Równanie kwadratowe - łatwe do rozwiązania! *Zwana dalej „KU”. Przyjaciele, wydawałoby się, że w matematyce nie ma nic prostszego niż rozwiązanie takiego równania. Ale coś mi mówiło, że wiele osób ma z nim problemy. Postanowiłem sprawdzić, ile wyświetleń na żądanie Yandex wykonuje miesięcznie. Oto co się stało, spójrz:

Co to znaczy? Oznacza to, że tej informacji szuka miesięcznie około 70 000 osób, a mamy lato i co będzie się działo w trakcie roku szkolnego – zapytań będzie dwa razy więcej. Nie jest to zaskakujące, ponieważ ci chłopcy i dziewczęta, którzy dawno temu ukończyli szkołę i przygotowują się do ujednoliconego egzaminu państwowego, szukają tych informacji, a uczniowie również starają się odświeżyć swoją pamięć.

Pomimo tego, że istnieje wiele stron, które podpowiadają, jak rozwiązać to równanie, zdecydowałem się również wnieść swój wkład i opublikować materiał. Po pierwsze, chcę, aby odwiedzający odwiedzali moją witrynę na podstawie tego żądania; po drugie, w innych artykułach, gdy pojawi się temat „KU”, podam link do tego artykułu; po trzecie, opowiem Ci o jego rozwiązaniu trochę więcej, niż jest to zwykle podawane na innych stronach. Zacznijmy! Treść artykułu:

Równanie kwadratowe to równanie postaci:

gdzie współczynniki a,Bi c są liczbami dowolnymi, gdzie a≠0.

Na kursie szkolnym materiał podawany jest w następującej formie - równania podzielone są na trzy klasy:

1. Mają dwa korzenie.

2. *Mają tylko jeden korzeń.

3. Nie mają korzeni. Warto w tym miejscu szczególnie zaznaczyć, że nie mają one prawdziwego korzenia

Jak obliczane są pierwiastki? Tylko!

Obliczamy dyskryminator. Pod tym „strasznym” słowem kryje się bardzo prosta formuła:

Podstawowe formuły są następujące:

*Musisz znać te formuły na pamięć.

Możesz od razu zapisać i rozwiązać:

Przykład:

1. Jeżeli D > 0, to równanie ma dwa pierwiastki.

2. Jeżeli D = 0, to równanie ma jeden pierwiastek.

3. Jeśli D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Spójrzmy na równanie:

W związku z tym, gdy dyskryminator jest równy zero, kurs szkolny mówi, że uzyskuje się jeden pierwiastek, tutaj jest równy dziewięć. Wszystko się zgadza, tak jest, ale...

Pomysł ten jest nieco błędny. W rzeczywistości istnieją dwa korzenie. Tak, tak, nie zdziw się, otrzymasz dwa równe pierwiastki, a żeby być precyzyjnym matematycznie, to w odpowiedzi należy wpisać dwa pierwiastki:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale tak jest - mała dygresja. W szkole możesz to zapisać i powiedzieć, że jest jeden pierwiastek.

Teraz następny przykład:

Jak wiemy, nie można wyciągnąć pierwiastka z liczby ujemnej, więc w tym przypadku nie ma rozwiązania.

To cały proces decyzyjny.

Funkcja kwadratowa.

To pokazuje, jak rozwiązanie wygląda geometrycznie. Jest to niezwykle ważne, aby zrozumieć (w przyszłości w jednym z artykułów szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie nierówności kwadratowej).

Jest to funkcja postaci:

gdzie x i y są zmiennymi

a, b, c – dane liczby, gdzie a ≠ 0

Wykres jest parabolą:

Oznacza to, że rozwiązując równanie kwadratowe z „y” równym zero, znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią x. Mogą być dwa takie punkty (wyróżnik jest dodatni), jeden (wyróżnik ma wartość zero) i żaden (wyróżnik jest ujemny). Szczegóły dotyczące funkcji kwadratowej Możesz obejrzeć artykuł Inny Feldman.

Spójrzmy na przykłady:

Przykład 1: Rozwiąż 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpowiedź: x 1 = 8 x 2 = –12

*Można było od razu podzielić lewą i prawą stronę równania przez 2, czyli uprościć. Obliczenia będą łatwiejsze.

Przykład 2: Decydować x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

re = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Ustaliliśmy, że x 1 = 11 i x 2 = 11

W odpowiedzi można zapisać x = 11.

