Geometria N. Nikitina. Znaki równoległości dwóch linii

Definicja 1

Nazywa się linię prostą $c$ sieczna dla linii $a$ i $b$, jeśli przecina je w dwóch punktach.

Rozważmy dwie linie $a$ i $b$ oraz sieczną $c$.

Kiedy się przecinają, powstają kąty, które oznaczamy liczbami od 1 $ do 8 $.

Każdy z tych kątów ma nazwę często używaną w matematyce:

• nazywane są pary kątów $3$ i $5$, $4$ i $6$ leżące w poprzek;
• pary kątów $1$ i $5$, $4$ i $8$, $2$ i $6$, $3$ i $7$ nazywane są odpowiedni;
• nazywane są pary kątów $4$ i $5$, $5$ i $6$ jednostronny.

Znaki linii równoległych

Twierdzenie 1

Równość pary kątów poprzecznych dla prostych $a$ i $b$ oraz siecznej $c$ wskazuje, że proste $a$ i $b$ są równoległe:

Dowód.

Niech kąty poprzeczne dla prostych $a$ i $b$ oraz poprzecznego $c$ będą równe: $∠1=∠2$.

Pokażmy, że $a \parallel b$.

Zakładając, że kąty $1$ i $2$ są kątami prostymi, otrzymujemy, że proste $a$ i $b$ będą prostopadłe do prostej $AB$, a zatem równoległe.

O ile kąty $1$ i $2$ nie są kątami prostymi, z punktu $O$ - środka odcinka $AB$, rysujemy prostopadłą $OH$ do prostej $a$.

Na prostej $b$ nakreślamy odcinek $BH_1=AH$ i rysujemy odcinek $OH_1$. Otrzymujemy dwa równe trójkąty $ОНА$ i $ОH_1В$ po obu stronach oraz kąt między nimi ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), zatem $∠3=∠4$ i $ ∠5 = ∠6 $. Ponieważ $∠3=∠4$, to punkt $H_1$ leży na prostej $ON$, zatem punkty $H$, $O$ i $H_1$ należą do tej samej prostej. Ponieważ $∠5=∠6$, następnie $∠6=90^(\circ)$. Zatem proste $a$ i $b$ są prostopadłe do prostej $HH_1$ i są równoległe. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2

Równość pary odpowiednich kątów dla prostych $a$ i $b$ oraz siecznej $c$ wskazuje, że proste $a$ i $b$ są równoległe:

jeśli $∠1=∠2$, to $a \parallel b$.

Dowód.

Niech odpowiednie kąty prostych $а$ i $b$ oraz siecznej $с$ będą równe: $∠1=∠2$. Kąty $2$ i $3$ są pionowe, zatem $∠2=∠3$. Zatem $∠1=∠3$. Ponieważ kąty $1$ i $3$ są poprzeczne, to proste $a$ i $b$ są równoległe. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 3

Jeżeli suma dwóch kątów jednostronnych dla prostych $a$ i $b$ oraz poprzecznych $c$ jest równa $180^(\circ)C$, to proste $a$ i $b$ są równoległe:

jeśli $∠1+∠4=180^(\circ)$, to $a \parallel b$.

Dowód.

Niech jednostronne kąty dla prostych $a$ i $b$ oraz poprzecznych $c$ sumują się na przykład do $180^(\circ)$

$∠1+∠4=180^(\circ)$.

Kąty $3$ i $4$ sąsiadują ze sobą, więc

$∠3+∠4=180^(\circ)$.

Z uzyskanych równości wynika, że ​​kąty poprzeczne $∠1=∠3$, z czego wynika, że ​​proste $a$ i $b$ są równoległe.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Z rozważanych cech wynika, że ​​linie są równoległe.

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1

Punkt przecięcia dzieli odcinki $AB$ i $CD$ na pół. Udowodnić, że $AC \parallel BD$.

Dany: $AO=OB$, $CO=OD$.

Udowodnić: $AC \równoległe BD$.

Dowód.

Z warunków problemowych $AO=OB$, $CO=OD$ i równości kątów pionowych $∠1=∠2$ według pierwszego kryterium równości trójkątów wynika, że ​​$\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$ . Zatem $∠3=∠4$.

Kąty $3$ i $4$ leżą poprzecznie z dwiema prostymi $AC$ i $BD$ oraz poprzeczną $AB$. Następnie, zgodnie z pierwszym kryterium równoległości prostych, $AC \parallel BD$. Stwierdzenie zostało udowodnione.

Przykład 2

Dany kąt $∠2=45^(\circ)$, a $∠7$ jest $3$ razy większy od podanego kąta. Udowodnić, że $a \parallel b$.

Dany: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.

Udowodnić: $a \równoległe b$.

Dowód:

1. Znajdźmy wartość kąta $7$:

$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.

1. Kąty pionowe $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
2. Znajdźmy sumę kątów wewnętrznych $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.

Według trzeciego kryterium równoległości prostych $a \parallel b$. Stwierdzenie zostało udowodnione.

Przykład 3

Dany: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

Udowodnić: $AC \równoległy BD$, $AD \równoległy BC$.

