Stopień z wykładnikiem wymiernym, jego właściwości. Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

CZĘŚĆ DRUGA. ROZDZIAŁ 6
SEKWENCJE LICZB

Pojęcie stopnia z irracjonalnym wykładnikiem

Niech a będzie liczbą dodatnią, a a liczbą niewymierną.
Jakie znaczenie należy nadać wyrażeniu a*?
Aby prezentacja była bardziej przejrzysta, przeprowadzimy ją w trybie prywatnym
przykład. Mianowicie postawmy a - 2 i a = 1, 624121121112. . . .
Tutaj a jest nieskończonym ułamkiem dziesiętnym złożonym w następujący sposób
prawo: począwszy od czwartego miejsca po przecinku, dla obrazu a
Używane są tylko cyfry 1 i 2, a liczba liczb wynosi 1,
pisane w rzędzie przed cyfrą 2, cały czas zwiększając o
jeden. Ułamek a jest nieokresowy, ponieważ w przeciwnym razie liczba cyfr wynosi 1,
zapisane w rzędzie na jego obrazie byłyby ograniczone.
Zatem a jest liczbą niewymierną.
Jakie znaczenie należy nadać temu wyrażeniu
21,v2×1×1×11×11×. . . R
Aby odpowiedzieć na to pytanie, utwórzmy sekwencję wartości
oraz z niedoborem i nadmiarem z dokładnością (0,1)*. Dostajemy
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Utwórzmy odpowiednie ciągi potęg liczby 2:
2M. 2M*; 21*624; 21’62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21,6Sh; . (4)
Sekwencja (3) rośnie wraz ze wzrostem sekwencji
(1) (Twierdzenie 2 § 6).
Ciąg (4) jest malejący, ponieważ ciąg jest malejący
(2).
Każdy wyraz ciągu (3) jest mniejszy niż każdy wyraz ciągu
(4), a co za tym idzie, sekwencja (3) jest ograniczona
z góry, a ciąg (4) jest ograniczony poniżej.
W oparciu o twierdzenie o ciągach ograniczonych monotonicznie
każdy z ciągów (3) i (4) ma granicę. Jeśli

384 Pojęcie stopnia z irracjonalnym wykładnikiem . .

teraz okazuje się, że różnica między ciągami (4) i (3) jest zbieżna
do zera, to wynika z tego, że oba te ciągi,
mają wspólną granicę.
Różnica pierwszych wyrazów ciągów (3) i (4)
21-7 - 21’* = 2|, cal (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Różnica drugich wyrazów
21’63 - 21,62 = 21,62 (2°’01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Różnica n-tych wyrazów
0,0000. ..0 1
2>. ««…(2 " - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Na podstawie Twierdzenia 3 § 6
lim 10″ / 2 = 1.
Zatem ciągi (3) i (4) mają wspólną granicę. Ten
limit to jedyna liczba rzeczywista, która jest większa
wszyscy członkowie ciągu (3) i mniej niż wszyscy członkowie ciągu
(4), wskazane jest, aby uznać ją za dokładną wartość 2*.
Z tego, co zostało powiedziane, wynika, że ​​ogólnie rzecz biorąc, zaleca się akceptację
następującą definicję:
Definicja. Jeśli a^> 1, to potęga a z irracjonalnością
wykładnik a jest liczbą rzeczywistą
która jest większa niż wszystkie potęgi tej liczby, której wykładniki są
racjonalne przybliżenia a z wadą i mniej niż wszystkie stopnie
ta liczba, której wykładniki są racjonalnymi przybliżeniami iz
nadmiar.
Jeśli<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
to liczba rzeczywista większa od wszystkich potęg
ta liczba, której wykładniki są wymiernymi przybliżeniami i
z nadmiarem i mniej niż wszystkie potęgi tej liczby, których wskaźniki
- racjonalne przybliżenia a z wadą.
.Jeśli a- 1, to jego stopień z niewymiernym wykładnikiem a
jest 1.
Korzystając z pojęcia granicy, można sformułować tę definicję
Więc:
Potęga liczby dodatniej z wykładnikiem niewymiernym
i nazywa się granicę, do której ciąg zmierza
wymierne potęgi tej liczby, pod warunkiem, że ciąg
wykładniki tych potęg mają tendencję do a, tj.
аа = lim аЧ
B - *
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky

W tym artykule dowiemy się, co to jest stopień. Tutaj podamy definicje potęgi liczby, a szczegółowo rozważymy wszystkie możliwe wykładniki, zaczynając od wykładnika naturalnego, a kończąc na niewymiernym. W materiale znajdziesz wiele przykładów stopni, obejmujących wszystkie pojawiające się subtelności.

