Podczas nauki algebry w szkole średniej (9 klasa) jednym z ważnych tematów jest nauka ciągów liczbowych, do których zaliczają się postępy - geometryczny i arytmetyczny. W tym artykule przyjrzymy się postępowi arytmetycznemu i przykładom z rozwiązaniami.
Co to jest postęp arytmetyczny?
Aby to zrozumieć, należy zdefiniować omawianą progresję, a także podać podstawowe wzory, które będą później wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.
Wiadomo, że w pewnym postępie algebraicznym pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz jest równy 18. Należy znaleźć różnicę i przywrócić ten ciąg do siódmego wyrazu.
Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego składnika: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 = 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) /6 = 2. W ten sposób odpowiedzieliśmy na pierwszą część problemu.
Aby przywrócić ciąg do wyrazu 7, należy skorzystać z definicji ciągu algebraicznego, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tak dalej. W efekcie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , za 6 = 14 + 2 = 16, za 7 = 18.
Przykład nr 3: sporządzenie progresji
Skomplikujmy problem jeszcze bardziej. Teraz musimy odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Można podać następujący przykład: podano dwie liczby, na przykład - 4 i 5. Należy utworzyć ciąg algebraiczny, aby między nimi umieścić jeszcze trzy wyrazy.
Zanim przystąpisz do rozwiązywania tego problemu, musisz zrozumieć, jakie miejsce w przyszłej progresji zajmą dane liczby. Ponieważ będą między nimi jeszcze trzy wyrazy, to a 1 = -4 i a 5 = 5. Po ustaleniu tego przechodzimy do problemu, który jest podobny do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego członu używamy wzoru i otrzymujemy: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, co tu otrzymaliśmy, nie jest całkowitą wartością różnicy, ale jest to liczba wymierna, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.
Dodajmy teraz znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące człony progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, co się pokrywało z warunkami problemu.
Przykład nr 4: pierwszy okres progresji
Kontynuujmy podawanie przykładów postępu arytmetycznego z rozwiązaniami. We wszystkich poprzednich zadaniach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego typu: niech zostaną podane dwie liczby, gdzie a 15 = 50 i a 43 = 37. Należy dowiedzieć się, od której liczby zaczyna się ten ciąg.
Dotychczas stosowane wzory zakładają znajomość 1 i d. W opisie problemu nic nie wiadomo na temat tych liczb. Niemniej jednak dla każdego terminu zapiszemy wyrażenia, o których są dostępne informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.
Najprostszym sposobem rozwiązania tego układu jest wyrażenie 1 w każdym równaniu, a następnie porównanie otrzymanych wyrażeń. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Przyrównując te wyrażenia otrzymujemy: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, skąd różnica d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (podawane są tylko 3 miejsca po przecinku).
Znając d, możesz użyć dowolnego z dwóch powyższych wyrażeń dla 1. Na przykład najpierw: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, możesz to sprawdzić, na przykład określić 43. wyraz progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenia do części tysięcznych.
Przykład nr 5: kwota
Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom z rozwiązaniami sumy postępu arytmetycznego.
Niech będzie podany ciąg liczbowy postaci: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?
Dzięki rozwojowi technologii komputerowej możliwe jest rozwiązanie tego problemu, czyli dodanie wszystkich liczb po kolei, co komputer zrobi, gdy tylko ktoś naciśnie klawisz Enter. Zadanie można jednak rozwiązać mentalnie, jeśli zwrócimy uwagę, że przedstawiony ciąg liczb jest ciągiem algebraicznym, a jego różnica jest równa 1. Stosując wzór na sumę otrzymujemy: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Co ciekawe, problem ten nazywa się „gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, potrafił go w głowie rozwiązać w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę postępu algebraicznego, ale zauważył, że jeśli liczby na końcach ciągu dodamy parami, zawsze otrzymamy ten sam wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ sumy te będą wynosić dokładnie 50 (100/2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.
Przykład nr 6: suma wyrazów od n do m
Innym typowym przykładem sumy postępu arytmetycznego jest następujący: mając ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14 .
Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na odnalezieniu nieznanych wyrazów od 8 do 14, a następnie zsumowaniu ich po kolei. Ponieważ terminów jest niewiele, metoda ta nie jest dość pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu za pomocą drugiej metody, która jest bardziej uniwersalna.
Chodzi o to, aby otrzymać wzór na sumę postępu algebraicznego pomiędzy wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach piszemy dwa wyrażenia na sumę:
- S m = m * (za m + za 1) / 2.
- S n = n * (za n + za 1) / 2.
Ponieważ n > m, oczywiste jest, że druga suma zawiera pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej człon a m (w przypadku wzięcia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), otrzymamy niezbędną odpowiedź na zadanie. Mamy: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Konieczne jest podstawienie w tym wyrażeniu wzorów na n i m. Następnie otrzymujemy: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Otrzymany wzór jest nieco uciążliwy, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby otrzymujemy: S mn = 301.
Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzorze na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed przystąpieniem do rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co musisz znaleźć, i dopiero wtedy przystąpienie do rozwiązania.
Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez stosowania skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz właśnie to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Przykładowo na przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można by zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, oraz podziel cały problem na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź terminy a n i a m).
Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się sprawdzenie go, tak jak to miało miejsce w niektórych podanych przykładach. Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Jeśli się domyślisz, nie jest to takie trudne.
Niektórzy traktują słowo „postęp” z ostrożnością, jako bardzo złożone pojęcie z dziedzin matematyki wyższej. Tymczasem najprostszym postępem arytmetycznym jest praca taksometru (o ile jeszcze istnieją). A zrozumienie istoty (a w matematyce nie ma nic ważniejszego niż „zrozumienie istoty”) ciągu arytmetycznego nie jest takie trudne, po przeanalizowaniu kilku elementarnych pojęć.
Matematyczny ciąg liczb
Sekwencję liczbową nazywa się zwykle serią liczb, z których każda ma swój własny numer.
a 1 jest pierwszym członkiem sekwencji;
oraz 2 jest drugim wyrazem ciągu;
a 7 jest siódmym elementem ciągu;
oraz n oznacza n-ty element ciągu;
Jednak nie interesuje nas żaden dowolny zestaw liczb i liczb. Skupimy naszą uwagę na ciągu liczbowym, w którym wartość n-tego wyrazu jest powiązana z jego liczbą porządkową za pomocą dającej się jasno sformułować matematycznie zależności. Innymi słowy: wartość liczbowa n-tej liczby jest jakąś funkcją n.
a jest wartością elementu ciągu liczbowego;
n to numer seryjny;
f(n) jest funkcją, gdzie argumentem jest liczba porządkowa w ciągu numerycznym n.
