Powtarzany niezależny projekt testu. Wzór Bernoulliego

Krótka teoria

Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się eksperymentami, które można powtarzać (przynajmniej teoretycznie) nieograniczoną liczbę razy. Niech jakiś eksperyment zostanie powtórzony raz, a wyniki każdego powtórzenia nie będą zależeć od wyników poprzednich powtórzeń. Takie serie powtórzeń nazywane są niezależnymi próbami. Szczególnym przypadkiem takich testów są niezależne testy Bernoulliego, które charakteryzują się dwoma warunkami:

1) wynikiem każdego testu jest jeden z dwóch możliwych wyników, zwanych odpowiednio „sukcesem” lub „porażką”.

2) prawdopodobieństwo „sukcesu” w każdym kolejnym teście nie zależy od wyników poprzednich testów i pozostaje stałe.

Twierdzenie Bernoulliego

Jeżeli przeprowadza się serię niezależnych prób Bernoulliego, w których „sukces” pojawia się z prawdopodobieństwem , to prawdopodobieństwo, że „sukces” pojawi się dokładnie raz w próbach, wyraża się wzorem:

gdzie jest prawdopodobieństwo „porażki”.

– liczba kombinacji elementów według (patrz podstawowe wzory kombinatoryki)

Ta formuła nazywa się Wzór Bernoulliego.

Wzór Bernoulliego pozwala pozbyć się dużej liczby obliczeń - dodawania i mnożenia prawdopodobieństw - przy wystarczająco dużej liczbie testów.

Schemat testu Bernoulliego nazywany jest również schematem dwumianowym, a odpowiadające mu prawdopodobieństwa nazywane są dwumianowym, co wiąże się z zastosowaniem współczynników dwumianowych.

Rozkład według schematu Bernoulliego pozwala w szczególności znaleźć najbardziej prawdopodobną liczbę wystąpień zdarzenia.

Jeśli liczba testów N jest duży, użyj:

Przykład rozwiązania problemu

Zadanie

Szybkość kiełkowania niektórych nasion roślin wynosi 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z 10 wysianych nasion: 8, co najmniej 8; przynajmniej 8?

Rozwiązanie problemu

Skorzystajmy ze wzoru Bernoulliego:

W naszym przypadku

Niech stanie się tak, że z 10 nasion 8 wykiełkuje:

Niech wydarzenie będzie wynosić co najmniej 8 (czyli 8, 9 lub 10)

Niech wydarzenie wzrośnie co najmniej 8 (to znaczy 8,9 lub 10)

Odpowiedź

Przeciętny koszt rozwiązania testu wynosi 700 - 1200 rubli (ale nie mniej niż 300 rubli za całe zamówienie). Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od jednego dnia do kilku godzin). Koszt pomocy online do egzaminu/testu wynosi od 1000 rubli. za rozwiązanie biletu.

Możesz zostawić prośbę bezpośrednio na czacie, po uprzednim przesłaniu warunków zadań i poinformowaniu Cię o terminach potrzebnego rozwiązania. Czas odpowiedzi to kilka minut.

Wzór Bernoulliego- wzór z teorii prawdopodobieństwa pozwalający obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A (\ displaystyle A) w niezależnych testach. Wzór Bernoulliego pozwala pozbyć się dużej liczby obliczeń – dodawania i mnożenia prawdopodobieństw – przy odpowiednio dużej liczbie testów. Nazwany na cześć wybitnego szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulliego, który wyprowadził tę formułę.

Encyklopedyczny YouTube

1 / 3

✪ Teoria prawdopodobieństwa. 22. Wzór Bernoulliego. Rozwiązywanie problemów

✪ Wzór Bernoulliego

✪ 20 powtórzeń testów Formuły Bernoulliego

Napisy na filmie obcojęzycznym

Sformułowanie

Twierdzenie. Jeśli prawdopodobieństwo p (\ displaystyle p) wystąpienie zdarzenia A (\ displaystyle A) jest stała w każdej próbie, to prawdopodobieństwo P k , n (\ Displaystyle P_ (k, n))że wydarzenie A (\ displaystyle A) przyjdzie dokładnie k (\ displaystyle k) za każdym razem n (\ displaystyle n) niezależnych testów, jest równa: P k , n = do n k ⋅ p k ⋅ q n - k (\ Displaystyle P_ (k, n) = C_ (n) ^ (k) \ cdot p ^ (k) \ cdot q ^ (nk)}, Gdzie q = 1 - p (\ displaystyle q = 1-p).

