Rozwiązywanie jednorodnych równań trygonometrycznych pierwszego stopnia. Rozwiązywanie jednorodnych równań trygonometrycznych

Równania nieliniowe z dwiema niewiadomymi

Definicja 1. Niech A będzie jakimś zbiór par liczb (X; y) . Mówią, że zbiór A jest dany funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y, jeśli zostanie podana reguła, za pomocą której każda para liczb ze zbioru A jest powiązana z określoną liczbą.

Określenie funkcji numerycznej z dwóch zmiennych x i y jest częste oznaczać Więc:

Gdzie F (X , y) – dowolna funkcja inna niż funkcja

F (X , y) = topór+by+c ,

gdzie a, b, c są danymi liczbami.

Definicja 3. Rozwiązywanie równania (2) zadzwoń pod parę liczb ( X; y), dla którego wzór (2) jest prawdziwą równością.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, ze wzoru (4) wynika, że ​​niewiadome x i y spełniają układ równań

którego rozwiązaniem jest para liczb (6; 3).

Odpowiedź: (6; 3)

Przykład 2. Rozwiązać równanie

Dlatego rozwiązaniem równania (6) jest nieskończona liczba par liczb Uprzejmy

(1 + y ; y) ,

gdzie y jest dowolną liczbą.

liniowy

Definicja 4. Rozwiązywanie układu równań

zadzwoń pod parę liczb ( X; y) , podstawiając je do każdego z równań tego układu, uzyskuje się poprawną równość.

Układy dwóch równań, z których jedno jest liniowe, mają postać

G(X , y)

Przykład 4. Rozwiązać układ równań

Rozwiązanie . Wyraźmy niewiadome y z pierwszego równania układu (7) poprzez nieznane x i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania układu:

Rozwiązanie równania

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Stąd,

y 1 = 8 - X 1 = 9 ,
y 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne

Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne, mają postać

gdzie a, b, c są danymi liczbami i G(X , y) – funkcja dwóch zmiennych x i y.

Przykład 6. Rozwiązać układ równań

Rozwiązanie . Rozwiążmy równanie jednorodne

3X 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

traktując to jako równanie kwadratowe ze względu na niewiadomą x:

.

W razie X = - 5y, z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie

5y 2 = - 20 ,

który nie ma korzeni.

W razie

z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie

,

którego pierwiastkiem są liczby y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Znajdując dla każdej z tych wartości y odpowiednią wartość x, otrzymujemy dwa rozwiązania układu: (- 2 ; 3), (2; - 3).

Odpowiedź: (- 2; 3), (2; - 3)

Przykłady rozwiązywania układów równań innych typów

Przykład 8. Rozwiąż układ równań (MIPT)

Rozwiązanie . Wprowadźmy nowe niewiadome u i v, które wyrażamy poprzez x i y według wzorów:

Aby przepisać układ (12) w kategoriach nowych niewiadomych, najpierw wyrażamy niewiadome x i y w kategoriach u i v. Z układu (13) wynika, że

Rozwiążmy układ liniowy (14) usuwając zmienną x z drugiego równania tego układu. W tym celu dokonujemy na układzie (14) następujących przekształceń:

• Pierwsze równanie układu pozostawimy bez zmian;
• od drugiego równania odejmujemy pierwsze równanie i zastępujemy drugie równanie układu powstałą różnicą.

W rezultacie układ (14) zostaje przekształcony w układ równoważny

z którego znajdujemy

Korzystając ze wzorów (13) i (15) przepisujemy oryginalny układ (12) w postaci

Pierwsze równanie układu (16) jest liniowe, zatem możemy z niego wyrazić nieznane u poprzez nieznane v i podstawić to wyrażenie do drugiego równania układu.

W tym artykule przyjrzymy się metodzie rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych.

Jednorodne równania trygonometryczne mają taką samą strukturę jak jednorodne równania dowolnego innego typu. Przypomnę metodę rozwiązywania równań jednorodnych drugiego stopnia:

Rozważmy jednorodne równania postaci

Charakterystyczne cechy równań jednorodnych:

a) wszystkie jednomiany mają ten sam stopień,

b) wolny termin wynosi zero,

c) równanie zawiera potęgi o dwóch różnych podstawach.

Równania jednorodne rozwiązuje się przy użyciu podobnego algorytmu.

Aby rozwiązać tego typu równanie, dzielimy obie strony równania przez (można podzielić przez lub przez)

Uwaga! Dzieląc prawą i lewą stronę równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą, możesz stracić pierwiastki. Należy zatem sprawdzić, czy pierwiastki wyrażenia, przez które dzielimy obie strony równania, są pierwiastkami równania pierwotnego.