Dowód:

Dla rozważanych rysunków wspólny jest bok $AB$.

Ponieważ trójkąty $ABC$ i $ADB$ są równe, wówczas $AD=CB$, $AC=BD$, a także odpowiadające im kąty są równe $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠ 5=∠6 $.

Para kątów $3$ i $4$ są poprzeczne dla prostych $AC$ i $BD$ oraz odpowiadającej im siecznej $AB$, zatem zgodnie z pierwszym kryterium równoległości prostych $AC \parallel BD$.

Para kątów $5$ i $6$ są poprzeczne dla prostych $AD$ i $BC$ oraz odpowiadającej im siecznej $AB$, zatem zgodnie z pierwszym kryterium równoległości prostych $AD \parallel BC$.

Strona 1 z 2

Pytanie 1. Udowodnić, że dwie proste równoległe do trzeciej są równoległe.
Odpowiedź. Twierdzenie 4.1. Dwie linie równoległe do trzeciej są równoległe.
Dowód. Niech linie aib będą równoległe do linii c. Załóżmy, że a i b nie są równoległe (ryc. 69). Wtedy nie przecinają się w pewnym punkcie C. Oznacza to, że przez punkt C przechodzą dwie proste równoległe do prostej c. Jest to jednak niemożliwe, gdyż przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić co najwyżej jedną prostą równoległą do danej. Twierdzenie zostało udowodnione.

Pytanie 2. Wyjaśnij, które kąty nazywane są jednostronnymi kątami wewnętrznymi. Jakie kąty nazywamy wewnętrznymi krzyżowymi?
Odpowiedź. Pary kątów utworzone przez przecięcie prostych AB i CD z sieczną AC mają specjalne nazwy.
Jeśli punkty B i D leżą w tej samej półpłaszczyźnie względem linii prostej AC, wówczas kąty BAC i DCA nazywane są jednostronnymi kątami wewnętrznymi (ryc. 71, a).
Jeżeli punkty B i D leżą w różnych półpłaszczyznach względem prostej AC, wówczas kąty BAC i DCA nazywane są wewnętrznymi kątami krzyżowymi (ryc. 71, b).

Ryż. 71

Pytanie 3. Udowodnić, że jeśli kąty wewnętrzne jednej pary są równe, to kąty wewnętrzne drugiej pary też są równe i suma kątów wewnętrznych każdej pary wynosi 180°.
Odpowiedź. Sieczna AC tworzy z prostymi AB i CD dwie pary kątów wewnętrznych jednostronnych i dwie pary kątów wewnętrznych krzyżujących się. Wewnętrzne kąty poprzeczne jednej pary, np. kąt 1 i narożnik 2, przylegają do wewnętrznych kątów poprzecznych innej pary: kąta 3 i kąta 4 (ryc. 72).

Ryż. 72

Zatem, jeśli kąty wewnętrzne jednej pary są sobie równe, to kąty wewnętrzne drugiej pary również są równe.
Para kątów wewnętrznych krzyżujących się, na przykład kąt 1 i kąt 2, oraz para kątów wewnętrznych jednostronnych, na przykład kąt 2 i kąt 3, mają jeden kąt wspólny - kąt 2, a dwa inne kąty sąsiadują ze sobą : kąt 1 i kąt 3.
Zatem, jeśli wewnętrzne kąty poprzeczne są równe, to suma kątów wewnętrznych wynosi 180°. I odwrotnie: jeśli suma wewnętrznych kątów przecinających się jest równa 180°, to przecinające się kąty wewnętrzne są równe. co było do okazania

Pytanie 4. Udowodnić test na proste równoległe.
Odpowiedź. Twierdzenie 4.2 (test dla prostych równoległych). Jeżeli wewnętrzne kąty poprzeczne są równe lub suma wewnętrznych kątów jednostronnych jest równa 180°, to linie są równoległe.
Dowód. Niech linie proste aib tworzą równe wewnętrzne kąty poprzeczne z sieczną AB (ryc. 73, a). Powiedzmy, że linie aib nie są równoległe, co oznacza, że ​​​​przecinają się w pewnym punkcie C (ryc. 73, b).

Ryż. 73

Sieczna AB dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. W jednym z nich leży punkt C. Skonstruujmy trójkąt BAC 1 równy trójkątowi ABC, którego wierzchołek C 1 leży w innej półpłaszczyźnie. Pod warunkiem, wewnętrzne kąty poprzeczne równoległych a, b i siecznej AB są równe. Ponieważ odpowiednie kąty trójkątów ABC i BAC 1 o wierzchołkach A i B są równe, pokrywają się one z kątami wewnętrznymi leżącymi poprzecznie. Oznacza to, że linia AC 1 pokrywa się z linią a, a linia BC 1 pokrywa się z linią b. Okazuje się, że przez punkty C i C 1 przechodzą dwie różne linie proste a i b. A to jest niemożliwe. Oznacza to, że linie aib są równoległe.
Jeżeli linie a i b oraz poprzeczna AB mają sumę jednostronnych kątów wewnętrznych równą 180°, to jak wiemy, kąty wewnętrzne leżące poprzecznie są równe. Oznacza to, że zgodnie z tym, co zostało udowodnione powyżej, linie aib są równoległe. Twierdzenie zostało udowodnione.