Nawigacja strony.

Potęga z wykładnikiem naturalnym, kwadrat liczby, sześcian liczby

Zacznijmy . Patrząc w przyszłość, powiedzmy, że definicja potęgi liczby a z wykładnikiem naturalnym n jest dana dla a, które nazwiemy podstawa stopnia, i n, które nazwiemy wykładnik potęgowy. Zauważamy również, że stopień z wykładnikiem naturalnym jest określany poprzez iloczyn, więc aby zrozumieć poniższy materiał, musisz znać mnożenie liczb.

Definicja.

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym n jest wyrażeniem postaci a n, którego wartość jest równa iloczynowi n czynników, z których każdy jest równy a, czyli .
W szczególności potęga liczby a z wykładnikiem 1 jest samą liczbą a, czyli a 1 = a.

Warto od razu wspomnieć o zasadach czytania stopni naukowych. Uniwersalny sposób odczytania zapisu a n to: „a do potęgi n”. W niektórych przypadkach dopuszczalne są także opcje: „a do n-tej potęgi” i „n-tej potęgi a”. Weźmy na przykład potęgę 8 12, czyli „osiem do potęgi dwunastej”, „osiem do potęgi dwunastej” lub „dwunasta potęga ósma”.

Druga potęga liczby, a także trzecia potęga liczby mają swoje własne nazwy. Nazywa się drugą potęgą liczby podnieś liczbę do kwadratu na przykład 7 2 odczytuje się jako „siedem do kwadratu” lub „kwadrat liczby siedem”. Nazywa się trzecią potęgą liczby liczby sześcienne na przykład 5 3 można odczytać jako „pięć sześcianów” lub można powiedzieć „kostka liczby 5”.

Czas przynieść przykłady stopni z wykładnikami naturalnymi. Zacznijmy od stopnia 5 7, tutaj 5 to podstawa stopnia, a 7 to wykładnik. Podajmy inny przykład: 4,32 to podstawa, a liczba naturalna 9 to wykładnik (4,32) 9 .

Proszę zwrócić uwagę, że w ostatnim przykładzie w nawiasie zapisano podstawę potęgi 4,32: aby uniknąć rozbieżności, w nawiasach ujęte zostaną wszystkie podstawy potęgi różniące się od liczb naturalnych. Jako przykład podajemy następujące stopnie z wykładnikami naturalnymi , ich podstawy nie są liczbami naturalnymi, dlatego są zapisane w nawiasach. Otóż, dla pełnej przejrzystości, w tym miejscu pokażemy różnicę zawartą w zapisach postaci (−2) 3 i −2 3. Wyrażenie (−2) 3 jest potęgą −2 z wykładnikiem naturalnym 3, a wyrażenie −2 3 (można je zapisać jako −(2 3) ) odpowiada liczbie, wartości potęgi 2 3 .

Zauważ, że istnieje zapis potęgi liczby a z wykładnikiem n w postaci a^n. Ponadto, jeśli n jest wielowartościową liczbą naturalną, wówczas wykładnik jest podawany w nawiasach. Na przykład 4^9 to inny zapis potęgi 4 9 . A oto więcej przykładów zapisywania stopni za pomocą symbolu „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . W dalszej części będziemy przede wszystkim używać zapisu stopnia w postaci an .

Jednym z problemów odwrotnych do podnoszenia do potęgi z wykładnikiem naturalnym jest problem znalezienia podstawy potęgi na podstawie znanej wartości potęgi i znanego wykładnika. To zadanie prowadzi do.

Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych składa się z liczb całkowitych i ułamków, a każdy ułamek można przedstawić jako dodatni lub ujemny ułamek zwykły. W poprzednim akapicie zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem całkowitym, zatem aby uzupełnić definicję stopnia z wykładnikiem wymiernym, musimy nadać znaczenie stopniowi liczby a z wykładnikiem ułamkowym m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Zróbmy to.