Definicja
Postęp arytmetyczny nazywa się zwykle ciągiem liczbowym, w którym każdy kolejny wyraz jest większy (mniejszy) od poprzedniego o tę samą liczbę. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:
a n - wartość bieżącego członka ciągu arytmetycznego;
a n+1 - wzór na następną liczbę;
d - różnica (pewna liczba).
Łatwo ustalić, że jeśli różnica będzie dodatnia (d>0), to każdy kolejny element rozpatrywanego szeregu będzie większy od poprzedniego i taki postęp arytmetyczny będzie rosnący.
Na poniższym wykresie łatwo zrozumieć, dlaczego sekwencja liczb nazywa się „rosnącą”.
W przypadkach, gdy różnica jest ujemna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Określona wartość elementu członkowskiego
Czasami konieczne jest określenie wartości dowolnego dowolnego wyrazu n ciągu arytmetycznego. Można to zrobić, obliczając sekwencyjnie wartości wszystkich członków ciągu arytmetycznego, zaczynając od pierwszego do żądanego. Jednak ta ścieżka nie zawsze jest akceptowalna, jeśli na przykład konieczne jest znalezienie wartości pięciotysięcznego lub ośmiomilionowego wyrazu. Tradycyjne obliczenia zajmą dużo czasu. Jednakże konkretny postęp arytmetyczny można badać za pomocą pewnych wzorów. Istnieje również wzór na n-ty wyraz: wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego można wyznaczyć jako sumę pierwszego wyrazu ciągu z różnicą postępu, pomnożoną przez liczbę żądanego wyrazu, pomniejszoną przez jeden.
Formuła jest uniwersalna dla progresji rosnącej i malejącej.
Przykład obliczenia wartości danego wyrazu
Rozwiążmy następujący problem znalezienia wartości n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Warunek: istnieje postęp arytmetyczny z parametrami:
Pierwszy wyraz ciągu to 3;
Różnica w szeregach liczbowych wynosi 1,2.
Zadanie: musisz znaleźć wartość 214 wyrazów
Rozwiązanie: aby określić wartość danego wyrazu, korzystamy ze wzoru:
a(n) = a1 + d(n-1)
Podstawiając dane ze sformułowania problemu do wyrażenia, mamy:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odpowiedź: 214. wyraz ciągu jest równy 258,6.
Zalety tej metody obliczeń są oczywiste – całe rozwiązanie zajmuje nie więcej niż 2 linie.
Suma danej liczby wyrazów
Bardzo często w danym szeregu arytmetycznym konieczne jest wyznaczenie sumy wartości niektórych jego odcinków. Aby to zrobić, nie ma również potrzeby obliczania wartości każdego terminu, a następnie ich dodawania. Metodę tę można zastosować, jeśli liczba wyrazów, których sumę należy znaleźć, jest niewielka. W innych przypadkach wygodniej jest zastosować następującą formułę.
Suma wyrazów ciągu arytmetycznego od 1 do n jest równa sumie pierwszego i n-tego wyrazu pomnożonej przez liczbę wyrazu n i podzielonej przez dwa. Jeżeli we wzorze wartość n-tego wyrazu zastąpimy wyrażeniem z poprzedniego akapitu artykułu, otrzymamy:
Przykład obliczeń
Na przykład rozwiążmy problem z następującymi warunkami:
Pierwszy wyraz ciągu wynosi zero;
Różnica wynosi 0,5.
Zadanie wymaga wyznaczenia sumy wyrazów szeregu od 56 do 101.
Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru na określenie wielkości progresji:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Najpierw wyznaczamy sumę wartości 101 wyrazów progresji, podstawiając podane warunki naszego problemu do wzoru:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Oczywiście, aby znaleźć sumę warunków progresji od 56. do 101., należy odjąć S 55 od S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Zatem suma postępu arytmetycznego w tym przykładzie wynosi:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Przykład praktycznego zastosowania postępu arytmetycznego
Na koniec artykułu wróćmy do przykładu ciągu arytmetycznego podanego w pierwszym akapicie – taksometru (licznik taksówki). Rozważmy ten przykład.
Wejście na taksówkę (co obejmuje 3 km przejazdu) kosztuje 50 rubli. Każdy kolejny kilometr płatny jest według stawki 22 rubli/km. Odległość do pokonania wynosi 30 km. Oblicz koszt podróży.
1. Odrzućmy pierwsze 3 km, których cena jest wliczona w koszt lądowania.
30 - 3 = 27 km.
2. Dalsze obliczenia to nic innego jak analizowanie szeregu liczb arytmetycznych.
Numer członkowski – liczba przejechanych kilometrów (minus pierwsze trzy).
Wartość elementu jest sumą.
Pierwszy człon tego problemu będzie równy 1 = 50 rubli.
Różnica w progresji d = 22 r.
interesująca nas liczba to wartość (27+1)-tego wyrazu ciągu arytmetycznego - stan licznika na końcu 27. kilometra wynosi 27,999... = 28 km.
za 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Obliczenia danych kalendarzowych dla dowolnie długiego okresu opierają się na wzorach opisujących określone ciągi liczbowe. W astronomii długość orbity jest geometrycznie zależna od odległości ciała niebieskiego od gwiazdy. Ponadto różne szeregi liczbowe są z powodzeniem stosowane w statystyce i innych stosowanych obszarach matematyki.
Innym rodzajem ciągu liczbowego jest ciąg geometryczny
Postęp geometryczny charakteryzuje się większym tempem zmian w porównaniu z postępem arytmetycznym. To nie przypadek, że w polityce, socjologii i medycynie, aby pokazać dużą prędkość rozprzestrzeniania się konkretnego zjawiska, na przykład choroby w czasie epidemii, mówi się, że proces ten rozwija się w postępie geometrycznym.
N-ty wyraz szeregu liczb geometrycznych różni się od poprzedniego tym, że jest mnożony przez jakąś stałą liczbę - mianownik, na przykład, pierwszy wyraz wynosi 1, mianownik jest odpowiednio równy 2, a następnie:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - wartość bieżącego wyrazu postępu geometrycznego;
b n+1 - wzór na kolejny wyraz ciągu geometrycznego;
q jest mianownikiem postępu geometrycznego (liczba stała).