Odpowiedź: x = 11

Przykład 3: Decydować x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

re = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Dyskryminator jest ujemny, w liczbach rzeczywistych nie ma rozwiązania.

Odpowiedź: brak rozwiązania

Wyróżnik jest ujemny. Jest rozwiązanie!

Tutaj porozmawiamy o rozwiązaniu równania w przypadku uzyskania ujemnego dyskryminatora. Czy wiesz coś o liczbach zespolonych? Nie będę tu szczegółowo omawiał, dlaczego i gdzie powstały oraz jaka jest ich specyficzna rola i konieczność w matematyce; jest to temat na obszerny, odrębny artykuł.

Pojęcie liczby zespolonej.

Trochę teorii.

Liczba zespolona z jest liczbą postaci

z = a + bi

gdzie aib są liczbami rzeczywistymi, i jest tak zwaną jednostką urojoną.

a+bi – jest to JEDYNA LICZBA, a nie dodatek.

Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi z minus jeden:

Rozważmy teraz równanie:

Otrzymujemy dwa sprzężone pierwiastki.

Niekompletne równanie kwadratowe.

Rozważmy przypadki szczególne, gdy współczynnik „b” lub „c” jest równy zero (lub oba są równe zero). Można je łatwo rozwiązać bez żadnych dyskryminatorów.

Przypadek 1. Współczynnik b = 0.

Równanie staje się:

Przekształćmy:

Przykład:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Przypadek 2. Współczynnik c = 0.

Równanie staje się:

Przekształćmy i rozłóżmy na czynniki:

*Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

Przykład:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 lub x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Przypadek 3. Współczynniki b = 0 i c = 0.

Tutaj jest jasne, że rozwiązaniem równania będzie zawsze x = 0.

Przydatne właściwości i wzory współczynników.

Istnieją właściwości, które pozwalają rozwiązywać równania o dużych współczynnikach.

AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość

A + B+ c = 0, To

- jeśli dla współczynników równania AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość

A+ c =B, To

Właściwości te pomagają rozwiązać określony typ równania.

Przykład 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma szans wynosi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, co oznacza

Przykład 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Równość obowiązuje A+ c =B, Oznacza

Regularności współczynników.

1. Jeżeli w równaniu ax 2 + bx + c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jeżeli w równaniu ax 2 – bx + c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jeśli w równaniu ax 2 + bx – c = 0 współczynnik „b” jest równe (a 2 – 1) i współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, wtedy jego pierwiastki są równe

topór 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jeżeli w równaniu ax 2 – bx – c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 – 1), a współczynnik c jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Twierdzenie Viety.

Twierdzenie Viety zostało nazwane na cześć słynnego francuskiego matematyka Francois Viety. Korzystając z twierdzenia Viety, możemy wyrazić sumę i iloczyn pierwiastków dowolnego KU w postaci jego współczynników.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

W sumie liczba 14 daje tylko 5 i 9. To są pierwiastki. Przy pewnej wprawie, korzystając z przedstawionego twierdzenia, można od razu ustnie rozwiązać wiele równań kwadratowych.

Twierdzenie Viety dodatkowo. Jest to wygodne, ponieważ po rozwiązaniu równania kwadratowego w zwykły sposób (poprzez dyskryminator) można sprawdzić powstałe pierwiastki. Polecam robić to zawsze.

SPOSÓB TRANSPORTU

Dzięki tej metodzie współczynnik „a” jest mnożony przez wolny termin, jakby „wrzucony” do niego, dlatego nazywa się go metoda „przelewu”. Metodę tę stosuje się, gdy pierwiastki równania można łatwo znaleźć za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy wyróżnik jest dokładnym kwadratem.

Jeśli A± b+c≠ 0, wówczas stosuje się technikę transferu, np.:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Korzystając z twierdzenia Viety w równaniu (2) łatwo jest ustalić, że x 1 = 10 x 2 = 1

Powstałe pierwiastki równania należy podzielić przez 2 (ponieważ dwa zostały „wyrzucone” z x 2), otrzymujemy

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Jakie jest uzasadnienie? Spójrz, co się dzieje.

Dyskryminatory równań (1) i (2) są równe:

Jeśli spojrzysz na pierwiastki równań, otrzymasz tylko różne mianowniki, a wynik zależy dokładnie od współczynnika x 2:

Drugi (zmodyfikowany) ma korzenie 2 razy większe.

