Wejdź w wielowymiarową przestrzeń.

Ewolucja ludzkiego mózgu odbyła się w przestrzeni trójwymiarowej. Dlatego trudno nam wyobrazić sobie przestrzenie o wymiarach większych niż trzy. W rzeczywistości ludzki mózg nie jest w stanie wyobrazić sobie obiektów geometrycznych o wymiarach większych niż trzy. Jednocześnie z łatwością możemy sobie wyobrazić obiekty geometryczne o wymiarach nie tylko trzech, ale także dwóch i jednego.

Różnica i analogia między przestrzeniami jednowymiarowymi i dwuwymiarowymi, a także różnica i analogia między przestrzeniami dwuwymiarowymi i trójwymiarowymi pozwalają nieco uchylić zasłonę tajemnicy, która odgradza nas od przestrzeni wyższych wymiarów. Aby zrozumieć, w jaki sposób używana jest ta analogia, rozważ bardzo prosty czterowymiarowy obiekt - hipersześcian, czyli czterowymiarowy sześcian. Mówiąc ściślej, powiedzmy, że chcemy rozwiązać konkretny problem, a mianowicie policzyć liczbę kwadratowych ścian czterowymiarowego sześcianu. Wszelkie dalsze rozważania będą bardzo luźne, bez żadnych dowodów, wyłącznie na zasadzie analogii.

Aby zrozumieć, jak zbudowany jest hipersześcian ze zwykłego sześcianu, musisz najpierw przyjrzeć się, jak zwykły sześcian jest zbudowany ze zwykłego kwadratu. Dla oryginalności prezentacji tego materiału zwykły kwadrat nazwiemy tutaj SubCube (i nie będziemy go mylić z sukkubem).

Aby zbudować sześcian z podsześcianu, należy przedłużyć podsześcian w kierunku prostopadłym do płaszczyzny podsześcianu w kierunku trzeciego wymiaru. W tym przypadku z każdej strony początkowego podsześcianu wyrośnie podsześcian, będący boczną dwuwymiarową ścianą sześcianu, co ograniczy trójwymiarową objętość sześcianu z czterech boków, po dwa prostopadłe do każdego kierunku w płaszczyzna podsześcianu. Wzdłuż nowej trzeciej osi znajdują się również dwie podsześciany, które ograniczają trójwymiarową objętość sześcianu. To jest dwuwymiarowa ściana, na której pierwotnie znajdowała się nasza podsześcianka, oraz dwuwymiarowa ściana sześcianu, na której podkostka pojawiła się na końcu budowy sześcianu.

To, co właśnie przeczytałeś, jest przedstawione zbyt szczegółowo i z wieloma wyjaśnieniami. I nie bez powodu. Teraz zrobimy taki trik, formalnie zastąpimy niektóre słowa z poprzedniego tekstu w ten sposób:
sześcian -> hipersześcian
podsześcian -> sześcian
płaszczyzna -> objętość
trzeci -> czwarty
dwuwymiarowy -> trójwymiarowy
cztery -> sześć
trójwymiarowy -> czterowymiarowy
dwa -> trzy
samolot -> przestrzeń

W rezultacie otrzymujemy następujący wymowny tekst, który nie wydaje się już zbyt szczegółowy.

Aby zbudować hipersześcian z sześcianu, należy rozciągnąć sześcian w kierunku prostopadłym do objętości sześcianu w kierunku czwartego wymiaru. W tym przypadku sześcian wyrośnie z każdej strony pierwotnego sześcianu, co jest boczną trójwymiarową ścianą hipersześcianu, co ograniczy czterowymiarową objętość hipersześcianu z sześciu boków, po trzy prostopadłe do każdego kierunku w przestrzeń sześcianu. Wzdłuż nowej czwartej osi znajdują się również dwie sześciany, które ograniczają czterowymiarową objętość hipersześcianu. To jest trójwymiarowa ściana, na której pierwotnie znajdował się nasz sześcian, i trójwymiarowa ściana hipersześcianu, na której sześcian pojawił się na końcu budowy hipersześcianu.

Dlaczego mamy taką pewność, że otrzymaliśmy prawidłowy opis budowy hipersześcianu? Tak, ponieważ przez dokładnie to samo formalne podstawienie słów otrzymujemy opis budowy sześcianu z opisu budowy kwadratu. (Sprawdź to sam.)

Teraz jest jasne, że jeśli z każdej strony sześcianu ma wyrosnąć kolejny trójwymiarowy sześcian, to z każdej krawędzi początkowego sześcianu powinna wyrosnąć ściana. W sumie sześcian ma 12 krawędzi, co oznacza, że ​​na tych 6 kostkach, które ograniczają czterowymiarową objętość wzdłuż trzech osi trójwymiarowej przestrzeni, pojawi się dodatkowych 12 nowych ścian (podsześcianów). Zostały jeszcze dwie kostki, które ograniczają tę czterowymiarową objętość od dołu i od góry, wzdłuż czwartej osi. Każda z tych sześcianów ma 6 ścian.

W sumie stwierdzamy, że hipersześcian ma 12+6+6=24 kwadratowe ściany.

Poniższy rysunek przedstawia logiczną strukturę hipersześcianu. Przypomina to rzutowanie hipersześcianu na przestrzeń trójwymiarową. W ten sposób powstaje trójwymiarowa rama żeber. Na rysunku oczywiście widać rzut tej ramki na płaszczyznę.

Na tej ramie sześcian wewnętrzny przypomina sześcian początkowy, od którego rozpoczęto budowę i który ogranicza czterowymiarową objętość hipersześcianu wzdłuż czwartej osi od dołu. Rozciągamy ten początkowy sześcian w górę wzdłuż czwartej osi miary i przechodzi on do sześcianu zewnętrznego. Zatem sześciany zewnętrzne i wewnętrzne z tej figury ograniczają hipersześcian wzdłuż czwartej osi miary.

