Rozważ zdefiniowanie prostej na płaszczyźnie, w której zmienne x, y są funkcjami trzeciej zmiennej t (zwanej parametrem):

Dla każdej wartości T z pewnego przedziału odpowiadają określone wartości X I tak, a zatem pewien punkt M (x, y) płaszczyzny. Gdy T przebiega przez wszystkie wartości z danego przedziału, następnie punkt M (x, y) opisuje pewną linię L. Równania (2.2) nazywane są parametrycznymi równaniami liniowymi L.

Jeżeli funkcja x = φ(t) ma odwrotność t = Ф(x), to podstawiając to wyrażenie do równania y = g(t) otrzymujemy y = g(Ф(x)), co określa y jako funkcja X. W tym przypadku mówimy, że równania (2.2) definiują funkcję y parametrycznie.

Przykład 1. Pozwalać M(x, y)– dowolny punkt na okręgu o promieniu R i wyśrodkowany w początku. Pozwalać T– kąt między osiami Wół i promień OM(patrz ryc. 2.3). Następnie x, y wyrażają się poprzez T:

Równania (2.3) są równaniami parametrycznymi okręgu. Wykluczmy parametr t z równań (2.3). W tym celu podwyższamy każde równanie do kwadratu i dodajemy, otrzymujemy: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) lub x 2 + y 2 = R 2 – równanie okręgu w układzie kartezjańskim system współrzędnych. Definiuje dwie funkcje: Każda z tych funkcji jest dana równaniami parametrycznymi (2.3), ale dla pierwszej funkcji i dla drugiej.

Przykład 2. Równania parametryczne

zdefiniuj elipsę za pomocą półosi a, b(ryc. 2.4). Wyłączenie parametru z równań T, otrzymujemy równanie kanoniczne elipsy:

Przykład 3. Cykloida to linia określona przez punkt leżący na okręgu, jeśli okrąg toczy się bez poślizgu po linii prostej (ryc. 2.5). Wprowadźmy równania parametryczne cykloidy. Niech promień toczącego się koła będzie wynosił A, kropka M, opisujący cykloidę, na początku ruchu pokrywał się z początkiem współrzędnych.

Ustalmy współrzędne X, y punktów M po obróceniu się koła o kąt T
(ryc. 2.5), t = ÐMCB. Długość łuku M.B. równa długości odcinka O.B. ponieważ okrąg toczy się bez poślizgu

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – akoszt = a(1 – koszt).

W ten sposób uzyskuje się równania parametryczne cykloidy:

Podczas zmiany parametru T od 0 do 2π okrąg obraca się o jeden obrót, a punkt M opisuje jeden łuk cykloidy. Równania (2.5) dają y jako funkcja X. Chociaż funkcja x = a(t – sint) ma funkcję odwrotną, ale nie jest wyrażona w postaci funkcji elementarnych, a więc funkcja y = f(x) nie wyraża się za pomocą funkcji elementarnych.

Rozważmy różniczkowanie funkcji określonej parametrycznie za pomocą równań (2.2). Funkcja x = φ(t) w pewnym przedziale zmian t ma funkcję odwrotną t = Ф(x), Następnie y = g(Ф(x)). Pozwalać x = φ(t), y = g(t) mają instrumenty pochodne i x"t≠0. Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonych y"x=y"t×t"x. Bazując na zasadzie różniczkowania funkcji odwrotnej, zatem:

Otrzymany wzór (2.6) pozwala znaleźć pochodną funkcji określonej parametrycznie.

Przykład 4. Niech funkcja y, zależy od X, jest określony parametrycznie:

Rozwiązanie. .
Przykład 5. Znajdź nachylenie k styczna do cykloidy w punkcie M 0 odpowiadającym wartości parametru.
Rozwiązanie. Z równań cykloidy: y" t = asint, x" t = a(1 – koszt), Dlatego

Styczne nachylenie w punkcie M0 równa wartości przy t 0 = π/4:

FUNKCJA RÓŻNICOWA

Niech funkcja będzie w punkcie x 0 ma pochodną. Priorytet A:
dlatego zgodnie z właściwościami granicy (rozdział 1.8), gdzie A– nieskończenie mały przy Δx → 0. Stąd

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2,7)

Ponieważ Δx → 0, drugi wyraz równości (2.7) jest nieskończenie małą wartością wyższego rzędu w porównaniu do , zatem Δy i f " (x 0)×Δx są równoważne, nieskończenie małe (dla f "(x 0) ≠ 0).

