Trikhleb Daniił, uczeń 7. klasy

znajomość proporcjonalności bezpośredniej i współczynnika proporcjonalności bezpośredniej (wprowadzenie pojęcia współczynnika kątowego”);

skonstruowanie wykresu bezpośredniej proporcjonalności;

uwzględnienie względnego położenia wykresów bezpośredniej proporcjonalności i funkcji liniowych o identycznych współczynnikach kątowych.

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Jaki jest argument i wartość funkcji? Która zmienna nazywa się niezależną lub zależną? Co to jest funkcja? PRZEGLĄD Jaka jest dziedzina funkcji?

Metody określania funkcji. Analityczny (za pomocą wzoru) Graficzny (za pomocą wykresu) Tabelaryczny (za pomocą tabeli)

Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których odcięte są równe wartościom argumentu, a rzędne odpowiadają wartościom funkcji. HARMONOGRAM FUNKCJI

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

WYKONAJ ZADANIE Skonstruuj wykres funkcji y = 2 x +1, gdzie 0 ≤ x ≤ 4. Zrób stół. Korzystając z wykresu, znajdź wartość funkcji przy x=2,5. Przy jakiej wartości argumentu wartość funkcji wynosi 8?

Definicja Proporcjonalność bezpośrednia to funkcja, którą można określić wzorem w postaci y = k x, gdzie x jest zmienną niezależną, k jest liczbą różną od zera. (k-współczynnik bezpośredniej proporcjonalności) Proporcjonalność bezpośrednia

8 Wykres proporcjonalności bezpośredniej - prosta przechodząca przez początek współrzędnych (punkt O(0,0)) Do skonstruowania wykresu funkcji y= kx wystarczą dwa punkty, z czego jeden to O (0,0) Dla k > 0 wykres znajduje się w I i III ćwiartce współrzędnych. w k

Wykresy funkcji bezpośredniej proporcjonalności y x k>0 k>0 k

Zadanie Określ, który z wykresów przedstawia funkcję bezpośredniej proporcjonalności.

Zadanie Określ, który wykres funkcji jest pokazany na rysunku. Wybierz formułę spośród trzech oferowanych.

Praca ustna. Czy wykres funkcji określonej wzorem y = k x, gdzie k

Ustal, który z punktów A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) należy do wykresu bezpośredniej proporcjonalności danego wzorem y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - niepoprawne. Punkt A nie należy do wykresu funkcji y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - poprawnie. Punkt B należy do wykresu funkcji y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - niepoprawnie Punkt C nie należy do wykresu funkcji y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - prawda. Punkt E należy do wykresu funkcji y=5x

TEST 1 opcja 2 opcja nr 1. Które z funkcji podanych we wzorze są wprost proporcjonalne? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) re . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

Nr 2. Zapisz numery linii y = kx, gdzie k > 0 1 opcja k

Nr 3. Określ, który z punktów należy do wykresu bezpośredniej proporcjonalności, danego wzorem Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opcja C (1, -1), E (0,0 ) Opcja 2

y =5x y =10x III A VI i IV E 1 2 3 1 2 3 Nie. Prawidłowa odpowiedź Prawidłowa odpowiedź Nie.

Wykonaj zadanie: Pokaż schematycznie jak położony jest wykres funkcji podanej wzorem: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x

ZADANIE Z poniższych wykresów wybierz tylko wykresy bezpośredniej proporcjonalności.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funkcje y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Wybierz funkcje postaci y = k x (proporcjonalność bezpośrednia) i zapisz je

Funkcje bezpośredniej proporcjonalności Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x

y Funkcje liniowe niebędące funkcjami bezpośredniej proporcjonalności 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Praca domowa: akapit 15 s. 65-67, nr 307; Nr 308.

Powtórzmy to jeszcze raz. Czego nowego się nauczyłeś? Czego się nauczyłeś? Co było dla Ciebie szczególnie trudne?

Lekcja podobała mi się i temat jest zrozumiały: Lekcja podobała mi się, ale nadal nie wszystko rozumiem: Lekcja nie podobała mi się i temat nie jest jasny.

I. Wielkości wprost proporcjonalne.

Niech wartość y zależy od rozmiaru X. Jeśli przy zwiększaniu X kilka razy większy Na wzrasta o tę samą kwotę, to takie wartości X I Na nazywane są wprost proporcjonalnymi.

Przykłady.

1 . Ilość zakupionego towaru i cena zakupu (przy stałej cenie za jednostkę towaru - 1 sztuka lub 1 kg itp.) Ile razy więcej towarów kupiono, tym więcej razy więcej zapłacono.

2 . Przebyta droga i czas na niej spędzony (ze stałą prędkością). Ile razy dłuższa jest ścieżka, ile razy więcej czasu zajmie jej pokonanie.

3 . Objętość ciała i jego masa. ( Jeśli jeden arbuz jest 2 razy większy od drugiego, wówczas jego masa będzie 2 razy większa)

II. Własność bezpośredniej proporcjonalności wielkości.

Jeżeli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch dowolnie przyjętych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.

Zadanie 1. Na dżem malinowy wzięliśmy 12 kg maliny i 8 kg Sahara. Ile cukru będziesz potrzebować, jeśli go weźmiesz? 9 kg maliny?

Rozwiązanie.

Rozumujemy w ten sposób: niech to będzie konieczne x kg cukier za 9 kg maliny Masa malin i masa cukru to wielkości wprost proporcjonalne: ile razy mniej jest malin, tyle samo razy mniej cukru potrzeba. Dlatego stosunek zebranych malin (wagowo) ( 12:9 ) będzie równy stosunkowi przyjętego cukru ( 8:x). Otrzymujemy proporcję:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Odpowiedź: NA 9 kg maliny trzeba wziąć 6 kg Sahara.

Rozwiązanie problemu Można to zrobić w ten sposób:

Udać 9 kg maliny trzeba wziąć x kg Sahara.

