Teoria prawdopodobieństwa. Rozwiązywanie problemów (2019)

Prawdopodobieństwo zdarzenie to stosunek liczby elementarnych wyników sprzyjających danemu zdarzeniu do liczby wszystkich równie możliwych wyników doświadczenia, w którym to zdarzenie może się pojawić. Prawdopodobieństwo zdarzenia A oznaczamy przez P(A) (tutaj P jest pierwszą literą francuskiego słowa probabilite – prawdopodobieństwo). Zgodnie z definicją
(1.2.1)
gdzie jest liczbą elementarnych wyników sprzyjających zdarzeniu A; - liczba wszystkich równie możliwych elementarnych wyników eksperymentu, tworzących kompletną grupę zdarzeń.
Ta definicja prawdopodobieństwa nazywa się klasyczną. Powstało na początkowym etapie rozwoju teorii prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo zdarzenia ma następujące właściwości:
1. Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden. Oznaczmy wiarygodne wydarzenie literą . Dlatego na pewne wydarzenie
(1.2.2)
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero. Zdarzenie niemożliwe oznaczmy literą . A zatem na wydarzenie niemożliwe
(1.2.3)
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego wyraża się liczbą dodatnią mniejszą od jedności. Ponieważ dla zdarzenia losowego nierówności , lub , są więc spełnione
(1.2.4)
4. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia spełnia nierówności
(1.2.5)
Wynika to z relacji (1.2.2) - (1.2.4).

Przykład 1. W urnie znajduje się 10 kul jednakowej wielkości i wagi, z czego 4 są czerwone, a 6 niebieskie. Z urny losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana kula będzie niebieska?

Rozwiązanie. Zdarzenie „wylosowana kula okazała się niebieska” oznaczamy literą A. Test ten ma 10 jednakowo możliwych wyników elementarnych, z czego 6 sprzyja zdarzeniu A. Zgodnie ze wzorem (1.2.1) otrzymujemy

Przykład 2. Wszystkie liczby naturalne od 1 do 30 są zapisywane na identycznych kartach i umieszczane w urnie. Po dokładnym przetasowaniu kart, jedna karta jest usuwana z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba na wylosowanej karcie jest wielokrotnością 5?

Rozwiązanie. Oznaczmy przez A zdarzenie „liczba na wyciągniętej karcie jest wielokrotnością 5”. W tym teście istnieje 30 równie możliwych wyników elementarnych, z czego zdarzeniu A sprzyja 6 wyników (liczby 5, 10, 15, 20, 25, 30). Stąd,

Przykład 3. Rzucamy dwiema kostkami i obliczamy sumę punktów na górnych ściankach. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia B takie, że na górnych ściankach kości znajduje się łącznie 9 punktów.

Rozwiązanie. W tym teście jest tylko 6 2 = 36 jednakowo możliwych wyników elementarnych. Dlatego zdarzeniu B sprzyjają 4 wyniki: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3).

Przykład 4. Wybrano losowo liczbę naturalną nie większą niż 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest pierwsza?

Rozwiązanie. Oznaczmy literą C zdarzenie „wybrana liczba jest pierwsza”. W tym przypadku n = 10, m = 4 (liczby pierwsze 2, 3, 5, 7). Dlatego wymagane prawdopodobieństwo

Przykład 5. Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wierzchu obu monet znajdują się cyfry?

Rozwiązanie. Oznaczmy literą D wydarzenie „na wierzchu każdej monety znajduje się liczba”. W tym teście istnieją 4 równie możliwe wyniki elementarne: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaczenie (G, C) oznacza, że ​​pierwsza moneta posiada herb, druga – numer). Zdarzeniu D sprzyja jeden wynik elementarny (C, C). Skoro m = 1, to n = 4

Przykład 6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana losowo liczba dwucyfrowa ma te same cyfry?

Rozwiązanie. Liczby dwucyfrowe to liczby od 10 do 99; Takich liczb jest w sumie 90. 9 liczb ma identyczne cyfry (są to liczby 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Ponieważ w tym przypadku m = 9, n = 90, zatem
,
gdzie A jest zdarzeniem „liczba o identycznych cyfrach”.

Przykład 7. Z liter słowa mechanizm różnicowy Jedna litera jest wybierana losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to: a) samogłoska, b) spółgłoska, c) litera H?

Rozwiązanie. Słowo różniczkowe składa się z 12 liter, z czego 5 to samogłoski, a 7 to spółgłoski. Listy H nie ma tego słowa. Oznaczmy zdarzenia: A - „litera samogłoskowa”, B - „litera spółgłoskowa”, C - „litera H". Liczba korzystnych wyników elementarnych: - dla zdarzenia A, - dla zdarzenia B, - dla zdarzenia C. Skoro n = 12, to
, I .

Przykład 8. Rzucamy dwiema kostkami i notujemy liczbę punktów na wierzchu każdej kostki. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie kostki wykażą tę samą liczbę punktów.

Rozwiązanie. Oznaczmy to zdarzenie literą A. Zdarzeniu A sprzyja 6 elementarnych wyników: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Całkowita liczba równie możliwych wyników elementarnych, które tworzą pełną grupę zdarzeń, w tym przypadku n=6 2 =36. Oznacza to, że wymagane prawdopodobieństwo

Przykład 9. Książka ma 300 stron. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo otwarta strona będzie miała numer seryjny podzielny przez 5?

Rozwiązanie. Z warunków zadania wynika, że ​​wszystkie równie możliwe wyniki elementarne tworzące pełną grupę zdarzeń będą wynosić n = 300. Spośród nich m = 60 sprzyja zaistnieniu określonego zdarzenia. Rzeczywiście, liczba będąca wielokrotnością 5 ma postać 5k, gdzie k jest liczbą naturalną, a , skąd . Stąd,
, gdzie A - zdarzenie „strona” ma numer sekwencyjny będący wielokrotnością 5”.

Przykład 10. Rzucamy dwiema kostkami i obliczamy sumę punktów na górnych ściankach. Co jest bardziej prawdopodobne – uzyskanie w sumie 7 czy 8?

Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenia: A - „wyrzucono 7 punktów”, B – „wyrzucono 8 punktów”. Zdarzeniu A sprzyja 6 elementarnych wyników: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a zdarzenie B jest faworyzowane o 5 wyników: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Wszystkie równie możliwe wyniki elementarne to n = 6 · 2 = 36. Zatem I .

Zatem P(A)>P(B), czyli zdobycie w sumie 7 punktów jest bardziej prawdopodobnym zdarzeniem niż zdobycie w sumie 8 punktów.

Zadania

1. Wybieramy losowo liczbę naturalną nie większą niż 30. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest wielokrotnością 3?
2. W urnie A czerwony i B niebieskie kulki, identyczne pod względem wielkości i wagi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wylosowana kula z tej urny będzie niebieska?
3. Wybieramy losowo liczbę nieprzekraczającą 30. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest dzielnikiem 30?
4. W urnie A niebieski i B czerwone kulki, identyczne pod względem wielkości i wagi. Z urny bierze się jedną kulę i odkłada na bok. Ta piłka okazała się czerwona. Następnie z urny losujemy kolejną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że druga kula również będzie czerwona.
5. Wybiera się losowo liczbę krajową nieprzekraczającą 50. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta liczba jest pierwsza?
6. Rzucamy trzema kostkami i obliczamy sumę punktów na górnych ściankach. Co jest bardziej prawdopodobne – zdobyć łącznie 9 czy 10 punktów?
7. Rzucamy trzema kostkami i obliczamy sumę uzyskanych punktów. Co jest bardziej prawdopodobne – zdobyć łącznie 11 (wydarzenie A) czy 12 punktów (wydarzenie B)?

Odpowiedzi

1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - prawdopodobieństwo zdobycia łącznie 9 punktów; p 2 = 27/216 - prawdopodobieństwo zdobycia łącznie 10 punktów; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

pytania

1. Jak nazywa się prawdopodobieństwo zdarzenia?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia wiarygodnego zdarzenia?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego?
4. Jakie są granice prawdopodobieństwa zdarzenia losowego?
5. Jakie są granice prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia?
6. Jaką definicję prawdopodobieństwa nazywa się klasyczną?

Na moim blogu tłumaczenie kolejnego wykładu z kursu „Zasady balansu gry” autorstwa projektanta gier Jana Schreibera, który pracował przy takich projektach jak Marvel Trading Card Game i Playboy: the Mansion.

Do tej pory prawie wszystko, o czym mówiliśmy, było deterministyczne, a w zeszłym tygodniu przyjrzeliśmy się bliżej mechanice przechodniej, wchodząc w tyle szczegółów, ile tylko udało mi się wyjaśnić. Jednak do tej pory nie zwracaliśmy uwagi na inny aspekt wielu gier, a mianowicie na aspekty niedeterministyczne, czyli inaczej mówiąc, na losowość.

Zrozumienie natury losowości jest bardzo ważne dla projektantów gier. Tworzymy systemy, które wpływają na wrażenia użytkownika z danej gry, dlatego musimy wiedzieć, jak te systemy działają. Jeśli w systemie występuje losowość, musimy zrozumieć naturę tej losowości i wiedzieć, jak ją zmienić, aby uzyskać potrzebne wyniki.

Kostka do gry

Zacznijmy od czegoś prostego – rzucenia kostką. Kiedy większość ludzi myśli o kostkach, na myśl przychodzą sześciościenne kości znane jako k6. Ale większość graczy widziała wiele innych kości: czworościenną (d4), ośmiokątną (d8), dwunastościenną (d12), dwudziestościenną (d20). Jeśli jesteś prawdziwym maniakiem, możesz mieć gdzieś kostki 30-ścienne lub 100-ścienne.

Jeśli nie jesteś zaznajomiony z terminologią, d oznacza kość, a liczba po niej oznacza liczbę jej boków. Jeśli liczba pojawia się przed d, oznacza to liczbę kości, którymi należy rzucić. Na przykład w grze Monopoly rzucasz 2k6.

Zatem w tym przypadku wyrażenie „kostka do gry” jest symbolem. Istnieje ogromna liczba innych generatorów liczb losowych, które nie wyglądają jak plastikowe figurki, ale spełniają tę samą funkcję - generują liczbę losową od 1 do n. Zwykłą monetę można również przedstawić jako dwuścienną kostkę d2.

Widziałem dwa projekty siedmiościennych kostek do gry: jeden z nich wyglądał jak kostka, a drugi bardziej przypominał siedmiościenny drewniany ołówek. Czworościenny dreidel, znany również jako titotum, jest podobny do kości czworościennej. Obracająca się tablica strzałek w Chutes & Ladders, gdzie wyniki mogą wynosić od 1 do 6, odpowiada sześciościennej kostce.

Komputerowy generator liczb losowych może utworzyć dowolną liczbę od 1 do 19, jeśli projektant tak określi, nawet jeśli komputer nie ma 19-ściennej kostki (ogólnie powiem więcej o prawdopodobieństwie pojawienia się liczb na komputer w przyszłym tygodniu). Wszystkie te elementy wyglądają inaczej, ale w rzeczywistości są równoważne: masz równe szanse na każdy z kilku możliwych wyników.

Kości mają kilka interesujących właściwości, o których musimy wiedzieć. Po pierwsze, prawdopodobieństwo wylądowania na którejkolwiek ścianie jest takie samo (zakładam, że rzucasz kostką o regularnym kształcie). Jeśli chcesz poznać średnią wartość rzutu (dla tych, którzy interesują się teorią prawdopodobieństwa, nazywa się to wartością oczekiwaną), zsumuj wartości na wszystkich krawędziach i podziel tę liczbę przez liczbę krawędzi.

Suma wartości wszystkich boków dla standardowej kostki sześciościennej wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Podziel 21 przez liczbę boków i uzyskaj średnią wartość rzutu: 21 / 6 = 3,5. Jest to przypadek szczególny, ponieważ zakładamy, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

A co jeśli masz specjalne kości? Na przykład widziałem grę w kości sześciościenne ze specjalnymi naklejkami po bokach: 1, 1, 1, 2, 2, 3, więc zachowuje się jak dziwna trójścienna kość, w której prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 jest większe niż 1 2. i jest bardziej prawdopodobne, że wyrzuci 2 niż 3. Jaki jest średni wynik rzutu tą kością? Zatem 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10 podzielone przez 6 - okazuje się, że 5/3, czyli około 1,66. Tak więc, jeśli masz specjalną kość, a gracze rzucają trzema kośćmi, a następnie sumują wyniki – wiesz, że ich wynik wyniesie około 5 i możesz zrównoważyć grę w oparciu o to założenie.

Kości i niezależność

Jak już powiedziałem, wychodzimy z założenia, że ​​prawdopodobieństwo wypadnięcia każdej ze stron jest jednakowe. Nie ma znaczenia, ile kości rzucisz. Każdy rzut kostką jest niezależny, co oznacza, że ​​poprzednie rzuty nie wpływają na wyniki kolejnych. Po wystarczającej liczbie prób z pewnością zauważysz pewien wzór liczb – na przykład rzucanie przeważnie wyższymi lub niższymi wartościami – lub inne cechy, ale to nie znaczy, że kości są „gorące” lub „zimne”. Porozmawiamy o tym później.

