki. Ale możemy po prostu policzyć, ile prostokątów znajduje się we fragmencie: jest ich 15, co oznacza, że całkowita powierzchnia wynosi 15 32 jednostki kwadratowe.
Ponieważ 5 3 = 15 i 8 4 = 32, możemy napisać następującą równość:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Potwierdza to sformułowaną przez nas regułę mnożenia ułamków zwykłych, którą wyrażamy wzorem a b · c d = a · c b · d. Działa to tak samo dla ułamków właściwych i niewłaściwych; Można go używać do mnożenia ułamków zwykłych o różnych i identycznych mianownikach.
Przyjrzyjmy się rozwiązaniom kilku problemów związanych z mnożeniem ułamków zwykłych.
Przykład 1
Pomnóż 7 11 przez 9 8.
Rozwiązanie
Najpierw obliczmy iloczyn liczników wskazanych ułamków, mnożąc 7 przez 9. Mamy 63. Następnie obliczamy iloczyn mianowników i otrzymujemy: 11 · 8 = 88. Skomponujmy dwie liczby i odpowiedź brzmi: 63 88.
Całe rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Odpowiedź: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Jeśli w naszej odpowiedzi otrzymamy ułamek redukowalny, musimy dokończyć obliczenia i przeprowadzić jego redukcję. Jeśli otrzymamy ułamek niewłaściwy, musimy oddzielić od niego całą część.
Przykład 2
Oblicz iloczyn ułamków 4 15 i 55 6 .
Rozwiązanie
Zgodnie z regułą opisaną powyżej, licznik należy pomnożyć przez licznik, a mianownik przez mianownik. Rekord rozwiązania będzie wyglądał następująco:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Otrzymaliśmy ułamek redukowalny, tj. taki, który jest podzielny przez 10.
Skróćmy ułamek: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. W rezultacie otrzymujemy ułamek niewłaściwy, z którego wybieramy całą część i otrzymujemy liczbę mieszaną: 22 9 = 2 4 9.
Odpowiedź: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Dla ułatwienia obliczeń możemy także skrócić pierwotne ułamki przed wykonaniem operacji mnożenia, dla której musimy sprowadzić ułamek do postaci a · c b · d. Rozłóżmy wartości zmiennych na proste czynniki i zmniejszmy te same.
Wyjaśnijmy, jak to wygląda, korzystając z danych z konkretnego zadania.
Przykład 3
Oblicz iloczyn 4 15 55 6.
Rozwiązanie
Zapiszmy obliczenia w oparciu o zasadę mnożenia. Dostaniemy:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Ponieważ 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 i 6 = 2 3, to 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Odpowiedź: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Wyrażenie liczbowe, w którym mnożone są ułamki zwykłe, ma właściwość przemienności, czyli w razie potrzeby możemy zmienić kolejność czynników:
za b · do d = do re · za b = a · do b · re
Jak pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną
Zapiszmy od razu podstawową zasadę, a następnie spróbujmy ją wyjaśnić w praktyce.
Definicja 2
Aby pomnożyć ułamek zwykły przez liczbę naturalną, należy pomnożyć licznik tego ułamka przez tę liczbę. W takim przypadku mianownik końcowego ułamka będzie równy mianownikowi pierwotnego ułamka zwykłego. Mnożenie pewnego ułamka a b przez liczbę naturalną n można zapisać wzorem a b · n = a · n b.
Łatwo zrozumieć ten wzór, jeśli pamiętasz, że dowolną liczbę naturalną można przedstawić jako ułamek zwykły o mianowniku równym jeden, to znaczy:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Wyjaśnijmy naszą ideę na konkretnych przykładach.
Przykład 4
Oblicz iloczyn 2 27 razy 5.
Rozwiązanie
W wyniku pomnożenia licznika ułamka pierwotnego przez drugi współczynnik otrzymujemy 10. Zgodnie z powyższą regułą otrzymamy w rezultacie 10 27. Całe rozwiązanie podano w tym poście:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Odpowiedź: 2 27 5 = 10 27
Kiedy mnożymy liczbę naturalną przez ułamek, często musimy skrócić wynik lub przedstawić go jako liczbę mieszaną.
Przykład 5
Warunek: oblicz iloczyn 8 na 5 12.
Rozwiązanie
Zgodnie z powyższą zasadą mnożymy liczbę naturalną przez licznik. W rezultacie otrzymujemy, że 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Końcowy ułamek ma oznaki podzielności przez 2, więc musimy go zmniejszyć:
LCM (40, 12) = 4, więc 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Teraz wystarczy zaznaczyć całą część i zapisać gotową odpowiedź: 10 3 = 3 1 3.
W tym wpisie możesz zobaczyć całe rozwiązanie: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Moglibyśmy również zmniejszyć ułamek, rozkładając licznik i mianownik na czynniki pierwsze, a wynik byłby dokładnie taki sam.
Odpowiedź: 5 12 8 = 3 1 3.
