Przykłady logarytmów o podstawach ułamkowych. Logarytm naturalny, funkcja ln x

Instrukcje

Zapisz podane wyrażenie logarytmiczne. Jeżeli w wyrażeniu używany jest logarytm liczby 10, to jego zapis ulega skróceniu i wygląda następująco: lg b jest logarytmem dziesiętnym. Jeżeli logarytm ma za podstawę liczbę e, to zapisz wyrażenie: ln b – logarytm naturalny. Rozumie się, że wynikiem any jest potęga, do której należy podnieść liczbę podstawową, aby otrzymać liczbę b.

Gdy znajdujesz sumę dwóch funkcji, wystarczy je rozróżnić i dodać wyniki: (u+v)" = u"+v";

Szukając pochodnej iloczynu dwóch funkcji należy pomnożyć pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodać pochodną drugiej funkcji pomnożoną przez pierwszą funkcję: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Aby znaleźć pochodną ilorazu dwóch funkcji, należy od iloczynu pochodnej dzielnej pomnożonej przez funkcję dzielnika odjąć iloczyn pochodnej dzielnika pomnożonej przez funkcję dzielnej i podzielić wszystko to przez funkcję dzielnika do kwadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeśli podana jest funkcja złożona, należy pomnożyć pochodną funkcji wewnętrznej i pochodną funkcji zewnętrznej. Niech y=u(v(x)), wtedy y"(x)=y"(u)*v"(x).

Korzystając z wyników uzyskanych powyżej, można rozróżnić prawie każdą funkcję. Spójrzmy więc na kilka przykładów:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Istnieją również problemy związane z obliczaniem pochodnej w punkcie. Niech będzie podana funkcja y=e^(x^2+6x+5), należy znaleźć wartość funkcji w punkcie x=1.
1) Znajdź pochodną funkcji: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Oblicz wartość funkcji w danym punkcie y"(1)=8*e^0=8

Wideo na ten temat

Pomocna rada

Poznaj tabelę elementarnych pochodnych. Pozwoli to znacznie zaoszczędzić czas.

Źródła:

• pochodna stałej

Jaka jest więc różnica między równaniem irracjonalnym a równaniem racjonalnym? Jeśli nieznana zmienna znajduje się pod pierwiastkiem kwadratowym, równanie uważa się za niewymierne.

Instrukcje

Główną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda konstruowania obu stron równania w kwadrat. Jednakże. jest to naturalne, pierwszą rzeczą, którą musisz zrobić, to pozbyć się znaku. Metoda ta nie jest trudna technicznie, lecz czasem może przysporzyć kłopotów. Na przykład równanie ma postać v(2x-5)=v(4x-7). Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymasz 2x-5 = 4x-7. Rozwiązanie takiego równania nie jest trudne; x=1. Ale numer 1 nie zostanie podany równania. Dlaczego? Podstaw jeden do równania zamiast wartości x. To znaczy prawa i lewa strona będą zawierać wyrażenia, które nie mają sensu. Ta wartość nie dotyczy pierwiastka kwadratowego. Dlatego 1 jest obcym pierwiastkiem i dlatego to równanie nie ma pierwiastków.

Zatem irracjonalne równanie rozwiązuje się metodą podniesienia obu jego stron do kwadratu. Po rozwiązaniu równania konieczne jest odcięcie obcych korzeni. Aby to zrobić, podstaw znalezione pierwiastki do pierwotnego równania.

Rozważ inny.
2х+vх-3=0
Oczywiście równanie to można rozwiązać za pomocą tego samego równania, co poprzednie. Przesuń związki równania, które nie mają pierwiastka kwadratowego, po prawej stronie, a następnie zastosuj metodę podniesienia do kwadratu. rozwiązać powstałe racjonalne równanie i pierwiastki. Ale także inny, bardziej elegancki. Wprowadź nową zmienną; vх=y. W związku z tym otrzymasz równanie w postaci 2y2+y-3=0. Oznacza to, że jest to zwykłe równanie kwadratowe. Znajdź swoje korzenie; y1=1 i y2=-3/2. Następnie rozwiąż dwa równania vх=1; vх=-3/2. Drugie równanie nie ma pierwiastków, z pierwszego wynika, że ​​x=1. Nie zapomnij sprawdzić korzeni.

Rozwiązywanie tożsamości jest dość proste. Aby to zrobić, należy przeprowadzić identyczne przekształcenia, aż do osiągnięcia założonego celu. Zatem za pomocą prostych działań arytmetycznych postawiony problem zostanie rozwiązany.

Będziesz potrzebować

• - papier;
• - długopis.

Instrukcje

Najprostszymi tego typu przekształceniami są algebraiczne skrócone mnożenia (takie jak kwadrat sumy (różnicy), różnica kwadratów, suma (różnica), sześcian sumy (różnica)). Ponadto istnieje wiele wzorów trygonometrycznych, które są zasadniczo tymi samymi tożsamościami.

Rzeczywiście, kwadrat sumy dwóch wyrazów jest równy kwadratowi pierwszego plus dwukrotność iloczynu pierwszego przez drugi plus kwadrat drugiego, czyli (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Uprość oba

Ogólne zasady rozwiązania

Powtórz z podręcznika analizy matematycznej lub wyższej matematyki, czym jest całka oznaczona. Jak wiadomo rozwiązaniem całki oznaczonej jest funkcja, której pochodna da całkę. Funkcja ta nazywana jest funkcją pierwotną. W oparciu o tę zasadę konstruowane są całki główne.
Określ na podstawie rodzaju całki, która z całek tabeli jest odpowiednia w tym przypadku. Nie zawsze da się to od razu ustalić. Często postać tabelaryczna staje się zauważalna dopiero po kilku przekształceniach w celu uproszczenia całki.