Dlatego wynik dzielimy przez 2.

*Jeśli przerzucimy trójkę, wynik podzielimy przez 3 itd.

Odpowiedź: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Plac ur-ie i ujednolicony egzamin państwowy.

Opowiem Ci krótko o jego znaczeniu - MUSISZ UMIEĆ DECYZJI szybko i bez zastanowienia, musisz znać na pamięć wzory pierwiastków i wyróżników. Wiele problemów zawartych w zadaniach Unified State Examination sprowadza się do rozwiązania równań kwadratowych (w tym geometrycznych).

Coś wartego uwagi!

1. Forma zapisu równania może być „ukryta”. Na przykład możliwy jest następujący wpis:

15+ 9x 2 - 45x = 0 lub 15x+42+9x 2 - 45x=0 lub 15 -5x+10x 2 = 0.

Musisz doprowadzić to do standardowej formy (aby nie pomylić się przy rozwiązywaniu).

2. Pamiętaj, że x jest wielkością nieznaną i można ją oznaczyć dowolną inną literą - t, q, p, h i innymi.

Dzięki temu programowi matematycznemu jest to możliwe rozwiązać równanie kwadratowe.

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania na dwa sposoby:
- użycie dyskryminatora
- korzystając z twierdzenia Viety (jeśli to możliwe).

Co więcej, odpowiedź jest wyświetlana jako dokładna, a nie przybliżona.
Przykładowo dla równania \(81x^2-16x-1=0\) odpowiedź jest wyświetlana w postaci:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ i nie tak: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w szkołach ogólnokształcących podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontroli rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Jeśli nie znasz zasad wprowadzania wielomianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wprowadzić ułamki dziesiętne w następujący sposób: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5z +1/7z^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Podczas wprowadzania wyrażenia możesz używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu równania kwadratowego wprowadzone wyrażenie jest najpierw upraszczane.
Na przykład: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Decydować

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Równanie kwadratowe i jego pierwiastki. Niekompletne równania kwadratowe

Każde z równań
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
wygląda jak
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdzie x jest zmienną, a, b i c są liczbami.
W pierwszym równaniu a = -1, b = 6 i c = 1,4, w drugim a = 8, b = -7 i c = 0, w trzecim a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takie równania nazywane są równania kwadratowe.

Definicja.
Równanie kwadratowe nazywa się równaniem w postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to niektóre liczby, a \(a \neq 0 \).

Liczby a, b i c są współczynnikami równania kwadratowego. Liczbę a nazywa się pierwszym współczynnikiem, liczba b jest drugim współczynnikiem, a liczba c jest wyrazem wolnym.

W każdym z równań postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie \(a\neq 0\), największą potęgą zmiennej x jest kwadrat. Stąd nazwa: równanie kwadratowe.

Należy zauważyć, że równanie kwadratowe nazywane jest również równaniem drugiego stopnia, ponieważ jego lewa strona jest wielomianem drugiego stopnia.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik x 2 jest równy 1 dane równanie kwadratowe. Na przykład podane równania kwadratowe są równaniami
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeżeli w równaniu kwadratowym ax 2 +bx+c=0 chociaż jeden ze współczynników b lub c jest równy zero, to takie równanie nazywa się niekompletne równanie kwadratowe. Zatem równania -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi. W pierwszym z nich b=0, w drugim c=0, w trzecim b=0 i c=0.

Istnieją trzy typy niekompletnych równań kwadratowych:
1) ax 2 +c=0, gdzie \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdzie \(b \neq 0 \);
3) topór 2 =0.

Rozważmy rozwiązanie równań każdego z tych typów.

Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 +c=0 dla \(c \neq 0 \), przesuń jego wolny wyraz na prawą stronę i podziel obie strony równania przez a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Ponieważ \(c \neq 0 \), to \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jeśli \(-\frac(c)(a)>0\), to równanie ma dwa pierwiastki.

Jeśli \(-\frac(c)(a) Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +bx=0 z \(b \neq 0 \) uwzględnij jego lewą stronę i otrzymaj równanie
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (tablica)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(tablica) \right. \)

Oznacza to, że niepełne równanie kwadratowe w postaci ax 2 +bx=0 dla \(b \neq 0 \) zawsze ma dwa pierwiastki.