Pytanie 5. Wyjaśnij, które kąty nazywamy kątami odpowiadającymi. Udowodnić, że jeśli wewnętrzne kąty poprzeczne są równe, to odpowiadające im kąty również są równe i odwrotnie.

Odpowiedź. Jeśli dla pary wewnętrznych kątów poprzecznych jeden kąt zostanie zastąpiony kątem pionowym, wówczas otrzymamy parę kątów, które nazywane są odpowiednimi kątami tych linii z poprzecznym. To właśnie należało wyjaśnić.
Z równości kątów wewnętrznych leżących poprzecznie wynika równość odpowiednich kątów i odwrotnie. Powiedzmy, że mamy dwie linie równoległe (ponieważ zgodnie z warunkiem kąty wewnętrzne leżące naprzeciw siebie są równe) i poprzeczną, która tworzy kąty 1, 2, 3. Kąty 1 i 2 są równe, tak jak kąty wewnętrzne leżące na sobie. A kąty 2 i 3 są równe pionowo. Otrzymujemy: \(\kąt\)1 = \(\kąt\)2 i \(\kąt\)2 = \(\kąt\)3. Z własności przechodniości znaku równości wynika, że ​​\(\kąt\)1 = \(\kąt\)3. Twierdzenie odwrotne można udowodnić w podobny sposób.
Otrzymujemy z tego znak, że linie proste są równoległe pod odpowiednimi kątami. Mianowicie: linie proste są równoległe, jeśli odpowiadające im kąty są równe. co było do okazania

Pytanie 6. Udowodnić, że przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić do niego prostą równoległą. Ile prostych równoległych do danej prostej można poprowadzić przez punkt nie leżący na tej prostej?

Odpowiedź. Zadanie (8). Dana jest prosta AB i punkt C, który nie leży na tej prostej. Udowodnić, że przez punkt C można poprowadzić prostą równoległą do prostej AB.
Rozwiązanie. Linia AC dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny (ryc. 75). Punkt B leży w jednym z nich. Dodajmy kąt ACD z półprostej CA do innej półpłaszczyzny równej kątowi CAB. Wtedy linie AB i CD będą równoległe. W rzeczywistości dla tych prostych i siecznej AC kąty wewnętrzne BAC i DCA leżą poprzecznie. A ponieważ są one równe, linie AB i CD są równoległe. co było do okazania
Porównując sformułowanie zadania 8 i aksjomatu IX (główna właściwość prostych równoległych) dochodzimy do ważnego wniosku: przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić do niej prostą równoległą i tylko jedną.

Pytanie 7. Udowodnić, że jeśli dwie proste przecina trzecia prosta, to przecinające się kąty wewnętrzne są równe, a suma jednostronnych kątów wewnętrznych wynosi 180°.

Odpowiedź. Twierdzenie 4.3(odwrotność Twierdzenia 4.2). Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się z trzecią linią, to przecinające się kąty wewnętrzne są równe, a suma wewnętrznych kątów jednostronnych wynosi 180°.
Dowód. Niech a i b będą liniami równoległymi, a c będzie prostą przecinającą je w punktach A i B. Narysujmy linię a 1 przechodzącą przez punkt A tak, aby wewnętrzne kąty poprzeczne utworzone przez przekątną c z liniami a 1 i b były równe (ryc. 76).
Zgodnie z zasadą równoległości prostych, linie a 1 i b są równoległe. A ponieważ przez punkt A przechodzi tylko jedna prosta, równoległa do prostej b, to linia a pokrywa się z linią a 1.
Oznacza to, że wewnętrzne kąty poprzeczne utworzone przez poprzeczkę z
linie równoległe a i b są równe. Twierdzenie zostało udowodnione.

Pytanie 8. Udowodnić, że dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe. Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej.
Odpowiedź. Z Twierdzenia 4.2 wynika, że ​​dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe.
Załóżmy, że dowolne dwie linie są prostopadłe do trzeciej linii. Oznacza to, że linie te przecinają się z trzecią linią pod kątem równym 90°.
Z właściwości kątów powstałych na przecięciu prostych równoległych z poprzeczną wynika, że ​​jeśli prosta jest prostopadła do jednej z równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej.

Pytanie 9. Udowodnić, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°.

Odpowiedź. Twierdzenie 4.4. Suma kątów w trójkącie wynosi 180°.
Dowód. Niech ABC będzie danym trójkątem. Narysujmy prostą przechodzącą przez wierzchołek B, równoległą do prostej AC. Zaznaczmy na nim punkt D tak, aby punkty A i D leżały po przeciwnych stronach prostej BC (ryc. 78).
Kąty DBC i ACB są przystające jako wewnętrzne krzyżujące się kąty utworzone przez poprzeczny BC z równoległymi liniami AC i BD. Zatem suma kątów trójkąta przy wierzchołkach B i C jest równa kątowi ABD.
A suma wszystkich trzech kątów trójkąta jest równa sumie kątów ABD i BAC. Ponieważ są to jednostronne kąty wewnętrzne dla równoległych AC i BD oraz siecznej AB, ich suma wynosi 180°. Twierdzenie zostało udowodnione.