Zmienna metoda wymiany

Jeżeli całką jest funkcja trygonometryczna, której argumentem jest wielomian, to spróbuj zastosować metodę zmiany zmiennych. W tym celu należy zastąpić wielomian w argumencie całki jakąś nową zmienną. Na podstawie relacji pomiędzy nową i starą zmienną wyznacz nowe granice całkowania. Różniczkując to wyrażenie, znajdź nową różnicę w . Otrzymasz w ten sposób nową postać poprzedniej całki, bliską lub nawet odpowiadającą jakiejś tabelarycznej.

Rozwiązywanie całek drugiego rodzaju

Jeśli całka jest całką drugiego rodzaju, czyli wektorową formą całki, wówczas będziesz musiał skorzystać z zasad przejścia od tych całek do całek skalarnych. Jedną z takich reguł jest relacja Ostrogradskiego-Gaussa. Prawo to pozwala nam przejść od strumienia wirnika określonej funkcji wektorowej do całki potrójnej po rozbieżności danego pola wektorowego.

Podstawienie granic całkowych

Po znalezieniu funkcji pierwotnej należy podstawić granice całkowania. Najpierw podstaw wartość górnej granicy do wyrażenia funkcji pierwotnej. Dostaniesz jakiś numer. Następnie odejmij od otrzymanej liczby inną liczbę uzyskaną z dolnej granicy do funkcji pierwotnej. Jeśli jedną z granic całkowania jest nieskończoność, to podstawiając ją do funkcji pierwotnej, należy dotrzeć do granicy i znaleźć, do czego dąży wyrażenie.
Jeśli całka jest dwuwymiarowa lub trójwymiarowa, wówczas będziesz musiał geometrycznie przedstawić granice całkowania, aby zrozumieć, jak obliczyć całkę. Rzeczywiście, w przypadku, powiedzmy, całki trójwymiarowej, granicami całkowania mogą być całe płaszczyzny ograniczające całkowaną objętość.

Definicja logarytmu

Logarytm b o podstawie a jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać b.

Numer mi w matematyce zwyczajowo oznacza się granicę, do której dąży wyrażenie

Numer mi Jest Liczba niewymierna- liczba niewspółmierna z jednością, której nie można dokładnie wyrazić ani jako liczbę całkowitą, ani jako ułamek racjonalny numer.

List mi- pierwsza litera słowa łacińskiego wyjaśniać- popisywać się, stąd nazwa w matematyce wykładniczy- funkcja wykładnicza.

Numer mi szeroko stosowane w matematyce oraz we wszystkich naukach, które w taki czy inny sposób wykorzystują obliczenia matematyczne dla swoich potrzeb.

Logarytmy. Własności logarytmów

Definicja: Logarytm liczby dodatniej b do jej podstawy jest wykładnikiem c, do którego należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna:

7) Formuła przeniesienia do nowej bazy:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Zadania i testy na temat „Logarity. Właściwości logarytmów”

• Logarytmy — ważne tematy do powtórzenia jednolitego egzaminu państwowego z matematyki

Aby pomyślnie wykonać zadania z tego tematu, musisz znać definicję logarytmu, właściwości logarytmów, podstawową tożsamość logarytmiczną, definicje logarytmu dziesiętnego i naturalnego. Głównymi typami problemów w tym temacie są problemy związane z obliczaniem i transformacją wyrażeń logarytmicznych. Rozważmy ich rozwiązanie na podstawie poniższych przykładów.

Rozwiązanie: Korzystając z właściwości logarytmów, otrzymujemy

Rozwiązanie: Korzystając z właściwości stopni, otrzymujemy

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Własności logarytmów, formuły i dowody.

Logarytmy mają wiele charakterystycznych właściwości. W tym artykule przyjrzymy się głównym właściwości logarytmów. Tutaj podamy ich sformułowania, zapiszemy właściwości logarytmów w postaci wzorów, pokażemy przykłady ich zastosowania, a także przedstawimy dowód właściwości logarytmów.

Nawigacja strony.

Podstawowe własności logarytmów, wzory

Dla ułatwienia zapamiętania i użycia wyobraźmy sobie podstawowe własności logarytmów w formie listy formuł. W kolejnym akapicie podamy ich formuły, dowody, przykłady użycia i niezbędne wyjaśnienia.

Własność logarytmu jedności: log a 1=0 dla dowolnego a>0, a≠1.

Logarytm liczby równej podstawie: log a a=1 dla a>0, a≠1.

Własność logarytmu potęgi podstawy: log a a p = p, gdzie a>0, a≠1 i p jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
oraz własność logarytmu iloczynu n liczb dodatnich: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .

Własność logarytmu ilorazu: , gdzie a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logarytm potęgi liczby: log a b p =p·log a |b| , gdzie a>0, a≠1, b i p są liczbami takimi, że stopień b p ma sens, a b p > 0.

Konsekwencja: , gdzie a>0, a≠1, n jest liczbą naturalną większą niż jeden, b>0.

Wniosek 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.

Wniosek 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p i q są liczbami rzeczywistymi, q≠0 , w szczególności dla b=a mamy .

Preparaty i dowody właściwości

Przystępujemy do formułowania i udowadniania zapisanych właściwości logarytmów. Wszystkie własności logarytmów dowodzi się w oparciu o definicję logarytmu i wynikającą z niego podstawową tożsamość logarytmiczną oraz własności stopnia.

Zacznijmy właściwości logarytmu jedności. Jego sformułowanie jest następujące: logarytm jedności jest równy zeru, to znaczy zapisz 1=0 dla dowolnego a>0, a≠1. Dowód nie jest trudny: skoro a 0 =1 dla dowolnego a spełniającego powyższe warunki a>0 i a≠1, to logarytm równości a 1=0 do udowodnienia wynika bezpośrednio z definicji logarytmu.