Dowód

Niech to zostanie zrealizowane n (\ displaystyle n) niezależnych testów i wiadomo, że w wyniku każdego testu następuje zdarzenie A (\ displaystyle A) zachodzi z prawdopodobieństwem P (A) = p (\ Displaystyle P \ lewo (A \ prawo) = p) i dlatego nie zachodzi z prawdopodobieństwem P (A ¯) = 1 - p = q (\ Displaystyle P \ lewo ({\ bar (A)) \ prawo) = 1-p = q). Niech także podczas testów prawdopodobieństwa p (\ displaystyle p) I q (\ displaystyle q) pozostają bez zmian. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rezultacie n (\ displaystyle n) niezależne testy, wydarzenie A (\ displaystyle A) przyjdzie dokładnie k (\ displaystyle k) raz?

Okazuje się, że można dokładnie obliczyć liczbę „udanych” kombinacji wyników testów, dla których zdarzenie A (\ displaystyle A) pochodzi k (\ displaystyle k) za każdym razem n (\ displaystyle n) niezależne testy - to jest dokładnie liczba kombinacji n (\ displaystyle n) Przez k (\ displaystyle k) :

do n (k) = n! k! (n-k)! (\ Displaystyle C_ (n) (k) = (\ Frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

Jednocześnie, ponieważ wszystkie testy są niezależne, a ich wyniki niekompatybilne (wyd A (\ displaystyle A) albo nastąpi, albo nie), wówczas prawdopodobieństwo uzyskania „udanej” kombinacji jest dokładnie równe: .

Wreszcie, aby znaleźć prawdopodobieństwo, że n (\ displaystyle n) niezależne wydarzenie testowe A (\ displaystyle A) przyjdzie dokładnie k (\ displaystyle k) Jeszcze raz musisz zsumować prawdopodobieństwa uzyskania wszystkich „udanych” kombinacji. Prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich „udanych” kombinacji jest takie samo i równe p k ⋅ q n - k (\ Displaystyle p ^ (k) \ cdot q ^ (nk)}, liczba „udanych” kombinacji jest równa do n (k) (\ displaystyle C_ (n) (k)), więc ostatecznie otrzymujemy:

P k , n = do n k ⋅ p k ⋅ q n - k = do n k ⋅ p k ⋅ (1 - p) n - k (\ Displaystyle P_ (k, n) = C_ (n) ^ (k) \ cdot p ^ ( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

Ostatnie wyrażenie to nic innego jak wzór Bernoulliego. Warto również zauważyć, że ze względu na kompletność grupy zdarzeń prawdą będzie:

∑ k = 0 n (P k, n) = 1 (\ Displaystyle \ suma _ (k = 0) ^ (n) (P_ (k, n)) = 1).

Niech zostaną przeprowadzone niezależne testy, w każdym z których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi A równy R . Innymi słowy, niech schemat Bernoulliego się sprawdzi. Czy można przewidzieć, jaka będzie przybliżona względna częstotliwość występowania zdarzenia? Pozytywnej odpowiedzi na to pytanie udziela twierdzenie udowodnione przez J. Bernoulliego 1, które nazwano „prawem wielkich liczb” i położyło podwaliny pod teorię prawdopodobieństwa jako nauki 2.

Twierdzenie Bernoulliego: Jeśli w każdym z niezależnych testów przeprowadzonych w tych samych warunkach, prawdopodobieństwo R wystąpienie zdarzenia A jest stała, to względna częstotliwość występowania zdarzenia A zbiega się prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem R – pojawienie się danego zdarzenia w odrębnym doświadczeniu, tj

.

Dowód . Zatem schemat Bernoulliego jest prawdziwy,
. Oznaczmy przez
dyskretna zmienna losowa – liczba wystąpień zdarzenia A V -ta próba. Oczywiste jest, że każda ze zmiennych losowych może przyjmować tylko dwie wartości: 1 (wydarzenie A miało miejsce) z prawdopodobieństwem R I 0 (wydarzenie A nie wystąpiło) z prawdopodobieństwem
, to jest

Nie trudno znaleźć

Czy można zastosować twierdzenie Czebyszewa do rozważanych wielkości? Jest to możliwe, jeśli zmienne losowe są parami niezależne, a ich wariancje są równomiernie ograniczone. Obydwa warunki są spełnione. Rzeczywiście, parami niezależność ilości
wynika z faktu, że testy są niezależne. Następny 3
Na
i dlatego wariancje wszystkich wielkości są ograniczone, na przykład liczbą
. Dodatkowo należy pamiętać, że każda ze zmiennych losowych
kiedy nastąpi jakieś wydarzenie A w odpowiednim teście przyjmuje wartość równą jeden. Dlatego kwota
równa liczbie
- wystąpienia zdarzeń A V testy, tzn

,

czyli ułamek
równa częstotliwości względnej wystąpienia zdarzenia A V testy.