Pytanie 10. Udowodnij, że każdy trójkąt ma co najmniej dwa kąty ostre.
Odpowiedź. Rzeczywiście, załóżmy, że trójkąt ma tylko jeden kąt ostry lub nie ma go wcale. Zatem ten trójkąt ma dwa kąty, z których każdy ma co najmniej 90°. Suma tych dwóch kątów jest nie mniejsza niż 180°. Jest to jednak niemożliwe, ponieważ suma wszystkich kątów trójkąta wynosi 180°. co było do okazania

1. Pierwsza oznaka równoległości.

Jeżeli przy przecięciu dwóch prostych z trzecią kąty wewnętrzne leżące naprzeciw siebie są równe, to linie te są równoległe.

Niech proste AB i CD przecina prosta EF i ∠1 = ∠2. Weźmy punkt O - środek odcinka KL siecznej EF (ryc.).

Opuśćmy prostopadłą OM z punktu O na prostą AB i kontynuujmy ją aż przetnie się z prostą CD, AB ⊥ MN. Udowodnimy, że CD ⊥ MN.

Aby to zrobić, rozważ dwa trójkąty: MOE i NOK. Te trójkąty są sobie równe. Rzeczywiście: ∠1 = ∠2 zgodnie z twierdzeniem; ОK = ОL - według konstrukcji;

∠MOL = ∠NOK, jak kąty pionowe. Zatem bok i dwa sąsiednie kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm sąsiednim kątom innego trójkąta; dlatego ΔMOL = ΔNOK, a zatem ∠LMO = ∠KNO,
ale ∠LMO jest proste, co oznacza, że ​​∠KNO jest również proste. Zatem proste AB i CD są prostopadłe do tej samej prostej MN, a zatem są równoległe, co należało udowodnić.

Notatka. Przecięcie prostych MO i CD można wyznaczyć obracając trójkąt MOL wokół punktu O o 180°.

2. Drugi znak równoległości.

Zobaczmy, czy proste AB i CD są równoległe, jeśli w momencie przecięcia z trzecią prostą EF odpowiadające im kąty są równe.

Niech niektóre odpowiednie kąty będą równe, np. ∠ 3 = ∠2 (ryc.);

∠3 = ∠1, jako kąty pionowe; oznacza to, że ∠2 będzie równe ∠1. Ale kąty 2 i 1 przecinają kąty wewnętrzne i wiemy już, że jeśli gdy dwie proste przecinają trzecią, przecinające się kąty wewnętrzne są równe, to te proste są równoległe. Dlatego AB || PŁYTA CD.

Jeżeli, gdy dwie linie przecinają się z trzecią, odpowiadające im kąty są równe, to te dwie linie są równoległe.

Na tej właściwości opiera się konstrukcja linii równoległych za pomocą linijki i trójkąta rysunkowego. Odbywa się to w następujący sposób.

Przymocujmy trójkąt do linijki, jak pokazano na ryc. Przesuniemy trójkąt tak, aby jeden z jego boków przesuwał się po linijce, a wzdłuż innego boku trójkąta narysujemy kilka linii prostych. Linie te będą równoległe.

3. Trzeci znak równoległości.

Powiedzmy, że gdy dwie proste AB i CD przecinają się z trzecią prostą, to suma wszystkich kątów wewnętrznych jednostronnych wynosi 2 D(lub 180°). Czy w tym przypadku proste AB i CD będą równoległe (rys.).

Niech ∠1 i ∠2 będą wewnętrznymi kątami jednostronnymi i sumują się do 2 D.

Ale ∠3 + ∠2 = 2 D jako sąsiednie kąty. Dlatego ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Stąd ∠1 = ∠3, a te kąty wewnętrzne leżą poprzecznie. Dlatego AB || PŁYTA CD.

Jeżeli dwie linie proste przecinają się z trzecią, suma wewnętrznych kątów jednostronnych jest równa 2 d (lub 180°), to te dwie linie są równoległe.

Znaki linii równoległych:

1. Jeżeli, gdy dwie linie przecinają się z trzecią, kąty wewnętrzne leżące poprzecznie są równe, to te linie są równoległe.

2. Jeżeli, gdy dwie linie przecinają się z trzecią, odpowiadające im kąty są równe, to te dwie linie są równoległe.

3. Jeżeli przy przecięciu dwóch prostych z trzecią suma jednostronnych kątów wewnętrznych wynosi 180°, to te dwie proste są równoległe.

4. Jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one do siebie równoległe.

5. Jeśli dwie linie są prostopadłe do trzeciej linii, to są do siebie równoległe.

Aksjomat równoległości Euklidesa

Zadanie. Przez punkt M znajdujący się poza linią AB poprowadź linię równoległą do prostej AB.