Jeśli rzucisz standardową sześciościenną kostką i dwa razy z rzędu wypadnie liczba 6, prawdopodobieństwo, że w następnym rzucie wypadnie 6, wynosi dokładnie 1/6. Prawdopodobieństwo nie wzrasta, ponieważ kość się „rozgrzała” . Jednocześnie prawdopodobieństwo nie maleje: błędne jest rozumowanie, że liczba 6 pojawiła się już dwa razy z rzędu, co oznacza, że ​​​​teraz powinna pojawić się kolejna strona.

Oczywiście, jeśli rzucisz dwadzieścia razy kostką i za każdym razem otrzymasz 6, szansa, że ​​za dwudziestym pierwszym razem rzucisz 6, jest dość duża: być może po prostu wybrałeś złą kość. Ale jeśli wynik jest sprawiedliwy, każda ze stron ma takie samo prawdopodobieństwo wylądowania, niezależnie od wyników pozostałych rzutów. Można też sobie wyobrazić, że za każdym razem wymieniamy kostkę: jeśli dwa razy z rzędu wyrzucimy liczbę 6, usuńmy „gorącą” kość z gry i zastąpmy ją nową. Przepraszam, jeśli ktoś z Was już o tym wiedział, ale musiałem to wyjaśnić, zanim przejdziemy dalej.

Jak sprawić, by rzut kostką był mniej lub bardziej losowy

Porozmawiajmy o tym, jak uzyskać różne wyniki na różnych kostkach. Niezależnie od tego, czy rzucisz kostką tylko raz, czy kilka razy, gra będzie bardziej losowa, gdy kość będzie miała więcej stron. Im częściej musisz rzucać kośćmi i im więcej rzucasz, tym bardziej wyniki zbliżają się do średniej.

Na przykład w przypadku 1k6 + 4 (to znaczy, jeśli rzucisz raz standardową sześciościenną kostką i do wyniku dodasz 4), średnia będzie liczbą z zakresu od 5 do 10. Jeśli rzucisz 5k2, średnia będzie również liczbą z zakresu od 5 do 10. Wynikiem rzutu 5k2 będą głównie liczby 7 i 8, rzadziej inne wartości. Ten sam szereg, nawet ta sama wartość średnia (w obu przypadkach 7,5), ale charakter losowości jest inny.

Poczekaj minutę. Czy nie mówiłem właśnie, że kości nie „nagrzewają się” ani nie „chłodzą”? Teraz mówię: jeśli rzucisz dużo kostek, wyniki rzutów będą zbliżone do średniej. Dlaczego?

Pozwól mi wyjaśnić. Jeśli rzucisz jedną kostką, każda strona ma takie samo prawdopodobieństwo wylądowania. Oznacza to, że jeśli z biegiem czasu rzucisz dużą ilością kości, każda strona wypadnie mniej więcej tyle samo razy. Im więcej kości rzucisz, tym bardziej całkowity wynik będzie zbliżony do średniej.

Nie dzieje się tak dlatego, że wylosowana liczba „wymusza” wylosowanie innej liczby, która nie została jeszcze wylosowana. Ale ponieważ mała seria wyrzucenia liczby 6 (lub 20, lub innej liczby) na końcu nie wpłynie tak bardzo na wynik, jeśli rzucisz kostką jeszcze dziesięć tysięcy razy i przeważnie wypadnie średnia liczba. Teraz dostaniesz kilka dużych liczb, później kilka małych – i z biegiem czasu będą one zbliżać się do średniej.

Nie dzieje się tak dlatego, że poprzednie rzuty wpływają na kości (poważnie, kości są z plastiku, nie ma mózgu, żeby pomyśleć: „Och, minęło trochę czasu, odkąd wyrzuciłeś 2”), ale dlatego, że zwykle tak jest dzieje się, gdy rzucasz dużą ilością kości

Zatem dość łatwo jest wykonać obliczenia dla jednego losowego rzutu kostką - przynajmniej obliczyć średnią wartość rzutu. Istnieją również sposoby, aby obliczyć, „jak losowe” jest coś i powiedzieć, że wyniki rzutu 1k6+4 będą „bardziej losowe” niż 5k2. W przypadku 5k2 rzuty będą bardziej równomiernie rozłożone. Aby to zrobić, musisz obliczyć odchylenie standardowe: im większa wartość, tym bardziej losowe będą wyniki. Nie chciałbym dzisiaj podawać tak wielu obliczeń, wyjaśnię ten temat później.

Jedyne, o co proszę, abyś pamiętał, to to, że im mniej kości rzucasz, tym większa jest losowość. Im więcej boków ma kość, tym większa losowość, ponieważ istnieje więcej możliwych opcji wartości.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo za pomocą liczenia

Być może zastanawiasz się: jak obliczyć dokładne prawdopodobieństwo uzyskania określonego wyniku? W rzeczywistości jest to dość ważne w wielu grach: jeśli początkowo rzucisz kostkami - najprawdopodobniej uzyskasz jakiś optymalny wynik. Moja odpowiedź brzmi: musimy obliczyć dwie wartości. Po pierwsze, całkowita liczba wyników przy rzucie kostką, a po drugie, liczba korzystnych wyników. Dzielenie drugiej wartości przez pierwszą da pożądane prawdopodobieństwo. Aby uzyskać procent, wynik pomnóż przez 100.

Przykłady

Oto bardzo prosty przykład. Chcesz, aby liczba 4 lub wyższa rzuciła raz sześciościenną kostką. Maksymalna liczba wyników wynosi 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Spośród nich 3 wyniki (4, 5, 6) są korzystne. Oznacza to, że aby obliczyć prawdopodobieństwo, dzielimy 3 przez 6 i otrzymujemy 0,5 lub 50%.

Oto przykład nieco bardziej skomplikowany. Chcesz uzyskać liczbę parzystą, rzucając 2k6. Maksymalna liczba wyników wynosi 36 (6 opcji dla każdej kości, jedna kość nie wpływa na drugą, więc pomnóż 6 przez 6 i uzyskaj 36). Trudność w przypadku tego typu pytań polega na tym, że łatwo jest policzyć dwa razy. Na przykład, rzucając 2k6, możliwe są dwa wyniki 3: 1+2 i 2+1. Wyglądają tak samo, ale różnica polega na tym, która liczba jest wyświetlana na pierwszej kości, a która na drugiej.

Możesz także wyobrazić sobie, że kostki mają różne kolory: na przykład w tym przypadku jedna kostka jest czerwona, a druga niebieska. Następnie policz liczbę opcji wyrzucenia liczby parzystej:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Okazuje się, że na 36 opcji korzystnego wyniku jest 18 - podobnie jak w poprzednim przypadku prawdopodobieństwo wynosi 0,5 lub 50%. Być może nieoczekiwane, ale całkiem trafne.

Symulacja Monte Carlo

A co jeśli masz za dużo kostek do wykonania tego obliczenia? Na przykład chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania w sumie 15 lub więcej przy rzucie 8k6. Istnieje ogromna liczba różnych wyników dla ośmiu kości i ręczne ich policzenie zajęłoby bardzo dużo czasu – nawet gdybyśmy mogli znaleźć dobre rozwiązanie w celu pogrupowania różnych zestawów rzutów kośćmi.

W tym przypadku najłatwiej jest nie liczyć ręcznie, ale skorzystać z komputera. Istnieją dwa sposoby obliczania prawdopodobieństwa na komputerze. Pierwsza metoda może dać dokładną odpowiedź, ale wymaga trochę programowania lub pisania skryptów. Komputer sprawdzi każdą możliwość, oceni i policzy całkowitą liczbę iteracji oraz liczbę iteracji, które odpowiadają pożądanemu wynikowi, a następnie udzieli odpowiedzi. Twój kod może wyglądać mniej więcej tak:

Jeśli nie rozumiesz programowania i potrzebujesz przybliżonej odpowiedzi, a nie dokładnej, możesz zasymulować tę sytuację w Excelu, gdzie rzucasz 8k6 kilka tysięcy razy i otrzymujesz odpowiedź. Aby rzucić 1k6 w Excelu, użyj formuły =PIĘTRO(RANDA()*6)+1.

Istnieje nazwa sytuacji, w której nie znasz odpowiedzi i po prostu próbujesz ciągle od nowa – symulacja Monte Carlo. Jest to świetne rozwiązanie, które można zastosować, gdy obliczenie prawdopodobieństwa jest zbyt trudne. Wspaniałą rzeczą jest to, że w tym przypadku nie musimy rozumieć, jak działa matematyka i wiemy, że odpowiedź będzie „całkiem dobra”, ponieważ, jak już wiemy, im więcej rzutów, tym wynik będzie bliższy wyniku przeciętny.

Jak łączyć niezależne badania

Jeśli zapytasz o wiele powtarzających się, ale niezależnych prób, wynik jednego rzutu nie wpływa na wyniki innych rzutów. Istnieje inne, prostsze wyjaśnienie tej sytuacji.

Jak odróżnić coś zależnego od niezależnego? Zasadniczo, jeśli możesz wyizolować każdy rzut (lub serię rzutów) kostką jako osobne zdarzenie, wówczas jest ono niezależne. Na przykład rzucamy 8k6 i chcemy mieć w sumie 15. Tego zdarzenia nie można podzielić na kilka niezależnych rzutów kostkami. Aby uzyskać wynik, obliczasz sumę wszystkich wartości, więc wynik uzyskany na jednej kostce wpływa na wyniki, które powinny pojawić się na pozostałych.

Oto przykład niezależnych rzutów: Grasz w kości i rzucasz wielokrotnie kostkami sześciościennymi. Aby pozostać w grze, pierwszy rzut musi wynosić 2 lub więcej. Za drugi rzut - 3 lub więcej. Trzeci wymaga wyniku 4 lub więcej, czwarty wymaga wyniku 5 lub więcej, a piąty wymaga wyniku 6. Jeśli wszystkie pięć rzutów wypadnie pomyślnie, wygrywasz. W tym przypadku wszystkie rzuty są niezależne. Tak, jeśli jeden rzut będzie nieudany, będzie to miało wpływ na wynik całej gry, ale jeden rzut nie ma wpływu na drugi. Na przykład, jeśli drugi rzut kośćmi zakończy się sukcesem, nie oznacza to, że kolejne rzuty będą równie dobre. Dlatego możemy osobno rozważyć prawdopodobieństwo każdego rzutu kostką.

Jeśli masz niezależne prawdopodobieństwa i chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia wszystkich zdarzeń, określasz każde indywidualne prawdopodobieństwo i mnożysz je przez siebie. Inny sposób: jeśli używasz spójnika „i” do opisania kilku warunków (na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia losowego i innego niezależnego zdarzenia losowego?) - policz poszczególne prawdopodobieństwa i pomnóż je.

Bez względu na to, co myślisz, nigdy nie sumuj niezależnych prawdopodobieństw. To częsty błąd. Aby zrozumieć, dlaczego jest to błędne podejście, wyobraź sobie sytuację, w której rzucasz monetą i chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła dwa razy z rzędu. Prawdopodobieństwo wypadnięcia każdej ze stron wynosi 50%. Jeśli dodasz te dwa prawdopodobieństwa, masz 100% szans na wyrzucenie orła, ale wiemy, że to nieprawda, ponieważ dwa razy z rzędu mogła to być reszka. Jeśli zamiast tego pomnożysz oba prawdopodobieństwa, otrzymasz 50% * 50% = 25% - co jest poprawną odpowiedzią na obliczenie prawdopodobieństwa zdobycia orła dwa razy z rzędu.

Przykład

Wróćmy do gry w kości sześciościenne, gdzie najpierw należy wyrzucić liczbę większą od 2, potem większą od 3 – i tak dalej, aż do 6. Jakie są szanse, że w danej serii pięciu rzutów wszystkie wyniki będą korzystne ?

Jak wspomniano powyżej, są to niezależne próby, dlatego obliczamy prawdopodobieństwo dla każdego pojedynczego rzutu, a następnie mnożymy je przez siebie. Prawdopodobieństwo, że wynik pierwszego rzutu będzie korzystny, wynosi 5/6. Drugie - 4/6. Trzeci - 3/6. Czwarty - 2/6, piąty - 1/6. Wszystkie wyniki mnożymy przez siebie i otrzymujemy około 1,5%. Wygrane w tej grze są dość rzadkie, więc jeśli dodasz ten element do swojej gry, będziesz potrzebować dość dużego jackpota.

Negacja

Oto kolejna przydatna wskazówka: czasami trudno jest obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, ale łatwiej jest określić prawdopodobieństwo, że zdarzenie się nie wydarzy. Załóżmy na przykład, że mamy inną grę: rzucasz 6k6 i wygrywasz, jeśli przynajmniej raz wyrzucisz 6. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?