Jeśli wykres postępu arytmetycznego jest linią prostą, to postęp geometryczny przedstawia nieco inny obraz:
Podobnie jak w przypadku arytmetyki, postęp geometryczny ma wzór na wartość dowolnego wyrazu. Dowolny n-ty wyraz postępu geometrycznego jest równy iloczynowi pierwszego wyrazu i mianownika postępu do potęgi n pomniejszonej o jeden:
Przykład. Mamy postęp geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 3, a mianownik postępu jest równy 1,5. Znajdźmy piąty wyraz progresji
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Sumę danej liczby wyrazów oblicza się również za pomocą specjalnego wzoru. Suma n pierwszych wyrazów postępu geometrycznego jest równa różnicy między iloczynem n-tego wyrazu postępu i jego mianownika a pierwszym wyrazem postępu, podzielonej przez mianownik pomniejszony o jeden:
Jeżeli b n zastąpimy wzorem omówionym powyżej, wartość sumy pierwszych n wyrazów rozpatrywanego szeregu liczbowego będzie miała postać:
Przykład. Postęp geometryczny rozpoczyna się od pierwszego wyrazu równego 1. Mianownik jest ustawiony na 3. Znajdźmy sumę pierwszych ośmiu wyrazów.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Wiele osób słyszało o postępie arytmetycznym, ale nie każdy ma dobre pojęcie o tym, czym jest. W tym artykule podamy odpowiednią definicję, a także rozważymy pytanie, jak znaleźć różnicę postępu arytmetycznego i podamy szereg przykładów.
Definicja matematyczna
Jeśli więc mówimy o postępie arytmetycznym lub algebraicznym (pojęcia te definiują to samo), to oznacza to, że istnieje pewien szereg liczbowy, który spełnia następujące prawo: każde dwie sąsiednie liczby w szeregu różnią się tą samą wartością. Matematycznie jest to zapisane w ten sposób:
Tutaj n oznacza numer elementu a n w ciągu, a liczba d jest różnicą postępu (jej nazwa wynika z przedstawionego wzoru).
Co oznacza znajomość różnicy d? O tym, jak „daleko” są od siebie sąsiednie liczby. Jednakże znajomość d jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym do ustalenia (przywrócenia) całej progresji. Konieczne jest poznanie jeszcze jednej liczby, którą może być absolutnie dowolny element rozważanego szeregu, na przykład 4, a10, ale z reguły używają pierwszej liczby, czyli 1.
Wzory na wyznaczanie elementów progresji
Generalnie powyższe informacje są już wystarczające, aby przejść do rozwiązywania konkretnych problemów. Zanim jednak zostanie podany postęp arytmetyczny, a konieczne będzie znalezienie jego różnicy, przedstawimy kilka przydatnych wzorów, ułatwiających w ten sposób dalszy proces rozwiązywania problemów.
Łatwo pokazać, że dowolny element ciągu o numerze n można znaleźć w następujący sposób:
za n = za 1 + (n - 1) * re
Rzeczywiście każdy może sprawdzić ten wzór za pomocą prostego wyszukiwania: jeśli podstawisz n = 1, otrzymasz pierwszy element, jeśli podstawisz n = 2, wówczas wyrażenie poda sumę pierwszej liczby i różnicę i tak dalej.
Warunki wielu problemów są tak skonstruowane, że mając znaną parę liczb, której liczby również podane są w ciągu, trzeba zrekonstruować cały szereg liczbowy (znaleźć różnicę i pierwszy element). Teraz rozwiążemy ten problem w ogólnej formie.
Niech więc zostaną dane dwa elementy o liczbach n i m. Korzystając ze wzoru otrzymanego powyżej, można utworzyć układ dwóch równań:
za n = za 1 + (n - 1) * re;
za m = za 1 + (m - 1) * re
Aby znaleźć nieznane ilości, zastosujemy dobrze znaną prostą technikę rozwiązania takiego układu: odejmij parami lewą i prawą stronę, równość pozostanie ważna. Mamy:
za n = za 1 + (n - 1) * re;
za n - za m = (n - 1) * re - (m - 1) * d = d * (n - m)
Zatem wykluczyliśmy jedną niewiadomą (a 1). Teraz możemy napisać końcowe wyrażenie określające d:
d = (a n - a m) / (n - m), gdzie n > m
Otrzymaliśmy bardzo prosty wzór: aby obliczyć różnicę d zgodnie z warunkami zadania, wystarczy przyjąć stosunek różnic między samymi elementami i ich numerami seryjnymi. Należy zwrócić uwagę na jedną ważną kwestię: różnice są brane pod uwagę między członkami „starszymi” i „młodszymi”, czyli n > m („starszy” oznacza stanie dalej od początku ciągu, jego wartość bezwzględna może być albo większy lub mniej „młodszy” element).
Wyrażenie na różnicę d postępu należy na początku rozwiązania zadania podstawić do dowolnego równania, aby otrzymać wartość pierwszego wyrazu.
W dobie rozwoju technologii komputerowej wiele uczniów próbuje znaleźć rozwiązania swoich zadań w Internecie, dlatego często pojawiają się pytania tego typu: znajdź różnicę w postępie arytmetycznym online. Na takie żądanie wyszukiwarka zwróci szereg stron internetowych, przechodząc do których konieczne będzie wprowadzenie danych znanych z warunku (mogą to być albo dwa terminy progresji, albo suma określonej ich liczby ) i natychmiast otrzymaj odpowiedź. Jednak takie podejście do rozwiązania problemu jest bezproduktywne z punktu widzenia rozwoju ucznia i zrozumienia istoty powierzonego mu zadania.
Rozwiązanie bez użycia wzorów
Rozwiążmy pierwsze zadanie nie korzystając z żadnego z podanych wzorów. Niech będą dane elementy szeregu: a6 = 3, a9 = 18. Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego.
Znane elementy stoją blisko siebie w rzędzie. Ile razy należy dodać różnicę d do najmniejszej, aby otrzymać największą? Trzy razy (za pierwszym razem dodając d otrzymamy element 7, za drugim razem - ósmy, wreszcie za trzecim razem - dziewiąty). Jaką liczbę należy dodać trzy razy do trzech, aby otrzymać 18? To jest liczba pięć. Naprawdę:
Zatem nieznana różnica d = 5.
Oczywiście rozwiązanie można było przeprowadzić stosując odpowiednią formułę, ale nie zrobiono tego celowo. Szczegółowe wyjaśnienie rozwiązania problemu powinno stać się jasnym i czytelnym przykładem tego, czym jest postęp arytmetyczny.