(Strzałki na rysunku są skierowane w jednym kierunku, w górę lub w dół nie ma znaczenia. Znaczenie: ile razy liczba 12 więcej numeru 9 , tyle samo razy 8 więcej numeru X, czyli istnieje tu bezpośredni związek).

Odpowiedź: NA 9 kg Muszę zjeść trochę malin 6 kg Sahara.

Zadanie 2. Samochód dla 3 godziny przebył dystans 264 km. Ile czasu zajmie mu podróż? 440 km, jeśli jedzie z tą samą prędkością?

Rozwiązanie.

Pozwól na x godzin samochód pokona tę odległość 440 km.

Odpowiedź: samochód przejedzie 440 km w 5 godzin.

Zadanie 3. Woda przepływa z rury do basenu. Za 2 godziny ona wypełnia 1/5 basen W której części basenu znajduje się woda Godzina piąta?

Rozwiązanie.

Odpowiadamy na pytanie zadania: za Godzina piąta zostanie wypełniony 1/x część basenu. (Cały basen traktowany jest jako jedna całość).

>>Matematyka: Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Wśród funkcji liniowych y = kx + m szczególnie wyróżnia się przypadek m = 0; w tym przypadku przyjmuje postać y = kx i nazywa się ją bezpośrednią proporcjonalnością. Nazwę tę tłumaczy się faktem, że dwie wielkości y i x nazywane są wprost proporcjonalnymi, jeśli ich stosunek jest równy określonej
liczba inna niż zero. Tutaj ta liczba k nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności.

Wiele sytuacji z życia codziennego modeluje się przy użyciu bezpośredniej proporcjonalności.

Przykładowo drogę s i czas t przy stałej prędkości 20 km/h powiązane są zależnością s = 20t; jest to bezpośrednia proporcjonalność, gdzie k = 20.

Inny przykład:

koszt y i liczba x bochenków chleba w cenie 5 rubli. bo bochenek łączy zależność y = 5x; jest to bezpośrednia proporcjonalność, gdzie k = 5.

Dowód. Będziemy go realizować w dwóch etapach.
1. y = kx jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej, a wykresem funkcji liniowej jest linia prosta; oznaczmy to przez I.
2. Para x = 0, y = 0 spełnia równanie y - kx, dlatego punkt (0; 0) należy do wykresu równania y = kx, czyli prostej I.

W rezultacie linia prosta I przechodzi przez początek. Twierdzenie zostało udowodnione.

Trzeba umieć przejść nie tylko z modelu analitycznego y = kx do modelu geometrycznego (wykres bezpośredniej proporcjonalności), ale także z modelu geometrycznego modele do analitycznego. Rozważmy na przykład linię prostą na płaszczyźnie współrzędnych xOy pokazaną na rysunku 50. Jest to wykres bezpośredniej proporcjonalności, wystarczy znaleźć wartość współczynnika k. Skoro y, to wystarczy wziąć dowolny punkt na prostej i znaleźć stosunek rzędnej tego punktu do jego odciętej. Prosta przechodzi przez punkt P(3; 6) i dla tego punktu mamy: Oznacza to k = 2, a zatem dana prosta służy jako wykres bezpośredniej proporcjonalności y = 2x.

W rezultacie współczynnik k w zapisie funkcji liniowej y = kx + m nazywany jest także współczynnikiem nachylenia. Jeżeli k>0, to prosta y = kx + m tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi x (ryc. 49, a), a jeśli k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo z matematyki online, Matematyka w szkole do pobrania

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na rok, zalecenia metodyczne, program dyskusji Zintegrowane Lekcje

Proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna

Jeżeli t jest czasem ruchu pieszego (w godzinach), s jest przebytą drogą (w kilometrach), a porusza się on jednostajnie z prędkością 4 km/h, to związek między tymi wielkościami można wyrazić wzorem s = 4t. Ponieważ każda wartość t odpowiada pojedynczej wartości s, można powiedzieć, że funkcję definiuje się za pomocą wzoru s = 4t. Nazywa się to bezpośrednią proporcjonalnością i definiuje się ją w następujący sposób.

Definicja. Proporcjonalność bezpośrednia to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru y=kx, gdzie k jest niezerową liczbą rzeczywistą.

Nazwa funkcji y = k x wynika z faktu, że we wzorze y = k x występują zmienne x i y, które mogą być wartościami wielkości. A jeśli stosunek dwóch wielkości jest równy pewnej liczbie różnej od zera, nazywa się je wprost proporcjonalna . W naszym przypadku = k (k≠0). Ten numer się nazywa współczynnik proporcjonalności.

Funkcja y = k x jest matematycznym modelem wielu rzeczywistych sytuacji rozpatrywanych już na początkowym kursie matematyki. Jeden z nich został opisany powyżej. Inny przykład: jeśli w jednym worku mąki znajduje się 2 kg i zakupiono x takich worków, to całą masę zakupionej mąki (oznaczoną przez y) można przedstawić wzorem y = 2x, tj. związek ilości worków z masą całkowitą zakupionej mąki jest wprost proporcjonalny ze współczynnikiem k=2.

Przypomnijmy niektóre właściwości bezpośredniej proporcjonalności, których uczy się na szkolnych zajęciach z matematyki.

1. Dziedziną definicji funkcji y = k x i zakresem jej wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

2. Wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą przechodzącą przez początek. Zatem, aby skonstruować wykres proporcjonalności bezpośredniej, wystarczy znaleźć tylko jeden punkt, który do niego należy i nie pokrywa się z początkiem współrzędnych, a następnie poprowadzić linię prostą przez ten punkt i początek współrzędnych.

Przykładowo, aby skonstruować wykres funkcji y = 2x, wystarczy mieć punkt o współrzędnych (1, 2), a następnie poprowadzić przez niego linię prostą i początek współrzędnych (rys. 7).