Zatem przyrost funkcji Δy składa się z dwóch wyrazów, z których pierwszy f "(x 0)×Δx wynosi Głównym elementem przyrost Δy, liniowy względem Δx (dla f ”(x 0)≠ 0).

Mechanizm różnicowy funkcja f(x) w punkcie x 0 nazywana jest częścią główną przyrostu funkcji i oznaczana: dy Lub df(x0). Stąd,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2,8)

Przykład 1. Znajdź różnicę funkcji dy oraz przyrost funkcji Δy dla funkcji y = x 2 przy:
1) dowolne X i Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Rozwiązanie

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Jeżeli x 0 = 20, Δx = 0,1, to Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Zapiszmy równość (2.7) w postaci:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Przyrost Δy różni się od różnicy dy do nieskończenie małej wyższego rzędu w porównaniu z Δx, dlatego w obliczeniach przybliżonych stosuje się przybliżoną równość Δy ≈ dy, jeśli Δx jest wystarczająco małe.

Biorąc pod uwagę, że Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), otrzymujemy przybliżony wzór:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Przykład 2. Oblicz w przybliżeniu.

Rozwiązanie. Rozważać:

Korzystając ze wzoru (2.10) otrzymujemy:

Zatem ≈ 2,025.

Rozważmy geometryczne znaczenie różniczki df(x 0)(ryc. 2.6).

Narysujmy styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie M 0 (x0, f(x 0)), niech φ będzie kątem pomiędzy styczną KM0 a osią Ox, następnie f”( x 0) = tanφ Z ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ale PN jest przyrostem rzędnej stycznej, gdy x zmienia się od x 0 do x 0 + Δx.

Zatem różniczka funkcji f(x) w punkcie x 0 jest równa przyrostowi rzędnej stycznej.

Znajdźmy różniczkę funkcji
y = x. Ponieważ (x)" = 1, to dx = 1×Δx = Δx. Zakładamy, że różniczka zmiennej niezależnej x jest równa jej przyrostowi, czyli dx = Δx.

Jeśli x jest dowolną liczbą, to z równości (2.8) otrzymujemy df(x) = f "(x)dx, skąd .
Zatem pochodna funkcji y = f(x) jest równa stosunkowi jej różniczki do różniczki argumentu.

Rozważmy właściwości różniczki funkcji.

Jeżeli u(x), v(x) są funkcjami różniczkowalnymi, to obowiązują następujące wzory:

Aby udowodnić te wzory, stosuje się wzory na pochodne na sumę, iloczyn i iloraz funkcji. Udowodnijmy na przykład wzór (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Rozważmy różniczkę funkcji zespolonej: y = f(x), x = φ(t), tj. y = f(φ(t)).

Wtedy dy = y" t dt, ale y" t = y" x ×x" t, więc dy = y" x x" t dt. Rozważając,

że x" t = dx, otrzymujemy dy = y" x dx =f "(x)dx.

Zatem różniczka funkcji zespolonej y = f(x), gdzie x =φ(t), ma postać dy = f "(x)dx, taką samą jak w przypadku, gdy x jest zmienną niezależną. Własność ta jest nazywany niezmienność postaci różniczki A.

Nie stresujmy się, wszystko w tym akapicie jest również dość proste. Można zapisać ogólny wzór na funkcję parametrycznie zdefiniowaną, ale żeby było jasne, od razu napiszę konkretny przykład. W postaci parametrycznej funkcję wyznaczają dwa równania: . Często równania zapisuje się nie w nawiasach klamrowych, ale sekwencyjnie: , .

Zmienna nazywana jest parametrem i może przyjmować wartości od „minus nieskończoności” do „plus nieskończoności”. Rozważmy na przykład wartość i podstawmy ją do obu równań: . Lub mówiąc po ludzku: „jeśli x równa się cztery, to y równa się jeden”. Można zaznaczyć punkt na płaszczyźnie współrzędnych i punkt ten będzie odpowiadał wartości parametru. Podobnie można znaleźć punkt dla dowolnej wartości parametru „te”. Jeśli chodzi o funkcję „zwykłą”, dla Indian amerykańskich o funkcji parametrycznie zdefiniowanej również przestrzegane są wszelkie prawa: można zbudować wykres, znaleźć pochodne itp. Nawiasem mówiąc, jeśli chcesz wykreślić wykres parametrycznie określonej funkcji, pobierz mój program geometryczny na stronie Wzory i tablice matematyczne.