Zadanie podobne do poprzedniego
Rozwiążmy teraz podobny problem, ale zmieńmy dane wejściowe. Powinieneś więc znaleźć, czy a3 = 2, a9 = 19.
Oczywiście możesz ponownie zastosować metodę rozwiązania „z głową”. Ponieważ jednak podano elementy szeregu, które są od siebie stosunkowo oddalone, metoda ta nie będzie do końca wygodna. Ale użycie otrzymanej formuły szybko doprowadzi nas do odpowiedzi:
d = (za 9 - za 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Tutaj zaokrągliliśmy ostateczną liczbę. Stopień, w jakim to zaokrąglenie doprowadziło do błędu, można ocenić sprawdzając wynik:
za 9 = za 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Wynik ten różni się jedynie o 0,1% od wartości podanej w warunku. Dlatego też zaokrąglenie zastosowane do setnych części można uznać za udany wybór.
Problemy ze stosowaniem wzoru na wyraz
Rozważmy klasyczny przykład problemu wyznaczania nieznanej d: znajdź różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli a1 = 12, a5 = 40.
Gdy dane są dwie liczby o nieznanym ciągu algebraicznym i jedna z nich jest elementem a 1, to nie trzeba długo zastanawiać się, tylko należy od razu zastosować wzór na wyraz a n. W tym przypadku mamy:
za 5 = za 1 + re * (5 - 1) => d = (za 5 - za 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Dokładną liczbę otrzymaliśmy przy dzieleniu, więc nie ma sensu sprawdzać poprawności obliczonego wyniku, jak to zrobiono w poprzednim akapicie.
Rozwiążmy inny podobny problem: musimy znaleźć różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli a1 = 16, a8 = 37.
Stosujemy podejście podobne do poprzedniego i otrzymujemy:
za 8 = za 1 + re * (8 - 1) => re = (za 8 - za 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Co jeszcze warto wiedzieć o postępie arytmetycznym?
Oprócz problemów ze znalezieniem nieznanej różnicy lub poszczególnych elementów, często konieczne jest rozwiązanie problemów sumy pierwszych wyrazów ciągu. Omówienie tych problemów wykracza poza zakres artykułu, jednakże dla kompletności informacji przedstawiamy ogólny wzór na sumę n liczb w szeregu:
∑ n ja = 1 (za ja) = n * (za 1 + za n) / 2
Sekwencja numerów
Usiądźmy więc i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz (w naszym przypadku są). Nieważne, ile liczb zapiszemy, zawsze możemy powiedzieć, która jest pierwsza, która druga i tak dalej, aż do ostatniej, czyli możemy je policzyć. Oto przykład ciągu liczbowego:
Sekwencja numerów
Na przykład dla naszej sekwencji:
Przypisany numer jest specyficzny tylko dla jednego numeru w sekwencji. Innymi słowy, w sekwencji nie ma trzech sekund. Druga liczba (podobnie jak ta) jest zawsze taka sama.
Liczbę zawierającą liczbę nazywamy th wyrazem ciągu.
Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .
W naszym przypadku: 
Załóżmy, że mamy ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Na przykład: 
itp.
Ten ciąg liczb nazywany jest postępem arytmetycznym.
Termin „postęp” został wprowadzony przez rzymskiego autora Boecjusza już w VI wieku i był rozumiany szerzej jako nieskończony ciąg liczbowy. Nazwa „arytmetyka” została przeniesiona z teorii proporcji ciągłych, którą studiowali starożytni Grecy.
Jest to ciąg liczb, którego każdy element jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby. Liczba ta nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego i jest oznaczona.
Spróbuj określić, które ciągi liczbowe są ciągiem arytmetycznym, a które nie:
A)
B)
C)
D)
Rozumiem? Porównajmy nasze odpowiedzi:
Jest postęp arytmetyczny - b, c.
Nie jest postęp arytmetyczny - a, d.
Wróćmy do zadanego ciągu () i spróbujmy znaleźć wartość jego dziesiątego wyrazu. Istnieje dwa sposób, aby to znaleźć.
1. Metoda
Numer progresji możemy dodawać do poprzedniej wartości, aż dotrzemy do V wyrazu progresji. Dobrze, że nie mamy zbyt wiele do podsumowania – tylko trzy wartości:
Zatem termin opisywanego postępu arytmetycznego jest równy.
2. Metoda
Co by było, gdybyśmy musieli znaleźć wartość th wyrazu progresji? Sumowanie zajęłoby nam ponad godzinę i nie jest faktem, że przy dodawaniu liczb nie popełnialibyśmy błędów.
Oczywiście matematycy wymyślili sposób, dzięki któremu nie jest konieczne dodawanie różnicy postępu arytmetycznego do poprzedniej wartości. Przyjrzyj się bliżej narysowanemu obrazkowi... Z pewnością zauważyłeś już pewien wzór, a mianowicie:
Zobaczmy na przykład, z czego składa się wartość V wyrazu tego ciągu arytmetycznego: 
Innymi słowy:
Spróbuj w ten sposób samodzielnie znaleźć wartość członka danego ciągu arytmetycznego.
Czy obliczyłeś? Porównaj swoje notatki z odpowiedzią:
Zauważ, że otrzymałeś dokładnie tę samą liczbę, co w poprzedniej metodzie, gdy do poprzedniej wartości dodaliśmy po kolei wyrazy ciągu arytmetycznego.
Spróbujmy „odpersonalizować” tę formułę - sformułujmy ją ogólnie i otrzymamy:
|
Równanie postępu arytmetycznego. |
Postęp arytmetyczny może być rosnący lub malejący.
Wzrastający- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest większa od poprzedniej.
Na przykład:
Malejąco- progresje, w których każda kolejna wartość wyrazów jest mniejsza od poprzedniej.
Na przykład:
Wyprowadzony wzór jest używany do obliczania wyrazów zarówno rosnących, jak i malejących ciągu arytmetycznego.
Sprawdźmy to w praktyce.
Dany jest postęp arytmetyczny składający się z następujących liczb: Sprawdźmy, jaka będzie liczba th tego ciągu arytmetycznego, jeśli do jej obliczenia skorzystamy z naszego wzoru:
Od tego czasu:
Jesteśmy zatem przekonani, że wzór działa zarówno w malejącym, jak i rosnącym postępie arytmetycznym.
Spróbuj samodzielnie znaleźć th i th wyraz tego ciągu arytmetycznego.
Porównajmy wyniki:
Właściwość postępu arytmetycznego
Skomplikujmy problem - wyprowadzimy własność postępu arytmetycznego.