Korzystając ze sprawdzonych twierdzeń o znakach równoległości prostych, problem ten można rozwiązać na różne sposoby,

Rozwiązanie. Pierwszy krok (rysunek 199).

Rysujemy MN⊥AB i przez punkt M rysujemy CD⊥MN;

otrzymujemy CD⊥MN i AB⊥MN.

Na podstawie twierdzenia („Jeśli dwie proste są prostopadłe do tej samej prostej, to są równoległe.”) wnioskujemy, że CD || AB.

Druga metoda (rysunek 200).

Rysujemy MK przecinającą AB pod dowolnym kątem α, a przez punkt M rysujemy prostą EF, tworzącą kąt EMK z prostą MK równą kątowi α. Na podstawie twierdzenia () wnioskujemy, że EF || AB.

Po rozwiązaniu tego problemu możemy uznać za udowodnione, że przez dowolny punkt M wychodzący z prostej AB można poprowadzić do niej prostą równoległą. Powstaje pytanie: ile może istnieć prostych równoległych do danej prostej i przechodzących przez dany punkt?

Praktyka konstrukcyjna pozwala założyć, że istnieje tylko jedna taka linia prosta, ponieważ przy starannie wykonanym rysunku linie proste narysowane na różne sposoby przez ten sam punkt równoległy do ​​tej samej linii prostej łączą się.

Teoretycznie odpowiedź na postawione pytanie daje tzw. aksjomat równoległości Euklidesa; jest sformułowany w następujący sposób:

Przez punkt znajdujący się poza daną linią można poprowadzić tylko jedną linię równoległą do tej prostej.

Na rysunku 201 linia prosta SC jest poprowadzona przez punkt O, równolegle do prostej AB.

Każda inna prosta przechodząca przez punkt O nie będzie już równoległa do linii AB, ale ją przetnie.

Aksjomat przyjęty przez Euklidesa w Elementach, który stwierdza, że ​​na płaszczyźnie, przez punkt znajdujący się poza daną prostą, można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do tej prostej, nazywa się Aksjomat Euklidesa o równoległości.

Ponad dwa tysiące lat po Euklidesie wielu matematyków próbowało udowodnić to matematyczne twierdzenie, ale ich próby zawsze kończyły się niepowodzeniem. Dopiero w 1826 roku wielki rosyjski uczony, profesor Uniwersytetu Kazańskiego Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski udowodnił, że używając wszystkich pozostałych aksjomatów Euklidesa, tego twierdzenia matematycznego nie da się udowodnić, że rzeczywiście należy je przyjąć jako aksjomat. N.I. Łobaczewski stworzył nową geometrię, która w przeciwieństwie do geometrii Euklidesa nazywa się geometrią Łobaczewskiego.

1. Jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe:

Jeśli A||C I B||C, To A||B.

2. Jeśli dwie linie są prostopadłe do trzeciej linii, to są równoległe:

Jeśli A⊥C I B⊥C, To A||B.

Pozostałe oznaki równoległości linii opierają się na kątach powstałych, gdy dwie proste przecinają się z trzecią.

3. Jeżeli suma kątów wewnętrznych jednostronnych wynosi 180°, to proste są równoległe:

Jeśli ∠1 + ∠2 = 180°, to A||B.

4. Jeśli odpowiednie kąty są równe, to linie są równoległe:

Jeśli ∠2 = ∠4, to A||B.

5. Jeżeli wewnętrzne kąty poprzeczne są równe, to linie są równoległe:

Jeśli ∠1 = ∠3, to A||B.

Właściwości prostych równoległych

Stwierdzenia odwrotne do właściwości linii równoległych są ich właściwościami. Opierają się na właściwościach kątów utworzonych przez przecięcie dwóch równoległych linii z trzecią linią.

1. Kiedy dwie równoległe linie przecinają trzecią linię, suma utworzonych przez nie kątów wewnętrznych jednostronnych wynosi 180°:

Jeśli A||B, wtedy ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Kiedy dwie równoległe linie przecinają trzecią linię, odpowiednie kąty utworzone przez nie są równe:

Jeśli A||B, wtedy ∠2 = ∠4.

3. Kiedy dwie równoległe linie przecinają trzecią linię, utworzone przez nie kąty poprzeczne są równe:

Jeśli A||B, wtedy ∠1 = ∠3.

Następująca właściwość jest przypadkiem szczególnym dla każdej poprzedniej:

4. Jeżeli prosta na płaszczyźnie jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej:

Jeśli A||B I C⊥A, To C⊥B.

Piątą właściwością jest aksjomat linii równoległych:

5. Przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.

1. Aksjomat podobieństw. Przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą równoległą do danej.

2. Jeśli dwie linie są równoległe do tej samej linii, to są one do siebie równoległe.

3. Dwie linie prostopadłe do tej samej linii są równoległe.

4. Jeśli dwie równoległe linie przecinają się z trzecią, wówczas utworzone wewnętrzne kąty poprzeczne są równe; odpowiednie kąty są równe; wewnętrzne kąty jednostronne sumują się do 180°.