Podajmy przykłady zastosowania rozważanej właściwości: log 3 1=0, log1=0 i .

Przejdźmy do kolejnej właściwości: logarytm liczby równej podstawie jest równy jeden, to jest, log a=1 dla a>0, a≠1. Rzeczywiście, ponieważ a 1 = a dla dowolnego a, to z definicji logarytmu logarytmicznego a a = 1.

Przykładami wykorzystania tej właściwości logarytmów są log równości 5 5=1, log 5,6 5,6 i lne=1.

Logarytm potęgi liczby równej podstawie logarytmu jest równy wykładnikowi. Ta właściwość logarytmu odpowiada formule postaci log a a p = p, gdzie a>0, a≠1 i p – dowolna liczba rzeczywista. Właściwość ta wynika bezpośrednio z definicji logarytmu. Zauważ, że pozwala to na natychmiastowe wskazanie wartości logarytmu, jeśli możliwe jest przedstawienie liczby pod znakiem logarytmu jako potęgi podstawy, więcej na ten temat porozmawiamy w artykule obliczanie logarytmów.

Na przykład log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 i .

Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich x i y są równe iloczynowi logarytmów tych liczb: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Udowodnijmy własność logarytmu iloczynu. Ze względu na właściwości stopnia a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, a ponieważ na podstawie głównej tożsamości logarytmicznej a log a x =x i log a y =y, to log a x ·a log a y =x· y. Zatem log a x+log a y =x·y, z którego, zgodnie z definicją logarytmu, wynika dowód równości.

Pokażmy przykłady wykorzystania własności logarytmu iloczynu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i .

Właściwość logarytmu iloczynu można uogólnić na iloczyn skończonej liczby n liczb dodatnich x 1 , x 2 , …, x n jako log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Równość tę można bez problemu udowodnić, stosując metodę indukcji matematycznej.

Na przykład logarytm naturalny iloczynu można zastąpić sumą trzech logarytmów naturalnych liczb 4, e i.

Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich x i y są równe różnicy między logarytmami tych liczb. Właściwość logarytmu ilorazu odpowiada formule postaci , gdzie a>0, a≠1, x i y są liczbami dodatnimi. Udowodniono ważność tego wzoru, a także wzoru na logarytm iloczynu: ponieważ , to z definicji logarytmu .

Oto przykład wykorzystania tej właściwości logarytmu: .

Przejdźmy dalej własność logarytmu potęgi. Logarytm stopnia jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu modułu podstawy tego stopnia. Zapiszmy tę właściwość logarytmu potęgi jako wzór: log a b p =p·log a |b|, gdzie a>0, a≠1, b i p są liczbami takimi, że stopień b p ma sens, a b p > 0.

Najpierw udowodnimy tę właściwość dla dodatniego b. Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala przedstawić liczbę b jako log a b , następnie b p =(a log a b) p , a wynikowe wyrażenie, ze względu na własność potęgi, jest równe a p·log a b . Dochodzimy więc do równości b p =a p·log a b, z której z definicji logarytmu wnioskujemy, że log a b p =p·log a b.

Pozostaje udowodnić tę własność dla ujemnego b. Zauważmy tutaj, że wyrażenie log a b p dla ujemnego b ma sens tylko dla parzystych wykładników p (ponieważ wartość stopnia b p musi być większa od zera, w przeciwnym razie logarytm nie będzie miał sensu), i w tym przypadku b p =|b| P. Następnie b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , skąd log a b p =p·log a |b| .

Na przykład, i ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Wynika to z poprzedniej właściwości właściwość logarytmu z pierwiastka: logarytm n-tego pierwiastka jest równy iloczynowi ułamka 1/n przez logarytm wyrażenia pierwiastkowego, czyli gdzie a>0, a≠1, n jest liczbą naturalną większą od jedności, b>0 .

Dowód opiera się na równości (patrz definicja wykładnika z wykładnikiem ułamkowym), która obowiązuje dla dowolnego dodatniego b, oraz na własności logarytmu wykładnika: .

Oto przykład użycia tej właściwości: .

Teraz udowodnijmy wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu Uprzejmy . Aby to zrobić, wystarczy udowodnić ważność logu równości c b=log a b·log c a. Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala nam przedstawić liczbę b jako log a b , a następnie log c b=log c a log a b . Pozostaje skorzystać z własności logarytmu stopnia: log c a log a b =log a b·log c a . Dowodzi to równości log c b=log a b·log c a, co oznacza, że ​​wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu jest również udowodniony .

Pokażmy kilka przykładów wykorzystania tej właściwości logarytmów: i .

Wzór na przejście do nowej podstawy pozwala przejść do pracy z logarytmami, które mają „wygodną” podstawę. Można go na przykład użyć do zmiany logarytmów naturalnych lub dziesiętnych, aby móc obliczyć wartość logarytmu z tabeli logarytmów. Wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu pozwala również w niektórych przypadkach znaleźć wartość danego logarytmu, gdy znane są wartości niektórych logarytmów o innych podstawach.

Często używany jest szczególny przypadek wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu dla c=b postaci. To pokazuje, że log a b i log b a są liczbami wzajemnie odwrotnymi. Np, .

Często stosuje się również formułę, która jest wygodna do znajdowania wartości logarytmów. Na potwierdzenie naszych słów pokażemy, jak można je wykorzystać do obliczenia wartości logarytmu postaci . Mamy . Aby udowodnić wzór, wystarczy skorzystać ze wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu a: .

Pozostaje udowodnić właściwości porównywania logarytmów.