Następnie, stosując twierdzenie Czebyszewa do rozważanych wielkości, otrzymujemy:

co było do okazania

Komentarz 1 : Twierdzenie Bernoulliego jest najprostszym przypadkiem szczególnym twierdzenia Czebyszewa.

Komentarz 2 : W praktyce nieznane prawdopodobieństwa często trzeba w przybliżeniu wyznaczać na podstawie doświadczenia; przeprowadzono dużą liczbę eksperymentów, aby sprawdzić zgodność twierdzenia Bernoulliego z doświadczeniem. Na przykład XVIII-wieczny francuski przyrodnik Buffon rzucił monetą 4040 razy. Herb wypadł 2048 razy. Częstotliwość pojawiania się herbu w eksperymencie Buffona wynosi około 0,507. Angielski statystyk K. Pearson rzucił monetą 12 000 razy i zaobserwował 6019 monet. Częstotliwość herbu w tym eksperymencie Pearsona wynosi 0,5016. Innym razem rzucił monetą 24 000 razy, a herb wypadł 12 012 razy; częstotliwość utraty herbu w tym przypadku okazała się równa 0,5005. Jak widać we wszystkich powyższych eksperymentach częstotliwość tylko nieznacznie odbiegała od prawdopodobieństwa 0,5 - pojawienia się herbu w wyniku jednego rzutu monetą.

Komentarz 3 : Błędem byłoby wyciąganie wniosku z twierdzenia Bernoulliego, że wraz ze wzrostem liczby prób częstotliwość względna stale zbliża się do prawdopodobieństwa R ; innymi słowy, Twierdzenie Bernoulliego nie implikuje równości
. W twierdzeniu to tylko kwestia prawdopodobieństwa fakt, że przy dostatecznie dużej liczbie prób względna częstotliwość będzie się różnić tak mało, jak jest to pożądane, od stałego prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w każdej próbie. Zatem zbieżność częstotliwości względnej do prawdopodobieństwa R różni się od zbieżności w sensie zwykłej analizy. Aby podkreślić tę różnicę, wprowadzić pojęcie „zbieżności prawdopodobieństwa”. Dokładniej, różnica między tymi typami zbieżności jest następująca: jeśli ma tendencję do
Do R tak dużo jak to możliwe w sensie zwykłej analizy, następnie zaczynając od niektórych
i dla wszystkich kolejnych wartości , nierówność jest stale spełniona
;Jeśli zmierza zgodnie z prawdopodobieństwem Do R Na
, a następnie dla poszczególnych wartości nierówność może nie być spełniona.

Twierdzenia Poissona i Markowa

Zauważyłem, jeśli zmieniają się warunki eksperymentu, to własność stabilności względnej częstotliwości występowania zdarzenia A jest zapisany. Okoliczność tę udowodnił Poisson.

Twierdzenie Poissona: Przy nieograniczonym wzroście liczby niezależnych testów przeprowadzanych w zmiennych warunkach względna częstotliwość występowania zdarzenia A zbiega się prawdopodobieństwem do średniej arytmetycznej prawdopodobieństw wystąpienia danego zdarzenia w każdym z eksperymentów, czyli

.

Komentarz 4 : Łatwo zauważyć, że twierdzenie Poissona jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Czebyszewa.

Twierdzenie Markowa: Jeśli sekwencja zmiennych losowych
(jakkolwiek zależne) jest takie, że kiedy

,

To,
warunek jest spełniony:
.

Komentarz 5 : Oczywiście, jeśli zmienne losowe
są parami niezależne, wówczas warunek Markowa przyjmuje postać: kiedy

.

To pokazuje, że twierdzenie Czebyszewa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Markowa.