5. Jeżeli, gdy dwie linie proste przecinają się z trzecią, powstają równe wewnętrzne kąty poprzeczne, to linie proste są równoległe.

6. Jeśli dwie linie proste przecinają się z trzecią, powstają równe odpowiadające sobie kąty, wówczas linie proste są równoległe.

7. Jeżeli przy przecięciu dwóch prostych z trzecią suma jednostronnych kątów wewnętrznych wynosi 180°, to proste są równoległe.

Twierdzenie Talesa. Jeżeli po jednej stronie kąta ułożone są równe odcinki, a przez ich końce poprowadzono równoległe linie przecinające drugi bok kąta, wówczas równe odcinki ułożono również po drugiej stronie kąta.

Twierdzenie o odcinku proporcjonalnym. Linie równoległe przecinające boki kąta wycinają na nich proporcjonalne odcinki.

Trójkąt. Znaki równości trójkątów.

1. Jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi innego trójkąta, to trójkąty są przystające.

2. Jeżeli bok i dwa sąsiednie kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm sąsiednim kątom innego trójkąta, to trójkąty są przystające.

3. Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom innego trójkąta, to trójkąty są przystające.

1. Z dwóch stron.

2. Wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej.

3. Przez przeciwprostokątną i kąt ostry.

4. Wzdłuż nogi i kąta ostrego.

Twierdzenie o sumie kątów trójkąta i jego konsekwencje

1. Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.

2. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają.

3. Suma kątów wewnętrznych wypukłego n-gotu jest równa

4. Suma kątów zewnętrznych sześciokąta wynosi 360°.

5. Kąty o bokach wzajemnie prostopadłych są równe, jeśli oba są ostre lub oba rozwarte.

6. Kąt między dwusiecznymi sąsiednich kątów wynosi 90°.

7. Dwusieczne kątów wewnętrznych jednostronnych o prostych równoległych i poprzecznej są prostopadłe.

Podstawowe właściwości i cechy trójkąta równoramiennego

1. Kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe.

2. Jeśli dwa kąty trójkąta są równe, to jest to równoramienny.

3. W trójkącie równoramiennym środkowa, dwusieczna i wysokość poprowadzona do podstawy pokrywają się.

4. Jeśli jakakolwiek para odcinków trójki pokrywa się w trójkącie - środkowa, dwusieczna, wysokość, to jest to równoramienny.

Nierówność trójkąta i jej konsekwencje

1. Suma dwóch boków trójkąta jest większa niż jego trzeci bok.

2. Suma ogniw polilinii jest większa niż odcinek łączący początek

pierwszy link z końcem ostatniego.

3. Naprzeciwko większego kąta trójkąta leży większy bok.

4. Naprzeciw większego boku trójkąta leży większy kąt.

5. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest większa niż noga.

6. Jeśli z jednego punktu do linii prostej poprowadzono linie prostopadłe i nachylone, to

1) prostopadła jest krótsza niż nachylona;

2) większy skośny odpowiada większemu występowi i odwrotnie.

Środkowa linia trójkąta.

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta nazywa się linią środkową trójkąta.

Twierdzenie o linii środkowej trójkąta.

Linia środkowa trójkąta jest równoległa do boku trójkąta i równa jego połowie.

Twierdzenia o środkowych trójkąta

1. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą go w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

2. Jeśli środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego jest narysowana, wówczas trójkąt jest prostokątny.

3. Mediana trójkąta prostokątnego wyciągniętego z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej.

Własność dwusiecznych prostopadłych do boków trójkąta. Dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenie o wysokości trójkąta. Linie zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Twierdzenie o dwusiecznej trójkąta. Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Własność dwusiecznej trójkąta. Dwusieczna trójkąta dzieli jego bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych dwóch boków.

Znaki podobieństwa trójkątów

1. Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom drugiego, to trójkąty są podobne.

2. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są odpowiednio proporcjonalne do dwóch boków drugiego, a kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne.

3. Jeśli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio proporcjonalne do trzech boków drugiego, to trójkąty są podobne.

Pola podobnych trójkątów

1. Stosunek pól podobnych trójkątów jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa.

2. Jeżeli dwa trójkąty mają równe kąty, to ich pola są powiązane jako iloczyn boków obejmujących te kąty.

W trójkącie prostokątnym

1. Noga trójkąta prostokątnego jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i sinusa przeciwnej lub cosinusa kąta ostrego sąsiadującego z tą nogą.

2. Odnoga trójkąta prostokątnego jest równa innej odnodze pomnożonej przez tangens przeciwległej lub cotangens kąta ostrego sąsiadującego z tą nogą.

3. Noga trójkąta prostokątnego leżąca naprzeciw kąta 30° jest równa połowie przeciwprostokątnej.

4. Jeżeli ramię trójkąta prostokątnego jest równe połowie przeciwprostokątnej, to kąt przeciwny do tej nogi wynosi 30°.

5. R = ; r = , gdzie a, b to nogi, a c to przeciwprostokątna prawego trójkąta; r i R są odpowiednio promieniami okręgu wpisanego i opisanego.