Zastosujmy metodę odwrotną. Załóżmy, że dla a 1 >1, a 2 >1 i a 1 2 i dla 0 1 log a 1 b ≤ log a 2 b jest prawdziwe. W oparciu o właściwości logarytmów nierówności te można przepisać jako I odpowiednio i z nich wynika, że ​​odpowiednio log b a 1 ≤ log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2. Wtedy, zgodnie z własnościami potęg o tych samych podstawach, muszą spełniać równości b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, czyli a 1 ≥a 2 . Doszliśmy więc do sprzeczności z warunkiem a 1 2. To kończy dowód.

Podstawowe własności logarytmów

• Materiały do ​​lekcji
• Pobierz wszystkie formuły

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: zarejestruj x i zarejestruj a y. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Formuły te pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 6 4 + log 6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli zachowa się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie wzory nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie , tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu. To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

[Podpis do zdjęcia]

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mamy:

[Podpis do zdjęcia]

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy ułamek skrócić - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech będzie podany logarytm log a x. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

[Podpis do zdjęcia]

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

[Podpis do zdjęcia]

Z drugiego wzoru wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

[Podpis do zdjęcia]

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

[Podpis do zdjęcia]

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

[Podpis do zdjęcia]

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

1. n = log a an

2. W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

   Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: podstawowa tożsamość logarytmiczna.

   W rzeczywistości, co się stanie, jeśli liczbę b podniesie się do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: wynikiem jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

   Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

   [Podpis do zdjęcia]

   Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wzięliśmy kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

   [Podpis do zdjęcia]

   Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

   Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

   Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

   1. log a a = 1 jest jednostką logarytmiczną. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
   2. log a 1 = 0 jest logarytmicznym zerem. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

   To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

   Logarytm. Własności logarytmu (dodawanie i odejmowanie).

   Własności logarytmu wynika z jego definicji. I tak logarytm liczby B oparte na A definiuje się jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę A aby uzyskać numer B(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

   Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenie x=log a b, jest równoznaczne z rozwiązaniem równania a x = b. Na przykład, log 2 8 = 3 ponieważ 8 = 2 3 . Sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić, że jeśli b=ac, a następnie logarytm liczby B oparte na A równa się Z. Jasne jest również, że temat logarytmów jest ściśle powiązany z tematem potęg.

   Z logarytmami, jak z dowolnymi liczbami, możesz to zrobić operacje dodawania, odejmowania i przekształcać na wszelkie możliwe sposoby. Ale ze względu na fakt, że logarytmy nie są całkowicie zwykłymi liczbami, obowiązują tutaj ich własne specjalne zasady, które są tzw główne właściwości.

   Dodawanie i odejmowanie logarytmów.

   Weźmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: zapisz x I zaloguj się. Można wówczas wykonywać operacje dodawania i odejmowania:

   Jak widzimy, suma logarytmów jest równy logarytmowi iloczynu, oraz różnica logarytmy- logarytm ilorazu. Co więcej, jest to prawdą, jeśli liczby A, X I Na pozytywne i a ≠ 1.

   Należy zauważyć, że głównym aspektem tych formuł są te same podstawy. Jeżeli podstawy są inne, zasady te nie obowiązują!

   Zasady dodawania i odejmowania logarytmów o tych samych podstawach czyta się nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie. W rezultacie mamy twierdzenia dotyczące logarytmu iloczynu i logarytmu ilorazu.

   Logarytm iloczynu dwie liczby dodatnie są równe sumie ich logarytmów ; przeformułowując to twierdzenie, otrzymujemy następujące liczby A, X I Na pozytywne i a ≠ 1, To:

   Logarytm ilorazu dwie liczby dodatnie są równe różnicy między logarytmami dywidendy i dzielnika. Inaczej mówiąc, jeśli liczby A, X I Na pozytywne i a ≠ 1, To:

   Zastosujmy powyższe twierdzenia do rozwiązania przykłady:

   Jeśli liczby X I Na są zatem negatywne wzór na logarytm iloczynu staje się bez znaczenia. Zabrania się zatem pisania:

   ponieważ wyrażenia log 2 (-8) i log 2 (-4) w ogóle nie są zdefiniowane (funkcja logarytmiczna Na= log 2 X zdefiniowane tylko dla dodatnich wartości argumentów X).

   Twierdzenie o produkcie ma zastosowanie nie tylko dla dwóch, ale także dla nieograniczonej liczby czynników. Oznacza to, że dla każdego naturalnego k i dowolne liczby dodatnie X 1 , X 2 , . . . ,x rz istnieje tożsamość:

   Z twierdzenie o iloraz logarytmu Można uzyskać jeszcze jedną właściwość logarytmu. Powszechnie wiadomo, że log A Zatem 1 = 0

   Oznacza to, że zachodzi równość:

   Logarytmy dwóch liczb odwrotnych z tego samego powodu będą się różnić od siebie jedynie znakiem. Więc:

   Logarytm. Własności logarytmów

   Logarytm. Własności logarytmów

   Rozważmy równość. Daj nam znać wartości i i chcemy znaleźć wartość .

   Oznacza to, że szukamy wykładnika, o który musimy go przechylić, aby uzyskać .

   Pozwalać zmienna może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą, wówczas na zmienne nakładane są następujące ograniczenia: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

   Jeśli znamy wartości i i stajemy przed zadaniem znalezienia nieznanego, wówczas w tym celu wprowadza się operację matematyczną, która nazywa się logarytm.

   Aby znaleźć wartość, którą przyjmujemy logarytm liczby Przez podstawa :

   Logarytm liczby oparty na jej podstawie jest wykładnikiem, do którego należy ją podnieść, aby otrzymać .

   To jest podstawowa tożsamość logarytmiczna:

   o» tytuł=»a>o»/> , 1″ tytuł=»a1″/>, 0″ tytuł=»b>0″/>

   jest zasadniczo zapisem matematycznym definicje logarytmu.