Niekompletne równanie kwadratowe w postaci ax 2 = 0 jest równoważne równaniu x 2 = 0 i dlatego ma pojedynczy pierwiastek 0.

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Zastanówmy się teraz, jak rozwiązać równania kwadratowe, w których oba współczynniki niewiadomych i składnik wolny są różne od zera.

Rozwiążmy równanie kwadratowe w formie ogólnej i w rezultacie otrzymamy wzór na pierwiastki. Wzór ten można następnie wykorzystać do rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.

Rozwiąż równanie kwadratowe ax 2 +bx+c=0

Dzieląc obie strony przez a, otrzymujemy równoważne zredukowane równanie kwadratowe
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Przekształćmy to równanie, wybierając kwadrat dwumianu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strzałka w prawo \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Strzałka w prawo \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radykalne wyrażenie nazywa się dyskryminator równania kwadratowego ax 2 +bx+c=0 („różniący” po łacinie – dyskryminator). Jest on oznaczony literą D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz, stosując notację dyskryminacyjną, przepisujemy wzór na pierwiastki równania kwadratowego:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdzie \(D= b^2-4ac \)

To oczywiste, że:
1) Jeżeli D>0, to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.
2) Jeżeli D=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jeżeli D Zatem, w zależności od wartości wyróżnika, równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki (dla D > 0), jeden pierwiastek (dla D = 0) lub nie mieć pierwiastków (dla D. Przy rozwiązywaniu równania kwadratowego za pomocą tego formułę, zaleca się wykonanie następującego sposobu:
1) obliczyć dyskryminator i porównać go z zerem;
2) jeżeli wyróżnik jest dodatni lub równy zeru, to stosujemy wzór na pierwiastek, jeżeli dyskryminator jest ujemny, to zapisujemy, że nie ma pierwiastków.

Twierdzenie Viety

Dane równanie kwadratowe ax 2 -7x+10=0 ma pierwiastki 2 i 5. Suma pierwiastków wynosi 7, a iloczyn wynosi 10. Widzimy, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnej strony znak, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Każde zredukowane równanie kwadratowe, które ma pierwiastki, ma tę właściwość.

Suma pierwiastków powyższego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu.

Te. Twierdzenie Viety stwierdza, że ​​pierwiastki x 1 i x 2 zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 mają właściwość:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Równanie postaci

Wyrażenie D= b 2 - 4 ak zwany dyskryminujący równanie kwadratowe. JeśliD = 0, wówczas równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty; jeśli D> 0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.
W razie D = 0 , czasami mówi się, że równanie kwadratowe ma dwa identyczne pierwiastki.
Używając notacji D= b 2 - 4 ak, możemy przepisać wzór (2) do postaci

Jeśli B= 2 tys, wówczas wzór (2) przyjmuje postać:

Gdzie k= b / 2 .
Ta ostatnia formuła jest szczególnie wygodna w przypadkach, gdy B / 2 - liczba całkowita, tj. współczynnik B- Liczba parzysta.
Przykład 1: Rozwiązać równanie 2 X 2 - 5x + 2 = 0 . Tutaj a = 2, b = -5, c = 2. Mamy D= b 2 - 4 ak = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Ponieważ D > 0 , to równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je za pomocą wzoru (2)

Więc X 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
to jest X 1 = 2 I X 2 = 1 / 2 - pierwiastki danego równania.
Przykład 2: Rozwiązać równanie 2 X 2 - 3x + 5 = 0 . Tutaj a = 2, b = -3, c = 5. Znalezienie wyróżnika D= b 2 - 4 ak = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Ponieważ D 0 , to równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Niekompletne równania kwadratowe. Jeśli w równaniu kwadratowym topór 2 +bx+ c =0 drugi współczynnik B lub wolny członek C jest równa zero, wówczas nazywa się równanie kwadratowe niekompletny. Równania niekompletne są wyróżniane, ponieważ do znalezienia ich pierwiastków nie trzeba używać wzoru na pierwiastki równania kwadratowego - łatwiej jest rozwiązać równanie, rozkładając na czynniki jego lewą stronę.
Przykład 1: Rozwiązać równanie 2 X 2 - 5x = 0 .
Mamy X(2x - 5) = 0 . Więc albo X = 0 , Lub 2 X - 5 = 0 , to jest X = 2.5 . Zatem równanie ma dwa pierwiastki: 0 I 2.5
Przykład 2: Rozwiązać równanie 3 X 2 - 27 = 0 .
Mamy 3 X 2 = 27 . Dlatego pierwiastki tego równania są 3 I -3 .