Wyrażenie liczbowe, w którym liczba naturalna jest mnożona przez ułamek, ma również właściwość przemieszczenia, to znaczy kolejność czynników nie wpływa na wynik:
za b · n = n · za b = a · n b
Jak pomnożyć trzy lub więcej ułamków zwykłych
Do działania mnożenia ułamków zwykłych możemy rozszerzyć te same właściwości, które są charakterystyczne dla mnożenia liczb naturalnych. Wynika to z samej definicji tych pojęć.
Dzięki znajomości właściwości łączących i przemienności można pomnożyć trzy lub więcej ułamków zwyczajnych. Dopuszczalne jest przestawienie współczynników dla większej wygody lub ułożenie nawiasów w sposób ułatwiający liczenie.
Pokażmy na przykładzie, jak to się robi.
Przykład 6
Pomnóż cztery zwykłe ułamki zwykłe 1 20, 12 5, 3 7 i 5 8.
Rozwiązanie: Najpierw zarejestrujmy pracę. Otrzymujemy 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Musimy pomnożyć przez siebie wszystkie liczniki i wszystkie mianowniki: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Zanim zaczniemy mnożyć, możemy sobie trochę ułatwić sprawę i rozłożyć niektóre liczby na czynniki pierwsze w celu dalszej redukcji. Będzie to łatwiejsze niż zmniejszenie powstałej frakcji, która jest już gotowa.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9280
Odpowiedź: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.
Przykład 7
Pomnóż 5 liczb 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Rozwiązanie
Dla wygody możemy zgrupować ułamek 7 8 z liczbą 8, a liczbę 12 z ułamkiem 5 36, ponieważ przyszłe skróty będą dla nas oczywiste. W rezultacie otrzymamy:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
Odpowiedź: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki zwykłe (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszą częścią tych działań było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Teraz czas zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobra wiadomość jest taka, że te operacje są jeszcze prostsze niż dodawanie i odejmowanie. Rozważmy najpierw najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez oddzielonej części całkowitej.
Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki oddzielnie. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.
Aby podzielić dwa ułamki, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi ułamek.
Przeznaczenie:
Z definicji wynika, że dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby „odwrócić” ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego podczas całej lekcji będziemy się głównie zastanawiać nad mnożeniem.
W wyniku mnożenia może powstać ułamek redukowalny (i często powstaje) - należy go oczywiście zmniejszyć. Jeśli po wszystkich redukcjach ułamek okaże się nieprawidłowy, należy zaznaczyć całą część. Ale to, co na pewno nie stanie się w przypadku mnożenia, to redukcja do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, największych czynników i najmniejszych wspólnych wielokrotności.
Z definicji mamy:
Mnożenie ułamków zwykłych przez części całkowite i ułamki ujemne
Jeśli ułamki zawierają część całkowitą, należy je zamienić na niewłaściwe - i dopiero wtedy pomnożyć według schematów przedstawionych powyżej.
Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go usunąć z mnożenia lub całkowicie usunąć, zgodnie z następującymi zasadami:
- Plus przez minus daje minus;
- Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.
Do tej pory z tymi zasadami spotykano się jedynie przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy konieczne było pozbycie się całej części. W przypadku pracy można je uogólnić, aby „spalić” kilka wad jednocześnie:
- Negatywy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnych przypadkach może przetrwać jeden minus - ten, dla którego nie było partnera;
- Jeśli nie ma już minusów, operacja jest zakończona - możesz rozpocząć mnożenie. Jeżeli ostatni minus nie zostanie przekreślony, bo nie było dla niego pary, to wychodzimy poza granice mnożenia. Wynikiem jest ułamek ujemny.
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Wszystkie ułamki zwykłe zamieniamy na niewłaściwe, a następnie z mnożenia usuwamy minusy. To, co zostaje, mnożymy według zwykłych zasad. Otrzymujemy:
Jeszcze raz przypomnę, że minus występujący przed ułamkiem z zaznaczoną całą częścią odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego całej części (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).
Zwróć także uwagę na liczby ujemne: podczas mnożenia są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i zwiększenia dokładności całego zapisu.
Redukowanie ułamków na bieżąco
Mnożenie jest operacją bardzo pracochłonną. Liczby tutaj okazują się dość duże i aby uprościć problem, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami i dlatego można je zredukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Z definicji mamy:
We wszystkich przykładach liczby, które zostały zmniejszone i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.
Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na ich miejscu pozostają jednostki, których, ogólnie rzecz biorąc, nie trzeba zapisywać. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć całkowitej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal się zmniejszała.
Jednak nigdy nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami istnieją podobne liczby, które chcesz po prostu zmniejszyć. Spójrz:
Nie możesz tego zrobić!
Błąd występuje, ponieważ podczas dodawania licznik ułamka daje sumę, a nie iloczyn liczb. W związku z tym niemożliwe jest zastosowanie podstawowej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy konkretnie mnożenia liczb.
Po prostu nie ma innych powodów, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzedniego problemu wygląda następująco:
Prawidłowe rozwiązanie:
Jak widać, prawidłowa odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie rzecz biorąc, należy zachować ostrożność.