Centralne twierdzenie graniczne (twierdzenie Lapunowa)

Rozważane twierdzenia prawa wielkich liczb dotyczą zagadnień aproksymacji niektórych zmiennych losowych do określonych wartości granicznych, niezależnie od prawa ich rozkładu. W teorii prawdopodobieństwa, jak już wspomniano, istnieje kolejna grupa twierdzeń dotyczących granicznych praw rozkładu sumy zmiennych losowych. Ogólna nazwa tej grupy twierdzeń to centralna komora graniczna. Poszczególne jej formy różnią się warunkami nałożonymi na sumę składników zmiennych losowych. Po raz pierwszy jedną z form centralnego twierdzenia granicznego udowodnił wybitny rosyjski matematyk A.M. Lapunow w 1900 r., stosując specjalnie opracowaną przez niego metodę funkcji charakterystycznych.

Twierdzenie Lapunowa: Prawo rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych
zbliża się do prawa dystrybucji normalnej z nieograniczonym wzrostem (to jest, kiedy
), jeżeli spełnione są następujące warunki:

,

Należy zauważyć, że centralne twierdzenie graniczne obowiązuje nie tylko dla zmiennych losowych ciągłych, ale także dyskretnych. Praktyczne znaczenie twierdzenia Lapunowa jest ogromne. Doświadczenie pokazuje, że prawo rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych porównywalnych pod względem rozproszenia szybko zbliża się do normalnego. Już przy liczbie wyrazów rzędu dziesięciu prawo podziału sumy można zastąpić normalnym (w szczególności przykładem takiej sumy może być średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennych losowych, to jest
).

Szczególnym przypadkiem centralnego twierdzenia granicznego jest twierdzenie Laplace'a. W nim, jak pamiętasz, uwzględnia się przypadek zmiennych losowych
są dyskretne, mają jednakowy rozkład i przyjmują tylko dwie możliwe wartości: 0 i 1.

Następnie prawdopodobieństwo, że zawarte w przedziale
można obliczyć za pomocą wzoru

.

Korzystając z funkcji Laplace'a, ostatni wzór można zapisać w wygodnej do obliczeń formie:

Gdzie
.

PRZYKŁAD. Zmierzmy pewną wielkość fizyczną. Każdy pomiar daje jedynie przybliżoną wartość mierzonej wartości, ponieważ na wynik pomiaru wpływa wiele niezależnych czynników losowych (temperatura, wahania przyrządu, wilgotność itp.). Każdy z tych czynników generuje znikomy „błąd częściowy”. Ponieważ jednak liczba tych czynników jest bardzo duża, ich łączny wpływ powoduje zauważalny „błąd całkowity”.

Rozpatrując błąd całkowity jako sumę bardzo dużej liczby wzajemnie niezależnych błędów cząstkowych, mamy prawo stwierdzić, że błąd całkowity ma rozkład zbliżony do normalnego. Doświadczenie potwierdza słuszność tego wniosku.

2 Dowód zaproponowany przez J. Bernoulliego był złożony; prostszy dowód podał P. Czebyszew w 1846 r.

3 Wiadomo, że iloczyn dwóch czynników, których suma jest wartością stałą, ma największą wartość, gdy czynniki są równe.

Powtarzane niezależne próby nazywane są próbami Bernoulliego, jeśli każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki, a prawdopodobieństwa wyników pozostają takie same we wszystkich próbach.

Zwykle te dwa wyniki nazywane są „sukcesem” (S) lub „porażką” (F), a odpowiadające im prawdopodobieństwa są oznaczane P I Q. Jest oczywiste, że P 0, Q³ 0 i P+Q=1.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych każdej próby składa się z dwóch zdarzeń U i H.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych N Testy Bernoulliego Ω zawiera 2 N zdarzenia elementarne, będące ciągami (łańcuchami) zdarzeń N symbole U i N. Każde zdarzenie elementarne jest jednym z możliwych wyników ciągu N Testy Bernoulliego. Ponieważ testy są niezależne, zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa są mnożone, to znaczy prawdopodobieństwo dowolnej określonej sekwencji jest iloczynem otrzymanym przez zastąpienie symboli U i H przez P I Q odpowiednio, czyli np.: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q str .

Należy zauważyć, że wynik testu Bernoulliego jest często oznaczany przez 1 i 0, a następnie elementarne zdarzenie w sekwencji N Testy Bernoulliego - istnieje łańcuch składający się z zer i jedynek. Na przykład:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Testy Bernoulliego stanowią najważniejszy schemat rozważany w teorii prawdopodobieństwa. Schemat ten nosi imię szwajcarskiego matematyka J. Bernoulliego (1654-1705), który dogłębnie studiował ten model w swoich pracach.