A pomiędzy tymi dwiema kostkami widać jeszcze 6 nowych kostek, które stykają się wspólnymi ścianami z pierwszymi dwoma. Te sześć sześcianów ogranicza nasz hipersześcian wzdłuż trzech osi trójwymiarowej przestrzeni. Jak widać, stykają się one nie tylko z dwoma pierwszymi sześcianami, które są sześcianami wewnętrznymi i zewnętrznymi tej trójwymiarowej ramy, ale stykają się także ze sobą.

Możesz policzyć bezpośrednio na rysunku i upewnić się, że hipersześcian naprawdę ma 24 ściany. Ale pojawia się to pytanie. Ta hipersześcianowa rama w trójwymiarowej przestrzeni jest wypełniona ośmioma trójwymiarowymi kostkami bez żadnych przerw. Aby z tego trójwymiarowego rzutu hipersześcianu zrobić prawdziwy hipersześcian, należy odwrócić tę ramkę na lewą stronę, tak aby wszystkie 8 sześcianów tworzyło czterowymiarową objętość.

Robi się to tak. Zapraszamy mieszkańca czterowymiarowej przestrzeni do odwiedzenia nas i prosimy go o pomoc. Chwyta wewnętrzny sześcian tej ramy i przesuwa go w kierunku czwartego wymiaru, który jest prostopadły do ​​naszej trójwymiarowej przestrzeni. W naszej trójwymiarowej przestrzeni postrzegamy to tak, jakby zniknęła cała wewnętrzna rama, a pozostała jedynie rama zewnętrznego sześcianu.

Co więcej, nasz czterowymiarowy asystent oferuje swoją pomoc w szpitalach położniczych w celu bezbolesnego porodu, ale nasze kobiety w ciąży boją się perspektywy, że dziecko po prostu zniknie z żołądka i trafi do równoległej trójwymiarowej przestrzeni. Dlatego czterowymiarowej osobie grzecznie odmawia się.

I zastanawia nas pytanie, czy niektóre z naszych kostek nie rozpadły się, gdy wywróciliśmy ramę hipersześcianu na lewą stronę. W końcu, jeśli niektóre trójwymiarowe sześciany otaczające hipersześcian dotkną ścianami sąsiadów w ramce, czy dotkną również tymi samymi ścianami, jeśli czterowymiarowy sześcian wywróci ramkę na lewą stronę?

Wróćmy jeszcze raz do analogii z przestrzeniami o niższych wymiarach. Porównaj obraz ramki hipersześcianu z rzutem trójwymiarowego sześcianu na płaszczyznę pokazaną na poniższym rysunku.

Mieszkańcy przestrzeni dwuwymiarowej zbudowali na płaszczyźnie ramę do rzutu sześcianu na płaszczyznę i zaprosili nas, trójwymiarowych mieszkańców, abyśmy wywrócili tę ramę na lewą stronę. Bierzemy cztery wierzchołki wewnętrznego kwadratu i przesuwamy je prostopadle do płaszczyzny. Dwuwymiarowi mieszkańcy widzą całkowity zanik całej wewnętrznej ramy, a pozostaje im jedynie rama zewnętrznego kwadratu. Dzięki takiej operacji wszystkie kwadraty, które stykały się swoimi krawędziami, nadal stykają się z tymi samymi krawędziami.

Dlatego mamy nadzieję, że logiczny schemat hipersześcianu również nie zostanie naruszony przy odwróceniu ramy hipersześcianu na lewą stronę, a liczba kwadratowych ścian hipersześcianu nie wzrośnie i nadal będzie równa 24. To oczywiście , nie jest żadnym dowodem, lecz jedynie przypuszczeniem przez analogię.

Po wszystkim, co tu przeczytałeś, możesz łatwo narysować strukturę logiczną pięciowymiarowego sześcianu i obliczyć liczbę wierzchołków, krawędzi, ścian, sześcianów i hipersześcianów. To wcale nie jest trudne.

Hypersześcian i bryły platońskie

Modeluj dwudziestościan ścięty („piłka nożna”) w układzie „Wektor”.
w którym każdy pięciokąt jest ograniczony sześciokątami

Ścięty dwudziestościan można uzyskać poprzez odcięcie 12 wierzchołków, aby utworzyć ściany w postaci pięciokątów foremnych. W tym przypadku liczba wierzchołków nowego wielościanu wzrasta 5-krotnie (12×5=60), 20 ścian trójkątnych zamienia się w sześciokąty foremne (w sumie twarze stają się 20+12=32), A liczba krawędzi wzrasta do 30+12×5=90.

Etapy konstruowania dwudziestościanu ściętego w systemie Vector

Figury w przestrzeni 4-wymiarowej.

--à

--à ?

Na przykład biorąc pod uwagę sześcian i hipersześcian. Hipersześcian ma 24 ściany. Oznacza to, że 4-wymiarowy ośmiościan będzie miał 24 wierzchołki. Chociaż nie, hipersześcian ma 8 ścian sześcianów - każda ma środek w wierzchołku. Oznacza to, że 4-wymiarowy ośmiościan będzie miał 8 wierzchołków, co jest jeszcze lżejsze.

4-wymiarowy ośmiościan. Składa się z ośmiu równobocznych i równych czworościanów,
połączone czterema w każdym wierzchołku.

Ryż. Próba symulacji
hipersfera-hipersfera w układzie Vector

Twarze przód - tył - kulki bez zniekształceń. Kolejnych sześć kulek można zdefiniować za pomocą elipsoid lub powierzchni kwadratowych (poprzez 4 linie konturowe jako generatory) lub poprzez ściany (po raz pierwszy zdefiniowane za pomocą generatorów).

Więcej technik „budowania” hipersfery
- ta sama „piłka nożna” w przestrzeni 4-wymiarowej

Załącznik 2

Dla wielościanów wypukłych istnieje własność, która wiąże liczbę ich wierzchołków, krawędzi i ścian, udowodniona w 1752 roku przez Leonharda Eulera i zwana twierdzeniem Eulera.