W tym przypadku należy rozważyć wiele opcji. Może się zdarzyć, że na jednej kostce zostanie wyrzucona liczba 6, czyli na jednej kostce pojawi się liczba 6, a na pozostałych cyfry od 1 do 5, wtedy jest 6 możliwości, która z kostek pokaże 6. Numer 6 możesz uzyskać na dwóch kostkach, trzech, a nawet więcej, i za każdym razem będziesz musiał wykonać osobne obliczenia, więc łatwo się tutaj pomylić.

Ale spójrzmy na problem od drugiej strony. Przegrasz, jeśli na żadnej kostce nie wypadnie 6. W tym przypadku mamy 6 niezależnych prób. Prawdopodobieństwo, że na każdej kostce wypadnie liczba inna niż 6, wynosi 5/6. Pomnóż je, a otrzymasz około 33%. Zatem prawdopodobieństwo przegranej wynosi jeden do trzech. Dlatego prawdopodobieństwo wygranej wynosi 67% (czyli dwa do trzech).

Z tego przykładu wynika jasno: jeśli obliczysz prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, wynik musisz odjąć od 100%. Jeśli prawdopodobieństwo wygranej wynosi 67%, wówczas prawdopodobieństwo przegranej wynosi 100% minus 67%, czyli 33% i odwrotnie. Jeśli trudno jest obliczyć jedno prawdopodobieństwo, ale łatwo obliczyć przeciwne, oblicz przeciwne prawdopodobieństwo, a następnie odejmij tę liczbę od 100%.

Łączymy warunki dla jednego niezależnego testu

Powiedziałem powyżej, że nigdy nie należy dodawać prawdopodobieństw w niezależnych próbach. Czy są przypadki, w których można podsumować prawdopodobieństwa? Tak, w jednej szczególnej sytuacji.

Jeśli chcesz obliczyć prawdopodobieństwo kilku niepowiązanych ze sobą korzystnych wyników w jednym badaniu, zsumuj prawdopodobieństwa każdego korzystnego wyniku. Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby 4, 5 lub 6 na 1k6 jest równe sumie prawdopodobieństwa wyrzucenia liczby 4, prawdopodobieństwa wyrzucenia liczby 5 i prawdopodobieństwa wyrzucenia liczby 6. Sytuację tę można przedstawić jako następująco: jeśli w pytaniu dotyczącym prawdopodobieństwa użyjesz spójnika „lub” (na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo tego lub innego wyniku tego lub innego zdarzenia losowego?) - oblicz poszczególne prawdopodobieństwa i zsumuj je.

Uwaga: przy obliczaniu wszystkich możliwych wyników gry suma prawdopodobieństw ich wystąpienia musi być równa 100%, w przeciwnym razie obliczenia zostały wykonane błędnie. Jest to dobry sposób na ponowne sprawdzenie obliczeń. Na przykład przeanalizowałeś prawdopodobieństwo wszystkich kombinacji w pokerze. Jeśli dodasz wszystkie wyniki, powinieneś otrzymać dokładnie 100% (lub przynajmniej prawie 100%: jeśli użyjesz kalkulatora, może pojawić się mały błąd zaokrąglenia, ale jeśli dodasz dokładne liczby ręcznie, wszystko powinno się sumować). Jeśli suma nie jest zbieżna, oznacza to, że najprawdopodobniej nie wziąłeś pod uwagę niektórych kombinacji lub błędnie obliczyłeś prawdopodobieństwa niektórych kombinacji i obliczenia należy jeszcze raz sprawdzić.

Nierówne prawdopodobieństwa

Do tej pory zakładaliśmy, że każdą stroną kostki rzuca się z tą samą częstotliwością, ponieważ tak wydają się działać kości. Czasami jednak możesz spotkać się z sytuacją, w której możliwe są różne wyniki i mają one różne szanse na wystąpienie.

Przykładowo w jednym z rozszerzeń gry karcianej Nuclear War znajduje się pole gry ze strzałką, od której zależy wynik wystrzelenia rakiety. Najczęściej zadaje normalne obrażenia, silniejsze lub słabsze, ale czasami obrażenia są podwojone lub potrojone, albo rakieta eksploduje na platformie startowej i rani cię, lub też następuje inne zdarzenie. W przeciwieństwie do planszy strzałek w Chutes & Ladders lub A Game of Life, wyniki na planszy w Nuclear War są nierówne. Niektóre sekcje pola gry są większe i strzałka zatrzymuje się na nich znacznie częściej, podczas gdy inne są bardzo małe i strzałka zatrzymuje się na nich rzadko.

Zatem na pierwszy rzut oka kość wygląda mniej więcej tak: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - już o tym rozmawialiśmy, to jest coś w rodzaju ważonej 1k3. Dlatego musimy podzielić wszystkie te sekcje na równe części, znaleźć najmniejszą jednostkę miary, której dzielnik jest wielokrotnością, a następnie przedstawić sytuację w postaci d522 (lub innej), gdzie zestaw kostek twarze będą reprezentować tę samą sytuację, ale z większą liczbą wyników. Jest to jeden ze sposobów rozwiązania problemu, technicznie wykonalny, ale istnieje prostsza opcja.

Wróćmy do naszych standardowych sześciościennych kości. Powiedzieliśmy, że aby obliczyć średni rzut zwykłą kostką, należy zsumować wartości na wszystkich ściankach i podzielić przez liczbę ścian, ale jak dokładnie działają obliczenia? Można to wyrazić w inny sposób. W przypadku kostki sześciościennej prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej strony wynosi dokładnie 1/6. Teraz mnożymy wynik każdej krawędzi przez prawdopodobieństwo tego wyniku (w tym przypadku 1/6 dla każdej krawędzi), a następnie sumujemy otrzymane wartości. Podsumowując (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), otrzymujemy taki sam wynik (3,5), jak w powyższym obliczeniu. W rzeczywistości liczymy w ten sposób za każdym razem: mnożymy każdy wynik przez prawdopodobieństwo tego wyniku.

Czy możemy wykonać te same obliczenia dla strzałki na boisku w wojnie nuklearnej? Oczywiście możemy. A jeśli podsumujemy wszystkie znalezione wyniki, otrzymamy wartość średnią. Wszystko, co musimy zrobić, to obliczyć prawdopodobieństwo każdego wyniku dla strzałki na planszy i pomnożyć przez wartość wyniku.

Inny przykład

Ta metoda obliczania średniej jest również odpowiednia, jeśli wyniki są równie prawdopodobne, ale mają różne zalety – na przykład, jeśli rzucisz kostką i wygrasz więcej po jednej stronie niż po drugiej. Weźmy na przykład grę w kasynie: stawiasz zakład i rzucasz 2k6. Jeśli wyrzucą trzy liczby o niskiej wartości (2, 3, 4) lub cztery liczby o dużej wartości (9, 10, 11, 12), wygrasz kwotę równą Twojemu zakładowi. Liczby o najniższej i najwyższej wartości są wyjątkowe: jeśli wyrzucisz 2 lub 12, wygrywasz dwukrotnie większą kwotę zakładu. Jeśli wyrzuci się inny numer (5, 6, 7, 8), przegrywasz zakład. To całkiem prosta gra. Ale jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?

Zacznijmy od policzenia, ile razy możesz wygrać. Maksymalna liczba wyników przy rzucie 2k6 wynosi 36. Jaka jest liczba korzystnych wyników?

• Istnieje 1 opcja, że ​​zostanie wyrzucona 2 i 1 opcja, że ​​zostanie wyrzucona 12.
• Istnieją 2 opcje, w których wyrzucono 3 i 2 opcje, w których wyrzucono 11.
• Istnieją 3 opcje, w których wyrzucona zostanie 4 i 3 opcje, w których wyrzucona zostanie 10.
• Istnieją 4 możliwości wyrzucenia 9.

Sumując wszystkie opcje, otrzymujemy 16 korzystnych wyników na 36. Zatem w normalnych warunkach wygrasz 16 razy na 36 możliwych - prawdopodobieństwo wygranej jest nieco mniejsze niż 50%.

Ale w dwóch przypadkach z tych szesnastu wygrasz dwa razy więcej – to jak wygrać dwa razy. Jeśli zagrasz w tę grę 36 razy, za każdym razem stawiając 1 $ i każdy z możliwych wyników pojawi się raz, wygrasz w sumie 18 $ (w rzeczywistości wygrasz 16 razy, ale dwa z nich będą liczone jako dwa zwycięstwa). Jeśli zagrasz 36 razy i wygrasz 18 dolarów, czy nie oznacza to, że szanse są równe?

Nie spiesz się. Jeśli policzysz, ile razy możesz przegrać, otrzymasz 20, a nie 18. Jeśli zagrasz 36 razy, stawiając za każdym razem 1 $, wygrasz w sumie 18 $, jeśli trafisz wszystkie korzystne typy. Ale stracisz łącznie 20 $, jeśli uzyskasz wszystkie 20 niekorzystnych wyników. W efekcie zostaniesz trochę w tyle: na każde 36 gier tracisz średnio 2 dolary netto (można też powiedzieć, że tracisz średnio 1/18 dolara dziennie). Teraz widzisz, jak łatwo w tym przypadku popełnić błąd i błędnie obliczyć prawdopodobieństwo.

Przegrupowanie

Do tej pory zakładaliśmy, że kolejność liczb przy rzucie kostkami nie ma znaczenia. Wyrzucenie 2 + 4 jest równoznaczne z wyrzuceniem 4 + 2. W większości przypadków liczbę korzystnych wyników liczymy ręcznie, jednak czasami ta metoda jest niepraktyczna i lepiej zastosować wzór matematyczny.

Przykładem takiej sytuacji jest gra w kości Farkle. W każdej nowej rundzie rzucasz 6k6. Jeśli będziesz miał szczęście i uzyskasz wszystkie możliwe wyniki 1-2-3-4-5-6 (prosto), otrzymasz duży bonus. Jakie jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia? W takim przypadku istnieje wiele opcji uzyskania tej kombinacji.

Rozwiązanie jest następujące: na jednej kostce (i tylko na jednej) musi być liczba 1. Na ile sposobów liczba 1 może pojawić się na jednej kostce? Istnieje 6 opcji, ponieważ jest 6 kości, a każda z nich może spaść na numer 1. W związku z tym weź jedną kostkę i odłóż ją na bok. Teraz na jednej z pozostałych kostek powinna wyrzucić liczbę 2. Jest na to 5 możliwości. Weź kolejną kostkę i odłóż ją na bok. Następnie 4 z pozostałych kości mogą wyrzucić liczbę 3, 3 z pozostałych kostek mogą wyrzucić liczbę 4, 2 z pozostałych kości mogą wyrzucić liczbę 5. W rezultacie zostaje ci jedna kość, na której powinna wypaść liczba 6 (w tym drugim przypadku na kostce jest tylko jedna kość i nie ma wyboru).

Aby obliczyć liczbę korzystnych wyników trafienia strita, mnożymy wszystkie różne niezależne możliwości: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - wydaje się, że istnieje całkiem duża liczba możliwości wystąpienia tej kombinacji .

Aby obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania strita, musimy podzielić 720 przez liczbę wszystkich możliwych wyników w rzucie 6k6. Jaka jest liczba wszystkich możliwych wyników? Każda kostka może mieć 6 boków, więc mnożymy 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (znacznie większa liczba niż poprzednia). Podziel 720 przez 46656, a otrzymasz prawdopodobieństwo około 1,5%. Jeśli projektowałeś tę grę, dobrze byłoby, abyś o tym wiedział, aby móc stworzyć odpowiedni system punktacji. Teraz rozumiemy, dlaczego w Farkle dostajesz tak dużą premię za strita: jest to dość rzadka sytuacja.

Wynik jest interesujący także z innego powodu. Przykład pokazuje, jak rzadko w krótkim czasie zdarza się wynik zgodny z prawdopodobieństwem. Oczywiście gdybyśmy rzucali kilkoma tysiącami kostek, dość często pojawiałyby się różne strony kości. Ale kiedy rzucamy tylko sześcioma kostkami, prawie nigdy nie zdarza się, że wyrzucą wszystkie twarze. Staje się jasne, że głupio jest oczekiwać, że teraz pojawi się linia, która jeszcze się nie wydarzyła, ponieważ „od dawna nie rzucaliśmy cyfrą 6”. Słuchaj, twój generator liczb losowych jest uszkodzony.

Prowadzi nas to do powszechnego błędnego przekonania, że ​​wszystkie skutki pojawiają się z tą samą częstotliwością w krótkim okresie czasu. Jeśli rzucimy kostką kilka razy, częstotliwość wypadania każdej strony nie będzie taka sama.

Jeśli kiedykolwiek pracowałeś nad grą online z jakimś generatorem liczb losowych, najprawdopodobniej spotkałeś się z sytuacją, w której gracz pisze do pomocy technicznej ze skargą, że generator liczb losowych nie wyświetla liczb losowych. Doszedł do tego wniosku, ponieważ zabił 4 potwory z rzędu i otrzymał 4 dokładnie takie same nagrody, a nagrody te powinny pojawiać się tylko w 10% przypadków, więc oczywiście prawie nigdy nie powinno to mieć miejsca.