Jeśli tak, to zapisujemy ten pierwiastek, aby później o nim nie zapomnieć, a następnie dzielimy wyrażenie przez to.

Ogólnie rzecz biorąc, pierwszą rzeczą do zrobienia przy rozwiązywaniu dowolnego równania, które ma zero po prawej stronie, jest próba rozłożenia lewej strony równania na czynniki w dowolny dostępny sposób. A następnie przyrównaj każdy czynnik do zera. W tym przypadku na pewno nie stracimy korzeni.

Zatem ostrożnie podziel lewą stronę równania na wyrażenie wyraz po wyrazie. Otrzymujemy:

Skracamy licznik i mianownik drugiego i trzeciego ułamka:

Przedstawmy zamiennik:

Otrzymujemy równanie kwadratowe:

Rozwiążmy równanie kwadratowe, znajdź wartości , a następnie wróćmy do pierwotnej niewiadomej.

Rozwiązując jednorodne równania trygonometryczne, należy pamiętać o kilku ważnych rzeczach:

1. Wyraz fikcyjny można zamienić na kwadrat sinusa i cosinusa, korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

2. Sinus i cosinus podwójnego argumentu są jednomianami drugiego stopnia - sinus podwójnego argumentu można łatwo przeliczyć na iloczyn sinusa i cosinusa, a cosinus podwójnego argumentu do kwadratu sinusa lub cosinusa:

Spójrzmy na kilka przykładów rozwiązywania jednorodnych równań trygonometrycznych.

1. Rozwiążmy równanie:

Jest to klasyczny przykład jednorodnego równania trygonometrycznego pierwszego stopnia: stopień każdego jednomianu jest równy jeden, wyraz wolny jest równy zero.

Przed podzieleniem obu stron równania przez , należy sprawdzić, czy pierwiastki równania nie są pierwiastkami pierwotnego równania. Sprawdzamy: if , to title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Podzielmy obie strony równania przez .

Otrzymujemy:

, Gdzie

, Gdzie

Odpowiedź: , Gdzie

2. Rozwiążmy równanie:

To jest przykład jednorodnego równania trygonometrycznego drugiego stopnia. Pamiętamy, że jeśli możemy uwzględnić lewą stronę równania, to wskazane jest to zrobić. W tym równaniu możemy umieścić . Zróbmy to:

Rozwiązanie pierwszego równania: , gdzie

Drugie równanie jest jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia. Aby to rozwiązać, podziel obie strony równania przez . Otrzymujemy:

Odpowiedź: , gdzie ,

3. Rozwiążmy równanie:

Aby to równanie „stało się” jednorodne, przekształcamy je w iloczyn i przedstawiamy liczbę 3 jako sumę kwadratów sinusa i cosinusa:

Przesuńmy wszystkie terminy w lewo, otwórzmy nawiasy i przedstawmy terminy podobne. Otrzymujemy:

Rozłóżmy lewą stronę na czynniki i ustawmy każdy współczynnik na zero:

Odpowiedź: , gdzie ,

4. Rozwiążmy równanie:

Widzimy, co możemy wyciągnąć z nawiasów. Zróbmy to:

Przyrównajmy każdy czynnik do zera:

Rozwiązanie pierwszego równania:

Drugie równanie populacji jest klasycznym równaniem jednorodnym drugiego stopnia. Pierwiastki równania nie są pierwiastkami pierwotnego równania, dlatego dzielimy obie strony równania przez:

Rozwiązanie pierwszego równania:

Rozwiązanie drugiego równania.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Dzisiaj będziemy studiować jednorodne równania trygonometryczne. Najpierw spójrzmy na terminologię: czym jest jednorodne równanie trygonometryczne. Ma następujące cechy:

1. musi zawierać kilka terminów;
2. wszystkie terminy muszą mieć ten sam stopień;
3. wszystkie funkcje zawarte w jednorodnej tożsamości trygonometrycznej muszą koniecznie mieć ten sam argument.

Algorytm rozwiązania

Wybierzmy warunki

A jeśli wszystko jest jasne w pierwszym punkcie, warto omówić drugi bardziej szczegółowo. Co to znaczy mieć ten sam stopień terminów? Spójrzmy na pierwszy problem:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Pierwszym wyrazem tego równania jest 3cosx 3\cos x. Należy pamiętać, że istnieje tutaj tylko jedna funkcja trygonometryczna - cosx\cos x - i nie ma tu żadnych innych funkcji trygonometrycznych, więc stopień tego wyrazu wynosi 1. To samo z drugim - 5 grzechów 5\sin x - występuje tu tylko sinus, czyli stopień tego wyrazu również jest równy jeden. Mamy więc przed sobą tożsamość składającą się z dwóch elementów, z których każdy zawiera funkcję trygonometryczną i tylko jedną. To jest równanie pierwszego stopnia.