Twierdzenie Pitagorasa i odwrotność twierdzenia Pitagorasa

1. Kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg.

2. Jeśli kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów jego dwóch pozostałych boków, to trójkąt jest prostokątny.

Proporcjonalne oznacza w trójkącie prostokątnym.

Wysokość trójkąta prostokątnego wyciągniętego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną do rzutów nóg na przeciwprostokątną, a każda noga jest średnią proporcjonalną do przeciwprostokątnej i jej rzutu na przeciwprostokątną.

1. Twierdzenie o cosinusach. Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków, bez podwójnego iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi.

2. Wniosek z twierdzenia o cosinus. Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów wszystkich jego boków.

3. Wzór na środkową trójkąta. Jeśli m jest medianą trójkąta narysowanego na boku c, to m = , gdzie a i b to pozostałe boki trójkąta.

4. Twierdzenie o sinusach. Boki trójkąta są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów.

5. Uogólnione twierdzenie o sinusach. Stosunek boku trójkąta do sinusa przeciwległego kąta jest równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

Wzory na pole trójkąta

1. Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu podstawy i wysokości.

2. Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

3. Pole trójkąta jest równe iloczynowi jego półobwodu i promienia okręgu wpisanego.

4. Pole trójkąta jest równe iloczynowi jego trzech boków podzielonemu przez czterokrotność promienia okręgu opisanego.

5. Wzór Herona: S=, gdzie p jest półobwodem; a, b, c - boki trójkąta.

Elementy trójkąta równobocznego. Niech h, S, r, R będą wysokością, polem i promieniami okręgów wpisanych i opisanych w trójkącie równobocznym o boku a. Następnie
Czworoboki

Równoległobok. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe parami.

Właściwości i znaki równoległoboku.

1. Przekątna dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty.

2. Przeciwne boki równoległoboku są równe parami.

3. Przeciwne kąty równoległoboku są równe parami.

4. Przekątne równoległoboku przecinają się i przecinają w punkcie przecięcia.

5. Jeśli przeciwne strony czworokąta są równe parami, to ten czworokąt jest równoległobokiem.

6. Jeśli dwa przeciwległe boki czworokąta są równe i równoległe, to ten czworokąt jest równoległobokiem.

7. Jeśli przekątne czworoboku są podzielone na pół przez punkt przecięcia, to ten czworokąt jest równoległobokiem.

Własność środków boków czworokąta. Środkami boków dowolnego czworoboku są wierzchołki równoległoboku, którego powierzchnia jest równa połowie pola czworoboku.

Prostokąt. Równoległobok z kątem prostym nazywa się prostokątem.

Właściwości i cechy prostokąta.

1. Przekątne prostokąta są równe.

2. Jeśli przekątne równoległoboku są równe, to ten równoległobok jest prostokątem.

Kwadrat. Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe.

Romb. Romb to czworokąt, którego wszystkie boki są równe.

Właściwości i znaki rombu.

1. Przekątne rombu są prostopadłe.

2. Przekątne rombu dzielą jego kąty na pół.

3. Jeśli przekątne równoległoboku są prostopadłe, to ten równoległobok jest rombem.

4. Jeśli przekątne równoległoboku przecinają jego kąty na pół, wówczas ten równoległobok jest rombem.

Trapez. Trapez to czworokąt, którego tylko dwa przeciwne boki (podstawy) są równoległe. Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki nierównoległych boków (boków).

1. Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa ich połowie.

2. Odcinek łączący środki przekątnych trapezu jest równy połowie różnicy podstaw.

Niezwykła właściwość trapezu. Punkt przecięcia przekątnych trapezu, punkt przecięcia przedłużeń boków i środek podstaw leżą na tej samej linii prostej.

Trapez równoramienny. Trapez nazywa się równoramiennym, jeśli jego boki są równe.

Właściwości i znaki trapezu równoramiennego.

1. Kąty u podstawy trapezu równoramiennego są równe.

2. Przekątne trapezu równoramiennego są równe.

3. Jeśli kąty u podstawy trapezu są równe, to jest to trapez równoramienny.

4. Jeśli przekątne trapezu są równe, to jest to równoramienny.

5. Rzut bocznego boku trapezu równoramiennego na podstawę jest równy połowie różnicy podstaw, a rzut przekątnej jest równy połowie sumy podstaw.

Wzory na pole czworoboku

1. Pole równoległoboku jest równe iloczynowi podstawy i wysokości.

2. Pole równoległoboku jest równe iloczynowi sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi.

3. Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego dwóch sąsiednich boków.

4. Pole rombu jest równe połowie iloczynu jego przekątnych.

5. Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy podstaw i wysokości.

6. Pole czworoboku jest równe połowie iloczynu jego przekątnych i sinusa kąta między nimi.

7. Wzór Herona na czworokąt, wokół którego można opisać okrąg:

S = , gdzie a, b, c, d to boki tego czworoboku, p to półobwód, a S to powierzchnia.

Podobne figury

1. Stosunek odpowiednich elementów liniowych podobnych figur jest równy współczynnikowi podobieństwa.

2. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa.