Głównym problemem, który nas tutaj zainteresuje, jest: jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, które N Odbyły się testy Bernoulliego M powodzenie?

Jeśli zostaną spełnione określone warunki, prawdopodobieństwo, że podczas niezależnych testów wystąpi zdarzenie będą dokładnie przestrzegane M razy (bez względu na to, w jakich eksperymentach) jest określana przez Wzór Bernoulliego:

(21.1)

Gdzie - prawdopodobieństwo wystąpienia w każdym teście i
- prawdopodobieństwo, że w danym eksperymencie zajdzie zdarzenie Nie wydarzyło się.

Jeśli weźmiemy pod uwagę P N (M) jako funkcja M, następnie określa rozkład prawdopodobieństwa, który nazywa się dwumianem. Zbadajmy tę zależność P N (M) z M, 0£ M£ N.

Wydarzenia B M( M = 0, 1, ..., N), składające się z różnej liczby wystąpień zdarzenia A V N testy są niekompatybilne i tworzą kompletną grupę. Stąd,
.

Rozważmy stosunek:

=
=
=
.

Wynika, że P N (m+1)>P N (M), Jeśli (N- poseł> (m+1)q, tj. funkcjonować P N (M) wzrasta jeśli M< n.p.- Q. Podobnie, P N (m+1)< P N (M), Jeśli (N- poseł< (m+1)q, tj. P N (M) maleje, jeśli M> n.p.- Q.

Zatem jest liczba M 0, przy którym P N (M) osiąga największą wartość. Znajdziemy M 0 .

Zgodnie ze znaczeniem liczby M 0 mamy P N (M 0)³ P N (M 0 -1) i P N (M 0) ³ P N (M 0 +1), stąd

, (21.2)

. (21.3)

Rozwiązywanie nierówności (21.2) i (21.3) ze względu na M 0, otrzymujemy:

P/ M 0 ³ Q/(N- M 0 +1) Þ M 0 £ n.p.+ P,

Q/(N- M 0 ) ³ P/(M 0 +1) Þ M 0 ³ n.p.- Q.

A więc wymagana liczba M 0 spełnia nierówności

n.p.- Q£ M 0 £ np+p. (21.4)

Ponieważ P+Q=1, wówczas długość przedziału określonego nierównością (21.4) jest równa jedności i istnieje co najmniej jedna liczba całkowita M 0 spełniające nierówności (21.4):

1) jeśli n.p. - Q jest liczbą całkowitą, wówczas istnieją dwie wartości M 0, a mianowicie: M 0 = n.p. - Q I M 0 = n.p. - Q + 1 = n.p. + P;

2) jeśli n.p. - Q- ułamek, wtedy jest jedna liczba M 0, czyli jedyna liczba całkowita zawarta pomiędzy liczbami ułamkowymi uzyskanymi z nierówności (21,4);

3) jeśli n.p. jest liczbą całkowitą, to jest jedna liczba M 0, a mianowicie M 0 = n.p..

Numer M Wartość 0 nazywana jest najbardziej prawdopodobną lub najbardziej prawdopodobną wartością (liczbą) wystąpienia zdarzenia A w serii N niezależne testy.

W tej lekcji ustalimy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w niezależnych próbach podczas powtarzania prób . Próby nazywa się niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo takiego lub innego wyniku każdej próby nie zależy od wyników innych prób. . Niezależne testy można przeprowadzić zarówno w tych samych warunkach, jak i w różnych warunkach. W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia jest takie samo we wszystkich próbach, w drugim przypadku zmienia się w zależności od próby.

Przykłady niezależnych retestów :

• ulegną awarii jeden z węzłów urządzenia lub dwa lub trzy węzły, a awaria każdego węzła nie jest zależna od drugiego węzła, a prawdopodobieństwo awarii jednego węzła jest stałe we wszystkich testach;
• część lub trzy, cztery, pięć części wyprodukowanych w pewnych stałych warunkach technologicznych okaże się niestandardowa, a jedna część może okazać się niestandardowa niezależnie od innej części i prawdopodobieństwa, że ​​część się odwróci niestandardowy jest stały we wszystkich testach;
• z kilku strzałów do tarczy jeden, trzy lub cztery strzały trafiają w tarczę niezależnie od wyniku pozostałych strzałów, a prawdopodobieństwo trafienia w tarczę jest stałe we wszystkich próbach;
• po upuszczeniu monety maszyna zadziała poprawnie jeden, dwa lub inną liczbę razy, niezależnie od wyniku innych upuszczeń monet, a prawdopodobieństwo, że maszyna będzie działać poprawnie, jest stałe we wszystkich próbach.