Twierdzenie Viety. Jeśli zredukowane równanie kwadratowe X 2 +px+q =0 ma rzeczywiste pierwiastki, to ich suma jest równa - P, a iloczyn jest równy Q, to jest

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(suma pierwiastków powyższego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu).

Wiejska szkoła średnia Kopyevskaya

10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych

Kierownik: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nauczyciel matematyki

wieś Kopewo, 2007

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

1.2 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

1.4 Równania kwadratowe al-Khorezmiego

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wiek

1.6 O twierdzeniu Viety

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Wniosek

Literatura

1. Historia rozwoju równań kwadratowych

1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale także drugiego stopnia, już w czasach starożytnych, spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych z ustalaniem powierzchni działek oraz pracami wykopaliskowymi o charakterze wojskowym, a także podobnie jak rozwój samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe można było rozwiązać około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy.

Korzystając ze współczesnej notacji algebraicznej, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych oprócz niekompletnych znajdują się na przykład pełne równania kwadratowe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Zasada rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się ze współczesną, nie wiadomo jednak, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Prawie wszystkie odnalezione dotychczas teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami zawartymi w formie przepisów, bez wskazania, w jaki sposób je odnaleziono.

Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje pojęcia liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

1.2 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe.

Arytmetyka Diofantosa nie zawiera systematycznego przedstawienia algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i które są rozwiązywane poprzez konstruowanie równań różnego stopnia.

Układając równania, Diofant umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.

Oto na przykład jedno z jego zadań.

Problem 11.„Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn wynosi 96”

Diofantus rozumuje w następujący sposób: z warunków problemu wynika, że ​​wymagane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, ich iloczyn nie byłby równy 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowę kwoty, tj. 10 + x, drugi jest mniejszy, tj. 10-te. Różnica między nimi 2x .

Stąd równanie:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Stąd x = 2. Jedna z wymaganych liczb jest równa 12 , Inny 8 . Rozwiązanie x = -2 gdyż Diofantos nie istnieje, gdyż grecka matematyka znała tylko liczby dodatnie.

Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z wymaganych liczb jako niewiadomą, wówczas dojdziemy do rozwiązania równania

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 lat + 96 = 0. (2)

Oczywiste jest, że wybierając połowę różnicy wymaganych liczb jako niewiadomą, Diofant upraszcza rozwiązanie; udaje mu się sprowadzić problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego (1).

1.3 Równania kwadratowe w Indiach

Zagadnienia równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.), przedstawił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej:

aha 2 + B x = c, a > 0. (1)

W równaniu (1) współczynniki, z wyjątkiem A, może być również ujemna. Reguła Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza.

W starożytnych Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczony przyćmi chwałę drugiego na zgromadzeniach publicznych, proponując i rozwiązując zadania algebraiczne”. Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.

Jest to jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskars.

Problem 13.

„Stado rozbrykanych małp i dwanaście wzdłuż winorośli...

Władze po zjedzeniu dobrze się bawiły. Zaczęli skakać, wieszać się...

Są ich na placu, część 8. Ile było małp?

Bawiłem się na polanie. Powiedz mi, w tej paczce?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział on, że pierwiastki równań kwadratowych są dwuwartościowe (ryc. 3).

Równanie odpowiadające problemowi 13 to:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara pisze pod przykrywką:

x 2 - 64x = -768

i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje się do obu stron 32 2 , następnie otrzymanie:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Równania kwadratowe w al - Khorezmi

W traktacie algebraicznym al-Khorezmiego podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wyróżnia 6 rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = B X.

2) „Kwadraty są równe liczbom”, tj. topór 2 = ok.

3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ah = s.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = B X.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbom”, tj. aha 2 + bx = s.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + do = topór 2 .

Dla al-Khorezmiego, który unikał stosowania liczb ujemnych, wyrazy każdego z tych równań są dodawane, a nie odejmowane. W tym przypadku równania, które nie mają rozwiązań dodatnich, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor podaje metody rozwiązywania tych równań wykorzystując techniki al-jabra i al-muqabala. Jego decyzje oczywiście nie są całkowicie zbieżne z naszymi. Nie wspominając, że jest to czysto retoryczne, należy zauważyć na przykład, że przy rozwiązywaniu niepełnego równania kwadratowego pierwszego typu

al-Khorezmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę rozwiązania zerowego, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych problemach praktycznych nie ma to znaczenia. Przy rozwiązywaniu pełnych równań kwadratowych al-Khorezmi określa zasady ich rozwiązywania na podstawie konkretnych przykładów numerycznych, a następnie dowodów geometrycznych.