W najprostszych przypadkach możliwe jest jawne przedstawienie funkcji. Wyraźmy parametr z pierwszego równania: – i podstawiamy do drugiego równania: . Rezultatem jest zwykła funkcja sześcienna.

W bardziej „poważnych” przypadkach ta sztuczka nie działa. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ istnieje wzór na znalezienie pochodnej funkcji parametrycznej:

Znajdujemy pochodną „gry względem zmiennej te”:

Wszystkie zasady różniczkowania i tabela pochodnych obowiązują oczywiście dla litery , a zatem: nie ma nowości w procesie poszukiwania instrumentów pochodnych. Po prostu w myślach zamień wszystkie „X” w tabeli na literę „Te”.

Znajdujemy pochodną „x względem zmiennej te”:

Teraz pozostaje tylko podstawić znalezione pochodne do naszego wzoru:

Gotowy. Pochodna, podobnie jak sama funkcja, również zależy od parametru.

Jeśli chodzi o zapis, zamiast pisać go we wzorze, można go po prostu zapisać bez indeksu dolnego, ponieważ jest to „regularna” pochodna „po X”. Ale w literaturze zawsze jest opcja, więc nie odstąpię od standardu.

Przykład 6

Używamy wzoru

W tym przypadku:

Zatem:

Cechą szczególną znajdowania pochodnej funkcji parametrycznej jest fakt, że na każdym etapie korzystne jest maksymalne uproszczenie wyniku. Zatem w rozważanym przykładzie, kiedy go znalazłem, otworzyłem nawiasy pod korzeniem (chociaż mogłem tego nie zrobić). Jest duża szansa, że ​​po podstawieniu do wzoru wiele rzeczy zostanie dobrze zredukowanych. Chociaż oczywiście istnieją przykłady z niezdarnymi odpowiedziami.

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji określonej parametrycznie

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

W artykule Najprostsze typowe problemy z instrumentami pochodnymi przyjrzeliśmy się przykładom, w których musieliśmy znaleźć drugą pochodną funkcji. Dla funkcji zdefiniowanej parametrycznie można znaleźć także drugą pochodną, ​​którą wyznacza się ze wzoru: . Jest całkiem oczywiste, że aby znaleźć drugą pochodną, ​​trzeba najpierw znaleźć pierwszą pochodną.

Przykład 8

Znajdź pierwszą i drugą pochodną funkcji podanej parametrycznie

Najpierw znajdźmy pierwszą pochodną.
Używamy wzoru

W tym przypadku:

Podstawia znalezione pochodne do wzoru. Dla uproszczenia używamy wzoru trygonometrycznego:

Zauważyłem, że w problematyce znalezienia pochodnej funkcji parametrycznej dość często dla uproszczenia konieczne jest skorzystanie z wzory trygonometryczne . Zapamiętaj je lub trzymaj pod ręką i nie przegap okazji, aby uprościć każdy wynik pośredni i odpowiedzi. Po co? Teraz musimy wziąć pochodną , a to jest zdecydowanie lepsze niż znalezienie pochodnej .

Znajdźmy drugą pochodną.
Korzystamy ze wzoru: .

Spójrzmy na naszą formułę. Mianownik został już znaleziony w poprzednim kroku. Pozostaje znaleźć licznik – pochodną pierwszej pochodnej względem zmiennej „te”:

Pozostaje skorzystać ze wzoru:

Aby wzmocnić materiał, oferuję jeszcze kilka przykładów do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 9

Przykład 10

Znajdź i dla funkcji określonej parametrycznie

Życzę Ci sukcesu!

Mam nadzieję, że ta lekcja była przydatna i możesz teraz łatwo znaleźć pochodne funkcji określonych implicytnie i na podstawie funkcji parametrycznych

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 3: Rozwiązanie:






Zatem:

Pochodna funkcji określonej domyślnie.
Pochodna funkcji parametrycznie zdefiniowanej

W tym artykule przyjrzymy się dwóm bardziej typowym zadaniom, które często można znaleźć na testach z matematyki wyższej. Aby skutecznie opanować materiał, trzeba umieć znaleźć instrumenty pochodne przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Wyszukiwania instrumentów pochodnych nauczysz się praktycznie od podstaw na dwóch podstawowych lekcjach Pochodna funkcji zespolonej. Jeśli twoje umiejętności różnicowania są w porządku, to chodźmy.