Przejdźmy do drugiego wyrażenia:

4grzech2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Pierwszym elementem tej konstrukcji jest 4grzech2 X 4((\sin )^(2))x.

Teraz możemy napisać następujące rozwiązanie:

grzech2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Innymi słowy, pierwszy wyraz zawiera dwie funkcje trygonometryczne, tj. jego stopień wynosi dwa. Zajmijmy się drugim elementem - grzech2x\grzech 2x. Przypomnijmy sobie ten wzór – wzór na podwójny kąt:

grzech2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

I znowu w otrzymanym wzorze mamy dwie funkcje trygonometryczne - sinus i cosinus. Zatem wartość mocy tego terminu konstrukcyjnego jest również równa dwa.

Przejdźmy do trzeciego elementu - 3. Z zajęć z matematyki w liceum pamiętamy, że każdą liczbę można pomnożyć przez 1, więc zapisujemy:

˜ 3=3⋅1

Jednostkę można zapisać przy użyciu podstawowej tożsamości trygonometrycznej w następującej formie:

1=grzech2 x⋅ sałata2 X

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Dlatego możemy przepisać 3 w następujący sposób:

3=3(grzech2 x⋅ sałata2 X)=3grzech2 x+3 sałata2 X

3=3\lewo(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \prawo)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Zatem nasz termin 3 jest podzielony na dwa elementy, z których każdy jest jednorodny i ma drugi stopień. Sinus w pierwszym wyrazie występuje dwukrotnie, cosinus w drugim wyrazie również występuje dwukrotnie. Zatem liczbę 3 można również przedstawić jako wyraz z wykładnikiem potęgi dwójki.

To samo z trzecim wyrażeniem:

grzech3 x+ grzech2 xcosx=2 sałata3 X

Przyjrzyjmy się. Pierwszy termin to grzech3 X((\sin )^(3))x jest funkcją trygonometryczną trzeciego stopnia. Drugi element - grzech2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

grzech2 ((\sin )^(2)) jest łączem o wartości potęgi dwa pomnożonej przez cosx\cos x jest pierwszym wyrazem. W sumie trzeci wyraz ma również wartość potęgi trzy. Wreszcie po prawej stronie znajduje się kolejny link - 2sałata3 X 2((\cos )^(3))x jest elementem trzeciego stopnia. Mamy zatem przed sobą jednorodne równanie trygonometryczne trzeciego stopnia.

Mamy zapisane trzy tożsamości o różnym stopniu. Zwróć jeszcze raz uwagę na drugie wyrażenie. W oryginalnym zapisie jeden z członków kłóci się 2x 2x. Jesteśmy zmuszeni pozbyć się tego argumentu, przekształcając go za pomocą wzoru na sinus podwójnego kąta, ponieważ wszystkie funkcje zawarte w naszej tożsamości muszą koniecznie mieć ten sam argument. Jest to wymóg jednorodnych równań trygonometrycznych.

Korzystamy ze wzoru na główną tożsamość trygonometryczną i zapisujemy rozwiązanie końcowe

Ustaliliśmy warunki, przejdźmy do rozwiązania. Niezależnie od wykładnika potęgi, rozwiązywanie równości tego typu zawsze odbywa się dwuetapowo:

1) udowodnij to

cosx≠0

\cos x\ne 0. Aby to zrobić, wystarczy przypomnieć sobie wzór na główną tożsamość trygonometryczną (grzech2 x⋅ sałata2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) i podstaw do tego wzoru cosx=0\cosx=0. Otrzymamy następujące wyrażenie:

grzech2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Podstawiając otrzymane wartości, czyli zamiast cosx\cos x wynosi zero, a zamiast tego grzech\sin x — 1 lub -1, do pierwotnego wyrażenia otrzymamy niepoprawną równość liczbową. To jest uzasadnienie

cosx≠0

2) drugi krok logicznie wynika z pierwszego. Ponieważ

cosx≠0

\cos x\ne 0, dzielimy obie strony konstrukcji przez sałataN X((\cos )^(n))x, gdzie N n jest wykładnikiem potęgi jednorodnego równania trygonometrycznego. Co nam to daje:

\[\begin(tablica)(·(35)(l))

grzechcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(tablica)\]

Dzięki temu nasza uciążliwa wstępna konstrukcja sprowadza się do równania N n-stopień względem stycznej, którego rozwiązanie można łatwo zapisać za pomocą zmiany zmiennej. Ot cały algorytm. Zobaczmy jak to działa w praktyce.