Przed jego sformułowaniem rozważmy znane nam wielościany i wypełnij poniższą tabelę, w której B jest liczbą wierzchołków, P - krawędziami, a G - ścianami danego wielościanu:

Z tej tabeli od razu widać, że dla wszystkich wybranych wielościanów obowiązuje równość B - P + G = 2. Okazuje się, że ta równość obowiązuje nie tylko dla tych wielościanów, ale także dla dowolnego wielościanu wypukłego.

Twierdzenie Eulera. Dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi równość

B - P + G = 2,

gdzie B to liczba wierzchołków, P to liczba krawędzi, a G to liczba ścian danego wielościanu.

Dowód. Aby udowodnić tę równość, wyobraźmy sobie powierzchnię tego wielościanu wykonaną z elastycznego materiału. Usuńmy (wytnijmy) jedną z jego ścian, a pozostałą powierzchnię rozciągnijmy na płaszczyznę. Otrzymujemy wielokąt (utworzony przez krawędzie usuniętej ściany wielościanu), podzielony na mniejsze wielokąty (utworzone przez pozostałe ściany wielościanu).

Należy pamiętać, że boki wielokątów można deformować, powiększać, zmniejszać, a nawet zakrzywiać, o ile po bokach nie ma przerw. Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian nie ulegnie zmianie.

Udowodnimy, że powstały podział wielokąta na mniejsze wielokąty spełnia równość

(*)B - P + G " = 1,

gdzie B jest całkowitą liczbą wierzchołków, P jest całkowitą liczbą krawędzi, a Г " jest liczbą wielokątów zawartych w przegrodzie. Jasne jest, że Г " = Г - 1, gdzie Г jest liczbą ścian danego wielościan.

Udowodnijmy, że równość (*) nie zmienia się, jeśli w jakimś wielokącie danego podziału poprowadzona zostanie przekątna (ryc. 5, a). Rzeczywiście, po narysowaniu takiej przekątnej, nowa przegroda będzie miała B wierzchołków, krawędzie P+1, a liczba wielokątów wzrośnie o jeden. Dlatego mamy

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G " .

Korzystając z tej właściwości, rysujemy przekątne, które dzielą nadchodzące wielokąty na trójkąty, a dla powstałego podziału pokazujemy wykonalność równości (*) (ryc. 5, b). Aby to zrobić, będziemy kolejno usuwać zewnętrzne krawędzie, zmniejszając liczbę trójkątów. W takim przypadku możliwe są dwa przypadki:

a) aby usunąć trójkąt ABC w naszym przypadku konieczne jest usunięcie dwóch żeber AB I PNE.;

b) aby usunąć trójkątMKNw naszym przypadku konieczne jest usunięcie jednej krawędziMN.

W obu przypadkach równość (*) nie ulegnie zmianie. Przykładowo w pierwszym przypadku po usunięciu trójkąta graf będzie składał się z B – 1 wierzchołków, P – 2 krawędzi i G” – 1 wielokąta:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B - P + G ".

Rozważ sam drugi przypadek.

Zatem usunięcie jednego trójkąta nie zmienia równości (*). Kontynuując proces usuwania trójkątów, w końcu dotrzemy do podziału składającego się z pojedynczego trójkąta. Dla takiego podziału B = 3, P = 3, Г " = 1, a zatem B – Р + Г " = 1. Oznacza to, że równość (*) zachodzi także dla pierwotnego podziału, z którego ostatecznie otrzymujemy, że dla tego podziału wielokąta równość (*) jest prawdziwa. Zatem dla pierwotnego wielościanu wypukłego prawdziwa jest równość B - P + G = 2.

Przykład wielościanu, dla którego nie obowiązuje relacja Eulera, pokazano na rysunku 6. Wielościan ten ma 16 wierzchołków, 32 krawędzie i 16 ścian. Zatem dla tego wielościanu zachodzi równość B – P + G = 0.

Dodatek 3.

Film Cube 2: Hypercube to film science fiction będący kontynuacją filmu Cube.

Ośmioro nieznajomych budzi się w pokojach w kształcie sześcianu. Pokoje znajdują się wewnątrz czterowymiarowego hipersześcianu. Pokoje nieustannie przechodzą przez „teleportację kwantową”, a jeśli wejdziesz do następnego pokoju, jest mało prawdopodobne, aby wrócić do poprzedniego. W hipersześcianie krzyżują się równoległe światy, w niektórych pomieszczeniach czas płynie inaczej, a niektóre pomieszczenia to śmiertelne pułapki.

Fabuła filmu w dużej mierze powtarza historię z pierwszej części, co znajduje odzwierciedlenie także w wizerunkach niektórych bohaterów. W pomieszczeniach hipersześcianu ginie laureat Nagrody Nobla Rosenzweig, który obliczył dokładny czas zniszczenia hipersześcianu..

Krytyka

O ile w pierwszej części uwięzieni w labiryncie ludzie próbowali sobie pomagać, o tyle w tym filmie każdy walczy o siebie. Jest mnóstwo niepotrzebnych efektów specjalnych (tzw. pułapek), które w żaden logiczny sposób nie łączą tej części filmu z poprzednią. Czyli okazuje się, że film Kostka 2 to swego rodzaju labirynt przyszłości 2020-2030, a nie 2000. W pierwszej części teoretycznie każdy rodzaj pułapek może być stworzony przez człowieka. W drugiej części pułapkami tymi jest swego rodzaju program komputerowy, tzw. „Wirtualna Rzeczywistość”.

Zacznijmy od wyjaśnienia, czym jest przestrzeń czterowymiarowa.

Jest to przestrzeń jednowymiarowa, czyli po prostu oś OX. Każdy punkt na nim charakteryzuje się jedną współrzędną.

Teraz narysujmy oś OY prostopadle do osi OX. Otrzymujemy więc przestrzeń dwuwymiarową, czyli płaszczyznę XOY. Każdy punkt na nim charakteryzuje się dwiema współrzędnymi - odciętą i rzędną.

Narysujmy oś OZ prostopadle do osi OX i OY. Rezultatem jest trójwymiarowa przestrzeń, w której każdy punkt ma odciętą, rzędną i zastosowanie.