Powiedzmy, że mamy następujący warunek:
- postęp arytmetyczny, znajdź wartość.
Spokojnie, mówisz i zaczynasz liczyć według znanego już wzoru:
Niech więc:
Całkowita racja. Okazuje się, że najpierw znajdujemy, potem dodajemy do pierwszej liczby i otrzymujemy to, czego szukamy. Jeśli postęp jest reprezentowany przez małe wartości, to nie ma w tym nic skomplikowanego, ale co jeśli w warunku podane zostaną liczby? Zgadzam się, istnieje możliwość popełnienia błędu w obliczeniach.
Zastanów się teraz, czy można rozwiązać to zadanie w jednym kroku, stosując dowolną formułę? Oczywiście, że tak i właśnie to postaramy się teraz przedstawić.
Oznaczmy wymagany wyraz ciągu arytmetycznego, gdyż wzór na jego znalezienie jest nam znany - jest to ten sam wzór, który wyprowadziliśmy na początku:
, Następnie:
- poprzedni termin progresji to:
- kolejny wyraz progresji to:
Podsumujmy poprzednie i kolejne terminy progresji:
Okazuje się, że sumą poprzednich i kolejnych wyrazów progresji jest podwójna wartość członu progresji znajdującego się pomiędzy nimi. Innymi słowy, aby znaleźć wartość składnika progresji ze znanymi wartościami poprzednimi i kolejnymi, należy je dodać i podzielić przez.
Zgadza się, mamy ten sam numer. Zabezpieczmy materiał. Oblicz wartość progresji samodzielnie, nie jest to wcale trudne.
Dobrze zrobiony! O progresji wiesz prawie wszystko! Pozostaje znaleźć tylko jedną formułę, którą według legendy z łatwością wydedukował jeden z największych matematyków wszechczasów, „król matematyków” - Karl Gauss...
Kiedy Carl Gauss miał 9 lat, nauczyciel, zajęty sprawdzaniem prac uczniów w innych klasach, postawił na zajęciach następujące zadanie: „Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od do (według innych źródeł do) włącznie”. Wyobraźcie sobie zdziwienie nauczyciela, gdy jeden z jego uczniów (był to Karl Gauss) minutę później podał poprawną odpowiedź na zadanie, podczas gdy większość kolegów śmiałka po długich obliczeniach otrzymała błędny wynik…
Młody Carl Gauss zauważył pewną prawidłowość, którą i Ty możesz łatwo zauważyć.
Załóżmy, że mamy postęp arytmetyczny składający się z -tych wyrazów: Musimy znaleźć sumę tych wyrazów postępu arytmetycznego. Oczywiście możemy ręcznie zsumować wszystkie wartości, ale co jeśli zadanie wymaga znalezienia sumy jej wyrazów, tak jak szukał Gauss?
Przedstawmy dany nam postęp. Przyjrzyj się uważnie podświetlonym liczbom i spróbuj wykonać na nich różne operacje matematyczne. 
Próbowałeś tego? Co zauważyłeś? Prawidłowy! Ich sumy są równe
A teraz powiedz mi, ile takich par jest w sumie w podanej nam progresji? Oczywiście dokładnie połowa wszystkich liczb.
Z faktu, że suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa i pary podobne są równe, otrzymujemy, że suma całkowita jest równa:
.
Zatem wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:
W niektórych problemach nie znamy terminu „th”, ale znamy różnicę w postępie. Spróbuj zastąpić wzór tego wyrazu wzorem na sumę.
Co dostałeś?
Dobrze zrobiony! Wróćmy teraz do problemu, który został zadany Carlowi Gaussowi: obliczcie sami, jaka jest suma liczb zaczynających się od th, a suma liczb zaczynających się od th.
Ile dostałeś?
Gauss stwierdził, że suma wyrazów jest równa i suma wyrazów. Czy tak zdecydowałeś?
W rzeczywistości wzór na sumę wyrazów postępu arytmetycznego został udowodniony przez starożytnego greckiego naukowca Diofantusa już w III wieku i przez cały ten czas dowcipni ludzie w pełni korzystali z właściwości postępu arytmetycznego.
Wyobraźmy sobie na przykład starożytny Egipt i największy projekt budowlany tamtych czasów - budowę piramidy... Zdjęcie przedstawia jedną jej stronę. 
Gdzie tu jest postęp, mówisz? Przyjrzyj się uważnie i znajdź wzór w liczbie bloków piasku w każdym rzędzie ściany piramidy. 
Dlaczego nie postęp arytmetyczny? Oblicz, ile bloków potrzeba do zbudowania jednej ściany, jeśli u podstawy ułożone zostaną cegły blokowe. Mam nadzieję, że nie będziesz liczyć, przesuwając palcem po monitorze, pamiętasz ostatnią formułę i wszystko, co mówiliśmy o postępie arytmetycznym?
W tym przypadku progresja wygląda następująco: .
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba wyrazów postępu arytmetycznego.
Podstawmy nasze dane do ostatnich wzorów (obliczmy liczbę bloków na 2 sposoby).
Metoda 1.
Metoda 2.
A teraz możesz obliczyć na monitorze: porównaj uzyskane wartości z liczbą bloków znajdujących się w naszej piramidzie. Rozumiem? Dobra robota, opanowałeś sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście nie można zbudować piramidy z klocków u podstawy, ale z? Spróbuj obliczyć, ile cegieł piaskowych potrzeba do zbudowania ściany w tym stanie.
Czy udało Ci się?
Prawidłowa odpowiedź to bloki:
Szkolenie
Zadania:
- Masza robi formę na lato. Z każdym dniem zwiększa liczbę przysiadów o. Ile razy Masza będzie robić przysiady w ciągu tygodnia, jeśli robiła przysiady na pierwszej sesji treningowej?
- Jaka jest suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w.
- Podczas przechowywania kłód loggery układają je w taki sposób, że każda górna warstwa zawiera o jedną kłodę mniej niż poprzednia. Ile kłód znajduje się w jednym murze, jeśli fundamentem muru są kłody?
Odpowiedzi:
- Zdefiniujmy parametry postępu arytmetycznego. W tym przypadku
(tygodnie = dni).Odpowiedź: Za dwa tygodnie Masza powinna robić przysiady raz dziennie.
- Pierwsza liczba nieparzysta, ostatnia liczba.
Różnica postępu arytmetycznego.
Liczba liczb nieparzystych jest równa połowie, sprawdźmy jednak ten fakt korzystając ze wzoru na znalezienie VII wyrazu ciągu arytmetycznego:Liczby zawierają liczby nieparzyste.