Pochodna funkcji określonej domyślnie

Lub, w skrócie, pochodna funkcji ukrytej. Co to jest funkcja ukryta? Przypomnijmy sobie najpierw samą definicję funkcji jednej zmiennej:

Funkcja pojedynczej zmiennej jest regułą, zgodnie z którą każda wartość zmiennej niezależnej odpowiada jednej i tylko jednej wartości funkcji.

Zmienna nazywa się zmienna niezależna Lub argument.
Zmienna nazywa się zmienna zależna Lub funkcjonować .

Do tej pory przyjrzeliśmy się funkcjom zdefiniowanym w wyraźny formularz. Co to znaczy? Przeprowadźmy podsumowanie na konkretnych przykładach.

Rozważ funkcję

Widzimy, że po lewej stronie mamy samotnego „gracza”, a po prawej - tylko „X”. Czyli funkcja wyraźnie wyrażona poprzez zmienną niezależną.

Spójrzmy na inną funkcję:

Tutaj doszło do pomieszania zmiennych. Ponadto w żaden sposób niemożliwe wyrażaj „Y” tylko poprzez „X”. Jakie są te metody? Przenoszenie wyrazów z części na część ze zmianą znaku, usuwaniem ich z nawiasów, rzucaniem czynników zgodnie z zasadą proporcji itp. Przepisz równość i spróbuj wyrazić „y” jawnie: . Możesz przekręcać równanie godzinami, ale nie odniesiesz sukcesu.

Pozwólcie, że przedstawię: – przykład funkcja ukryta.

W trakcie analizy matematycznej udowodniono, że funkcja ukryta istnieje(choć nie zawsze) posiada wykres (podobnie jak „normalna” funkcja). Funkcja ukryta jest dokładnie taka sama istnieje pierwsza pochodna, druga pochodna itd. Jak mówią, respektowane są wszelkie prawa mniejszości seksualnych.

Na tej lekcji dowiemy się, jak znaleźć pochodną funkcji określonej w sposób dorozumiany. To nie jest takie trudne! Wszystkie zasady różniczkowania i tablica pochodnych funkcji elementarnych pozostają w mocy. Różnica polega na jednym szczególnym momencie, któremu przyjrzymy się teraz.

Tak, i powiem ci dobrą wiadomość - omówione poniżej zadania są wykonywane według dość rygorystycznego i jasnego algorytmu bez kamienia przed trzema torami.

Przykład 1

1) W pierwszym etapie dołączamy pociągnięcia do obu części:

2) Korzystamy z zasad liniowości pochodnej (dwie pierwsze zasady lekcji Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań):

3) Różnicowanie bezpośrednie.
Sposób rozróżnienia jest całkowicie jasny. Co zrobić, gdy pod uderzeniami znajdują się „zabawy”?

- aż do wstydu, pochodna funkcji jest równa jej pochodnej: .

Jak odróżnić
Mamy tutaj złożona funkcja. Dlaczego? Wydaje się, że pod sinusem jest tylko jedna litera „Y”. Ale faktem jest, że jest tylko jedna litera „y” - SAM JEST FUNKCJĄ(patrz definicja na początku lekcji). Zatem sinus jest funkcją zewnętrzną i jest funkcją wewnętrzną. Korzystamy z reguły różniczkowania funkcji zespolonej :

Wyróżniamy produkt według przyjętej zasady :

Należy pamiętać, że – jest także funkcją złożoną, każda „gra z wodotryskami” jest złożoną funkcją:

Samo rozwiązanie powinno wyglądać mniej więcej tak:


Jeśli są nawiasy, rozwiń je:

4) Po lewej stronie zbieramy wyrazy zawierające literę „Y” z liczbą pierwszą. Przenieś wszystko inne na prawą stronę:

5) Po lewej stronie wyciągamy pochodną z nawiasów:

6) I zgodnie z zasadą proporcji wrzucamy te nawiasy do mianownika prawej strony:

Znaleziono pochodną. Gotowy.