   Matematyczne działanie logarytmu jest odwrotnością działania potęgowania, tzw właściwości logarytmów są ściśle powiązane z właściwościami stopnia.

   Wymieńmy główne właściwości logarytmów:

   (o" title="a>o"/> , 1″ tytuł=»a1″/>, 0″ tytuł=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ tytuł=”d1″/>

   4.

   5.

   Poniższa grupa właściwości pozwala przedstawić wykładnik wyrażenia pod znakiem logarytmu lub stojący u podstawy logarytmu w postaci współczynnika przed znakiem logarytmu:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Kolejna grupa formuł pozwala przejść od logarytmu o danej podstawie do logarytmu o dowolnej podstawie i nazywa się formuły przejścia do nowej bazy:

   10.

   12. (wniosek z właściwości 11)

   

   Poniższe trzy właściwości nie są dobrze znane, ale często są używane przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych lub przy upraszczaniu wyrażeń zawierających logarytmy:

   13.

   14.

   15.

   Specjalne przypadki:

   — logarytm dziesiętny

   — naturalny logarytm

   Przy upraszczaniu wyrażeń zawierających logarytmy stosuje się podejście ogólne:

   1. Ułamki dziesiętne przedstawiamy jako ułamki zwykłe.

   2. Liczby mieszane przedstawiamy jako ułamki niewłaściwe.

   3. Liczby u podstawy logarytmu i pod znakiem logarytmu rozkładamy na proste czynniki.

   4. Próbujemy sprowadzić wszystkie logarytmy do tej samej podstawy.

   5. Zastosuj własności logarytmów.

   Spójrzmy na przykłady upraszczania wyrażeń zawierających logarytmy.

   Przykład 1.

   Oblicz:

   Uprośćmy wszystkie wykładniki: naszym zadaniem jest sprowadzić je do logarytmów, których podstawa jest tą samą liczbą, co podstawa wykładnika.

   ==(według właściwości 7)=(według właściwości 6) =

   Zastąpmy wskaźniki, które otrzymaliśmy, oryginalnym wyrażeniem. Otrzymujemy:

   Odpowiedź: 5,25

   Przykład 2. Oblicz:

   

   Sprowadźmy wszystkie logarytmy do podstawy 6 (w tym przypadku logarytmy z mianownika ułamka „migrują” do licznika):

   Rozłóżmy liczby pod znakiem logarytmu na proste czynniki:

   Zastosujmy właściwości 4 i 6:

   Przedstawmy zamiennik

   Otrzymujemy:

   Odpowiedź 1

   Logarytm . Podstawowa tożsamość logarytmiczna.

   Własności logarytmów. Logarytm dziesiętny. Naturalny logarytm.

   Logarytm liczba dodatnia N do podstawy (B > 0, B 1) jest wykładnikiem x, do którego należy podnieść b, aby otrzymać N .

   Ten wpis jest równoważny następującemu wpisowi: b x = N .

   Przykłady: log 3 81 = 4, ponieważ 3 4 = 81;

   log 1/3 27 = – 3, ponieważ (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Powyższą definicję logarytmu można zapisać jako tożsamość:

   

   Podstawowe własności logarytmów.

   2) log 1 = 0, ponieważ B 0 = 1 .

   3) Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników:

   4) Logarytm ilorazu jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnika:

   5) Logarytm potęgi jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu jej podstawy:

   Konsekwencją tej właściwości jest następująca: logarytm pierwiastka równy logarytmowi liczby pierwiastkowej podzielonej przez potęgę pierwiastka:

   

   6) Jeśli podstawą logarytmu jest stopień, to wartość odwrotność wykładnika można zapisać jako rym logarytmiczny:

   

   Dwie ostatnie właściwości można połączyć w jedną:

   

   7) Wzór na moduł przejścia (tj. przejście z jednej podstawy logarytmu na drugą):

   

   W szczególnym przypadku, kiedy nie dotyczy mamy:

   

   Logarytm dziesiętny zwany logarytm podstawowy 10. Oznacza się lg, tj. log 10 N= log N. Logarytmy liczb 10, 100, 1000, . p to odpowiednio 1, 2, 3, …, tj. mieć tak wiele pozytywów

   jednostki, ile zer jest w liczbie logarytmicznej po jedności. Logarytmy liczb 0,1, 0,01, 0,001, . p wynoszą odpowiednio –1, –2, –3, …, tj. mieć tyle liczb ujemnych, ile jest zer w liczbie logarytmicznej przed jedynką (wliczając liczby całkowite zerowe). Logarytmy innych liczb mają część ułamkową zwaną mantysa. Nazywa się część całkowitą logarytmu Charakterystyka. W praktyce najwygodniejsze są logarytmy dziesiętne.

   Naturalny logarytm zwany logarytm podstawowy mi. Oznacza się to przez ln, tj. dziennik mi N= log N. Numer mi jest irracjonalne, jego przybliżona wartość wynosi 2,718281828. Jest to granica, do której zmierza liczba (1 + 1 / N) N z nieograniczonym wzrostem N(cm. pierwszy wspaniały limit na stronie „Limity sekwencji liczb”).
   Choć może się to wydawać dziwne, logarytmy naturalne okazały się bardzo wygodne przy wykonywaniu różnego rodzaju operacji związanych z analizą funkcji. Obliczanie logarytmów do podstawy mi odbywa się znacznie szybciej niż z jakiegokolwiek innego powodu.