Rozważmy stopień z wykładnikiem ułamkowym w postaci . Aby właściwość mocy do potęgi pozostała ważna, musi zachodzić równość . Jeśli weźmiemy pod uwagę otrzymaną równość i sposób, w jaki ustaliliśmy , to logiczne jest przyjęcie tego pod warunkiem, że dla danych m, n i a wyrażenie ma sens.

Łatwo sprawdzić, że dla wszystkich własności stopnia z wykładnikiem całkowitym obowiązują (dokonano tego w rozdziale Właściwości stopnia z wykładnikiem wymiernym).

Powyższe rozumowanie pozwala nam na dokonanie następujących ustaleń wniosek: jeśli podane są m, n i a wyrażenie ma sens, wówczas potęga a z wykładnikiem ułamkowym m/n nazywana jest n-tym pierwiastkiem a do potęgi m.

To stwierdzenie przybliża nas do definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Pozostaje tylko opisać, przy jakim m, n i a wyrażenie ma sens. W zależności od ograniczeń nałożonych na m, n i a, istnieją dwa główne podejścia.

Najłatwiej jest nałożyć ograniczenie na a, przyjmując a≥0 dla dodatniego m i a>0 dla ujemnego m (ponieważ dla m≤0 stopień 0 m nie jest zdefiniowany). Następnie otrzymujemy następującą definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Potęga liczby dodatniej a z wykładnikiem ułamkowym m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną, nazywa się n-tym pierwiastkiem liczby a do potęgi m, czyli .

Wyznacza się także moc ułamkową zera z jedynym zastrzeżeniem, że wskaźnik musi być dodatni.

Definicja.

Potęga zera z ułamkowym wykładnikiem dodatnim m/n, gdzie m jest dodatnią liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną, definiuje się jako .
Gdy stopień nie jest określony, to znaczy stopień liczby zero z ułamkowym wykładnikiem ujemnym nie ma sensu.

Należy zauważyć, że przy tej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym jest jedno zastrzeżenie: dla niektórych ujemnych a oraz niektórych m i n wyrażenie ma sens i odrzuciliśmy te przypadki, wprowadzając warunek a≥0. Na przykład wpisy mają sens lub , a podana powyżej definicja zmusza nas do powiedzenia, że ​​potęgi z wykładnikiem ułamkowym postaci nie ma sensu, ponieważ podstawa nie powinna być ujemna.

Innym podejściem do określania stopnia z wykładnikiem ułamkowym m/n jest oddzielne uwzględnienie wykładników parzystych i nieparzystych pierwiastka. Podejście to wymaga dodatkowego warunku: za potęgę liczby a, której wykładnik wynosi , uważa się potęgę liczby a, której wykładnikiem jest odpowiadający jej ułamek nieredukowalny (znaczenie tego warunku wyjaśnimy poniżej ). Oznacza to, że jeśli m/n jest ułamkiem nieredukowalnym, to dla dowolnej liczby naturalnej k stopień najpierw zastępuje się przez .

Dla parzystego n i dodatniego m wyrażenie ma sens w przypadku dowolnego nieujemnego a (parzysty pierwiastek z liczby ujemnej nie ma sensu); w przypadku ujemnego m liczba a nadal musi być różna od zera (w przeciwnym razie nastąpi dzielenie przez zero). A dla nieparzystego n i dodatniego m liczba a może być dowolna (pierwiastek stopnia nieparzystego definiuje się dla dowolnej liczby rzeczywistej), a dla ujemnego m liczba a musi być różna od zera (aby nie było dzielenia przez zero).

Powyższe rozumowanie prowadzi nas do tej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Niech m/n będzie ułamkiem nieredukowalnym, m liczbą całkowitą, a n liczbą naturalną. Dla dowolnej frakcji dającej się zredukować stopień zastępuje się przez . Potęga liczby z nieredukowalnym wykładnikiem ułamkowym m/n oznacza



Wyjaśnijmy, dlaczego stopień z redukowalnym wykładnikiem ułamkowym jest najpierw zastępowany stopniem z nieredukowalnym wykładnikiem. Gdybyśmy po prostu zdefiniowali stopień jako , i nie zgłosili zastrzeżenia co do nieredukowalności ułamka m/n, to mielibyśmy do czynienia z sytuacjami podobnymi do poniższych: skoro 6/10 = 3/5, to równość musi zachodzić , Ale , A .