Logiczne jest, że czwarta oś OQ powinna być jednocześnie prostopadła do osi OX, OY i OZ. Ale takiej osi nie jesteśmy w stanie dokładnie skonstruować, dlatego możemy jedynie próbować ją sobie wyobrazić. Każdy punkt w przestrzeni czterowymiarowej ma cztery współrzędne: x, y, z i q.

Zobaczmy teraz, jak pojawił się czterowymiarowy sześcian.

Rysunek przedstawia figurę w przestrzeni jednowymiarowej – linię.

Jeśli wykonasz równoległe tłumaczenie tej linii wzdłuż osi OY, a następnie połączysz odpowiednie końce dwóch powstałych linii, otrzymasz kwadrat.

Podobnie, jeśli wykonasz równoległe przesunięcie kwadratu wzdłuż osi OZ i połączysz odpowiednie wierzchołki, otrzymasz sześcian.

A jeśli dokonamy równoległego przesunięcia sześcianu wzdłuż osi OQ i połączymy wierzchołki tych dwóch sześcianów, to otrzymamy sześcian czterowymiarowy. Swoją drogą, to się nazywa tesserakt.

Aby narysować sześcian na płaszczyźnie, potrzebujesz go projekt. Wizualnie wygląda to tak:

Wyobraźmy sobie, że wisi w powietrzu nad powierzchnią model szkieletowy sześcian, czyli jakby „zrobiony z drutu”, a nad nim żarówka. Jeśli włączysz żarówkę, prześledzisz ołówkiem cień sześcianu, a następnie wyłączysz żarówkę, na powierzchni zostanie przedstawiony rzut sześcianu.

Przejdźmy do czegoś nieco bardziej złożonego. Spójrz jeszcze raz na rysunek z żarówką: jak widzisz, wszystkie promienie zbiegają się w jednym punkcie. Nazywa się to Znikający punkt i służy do budowy projekcja perspektywiczna(może być również równoległy, gdy wszystkie promienie są do siebie równoległe. W rezultacie nie powstaje wrażenie objętości, ale jest ono jaśniejsze, a ponadto jeśli punkt zbiegu jest dość daleko od rzutowanego obiektu , to różnica między tymi dwoma rzutami jest mało zauważalna). Aby rzutować dany punkt na daną płaszczyznę za pomocą punktu zbiegu, należy poprowadzić linię prostą przez punkt zbiegu i dany punkt, a następnie znaleźć punkt przecięcia powstałej prostej z płaszczyzną. Aby rzutować bardziej złożoną figurę, powiedzmy sześcian, musisz rzutować każdy z jego wierzchołków, a następnie połączyć odpowiednie punkty. Należy zauważyć że algorytm rzutowania przestrzeni na podprzestrzeń można uogólnić na przypadek 4D->3D, a nie tylko 3D->2D.

Jak powiedziałem, nie możemy sobie wyobrazić, jak dokładnie wygląda oś OQ, podobnie jak tesserakt. Ale możemy uzyskać o tym ograniczone wyobrażenie, jeśli rzucimy go na wolumen, a następnie narysujemy na ekranie komputera!

Porozmawiajmy teraz o projekcji tesseraktu.

Po lewej stronie rzut sześcianu na płaszczyznę, po prawej tesserakt na objętość. Są dość podobne: rzut sześcianu wygląda jak dwa kwadraty, mały i duży, jeden wewnątrz drugiego, których odpowiadające wierzchołki są połączone liniami. Rzut tesseraktu wygląda jak dwa sześciany, mały i duży, jeden w drugim, których odpowiednie wierzchołki są połączone. Ale wszyscy widzieliśmy sześcian i możemy z całą pewnością powiedzieć, że zarówno mały, jak i duży kwadrat oraz cztery trapezy powyżej, poniżej, na prawo i na lewo od małego kwadratu, są w rzeczywistości kwadratami i są równe . I tesserakt ma to samo. I duży sześcian, i mały sześcian, i sześć ściętych piramid po bokach małego sześcianu - to wszystko są sześciany i są równe.

Mój program może nie tylko narysować rzut tesseraktu na objętość, ale także go obrócić. Przyjrzyjmy się, jak to się robi.

Najpierw powiem ci, co to jest obrót równoległy do ​​płaszczyzny.

Wyobraź sobie, że sześcian obraca się wokół osi OZ. Następnie każdy z jego wierzchołków opisuje okrąg wokół osi OZ.

Okrąg to płaska figura. A płaszczyzny każdego z tych okręgów są do siebie równoległe, a w tym przypadku równoległe do płaszczyzny XOY. Oznacza to, że możemy mówić nie tylko o obrocie wokół osi OZ, ale także o obrocie równoległym do płaszczyzny XOY.Jak widzimy, dla punktów, które obracają się równolegle do osi XOY, zmieniają się tylko odcięta i rzędna, natomiast aplikacja pozostaje I tak naprawdę o obrocie wokół prostej możemy mówić tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z przestrzenią trójwymiarową. W przestrzeni dwuwymiarowej wszystko obraca się wokół punktu, w przestrzeni czterowymiarowej wszystko obraca się wokół płaszczyzny, w przestrzeni pięciowymiarowej mówimy o obrocie wokół objętości. A jeśli potrafimy sobie wyobrazić obrót wokół punktu, to obrót wokół płaszczyzny i objętości jest czymś nie do pomyślenia. A jeśli mówimy o obrocie równoległym do płaszczyzny, to w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej punkt może obracać się równolegle do płaszczyzny.