Zdarzenia te można opisać na jednym schemacie. Każde zdarzenie występuje w każdej próbie z tym samym prawdopodobieństwem, które nie zmienia się, jeśli znane są wyniki poprzednich prób. Takie testy nazywane są niezależnymi, a obwód nazywa się Schemat Bernoulliego . Zakłada się, że badania takie można powtarzać dowolną ilość razy.

Jeśli prawdopodobieństwo P wystąpienie zdarzenia A jest stała w każdej próbie, to prawdopodobieństwo, że w N niezależne wydarzenie testowe A przyjdzie M razy, znajduje się przy Wzór Bernoulliego :

(Gdzie Q= 1 – P- prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi)

Postawmy sobie zadanie - znaleźć prawdopodobieństwo zaistnienia zdarzenia tego typu N przyjdą niezależne testy M raz.

Wzór Bernoulliego: przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród pięciu losowo wybranych części dwie będą standardowe, jeśli prawdopodobieństwo, że każda część okaże się standardowa, wynosi 0,9.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegający na tym, że część wybrana losowo jest standardowa, istnieje P=0,9 i istnieje prawdopodobieństwo, że jest on niestandardowy Q=1–P=0,1. Zdarzenie wskazane w opisie problemu (oznaczamy je przez W) nastąpi, jeśli np. dwie pierwsze części okażą się standardowe, a trzy kolejne niestandardowe. Ale wydarzenie W nastąpi również wtedy, gdy część pierwsza i trzecia okażą się standardowe, a pozostałe części niestandardowe, lub jeśli część druga i piąta będą standardowe, a reszta niestandardowa. Istnieją inne możliwości wystąpienia zdarzenia W. Każdy z nich charakteryzuje się tym, że z pięciu wybranych części, dwie, zajmujące dowolne miejsca z pięciu, okażą się standardowe. Zatem całkowita liczba różnych możliwości wystąpienia zdarzenia W jest równa liczbie możliwości umieszczenia dwóch części standardowych w pięciu miejscach, tj. jest równa liczbie kombinacji pięciu elementów przez dwa, oraz .

Prawdopodobieństwo każdej możliwości zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa jest równe iloczynowi pięciu czynników, z czego dwa, odpowiadające wyglądowi części standardowych, są równe 0,9, a pozostałe trzy odpowiadają wyglądowi niestandardowych części są równe 0,1, tj. to prawdopodobieństwo wynosi . Ponieważ te dziesięć możliwości jest zdarzeniami niezgodnymi, na podstawie twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństwo zdarzenia W, które oznaczamy

Przykład 2. Prawdopodobieństwo, że maszyna będzie wymagała uwagi pracownika w ciągu godziny, wynosi 0,6. Zakładając, że problemy występujące na maszynach są niezależne, znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny uwaga pracownika będzie wymagała dowolnej maszyny z czterech, które obsługuje.

Rozwiązanie. Za pomocą Wzór Bernoulliego Na N=4 , M=1 , P=0,6 i Q=1–P= 0,4, otrzymujemy

Przykład 3. Do normalnej pracy carpoolingu na linii musi znajdować się co najmniej osiem pojazdów, a jest ich dziesięć. Prawdopodobieństwo, że każdy pojazd nie wjedzie na linię, wynosi 0,1. Znajdź prawdopodobieństwo normalnej pracy zajezdni w następnym dniu.

Rozwiązanie. Wspólne przejazdy będą działać normalnie (wydarzenie F), jeśli osiem lub osiem pojawi się na linii (event A) lub dziewięć (zdarzenie W) lub zdarzenie wszystkich dziesięciu samochodów (event C). Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw,

Znajdujemy każdy termin zgodnie ze wzorem Bernoulliego. Tutaj N=10 , M=8; 10 i P=1-0,1=0,9, ponieważ P powinien wskazywać prawdopodobieństwo wjazdu pojazdu na linię; Następnie Q=0,1. W rezultacie otrzymujemy

Przykład 4. Niech prawdopodobieństwo, że klient potrzebuje butów męskich w rozmiarze 41, wynosi 0,25. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród sześciu kupujących co najmniej dwóch potrzebuje butów w rozmiarze 41.