Warto zauważyć, że każdą funkcję można przepisać niejawnie. Na przykład funkcja można przepisać w ten sposób: . I różnicuj to za pomocą omówionego właśnie algorytmu. W rzeczywistości wyrażenia „funkcja ukryta” i „funkcja ukryta” różnią się jednym niuansem semantycznym. Wyrażenie „funkcja określona niejawnie” jest bardziej ogólne i poprawne, – funkcja ta jest określona implicytnie, ale tutaj można wyrazić „grę” i przedstawić funkcję jawnie. Wyrażenie „funkcja ukryta” odnosi się do „klasycznej” funkcji ukrytej, gdy „y” nie może zostać wyrażone.

Drugie rozwiązanie

Uwaga! Możesz zapoznać się z drugą metodą tylko wtedy, gdy wiesz, jak pewnie znaleźć pochodne cząstkowe. Proszę o obliczenia dla początkujących i manekinów nie czytaj i pomiń ten punkt, w przeciwnym razie w twojej głowie będzie kompletny bałagan.

Znajdźmy pochodną funkcji ukrytej, korzystając z drugiej metody.

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

Rozważmy funkcję dwóch zmiennych:

Następnie naszą pochodną można znaleźć za pomocą wzoru
Znajdźmy pochodne cząstkowe:

Zatem:

Drugie rozwiązanie pozwala na przeprowadzenie kontroli. Nie jest jednak wskazane, aby pisali ostateczną wersję zadania, ponieważ pochodne cząstkowe opanowuje się później, a student studiujący temat „Pochodna funkcji jednej zmiennej” nie powinien jeszcze znać pochodnych cząstkowych.

Spójrzmy na jeszcze kilka przykładów.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

Dodaj obrysy do obu części:

Korzystamy z reguł liniowości:

Znajdowanie instrumentów pochodnych:

Otwieranie wszystkich nawiasów:

Przenosimy wszystkie terminy with na lewą stronę, resztę na prawą stronę:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

Pełne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji.

Nierzadko zdarza się, że ułamki powstają po różniczku. W takich przypadkach musisz pozbyć się ułamków. Spójrzmy na jeszcze dwa przykłady.

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

Obie części zamykamy obrysami i stosujemy zasadę liniowości:

Różniczkuj, korzystając z reguły różniczkowania funkcji zespolonej oraz zasada różniczkowania ilorazów :

Rozszerzanie nawiasów:

Teraz musimy pozbyć się ułamka. Można to zrobić później, ale bardziej racjonalnie jest zrobić to od razu. Mianownik ułamka zawiera . Zwielokrotniać NA . W szczegółach będzie to wyglądać następująco:

Czasami po zróżnicowaniu pojawiają się 2-3 frakcje. Gdybyśmy mieli np. inny ułamek, to operację trzeba by powtórzyć – pomnożyć każdy termin każdej części NA

Po lewej stronie wyjmujemy to z nawiasów:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób dorozumiany

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Jedyną rzeczą jest to, że zanim pozbędziesz się frakcji, najpierw będziesz musiał pozbyć się trzypiętrowej struktury samej frakcji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Pochodna funkcji parametrycznie zdefiniowanej

Nie stresujmy się, wszystko w tym akapicie jest również dość proste. Można zapisać ogólny wzór na funkcję parametrycznie zdefiniowaną, ale żeby było jasne, od razu napiszę konkretny przykład. W postaci parametrycznej funkcję wyznaczają dwa równania: . Często równania zapisuje się nie w nawiasach klamrowych, ale sekwencyjnie: , .

Zmienna nazywana jest parametrem i może przyjmować wartości od „minus nieskończoności” do „plus nieskończoności”. Rozważmy na przykład wartość i podstawmy ją do obu równań: . Lub mówiąc po ludzku: „jeśli x równa się cztery, to y równa się jeden”. Można zaznaczyć punkt na płaszczyźnie współrzędnych i punkt ten będzie odpowiadał wartości parametru. Podobnie można znaleźć punkt dla dowolnej wartości parametru „te”. Jeśli chodzi o funkcję „zwykłą”, dla Indian amerykańskich o funkcji parametrycznie zdefiniowanej również przestrzegane są wszelkie prawa: można zbudować wykres, znaleźć pochodne itp. Nawiasem mówiąc, jeśli chcesz wykreślić wykres funkcji parametrycznie zdefiniowanej, możesz skorzystać z mojego programu.