Problem 14.„Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź korzeń” (co oznacza pierwiastek równania x 2 + 21 = 10x).

Rozwiązanie autora wygląda mniej więcej tak: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, zostanie 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5 , otrzymasz 3, będzie to pożądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co daje 7, to także jest pierwiastek.

Traktat al-Khorezmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, która systematycznie określa klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.

1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII nocleg ze śniadaniem

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na wzór al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze liczydła, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. To obszerne dzieło, odzwierciedlające wpływ matematyki, zarówno z krajów islamu, jak i starożytnej Grecji, wyróżnia się kompletnością i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z Księgi liczydła wykorzystano w prawie wszystkich podręcznikach europejskich XVI-XVII wieku. i częściowo XVIII.

Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowana do jednej postaci kanonicznej:

x2+ bx = c,

dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników B , Z została sformułowana w Europie dopiero w 1544 roku przez M. Stiefela.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w postaci ogólnej jest dostępne u Viète, ale Viète rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Oprócz pozytywnych, brane są pod uwagę również pierwiastki negatywne. Dopiero w XVII w. Dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej formy.

1.6 O twierdzeniu Viety

Twierdzenie wyrażające związek współczynników równania kwadratowego z jego pierwiastkami, nazwane na cześć Viety, zostało przez niego po raz pierwszy sformułowane w 1591 r. w następujący sposób: „Jeśli B + D, pomnożone przez A - A 2 , równa się BD, To A równa się W i równe D ».

Aby zrozumieć Vietę, powinniśmy o tym pamiętać A, jak każda litera samogłoskowa, oznaczało nieznane (nasz X), samogłoski W, D- współczynniki dla niewiadomych. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Vieta oznacza: jeśli istnieje

(+ B )x - x 2 = ok ,

x 2 - (a + B )x + a B = 0,

x 1 = a, x 2 = B .

Wyrażając związek pierwiastków i współczynników równań ze wzorami ogólnymi zapisanymi za pomocą symboli, Viète ustalił jednolitość metod rozwiązywania równań. Jednak symbolika Wietnamu jest wciąż daleka od swojej współczesnej formy. Nie rozpoznawał liczb ujemnych, dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki były dodatnie.

2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Równania kwadratowe są podstawą, na której opiera się majestatyczny gmach algebry. Równania kwadratowe są szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, niewymiernych i przestępnych. Wszyscy wiemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe od szkoły (8 klasa) aż do ukończenia szkoły.

Po otrzymaniu ogólnego pojęcia o równościach i zapoznaniu się z jednym z ich rodzajów - równościami liczbowymi, można zacząć mówić o innym, bardzo ważnym z praktycznego punktu widzenia rodzaju równości - równaniach. W tym artykule przyjrzymy się co to jest równanie i tak zwany pierwiastek równania. Tutaj podamy odpowiednie definicje, a także podamy różne przykłady równań i ich pierwiastków.

Nawigacja strony.

Co to jest równanie?

Ukierunkowane wprowadzenie do równań rozpoczyna się zwykle na lekcjach matematyki w drugiej klasie. W tym momencie podano, co następuje definicja równania:

Definicja.

Równanie jest równością zawierającą nieznaną liczbę, którą należy znaleźć.

Nieznane liczby w równaniach są zwykle oznaczane małymi literami łacińskimi, na przykład p, t, u itp., Ale najczęściej używane są litery x, y i z.

Zatem równanie jest określane z punktu widzenia formy pisma. Innymi słowy, równość jest równaniem, gdy spełnia określone zasady zapisu - zawiera literę, której wartość należy znaleźć.

Podajmy przykłady pierwszych i najprostszych równań. Zacznijmy od równań w postaci x=8, y=3 itd. Równania zawierające znaki arytmetyczne wraz z cyframi i literami wyglądają na nieco bardziej skomplikowane, na przykład x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Po zapoznaniu się z różnorodnością równań wzrasta - zaczynają pojawiać się równania w nawiasach, np. 2·(x−1)=18 i x+3·(x+2·(x−2))=3. Nieznana litera w równaniu może wystąpić kilka razy, np. x+3+3·x−2−x=9, litery mogą także znajdować się po lewej stronie równania, po jego prawej stronie lub po obu stronach równania równanie, na przykład x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 lub 3·x−4=2·(x+12) .