Wielu z Was zapewne słyszało o macierzy rotacyjnej. Mnożąc punkt przez niego, otrzymujemy punkt obrócony równolegle do płaszczyzny o kąt phi. Dla przestrzeni dwuwymiarowej wygląda to następująco:

Jak pomnożyć: x punktu obróconego o kąt phi = cosinus kąta phi*ix punktu pierwotnego minus sinus kąta phi*ig punktu pierwotnego;
ig punktu obróconego o kąt phi = sinus kąta phi * ix punktu pierwotnego plus cosinus kąta phi * ig punktu pierwotnego.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, gdzie Xa i Ya to odcięta i rzędna punktu, który ma zostać obrócony, Xa` i Ya` to odcięta i rzędna już obróconego punktu

W przypadku przestrzeni trójwymiarowej macierz tę uogólnia się w następujący sposób:

Obrót równoległy do ​​płaszczyzny XOY. Jak widać współrzędna Z nie ulega zmianie, zmieniają się jedynie X i Y
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (zasadniczo Za`=Za)

Obrót równoległy do ​​płaszczyzny XOZ. Nic nowego,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (zasadniczo Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

I trzecia matryca.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (zasadniczo Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

A dla czwartego wymiaru wyglądają one tak:


Myślę, że już wiesz, przez co należy mnożyć, więc nie będę ponownie wchodził w szczegóły. Ale zauważam, że robi to samo, co macierz obrotu równoległego do płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej! Obydwa zmieniają tylko współrzędną i aplikację, nie dotykając pozostałych współrzędnych, więc można ich używać w przypadku trójwymiarowym, po prostu nie zwracając uwagi na czwartą współrzędną.

Ale dzięki formule projekcji nie wszystko jest takie proste. Nieważne, ile forów przeczytałem, żadna z metod projekcji nie zadziałała. Równoległy nie był dla mnie odpowiedni, ponieważ projekcja nie wyglądałaby trójwymiarowo. W niektórych wzorach projekcyjnych, aby znaleźć punkt, trzeba rozwiązać układ równań (a nie wiem, jak nauczyć komputer ich rozwiązywania), innych po prostu nie rozumiałem... Generalnie zdecydowałem się wymyśl mój własny sposób. W tym celu rozważmy projekcję 2D->1D.

pov oznacza „Punkt widzenia”, ptp oznacza „Punkt do rzutowania” (punkt, który ma być rzutowany), a ptp` to pożądany punkt na osi OX.

Kąty povptpB i ptpptp`A są sobie równe (linia przerywana jest równoległa do osi OX, linia prosta povptp jest sieczną).
x punktu ptp` jest równe x punktu ptp minus długość odcinka ptp`A. Odcinek ten można wyznaczyć z trójkąta ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangens kąta ptpptp`A. Tę tangens możemy znaleźć z trójkąta povptpB: tangens ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Odpowiedź: Xptp`=Xptp-Yptp/tangens kąta ptpptp`A.

Nie opisałem tutaj szczegółowo tego algorytmu, ponieważ istnieje wiele specjalnych przypadków, gdy formuła nieco się zmienia. Jeśli ktoś jest zainteresowany, niech zajrzy do kodu źródłowego programu, wszystko jest tam opisane w komentarzach.

Aby rzutować punkt w przestrzeni trójwymiarowej na płaszczyznę, po prostu rozważamy dwie płaszczyzny - XOZ i YOZ i rozwiązujemy to zadanie dla każdej z nich. W przypadku przestrzeni czterowymiarowej należy uwzględnić trzy płaszczyzny: XOQ, YOQ i ZOQ.

I na koniec o programie. Działa to w ten sposób: zainicjuj szesnaście wierzchołków tesseraktu -> w zależności od poleceń wprowadzonych przez użytkownika, obróć go -> rzuć na objętość -> w zależności od poleceń wprowadzonych przez użytkownika, obróć jego rzut -> rzuć na wolumen samolot -> rysuj.

Projekcje i rotacje napisałem sam. Działają według formuł, które właśnie opisałem. Biblioteka OpenGL rysuje linie, a także obsługuje mieszanie kolorów. Współrzędne wierzchołków tesseraktu oblicza się w następujący sposób:

Współrzędne wierzchołków linii o środku w początku i na długości 2 - (1) i (-1);
- " - " - kwadrat - " - " - i krawędź o długości 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) i (-1; -1);
- " - " - kostka - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Jak widać, kwadrat to jedna linia powyżej osi OY i jedna linia poniżej osi OY; sześcian to jedno pole przed płaszczyzną XOY i jedno za nią; Tesserakt to jeden sześcian po drugiej stronie objętości XOYZ i drugi po tej stronie. Ale o wiele łatwiej jest dostrzec tę naprzemienność jedynek i minusów, jeśli są one zapisane w kolumnie

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

W pierwszej kolumnie jeden i minus jeden zastępca. W drugiej kolumnie najpierw są dwa plusy, potem dwa minusy. W trzecim - cztery plusy, a potem cztery minusy. To były wierzchołki sześcianu. W tesserakcie jest ich dwa razy więcej, dlatego trzeba było napisać pętlę, żeby je zadeklarować, bo inaczej bardzo łatwo się pomylić.

Mój program potrafi także rysować anaglif. Szczęśliwi posiadacze okularów 3D mogą obserwować obraz stereoskopowy. W narysowaniu obrazu nie ma nic trudnego, po prostu rysujesz na płaszczyźnie dwie projekcje, dla prawego i lewego oka. Ale program staje się znacznie bardziej wizualny i interesujący, a co najważniejsze, daje lepsze wyobrażenie o czterowymiarowym świecie.

Mniej istotne funkcje to podświetlenie jednej z krawędzi na czerwono, aby lepiej widzieć zakręty, a także drobne udogodnienia - regulacja współrzędnych punktów „oka”, zwiększanie i zmniejszanie prędkości skrętu.

Archiwum z programem, kodem źródłowym i instrukcją obsługi.