3. Dla k > 0 funkcja y = khx rośnie w całym obszarze definicji; w k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Jeśli funkcja f jest bezpośrednią proporcjonalnością i (x 1, y 1), (x 2, y 2) są parami odpowiednich wartości zmiennych x i y oraz x 2 ≠0 to.

Rzeczywiście, jeśli funkcja f jest bezpośrednią proporcjonalnością, to można ją wyrazić wzorem y = khx, a następnie y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Ponieważ przy x 2 ≠0 i k ≠0, to y 2 ≠0. Dlatego i to oznacza, że ​​.

Jeżeli wartości zmiennych x i y są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, wówczas sprawdzoną właściwość bezpośredniej proporcjonalności można sformułować w następujący sposób: wraz ze wzrostem (spadkiem) wartości zmiennej x kilka razy, odpowiadająca jej wartość zmiennej y wzrasta (maleje) o tę samą kwotę.

Ta właściwość jest nieodłączna tylko od bezpośredniej proporcjonalności i można ją wykorzystać przy rozwiązywaniu problemów tekstowych, w których rozważane są wielkości bezpośrednio proporcjonalne.

Zadanie 1. W ciągu 8 godzin tokarz wyprodukował 16 części. Ile godzin zajmie tokarzowi wyprodukowanie 48 części, jeśli będzie pracował z tą samą wydajnością?

Rozwiązanie. Problem uwzględnia następujące wielkości: czas pracy tokarza, liczbę wykonanych przez niego części oraz produktywność (czyli liczbę części wyprodukowanych przez tokarza w ciągu 1 godziny), przy czym ostatnia wartość jest stała, a pozostałe dwie przyjmują różne wartości. Ponadto liczba wykonanych części i czas pracy są wielkościami wprost proporcjonalnymi, ponieważ ich stosunek jest równy pewnej liczbie, która nie jest równa zeru, a mianowicie liczbie części wykonanych przez tokarza w ciągu 1 godziny.Jeśli liczba wykonanych części oznaczono literą y, czas pracy wynosi x, a produktywność k, wówczas otrzymujemy, że = k lub y = khx, tj. Modelem matematycznym sytuacji przedstawionej w zadaniu jest wprost proporcjonalność.

Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby arytmetyczne:

1. sposób: 2. sposób:

1) 16:8 = 2 (dzieci) 1) 48:16 = 3 (razy)

2) 48:2 = 24 (godz.) 2) 8-3 = 24 (godz.)

Rozwiązując zadanie w pierwszy sposób, najpierw znaleźliśmy współczynnik proporcjonalności k, który wynosi 2, a następnie wiedząc, że y = 2x, znaleźliśmy wartość x pod warunkiem, że y = 48.

Rozwiązując problem w drugi sposób, skorzystaliśmy z własności bezpośredniej proporcjonalności: ile razy wzrasta liczba części wykonanych przez tokarza, o tę samą ilość wzrasta czas ich produkcji.

Przejdźmy teraz do rozważenia funkcji zwanej odwrotną proporcjonalnością.

Jeżeli t to czas ruchu pieszego (w godzinach), v to jego prędkość (w km/h) i przeszedł on 12 km, to związek między tymi wielkościami można wyrazić wzorem v∙t = 20 lub v = .

Ponieważ każda wartość t (t ≠ 0) odpowiada pojedynczej wartości prędkości v, można powiedzieć, że funkcję określa się za pomocą wzoru v =. Nazywa się to odwrotną proporcjonalnością i definiuje się ją w następujący sposób.

Definicja. Odwrotna proporcjonalność to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru y =, gdzie k jest liczbą rzeczywistą różną od zera.

Nazwa tej funkcji wynika z faktu, że y = istnieją zmienne x i y, które mogą być wartościami ilości. A jeśli iloczyn dwóch wielkości jest równy pewnej liczbie różnej od zera, wówczas nazywa się je odwrotnie proporcjonalnymi. W naszym przypadku xy = k(k ≠0). Liczba ta k nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności.

Funkcjonować y = jest matematycznym modelem wielu rzeczywistych sytuacji rozważanych już na początkowym kursie matematyki. Jedna z nich została opisana przed definicją odwrotnej proporcjonalności. Inny przykład: jeśli kupiłeś 12 kg mąki i włożyłeś ją do puszek o pojemności l: y kg, to związek między tymi ilościami można przedstawić jako x-y = 12, tj. jest odwrotnie proporcjonalna ze współczynnikiem k=12.

Przypomnijmy pewne własności odwrotnej proporcjonalności, znane ze szkolnych zajęć z matematyki.

1. Dziedzina definicji funkcji y = a zakres jego wartości x jest zbiorem liczb rzeczywistych innych niż zero.

2. Wykres odwrotnej proporcjonalności jest hiperbolą.

3. Dla k > 0 gałęzie hiperboli znajdują się w 1. i 3. ćwiartce, a funkcja y = maleje w całym obszarze definicji x (rys. 8).

Ryż. 8 Ryc.9

w k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = rośnie w całym obszarze definicji x (rys. 9).

4. Jeśli funkcja f jest odwrotną proporcjonalnością i (x 1, y 1), (x 2, y 2) są parami odpowiednich wartości zmiennych x i y, to.

Rzeczywiście, jeśli funkcja f jest odwrotną proporcjonalnością, to można ją wyrazić wzorem y = ,i wtedy . Ponieważ x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, to

Jeżeli wartości zmiennych x i y są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, wówczas tę właściwość odwrotnej proporcjonalności można sformułować w następujący sposób: przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości zmiennej x odpowiednia wartość zmiennej y zmniejsza się (zwiększa) o tę samą kwotę.

Ta właściwość jest nieodłączna tylko odwrotnej proporcjonalności i można ją wykorzystać przy rozwiązywaniu problemów tekstowych, w których rozważane są wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Zadanie 2. Rowerzysta poruszający się z prędkością 10 km/h pokonał drogę z A do B w ciągu 6 h. Ile czasu spędzi w drodze powrotnej rowerzysta, jeśli będzie jechał z prędkością 20 km/h?