Dalej, po przestudiowaniu liczb naturalnych, poznajemy liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, badamy nowe obiekty matematyczne: potęgi, pierwiastki, logarytmy itp., pojawia się coraz więcej nowych typów równań zawierających te rzeczy. Ich przykłady można zobaczyć w artykule podstawowe typy równań nauka w szkole.

W siódmej klasie oprócz liter, które oznaczają określone liczby, zaczynają brać pod uwagę litery, które mogą przyjmować różne wartości, nazywane są zmiennymi (patrz artykuł). Jednocześnie do definicji równania wprowadza się słowo „zmienna” i wygląda to tak:

Definicja.

Równanie nazywa się równością zawierającą zmienną, której wartość należy znaleźć.

Na przykład równanie x+3=6·x+7 jest równaniem ze zmienną x, a 3·z−1+z=0 jest równaniem ze zmienną z.

Na lekcjach algebry w tej samej siódmej klasie spotykamy równania zawierające nie jedną, ale dwie różne nieznane zmienne. Nazywa się je równaniami dwóch zmiennych. W przyszłości dozwolona będzie obecność trzech lub więcej zmiennych w równaniach.

Definicja.

Równania z jedynką, dwójką, trójką itd. zmienne– są to równania zawierające w swoim zapisie odpowiednio jedną, dwie, trzy,… nieznane zmienne.

Przykładowo równanie 3,2 x+0,5=1 jest równaniem z jedną zmienną x, z kolei równanie w postaci x−y=3 jest równaniem z dwiema zmiennymi x i y. I jeszcze jeden przykład: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Jest oczywiste, że takie równanie jest równaniem z trzema nieznanymi zmiennymi x, y i z.

Jaki jest pierwiastek równania?

Definicja równania jest bezpośrednio związana z definicją pierwiastka tego równania. Przeprowadźmy pewne rozumowanie, które pomoże nam zrozumieć, jaki jest pierwiastek równania.

Załóżmy, że mamy równanie z jedną literą (zmienną). Jeśli zamiast litery zawartej we wpisie tego równania podstawimy określoną liczbę, wówczas równanie zamieni się w równość liczbową. Co więcej, wynikająca z tego równość może być prawdziwa lub fałszywa. Na przykład, jeśli zamiast litery a w równaniu a+1=5 zastąpimy cyfrę 2, otrzymamy niepoprawną równość liczbową 2+1=5. Jeśli podstawimy w tym równaniu liczbę 4 zamiast a, otrzymamy poprawną równość 4+1=5.

W praktyce w zdecydowanej większości przypadków interesują nas te wartości zmiennej, których podstawienie do równania daje poprawną równość; wartości te nazywane są pierwiastkami lub rozwiązaniami tego równania.

Definicja.

Pierwiastek równania- jest to wartość litery (zmiennej), po podstawieniu której równanie zamienia się w poprawną równość liczbową.

Należy zauważyć, że pierwiastek równania w jednej zmiennej nazywany jest również rozwiązaniem równania. Innymi słowy, rozwiązanie równania i pierwiastek równania to to samo.

Wyjaśnijmy tę definicję na przykładzie. Aby to zrobić, wróćmy do równania zapisanego powyżej a+1=5. Zgodnie z podaną definicją pierwiastka równania, pierwiastkiem tego równania jest liczba 4, gdyż podstawiając tę ​​liczbę zamiast litery a otrzymamy poprawną równość 4+1=5, a liczba 2 nie jest jej pierwiastek, ponieważ odpowiada błędnej równości postaci 2+1= 5 .

W tym miejscu pojawia się szereg naturalnych pytań: „Czy jakieś równanie ma pierwiastek i ile pierwiastków ma dane równanie?” Odpowiemy na nie.

Istnieją zarówno równania, które mają pierwiastki, jak i równania, które nie mają pierwiastków. Na przykład równanie x+1=5 ma pierwiastek 4, ale równanie 0 x=5 nie ma pierwiastków, ponieważ niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy w tym równaniu zamiast zmiennej x, otrzymamy niepoprawną równość 0=5 .