Regularny wielokąt.

Niech a n będzie bokiem foremnego n-kąta, a r n i R n będą promieniami okręgów wpisanych i opisanych. Następnie

Koło.

Okrąg to geometryczne miejsce punktów płaszczyzny oddalonych od danego punktu, zwanego środkiem okręgu, o tę samą dodatnią odległość.

Podstawowe właściwości okręgu

1. Średnica prostopadła do cięciwy dzieli cięciwę i wyznaczone przez nią łuki na pół.

2. Średnica przechodząca przez środek cięciwy, która nie jest średnicą, jest prostopadła do tego cięciwy.

3. Dwusieczna prostopadła do cięciwy przechodzi przez środek okręgu.

4. Równe cięciwy znajdują się w równych odległościach od środka okręgu.

5. Cięciwy okręgu znajdujące się w równych odległościach od środka są równe.

6. Okrąg jest symetryczny względem dowolnej średnicy.

7. Łuki okręgu zawartego pomiędzy równoległymi cięciwami są równe.

8. Z dwóch akordów większy jest ten, który jest mniej oddalony od środka.

9. Średnica to największa cięciwa okręgu.

Styczna do okręgu. Prostą, która ma jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywamy styczną do okręgu.

1. Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styku.

2. Jeżeli prosta a przechodząca przez punkt na okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do tego punktu, to prosta a jest styczna do okręgu.

3. Jeżeli proste przechodzące przez punkt M dotykają okręgu w punktach A i B, to MA = MB i ﮮAMO = ﮮBMO, gdzie punkt O jest środkiem okręgu.

4. Środek okręgu wpisanego w kąt leży na dwusiecznej tego kąta.

Styczne okręgi. Mówi się, że dwa okręgi stykają się, jeśli mają jeden wspólny punkt (punkt styku).

1. Punkt styku dwóch okręgów leży na ich linii środków.

2. Okręgi o promieniach r i R o środkach O 1 i O 2 stykają się zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy R + r = O 1 O 2.

3. Koła o promieniach r i R (r

4. Okręgi o środkach O 1 i O 2 stykają się zewnętrznie w punkcie K. Pewna prosta dotyka tych okręgów w różnych punktach A i B i przecina wspólną styczną przechodzącą przez punkt K w punkcie C. Wtedy ﮮAK B = 90° i ﮮO 1CO2 = 90°.

5. Odcinek wspólnej stycznej zewnętrznej do dwóch stycznych okręgów o promieniach r i R jest równy odcinkowi wspólnej stycznej wewnętrznej zawartej pomiędzy wspólnymi okręgami zewnętrznymi. Obydwa te segmenty są sobie równe.

Kąty powiązane z okręgiem

1. Rozmiar łuku koła jest równy rozmiarowi kąta środkowego spoczywającego na nim.

2. Kąt wpisany jest równy połowie wartości kątowej łuku, na którym jest oparty.

3. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

4. Kąt pomiędzy przecinającymi się cięciwami jest równy połowie sumy przeciwległych łuków przeciętych przez cięciwy.

5. Kąt między dwiema siecznymi przecinającymi się na zewnątrz koła jest równy połowie różnicy łuków przeciętych przez sieczne koła.

6. Kąt pomiędzy styczną a cięciwą narysowaną od punktu styku jest równy połowie wartości kątowej łuku wyciętego na okręgu przez tę cięciwę.

Właściwości cięciw okręgu

1. Linia środków dwóch przecinających się okręgów jest prostopadła do ich wspólnej cięciwy.

2. Iloczyny długości odcinków cięciw AB i CD okręgu przecinającego się w punkcie E są równe, czyli AE EB = CE ED.

Okręgi wpisane i opisane

1. Środki wpisanych i opisanych okręgów regularnego trójkąta pokrywają się.

2. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej.

3. Jeżeli w czworokąt można wpisać okrąg, to sumy jego przeciwległych boków są równe.

4. Jeżeli czworokąt można wpisać w okrąg, to suma jego przeciwległych kątów wynosi 180°.

5. Jeżeli suma przeciwnych kątów czworokąta wynosi 180°, to można wokół niego narysować okrąg.

6. Jeżeli w trapez można wpisać okrąg, to bok trapezu jest widoczny ze środka okręgu pod kątem prostym.

7. Jeżeli w trapez można wpisać okrąg, to promień okręgu jest średnią proporcjonalną do odcinków, na które punkt styczności dzieli bok.

8. Jeżeli w wielokąt można wpisać okrąg, to jego pole jest równe iloczynowi półobwodu wielokąta i promienia tego okręgu.

Twierdzenie o stycznej i siecznej i jego wniosek

1. Jeśli z jednego punktu poprowadzono styczną i sieczną do okręgu, to iloczyn całej siecznej i jej zewnętrznej części jest równy kwadratowi stycznej.

2. Iloczyn całej siecznej i jej części zewnętrznej dla danego punktu i danego okręgu jest stały.

Obwód koła o promieniu R jest równy C= 2πR