Rozwiązanie. Problem uwzględnia następujące wielkości: prędkość rowerzysty, czas ruchu oraz odległość z punktu A do B, przy czym ostatnia wielkość jest stała, natomiast pozostałe dwie przyjmują różne wartości. Ponadto prędkość i czas ruchu są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, ponieważ ich iloczyn jest równy pewnej liczbie, a mianowicie przebytej odległości. Jeśli czas ruchu rowerzysty oznaczymy literą y, prędkość x, a odległość AB k, to otrzymamy, że xy = k lub y =, tj. Modelem matematycznym sytuacji przedstawionej w zadaniu jest odwrotna proporcjonalność.

Istnieją dwa sposoby rozwiązania problemu:

1. sposób: 2. sposób:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (razy)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(godz.)

Rozwiązując zadanie w pierwszy sposób, najpierw znaleźliśmy współczynnik proporcjonalności k, który wynosi 60, a następnie wiedząc, że y =, znaleźliśmy wartość y pod warunkiem, że x = 20.

Rozwiązując problem w drugi sposób, skorzystaliśmy z własności odwrotnej proporcjonalności: ile razy prędkość ruchu wzrasta, czas pokonania tej samej odległości maleje o tę samą liczbę.

Należy zauważyć, że przy rozwiązywaniu określonych problemów z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi lub bezpośrednio proporcjonalnymi na x i y nakładane są pewne ograniczenia, w szczególności można je rozpatrywać nie na całym zbiorze liczb rzeczywistych, ale na jego podzbiorach.

Zadanie 3. Lena kupiła x ołówków, a Katya 2 razy więcej. Oznacz liczbę ołówków zakupionych przez Katię przez y, wyraź y przez x i skonstruuj wykres ustalonej korespondencji pod warunkiem, że x≤5. Czy ta korespondencja jest funkcją? Jaka jest jego dziedzina definicji i zakres wartości?

Rozwiązanie. Katya kupiła = 2 ołówki. Wykreślając funkcję y=2x należy wziąć pod uwagę, że zmienna x oznacza liczbę ołówków, a x≤5, co oznacza, że ​​może przyjmować tylko wartości 0, 1, 2, 3, 4, 5. To będzie dziedzina definicji tej funkcji. Aby otrzymać zakres wartości tej funkcji, należy każdą wartość x z zakresu definicji pomnożyć przez 2, tj. będzie to zbiór (0, 2, 4, 6, 8, 10). Zatem wykres funkcji y = 2x z dziedziny definicji (0, 1, 2, 3, 4, 5) będzie zbiorem punktów pokazanych na rysunku 10. Wszystkie te punkty należą do prostej y = 2x .

§ 129. Wstępne wyjaśnienia.

Osoba stale ma do czynienia z szeroką gamą ilości. Pracownik i robotnik starają się dotrzeć do pracy na określoną godzinę, pieszy spieszy się, aby dotrzeć w określone miejsce najkrótszą drogą, palacz ogrzewania parowego martwi się, że temperatura w kotle powoli rośnie, a dyrektor biznesowy planuje obniżenie kosztów produkcji itp.

Można by podać dowolną liczbę takich przykładów. Czas, odległość, temperatura, koszt – to wszystko są różne wielkości. W pierwszej i drugiej części tej książki zapoznaliśmy się z niektórymi szczególnie powszechnymi wielkościami: powierzchnią, objętością, wagą. Studiując fizykę i inne nauki, spotykamy się z wieloma wielkościami.

Wyobraź sobie, że jedziesz pociągiem. Co jakiś czas spoglądasz na zegarek i zauważasz, jak długo byłeś w drodze. Mówisz na przykład, że minęło 2, 3, 5, 10, 15 godzin od odjazdu pociągu itp. Liczby te reprezentują różne okresy czasu; nazywane są one wartościami tej ilości (czasu). Możesz też wyjrzeć przez okno i podążać za słupkami drogowymi, aby zobaczyć odległość, jaką pokonuje Twój pociąg. Przed Tobą migają liczby 110, 111, 112, 113, 114 km. Liczby te reprezentują różne odległości, jakie przebył pociąg od punktu odjazdu. Nazywa się je również wartościami, tym razem o innej wielkości (droga lub odległość między dwoma punktami). Zatem jedna wielkość, na przykład czas, odległość, temperatura, może przyjmować tyle samo różne znaczenia.

Należy pamiętać, że dana osoba prawie nigdy nie bierze pod uwagę tylko jednej wielkości, ale zawsze łączy ją z jakimiś innymi wielkościami. Musi jednocześnie zajmować się dwiema, trzema lub większą liczbą wielkości. Wyobraź sobie, że musisz dotrzeć do szkoły na 9:00. Patrzysz na zegarek i widzisz, że masz 20 minut. Wtedy szybko się zastanawiasz, czy jechać tramwajem, czy możesz iść do szkoły pieszo. Po namyśle decydujesz się na spacer. Zauważ, że podczas myślenia rozwiązywałeś jakiś problem. To zadanie stało się proste i znane, ponieważ codziennie rozwiązujesz takie problemy. Szybko porównałeś w nim kilka ilości. To ty spojrzałeś na zegar, czyli wziąłeś pod uwagę godzinę, potem w myślach wyobraziłeś sobie odległość z domu do szkoły; Na koniec porównałeś dwie wartości: prędkość swojego kroku i prędkość tramwaju i doszedłeś do wniosku, że w danym czasie (20 minut) będziesz miał czas na spacer. Z tego prostego przykładu widać, że w naszej praktyce pewne wielkości są ze sobą powiązane, to znaczy zależą od siebie

Rozdział dwunasty mówił o związku wielkości jednorodnych. Na przykład, jeśli jeden odcinek ma 12 m, a drugi 4 m, wówczas stosunek tych odcinków wyniesie 12: 4.