Wykonujesz obliczenia matematyczne. Prawdopodobieństwo wynosi 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, czyli 1 wynik na 10 tysięcy to raczej rzadki przypadek. To właśnie gracz próbuje ci powiedzieć. Czy w tym przypadku jest jakiś problem?

Wszystko zależy od okoliczności. Ilu graczy jest obecnie na Twoim serwerze? Załóżmy, że masz dość popularną grę i codziennie gra w nią 100 tysięcy osób. Ilu graczy może zabić cztery potwory z rzędu? Być może wszystkie, kilka razy dziennie, ale załóżmy, że połowa z nich po prostu wymienia różne przedmioty na aukcjach, rozmawia na serwerach RP lub wykonuje inne czynności w grze - więc tylko połowa z nich poluje na potwory. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ktoś otrzyma taką samą nagrodę? W tej sytuacji można się spodziewać, że stanie się to co najmniej kilka razy dziennie.

Swoją drogą, dlatego wydaje się, że co kilka tygodni ktoś wygrywa na loterii, nawet jeśli tym kimś nigdy nie byłeś ty ani nikt, kogo znasz. Jeśli wystarczająca liczba osób gra regularnie, istnieje szansa, że ​​gdzieś znajdzie się przynajmniej jeden szczęśliwy gracz. Ale jeśli sam zagrasz na loterii, prawdopodobnie nie wygrasz, a raczej zostaniesz zaproszony do pracy w Infinity Ward.

Karty i uzależnienie

Omówiliśmy niezależne zdarzenia, takie jak rzut kostką, i teraz znamy wiele potężnych narzędzi do analizy losowości w wielu grach. Obliczanie prawdopodobieństwa jest nieco bardziej skomplikowane, jeśli chodzi o dobieranie kart z talii, ponieważ każda dobrana przez nas karta wpływa na te, które pozostają w talii.

Jeśli masz standardową talię 52 kart, usuwasz z niej 10 kier i chcesz poznać prawdopodobieństwo, że następna karta będzie w tym samym kolorze - prawdopodobieństwo zmieniło się w stosunku do oryginału, ponieważ usunąłeś już jedną kartę w tym kolorze serc z talii. Każda usunięta karta zmienia prawdopodobieństwo pojawienia się kolejnej karty w talii. W tym przypadku poprzednie zdarzenie wpływa na następne, dlatego nazywamy to prawdopodobieństwem zależnym.

Pamiętaj, że mówiąc „karty” mam na myśli dowolną mechanikę gry, w której masz zestaw obiektów i usuwasz jeden z obiektów bez zastąpienia go. „Talia kart” w tym przypadku jest analogiczna do worka żetonów, z którego pobiera się jeden żeton, lub urny, z której pobierane są kolorowe kule (nigdy nie widziałem zabaw z urną, z której pobierane są kolorowe kule, ale nauczyciele teorii prawdopodobieństwa, według jakiego powodu preferowany jest ten przykład).

Właściwości zależności

Chciałbym wyjaśnić, że jeśli chodzi o karty, zakładam, że dobierasz karty, patrzysz na nie i usuwasz je z talii. Każde z tych działań jest ważną właściwością. Gdybym miał talię, powiedzmy, sześciu kart z numerami od 1 do 6, przetasowałbym je i dobrałem jedną kartę, a następnie ponownie przetasowałem wszystkie sześć kart – byłoby to podobne do rzutu sześciościenną kostką, ponieważ jeden wynik żadnego efektu na następne. A jeśli wyjmę karty i ich nie wymienię, to wyjmując kartę 1, zwiększam prawdopodobieństwo, że następnym razem wylosuję kartę z numerem 6. Prawdopodobieństwo będzie rosło, aż w końcu usunę tę kartę lub przetasować talię.

Istotny jest także fakt, że patrzymy na karty. Jeśli wyjmę kartę z talii i nie spojrzę na nią, nie będę miał żadnych dodatkowych informacji, a prawdopodobieństwo tak naprawdę się nie zmieni. Może to brzmieć sprzecznie z intuicją. W jaki sposób zwykłe odwrócenie karty może magicznie zmienić szanse? Jest to jednak możliwe, ponieważ prawdopodobieństwo nieznanych elementów można obliczyć na podstawie tylko tego, co wiadomo.

Na przykład, jeśli przetasujesz standardową talię kart i odkryjesz 51 kart, a żadna z nich nie jest damą trefl, możesz być w 100% pewien, że pozostała karta jest damą trefl. Jeśli przetasujesz standardową talię kart i wyjmiesz 51 kart bez patrzenia na nie, prawdopodobieństwo, że pozostała karta to dama trefl, nadal wynosi 1/52. Po otwarciu każdej karty uzyskasz więcej informacji.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych odbywa się na tych samych zasadach, co w przypadku zdarzeń niezależnych, z tą różnicą, że jest nieco bardziej skomplikowane, ponieważ prawdopodobieństwa zmieniają się w miarę odkrywania kart. Musisz więc pomnożyć wiele różnych wartości, zamiast mnożyć tę samą wartość. Tak naprawdę oznacza to, że musimy połączyć wszystkie obliczenia, które wykonaliśmy, w jedną kombinację.

Przykład

Tasujesz standardową talię 52 kart i dobierasz dwie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz parę? Istnieje kilka sposobów obliczenia tego prawdopodobieństwa, ale być może najprostszy jest następujący: jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli wylosujesz jedną kartę, nie będziesz mógł wylosować pary? Prawdopodobieństwo to wynosi zero, więc nie ma znaczenia, którą kartę wylosujesz jako pierwszą, ważne, aby pasowała do drugiej. Nie ma znaczenia, którą kartę wylosujemy jako pierwszą, wciąż mamy szansę na wylosowanie pary. Zatem prawdopodobieństwo wylosowania pary po wylosowaniu pierwszej karty wynosi 100%.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga karta pasuje do pierwszej? W talii pozostało 51 kart, a 3 z nich pasują do pierwszej karty (właściwie byłoby 4 z 52, ale jedną z pasujących kart już usunąłeś, kiedy dobierałeś pierwszą kartę), więc prawdopodobieństwo wynosi 1/ 17. Zatem następnym razem, gdy będziesz grać w Texas Hold'em, facet po drugiej stronie stołu powie: „Świetnie, kolejna para? Dziś mam szczęście”, będziesz wiedział, że istnieje duże prawdopodobieństwo, że blefuje.

A co jeśli dodamy dwóch jokerów i mamy w talii 54 karty, a chcemy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania pary? Pierwszą kartą może być joker, a wtedy w talii będzie pasować tylko jedna karta, a nie trzy. Jak znaleźć prawdopodobieństwo w tym przypadku? Podzielimy prawdopodobieństwa i pomnożymy każdą możliwość.

Naszą pierwszą kartą może być joker lub inna karta. Prawdopodobieństwo wylosowania jokera wynosi 2/54, prawdopodobieństwo wylosowania innej karty wynosi 52/54. Jeśli pierwszą kartą jest joker (2/54), prawdopodobieństwo, że druga karta będzie równa pierwszej, wynosi 1/53. Mnożymy wartości (możemy je pomnożyć, ponieważ są to osobne zdarzenia i chcemy, aby oba zdarzenia miały miejsce) i otrzymujemy 1/1431 – mniej niż jedną dziesiątą procenta.

Jeśli najpierw dobierzesz inną kartę (52/54), prawdopodobieństwo trafienia drugiej karty wynosi 3/53. Mnożymy wartości i otrzymujemy 78/1431 (nieco ponad 5,5%). Co robimy z tymi dwoma wynikami? Nie przecinają się, a chcemy poznać prawdopodobieństwo każdego z nich, więc dodajemy wartości. Otrzymujemy ostateczny wynik 79/1431 (wciąż około 5,5%).

Gdybyśmy chcieli mieć pewność co do trafności odpowiedzi, moglibyśmy obliczyć prawdopodobieństwo wszystkich pozostałych możliwych wyników: wylosowania jokera i niedopasowania drugiej karty lub wyciągnięcia innej karty i nie dopasowania drugiej karty. Sumując te prawdopodobieństwa i prawdopodobieństwo wygranej otrzymalibyśmy dokładnie 100%. Nie podam tutaj obliczeń, ale możesz spróbować wykonać obliczenia, aby to sprawdzić.

Paradoks Monty’ego Halla

To prowadzi nas do dość znanego paradoksu, który często dezorientuje wiele osób – paradoksu Monty'ego Halla. Nazwa paradoksu wzięła się od nazwiska gospodarza programu telewizyjnego „Zawrzyjmy umowę”, a dla tych, którzy nigdy nie widzieli tego programu, było to przeciwieństwo „Cena jest właściwa”.

W programie The Price Is Right gospodarz (był nim Bob Barker; kto jest teraz, Drew Carey? Nieważne) jest twoim przyjacielem. Chce, abyś wygrał pieniądze lub fajne nagrody. Stara się dać Ci każdą szansę na wygraną, o ile potrafisz odgadnąć, ile faktycznie warte są przedmioty zakupione przez sponsorów.

Monty Hall zachował się inaczej. Był jak zły bliźniak Boba Barkera. Jego celem było zrobienie z ciebie idioty w ogólnokrajowej telewizji. Jeśli byłeś w programie, był twoim przeciwnikiem, grałeś przeciwko niemu i szanse były na jego korzyść. Być może jestem zbyt surowy, ale patrząc na program, do którego łatwiej się dostać, jeśli założysz śmieszny kostium, właśnie do tego doszedłem.

Jeden z najsłynniejszych memów serialu brzmiał tak: przed tobą jest troje drzwi, drzwi nr 1, drzwi nr 2 i drzwi nr 3. Jedne drzwi możesz wybrać za darmo. Za jednym z nich kryje się wspaniała nagroda – na przykład nowy samochód. Za pozostałymi dwojgiem drzwi nie ma żadnych nagród, obie nie mają żadnej wartości. Mają cię upokorzyć, więc za nimi nie stoi nic, ale coś głupiego, na przykład koza lub wielka tubka pasty do zębów – wszystko, byle nie nowy samochód.

Wybierasz jedne z drzwi, Monty zaraz je otworzy i poinformuje Cię, czy wygrałeś, czy nie… ale poczekaj. Zanim się dowiemy, przyjrzyjmy się jednym z tych drzwi, których nie wybrałeś. Monty wie, za którymi drzwiami znajduje się nagroda, i zawsze może otworzyć drzwi, za którymi nie ma nagrody. „Wybierasz drzwi nr 3? W takim razie otwórzmy drzwi numer 1, żeby pokazać, że nie kryje się za nimi żadna nagroda. A teraz, z hojności, oferuje ci możliwość wymiany wybranych drzwi nr 3 na to, co znajduje się za drzwiami nr 2.

W tym momencie pojawia się pytanie o prawdopodobieństwo: czy ta szansa zwiększa Twoje prawdopodobieństwo wygranej, czy je zmniejsza, czy też pozostaje niezmieniona? Jak myślisz?

Prawidłowa odpowiedź: możliwość wyboru innych drzwi zwiększa prawdopodobieństwo wygranej z 1/3 do 2/3. To jest nielogiczne. Jeśli nie spotkałeś się wcześniej z tym paradoksem, najprawdopodobniej myślisz: czekaj, jak to się dzieje, że otwierając jedne drzwi, w magiczny sposób zmieniamy prawdopodobieństwo? Jak już widzieliśmy w przypadku map, dokładnie tak się dzieje, gdy zdobywamy więcej informacji. Oczywiście, gdy wybierasz po raz pierwszy, prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Kiedy otwierają się jedne drzwi, w ogóle nie zmienia to prawdopodobieństwa wygranej w przypadku pierwszego wyboru: prawdopodobieństwo nadal wynosi 1/3. Ale prawdopodobieństwo, że drugie drzwi są prawidłowe, wynosi teraz 2/3.

Spójrzmy na ten przykład z innej perspektywy. Wybierasz drzwi. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Sugeruję zmianę pozostałych dwojga drzwi, co robi Monty Hall. Jasne, otwiera jedne z drzwi, aby ujawnić, że nie kryje się za nimi żadna nagroda, ale zawsze może to zrobić, więc tak naprawdę niczego to nie zmienia. Oczywiście będziesz chciał wybrać inne drzwi.

Jeśli nie do końca rozumiesz pytanie i potrzebujesz bardziej przekonującego wyjaśnienia, kliknij ten link, aby przejść do świetnej małej aplikacji Flash, która pozwoli Ci bardziej szczegółowo zbadać ten paradoks. Możesz grać zaczynając od około 10 drzwi, a następnie stopniowo zmierzać do gry z trzema drzwiami. Dostępny jest także symulator, w którym możesz grać dowolną liczbą drzwi od 3 do 50 lub przeprowadzić kilka tysięcy symulacji i zobaczyć, ile razy wygrałbyś, gdybyś grał.