W najprostszych przypadkach możliwe jest jawne przedstawienie funkcji. Wyraźmy parametr z pierwszego równania: – i podstawiamy do drugiego równania: . Rezultatem jest zwykła funkcja sześcienna.

W bardziej „poważnych” przypadkach ta sztuczka nie działa. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ istnieje wzór na znalezienie pochodnej funkcji parametrycznej:

Znajdujemy pochodną „gry względem zmiennej te”:

Wszystkie zasady różniczkowania i tabela pochodnych obowiązują oczywiście dla litery , a zatem: nie ma nowości w procesie poszukiwania instrumentów pochodnych. Po prostu w myślach zamień wszystkie „X” w tabeli na literę „Te”.

Znajdujemy pochodną „x względem zmiennej te”:

Teraz pozostaje tylko podstawić znalezione pochodne do naszego wzoru:

Gotowy. Pochodna, podobnie jak sama funkcja, również zależy od parametru.

Jeśli chodzi o zapis, zamiast pisać go we wzorze, można go po prostu zapisać bez indeksu dolnego, ponieważ jest to „regularna” pochodna „po X”. Ale w literaturze zawsze jest opcja, więc nie odstąpię od standardu.

Przykład 6

Używamy wzoru

W tym przypadku:

Zatem:

Cechą szczególną znajdowania pochodnej funkcji parametrycznej jest fakt, że na każdym etapie korzystne jest maksymalne uproszczenie wyniku. Zatem w rozważanym przykładzie, kiedy go znalazłem, otworzyłem nawiasy pod korzeniem (chociaż mogłem tego nie zrobić). Jest duża szansa, że ​​po podstawieniu do wzoru wiele rzeczy zostanie dobrze zredukowanych. Chociaż oczywiście istnieją przykłady z niezdarnymi odpowiedziami.

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji określonej parametrycznie

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

W artykule Najprostsze typowe problemy z instrumentami pochodnymi przyjrzeliśmy się przykładom, w których musieliśmy znaleźć drugą pochodną funkcji. Dla funkcji zdefiniowanej parametrycznie można znaleźć także drugą pochodną, ​​którą wyznacza się ze wzoru: . Jest całkiem oczywiste, że aby znaleźć drugą pochodną, ​​trzeba najpierw znaleźć pierwszą pochodną.

Przykład 8

Znajdź pierwszą i drugą pochodną funkcji podanej parametrycznie

Najpierw znajdźmy pierwszą pochodną.
Używamy wzoru

W tym przypadku:

Podstawiamy znalezione pochodne do wzoru. Dla uproszczenia używamy wzoru trygonometrycznego:

Funkcję można określić na kilka sposobów. Zależy to od reguły użytej do jej określenia. Jawną formą określenia funkcji jest y = f (x). Są chwile, kiedy jego opis jest niemożliwy lub niewygodny. Jeśli istnieje wiele par (x; y), które należy obliczyć dla parametru t w przedziale (a; b). Aby rozwiązać układ x = 3 cos t y = 3 sin t przy 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definicja funkcji parametrycznej

Stąd mamy, że x = φ (t), y = ψ (t) są zdefiniowane dla wartości t ∈ (a; b) i mają funkcję odwrotną t = Θ (x) dla x = φ (t), to mówimy o określeniu równania parametrycznego funkcji w postaci y = ψ (Θ (x)) .

Zdarzają się przypadki, gdy w celu zbadania funkcji konieczne jest poszukiwanie pochodnej po x. Rozważmy wzór na pochodną parametrycznie określonej funkcji postaci y x " = ψ " (t) φ " (t), porozmawiajmy o pochodnej drugiego i n-tego rzędu.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji parametrycznie określonej

Mamy, że x = φ (t), y = ψ (t), określone i różniczkowalne dla t ∈ a; b, gdzie x t " = φ " (t) ≠ 0 i x = φ (t), to istnieje funkcja odwrotna postaci t = Θ (x).

Na początek należy przejść od zadania parametrycznego do zadania jawnego. Aby to zrobić, należy uzyskać funkcję zespoloną w postaci y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), gdzie występuje argument x.