Powiedzieliśmy, że jest to stosunek dwóch jednorodnych wielkości. Można to powiedzieć inaczej, mówiąc, że jest to stosunek dwóch liczb jedno imię.

Teraz, gdy jesteśmy już bardziej zaznajomieni z wielkościami i wprowadziliśmy pojęcie wartości wielkości, możemy w nowy sposób wyrazić definicję stosunku. Tak naprawdę, gdy rozważaliśmy dwa odcinki o długości 12 m i 4 m, mówiliśmy o jednej wartości - długości, a 12 m i 4 m były tylko dwiema różnymi wartościami tej wartości.

Dlatego w przyszłości, gdy zaczniemy mówić o stosunkach, rozważymy dwie wartości jednej wielkości, a stosunek jednej wartości wielkości do drugiej wartości tej samej wielkości będzie nazywany ilorazem podzielenia pierwszej wartości o drugie.

§ 130. Wartości są wprost proporcjonalne.

Rozważmy problem, którego warunek obejmuje dwie wielkości: odległość i czas.

Zadanie 1. Ciało poruszające się prostoliniowo i ruchem jednostajnym pokonuje drogę 12 cm w ciągu sekundy.Wyznacz drogę, którą ciało przebędzie w czasie 2, 3, 4, ..., 10 sekund.

Stwórzmy tabelę, za pomocą której można śledzić zmiany czasu i odległości.

Tabela daje nam możliwość porównania tych dwóch szeregów wartości. Widzimy z tego, że gdy wartości pierwszej wielkości (czasu) stopniowo rosną 2, 3,..., 10 razy, to wartości drugiej wielkości (odległości) również rosną o 2, 3, ..., 10 razy. Zatem, gdy wartości jednej wielkości wzrosną kilkukrotnie, wartości innej wielkości wzrosną o tę samą kwotę, a gdy wartości jednej wielkości zmniejszą się kilkukrotnie, wartości innej wielkości maleją o ten sam numer.

Rozważmy teraz problem, który dotyczy dwóch takich wielkości: ilości materii i jej kosztu.

Zadanie 2. 15 m tkaniny kosztuje 120 rubli. Oblicz koszt tej tkaniny dla kilku innych ilości metrów wskazanych w tabeli.

Korzystając z tej tabeli, możemy prześledzić, jak koszt produktu stopniowo rośnie w zależności od wzrostu jego ilości. Pomimo tego, że problem ten dotyczy zupełnie różnych wielkości (w pierwszym zadaniu – czasu i odległości, a tutaj – ilości towaru i jego wartości), to jednak można dostrzec duże podobieństwa w zachowaniu się tych wielkości.

Tak naprawdę w górnym wierszu tabeli znajdują się liczby wskazujące liczbę metrów tkaniny, a pod każdą z nich liczba wyrażająca koszt odpowiedniej ilości towaru. Nawet szybki rzut oka na tę tabelę pokazuje, że liczby w górnym i dolnym rzędzie rosną; po bliższym przyjrzeniu się tabeli i porównaniu poszczególnych kolumn okazuje się, że we wszystkich przypadkach wartości drugiej wielkości zwiększają się tyle samo razy, co wartości pierwszej, tj. jeśli wartość pierwsza wielkość wzrasta, powiedzmy, 10 razy, wówczas wartość drugiej wielkości również wzrasta 10-krotnie.

Jeśli przejrzymy tabelę od prawej do lewej, przekonamy się, że wskazane wartości wielkości zmniejszą się o tę samą liczbę razy. W tym sensie istnieje bezwarunkowe podobieństwo między pierwszym zadaniem a drugim.

Pary wielkości, które napotkaliśmy w pierwszym i drugim problemie, nazywają się wprost proporcjonalna.

Zatem jeśli dwie wielkości są ze sobą powiązane w ten sposób, że gdy wartość jednej z nich wzrasta (maleje) kilkukrotnie, wartość drugiej wzrasta (maleje) o tę samą kwotę, wówczas wielkości takie nazywa się wprost proporcjonalnymi .

Mówi się również, że takie wielkości są ze sobą powiązane zależnością wprost proporcjonalną.

Istnieje wiele podobnych ilości występujących w przyrodzie i otaczającym nas życiu. Oto kilka przykładów:

1. Czas praca (dzień, dwa dni, trzy dni itp.) i zyski, otrzymywanych w tym czasie wraz z dziennym wynagrodzeniem.

2. Tom każdy przedmiot wykonany z jednorodnego materiału oraz waga ten przedmiot.

§ 131. Własność wielkości wprost proporcjonalnych.

Rozważmy problem obejmujący dwie wielkości: czas pracy i zarobki. Jeśli dzienne zarobki wynoszą 20 rubli, wówczas zarobki za 2 dni wyniosą 40 rubli itp. Najwygodniej jest utworzyć tabelę, w której określona liczba dni będzie odpowiadać określonym zarobkom.

Patrząc na tę tabelę, widzimy, że obie wielkości przyjęły 10 różnych wartości. Każda wartość pierwszej wartości odpowiada określonej wartości drugiej wartości, na przykład 2 dni odpowiadają 40 rublom; 5 dni odpowiada 100 rubli. W tabeli liczby te są zapisane jedna pod drugą.

Wiemy już, że jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, to każda z nich w procesie swojej zmiany zwiększa się tyle razy, co druga. Wynika z tego natychmiast: jeśli weźmiemy stosunek dowolnych dwóch wartości pierwszej wielkości, wówczas będzie on równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości. Rzeczywiście:

Dlaczego to się dzieje? Ale ponieważ te wartości są wprost proporcjonalne, czyli gdy jedna z nich (czas) wzrosła 3-krotnie, to druga (zarobki) wzrosła 3-krotnie.