Wybierz jedno z trzech drzwi - prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Teraz masz dwie strategie: zmienić swój wybór po otwarciu niewłaściwych drzwi lub nie. Jeśli nie zmienisz swojego wyboru, prawdopodobieństwo pozostanie 1/3, ponieważ wybór następuje tylko na pierwszym etapie i musisz od razu zgadnąć. Jeśli się zmienisz, możesz wygrać, jeśli najpierw wybierzesz niewłaściwe drzwi (wtedy otworzą kolejne złe, prawe pozostają - zmieniając swoją decyzję, podejmujesz ją). Prawdopodobieństwo wybrania niewłaściwych drzwi na początku wynosi 2/3 - okazuje się więc, że zmieniając decyzję, podwajasz prawdopodobieństwo wygranej.

Uwaga od nauczyciela matematyki wyższej i specjalisty od balansu gry Maxima Soldatova - oczywiście Schreiber jej nie miał, ale bez niej dość trudno jest zrozumieć tę magiczną transformację

I znowu o paradoksie Monty Halla

A co do samego programu: nawet jeśli przeciwnicy Monty'ego Halla nie byli dobrzy z matematyki, on był w tym dobry. Oto, co zrobił, aby trochę zmienić grę. Jeśli wybierzesz drzwi, za którymi kryje się nagroda, a prawdopodobieństwo ich wystąpienia wynosi 1/3, zawsze będziesz mieć możliwość wyboru innych drzwi. Wybierzesz samochód, a potem zamienisz go na kozę i będziesz wyglądać całkiem głupio – a tego właśnie chcesz, ponieważ Hall jest w pewnym sensie złym facetem.

Ale jeśli wybierzesz drzwi, za którymi nie kryje się nagroda, poprosi cię o wybranie innych tylko w połowie przypadków lub po prostu pokaże ci twoją nową kozę i opuścisz scenę. Przeanalizujmy tę nową grę, w której Monty Hall może zdecydować, czy dać ci szansę wyboru innych drzwi, czy nie.

Załóżmy, że postępuje według następującego algorytmu: jeśli wybierzesz drzwi z nagrodą, zawsze oferuje ci możliwość wyboru innych drzwi, w przeciwnym razie równie prawdopodobne jest, że zaproponuje ci wybranie innych drzwi lub podaruje ci kozę. Jakie jest Twoje prawdopodobieństwo wygranej?

W jednej z trzech opcji od razu wybierasz drzwi, za którymi znajduje się nagroda, a prezenter zaprasza Cię do wybrania kolejnych.

Z pozostałych dwóch opcji z trzech (początkowo wybierasz drzwi bez nagrody), w połowie przypadków prezenter zaproponuje Ci zmianę decyzji, a w drugiej połowie przypadków - nie.

Połowa 2/3 to 1/3, czyli w jednym przypadku na trzy dostaniesz kozę, w jednym przypadku na trzy wybierzesz złe drzwi i gospodarz poprosi Cię o wybranie innych, a w jednym w przypadku trzech wybierzesz właściwe drzwi, ale on znowu zaproponuje inne.

Jeśli prezenter zaproponuje wybór innych drzwi, to już wiemy, że ten jeden przypadek na trzy, kiedy daje nam kozę i wychodzimy, nie miał miejsca. To przydatna informacja: oznacza, że ​​nasze szanse na wygraną uległy zmianie. Dwa przypadki na trzy, kiedy mamy możliwość wyboru: w jednym przypadku oznacza to, że zgadliśmy poprawnie, a w drugim, że zgadliśmy źle, więc jeśli w ogóle zaoferowano nam możliwość wyboru, to prawdopodobieństwo naszej wygranej wynosi 1/2 i z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, czy pozostaniesz przy swoim wyborze, czy wybierzesz inne drzwi.

Podobnie jak poker, jest to gra psychologiczna, a nie matematyczna. Dlaczego Monty dał ci wybór? Czy on myśli, że jesteś prostakiem, który nie wie, że wybór innych drzwi to „właściwa” decyzja i będzie uparcie trzymał się swojego wyboru (w końcu sytuacja jest psychologicznie trudniejsza, gdy wybrałeś samochód, a potem go straciłeś) )?

A może on, uznając, że jesteś mądry i wybierzesz inne drzwi, daje ci tę szansę, bo wie, że od razu zgadłeś poprawnie i wpadniesz w uzależnienie? A może jest nietypowo miły i namawia Cię do zrobienia czegoś, co przyniesie Ci korzyść, bo dawno nie rozdawał samochodów, a producenci mówią, że widzowie się nudzą i lepiej, żeby wkrótce rozdano dużą nagrodę do czy oceny spadły?

W ten sposób Monty'emu udaje się od czasu do czasu zaoferować wybór i nadal utrzymywać ogólne prawdopodobieństwo wygranej na poziomie 1/3. Pamiętaj, że prawdopodobieństwo, że od razu przegrasz, wynosi 1/3. Szansa, że ​​od razu odgadniesz poprawnie, wynosi 1/3, a w 50% przypadków wygrasz (1/3 x 1/2 = 1/6).

Szansa, że ​​na początku zgadniesz źle, ale potem będziesz miał szansę wybrać inne drzwi, wynosi 1/3 i w połowie przypadków wygrasz (również 1/6). Dodaj do siebie dwie niezależne możliwości wygranej, a otrzymasz prawdopodobieństwo 1/3, więc nie ma znaczenia, czy pozostaniesz przy swoim wyborze, czy wybierzesz inne drzwi - Twoje całkowite prawdopodobieństwo wygranej w całej grze wynosi 1/3.

Prawdopodobieństwo nie staje się większe niż w sytuacji, gdy odgadłeś drzwi, a prezenter po prostu pokazał ci, co się za nimi kryje, nie proponując wyboru innych. Celem tej propozycji nie jest zmiana prawdopodobieństwa, ale sprawienie, aby proces podejmowania decyzji był przyjemniejszy do oglądania w telewizji.

Swoją drogą, jest to jeden z powodów, dla których poker może być tak interesujący: w większości formatów, pomiędzy rundami zawierania zakładów (na przykład flopem, turnem i riverem w Texas Hold'em) karty są stopniowo odkrywane, a jeśli na początku gry masz jedną szansę na wygraną, to po każdej rundzie licytacji, gdy odkryte zostanie więcej kart, prawdopodobieństwo to się zmienia.

Paradoks chłopca i dziewczynki

To prowadzi nas do innego dobrze znanego paradoksu, który z reguły intryguje wszystkich - paradoksu chłopca i dziewczynki. Jedyne o czym dzisiaj napiszę, a co nie jest bezpośrednio związane z grami (choć mam chyba tylko zachęcić do stworzenia odpowiednich mechanik gry). To raczej zagadka, ale interesująca i aby ją rozwiązać, musisz zrozumieć prawdopodobieństwo warunkowe, o którym mówiliśmy powyżej.

Problem: Mam znajomego, który ma dwójkę dzieci, przynajmniej jedno z nich to dziewczynka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko będzie także dziewczynką? Załóżmy, że w każdej rodzinie szanse na urodzenie dziewczynki i chłopca wynoszą 50/50 i dotyczy to każdego dziecka.

W rzeczywistości niektórzy mężczyźni mają w swoich plemnikach więcej plemników z chromosomem X lub Y, więc szanse nieznacznie się zmieniają. Jeśli wiesz, że jedno dziecko to dziewczynka, prawdopodobieństwo urodzenia drugiej dziewczynki jest nieco większe i występują inne schorzenia, takie jak hermafrodytyzm. Aby jednak rozwiązać ten problem, nie będziemy tego brać pod uwagę i zakładać, że narodziny dziecka są wydarzeniem niezależnym, a narodziny chłopca i dziewczynki są jednakowo prawdopodobne.

Ponieważ mówimy o prawdopodobieństwie 1/2, intuicyjnie spodziewamy się, że odpowiedzią będzie najprawdopodobniej 1/2 lub 1/4, lub inna liczba będąca wielokrotnością dwóch w mianowniku. Ale odpowiedź brzmi: 1/3. Dlaczego?

Trudność polega na tym, że informacja, którą posiadamy, zmniejsza liczbę możliwości. Załóżmy, że rodzice są fanami Ulicy Sezamkowej i niezależnie od płci dzieci nadali im imiona A i B. W normalnych warunkach istnieją cztery równie prawdopodobne możliwości: A i B to dwaj chłopcy, A i B to dwie dziewczynki, A to chłopiec, B to dziewczynka, A to dziewczynka, a B to chłopiec. Ponieważ wiemy, że co najmniej jedno dziecko to dziewczynka, możemy wykluczyć możliwość, że A i B to dwaj chłopcy. To pozostawia nam trzy możliwości – wciąż równie prawdopodobne. Jeżeli wszystkie możliwości są jednakowo prawdopodobne i są ich trzy, to prawdopodobieństwo każdej z nich wynosi 1/3. Tylko w jednej z tych trzech opcji są obie dziewczynki, więc odpowiedź brzmi 1/3.

I znowu o paradoksie chłopca i dziewczynki

Rozwiązanie problemu staje się jeszcze bardziej nielogiczne. Wyobraź sobie, że moja przyjaciółka ma dwójkę dzieci i jedno z nich to dziewczynka, która urodziła się we wtorek. Załóżmy, że w normalnych warunkach dziecko może urodzić się w każdym z siedmiu dni tygodnia z równym prawdopodobieństwem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko będzie także dziewczynką?

Można by pomyśleć, że odpowiedź nadal będzie brzmieć 1/3: jakie znaczenie ma wtorek? Ale nawet w tym przypadku intuicja nas zawodzi. Odpowiedź brzmi 13/27, co jest nie tylko nieintuicyjne, ale i bardzo dziwne. O co chodzi w tym przypadku?

Tak naprawdę wtorek zmienia prawdopodobieństwo, ponieważ nie wiemy, które dziecko urodziło się we wtorek, a może oba urodziły się we wtorek. W tym przypadku stosujemy tę samą logikę: liczymy wszystkie możliwe kombinacje, gdy przynajmniej jedno dziecko to dziewczynka urodzona we wtorek. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, załóżmy, że dzieci mają imiona A i B. Kombinacje wyglądają następująco:

• A to dziewczynka, która urodziła się we wtorek, B to chłopiec (w tej sytuacji jest 7 możliwości, po jednej na każdy dzień tygodnia, w którym mógł urodzić się chłopiec).
• B to dziewczynka urodzona we wtorek, A to chłopiec (również 7 możliwości).
• A - dziewczynka urodzona we wtorek, B - dziewczynka urodzona w inny dzień tygodnia (6 możliwości).
• B to dziewczynka urodzona we wtorek, A to dziewczynka, która nie urodziła się we wtorek (również 6 prawdopodobieństw).
• A i B to dwie dziewczynki, które urodziły się we wtorek (1 możliwość, trzeba na to zwrócić uwagę, żeby nie liczyć dwa razy).

Sumujemy i otrzymujemy 27 różnych, jednakowo możliwych kombinacji urodzeń dzieci i dni, z co najmniej jedną możliwością urodzenia dziewczynki we wtorek. Spośród nich istnieje 13 możliwości, gdy urodzi się dwie dziewczynki. Wydaje się to też całkowicie nielogiczne - wydaje się, że to zadanie zostało wymyślone tylko po to, aby powodować bóle głowy. Jeśli nadal jesteś zaintrygowany, na stronie teoretyka gier Jespera Juhla znajdziesz dobre wyjaśnienie tego problemu.

Jeśli obecnie pracujesz nad grą

Jeśli w projektowanej grze występuje losowość, jest to doskonały moment na jej analizę. Wybierz element, który chcesz przeanalizować. Najpierw zadaj sobie pytanie, jakiego spodziewasz się prawdopodobieństwa wystąpienia danego elementu, jakie powinno być w kontekście gry.

Na przykład, jeśli tworzysz grę RPG i zastanawiasz się, jakie powinno być prawdopodobieństwo, że gracz pokona potwora w bitwie, zadaj sobie pytanie, jaki procent wygranych uważasz za odpowiedni. Zazwyczaj w grach RPG na konsole gracze bardzo się denerwują, gdy przegrywają, więc najlepiej, jeśli przegrywają rzadko – w 10% przypadków lub rzadziej. Jeśli jesteś projektantem RPG, prawdopodobnie wiesz lepiej niż ja, ale musisz mieć podstawowe pojęcie o tym, jakie powinno być prawdopodobieństwo.

Następnie zadaj sobie pytanie, czy Twoje prawdopodobieństwa są zależne (jak w przypadku kart), czy niezależne (jak w przypadku kości). Przeanalizuj wszystkie możliwe wyniki i ich prawdopodobieństwa. Upewnij się, że suma wszystkich prawdopodobieństw wynosi 100%. I oczywiście porównaj uzyskane wyniki ze swoimi oczekiwaniami. Czy jesteś w stanie rzucić kostką lub wyciągnąć karty zgodnie z zamierzeniami, czy też jest jasne, że wartości wymagają dostosowania. I oczywiście, jeśli znajdziesz jakieś niedociągnięcia, możesz użyć tych samych obliczeń, aby określić, jak bardzo zmienić wartości.