Tesserakt to czterowymiarowy hipersześcian – sześcian w czterowymiarowej przestrzeni.
Według Oxford Dictionary słowo tesserakt zostało wymyślone i użyte w 1888 roku przez Charlesa Howarda Hintona (1853-1907) w jego książce A New Age of Thought. Później niektórzy nazywali tę samą figurę tetrakostką (gr. τετρα - cztery) - czterowymiarową kostką.
Zwykły tesserakt w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej definiuje się jako wypukłą powłokę punktów (±1, ±1, ±1, ±1). Innymi słowy, można go przedstawić jako następujący zbiór:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Tesserakt jest ograniczony ośmioma hiperpłaszczyznami x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , których przecięcie sam tesserakt definiuje go jako twarze 3D (które są regularnymi sześcianami). Każda para nierównoległych ścian 3D przecina się, tworząc twarze 2D (kwadraty) itp. Wreszcie tesserakt ma 8 ścian 3D, 24 ścian 2D, 32 krawędzie i 16 wierzchołki.
Popularny opis
Spróbujmy sobie wyobrazić, jak będzie wyglądał hipersześcian, nie wychodząc z trójwymiarowej przestrzeni.
W jednowymiarowej „przestrzeni” – na prostej – wybieramy odcinek AB o długości L. Na dwuwymiarowej płaszczyźnie w odległości L od AB rysujemy równoległy do ​​niego odcinek DC i łączymy ich końce. Rezultatem jest kwadratowy CDBA. Powtarzając tę ​​operację z płaszczyzną, otrzymujemy trójwymiarową kostkę CDBAGHFE. A przesuwając sześcian w czwartym wymiarze (prostopadle do pierwszych trzech) o odległość L, otrzymujemy hipersześcian CDBAGHFEKLJIOPNM.
Jednowymiarowy odcinek AB służy jako bok dwuwymiarowego kwadratu CDBA, kwadrat - jako bok sześcianu CDBAGHFE, który z kolei będzie bokiem czterowymiarowego hipersześcianu. Odcinek linii prostej ma dwa punkty graniczne, kwadrat ma cztery wierzchołki, a sześcian ma osiem. W czterowymiarowym hipersześcianie będzie zatem 16 wierzchołków: 8 wierzchołków pierwotnego sześcianu i 8 wierzchołków przesuniętego w czwartym wymiarze. Ma 32 krawędzie - 12 wyznacza początkowe i końcowe położenie pierwotnego sześcianu, a kolejnych 8 krawędzi „rysuje” jego osiem wierzchołków, które przesunęły się do czwartego wymiaru. To samo rozumowanie można przeprowadzić w przypadku ścian hipersześcianu. W przestrzeni dwuwymiarowej jest tylko jedna (sam kwadrat), sześcian ma ich 6 (dwie ściany z przesuniętego kwadratu i kolejne cztery opisujące jego boki). Czterowymiarowy hipersześcian ma 24 kwadratowe ściany – 12 kwadratów pierwotnego sześcianu w dwóch pozycjach i 12 kwadratów z jego dwunastu krawędzi.
Tak jak boki kwadratu to 4 jednowymiarowe odcinki, a boki (ściany) sześcianu to 6 dwuwymiarowych kwadratów, tak dla „czterowymiarowego sześcianu” (tesseraktu) boki to 8 trójwymiarowych sześcianów . Przestrzenie przeciwległych par kostek tesseraktu (tj. przestrzenie trójwymiarowe, do których należą te kostki) są równoległe. Na rysunku są to kostki: CDBAGHFE i KLJIOPNM, CDBAKLJI i GHFEOPNM, EFBAMNJI i GHDCOPLK, CKIAGOME i DLJBHPNF.
W podobny sposób możemy kontynuować nasze rozumowanie dla hipersześcianów o większej liczbie wymiarów, ale o wiele ciekawiej jest zobaczyć, jak czterowymiarowy hipersześcian będzie wyglądał dla nas, mieszkańców przestrzeni trójwymiarowej. W tym celu użyjemy znanej już metody analogii.
Weźmy sześcian z drutu ABCDEFG i spójrzmy na niego jednym okiem od strony krawędzi. Zobaczymy i potrafimy narysować na płaszczyźnie dwa kwadraty (jej bliższą i dalszą krawędź), połączone czterema liniami - krawędziami bocznymi. Podobnie czterowymiarowy hipersześcian w trójwymiarowej przestrzeni będzie wyglądał jak dwa sześcienne „pudełka” włożone w siebie i połączone ośmioma krawędziami. W tym przypadku same „pudełka” – trójwymiarowe twarze – zostaną zrzutowane na „naszą” przestrzeń, a łączące je linie rozciągną się w kierunku czwartej osi. Możesz także spróbować wyobrazić sobie sześcian nie w rzucie, ale w obrazie przestrzennym.
Tak jak trójwymiarowy sześcian tworzy się z kwadratu przesuniętego o długość jego ściany, tak sześcian przesunięty do czwartego wymiaru utworzy hipersześcian. Ogranicza ją osiem kostek, które z perspektywy czasu będą wyglądać jak jakaś dość złożona figura. Sam czterowymiarowy hipersześcian składa się z nieskończonej liczby sześcianów, tak jak trójwymiarowy sześcian można „pociąć” na nieskończoną liczbę płaskich kwadratów.
Wycinając sześć ścian trójwymiarowego sześcianu, można go rozłożyć na płaską figurę – rozwinięcie. Będzie miał kwadrat po obu stronach oryginalnej ściany i jeszcze jeden - twarz naprzeciwko. A trójwymiarowy rozwój czterowymiarowego hipersześcianu będzie się składał z oryginalnej kostki, sześciu kostek „wyrastających” z niej oraz jeszcze jednej - ostatecznej „hiperpowierzchni”.
Właściwości tesseraktu stanowią kontynuację właściwości figur geometrycznych o niższym wymiarze w przestrzeni czterowymiarowej.

Doktryna przestrzeni wielowymiarowych zaczęła pojawiać się w połowie XIX wieku w pracach G. Grassmanna, A. Cayleya, B. Riemanna, W. Clifforda, L. Schläfli i innych matematyków. Na początku XX wieku, wraz z pojawieniem się teorii względności A. Einsteina i idei G. Minkowskiego, w fizyce zaczęto stosować czterowymiarowy układ współrzędnych czasoprzestrzennych.