Doszliśmy zatem do następującego wniosku: jeśli weźmiemy dwie wartości pierwszej wielkości i podzielimy je przez siebie, a następnie podzielimy przez jeden odpowiadające im wartości drugiej wielkości, to w obu przypadkach otrzymamy ta sama liczba, czyli ta sama zależność. Oznacza to, że obie relacje, które napisaliśmy powyżej, można połączyć znakiem równości, tj.

Nie ma wątpliwości, że gdybyśmy wzięli nie te relacje, ale inne, i to nie w tej kolejności, ale w odwrotnej kolejności, to również otrzymalibyśmy równość relacji. W rzeczywistości rozważymy wartości naszych ilości od lewej do prawej i przyjmiemy trzecią i dziewiątą wartość:

60:180 = 1 / 3 .

Możemy więc napisać:

Prowadzi to do następującego wniosku: jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch dowolnie przyjętych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.

§ 132. Formuła bezpośredniej proporcjonalności.

Zróbmy tabelę kosztów różnych ilości słodyczy, jeśli 1 kg z nich kosztuje 10,4 rubla.

Teraz zróbmy to w ten sposób. Weź dowolną liczbę z drugiej linii i podziel ją przez odpowiednią liczbę z pierwszej linii. Na przykład:

Widzisz, że w ilorazie cały czas otrzymuje się tę samą liczbę. W konsekwencji dla danej pary wielkości wprost proporcjonalnych iloraz podzielenia dowolnej wartości jednej wielkości przez odpowiednią wartość innej wielkości jest liczbą stałą (tj. niezmienną). W naszym przykładzie iloraz ten wynosi 10,4. Ta stała liczba nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności. W tym przypadku wyraża cenę jednostki miary, czyli jednego kilograma towaru.

Jak znaleźć lub obliczyć współczynnik proporcjonalności? Aby to zrobić, musisz wziąć dowolną wartość jednej wielkości i podzielić ją przez odpowiednią wartość drugiej.

Oznaczmy tę dowolną wartość jednej wielkości literą Na i odpowiadająca jej wartość innej wielkości - litera X , następnie współczynnik proporcjonalności (oznaczamy to DO) znajdujemy poprzez dzielenie:

W tej równości Na - podzielne, X - dzielnik i DO- iloraz, a ponieważ zgodnie z właściwością dzielenia dywidenda jest równa dzielnikowi pomnożonemu przez iloraz, możemy napisać:

y = K X

Powstała równość nazywa się formuła bezpośredniej proporcjonalności. Korzystając z tego wzoru, możemy obliczyć dowolną liczbę wartości jednej z wielkości wprost proporcjonalnych, jeśli znamy odpowiadające wartości drugiej wielkości i współczynnik proporcjonalności.

Przykład. Z fizyki znamy tę wagę R dowolnego ciała jest równy jego ciężarowi właściwemu D , pomnożone przez objętość tego ciała V, tj. R = D V.

Weźmy pięć żelaznych prętów o różnych objętościach; Znając ciężar właściwy żelaza (7,8) możemy obliczyć masy tych wlewków korzystając ze wzoru:

R = 7,8 V.

Porównanie tego wzoru ze wzorem Na = DO X , widzimy to y = R, x = V oraz współczynnik proporcjonalności DO= 7,8. Formuła jest taka sama, różnią się tylko litery.

Korzystając z tej formuły, zróbmy tabelę: niech objętość pierwszego półfabrykatu będzie równa 8 metrów sześciennych. cm, wówczas jego waga wynosi 7,8 · 8 = 62,4 (g). Objętość drugiego półfabrykatu wynosi 27 metrów sześciennych. cm Jego waga wynosi 7,8 · 27 = 210,6 (g). Tabela będzie wyglądać następująco:

Oblicz brakujące liczby w tej tabeli, korzystając ze wzoru R= D V.

§ 133. Inne metody rozwiązywania problemów z wielkościami wprost proporcjonalnymi.

W poprzednim akapicie rozwiązaliśmy problem, którego warunek zawierał wielkości wprost proporcjonalne. W tym celu najpierw wyprowadziliśmy wzór na bezpośrednią proporcjonalność, a następnie zastosowaliśmy ten wzór. Teraz pokażemy dwa inne sposoby rozwiązania podobnych problemów.

Stwórzmy zadanie wykorzystując dane liczbowe podane w tabeli w poprzednim akapicie.

Zadanie. Puste o objętości 8 metrów sześciennych. cm waży 62,4 g. Ile waży półfabrykat o objętości 64 metrów sześciennych? cm?

Rozwiązanie. Jak wiadomo, masa żelaza jest proporcjonalna do jego objętości. Jeśli 8 cu. cm waży 62,4 g, następnie 1 cu. cm będzie ważył 8 razy mniej, tj.

62,4:8 = 7,8 (g).

Puste o objętości 64 metrów sześciennych. cm będzie ważył 64 razy więcej niż półfabrykat o pojemności 1 metra sześciennego. cm, tj.

7,8 · 64 = 499,2 (g).

Rozwiązaliśmy nasz problem, redukując do jedności. Znaczenie tej nazwy uzasadnia fakt, że aby ją rozwiązać, w pierwszym pytaniu musieliśmy znaleźć masę jednostki objętości.

2. Metoda proporcji. Rozwiążmy ten sam problem, stosując metodę proporcji.

Ponieważ masa żelaza i jego objętość są wielkościami wprost proporcjonalnymi, stosunek dwóch wartości jednej wielkości (objętości) jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości innej wielkości (wagi), tj.

(list R oznaczyliśmy nieznaną masę blanku). Stąd:

(G).

Zadanie rozwiązano metodą proporcji. Oznacza to, że aby go rozwiązać, z liczb zawartych w warunku obliczono proporcję.

§ 134. Wartości są odwrotnie proporcjonalne.

Rozważ następujący problem: „Pięć murarzy może położyć ceglane ściany domu w 168 dni. Określ, w ciągu ilu dni 10, 8, 6 itd. murarze mogliby wykonać tę samą pracę.