Praca domowa

Twoja praca domowa w tym tygodniu pomoże ci udoskonalić umiejętności prawdopodobieństwa. Oto dwie gry w kości i gra karciana, które przeanalizujesz pod kątem prawdopodobieństwa, a także dziwna mechanika gry, którą kiedyś opracowałem, która przetestuje metodę Monte Carlo.

Gra nr 1 – Kości smoka

To gra w kości, którą kiedyś z kolegami wymyśliliśmy (dzięki Jebowi Heavensowi i Jessemu Kingowi) – szczególnie zadziwia ona swoim prawdopodobieństwem. Jest to prosta gra kasynowa o nazwie Dragon Dice, polegająca na rywalizacji w kościach pomiędzy graczem a kasynem.

Otrzymujesz normalną kość 1k6. Celem gry jest wyrzucenie liczby wyższej niż liczba kasyna. Tomek otrzymuje niestandardowe 1k6 - takie samo jak twoje, ale na jednej z jego ścian zamiast jednostki widnieje wizerunek smoka (stąd kasyno ma kostkę smoka - 2-3-4-5-6 ). Jeśli w domu pojawi się smok, automatycznie wygrywa, a ty przegrywasz. Jeśli obaj otrzymają tę samą liczbę, następuje remis i rzucasz kostką ponownie. Wygrywa ten, kto wyrzuci największą liczbę.

Oczywiście nie wszystko układa się do końca na korzyść gracza, gdyż kasyno ma przewagę w postaci smoczej przewagi. Ale czy to naprawdę prawda? To właśnie musisz obliczyć. Ale najpierw sprawdź swoją intuicję.

Załóżmy, że szanse wynoszą 2 do 1. Jeśli więc wygrasz, zatrzymasz swój zakład i otrzymasz podwójną stawkę. Na przykład, jeśli postawisz 1 dolara i wygrasz, zatrzymasz tego dolara i dodasz 2 dodatkowe, co daje w sumie 3 dolary. Jeśli przegrasz, przegrywasz tylko swój zakład. Zagrałbyś? Czy intuicyjnie czujesz, że prawdopodobieństwo jest większe niż 2 do 1, czy nadal uważasz, że jest mniejsze? Innymi słowy, czy spodziewasz się wygrać więcej niż raz, czy mniej, czy raz w ciągu 3 gier?

Kiedy już zrozumiesz swoją intuicję, użyj matematyki. Dla obu kości jest tylko 36 możliwych pozycji, więc możesz je wszystkie policzyć bez problemu. Jeśli nie masz pewności co do oferty 2 za 1, rozważ następującą kwestię: załóżmy, że grałeś w tę grę 36 razy (za każdym razem stawiając 1 $). Za każdą wygraną otrzymujesz 2 dolary, za każdą przegraną tracisz 1, a remis niczego nie zmienia. Oblicz wszystkie swoje prawdopodobne wygrane i straty i zdecyduj, czy stracisz, czy zyskasz trochę dolarów. Następnie zadaj sobie pytanie, jak trafna była Twoja intuicja. I wtedy zdałem sobie sprawę, jakim jestem złoczyńcą.

I tak, jeśli już zastanawiałeś się nad tym pytaniem – celowo wprowadzam Cię w błąd, przedstawiając błędną mechanikę gier w kości, ale jestem pewien, że możesz pokonać tę przeszkodę przy odrobinie myślenia. Spróbuj rozwiązać ten problem samodzielnie.

Gra nr 2 - Rzut na szczęście

Jest to gra losowa w kości zwana „Roll for Luck” (zwana także „Klatką dla ptaków”, ponieważ czasami kostkami nie rzuca się, ale umieszcza się je w dużej drucianej klatce, przypominającej klatkę z Bingo). Gra jest prosta i sprowadza się do tego: postaw, powiedzmy, 1 dolara na liczbę od 1 do 6. Następnie rzucasz 3k6. Za każdą kostkę, na której wypadnie Twój numer, otrzymasz 1 dolara (i zachowasz swój pierwotny zakład). Jeśli Twój numer nie pojawi się na żadnej kostce, kasyno otrzyma Twojego dolara, a Ty nic. Jeśli więc postawisz na 1 i trzykrotnie wypadnie 1 po obu stronach, otrzymasz 3 dolary.

Intuicyjnie wydaje się, że ta gra ma równe szanse. Każda kość to indywidualna szansa na wygraną wynosząca 1 do 6, zatem w sumie trzech rzutów twoja szansa na wygraną wynosi 3 do 6. Pamiętaj jednak, że dodajesz trzy oddzielne kości i możesz tylko dodaj, jeśli mówimy o oddzielnych zwycięskich kombinacjach tej samej kości. Coś, co będziesz musiał pomnożyć.

Po obliczeniu wszystkich możliwych wyników (prawdopodobnie łatwiej to zrobić w Excelu niż ręcznie, ponieważ jest ich 216), gra nadal wygląda dziwnie – nawet na pierwszy rzut oka. Tak naprawdę kasyno nadal ma większą szansę na wygraną – o ile więcej? Konkretnie, ile pieniędzy średnio spodziewasz się przegrać w każdej rundzie gry?

Wszystko, co musisz zrobić, to dodać wygrane i przegrane wszystkich 216 wyników, a następnie podzielić przez 216, co powinno być całkiem proste. Ale jak widać, jest tu kilka pułapek, dlatego mówię: jeśli myślisz, że ta gra ma równe szanse na wygraną, to się mylisz.

Gra nr 3 – 5-kartowy poker typu Stud

Jeśli rozgrzałeś się już do poprzednich gier, sprawdźmy, co wiemy o prawdopodobieństwie warunkowym, na przykładzie tej gry karcianej. Wyobraźmy sobie grę w pokera z talią 52 kart. Wyobraźmy sobie także grę 5 card stud, w której każdy gracz otrzymuje tylko 5 kart. Nie możesz odrzucić karty, nie możesz dobrać nowej, nie ma wspólnej talii - dostajesz tylko 5 kart.

Poker królewski to 10-J-Q-K-A w jednym rozdaniu, w sumie jest ich cztery, więc istnieją cztery możliwe sposoby zdobycia pokera królewskiego. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymasz jedną taką kombinację.

O jednym muszę Cię ostrzec: pamiętaj, że te pięć kart możesz dobierać w dowolnej kolejności. Oznacza to, że najpierw możesz wyciągnąć asa lub dziesiątkę, to nie ma znaczenia. Wykonując obliczenia, pamiętaj, że w rzeczywistości istnieją więcej niż cztery sposoby na zdobycie pokera królewskiego, zakładając, że karty zostały rozdane w kolejności.

Gra nr 4 - Loteria MFW

Czwartego problemu nie da się tak łatwo rozwiązać metodami, o których dzisiaj mówiliśmy, ale można łatwo zasymulować sytuację za pomocą programowania lub Excela. To na przykładzie tego problemu można wypracować metodę Monte Carlo.

Wspomniałem wcześniej o grze Chron X, nad którą kiedyś pracowałem, i była tam jedna bardzo ciekawa karta – loteria MFW. Oto jak to działało: użyłeś go w grze. Po zakończeniu rundy karty zostały ponownie rozdzielone i istniało 10% szans, że karta wyjdzie z gry i losowy gracz otrzyma 5 jednostek każdego rodzaju zasobu, którego żeton znajdował się na tej karcie. Karta została wprowadzona do gry bez ani jednego żetonu, ale za każdym razem, gdy pozostawała w grze na początku następnej rundy, otrzymywała jeden żeton.

Istniało więc 10% szans, że jeśli włożysz ją do gry, runda się zakończy, karta opuści grę i nikt nic nie dostanie. Jeśli tak się nie stanie (90% szans), istnieje 10% szans (właściwie 9%, ponieważ jest to 10% z 90%), że w następnej rundzie opuści grę i ktoś otrzyma 5 jednostek zasobów. Jeśli karta opuści grę po jednej rundzie (10% z 81% dostępnych, więc prawdopodobieństwo wynosi 8,1%), ktoś otrzyma 10 jednostek, w kolejnej rundzie - 15, w kolejnej - 20 i tak dalej. Pytanie: Jaka jest ogólna oczekiwana wartość liczby zasobów, które otrzymasz z tej karty, gdy ostatecznie opuści ona grę?

Zwykle próbowalibyśmy rozwiązać ten problem, obliczając prawdopodobieństwo każdego wyniku i mnożąc przez liczbę wszystkich wyników. Istnieje 10% szans, że otrzymasz 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, że otrzymasz 5 jednostek zasobów (9% * 5 = 0,45 zasobów). 8,1% tego, co otrzymasz, to 10 (8,1%*10=0,81 zasobów – ogólna wartość oczekiwana). I tak dalej. A potem wszystko podsumowalibyśmy.

I teraz problem jest dla Ciebie oczywisty: zawsze jest szansa, że ​​karta nie opuści gry, może pozostać w grze na zawsze, przez nieskończoną liczbę rund, więc nie ma możliwości obliczenia każdego prawdopodobieństwa. Metody, których się dzisiaj nauczyliśmy, nie pozwalają nam obliczyć nieskończonej rekurencji, więc będziemy musieli ją sztucznie stworzyć.

Jeśli jesteś wystarczająco dobry w programowaniu, napisz program, który będzie symulował tę mapę. Powinieneś mieć pętlę czasową, która sprowadza zmienną do pozycji początkowej równej zero, pokazuje liczbę losową i z 10% szansą, że zmienna wyjdzie z pętli. W przeciwnym razie dodaje 5 do zmiennej i pętla się powtarza. Kiedy w końcu wyjdzie z pętli, zwiększ całkowitą liczbę uruchomień próbnych o 1 i całkowitą liczbę zasobów (o ile zależy od tego, gdzie kończy się zmienna). Następnie zresetuj zmienną i zacznij od nowa.

Uruchom program kilka tysięcy razy. Na koniec podziel całkowitą liczbę zasobów przez całkowitą liczbę przebiegów - będzie to oczekiwana wartość Monte Carlo. Uruchom program kilka razy, aby upewnić się, że otrzymane liczby są w przybliżeniu takie same. Jeśli rozrzut jest nadal duży, zwiększaj liczbę powtórzeń w pętli zewnętrznej, aż zaczniesz otrzymywać dopasowania. Możesz być pewien, że dowolne liczby, które otrzymasz, będą w przybliżeniu poprawne.

Jeśli dopiero zaczynasz programować (nawet jeśli tak), oto krótkie ćwiczenie, które pozwoli Ci sprawdzić swoje umiejętności posługiwania się Excelem. Jeśli jesteś projektantem gier, te umiejętności nigdy nie będą zbędne.

Teraz bardzo przydatne będą dla Ciebie funkcje if i Rand. Rand nie wymaga wartości, po prostu wypluwa losową liczbę dziesiętną z zakresu od 0 do 1. Zwykle łączymy ją z podłogą oraz plusami i minusami, aby symulować rzut kostką, o czym wspomniałem wcześniej. Jednak w tym przypadku pozostawiamy tylko 10% szansy, że karta opuści grę, więc możemy po prostu sprawdzić, czy wartość randu jest mniejsza niż 0,1 i nie martwić się już tym.

Jeśli ma trzy znaczenia. W kolejności: warunek, który jest prawdziwy lub fałszywy, następnie wartość zwracana, jeśli warunek jest prawdziwy, oraz wartość zwracana, jeśli warunek jest fałszywy. Zatem następująca funkcja zwróci 5% czasu, a 0 w pozostałych 90% przypadków: =JEŻELI(RANDA()<0.1,5,0) .

Istnieje wiele sposobów ustawienia tego polecenia, ale użyłbym tej formuły dla komórki reprezentującej pierwszą rundę, powiedzmy, że jest to komórka A1: =JEŻELI(RANDA()<0.1,0,-1) .

Tutaj używam zmiennej ujemnej, aby oznaczać „ta karta nie opuściła gry i nie oddała jeszcze żadnych zasobów”. Zatem jeśli pierwsza runda dobiegnie końca i karta opuści grę, A1 wynosi 0; w przeciwnym razie wynosi –1.

Dla następnej komórki reprezentującej drugą rundę: =JEŻELI(A1>-1, A1, JEŻELI(RANDA()<0.1,5,-1)) . Zatem jeśli pierwsza runda się zakończy i karta natychmiast opuści grę, A1 wynosi 0 (liczba zasobów), a ta komórka po prostu skopiuje tę wartość. W przeciwnym razie A1 wynosi -1 (karta nie opuściła jeszcze gry), a ta komórka kontynuuje losowy ruch: w 10% przypadków zwróci 5 jednostek zasobów, przez resztę czasu jej wartość będzie nadal równa -1. Jeśli zastosujemy tę formułę do dodatkowych komórek, otrzymamy dodatkowe rundy i niezależnie od tego, w której komórce skończysz, otrzymasz końcowy wynik (lub -1, jeśli karta nigdy nie opuściła gry po wszystkich rozegranych rundach).