Rozwiązujemy realne problemy

Zadanie nr 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Dowiedzieliśmy się już, że jest to jednorodne równanie trygonometryczne z wykładnikiem potęgi równym jeden. Dlatego przede wszystkim dowiedzmy się tego cosx≠0\cos x\ne 0. Załóżmy, że jest odwrotnie

cosx=0 → sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Podstawiamy wynikową wartość do naszego wyrażenia i otrzymujemy:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Na tej podstawie możemy to stwierdzić cosx≠0\cos x\ne 0. Podziel nasze równanie przez cosx\cos x, ponieważ całe nasze wyrażenie ma potęgę jeden. Otrzymujemy:

3(cosxcosx) +5(grzechcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(align)

To nie jest wartość tabelaryczna, więc odpowiedź będzie zawierać arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Ponieważ arctg arctg arctg jest funkcją nieparzystą, możemy usunąć „minus” z argumentu i umieścić go przed arctg. Otrzymujemy ostateczną odpowiedź:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Zadanie nr 2

4grzech2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Jak pamiętasz, zanim zaczniesz go rozwiązywać, musisz wykonać pewne przekształcenia. Wykonujemy przekształcenia:

4grzech2 x+2sinxcosx−3 (grzech2 x+ sałata2 X)=0 4grzech2 x+2sinxcosx−3 grzech2 x-3 sałata2 x=0grzech2 x+2sinxcosx−3 sałata2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (wyrównywać)

Otrzymaliśmy konstrukcję składającą się z trzech elementów. W pierwszym terminie widzimy grzech2 ((\sin )^(2)), czyli jego wartość potęgi wynosi dwa. W drugim terminie widzimy grzech\sin x i cosx\cos x - znowu są dwie funkcje, są one mnożone, więc całkowity stopień znowu wynosi dwa. W trzecim łączu widzimy sałata2 X((\cos )^(2))x - podobnie do pierwszej wartości.

Udowodnijmy to cosx=0\cos x=0 nie jest rozwiązaniem tej konstrukcji. Aby to zrobić, załóżmy odwrotnie:

\[\begin(tablica)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\end(tablica)\]

Udowodniliśmy to cosx=0\cos x=0 nie może być rozwiązaniem. Przejdźmy do drugiego kroku - podziel całe nasze wyrażenie przez sałata2 X((\cos)^(2))x. Dlaczego do kwadratu? Ponieważ wykładnik potęgi tego jednorodnego równania jest równy dwa:

grzech2 Xsałata2 X+2sinxcosxsałata2 X−3=0 T G2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Czy można rozwiązać to wyrażenie za pomocą dyskryminatora? Oczywiście, że możesz. Proponuję jednak przypomnieć sobie twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety i otrzymujemy, że możemy przedstawić ten wielomian w postaci dwóch prostych wielomianów, a mianowicie:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1 →x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ tekst( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

Wielu uczniów zadaje sobie pytanie, czy warto pisać osobne współczynniki dla każdej grupy rozwiązań tożsamości, czy nie zawracać sobie głowy i pisać wszędzie te same. Osobiście uważam, że lepiej i pewniej jest używać różnych liter, aby wchodząc na poważną uczelnię techniczną z dodatkowymi sprawdzianami z matematyki, egzaminatorzy nie znaleźli błędu w odpowiedzi.

Zadanie nr 3

grzech3 x+ grzech2 xcosx=2 sałata3 X

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Wiemy już, że jest to jednorodne równanie trygonometryczne trzeciego stopnia, nie są potrzebne żadne specjalne formuły, a jedyne, czego od nas wymaga, to przesunięcie terminu 2sałata3 X 2((\cos )^(3))x w lewo. Przepiszmy:

grzech3 x+ grzech2 xcosx-2 sałata3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Widzimy, że każdy element zawiera trzy funkcje trygonometryczne, więc to równanie ma potęgę trzy. Rozwiążmy to. Przede wszystkim musimy to udowodnić cosx=0\cos x=0 nie jest pierwiastkiem:

\[\begin(tablica)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]

Podstawmy te liczby do naszej oryginalnej konstrukcji:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(wyrównaj)

Stąd, cosx=0\cos x=0 nie jest rozwiązaniem. Udowodniliśmy to cosx≠0\cos x\ne 0. Skoro już to udowodniliśmy, podzielmy nasze pierwotne równanie przez sałata3 X((\cos)^(3))x. Dlaczego w sześcianie? Ponieważ właśnie udowodniliśmy, że nasze pierwotne równanie ma trzecią potęgę:

grzech3 Xsałata3 X+grzech2 xcosxsałata3 X−2=0 T G3 x+t G2 x-2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(wyrównaj)