Podstawmy dostępne dane do wzoru:Odpowiedź: Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych w jest równa.
- Przypomnijmy sobie problem z piramidami. W naszym przypadku a , ponieważ każda górna warstwa jest zmniejszona o jeden log, to w sumie mamy kilka warstw.
Podstawiamy dane do wzoru:Odpowiedź: W murze znajdują się kłody.
Podsumujmy to
- - ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa. Może rosnąć lub maleć.
- Znalezienie formuły Piąty wyraz ciągu arytmetycznego zapisuje się wzorem - , gdzie jest liczba liczb w ciągu.
- Własność członków ciągu arytmetycznego- - gdzie jest liczbą numerów w toku.
- Suma wyrazów postępu arytmetycznego można znaleźć na dwa sposoby:
, gdzie jest liczbą wartości.
PROGRESJA ARYTMETYCZNA. ŚREDNI POZIOM
Sekwencja numerów
Usiądźmy i zacznijmy pisać liczby. Na przykład:
Możesz wpisać dowolne liczby, a może być ich tyle, ile chcesz. Ale zawsze możemy powiedzieć, który jest pierwszy, który drugi i tak dalej, to znaczy możemy je policzyć. To jest przykład ciągu liczbowego.
Sekwencja numerów to zbiór liczb, z których każdej można przypisać unikalny numer.
Innymi słowy, każdą liczbę można powiązać z pewną liczbą naturalną i to niepowtarzalną. I nie przypiszemy tego numeru żadnemu innemu numerowi z tego zestawu.
Liczbę z liczbą nazywamy th członkiem ciągu.
Zwykle całą sekwencję nazywamy jakąś literą (na przykład), a każdy element tej sekwencji to ta sama litera z indeksem równym numerowi tego elementu: .
Jest to bardzo wygodne, jeśli th-ty wyraz ciągu można określić za pomocą jakiegoś wzoru. Na przykład formuła
ustawia kolejność:
A formuła jest następującą sekwencją:
Na przykład postęp arytmetyczny jest ciągiem (pierwszy wyraz jest tutaj równy, a różnica jest). Lub (, różnica).
formuła n-tego terminu
Nazywamy formułą rekurencyjną, w której aby znaleźć th wyraz, trzeba znać poprzednie lub kilka poprzednich:
Aby znaleźć na przykład dziewiąty wyraz progresji za pomocą tego wzoru, będziemy musieli obliczyć poprzednie dziewięć. Na przykład pozwól. Następnie:
Czy teraz jest jasne, jaka jest formuła?
W każdym wierszu dodajemy, pomnożyliśmy przez jakąś liczbę. Który? Bardzo proste: jest to numer bieżącego członka minus:
Teraz jest o wiele wygodniej, prawda? Sprawdzamy:
Zdecyduj sam:
W postępie arytmetycznym znajdź wzór na n-ty wyraz i znajdź setny wyraz.
Rozwiązanie:
Pierwszy wyraz jest równy. Jaka jest różnica? Oto co:
(Dlatego nazywa się to różnicą, bo jest równe różnicy kolejnych wyrazów postępu).
Zatem formuła:
Wtedy setny wyraz jest równy:
Jaka jest suma wszystkich liczb naturalnych od do?
Według legendy wielki matematyk Carl Gauss już jako 9-letni chłopiec obliczył tę kwotę w kilka minut. Zauważył, że suma pierwszej i ostatniej liczby jest równa, suma drugiej i przedostatniej jest taka sama, suma trzeciej i trzeciej od końca jest taka sama i tak dalej. Ile jest w sumie takich par? Zgadza się, to znaczy dokładnie połowa liczby wszystkich liczb. Więc,
Ogólny wzór na sumę pierwszych wyrazów dowolnego postępu arytmetycznego będzie następujący:
Przykład:
Znajdź sumę wszystkich dwucyfrowych wielokrotności.
Rozwiązanie:
Pierwsza taka liczba to ta. Każdą kolejną liczbę uzyskujemy poprzez dodanie do poprzedniej liczby. Zatem interesujące nas liczby tworzą ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem i różnicą.
Formuła wyrazu VII dla tej progresji:
Ile wyrazów jest w progresji, jeśli wszystkie muszą być dwucyfrowe?
Bardzo łatwe: .
Ostatni termin progresji będzie równy. Następnie suma:
Odpowiedź: .
Teraz zdecyduj sam:
- Każdego dnia sportowiec przebiega więcej metrów niż poprzedniego dnia. Ile kilometrów przebiegnie w ciągu tygodnia, jeśli pierwszego dnia przebiegł km?
- Rowerzysta pokonuje każdego dnia więcej kilometrów niż poprzedniego dnia. Pierwszego dnia przejechał km. Ile dni musi podróżować, aby pokonać kilometr? Ile kilometrów przejedzie ostatniego dnia swojej podróży?
- Cena lodówki w sklepie spada co roku o tę samą kwotę. Oblicz, o ile cena lodówki spadała każdego roku, jeśli wystawiona na sprzedaż za ruble, sześć lat później została sprzedana za ruble.
Odpowiedzi:
- Najważniejsze jest tu rozpoznanie postępu arytmetycznego i określenie jego parametrów. W tym przypadku (tygodnie = dni). Musisz określić sumę pierwszych wyrazów tej progresji:
.
Odpowiedź: - Tutaj jest podane: , należy znaleźć.
Oczywiście musisz użyć tego samego wzoru na sumę, co w poprzednim zadaniu:
.
Zastąp wartości:Katalog główny najwyraźniej nie pasuje, więc odpowiedź brzmi.
Obliczmy drogę przebytą w ciągu ostatniego dnia, korzystając ze wzoru na wyraz:
(km).
Odpowiedź: - Dany: . Znajdować: .
To nie może być prostsze:
(pocierać).
Odpowiedź:
PROGRESJA ARYTMETYCZNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH
Jest to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi liczbami jest taka sama i równa.
Postęp arytmetyczny może być rosnący () i malejący ().
Na przykład:
Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego
jest zapisywany wzorem, gdzie jest liczbą numerów w toku.
Własność członków ciągu arytmetycznego
Pozwala łatwo znaleźć wyraz ciągu, jeśli znane są wyrazy sąsiadujące z nim - gdzie jest liczba liczb w ciągu.
Suma wyrazów postępu arytmetycznego
Istnieją dwa sposoby znalezienia kwoty:
Gdzie jest liczba wartości.
Gdzie jest liczba wartości.
No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.
Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!