Weź ten rząd komórek, który reprezentuje jedyną rundę z tą kartą, skopiuj i wklej kilkaset (lub tysiąc) wierszy. Być może nie będziemy w stanie wykonać nieskończonego testu dla programu Excel (w tabeli jest ograniczona liczba komórek), ale przynajmniej możemy objąć większość przypadków. Następnie wybierz jedną komórkę, w której umieścisz średnią wyników wszystkich rund - Excel pomocnie udostępnia w tym celu funkcję Average().

W systemie Windows możesz przynajmniej nacisnąć klawisz F9, aby ponownie obliczyć wszystkie liczby losowe. Tak jak poprzednio, wykonaj tę czynność kilka razy i sprawdź, czy otrzymasz te same wartości. Jeżeli rozpiętość jest zbyt duża, podwoić liczbę przebiegów i spróbować ponownie.

Nierozwiązane problemy

Jeśli tak się składa, że ​​masz wykształcenie z teorii prawdopodobieństwa i powyższe problemy wydają Ci się zbyt łatwe, oto dwa problemy, nad którymi chodzę od lat, ale niestety nie jestem wystarczająco dobry z matematyki, aby je rozwiązać.

Nierozwiązany problem nr 1: Loteria MFW

Pierwszym nierozwiązanym problemem jest poprzednie zadanie domowe. Potrafię z łatwością zastosować metodę Monte Carlo (używając C++ lub Excela) i mieć pewność co do odpowiedzi na pytanie „ile zasobów otrzyma gracz”, ale nie wiem dokładnie, jak podać dokładną, możliwą do udowodnienia matematycznie odpowiedź (jest to nieskończony szereg).

Nierozwiązany problem nr 2: Ciągi cyfr

Ten problem (wykraczający także daleko poza zadania rozwiązane na tym blogu) został mi powierzony przez znajomego gracza ponad dziesięć lat temu. Grając w blackjacka w Vegas, zauważył jedną ciekawą rzecz: kiedy wyjmował karty z 8-taliaowego buta, zobaczył dziesięć cyfr z rzędu (figurka lub figura to 10, Joker, Król lub Dama, więc w grze jest 16 łącznie w standardowych kartach z 52 taliami lub 128 w butach z 416 kartami).

Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten but zawiera co najmniej jeden ciąg dziesięciu lub więcej cyfr? Załóżmy, że zostały one potasowane uczciwie, w losowej kolejności. Albo, jeśli wolisz, jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg dziesięciu lub więcej cyfr nigdzie nie wystąpi?

Możemy uprościć zadanie. Oto sekwencja 416 części. Każda część to 0 lub 1. W całej sekwencji znajduje się 128 jedynek i 288 zer. Na ile sposobów można losowo przeplatać 128 jedynek z 288 zerami i ile razy w ten sposób pojawi się co najmniej jedna grupa złożona z dziesięciu lub więcej jedynek?

Za każdym razem, gdy zabierałem się do rozwiązania tego problemu, wydawało mi się to łatwe i oczywiste, ale gdy tylko zagłębiałem się w szczegóły, nagle się rozpadało i wydawało się po prostu niemożliwe.

Więc nie spiesz się z wymową odpowiedzi: usiądź, zastanów się dobrze, przestudiuj warunki, spróbuj podstawić liczby rzeczywiste, bo wszystkie osoby, z którymi rozmawiałem na ten temat (w tym kilku doktorantów pracujących w tej dziedzinie) zareagowały mniej więcej tak: to samo: „To zupełnie oczywiste… o nie, czekaj, to wcale nie jest oczywiste”. Dzieje się tak w przypadku, gdy nie mam metody obliczenia wszystkich opcji. Mógłbym oczywiście brutalnie rozwiązać problem za pomocą algorytmu komputerowego, ale znacznie ciekawsze byłoby poznanie rozwiązania matematycznego.

prawdopodobieństwo- liczba z zakresu od 0 do 1, która odzwierciedla prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia losowego, gdzie 0 oznacza całkowity brak prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia, a 1 oznacza, że ​​dane zdarzenie na pewno wystąpi.

Prawdopodobieństwo zdarzenia E jest liczbą od do 1.
Suma prawdopodobieństw zdarzeń wzajemnie się wykluczających jest równa 1.

prawdopodobieństwo empiryczne- prawdopodobieństwo, które oblicza się jako względną częstotliwość zdarzenia w przeszłości, uzyskaną z analizy danych historycznych.

Prawdopodobieństwa bardzo rzadkich zdarzeń nie można obliczyć empirycznie.

subiektywne prawdopodobieństwo- prawdopodobieństwo oparte na osobistej, subiektywnej ocenie zdarzenia bez uwzględnienia danych historycznych. Inwestorzy podejmujący decyzje o kupnie i sprzedaży akcji często działają w oparciu o subiektywne prawdopodobieństwo.

prawdopodobieństwo wcześniejsze -

Szansa wynosi 1 do… (szansa), że zdarzenie nastąpi zgodnie z pojęciem prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wyraża się prawdopodobieństwem w następujący sposób: P/(1-P).

Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 0,5, wówczas szansa na zdarzenie wynosi 1 do 2, ponieważ 0,5/(1-0,5).

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, oblicza się ze wzoru (1-P)/P

Niespójne prawdopodobieństwo- przykładowo cena akcji spółki A uwzględnia możliwe zdarzenie E w 85%, a cena akcji spółki B tylko w 50%. Nazywa się to niespójnym prawdopodobieństwem. Zgodnie z holenderskim twierdzeniem o zakładach, niespójne prawdopodobieństwo stwarza możliwości zysku.

Bezwarunkowe prawdopodobieństwo jest odpowiedzią na pytanie „Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi?”

Warunkowe prawdopodobieństwo- to jest odpowiedź na pytanie: „Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, jeśli zajdzie zdarzenie B.” Prawdopodobieństwo warunkowe oznacza się jako P(A|B).

Wspólne prawdopodobieństwo- prawdopodobieństwo, że zdarzenia A i B wystąpią jednocześnie. Oznaczone jako P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Zasada sumowania prawdopodobieństw:

Prawdopodobieństwo, że nastąpi zdarzenie A lub zdarzenie B wynosi

P (A lub B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Jeżeli zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie, to

P (A lub B) = P(A) + P(B)

Niezależne wydarzenia- zdarzenia A i B są niezależne, jeśli

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Oznacza to, że jest to sekwencja wyników, w której wartość prawdopodobieństwa jest stała od jednego zdarzenia do następnego.
Przykładem takiego zdarzenia jest rzut monetą – wynik każdego kolejnego rzutu nie zależy od wyniku poprzedniego.

Zdarzenia zależne- są to zdarzenia, w przypadku których prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zależy od prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń:
Jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Reguła całkowitego prawdopodobieństwa:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S i S” są zdarzeniami wzajemnie się wykluczającymi

wartość oczekiwana zmienna losowa to średnia możliwych wyników zmiennej losowej. Dla zdarzenia X oczekiwanie jest oznaczane jako E(X).

Załóżmy, że mamy 5 wartości wzajemnie wykluczających się zdarzeń z pewnym prawdopodobieństwem (np. dochód firmy z takim prawdopodobieństwem wyniósł taką a taką kwotę). Wartość oczekiwana to suma wszystkich wyników pomnożona przez ich prawdopodobieństwo:

Rozproszenie zmiennej losowej to oczekiwane kwadratowe odchylenia zmiennej losowej od jej oczekiwań:

s 2 = mi ( 2 ) (6)

Warunkowa wartość oczekiwana to oczekiwana wartość zmiennej losowej X, pod warunkiem, że zdarzenie S już nastąpiło.

jako kategoria ontologiczna odzwierciedla zakres możliwości pojawienia się dowolnego bytu w każdych warunkach. W przeciwieństwie do matematyczno-logicznej interpretacji tego pojęcia, matematyka ontologiczna nie wiąże się z obowiązkiem wyrażenia ilościowego. Znaczenie V. ujawnia się w kontekście rozumienia determinizmu i natury rozwoju w ogóle.

Doskonała definicja

Niekompletna definicja ↓

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

pojęcie charakteryzujące wielkości. miara możliwości wystąpienia określonego zdarzenia w określonym czasie warunki. W naukowym wiedzy istnieją trzy interpretacje W. Klasyczna koncepcja W., która wyrosła z matematyki. analiza hazardu, najpełniej rozwinięta przez B. Pascala, J. Bernoulliego i P. Laplace'a, uważa wygraną za stosunek liczby korzystnych przypadków do całkowitej liczby wszystkich równie możliwych. Na przykład, rzucając kostką o 6 stronach, można oczekiwać, że każda z nich wypadnie z wartością 1/6, ponieważ żadna ze stron nie ma przewagi nad drugą. Taka symetria wyników eksperymentów jest szczególnie brana pod uwagę przy organizowaniu gier, ale jest stosunkowo rzadka w badaniu obiektywnych zdarzeń w nauce i praktyce. Klasyczny Interpretacja V. ustąpiła miejsca statystykom. koncepcje V., które opierają się na faktach obserwacja wystąpienia określonego zdarzenia w długim okresie czasu. doświadczenia w ściśle określonych warunkach. Praktyka potwierdza, że ​​im częściej dane zdarzenie występuje, tym większy jest stopień obiektywnej możliwości jego wystąpienia, czyli B. Zatem statystyczny. Interpretacja V. opiera się na koncepcji relacji. częstotliwość, którą można wyznaczyć doświadczalnie. V. jako teoretyczny pojęcie nigdy nie pokrywa się z empirycznie określoną częstotliwością, jednakże w liczbie mnogiej. W przypadkach praktycznie niewiele różni się od względnej. częstotliwość wynikająca z czasu trwania. obserwacje. Wielu statystyków uważa V. za „podwójne” odniesienie. częstotliwości, krawędzie są wyznaczane statystycznie. badanie wyników obserwacji

lub eksperymenty. Mniej realistyczna była definicja V. ze względu na granicę. częstotliwości imprez masowych lub grup, zaproponowane przez R. Misesa. Jako dalszy rozwój częstotliwościowego podejścia do V. zaproponowano dyspozycyjną lub propensywną interpretację V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Zgodnie z tą interpretacją V. charakteryzuje np. właściwość warunków generowania. eksperyment. instalacji w celu uzyskania sekwencji masowych zdarzeń losowych. To właśnie ta postawa rodzi fizyczność dyspozycje, czyli predyspozycje, V. które można sprawdzić za pomocą krewnych. częstotliwość

Statystyczny W badaniach naukowych dominuje interpretacja V. poznania, ponieważ odzwierciedla konkret. natura wzorców właściwych zjawiskom masowym o charakterze przypadkowym. W wielu przypadkach fizycznych, biologicznych, ekonomicznych i demograficznych. i innych procesów społecznych, należy wziąć pod uwagę działanie wielu czynników losowych, które charakteryzują się stałą częstotliwością. Identyfikacja tych stabilnych częstotliwości i wielkości. jego ocena za pomocą V. pozwala ujawnić konieczność, która przenika poprzez skumulowane działanie wielu wypadków. W tym miejscu przejawia się dialektyka przekształcania przypadku w konieczność (por. F. Engels, w książce: K. Marx i F. Engels, Works, t. 20, s. 535-36).

Rozumowanie logiczne lub indukcyjne charakteryzuje związek między przesłankami a wnioskiem rozumowania niedemonstracyjnego, a w szczególności indukcyjnego. W przeciwieństwie do dedukcji przesłanki indukcji nie gwarantują prawdziwości wniosku, a jedynie czynią go mniej lub bardziej wiarygodnym. Tę wiarygodność, przy precyzyjnie sformułowanych przesłankach, można czasami ocenić za pomocą V. Wartość tego V. określa się najczęściej przez porównanie. pojęcia (więcej niż, mniej niż lub równe), a czasami w sposób numeryczny. Logiczny interpretacja jest często wykorzystywana do analizy rozumowań indukcyjnych i konstruowania różnych systemów logiki probabilistycznej (R. Carnap, R. Jeffrey). W semantyce pojęcia logiczne V. jest często definiowane jako stopień, w jakim jedno stwierdzenie potwierdzają inne (na przykład hipoteza na podstawie jej danych empirycznych).

W związku z rozwojem teorii podejmowania decyzji i gier, tzw personalistyczna interpretacja V. Choć V. wyraża jednocześnie stopień wiary podmiotu i zaistnienie określonego zdarzenia, same V. muszą być tak dobrane, aby spełnione były aksjomaty rachunku V. Dlatego V. przy takiej interpretacji wyraża nie tyle stopień subiektywnej, co raczej rozsądnej wiary. W konsekwencji decyzje podejmowane na podstawie takiego V. będą racjonalne, gdyż nie uwzględniają aspektu psychologicznego. cechy i skłonności podmiotu.