Gdyby 5 murarzy położyło ściany domu w 168 dni, to (przy tej samej wydajności pracy) 10 murarzy mogłoby to zrobić w o połowę krótszym czasie, ponieważ średnio 10 osób wykonuje pracę dwa razy więcej niż 5 osób.

Sporządźmy tabelę, za pomocą której moglibyśmy monitorować zmiany liczby pracowników i czasu pracy.

Na przykład, aby dowiedzieć się, ile dni zajmuje 6 pracowników, musisz najpierw obliczyć, ile dni zajmuje to jednemu pracownikowi (168 5 = 840), a następnie ile dni zajmuje sześciu pracowników (840: 6 = 140). Patrząc na tę tabelę, widzimy, że obie wielkości przyjęły sześć różnych wartości. Każda wartość pierwszej wielkości odpowiada określonej; wartość drugiej wartości, na przykład 10 odpowiada 84, liczba 8 odpowiada liczbie 105 itd.

Jeśli rozważymy wartości obu wielkości od lewej do prawej, zobaczymy, że wartości górnej wielkości rosną, a wartości dolnej wielkości maleją. Zwiększanie i zmniejszanie podlega następującemu prawu: wartości liczby pracowników rosną o tyle samo, o ile zmniejszają się wartości przepracowanego czasu pracy. Ideę tę można wyrazić jeszcze prościej w następujący sposób: im więcej pracowników jest zaangażowanych w jakiekolwiek zadanie, tym mniej czasu potrzebują na wykonanie określonej pracy. Dwie wielkości, które napotkaliśmy w tym zadaniu, nazywają się odwrotnie proporcjonalny.

Zatem jeśli dwie wielkości są ze sobą powiązane w ten sposób, że gdy wartość jednej z nich wzrasta (maleje) kilkukrotnie, wartość drugiej zmniejsza się (zwiększa się) o tę samą kwotę, wówczas wielkości takie nazywa się odwrotnie proporcjonalnymi .

W życiu istnieje wiele podobnych ilości. Podajmy przykłady.

1. Jeśli za 150 rubli. Jeśli chcesz kupić kilka kilogramów słodyczy, liczba słodyczy będzie zależała od ceny jednego kilograma. Im wyższa cena, tym mniej towarów można kupić za te pieniądze; widać to z tabeli:

Ponieważ cena cukierków wzrasta kilkakrotnie, liczba kilogramów cukierków, które można kupić za 150 rubli, maleje o tę samą kwotę. W tym przypadku dwie wielkości (waga produktu i jego cena) są odwrotnie proporcjonalne.

2. Jeżeli odległość między dwoma miastami wynosi 1200 km, to można ją pokonać w różnym czasie, w zależności od prędkości poruszania się. Można podróżować na różne sposoby: pieszo, konno, rowerem, statkiem, samochodem, pociągiem, samolotem. Im niższa prędkość, tym więcej czasu potrzeba na ruch. Można to zobaczyć z tabeli:

Przy kilkukrotnym zwiększeniu prędkości czas podróży zmniejsza się o tę samą wartość. Oznacza to, że w tych warunkach prędkość i czas są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

§ 135. Własność wielkości odwrotnie proporcjonalnych.

Weźmy drugi przykład, który omówiliśmy w poprzednim akapicie. Tam mieliśmy do czynienia z dwiema wielkościami – prędkością i czasem. Jeśli spojrzymy na tabelę wartości tych wielkości od lewej do prawej, zobaczymy, że wartości pierwszej wielkości (prędkości) rosną, a wartości drugiej (czasu) maleją, oraz prędkość wzrasta o tę samą wartość wraz ze spadkiem czasu. Nietrudno zrozumieć, że jeśli napiszesz stosunek niektórych wartości jednej wielkości, to nie będzie on równy stosunkowi odpowiednich wartości innej wielkości. W rzeczywistości, jeśli weźmiemy stosunek czwartej wartości górnej wartości do siódmej wartości (40: 80), to nie będzie on równy stosunkowi czwartej i siódmej wartości dolnej wartości (30: 15). Można to zapisać w ten sposób:

40:80 nie jest równe 30:15 ani 40:80 =/=30:15.

Ale jeśli zamiast jednej z tych relacji przyjmiemy odwrotną, wówczas otrzymamy równość, tj. Z tych relacji będzie można utworzyć proporcję. Na przykład:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Na podstawie powyższego możemy wyciągnąć następujący wniosek: jeśli dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch dowolnie przyjętych wartości jednej wielkości jest równy odwrotnemu stosunkowi odpowiednich wartości innej wielkości.

§ 136. Wzór na odwrotną proporcjonalność.

Rozważ problem: „Jest 6 kawałków jedwabiu o różnych rozmiarach i różnych klasach. Wszystkie części kosztują tyle samo. Jedna sztuka zawiera 100 m tkaniny, cena 20 rubli. na metr Ile metrów znajduje się w każdym z pozostałych pięciu kawałków, jeśli metr materiału w tych kawałkach kosztuje odpowiednio 25, 40, 50, 80, 100 rubli?” Aby rozwiązać ten problem, utwórzmy tabelę:

Musimy wypełnić puste komórki w górnym wierszu tej tabeli. Spróbujmy najpierw ustalić, ile metrów znajduje się w drugim kawałku. Można to zrobić w następujący sposób. Z warunków problemu wiadomo, że koszt wszystkich elementów jest taki sam. Koszt pierwszej sztuki jest łatwy do ustalenia: zawiera 100 metrów, a każdy metr kosztuje 20 rubli, co oznacza, że ​​pierwsza sztuka jedwabiu jest warta 2000 rubli. Ponieważ drugi kawałek jedwabiu zawiera tę samą ilość rubli, dzielimy więc 2000 rubli. w cenie jednego metra, czyli 25, znajdziemy rozmiar drugiej sztuki: 2000:25 = 80 (m). W ten sam sposób znajdziemy rozmiar wszystkich pozostałych elementów. Tabela będzie wyglądać następująco:

Łatwo zauważyć, że istnieje odwrotnie proporcjonalna zależność pomiędzy liczbą metrów a ceną.