Teraz najważniejsza rzecz.
Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.
Problem w tym, że to może nie wystarczyć...
Po co?
Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.
Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...
Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.
Ale to nie jest najważniejsze.
Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...
Ale pomyśl samodzielnie...
Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?
Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.
Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.
Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.
A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.
To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.
Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i decyduj, decyduj, decyduj!
Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.
Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.
Jak? Istnieją dwie opcje:
- Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - 299 rubli.
- Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - 499 rubli.
Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.
Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.
Podsumowując...
Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.
„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.
Znajdź problemy i rozwiąż je!
Suma postępu arytmetycznego.
Suma postępu arytmetycznego jest rzeczą prostą. Zarówno w znaczeniu, jak i formule. Ale jest wiele zadań na ten temat. Od podstawowego po całkiem solidny.
Najpierw zrozumiemy znaczenie i formułę kwoty. I wtedy podejmiemy decyzję. Dla własnej przyjemności.) Znaczenie kwoty jest proste jak muu. Aby znaleźć sumę ciągu arytmetycznego, wystarczy dokładnie dodać wszystkie jego wyrazy. Jeśli tych terminów jest niewiele, możesz dodać je bez żadnych formuł. Ale jeśli jest tego dużo, albo bardzo dużo... dodawanie jest denerwujące.) W tym przypadku na ratunek przychodzi formuła.
Wzór na kwotę jest prosty:
Zastanówmy się, jakie litery są zawarte we wzorze. To wiele wyjaśni.
S n - suma postępu arytmetycznego. Wynik dodania wszyscy członkowie, z Pierwszy Przez ostatni. To jest ważne. Dokładnie się sumują Wszystko członków z rzędu, bez pomijania i pomijania. A dokładnie zaczynając od Pierwszy. W przypadku problemów takich jak znalezienie sumy wyrazów trzeciego i ósmego lub sumy wyrazów od piątego do dwudziestego bezpośrednie zastosowanie wzoru rozczaruje.)
1 - Pierwszy członek progresji. Tutaj wszystko jest jasne, to proste Pierwszy Numer wiersza.
jakiś- ostatni członek progresji. Ostatni numer serii. Niezbyt znana nazwa, ale zastosowana do kwoty jest bardzo odpowiednia. Wtedy zobaczysz sam.
N - numer ostatniego członka. Ważne jest, aby zrozumieć, że we wzorze jest to liczba pokrywa się z liczbą dodanych terminów.
Zdefiniujmy pojęcie ostatni członek jakiś. Podchwytliwe pytanie: który członek będzie ostatni jeśli podano nieskończony postęp arytmetyczny?)
Aby odpowiedzieć pewnie, trzeba zrozumieć elementarne znaczenie postępu arytmetycznego i… uważnie przeczytać zadanie!)
W zadaniu znalezienia sumy ciągu arytmetycznego zawsze pojawia się ostatni wyraz (bezpośrednio lub pośrednio), które należy ograniczyć. W przeciwnym razie ostateczna, konkretna kwota po prostu nie istnieje. Dla rozwiązania nie ma znaczenia, czy dany jest postęp: skończony czy nieskończony. Nie ma znaczenia, jak to zostanie podane: ciąg liczb, czy wzór na n-ty wyraz.
Najważniejsze jest zrozumienie, że formuła działa od pierwszego wyrazu progresji do wyrazu z liczbą N. Właściwie pełna nazwa formuły wygląda następująco: suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego. Liczba tych pierwszych członków, tj. N, zależy wyłącznie od zadania. W zadaniu wszystkie te cenne informacje są często szyfrowane, tak… Ale nieważne, w poniższych przykładach ujawniamy te tajemnice.)
Przykłady zadań na sumie ciągu arytmetycznego.
Na początek przydatne informacje:
Główna trudność w zadaniach polegających na sumie postępu arytmetycznego polega na prawidłowym określeniu elementów wzoru.
Autorzy zadań szyfrują te właśnie elementy z nieograniczoną wyobraźnią.) Najważniejsze tutaj to nie bać się. Rozumiejąc istotę elementów, wystarczy je po prostu rozszyfrować. Przyjrzyjmy się szczegółowo kilku przykładom. Zacznijmy od zadania opartego na prawdziwym GIA.
1. Postęp arytmetyczny jest określony przez warunek: a n = 2n-3,5. Znajdź sumę pierwszych 10 wyrazów.
Dobra robota. Łatwe.) Co musimy wiedzieć, aby określić kwotę za pomocą wzoru? Pierwszy członek 1, ostatni termin jakiś, tak, numer ostatniego członka N.
Gdzie mogę zdobyć numer ostatniego członka? N? Tak, właśnie tam, pod warunkiem! Mówi: znajdź sumę pierwszych 10 członków. No właśnie, z jakim numerem to będzie? ostatni, dziesiąty członek?) Nie uwierzysz, jego liczba jest dziesiąta!) Dlatego zamiast jakiś Podstawimy do wzoru 10, i zamiast N- dziesięć. Powtarzam, liczba ostatniego członka pokrywa się z liczbą członków.
Pozostaje ustalić 1 I 10. Można to łatwo obliczyć, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz podanego w opisie problemu. Nie wiesz jak to zrobić? Weź udział w poprzedniej lekcji, bez tego nie ma mowy.
1= 2 1 - 3,5 = -1,5
10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Ustaliliśmy znaczenie wszystkich elementów wzoru na sumę postępu arytmetycznego. Pozostaje tylko je zastąpić i policzyć:
Otóż to. Odpowiedź: 75.
Kolejne zadanie w oparciu o GIA. Trochę bardziej skomplikowane:
2. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny (an), którego różnica wynosi 3,7; a1 =2,3. Znajdź sumę pierwszych 15 wyrazów.
Natychmiast zapisujemy formułę sumy:
Formuła ta pozwala nam znaleźć wartość dowolnego terminu na podstawie jego liczby. Szukamy prostego podstawienia:
za 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Pozostaje wstawić wszystkie elementy do wzoru na sumę ciągu arytmetycznego i obliczyć odpowiedź:
Odpowiedź: 423.
Nawiasem mówiąc, jeśli w formule sumy zamiast jakiś Po prostu zastępujemy wzór n-tym wyrazem i otrzymujemy:
Przedstawmy podobne i uzyskajmy nowy wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
 |
Jak widać, n-ty wyraz nie jest tutaj wymagany jakiś. W niektórych problemach ta formuła bardzo pomaga, tak... Pamiętasz tę formułę. Możesz też po prostu wyświetlić go we właściwym czasie, jak tutaj. W końcu zawsze trzeba pamiętać wzór na sumę i wzór na n-ty wyraz.)