Po ustaleniu potęgi liczby logiczne jest porozmawianie o tym właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe właściwości potęgi liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopni, a także pokażemy, jak te właściwości są wykorzystywane przy rozwiązywaniu przykładów.

Nawigacja strony.

Własności stopni z wykładnikami naturalnymi

Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym potęga a n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. W oparciu o tę definicję, a także za pomocą własności mnożenia liczb rzeczywistych, możemy uzyskać i uzasadnić, co następuje własności stopnia z wykładnikiem naturalnym:

1. główna właściwość stopnia a m ·a n =a m+n, jej uogólnienie;
2. własność ilorazu potęg o jednakowych podstawach a m:a n =a m−n ;
3. iloczyn mocy (a·b) n =a n ·b n , jego rozszerzenie;
4. właściwość ilorazu stopnia naturalnego (a:b) n =a n:b n ;
5. podniesienie stopnia do potęgi (a m) n =a m·n, jego uogólnienie (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. porównanie stopnia z zerem:
   • jeśli a>0, to a n>0 dla dowolnej liczby naturalnej n;
   • jeśli a=0, to n=0;
   • Jeśli<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jeśli<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. jeśli a i b są liczbami dodatnimi oraz a
8. jeśli m i n są liczbami naturalnymi, takimi jak m>n, to przy 0 0 nierówność a m >a n jest prawdziwa.

Zauważmy od razu, że wszystkie zapisane równości są identyczny pod warunkiem spełnienia określonych warunków, możliwa jest zamiana ich prawej i lewej części. Na przykład główna właściwość ułamka a m ·a n =a m+n z upraszczanie wyrażeń często używane w formie a m+n =a m ·a n .

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo każdemu z nich.

Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, która nazywa się główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n, prawdziwa jest równość a m ·a n =a m+n.

Udowodnimy główną właściwość stopnia. Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m·a n można zapisać jako iloczyn. Ze względu na właściwości mnożenia powstałe wyrażenie można zapisać jako , a ten iloczyn jest potęgą liczby a z wykładnikiem naturalnym m+n, czyli a m+n. To kończy dowód.

Podajmy przykład potwierdzający główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tych samych podstawach 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, korzystając z podstawowej właściwości stopni, możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Sprawdźmy jego ważność, obliczając wartości wyrażeń 2 2 · 2 3 i 2 5 . Wykonujemy potęgowanie, mamy 2 2 ·2 3 =(2,2)·(2,2,2)=4,8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, ponieważ uzyskuje się równe wartości, to równość 2 2 ·2 3 =2 5 jest poprawna i potwierdza główną właściwość stopnia.

Podstawową właściwość stopnia, opartą na właściwościach mnożenia, można uogólnić na iloczyn trzech lub więcej potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych. Zatem dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1, n 2, …, n k prawdziwa jest równość: za n 1 ·a n 2 ·…·a n k =za n 1 +n 2 +…+n k.

Na przykład, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Możemy przejść do kolejnej własności potęg z wykładnikiem naturalnym – własność ilorazu potęg o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n, prawdziwa jest równość a m:a n =a m−n.

Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w sformułowaniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, gdyż 0 n =0, a kiedy zapoznaliśmy się z dzieleniem, zgodziliśmy się, że nie można dzielić przez zero. Warunek m>n zostaje wprowadzony, abyśmy nie wykraczali poza wykładniki naturalne. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie to albo zero (co dzieje się dla m−n ), albo liczba ujemna (co zdarza się dla m

Dowód. Główna właściwość ułamka pozwala nam zapisać równość a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Z otrzymanej równości a m−n ·a n =a m i wynika, że ​​a m−n jest ilorazem potęg a m i an . Dowodzi to własności ilorazów o identycznych podstawach.

Podajmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i wykładnikach naturalnych 5 i 2, równość π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odpowiada rozważanej właściwości stopnia.

Teraz rozważmy właściwość mocy produktu: naturalna potęga n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b jest równa iloczynowi potęg a n i b n , czyli (a·b) n =a n ·b n .

Rzeczywiście, z definicji stopnia z naturalnym wykładnikiem mamy . W oparciu o właściwości mnożenia ostatni iloczyn można przepisać jako , co jest równe a n · b n .