• Co jest dziś potrzebne, aby adoptować dziecko w Rosji? Adopcja w Rosji, oprócz odpowiedzialnej decyzji osobistej, wiąże się z szeregiem procedur państwowej weryfikacji kandydatów. Rygorystyczna selekcja na etapie przygotowawczym przyczynia się do większej […]
• Bezpłatne informacje o NIP lub OGRN z rejestru podatkowego w całej Rosji - online W Portalu Jednolitych Usług Podatkowych znajdują się informacje o państwowej rejestracji osób prawnych, indywidualnych przedsiębiorców, […]
• Kara za jazdę bez dokumentów (prawo jazdy, ubezpieczenie, STS) Zdarza się, że przez zapomnienie kierowca wsiada za kierownicę bez prawa jazdy i za jazdę bez dokumentów otrzymuje mandat. Przypominamy, że miłośnik motoryzacji zobowiązany jest posiadać […]
• Kwiaty dla mężczyzn. Jakie kwiaty można dać mężczyźnie? Jakie kwiaty można dać mężczyźnie? Nie ma zbyt wielu kwiatów „męskich”, ale są takie, które wręcza się mężczyznom. Mała lista kwiatów przed tobą: Chryzantemy. Róże. Goździki. […]
• Notatka wewnętrzna to specjalna forma dokumentu stosowana w środowisku wewnętrznym przedsiębiorstwa i służąca szybkiemu rozwiązywaniu bieżących problemów produkcyjnych. Zazwyczaj dokument ten jest sporządzany w celu wprowadzenia niektórych […]
• Kiedy i jak otrzymać kapitałową część emerytury od Sbierbanku? Sbierbank jest bankiem partnerskim państwowego funduszu emerytalnego. Na tej podstawie obywatele, którzy zarejestrowali się do emerytury kapitałowej, mogli przenieść część kapitałową […]
• Zasiłki na dzieci w Uljanowsku i obwodzie uljanowskim w 2018 r. Ponadto we wszystkich regionach działają programy zatwierdzone przez ustawodawstwo federalne. Przyjrzyjmy się, kto może liczyć na jakie świadczenia. Jak władze regionalne […]
• Szczegółowe wytyczne dotyczące sporządzenia pełnomocnictwa do reprezentowania interesów jednostki przed sądem W pozwie cywilnym lub arbitrażowym, w sprawie administracyjnej lub karnej interesy zarówno powoda, jak i pozwanego może reprezentować pełnomocnik: […]

Jak wiadomo, przy mnożeniu wyrażeń przez potęgi ich wykładniki zawsze się sumują (a b *a c = a b+c). To prawo matematyczne zostało wyprowadzone przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tabelę wykładników całkowitych. To oni posłużyli do dalszego odkrycia logarytmów. Przykłady wykorzystania tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie trzeba uprościć uciążliwe mnożenie poprzez proste dodawanie. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prostym i przystępnym językiem.

Definicja w matematyce

Logarytm jest wyrażeniem w postaci: log a b=c, to znaczy logarytm dowolnej liczby nieujemnej (czyli dowolnej liczby dodatniej) „b” do jej podstawy „a” jest uważany za potęgę „c” ”, do którego należy podnieść podstawę „a”, aby ostatecznie otrzymać wartość „b”. Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że istnieje wyrażenie log 2 8. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, trzeba znaleźć taką potęgę, aby od 2 do wymaganej potęgi otrzymać 8. Po wykonaniu kilku obliczeń w głowie otrzymamy liczbę 3! I to prawda, ponieważ 2 do potęgi 3 daje odpowiedź 8.

Rodzaje logarytmów

Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są takie straszne, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i niektórych zasad. Istnieją trzy różne typy wyrażeń logarytmicznych:

1. Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e = 2,7).
2. Dziesiętne a, gdzie podstawa wynosi 10.
3. Logarytm dowolnej liczby b o podstawie a>1.

Każdy z nich rozwiązuje się w sposób standardowy, obejmujący uproszczenie, redukcję i późniejszą redukcję do jednego logarytmu za pomocą twierdzeń logarytmicznych. Aby uzyskać prawidłowe wartości logarytmów, należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności działań przy ich rozwiązywaniu.

Zasady i pewne ograniczenia

W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomat, to znaczy nie podlegają dyskusji i są prawdą. Na przykład nie da się podzielić liczb przez zero, nie da się też wyodrębnić pierwiastka parzystego z liczb ujemnych. Logarytmy również mają swoje własne zasady, zgodnie z którymi można łatwo nauczyć się pracy nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:

• Podstawa „a” musi być zawsze większa od zera, a nie równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci sens, ponieważ „1” i „0” w dowolnym stopniu są zawsze równe swoim wartościom;
• jeśli a > 0, to a b > 0, to okazuje się, że „c” również musi być większe od zera.

Jak rozwiązywać logarytmy?

Na przykład zadanie polega na znalezieniu odpowiedzi na równanie 10 x = 100. Jest to bardzo proste, musisz wybrać potęgę, podnosząc liczbę dziesięć do uzyskania 100. To oczywiście jest 10 2 = 100.

Przedstawmy teraz to wyrażenie w formie logarytmicznej. Otrzymujemy log 10 100 = 2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie działania praktycznie zbiegają się, aby znaleźć potęgę, do której należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby otrzymać daną liczbę.

Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. To wygląda tak:

Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczny umysł i wiedzę o tabliczce mnożenia. Jednak w przypadku większych wartości będziesz potrzebować tabeli mocy. Mogą z niego korzystać nawet ci, którzy nie mają zielonego pojęcia o skomplikowanych zagadnieniach matematycznych. W lewej kolumnie znajdują się liczby (podstawa a), górny rząd liczb to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu komórki zawierają wartości liczbowe będące odpowiedzią (a c =b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że nawet najbardziej prawdziwy humanista zrozumie!

Równania i nierówności

Okazuje się, że w pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równość logarytmiczną. Na przykład 3 4 = 81 można zapisać jako logarytm o podstawie 3 z 81 równy cztery (log 3 81 = 4). W przypadku potęg ujemnych zasady są takie same: 2 -5 = 1/32 zapisujemy jako logarytm, otrzymujemy log 2 (1/32) = -5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Przyjrzymy się przykładom i rozwiązaniom równań poniżej, zaraz po przestudiowaniu ich właściwości. Przyjrzyjmy się teraz, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.