Teraz zadanie w formie krótkiego szyfrowania):
3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb dwucyfrowych, które są wielokrotnościami trzech.
Wow! Ani Twój pierwszy członek, ani ostatni, ani żaden postęp... Jak żyć!?
Trzeba będzie pomyśleć z głową i wyciągnąć z warunku wszystkie elementy sumy postępu arytmetycznego. Wiemy, co to są liczby dwucyfrowe. Składają się z dwóch liczb.) Jaka będzie liczba dwucyfrowa Pierwszy? 10, prawdopodobnie.) A Ostatnia rzecz liczba dwucyfrowa? 99, oczywiście! Za nim pójdą trzycyfrowe...
Wielokrotność trzech... Hm... To są liczby podzielne przez trzy, proszę! Dziesięć nie jest podzielne przez trzy, 11 nie jest podzielne... 12... jest podzielne! Zatem coś się pojawia. Można już zapisać szereg zgodnie z warunkami zadania:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Czy ten szereg będzie postępem arytmetycznym? Z pewnością! Każdy termin różni się od poprzedniego ściśle trzema. Jeśli dodasz 2 lub 4 do terminu, powiedzmy, wynik, tj. nowa liczba nie jest już podzielna przez 3. Możesz od razu określić różnicę ciągu arytmetycznego: d = 3. Przyda się!)
Możemy więc spokojnie zapisać niektóre parametry progresji:
Jaki będzie numer? N ostatni członek? Każdy, kto uważa, że 99 to fatalna pomyłka... Liczby zawsze idą w rzędzie, ale nasi członkowie przeskakują powyżej trzech. Nie pasują.
Istnieją tutaj dwa rozwiązania. Jednym ze sposobów jest superpracowitość. Możesz zapisać progresję, całą serię liczb i policzyć palcem liczbę członków.) Drugi sposób jest dla myślących. Trzeba zapamiętać wzór na n-ty wyraz. Jeśli zastosujemy wzór do naszego problemu, okaże się, że 99 jest trzydziestym wyrazem progresji. Te. n = 30.
Spójrzmy na wzór na sumę postępu arytmetycznego:
Patrzymy i cieszymy się.) Wyciągnęliśmy z zestawienia problemu wszystko, co niezbędne do obliczenia kwoty:
1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
Pozostaje tylko elementarna arytmetyka. Podstawiamy liczby do wzoru i obliczamy:
Odpowiedź: 1665
Inny rodzaj popularnej łamigłówki:
4. Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Znajdź sumę wyrazów od dwudziestego do trzydziestu czterech.
Patrzymy na wzór na kwotę i... denerwujemy się.) Wzór, przypomnę, oblicza kwotę od pierwszego członek. A w zadaniu musisz obliczyć sumę od dwudziestego... Formuła nie będzie działać.
Można oczywiście całą progresję rozpisać w serii i dodać wyrazy od 20 do 34. Ale… to jakoś głupie i zajmuje dużo czasu, prawda?)
Istnieje bardziej eleganckie rozwiązanie. Podzielmy naszą serię na dwie części. Pierwsza część będzie od pierwszego semestru do XIX. Druga część - od dwudziestu do trzydziestu czterech. Oczywiste jest, że jeśli obliczymy sumę wyrazów pierwszej części S 1-19, dodajmy to do sumy wyrazów drugiej części S 20-34, otrzymujemy sumę progresji od pierwszego do trzydziestego czwartego wyrazu S 1-34. Lubię to:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Z tego widzimy, że znajdujemy sumę S 20-34 można wykonać poprzez proste odejmowanie
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Uwzględniane są obie kwoty po prawej stronie od pierwszego członek, tj. standardowy wzór na sumę ma do nich całkiem zastosowanie. Zacznijmy?
Wyodrębniamy parametry progresji ze stwierdzenia problemu:
d = 1,5.
1= -21,5.
Aby obliczyć sumę pierwszych 19 i pierwszych 34 wyrazów, będziemy potrzebować 19 i 34 wyrazów. Obliczamy je korzystając ze wzoru na n-ty wyraz, jak w zadaniu 2:
19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Nic nie zostało. Od sumy 34 wyrazów odejmij sumę 19 wyrazów:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odpowiedź: 262,5
Jedna ważna uwaga! Istnieje bardzo przydatna sztuczka, która pozwala rozwiązać ten problem. Zamiast bezpośrednich obliczeń czego potrzebujesz (S 20-34), liczyliśmy coś, co wydawałoby się nie potrzebne – S 1-19. A potem ustalili S 20-34, odrzucając niepotrzebne z pełnego wyniku. Ten rodzaj „zwodu za pomocą uszu” często ratuje cię przed niegodziwymi problemami).
Na tej lekcji przyjrzeliśmy się problemom, dla których wystarczy zrozumieć znaczenie sumy postępu arytmetycznego. Cóż, musisz znać kilka formuł.)
Praktyczne porady:
Przy rozwiązywaniu dowolnego problemu dotyczącego sumy postępu arytmetycznego zalecam natychmiastowe wypisanie dwóch głównych wzorów z tego tematu.
Wzór na n-ty wyraz:
Te formuły od razu podpowiedzą Ci, czego szukać i w jakim kierunku myśleć, aby rozwiązać problem. Pomaga.
A teraz zadania do samodzielnego rozwiązania.
5. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne przez trzy.
Super?) Podpowiedź jest ukryta w notatce do zadania 4. Cóż, zadanie 3 pomoże.
6. Postęp arytmetyczny wyraża warunek: a 1 = -5,5; za n+1 = za n +0,5. Znajdź sumę pierwszych 24 wyrazów.
Niezwykłe?) To powtarzająca się formuła. Przeczytałeś o tym w poprzedniej lekcji. Nie ignoruj linku, takie problemy często występują w Państwowej Akademii Nauk.
7. Vasya zaoszczędziła pieniądze na wakacje. Aż 4550 rubli! I postanowiłem podarować mojej ulubionej osobie (sobie) kilka dni szczęścia). Żyj pięknie, nie odmawiając sobie niczego. Wydaj 500 rubli pierwszego dnia, a każdego kolejnego dnia wydawaj o 50 rubli więcej niż poprzedni! Dopóki nie skończą się pieniądze. Ile dni szczęścia miała Wasia?
Czy to trudne?) Pomocny będzie dodatkowy wzór z zadania 2.
Odpowiedzi (w nieładzie): 7, 3240, 6.
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