Oto przykład: .

Właściwość ta rozciąga się na potęgę iloczynu trzech lub więcej czynników. Oznacza to, że właściwość stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak k n.

Dla przejrzystości pokażemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy .

Następna właściwość to właściwość ilorazu w naturze: iloraz liczb rzeczywistych aib, b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n, czyli (a:b) n =a n:b n.

Dowód można przeprowadzić wykorzystując poprzednią własność. Więc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a z równości (a:b) n ·b n =a n wynika, że ​​(a:b) n jest ilorazem a n podzielonym przez b n .

Zapiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: .

Teraz zabierzmy głos właściwość podnoszenia potęgi do potęgi: dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potędze liczby a z wykładnikiem m·n, czyli (a m) n =a m·n.

Na przykład (5 2) 3 =5 2.3 =5 6.

Dowodem własności potęgi do stopnia jest następujący ciąg równości: .

Rozważaną właściwość można rozszerzyć o stopień na stopień na stopień itp. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s równość . Dla większej przejrzystości oto przykład z konkretnymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem.

Zacznijmy od udowodnienia właściwości porównywania zera i potęgi z wykładnikiem naturalnym.

Najpierw udowodnijmy, że a n > 0 dla dowolnego a > 0.

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Fakt ten oraz właściwości mnożenia sugerują, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich również będzie liczbą dodatnią. A potęga liczby a z wykładnikiem naturalnym n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Argumenty te pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej podstawy dodatniej a stopień a n jest liczbą dodatnią. Ze względu na sprawdzoną właściwość 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 i .

Jest całkiem oczywiste, że dla dowolnej liczby naturalnej n z a=0 stopień n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0·0·…·0=0 . Na przykład 0 3 =0 i 0 762 =0.

Przejdźmy do ujemnych podstaw stopnia.

Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2·m, gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie . Dla każdego z iloczynów postaci a·a jest równy iloczynowi modułów liczb a i a, czyli jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny i stopień a 2·m. Podajmy przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnik jest liczbą nieparzystą, to 2 m−1 . Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni, a jego pomnożenie przez pozostałą liczbę ujemną a daje liczbę ujemną. Ze względu na tę właściwość (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Przejdźmy do własności porównywania potęg o tych samych wykładnikach naturalnych, która ma następujące sformułowanie: z dwóch potęg o takich samych wykładnikach naturalnych n jest mniejsze od tej, której podstawa jest mniejsza, a większe to ta, której podstawa jest większa . Udowodnijmy to.

Nierówność n własności nierówności możliwa do udowodnienia nierówność postaci a n jest również prawdziwa .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych własności potęg o wykładnikach naturalnych. Sformułujmy to. Z dwóch potęg o wykładnikach naturalnych i identycznych podstawach dodatnich mniejszych niż jeden, większa jest ta, której wykładnik jest mniejszy; a z dwóch potęg o wykładnikach naturalnych i identycznych podstawach większych niż jeden, większa jest ta, której wykładnik jest większy. Przejdźmy do dowodu tej własności.

Udowodnimy to dla m>n i 0 0 ze względu na warunek początkowy m>n, co oznacza, że ​​przy 0

Pozostaje udowodnić drugą część własności. Udowodnimy, że dla m>n i a>1 a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po usunięciu n z nawiasów przyjmuje postać a n·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, gdyż dla a>1 stopień a n jest liczbą dodatnią, a różnica a m−n −1 jest liczbą dodatnią, gdyż m−n>0 wynika z warunku początkowego, a dla a>1 stopień a m-n jest większe niż jeden. W konsekwencji a m −a n >0 i a m >a n , co należało udowodnić. Własność tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2.

Własności potęg o wykładnikach całkowitych

Ponieważ dodatnie liczby całkowite są liczbami naturalnymi, to wszystkie właściwości potęg o dodatnich wykładnikach całkowitych pokrywają się dokładnie z właściwościami potęg o wykładnikach naturalnych, wymienionymi i udowodnionymi w poprzednim akapicie.

Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym oraz stopień z wykładnikiem zerowym w taki sposób, aby wszystkie własności stopni z wykładnikami naturalnymi wyrażone równościami pozostały aktualne. Dlatego wszystkie te właściwości obowiązują zarówno dla wykładników zerowych, jak i wykładników ujemnych, choć oczywiście podstawy potęg są różne od zera.

Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych aib, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, spełnione są następujące warunki: własności potęg o wykładnikach całkowitych:

1. za m · za n = a m+n ;
2. za m:a n =a m−n;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, aib są liczbami dodatnimi, oraz a b-n;
7. jeśli m i n są liczbami całkowitymi i m>n, to przy 0 1 zachodzi nierówność a m >a n.

Gdy a=0, potęgi am i an mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, to znaczy liczbami naturalnymi. Zatem zapisane właśnie właściwości obowiązują również w przypadkach, gdy a = 0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.

Udowodnienie każdej z tych własności nie jest trudne, wystarczy w tym celu posłużyć się definicjami stopni o wykładnikach naturalnych i całkowitych oraz własnościami operacji na liczbach rzeczywistych. Jako przykład udowodnijmy, że właściwość potęgi do potęgi obowiązuje zarówno dla dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Aby to zrobić, trzeba pokazać, że jeśli p wynosi zero lub liczbę naturalną, a q wynosi zero lub liczbę naturalną, to równości (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Zróbmy to.

Dla dodatnich p i q w poprzednim akapicie udowodniono równość (a p) q =a p·q. Jeśli p=0, to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, skąd (a 0) q =a 0·q. Podobnie, jeśli q=0, to (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, skąd (a p) 0 =a p·0. Jeśli zarówno p=0, jak i q=0, to (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0,0 =a 0 =1, skąd (a 0) 0 =a 0,0.

Teraz udowodnimy, że (a −p) q =a (−p)·q . Zatem z definicji potęgi o wykładniku ujemnym będącym liczbą całkowitą . Z własności ilorazów potęg, które mamy . Ponieważ 1 p =1·1·…·1=1 i , to . Ostatnie wyrażenie z definicji jest potęgą postaci a −(p·q), którą ze względu na zasady mnożenia można zapisać jako a (−p)·q.

Podobnie .

I .

Stosując tę ​​samą zasadę, możesz udowodnić wszystkie inne właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym, zapisanym w postaci równości.

W przedostatniej z zarejestrowanych własności warto zatrzymać się na dowodzie nierówności a −n >b −n, który obowiązuje dla dowolnej ujemnej liczby całkowitej −n oraz dowolnych dodatnich a i b, dla których warunek a jest spełniony . Ponieważ według warunku a 0. Iloczyn a n · b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i b n . Wtedy powstały ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n −a n i a n ·b n . Zatem skąd a −n >b −n , co należało udowodnić.

Ostatnią własność potęg o wykładnikach całkowitych dowodzi się w taki sam sposób, jak podobną własność potęg o wykładnikach naturalnych.

Własności potęg o wykładnikach wymiernych

Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem ułamkowym, rozszerzając na niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, potęgi o wykładnikach ułamkowych mają takie same właściwości jak potęgi o wykładnikach całkowitych. Mianowicie:

Dowód własności stopni z wykładnikami ułamkowymi opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym oraz na własnościach stopnia z wykładnikiem całkowitym. Przedstawmy dowody.

Z definicji potęgi z wykładnikiem ułamkowym i , a następnie . Właściwości pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam zapisać następujące równości. Ponadto, korzystając z właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , z którego, zgodnie z definicją stopnia z wykładnikiem ułamkowym, mamy , a wskaźnik uzyskanego stopnia można przekształcić w następujący sposób: . To kończy dowód.

Drugą własność potęg o wykładnikach ułamkowych udowadnia się w zupełnie podobny sposób:

Pozostałe równości dowodzi się stosując podobne zasady:

Przejdźmy do udowodnienia kolejnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnego dodatniego a i b, a b s. Zapiszmy liczbę wymierną p jako m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki str. 1<0 и p>0 w tym przypadku warunki m<0 и m>Odpowiednio 0. Dla m>0 i a

Podobnie dla m<0 имеем a m >b m , to znaczy skąd i a p >b p .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q, p>q przy 0 0 – nierówność a p >a q . Zawsze możemy sprowadzić liczby wymierne p i q do wspólnego mianownika, nawet jeśli otrzymamy ułamki zwykłe i , gdzie m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m 1 > m 2, który wynika z. Następnie, korzystając z własności porównywania potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych w punkcie 0 1 – nierówność a m 1 > a m 2 . Te nierówności we właściwościach pierwiastków można odpowiednio przepisać jako I . A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Stąd wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0 0 – nierówność a p >a q .