Na podstawie reguły znajdowania pochodnej funkcji zespolonej otrzymujemy, że y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

To pokazuje, że t = Θ (x) i x = φ (t) są funkcjami odwrotnymi ze wzoru na funkcję odwrotną Θ " (x) = 1 φ " (t), wówczas y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Przejdźmy dalej do rozważenia rozwiązania kilku przykładów z wykorzystaniem tabeli pochodnych zgodnie z regułą różniczkowania.

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji x = t 2 + 1 y = t.

Rozwiązanie

Pod warunkiem mamy to φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, stąd otrzymujemy, że φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Należy skorzystać z otrzymanego wzoru i wpisać odpowiedź w postaci:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Odpowiedź: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Podczas pracy z pochodną funkcji h parametr t określa wyrażenie argumentu x poprzez ten sam parametr t, aby nie stracić związku pomiędzy wartościami pochodnej i parametrycznie zdefiniowanej funkcji z argumentem do którym te wartości odpowiadają.

Aby wyznaczyć pochodną drugiego rzędu funkcji parametrycznie danej, należy skorzystać ze wzoru na pochodną pierwszego rzędu funkcji wynikowej i wtedy otrzymamy, że

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Przykład 2

Znajdź pochodne drugiego i drugiego rzędu danej funkcji x = cos (2 t) y = t 2 .

Rozwiązanie

Pod warunkiem stwierdzamy, że φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Potem po transformacji

φ " (t) = cos (2 t) " = - grzech (2 t) 2 t " = - 2 grzech (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Wynika z tego, że y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 grzech 2 t = - t grzech (2 t) .

Otrzymujemy, że postać pochodnej pierwszego rzędu to x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Aby rozwiązać, należy zastosować wzór na pochodną drugiego rzędu. Otrzymujemy wyrażenie formy

y x "" = - t grzech (2 t) φ " t = - t " · grzech (2 t) - t · (grzech (2 t)) " grzech 2 (2 t) - 2 grzech (2 t) = = 1 grzech (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 grzech 3 (2 t) = grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 grzech 3 (2 t)

Następnie określenie pochodnej drugiego rzędu za pomocą funkcji parametrycznej

x = cos (2 t) y x "" = grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 grzech 3 (2 t)

Podobne rozwiązanie można rozwiązać inną metodą. Następnie

φ " t = (cos (2 t)) " = - grzech (2 t) 2 t " = - 2 grzech (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 grzech (2 t) " = - 2 grzech (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Stąd to rozumiemy

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 grzech (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 grzech 2 t 3 = = grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s w n 3 (2 t)

Odpowiedź: y "" x = grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s ja n 3 (2 t)

W podobny sposób wyznacza się pochodne wyższego rzędu z parametrycznie zdefiniowanymi funkcjami.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Do tej pory rozważaliśmy równania prostych na płaszczyźnie, które bezpośrednio łączą aktualne współrzędne punktów tych prostych. Często jednak stosuje się inny sposób definiowania prostej, w którym aktualne współrzędne są traktowane jako funkcje trzeciej zmiennej.

Niech będą dane dwie funkcje zmiennej

rozważane dla tych samych wartości t. Wtedy dowolna z tych wartości t odpowiada pewnej wartości i pewnej wartości y, a zatem pewnemu punktowi. Gdy zmienna t przebiega przez wszystkie wartości z dziedziny definicji funkcji (73), punkt opisuje pewną prostą na płaszczyźnie C. Równania (73) nazywane są równaniami parametrycznymi tej prostej, a zmienna nazywana jest parametr.

Załóżmy, że funkcja ma funkcję odwrotną.Podstawiając tę ​​funkcję do drugiego z równań (73) otrzymujemy równanie

wyrażając y jako funkcję

Zgódźmy się, że funkcja ta jest dana parametrycznie za pomocą równań (73). Przejście od tych równań do równania (74) nazywa się eliminacją parametrów. W przypadku funkcji zdefiniowanych parametrycznie wyłączenie parametru nie tylko nie jest konieczne, ale i nie zawsze jest praktycznie możliwe.

W wielu przypadkach znacznie wygodniej jest, biorąc pod uwagę różne wartości parametru, następnie obliczyć za pomocą wzorów (73) odpowiednie wartości argumentu i funkcji y.

Spójrzmy na przykłady.