Następnie ideę przestrzeni czterowymiarowej zapożyczono od naukowców przez pisarzy science fiction. W swoich pracach opowiedzieli światu o niesamowitych cudach czwartego wymiaru. Bohaterowie swoich dzieł, wykorzystując właściwości czterowymiarowej przestrzeni, mogli zjeść zawartość jajka bez uszkodzenia skorupki i wypić napój bez otwierania nakrętki. Złodzieje usunęli skarb z sejfu przez czwarty wymiar. Ogniwa łańcuszka można łatwo rozłączyć, a węzeł na linie można rozwiązać bez dotykania jej końców. Chirurdzy przeprowadzali operacje narządów wewnętrznych, nie nacinając tkanki ciała pacjenta. Mistycy umieszczali dusze zmarłych w czwartym wymiarze. Dla zwykłego człowieka idea przestrzeni czterowymiarowej pozostała niezrozumiała i tajemnicza, a wielu ogólnie uważa przestrzeń czterowymiarową za wytwór wyobraźni naukowców i pisarzy science fiction, który nie ma nic wspólnego z rzeczywistością.

Problem percepcji

Tradycyjnie uważa się, że człowiek nie może postrzegać i wyobrażać sobie postaci czterowymiarowych, ponieważ jest istotą trójwymiarową. Osoba badana postrzega trójwymiarowe postacie za pomocą siatkówki, która jest dwuwymiarowa. Aby dostrzec postacie czterowymiarowe, potrzebna jest trójwymiarowa siatkówka, ale ludzie nie mają takiej zdolności.

Aby uzyskać jasny obraz figur czterowymiarowych, użyjemy analogii z przestrzeni niższych wymiarów w celu ekstrapolacji na figury o wyższych wymiarach, zastosujemy metodę modelowania i zastosujemy metody analizy systemów w celu poszukiwania wzorców między elementami cztero-wymiarowymi. figury wymiarowe. Proponowane modele muszą adekwatnie opisywać właściwości figur czterowymiarowych, nie być ze sobą sprzeczne i dawać wystarczające zrozumienie figury czterowymiarowej, a przede wszystkim jej kształtu geometrycznego. Ponieważ w literaturze nie ma systematycznego i wizualnego opisu figur czterowymiarowych, a jedynie ich nazwy wskazujące na pewne właściwości, proponujemy rozpocząć badanie figur czterowymiarowych od najprostszego - czterowymiarowego sześcianu, który nazywa się hipersześcian.

Definicja hipersześcianu

Hipersześcianjest regularnym wielokątem, którego komórka jest sześcianem.

Politop jest figurą czterowymiarową, której brzegi składają się z wielościanów. Analogiem komórki politopowej jest ściana wielościanu. Hipersześcian jest analogiem trójwymiarowego sześcianu.

Będziemy mieli pojęcie o hipersześcianie, jeśli znamy jego właściwości. Podmiot postrzega pewien przedmiot, przedstawiając go w postaci określonego modelu. Skorzystajmy z tej metody i przedstawmy ideę hipersześcianu w postaci różnych modeli.

Model analityczny

Przestrzeń jednowymiarową (prostą) będziemy rozpatrywać jako uporządkowany zbiór punktówM(X), Gdzie X– współrzędna dowolnego punktu na linii. Następnie określa się segment jednostkowy poprzez podanie dwóch punktów:A(0) i B(1).

Płaszczyznę (przestrzeń dwuwymiarową) można uznać za uporządkowany zbiór punktów M(X; y). Kwadrat jednostkowy zostanie całkowicie zdefiniowany przez jego cztery wierzchołki: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Współrzędne wierzchołków kwadratu uzyskuje się dodając zero, a następnie jeden do współrzędnych odcinka.

Przestrzeń trójwymiarowa - uporządkowany zbiór punktów M(X; y; z). Aby zdefiniować trójwymiarową kostkę, potrzeba ośmiu punktów:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

mi(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Współrzędne sześcianu uzyskuje się ze współrzędnych kwadratu przez dodanie zera, a następnie jedynki.

Przestrzeń czterowymiarowa to uporządkowany zbiór punktów M(X; y; z; T). Aby zdefiniować hipersześcian, należy określić współrzędne jego szesnastu wierzchołków:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

mi(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Współrzędne hipersześcianu uzyskuje się ze współrzędnych trójwymiarowego sześcianu poprzez dodanie czwartej współrzędnej równej zeru, a następnie jedności.

Korzystając ze wzorów geometrii analitycznej dla czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej, można otrzymać właściwości hipersześcianu.
Jako przykład rozważmy obliczenie długości głównej przekątnej hipersześcianu. Załóżmy, że musimy znaleźć odległość między punktami A(0, 0, 0, 0) i R(1, 1, 1, 1). W tym celu skorzystamy ze wzoru na odległość w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej.

W przestrzeni dwuwymiarowej (na płaszczyźnie) odległość między punktami A(X 1 , y 1) i B(X 2 , y 2) obliczone według wzoru

Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa.

Odpowiedni wzór na odległość między punktami A(X 1 , y 1 , z 1) i B(X 2 , y 2 , z 2) w przestrzeni trójwymiarowej ma postać

Oraz w przestrzeni jednowymiarowej (na prostej) pomiędzy punktami A( X 1) i B( X 2) możesz napisać odpowiedni wzór na odległość:

Podobnie odległość między punktami A(X 1 , y 1 , z 1 , T 1) i B(X 2 , y 2 , z 2 , T 2) w przestrzeni czterowymiarowej oblicza się według wzoru:

Dla proponowanego przykładu znajdujemy

Zatem hipersześcian istnieje analitycznie, a jego właściwości można opisać nie gorzej niż właściwości trójwymiarowego sześcianu.

Model dynamiczny

Model analityczny hipersześcianu jest bardzo abstrakcyjny, dlatego rozważmy inny model – dynamiczny.

Punkt (figura zerowymiarowa), poruszając się w jednym kierunku, generuje odcinek (figurę jednowymiarową). Odcinek poruszając się w kierunku prostopadłym do siebie tworzy kwadrat (figurę dwuwymiarową). Kwadrat poruszając się w kierunku prostopadłym do płaszczyzny kwadratu, tworzy sześcian (figurę trójwymiarową).

Sześcian poruszając się prostopadle do trójwymiarowej przestrzeni, w której pierwotnie się znajdował, generuje hipersześcian (figurę czterowymiarową).