Własności potęg o wykładnikach niewymiernych

Ze sposobu, w jaki definiuje się stopień z wykładnikiem niewymiernym, możemy wywnioskować, że ma on wszystkie właściwości stopni z wykładnikami wymiernymi. Zatem dla dowolnych a>0, b>0 i liczb niewymiernych p i q prawdziwe są następujące stwierdzenia własności potęg o wykładnikach niewymiernych:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p-q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. dla dowolnych liczb dodatnich aib, a 0 nierówność a p bp;
7. dla liczb niewymiernych p i q, p>q przy 0 0 – nierówność a p >a q .

Z tego możemy wywnioskować, że potęgi z dowolnymi wykładnikami rzeczywistymi p i q dla a>0 mają te same właściwości.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki dla klasy V. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 7. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 9. instytucje edukacyjne.
• Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).

Stopień z wykładnikiem wymiernym, jego właściwości.

Wyrażenie a n zdefiniowane dla wszystkich a i n, z wyjątkiem przypadku a=0 dla n≤0. Przypomnijmy właściwości takich mocy.

Dla dowolnych liczb a, b oraz dowolnych liczb całkowitych m i n obowiązują równości:

ZA m *a n =a m+n ; za m: za n = a m-n (a≠0); (a m) n = a mn ; (ab) n = za n *b n ; (b≠0); za 1 = za; a0 =1 (a≠0).

Zwróć także uwagę na następującą właściwość:

Jeżeli m>n, to a m >a n dla a>1 i a m<а n при 0<а<1.

W tej sekcji uogólnimy koncepcję potęg liczby, nadając znaczenie wyrażeniom typu 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 itd. Naturalne jest takie określenie, że potęgi o wykładnikach wymiernych mają te same własności (lub przynajmniej ich część) co potęgi o wykładniku całkowitym. Następnie w szczególności n-ta potęga liczbymusi być równe a M . Rzeczywiście, jeśli nieruchomość

(a p) q = a pq

zostaje zatem wykonane

Ostatnia równość oznacza (z definicji n-tego pierwiastka), że liczbamusi być n-tym pierwiastkiem a M.

Definicja.

Potęga liczby a>0 z wykładnikiem wymiernym r=, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną (n > 1), jest liczbą

Tak z definicji

(1)

Potęgę 0 definiuje się tylko dla wykładników dodatnich; z definicji 0 r = 0 dla dowolnego r>0.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem.

Liczba niewymiernamożna przedstawić w postacigranica ciągu liczb wymiernych: .

Pozwalać . Następnie istnieją potęgi z wymiernym wykładnikiem. Można udowodnić, że ciąg tych potęg jest zbieżny. Nazywa się granicą tego ciągu stopień z podstawą i niewymiernym wykładnikiem: .

Ustalmy liczbę dodatnią a i przypiszmy ją do każdej liczby. W ten sposób otrzymujemy funkcję numeryczną f(x) = a X , zdefiniowanych na zbiorze Q liczb wymiernych i posiadających wymienione wcześniej właściwości. Gdy a=1 funkcja f(x) = a X jest stała, ponieważ 1 X =1 dla dowolnego wymiernego x.

Narysujmy kilka punktów na wykresie funkcji y = 2 X po uprzednim obliczeniu wartości 2 za pomocą kalkulatora X na segmencie [-2; 3] krokiem 1/4 (ryc. 1, a), a następnie krokiem 1/8 (ryc. 1, b) Kontynuując mentalnie te same konstrukcje z krokami 1/16, 1/32, itd., widzimy, że powstałe punkty można połączyć gładką krzywą, którą w naturalny sposób można uznać za wykres jakiejś funkcji, określonej i rosnącej wzdłuż całej osi liczbowej i przyjmującej wartościw racjonalnych punktach(ryc. 1, c). Po zbudowaniu odpowiednio dużej liczby punktów na wykresie funkcji, możesz upewnić się, że ta funkcja ma podobne właściwości (różnica polega na tym, że funkcja maleje na R).