Z epistemologicznym t.zr. różnica między statystyczną a logiczną. i personalistyczne interpretacje V. polegają na tym, że jeśli pierwsza charakteryzuje obiektywne właściwości i zależności zjawisk masowych o charakterze przypadkowym, to dwie ostatnie analizują cechy subiektywne, świadome. działalność człowieka w warunkach niepewności.

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

jedna z najważniejszych koncepcji nauki, charakteryzująca szczególną systemową wizję świata, jego struktury, ewolucji i wiedzy. Specyfika probabilistycznego widzenia świata ujawnia się poprzez włączenie pojęć losowości, niezależności i hierarchii (idei poziomów w strukturze i wyznaczania systemów) do podstawowych pojęć bytu.

Idee dotyczące prawdopodobieństwa powstały już w starożytności i dotyczyły cech naszej wiedzy, przy czym uznano istnienie wiedzy probabilistycznej, która różniła się od wiedzy rzetelnej i wiedzy fałszywej. Wpływ idei prawdopodobieństwa na myślenie naukowe i rozwój wiedzy jest bezpośrednio związany z rozwojem teorii prawdopodobieństwa jako dyscypliny matematycznej. Początki matematycznej doktryny prawdopodobieństwa sięgają XVII wieku, kiedy to pozwolił na rozwój rdzenia pojęć. cechy ilościowe (numeryczne) i wyrażanie idei probabilistycznej.

Intensywne zastosowania prawdopodobieństwa w rozwoju poznania mają miejsce w drugiej połowie. 19 - I piętro XX wiek Prawdopodobieństwo wkroczyło w struktury takich podstawowych nauk przyrodniczych, jak klasyczna fizyka statystyczna, genetyka, teoria kwantowa i cybernetyka (teoria informacji). W związku z tym prawdopodobieństwo uosabia ten etap rozwoju nauki, który obecnie określa się jako naukę nieklasyczną. Aby ukazać nowość i cechy probabilistycznego sposobu myślenia, należy wyjść od analizy przedmiotu teorii prawdopodobieństwa i podstaw jej licznych zastosowań. Teorię prawdopodobieństwa definiuje się zwykle jako dyscyplinę matematyczną badającą wzorce masowych zjawisk losowych w określonych warunkach. Losowość oznacza, że ​​w ramach charakteru masowego istnienie każdego zjawiska elementarnego nie jest zależne i nie jest przez istnienie innych zjawisk determinowane. Jednocześnie masowy charakter zjawisk sam w sobie ma stabilną strukturę i zawiera pewne prawidłowości. Zjawisko masowe dzieli się dość ściśle na podukłady, a względna liczba zjawisk elementarnych w każdym z podukładów (częstotliwość względna) jest bardzo stabilna. Stabilność tę porównuje się z prawdopodobieństwem. Zjawisko masowe jako całość charakteryzuje się rozkładem prawdopodobieństwa, to znaczy poprzez określenie podsystemów i odpowiadających im prawdopodobieństw. Językiem teorii prawdopodobieństwa jest język rozkładów prawdopodobieństwa. W związku z tym teorię prawdopodobieństwa definiuje się jako abstrakcyjną naukę o operowaniu rozkładami.

Prawdopodobieństwo dało początek w nauce ideom dotyczącym wzorców statystycznych i systemów statystycznych. Te ostatnie są układami utworzonymi z niezależnych lub quasi-niezależnych bytów, których strukturę charakteryzują rozkłady prawdopodobieństwa. Ale jak można tworzyć systemy z niezależnych bytów? Zwykle przyjmuje się, że do powstania układów o charakterystyce integralnej konieczne jest istnienie pomiędzy ich elementami dostatecznie stabilnych połączeń cementujących układy. Stabilność systemów statystycznych wynika z obecności warunków zewnętrznych, środowiska zewnętrznego, sił zewnętrznych, a nie wewnętrznych. Sama definicja prawdopodobieństwa zawsze opiera się na ustaleniu warunków powstania początkowego zjawiska masowego. Kolejną ważną ideą charakteryzującą paradygmat probabilistyczny jest idea hierarchii (podporządkowania). Idea ta wyraża związek między cechami poszczególnych elementów a integralnymi cechami systemów: te ostatnie są niejako zbudowane na pierwszym.

Znaczenie metod probabilistycznych w poznaniu polega na tym, że umożliwiają badanie i teoretyczne wyrażanie wzorców budowy i zachowania obiektów i systemów, które mają hierarchiczną, „dwupoziomową” strukturę.

Analiza natury prawdopodobieństwa opiera się na jego częstotliwości, interpretacji statystycznej. Jednocześnie przez bardzo długi czas w nauce dominowało takie rozumienie prawdopodobieństwa, które nazywano prawdopodobieństwem logicznym lub indukcyjnym. Prawdopodobieństwo logiczne interesuje się kwestiami ważności odrębnego, indywidualnego wyroku w określonych warunkach. Czy można ocenić stopień potwierdzenia (rzetelności, prawdziwości) wniosku indukcyjnego (wniosku hipotetycznego) w formie ilościowej? W trakcie rozwoju teorii prawdopodobieństwa takie pytania były wielokrotnie omawiane i zaczęto mówić o stopniach potwierdzenia hipotetycznych wniosków. O tej mierze prawdopodobieństwa decydują informacje, którymi dysponuje dana osoba, jej doświadczenie, poglądy na świat i nastawienie psychiczne. We wszystkich takich przypadkach wielkość prawdopodobieństwa nie podlega ścisłym pomiarom i praktycznie leży poza kompetencjami teorii prawdopodobieństwa jako spójnej dyscypliny matematycznej.

Obiektywna, częstościowa interpretacja prawdopodobieństwa została ugruntowana w nauce ze znacznymi trudnościami. Początkowo na rozumienie natury prawdopodobieństwa duży wpływ miały poglądy filozoficzne i metodologiczne charakterystyczne dla nauki klasycznej. Historycznie rzecz biorąc, rozwój metod probabilistycznych w fizyce nastąpił pod decydującym wpływem idei mechaniki: systemy statystyczne interpretowano po prostu jako mechaniczne. Ponieważ odpowiednich problemów nie udało się rozwiązać ścisłymi metodami mechaniki, pojawiły się twierdzenia, że ​​zwracanie się do metod probabilistycznych i praw statystycznych jest wynikiem niekompletności naszej wiedzy. W historii rozwoju klasycznej fizyki statystycznej podejmowano liczne próby jej uzasadnienia w oparciu o mechanikę klasyczną, ale wszystkie zakończyły się niepowodzeniem. Podstawą prawdopodobieństwa jest to, że wyraża ono cechy strukturalne pewnej klasy układów, innych niż układy mechaniczne: stan elementów tych układów charakteryzuje się niestabilnością i szczególnym (nie sprowadzalnym do mechaniki) charakterem oddziaływań.

Wpis prawdopodobieństwa do wiedzy prowadzi do zaprzeczenia koncepcji twardego determinizmu, do zaprzeczenia podstawowemu modelowi bytu i wiedzy wypracowanemu w procesie kształtowania się nauki klasycznej. Podstawowe modele reprezentowane przez teorie statystyczne mają inny, bardziej ogólny charakter: obejmują one idee losowości i niezależności. Idea prawdopodobieństwa wiąże się z ujawnieniem wewnętrznej dynamiki obiektów i systemów, której nie można całkowicie zdeterminować warunkami i okolicznościami zewnętrznymi.

Koncepcja probabilistycznej wizji świata, opartej na absolutyzacji idei o niezależności (podobnie jak wcześniej paradygmat sztywnego wyznaczania), ujawniła obecnie swoje ograniczenia, czego najmocniejszym wyrazem jest przejście współczesnej nauki na analityczne metody badania systemy złożone oraz fizyczne i matematyczne podstawy zjawisk samoorganizacji.

Doskonała definicja

Niekompletna definicja ↓

Chcesz poznać matematyczne szanse na powodzenie Twojego zakładu? Mamy dla Ciebie dwie dobre wiadomości. Po pierwsze: aby obliczyć zdolność przełajową, nie trzeba wykonywać skomplikowanych obliczeń i spędzać dużo czasu. Wystarczy użyć prostych formuł, których praca zajmie kilka minut. Po drugie: po przeczytaniu tego artykułu możesz łatwo obliczyć prawdopodobieństwo pomyślnego przejścia dowolnej transakcji.

Aby poprawnie określić zdolność przełajową, musisz wykonać trzy kroki:

• Oblicz procent prawdopodobieństwa wyniku zdarzenia według biura bukmacherskiego;
• Oblicz prawdopodobieństwo samodzielnie, korzystając z danych statystycznych;
• Sprawdź wartość zakładu, biorąc pod uwagę oba prawdopodobieństwa.

Przyjrzyjmy się szczegółowo każdemu z kroków, używając nie tylko formuł, ale także przykładów.

Szybkie przejście

Obliczanie prawdopodobieństwa uwzględnionego w kursach bukmacherskich

Pierwszym krokiem jest sprawdzenie, z jakim prawdopodobieństwem bukmacher sam szacuje szanse na dany wynik. Oczywiste jest, że bukmacherzy nie ustalają kursów w ten sposób. W tym celu używamy następującej formuły:

PB=(1/K)*100%,

gdzie P B to prawdopodobieństwo wyniku według biura bukmacherskiego;

K – kursy bukmachera na wynik.

Załóżmy, że kurs na zwycięstwo London Arsenalu w meczu z Bayernem Monachium wynosi 4. Oznacza to, że prawdopodobieństwo ich zwycięstwa bukmacher ocenia na (1/4)*100%=25%. Albo Djokovic gra przeciwko Youzhny’emu. Mnożnik zwycięstwa Novaka wynosi 1,2, jego szanse wynoszą (1/1,2)*100%=83%.

W ten sposób sam bukmacher ocenia szanse na sukces każdego zawodnika i drużyny. Po wykonaniu pierwszego kroku przechodzimy do drugiego.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia przez gracza

Drugim punktem naszego planu jest nasza własna ocena prawdopodobieństwa zdarzenia. Ponieważ nie jesteśmy w stanie matematycznie uwzględnić takich parametrów jak motywacja i ton gry, posłużymy się uproszczonym modelem i wykorzystamy jedynie statystyki z poprzednich spotkań. Aby obliczyć statystyczne prawdopodobieństwo wyniku, używamy wzoru:

PI=(UM/M)*100%,

GdziePI– prawdopodobieństwo zdarzenia według gracza;

UM – liczba udanych meczów, w których wystąpiło takie zdarzenie;

M – łączna liczba dopasowań.

Aby było jaśniej, podamy przykłady. Andy Murray i Rafael Nadal rozegrali między sobą 14 meczów. W 6 z nich suma w meczach wyniosła mniej niż 21, w 8 suma ta była większa. Musisz obliczyć prawdopodobieństwo, że następny mecz zostanie rozegrany z wyższą sumą: (8/14)*100=57%. Valencia rozegrała 74 mecze przeciwko Atlético na Mestalla, w których odniosła 29 zwycięstw. Prawdopodobieństwo wygranej Valencii: (29/74)*100%=39%.

A tego wszystkiego dowiadujemy się dopiero dzięki statystykom z poprzednich gier! Oczywiście nie będzie możliwe obliczenie takiego prawdopodobieństwa dla nowego zespołu lub zawodnika, dlatego ta strategia obstawiania jest odpowiednia tylko w przypadku meczów, w których przeciwnicy spotykają się więcej niż raz. Teraz już wiemy, jak określić prawdopodobieństwo wyniku bukmachera i własne, i mamy całą wiedzę, aby przejść do ostatniego kroku.

Ustalanie wartości zakładu

Wartość (wartość) zakładu i przejezdność mają ze sobą bezpośredni związek: im wyższa wartość, tym większa szansa na spasowanie. Wartość oblicza się w następujący sposób:

V=PI*K-100%,

gdzie V jest wartością;

P I – prawdopodobieństwo wyniku według obstawiającego;

K – kursy bukmachera na wynik.

Załóżmy, że chcemy obstawić zwycięstwo Milanu w meczu z Romą i obliczamy, że prawdopodobieństwo wygranej „czerwono-czarnych” wynosi 45%. Bukmacher oferuje nam na ten wynik kurs 2,5. Czy taki zakład byłby wartościowy? Wykonujemy obliczenia: V=45%*2,5-100%=12,5%. Świetnie, mamy wartościowy zakład z dużymi szansami na pasowanie.

Weźmy inny przypadek. Maria Szarapowa zagra z Petrą Kvitovą. Chcemy zawrzeć układ na zwycięstwo Marii, którego prawdopodobieństwo według naszych obliczeń wynosi 60%. Bukmacherzy oferują dla tego wyniku mnożnik 1,5. Ustalamy wartość: V=60%*1,5-100=-10%. Jak widać, ten zakład nie ma żadnej wartości i należy go unikać.