Wprowadźmy nową zmienną:

tgx=t

Przepiszmy konstrukcję:

T3 +T2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Mamy równanie sześcienne. Jak to rozwiązać? Początkowo, kiedy przygotowywałem ten samouczek wideo, planowałem najpierw porozmawiać o rozkładaniu na czynniki wielomianów i innych technikach. Ale w tym przypadku wszystko jest znacznie prostsze. Przyjrzyjmy się naszej podanej tożsamości, gdzie wyraz o najwyższym stopniu ma wartość 1. Ponadto wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Oznacza to, że możemy skorzystać z wniosku z twierdzenia Bezouta, które stwierdza, że ​​wszystkie pierwiastki są dzielnikami liczby -2, czyli wyrazu wolnego.

Powstaje pytanie: przez co dzieli się -2? Ponieważ 2 jest liczbą pierwszą, nie ma zbyt wielu opcji. Mogą to być następujące liczby: 1; 2; -1; -2. Negatywne korzenie natychmiast znikają. Dlaczego? Ponieważ oba są większe niż 0 w wartości bezwzględnej T3 ((t)^(3)) będzie większy pod względem modułu niż T2 ((t)^(2)). A ponieważ sześcian jest funkcją nieparzystą, liczba w sześcianie będzie ujemna i T2 ((t)^(2)) - dodatni i cała ta konstrukcja, z t=−1 t=-1 i t=−2 t=-2, nie będzie większe niż 0. Odejmij od tego -2 i otrzymaj liczbę z pewnością mniejszą od 0. Pozostaje tylko 1 i 2. Podstawmy każdą z tych liczb:

˜ t=1 → 1+1−2=0 →0=0

˜t=1\do \text( )1+1-2=0\do 0=0

Otrzymaliśmy poprawną równość liczbową. Stąd, t=1 t=1 jest pierwiastkiem.

t=2 →8+4−2=0 →10≠0

t=2\do 8+4-2=0\do 10\ne 0

t=2 t=2 nie jest pierwiastkiem.

Zgodnie z wnioskiem i tym samym twierdzeniem Bezouta, każdy wielomian, którego pierwiastek wynosi X0 ((x)_(0)), przedstaw to w postaci:

Q(x)=(x= X0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

W naszym przypadku w roli X x jest zmienną T t i w roli X0 ((x)_(0)) jest pierwiastkiem równym 1. Otrzymujemy:

T3 +T2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Jak znaleźć wielomian P (T) P\w lewo(t\w prawo)? Oczywiście musisz wykonać następujące czynności:

P(t)= T3 +T2 −2 t-1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Zastąpmy:

T3 +T2 +0⋅t−2t-1=T2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Zatem nasz pierwotny wielomian jest dzielony bez reszty. W ten sposób możemy przepisać naszą pierwotną równość jako:

(t-1)( T2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Iloczyn wynosi zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. Rozważaliśmy już pierwszy mnożnik. Spójrzmy na drugi:

T2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Doświadczeni studenci prawdopodobnie już zdali sobie sprawę, że ta konstrukcja nie ma pierwiastków, ale mimo to obliczmy dyskryminator.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Dyskryminator jest mniejszy od 0, dlatego wyrażenie nie ma pierwiastków. W sumie ogromna konstrukcja została zredukowana do zwykłej równości:

\[\begin(tablica)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]

Na zakończenie chciałbym dodać kilka uwag do ostatniego zadania:

1. czy warunek zawsze będzie spełniony? cosx≠0\cos x\ne 0 i czy w ogóle warto przeprowadzać to sprawdzenie? Oczywiście, że nie zawsze. W przypadkach, gdy cosx=0\cos x=0 jest rozwiązaniem naszej równości, powinniśmy wyjąć to z nawiasów, a wtedy w nawiasach pozostanie pełnoprawne równanie jednorodne.
2. Co to jest dzielenie wielomianu przez wielomian. Rzeczywiście większość szkół tego nie uczy, a kiedy uczniowie widzą taki projekt po raz pierwszy, przeżywają lekki szok. Ale w rzeczywistości jest to prosta i piękna technika, która znacznie ułatwia rozwiązywanie równań wyższych stopni. Oczywiście zostanie mu poświęcony osobny film instruktażowy, który opublikuję w najbliższym czasie.

Kluczowe punkty

Jednorodne równania trygonometryczne są ulubionym tematem wszelkiego rodzaju testów. Można je rozwiązać w bardzo prosty sposób – wystarczy raz poćwiczyć. Aby było jasne o czym mówimy, wprowadźmy nową definicję.