Podawane jest wyrażenie: log 2 (x-1) > 3 - jest to nierówność logarytmiczna, gdyż nieznana wartość „x” znajduje się pod znakiem logarytmicznym. A także w wyrażeniu porównywane są dwie wielkości: logarytm żądanej liczby do podstawy dwa jest większy niż liczba trzy.

Najważniejsza różnica między równaniami logarytmicznymi a nierównością polega na tym, że równania z logarytmami (na przykład logarytm 2 x = √9) implikują w odpowiedzi jedną lub więcej określonych wartości liczbowych, natomiast przy rozwiązywaniu nierówności zarówno zakres akceptowalnych wartości​​i punkty wyznaczane są z naruszeniem tej funkcji. W rezultacie odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w przypadku odpowiedzi na równanie, ale ciągłą serią lub zbiorem liczb.

Podstawowe twierdzenia o logarytmach

Podczas rozwiązywania prymitywnych zadań znajdowania wartości logarytmu jego właściwości mogą nie być znane. Jeśli jednak chodzi o równania czy nierówności logarytmiczne, to przede wszystkim należy jasno zrozumieć i zastosować w praktyce wszystkie podstawowe właściwości logarytmów. Przyjrzymy się przykładom równań później; najpierw przyjrzyjmy się każdej właściwości bardziej szczegółowo.

1. Główna tożsamość wygląda następująco: a logaB =B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe niż 0, a nie równe jedności, a B jest większe niż zero.
2. Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. W tym przypadku warunkiem obowiązkowym jest: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Możesz przedstawić dowód tej formuły logarytmicznej wraz z przykładami i rozwiązaniem. Zapiszmy a s 1 = f 1 i zalogujmy a s 2 = f 2, następnie a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otrzymujemy, że s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (własności stopnie ), a następnie z definicji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, co należało udowodnić.
3. Logarytm ilorazu wygląda następująco: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Twierdzenie w postaci wzoru przyjmuje następującą postać: log a q b n = n/q log a b.

Wzór ten nazywany jest „właściwością stopnia logarytmu”. Przypomina to właściwości zwykłych stopni i nie jest w tym nic dziwnego, gdyż cała matematyka opiera się na naturalnych postulatach. Spójrzmy na dowód.

Niech log a b = t, okaże się, że a t = b. Jeśli podniesiemy obie części do potęgi m: a tn = b n ;

ale ponieważ a tn = (a q) nt/q = b n, zatem log a q b n = (n*t)/t, to log a q b n = n/q log a b. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów i nierówności

Najczęstszym typem problemów logarytmicznych są przykłady równań i nierówności. Można je znaleźć w prawie wszystkich podręcznikach problemowych, a także są wymaganą częścią egzaminów z matematyki. Aby dostać się na uniwersytet lub zdać egzaminy wstępne z matematyki, musisz wiedzieć, jak poprawnie rozwiązać takie zadania.

Niestety nie ma jednego planu ani schematu rozwiązywania i wyznaczania nieznanej wartości logarytmu, ale do każdej nierówności matematycznej lub równania logarytmicznego można zastosować pewne zasady. Przede wszystkim należy dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć, czy też sprowadzić do postaci ogólnej. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli poprawnie użyjesz ich właściwości. Poznajmy je szybko.

Rozwiązując równania logarytmiczne, musimy określić, jaki rodzaj logarytmu mamy: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.

Oto przykłady ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że muszą wyznaczyć potęgę, do której podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. Aby rozwiązać logarytmy naturalne, należy zastosować tożsamości logarytmiczne lub ich właściwości. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania problemów logarytmicznych różnego typu.

Jak korzystać ze wzorów logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami

Przyjrzyjmy się więc przykładom użycia podstawowych twierdzeń o logarytmach.

1. Własność logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozłożenie dużej wartości liczby b na prostsze czynniki. Na przykład log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpowiedź brzmi 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak widać, korzystając z czwartej własności potęgi logarytmu, udało nam się rozwiązać pozornie złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Wystarczy rozłożyć podstawę, a następnie wyjąć wartości wykładników ze znaku logarytmu.

Zadania z jednolitego egzaminu państwowego

Logarytmy często spotyka się na egzaminach wstępnych, zwłaszcza wiele problemów logarytmicznych na egzaminie Unified State Exam (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj zadania te występują nie tylko w części A (najłatwiejsza część testowa egzaminu), ale także w części C (zadania najbardziej złożone i obszerne). Egzamin wymaga dokładnej i doskonałej znajomości tematu „Logarity naturalne”.

Przykłady i rozwiązania problemów pochodzą z oficjalnych wersji egzaminu Unified State Exam. Zobaczmy, jak rozwiązuje się takie zadania.

Biorąc pod uwagę log 2 (2x-1) = 4. Rozwiązanie:
przepiszmy wyrażenie, nieco je upraszczając log 2 (2x-1) = 2 2, z definicji logarytmu otrzymujemy, że 2x-1 = 2 4, zatem 2x = 17; x = 8,5.

• Najlepiej jest sprowadzić wszystkie logarytmy do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
• Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu są oznaczone jako dodatnie, dlatego też, gdy wykładnik wyrażenia znajdującego się pod znakiem logarytmu i jako jego podstawa zostanie wyjęty jako mnożnik, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.