Granica hipersześcianu jest trójwymiarowa, skończona i zamknięta. Składa się z trójwymiarowego sześcianu w położeniu początkowym, trójwymiarowego sześcianu w położeniu końcowym oraz sześciu sześcianów powstałych poprzez przesunięcie kwadratów pierwotnego sześcianu w kierunku czwartego wymiaru. Cała granica hipersześcianu składa się z 8 trójwymiarowych kostek (komórek).

Podczas poruszania się w położeniu początkowym sześcian miał 8 wierzchołków, a w położeniu końcowym również 8 wierzchołków. Zatem hipersześcian ma w sumie 16 wierzchołków.

Z każdego wierzchołka wychodzą cztery wzajemnie prostopadłe krawędzie. Hipersześcian ma łącznie 32 krawędzie, w położeniu początkowym miał 12 krawędzi, w położeniu końcowym również 12 krawędzi, a 8 krawędzi tworzyło wierzchołki sześcianu podczas poruszania się w czwartym wymiarze.

Zatem granica hipersześcianu składa się z 8 kostek, które składają się z 24 kwadratów. Mianowicie 6 kwadratów w pozycji początkowej, 6 w pozycji końcowej i 12 kwadratów utworzonych przez przesunięcie 12 krawędzi w kierunku czwartego wymiaru.

Model geometryczny

Dynamiczny model hipersześcianu może nie wydawać się wystarczająco jasny. Dlatego rozważ model geometryczny hipersześcianu. Jak uzyskać model geometryczny sześcianu 3D? Wykonujemy jego rozwinięcie i z rozwinięcia „sklejamy” model sześcianu. Rozwój trójwymiarowego sześcianu składa się z kwadratu, do którego boków przymocowany jest kwadrat plus kolejny kwadrat. Obracamy sąsiednie kwadraty wokół boków kwadratu i łączymy ze sobą sąsiednie boki kwadratów. I zamykamy pozostałe cztery boki ostatnim kwadratem (ryc. 1).

Rozważmy podobnie rozwój hipersześcianu. Jego rozwinięciem będzie trójwymiarowa figura składająca się z oryginalnej trójwymiarowej kostki, sześciu kostek sąsiadujących z każdą ścianą oryginalnej kostki i jeszcze jednej kostki. W sumie jest osiem trójwymiarowych kostek (ryc. 2). Aby otrzymać z tego opracowania czterowymiarową kostkę (hipersześcian), należy obrócić każdą z sąsiednich kostek o 90 stopni. Te sąsiednie kostki będą zlokalizowane w innej trójwymiarowej przestrzeni. Połącz ze sobą sąsiednie ściany (kwadraty) sześcianów. Umieść ósmą kostkę swoimi ścianami na pozostałym pustym miejscu. Otrzymujemy czterowymiarową figurę - hipersześcian, którego granicę stanowi osiem trójwymiarowych kostek.

Obraz hipersześcianu

Powyżej pokazano jak „skleić” model hipersześcianu z trójwymiarowego skanu. Obrazy uzyskujemy za pomocą projekcji. Rzut centralny trójwymiarowego sześcianu (jego obraz na płaszczyźnie) wygląda następująco (ryc. 3). Wewnątrz kwadratu znajduje się kolejny kwadrat. Odpowiednie wierzchołki kwadratu są połączone odcinkami. Sąsiednie kwadraty są przedstawiane jako trapezy, chociaż w przestrzeni trójwymiarowej są kwadratami. Kwadraty wewnętrzne i zewnętrzne mają różne rozmiary, ale w prawdziwej trójwymiarowej przestrzeni są równymi kwadratami.

Podobnie centralny rzut czterowymiarowego sześcianu na przestrzeń trójwymiarową będzie wyglądał następująco: wewnątrz jednego sześcianu znajduje się drugi sześcian. Odpowiednie wierzchołki sześcianów są połączone segmentami. Sześcian wewnętrzny i zewnętrzny mają różne rozmiary w przestrzeni trójwymiarowej, natomiast w przestrzeni czterowymiarowej są sześcianami równymi (ryc. 4).

Sześć ściętych piramid to obrazy równych sześciu komórek (sześcianów) czterowymiarowego sześcianu.

Ten trójwymiarowy rzut można narysować na płaszczyźnie i sprawdzić, czy właściwości hipersześcianu uzyskane za pomocą modelu dynamicznego są prawdziwe.

Hipersześcian ma 16 wierzchołków, 32 krawędzie, 24 ściany (kwadraty) i 8 komórek (sześciany). Z każdego wierzchołka wychodzą cztery wzajemnie prostopadłe krawędzie. Granica hipersześcianu jest trójwymiarową, zamkniętą wypukłą figurą, której objętość (objętość boczna hipersześcianu) jest równa ośmiu jednostkowym trójwymiarowym sześcianom. Wewnątrz tej figury znajduje się hipersześcian jednostkowy, którego hiperobjętość jest równa hiperobjętości hipersześcianu jednostkowego.

Wniosek

Celem tej pracy było wstępne wprowadzenie do przestrzeni czterowymiarowej. Dokonano tego na przykładzie najprostszej figury – hipersześcianu.

Świat czterowymiarowej przestrzeni jest niesamowity! W nim, wraz z podobnymi figurami w przestrzeni trójwymiarowej, znajdują się także figury, które nie mają analogii w przestrzeni trójwymiarowej.

Wiele zjawisk świata materialnego, makroświata i megaświata, pomimo ogromnych sukcesów w fizyce, chemii i astronomii, pozostało niewyjaśnionych.

Nie ma jednej teorii wyjaśniającej wszystkie siły natury. Nie ma zadowalającego modelu Wszechświata, który wyjaśniałby jego budowę i wykluczał paradoksy.

Poznając właściwości przestrzeni czterowymiarowej i zapożyczając pewne pomysły z geometrii czterowymiarowej, możliwe będzie nie tylko budowanie bardziej rygorystycznych teorii i modeli świata materialnego, ale także tworzenie narzędzi i systemów funkcjonujących zgodnie z prawami czterowymiarowego świata, wówczas możliwości człowieka będą jeszcze bardziej imponujące.