Jednorodne równanie trygonometryczne to takie, w którym każdy niezerowy wyraz składa się z tej samej liczby czynników trygonometrycznych. Mogą to być sinusy, cosinusy lub ich kombinacje – metoda rozwiązania jest zawsze taka sama.

Stopień jednorodnego równania trygonometrycznego to liczba czynników trygonometrycznych zawartych w wyrazach niezerowych.Przykłady:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - tożsamość pierwszego stopnia;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - drugi stopień;

grzech3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. stopień;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - i to równanie nie jest jednorodne, ponieważ po prawej stronie znajduje się jednostka - wyraz niezerowy, w którym nie ma czynników trygonometrycznych;

grzech2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 jest również równaniem niejednorodnym. Element grzech2x\sin 2x jest drugiego stopnia (ponieważ można go przedstawić

grzech2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2 grzechy 2\sin x jest pierwszym, a wyraz 3 ma ogólnie wartość zero, ponieważ nie ma w nim sinusów ani cosinusów.

Ogólny schemat rozwiązania

Schemat rozwiązania jest zawsze taki sam:

Udawajmy, że cosx=0\cosx=0. Następnie sinx=±1\sin x=\pm 1 - wynika to z tożsamości głównej. Zastąpmy grzech\sin x i cosx\cos x do oryginalnego wyrażenia, a jeśli wynik jest nonsensowny (na przykład wyrażenie 5=0 5=0), przejdź do drugiego punktu;

Wszystko dzielimy przez potęgę cosinusa: cosx, cos2x, cos3x... - zależy od wartości potęgi równania. Otrzymujemy zwykłą równość ze stycznymi, którą można bezpiecznie rozwiązać po zamianie tgx=t.

tgx=tZnalezione pierwiastki będą odpowiedzią na oryginalne wyrażenie.

Dzięki tej lekcji wideo uczniowie będą mogli przestudiować temat jednorodnych równań trygonometrycznych.

Podajmy definicje:

1) jednorodne równanie trygonometryczne pierwszego stopnia wygląda jak sin x + b cos x = 0;

2) jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia wygląda jak grzech 2 x + b grzech x cos x + c cos 2 x = 0.

Rozważmy równanie a sin x + b cos x = 0. Jeśli a jest równe zero, równanie będzie wyglądać jak b cos x = 0; jeśli b jest równe zero, to równanie będzie wyglądać jak sin x = 0. Są to równania, które nazywaliśmy najprostszymi i które zostały rozwiązane wcześniej w poprzednich tematach.

Rozważmy teraz opcję, gdy aib nie są równe zero. Dzieląc części równania przez cosinus x, przeprowadzamy transformację. Otrzymujemy a tg x + b = 0, wtedy tg x będzie równe - b/a.

Z powyższego wynika, że ​​równanie a sin mx + b cos mx = 0 jest jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia. Aby rozwiązać równanie, podziel jego części przez cos mx.

Spójrzmy na przykład 1. Rozwiąż 7 grzechów (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Najpierw podziel części równania przez cosinus (x/2). Wiedząc, że sinus dzielony przez cosinus jest styczny, otrzymujemy 7 tan (x/2) - 5 = 0. Przekształcając wyrażenie, okazuje się, że wartość tan (x/2) jest równa 5/7. Rozwiązanie tego równania ma postać x = arctan a + πn, w naszym przypadku x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Rozważmy równanie a grzech 2 x + b grzech x cos x + c cos 2 x = 0:

1) przy wartości zero równanie będzie wyglądać jak b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Przekształcając, otrzymujemy wyrażenie cos x (b sin x + c cos x) = 0 i przystępujemy do rozwiązywania dwóch równania. Po podzieleniu części równania przez cosinus x otrzymujemy b tg x + c = 0, co oznacza tg x = - c/b. Wiedząc, że x = arctan a + πn, rozwiązaniem w tym przypadku będzie x = arctan (- с/b) + πn.

2) jeżeli a nie jest równe zero, to dzieląc części równania przez cosinus kwadrat, otrzymujemy równanie zawierające tangens, który będzie kwadratowy. Równanie to można rozwiązać wprowadzając nową zmienną.

3) gdy c jest równe zero, równanie przyjmie postać a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Równanie to można rozwiązać, usuwając sinus x z nawiasu.

1. sprawdź, czy równanie zawiera grzech 2 x;

2. Jeżeli w równaniu występuje wyraz a sin 2 x, to równanie można rozwiązać dzieląc obie strony przez cosinus kwadrat i następnie wprowadzając nową zmienną.