Wynika z jego definicji. I tak logarytm liczby B oparte na A definiuje się jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę A aby uzyskać numer B(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenie x=log a b, jest równoznaczne z rozwiązaniem równania a x = b. Na przykład, log 2 8 = 3 ponieważ 8 = 2 3 . Sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić, że jeśli b=ac, a następnie logarytm liczby B oparte na A równa się Z. Oczywiste jest również, że temat logarytmów jest ściśle powiązany z tematem potęg liczbowych.

Z logarytmami, jak z dowolnymi liczbami, możesz to zrobić operacje dodawania, odejmowania i przekształcać na wszelkie możliwe sposoby. Ale ze względu na fakt, że logarytmy nie są całkowicie zwykłymi liczbami, obowiązują tutaj ich własne specjalne zasady, które są tzw główne właściwości.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów.

Weźmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: zapisz x I zaloguj się. Można wówczas wykonywać operacje dodawania i odejmowania:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

zaloguj się(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = zapisz x 1 + zapisz x 2 + zapisz x 3 + ... + zapisz x k.

Z twierdzenie o iloraz logarytmu Można uzyskać jeszcze jedną właściwość logarytmu. Powszechnie wiadomo, że log A Zatem 1 = 0

dziennik A 1 /B= log A 1 - log a b= -log a b.

Oznacza to, że zachodzi równość:

log a 1 / b = - log a b.

Logarytmy dwóch liczb odwrotnych z tego samego powodu będą się różnić od siebie jedynie znakiem. Więc:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

(z greckiego λόγος - „słowo”, „relacja” i ἀριθμός - „liczba”) liczby B oparte na A(log α B) nazywa się taką liczbą C, I B= c, to znaczy rejestruje log α B=C I b=aC są równoważne. Logarytm ma sens, jeśli a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Innymi słowy logarytm liczby B oparte na A sformułowany jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę A aby uzyskać numer B(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenie x= log α B, jest równoważne rozwiązaniu równania a x = b.

Na przykład:

log 2 8 = 3, ponieważ 8 = 2 3 .

Podkreślmy, że wskazane sformułowanie logarytmu pozwala na natychmiastowe określenie wartość logarytmu, gdy liczba pod znakiem logarytmu pełni rolę pewnej potęgi podstawy. Rzeczywiście, sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić to, jeśli b=ac, a następnie logarytm liczby B oparte na A równa się Z. Oczywiste jest również, że temat logarytmów jest ściśle powiązany z tematem potęgi liczby.

Obliczanie logarytmu nazywa się logarytm. Logarytm to operacja matematyczna polegająca na braniu logarytmu. Podczas obliczania logarytmów iloczyny czynników przekształca się w sumy wyrazów.

Wzmocnienie jest odwrotną operacją matematyczną logarytmu. Podczas wzmacniania, dana zasada jest zwiększana do stopnia ekspresji, przy którym następuje wzmocnienie. W tym przypadku sumy wyrazów przekształca się w iloczyn czynników.

Dość często stosuje się logarytmy rzeczywiste o podstawie 2 (binarnie), liczbie Eulera e ≈ 2,718 (logarytm naturalny) i 10 (dziesiętnie).

Na tym etapie warto to rozważyć próbki logarytmiczne log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

A wpisy lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nie mają sensu, ponieważ w pierwszym z nich pod znakiem logarytmu umieszczona jest liczba ujemna, w drugim liczba ujemna w podstawie, a w trzeciej pod znakiem logarytmu znajduje się liczba ujemna, a u podstawy jednostka.

Warunki wyznaczania logarytmu.

Warto osobno rozważyć warunki a > 0, a ≠ 1, b > 0. przy których otrzymujemy definicja logarytmu. Zastanówmy się, dlaczego wprowadzono te ograniczenia. Pomoże nam w tym równość postaci x = log α B, zwaną podstawową tożsamością logarytmiczną, co bezpośrednio wynika z podanej powyżej definicji logarytmu.

Weźmy warunek a≠1. Ponieważ jeden do dowolnej potęgi jest równy jeden, wówczas równość x=log α B może istnieć tylko wtedy, gdy b=1, ale log 1 1 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Aby wyeliminować tę dwuznaczność, bierzemy a≠1.

Udowodnimy konieczność warunku a>0. Na a=0 zgodnie ze sformułowaniem logarytmu może istnieć tylko wtedy, gdy b=0. I odpowiednio wtedy zaloguj 0 0 może być dowolną niezerową liczbą rzeczywistą, ponieważ zero do dowolnej niezerowej potęgi wynosi zero. Tę niejednoznaczność można wyeliminować za pomocą warunku a≠0. I kiedy A<0 musielibyśmy odrzucić analizę racjonalnych i niewymiernych wartości logarytmu, ponieważ stopień z wymiernym i irracjonalnym wykładnikiem jest definiowany tylko dla podstaw nieujemnych. Z tego powodu postawiono warunek a>0.

I ostatni warunek b>0 wynika z nierówności a>0, ponieważ x=log α B i wartość stopnia o podstawie dodatniej A zawsze pozytywny.

Cechy logarytmów.

Logarytmy charakteryzuje się charakterystycznością cechy, co doprowadziło do ich powszechnego stosowania w celu znacznego ułatwienia żmudnych obliczeń. Przechodząc „w świat logarytmów”, mnożenie przekształca się w znacznie łatwiejsze dodawanie, dzielenie w odejmowanie, a potęgowanie i ekstrakcja pierwiastka przekształcają się odpowiednio w mnożenie i dzielenie przez wykładnik.

Sformułowanie logarytmów i tabela ich wartości (dla funkcji trygonometrycznych) zostało po raz pierwszy opublikowane w 1614 roku przez szkockiego matematyka Johna Napiera. Tablice logarytmiczne, powiększone i szczegółowe przez innych naukowców, były szeroko stosowane w obliczeniach naukowych i inżynieryjnych i pozostawały aktualne aż do pojawienia się kalkulatorów elektronicznych i komputerów.