Obserwacje te sugerują, że liczbę 2 można zdefiniować w ten sposóbα i dla każdego niewymiernego α, że funkcje dane wzorami y=2 x i będzie ciągła, a funkcja y=2 X rośnie i funkcjamaleje wzdłuż całej osi liczbowej.

Opiszmy ogólnie sposób wyznaczania liczby a α dla irracjonalnego α dla a>1. Chcemy mieć pewność, że funkcja y = a X wzrastał. Następnie dla dowolnego racjonalnego r 1 i r 2 takie, że r 1<αmusi spełniać nierówności a r 1<а α <а r 1 .

Wybór wartości r 1 i r 2 zbliżając się do x, można zauważyć, że odpowiednie wartości a r 1 i r 2 będzie się niewiele różnić. Można udowodnić, że istnieje tylko jedna liczba y, która jest większa od wszystkich a r 1 dla wszystkich racjonalnych r 1 i co najmniej a r 2 dla wszystkich racjonalnych r 2 . Ta liczba y z definicji to a α .

Na przykład za pomocą kalkulatora obliczyć wartość 2 x w punktach x n i x` n, gdzie x n i x` n - dziesiętne przybliżenia liczbprzekonamy się, że im bliżej x n i x`n k , tym mniej te 2 się różnią x n i 2 x` n .

Od tego czasu

i dlatego,

Podobnie, biorąc pod uwagę następujące przybliżenia dziesiętnewedług niedoboru i nadmiaru dochodzimy do relacji

;

;

;

;

.

Oznaczający obliczone na kalkulatorze wynosi:

.

Liczbę a wyznacza się w podobny sposób α dla 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 dla dowolnego α i 0α =0 dla α>0.

Funkcja wykładnicza.

Na A > 0, A = 1, zdefiniowana funkcja y = a X, różni się od stałej. Ta funkcja nazywa się funkcja wykładnicza z baząA.

y= za X Na A> 1:

Wykresy funkcji wykładniczych o podstawie 0< A < 1 и A> 1 pokazano na rysunku.

Podstawowe własności funkcji wykładniczej y= za X o 0< A < 1:

• Dziedziną definicji funkcji jest cała oś liczbowa.
• Zakres funkcji - interwał (0; + ) .
• Funkcja rośnie ściśle monotonicznie na całej osi liczbowej, czyli jeśli X 1 < x 2, zatem x 1 > x 2 .
• Na X= 0 wartość funkcji wynosi 1.
• Jeśli X> 0, następnie 0< A < 1 i jeśli X < 0, то x > 1.
Do ogólnych właściwości funkcji wykładniczej na poziomie 0< a < 1, так и при a > 1 obejmują:
• A X 1 A X 2 = A X 1 + X 2, dla każdego X 1 I X 2.
• A − x= ( A X) − 1 = 1 AX dla kazdego X.
• NA X= A

Boom informacyjny W biologii - kolonie drobnoustrojów na szalce Petriego Króliki w Australii Reakcje łańcuchowe - w chemii W fizyce - rozpad radioaktywny, zmiana ciśnienia atmosferycznego wraz ze zmianą wysokości, ochładzanie się ciała W fizyce - rozpad promieniotwórczy, zmiana atmosfery ciśnienie wraz ze zmianą wysokości, ochłodzenie ciała. Uwolnienie adrenaliny do krwi i jej zniszczenie Twierdzą również, że ilość informacji podwaja się co 10 lat. Twierdzą również, że ilość informacji podwaja się co 10 lat.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

Wyrażenie 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73; 1,732;1,73205; 1, ;… sekwencja wzrasta 2 1 ; 2 1,7; 2 1,73;2 1,732; 2 1,73205 ; 2 1, ;… ciąg rośnie Ograniczony, czyli zbiega do jednej granicy - wartości 2 3

Można zdefiniować π 0

10 10 18 Własności funkcji y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Właściwości funkcji y = a x n \ n a >10 21

Ilość informacji podwaja się co 10 lat. Wzdłuż osi Wołu – zgodnie z prawem postępu arytmetycznego: 1,2,3,4…. Wzdłuż osi Oy - zgodnie z prawem postępu geometrycznego: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Wykres funkcji wykładniczej, nazywa się ją wykładniczą (od łacińskiego exponere - popisywać się)