3. Jeśli równanie nie zawiera grzechu 2 x, to równanie można rozwiązać, usuwając cosx z nawiasów.

Rozważmy przykład 2. Wyjmijmy cosinus z nawiasów i otrzymajmy dwa równania. Pierwiastkiem pierwszego równania jest x = π/2 + πn. Aby rozwiązać drugie równanie, dzielimy części tego równania przez cosinus x i poprzez transformację otrzymujemy x = π/3 + πn. Odpowiedź: x = π/2 + πn i x = π/3 + πn.

Rozwiążmy przykład 3, równanie postaci 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 i znajdź jego pierwiastki, które należą do odcinka od - π do π. Ponieważ Równanie to jest niejednorodne, należy je doprowadzić do postaci jednorodnej. Korzystając ze wzoru sin 2 x + cos 2 x = 1 otrzymujemy równanie sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Dzieląc wszystkie części równania przez cos 2 x otrzymujemy tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Korzystając z wprowadzenia nowej zmiennej z = tan 2x, rozwiązujemy równanie, którego pierwiastek wynosi z = 1. Następnie tan 2x = 1, co oznacza, że ​​x = π/8 + (πn)/2. Ponieważ zgodnie z warunkami zadania musisz znaleźć pierwiastki należące do odcinka od - π do π, rozwiązanie będzie miało postać - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

DEKODOWANIE TEKSTU:

Równania trygonometryczne jednorodne

Dzisiaj przyjrzymy się, jak rozwiązuje się „jednorodne równania trygonometryczne”. Są to równania specjalnego typu.

Zapoznajmy się z definicją.

Równanie postaci i grzech x+BsałataX = 0 (a sinus x plus cosinus x jest równy zero) nazywa się jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia;

równanie postaci i grzech 2 x+Bgrzech xsałataX+ssałata 2 X= 0 (a sinus kwadrat x plus be sinus x cosinus x plus se cosinus kwadrat x równa się zero) nazywa się jednorodnym równaniem trygonometrycznym drugiego stopnia.

Jeśli a=0, to równanie przyjmuje postać BsałataX = 0.

Jeśli B = 0 , wtedy otrzymamy i grzech x= 0.

Równania te są elementarnymi równaniami trygonometrycznymi i omawialiśmy ich rozwiązanie w naszych poprzednich tematach

Rozważmy przypadek, gdy oba współczynniki nie są równe zeru. Podzielmy obie strony równania AgrzechX+ BsałataX = 0 członek po członku sałataX.

Możemy to zrobić, ponieważ cosinus x jest niezerowy. Przecież jeśli sałataX = 0 , a następnie równanie AgrzechX+ BsałataX = 0 przyjmie formę AgrzechX = 0 , A≠ 0, zatem grzechX = 0 . Co jest niemożliwe, bo zgodnie z podstawową tożsamością trygonometryczną grzech 2x+sałata 2 X=1 .

Dzielenie obu stron równania AgrzechX+ BsałataX = 0 członek po członku sałataX, otrzymujemy: + =0

Przeprowadźmy przekształcenia:

1. Ponieważ = więc tg x =i tg x

2 zmniejszyć o sałataX, Następnie

W ten sposób otrzymujemy następujące wyrażenie i tgx + b =0.

Przeprowadźmy transformację:

1.przesuń b na prawą stronę wyrażenia z przeciwnym znakiem

i tgx =- b

2. Pozbądźmy się mnożnika i podzielenie obu stron równania przez a

brązowy x= -.

Wniosek: Równanie postaci jak wMx+Bsałatamx = 0 (a sinus em x plus be cosinus em x równa się zero) nazywane jest także jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia. Aby rozwiązać ten problem, podziel obie strony przez sałatamx.

PRZYKŁAD 1. Rozwiąż równanie 7 sin - 5 cos = 0 (siedem sinus x przez dwa minus pięć cosinus x przez dwa równa się zero)

Rozwiązanie. Dzieląc obie strony równania przez cos, otrzymujemy

1. = 7 tan (ponieważ stosunek sinusa do cosinusa jest tangensem, zatem siedem sinus x przez dwa podzielone przez cosinus x przez dwa równa się 7 tan x przez dwa)

2. -5 = -5 (w skrócie cos)

W ten sposób otrzymaliśmy równanie

7tg - 5 = 0, Przekształćmy wyrażenie, przesuńmy minus pięć w prawą stronę, zmieniając znak.

Równanie sprowadziliśmy do postaci tg t = a, gdzie t=, a =. A ponieważ to równanie ma rozwiązanie dla dowolnej wartości A i rozwiązania te mają postać

x = arctan a + πn, wówczas rozwiązanie naszego równania będzie miało postać:

Arctg + πn, znajdź x

x=2 arctan + 2πn.

Odpowiedź: x=2 arctan + 2πn.