Jeśli sam wykonasz niezbędne obliczenia, zauważysz, że za każdym razem będziesz musiał podzielić liczbę 2000 przez cenę 1 m. Wręcz przeciwnie, jeśli teraz zaczniesz mnożyć wielkość sztuki w metrach przez cenę 1 m , zawsze dostaniesz liczbę 2000. Na to trzeba było poczekać, ponieważ każda sztuka kosztuje 2000 rubli.

Stąd możemy wyciągnąć następujący wniosek: dla danej pary wielkości odwrotnie proporcjonalnych iloczyn dowolnej wartości jednej wielkości przez odpowiadającą jej wartość innej wielkości jest liczbą stałą (tj. niezmienną).

W naszym zadaniu iloczyn ten jest równy 2000. Sprawdź, czy w poprzednim zadaniu, które dotyczyło prędkości poruszania się i czasu potrzebnego na przemieszczanie się z jednego miasta do drugiego, również istniała stała liczba dla tego problemu (1200).

Biorąc wszystko pod uwagę, łatwo jest wyprowadzić wzór na odwrotną proporcjonalność. Oznaczmy literą pewną wartość jednej wielkości X , a odpowiednia wartość innej wielkości jest oznaczona literą Na . Następnie na podstawie powyższego praca X NA Na musi być równa jakiejś stałej wartości, którą oznaczamy literą DO, tj.

x y = DO.

W tej równości X - mnożnik Na - mnożnik i K- praca. Zgodnie z właściwością mnożenia mnożnik jest równy iloczynowi podzielonemu przez mnożną. Oznacza,

To jest wzór na odwrotną proporcjonalność. Za jego pomocą możemy obliczyć dowolną liczbę wartości jednej z wielkości odwrotnie proporcjonalnych, znając wartości drugiej i stałą liczbę DO.

Rozważmy inny problem: „Autor jednego eseju obliczył, że jeśli jego książka będzie w formacie zwykłym, to będzie miała 96 stron, a jeśli będzie to format kieszonkowy, to będzie miała 300 stron. Próbował różnych opcji, zaczął od 96 stron, a skończył na 2500 listach na stronie. Następnie wziął numery stron pokazane w poniższej tabeli i ponownie obliczył, ile liter będzie na stronie.

Spróbujmy policzyć, ile liter będzie na stronie, jeśli książka ma 100 stron.

W całej księdze jest 240 000 liter, bo 2500 96 = 240 000.

Biorąc to pod uwagę, stosujemy wzór na odwrotną proporcjonalność ( Na - ilość liter na stronie, X - Numer stron):

W naszym przykładzie DO= 240 000 zatem

Na stronie jest więc 2400 liter.

Podobnie dowiadujemy się, że jeśli książka ma 120 stron, to liczba liter na stronie będzie wynosić:

Nasza tabela będzie wyglądać następująco:

Wypełnij pozostałe komórki samodzielnie.

§ 137. Inne metody rozwiązywania problemów z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

W poprzednim akapicie rozwiązaliśmy problemy, których warunki obejmowały wielkości odwrotnie proporcjonalne. Najpierw wyprowadziliśmy wzór na odwrotną proporcjonalność, a następnie zastosowaliśmy ten wzór. Pokażemy teraz dwa inne rozwiązania takich problemów.

1. Metoda redukcji do jedności.

Zadanie. 5 tokarzy może wykonać pewną pracę w 16 dni. W ilu dniach 8 tokarzy może wykonać tę pracę?

Rozwiązanie. Istnieje odwrotna zależność pomiędzy liczbą tokarzy a godzinami pracy. Jeśli 5 tokarzy wykona tę pracę w 16 dni, to jedna osoba będzie potrzebowała na to 5 razy więcej czasu, tj.

5 tokarzy wykonuje pracę w 16 dni,

1 tokarz wykona to w 16 5 = 80 dni.

Problem polega na tym, ile dni zajmie 8 tokarzom wykonanie pracy. Oczywiście poradzą sobie z pracą 8 razy szybciej niż 1 tokarz, czyli w

80: 8 = 10 (dni).

To jest rozwiązanie problemu poprzez zredukowanie go do jedności. Tutaj należało przede wszystkim określić czas potrzebny na wykonanie pracy przez jednego pracownika.

2. Metoda proporcji. Rozwiążmy ten sam problem w drugi sposób.

Ponieważ istnieje odwrotnie proporcjonalna zależność pomiędzy liczbą robotników a czasem pracy, możemy napisać: czas pracy 5 tokarzy nowa liczba tokarzy (8) czas pracy 8 tokarzy poprzednia liczba tokarzy (5) Oznaczmy wymagany czas pracy listownie X i zamień niezbędne liczby na proporcję wyrażoną słownie:

Ten sam problem rozwiązuje się metodą proporcji. Aby go rozwiązać, musieliśmy utworzyć proporcję z liczb zawartych w opisie problemu.

Notatka. W poprzednich akapitach badaliśmy kwestię bezpośredniej i odwrotnej proporcjonalności. Natura i życie dają nam wiele przykładów bezpośredniej i odwrotnie proporcjonalnej zależności wielkości. Należy jednak zaznaczyć, że te dwa rodzaje zależności są jedynie najprostsze. Wraz z nimi istnieją inne, bardziej złożone zależności między wielkościami. Ponadto nie należy myśleć, że jeśli dowolne dwie wielkości wzrosną jednocześnie, wówczas koniecznie istnieje między nimi bezpośrednia proporcjonalność. Jest to dalekie od prawdy. Przykładowo, ceny biletów kolejowych rosną w zależności od odległości: im dalej jedziemy, tym więcej płacimy, ale to nie znaczy, że opłata jest proporcjonalna do odległości.