Przykład 1. Niech będzie dowolnym punktem na okręgu ze środkiem w początku początku i promieniem R. Współrzędne kartezjańskie x i y tego punktu są wyrażone poprzez jego promień biegunowy i kąt biegunowy, które oznaczamy tutaj przez t, w następujący sposób ( patrz rozdział I, § 3, paragraf 3):

Równania (75) nazywane są równaniami parametrycznymi okręgu. Parametrem w nich jest kąt biegunowy, który waha się od 0 do .

Jeżeli równania (75) podniesiemy do kwadratu i dodamy, to na mocy tożsamości parametr zostanie wyeliminowany i otrzymamy równanie okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych, które definiuje dwie funkcje elementarne:

Każda z tych funkcji jest określona parametrycznie za pomocą równań (75), ale zakresy parametrów tych funkcji są różne. Dla pierwszego z nich; Wykresem tej funkcji jest górny półkole. W przypadku drugiej funkcji jej wykresem jest dolny półkole.

Przykład 2. Rozważmy jednocześnie elipsę

oraz okrąg ze środkiem w początku i promieniem a (ryc. 138).

Do każdego punktu M elipsy przypisujemy punkt N okręgu, który ma tę samą odciętą co punkt M i leży z nim po tej samej stronie osi Wół. Położenie punktu N, a co za tym idzie i punktu M, jest całkowicie określone przez kąt biegunowy punktu t. W tym przypadku dla ich wspólnej odciętej otrzymujemy następujące wyrażenie: x = a. Współrzędne w punkcie M wyznaczamy z równania elipsy:

Znak został wybrany, ponieważ rzędna punktu M i rzędna punktu N muszą mieć te same znaki.

W ten sposób otrzymuje się następujące równania parametryczne dla elipsy:

Tutaj parametr t zmienia się od 0 do .

Przykład 3. Rozważmy okrąg ze środkiem w punkcie a) i promieniem a, który w sposób oczywisty dotyka osi x w początku układu współrzędnych (ryc. 139). Załóżmy, że ten okrąg toczy się bez poślizgu wzdłuż osi x. Następnie punkt M okręgu, który w momencie początkowym pokrywał się z początkiem współrzędnych, opisuje linię zwaną cykloidą.

Wyprowadźmy równania parametryczne cykloidy, przyjmując jako parametr t kąt MSV obrotu okręgu przy przesunięciu jego punktu stałego z położenia O do położenia M. Następnie dla współrzędnych i y punktu M otrzymujemy następujące wyrażenia:

Ze względu na to, że okrąg toczy się po osi bez poślizgu, długość odcinka OB jest równa długości łuku BM. Ponieważ długość łuku BM jest równa iloczynowi promienia a i kąta środkowego t, to . Dlatego . Ale dlatego,

Równania te są równaniami parametrycznymi cykloidy. Zmiana parametru t z 0 na okrąg spowoduje wykonanie jednego pełnego obrotu. Punkt M będzie opisywał jeden łuk cykloidy.

Wyłączenie tutaj parametru t prowadzi do uciążliwych wyrażeń i jest praktycznie niepraktyczne.

Parametryczne definiowanie prostych jest szczególnie często stosowane w mechanice, a rolę parametru odgrywa czas.

Przykład 4. Wyznaczmy trajektorię pocisku wystrzelonego z działa z prędkością początkową pod kątem a do poziomu. Pomijamy opór powietrza i wymiary pocisku, uznając to za punkt materialny.

Wybierzmy układ współrzędnych. Za początek współrzędnych przyjmijmy punkt wyjścia pocisku z lufy. Skierujmy oś Ox poziomo, a oś Oy pionowo, umieszczając je w tej samej płaszczyźnie co lufa pistoletu. Gdyby nie było siły ciężkości, to pocisk poruszałby się po linii prostej, tworząc z osią Ox kąt a, i do czasu t przebyłby odległość. Współrzędne pocisku w chwili t byłyby odpowiednio równe Do: . Ze względu na grawitację pocisk musi w tym momencie opaść pionowo o pewną wysokość, dlatego w rzeczywistości w chwili t współrzędne pocisku wyznaczają wzory:

Równania te zawierają wielkości stałe. Kiedy t się zmieni, współrzędne w punkcie trajektorii pocisku również ulegną zmianie. Równania są równaniami parametrycznymi trajektorii pocisku, w których parametrem jest czas

Wyrażanie z pierwszego równania i podstawienie go do

drugie równanie otrzymujemy równanie trajektorii pocisku w postaci Jest to równanie paraboli.