Przejdźmy do jednorodnego równania trygonometrycznego drugiego stopnia

Agrzech 2 x+b grzech x cos x +Zcos 2x= 0.

Rozważmy kilka przypadków.

I. Jeśli a=0, to równanie przyjmuje postać BgrzechXsałataX+ssałata 2 X= 0.

Przy rozwiązywaniu e Następnie stosujemy metodę faktoryzacji równań. Wyciągniemy to sałataX poza nawias i otrzymujemy: sałataX(BgrzechX+ssałataX)= 0 . Gdzie sałataX= 0 lub

b grzech x +Zponieważx= 0. Wiemy już, jak rozwiązać te równania.

Podzielmy obie strony równania przez cosх i otrzymamy

1 (ponieważ stosunek sinusa do cosinusa jest styczną).

W ten sposób otrzymujemy równanie: B tgx+c=0

Równanie sprowadziliśmy do postaci tg t = a, gdzie t= x, a =. A ponieważ to równanie ma rozwiązanie dla dowolnej wartości A i rozwiązania te mają postać

x = arctan a + πn, wówczas rozwiązaniem naszego równania będzie:

x = arctan + πn, .

II. Jeśli a≠0, następnie dzielimy obie strony równania wyraz po wyrazie na sałata 2 X.

(Argumentując podobnie, jak w przypadku jednorodnego równania trygonometrycznego pierwszego stopnia, cosinus x nie może dojść do zera).

III. Jeśli c=0, to równanie przyjmuje postać Agrzech 2 X+ BgrzechXsałataX= 0. Równanie to można rozwiązać metodą faktoryzacji (wyciągamy grzechX poza nawiasem).

Oznacza to, że przy rozwiązywaniu równania Agrzech 2 X+ BgrzechXsałataX+ssałata 2 X= 0 możesz postępować zgodnie z algorytmem:

PRZYKŁAD 2. Rozwiąż równanie sinxcosx - cos 2 x= 0 (sinus x razy cosinus x minus pierwiastek z trzech razy cosinus kwadrat x równa się zero).

Rozwiązanie. Rozłóżmy to na czynniki (usuń cosx z nawiasów). Dostajemy

cos x(sin x - cos x)= 0, tj. cos x=0 lub sin x - cos x= 0.

Odpowiedź: x =+ πn, x= + πn.

PRZYKŁAD 3. Rozwiąż równanie 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (trzy sinus kwadrat dwa x minus dwukrotność iloczynu sinus dwa x razy cosinus dwa x plus trzy cosinus kwadrat dwa x) i znajdź jego pierwiastki należące do przedział (- π; π).

Rozwiązanie. Równanie to nie jest jednorodne, dlatego dokonajmy pewnych przekształceń. Zastępujemy liczbę 2 zawartą po prawej stronie równania iloczynem 2 1

Ponieważ według głównej tożsamości trygonometrycznej sin 2 x + cos 2 x =1, zatem

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = otwierając nawias otrzymujemy: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (grzech 2 x + sałata 2 x) =2 grzech 2 x + 2 sałata 2 x

Oznacza to, że równanie 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 będzie miało postać:

3sin 2 2x - 2 grzech 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 grzech 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 grzech 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 grzech 2 x - 2 cos 2 x=0,

grzech 2 2x - 2 grzech 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

Otrzymaliśmy jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia. Zastosujmy metodę dzielenia wyraz po wyrazie przez cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Wprowadźmy nową zmienną z= tan2x.

Mamy z 2 - 2 z + 1 = 0. To jest równanie kwadratowe. Zauważając po lewej stronie skrócony wzór na mnożenie - kwadrat różnicy (), otrzymujemy (z - 1) 2 = 0, tj. z = 1. Wróćmy do odwrotnego podstawienia:

Równanie sprowadziliśmy do postaci tg t = a, gdzie t= 2x, a =1. A ponieważ to równanie ma rozwiązanie dla dowolnej wartości A i rozwiązania te mają postać

x = arctan x a + πn, wówczas rozwiązaniem naszego równania będzie:

2х= arctan1 + πn,

x = + , (x jest równe sumie pi razy osiem i pi en razy dwa).

Jedyne, co musimy zrobić, to znaleźć wartości x, które mieszczą się w przedziale

(- π; π), tj. spełniają podwójną nierówność - π x π. Ponieważ

x= +, następnie - π + π. Podziel wszystkie części tej nierówności przez π i pomnóż przez 8, otrzymamy

przesuwaj się o jeden w prawo i w lewo, zmieniając znak na minus jeden

podzielimy przez cztery otrzymamy,

Dla wygody całe części rozdzielamy na ułamki

-

Nierówność tę spełnia następująca liczba całkowita n: -2, -1, 0, 1