Jeśli chodzi o liczbę pierwiastków równania, istnieją zarówno równania, które mają pewną skończoną liczbę pierwiastków (jeden, dwa, trzy itd.), jak i równania, które mają nieskończoną liczbę pierwiastków. Na przykład równanie x−2=4 ma pojedynczy pierwiastek 6, pierwiastkami równania x 2 =9 są dwie liczby −3 i 3, równanie x·(x−1)·(x−2)=0 ma trzy pierwiastki 0, 1 i 2, a rozwiązaniem równania x=x jest dowolna liczba, czyli ma nieskończoną liczbę pierwiastków.

Warto powiedzieć kilka słów o przyjętym zapisie pierwiastków równania. Jeśli równanie nie ma pierwiastków, zwykle pisze się „równanie nie ma pierwiastków” lub używa znaku pustego zestawu ∅. Jeśli równanie ma pierwiastki, wówczas są one zapisywane oddzielone przecinkami lub zapisywane jako elementy zestawu w nawiasach klamrowych. Na przykład, jeśli pierwiastkami równania są liczby -1, 2 i 4, wpisz -1, 2, 4 lub (-1, 2, 4). Dopuszczalne jest również zapisanie pierwiastków równania w postaci prostych równości. Na przykład, jeśli równanie zawiera literę x, a pierwiastkami tego równania są liczby 3 i 5, to można zapisać x=3, x=5, a indeksy dolne x 1 =3, x 2 =5 są często dodawane do zmiennej, jakby wskazując pierwiastki liczbowe równania. Nieskończony zbiór pierwiastków równania zwykle zapisuje się w postaci, jeśli to możliwe, stosuje się także zapis dla zbiorów liczb naturalnych N, liczb całkowitych Z i liczb rzeczywistych R. Na przykład, jeśli pierwiastkiem równania ze zmienną x jest dowolna liczba całkowita, to wpisz , a jeśli pierwiastkami równania ze zmienną y jest dowolna liczba rzeczywista od 1 do 9 włącznie, to napisz .

W przypadku równań z dwiema, trzema lub większą liczbą zmiennych z reguły nie używa się terminu „pierwiastek równania”, w takich przypadkach mówi się „rozwiązanie równania”. Jak nazywa się rozwiązywanie równań z kilkoma zmiennymi? Podajmy odpowiednią definicję.

Definicja.

Rozwiązywanie równania z dwójką, trójką itd. zmienne zwane parą, trójką itd. wartości zmiennych, zamieniając to równanie na poprawną równość liczbową.

Pokażmy przykłady wyjaśniające. Rozważmy równanie z dwiema zmiennymi x+y=7. Podstawmy liczbę 1 zamiast x i liczbę 2 zamiast y i otrzymamy równość 1+2=7. Jest to oczywiście błędne, zatem para wartości x=1, y=2 nie jest rozwiązaniem zapisanego równania. Jeśli weźmiemy parę wartości x=4, y=3, to po podstawieniu do równania otrzymamy poprawną równość 4+3=7, zatem ta para wartości zmiennych z definicji jest rozwiązaniem do równania x+y=7.

Równania z kilkoma zmiennymi, podobnie jak równania z jedną zmienną, mogą nie mieć pierwiastków, mogą mieć skończoną liczbę pierwiastków lub mogą mieć nieskończoną liczbę pierwiastków.

Pary, trojaczki, czwórki itp. Wartości zmiennych są często zapisywane krótko, podając ich wartości oddzielone przecinkami w nawiasach. W tym przypadku liczby zapisane w nawiasach odpowiadają zmiennym w kolejności alfabetycznej. Wyjaśnijmy tę kwestię, wracając do poprzedniego równania x+y=7. Rozwiązanie tego równania x=4, y=3 można w skrócie zapisać jako (4, 3).

Największą uwagę w szkolnym nauczaniu matematyki, algebry i początków analizy poświęca się znajdowaniu pierwiastków równań z jedną zmienną. Zasady tego procesu omówimy bardzo szczegółowo w artykule. rozwiązywanie równań.

Bibliografia.

• Matematyka. 2 zajęcia Podręcznik dla edukacji ogólnej instytucje z przym. na elektron przewoźnik. O 14:00 Część 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova i in.] - wyd. 3. - M.: Edukacja, 2012. - 96 s.: il. - (Szkoła Rosji). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: podręcznik dla 7 klasy ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: Klasa 9: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.