W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczonej liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy ze sformułowaniem takiego problemu spotykamy się w szkole średniej, kiedy właśnie zakończyliśmy naukę całek oznaczonych i przyszedł czas na geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

Zatem, co jest potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

• Umiejętność wykonywania kompetentnych rysunków;
• Umiejętność rozwiązania całki oznaczonej przy użyciu znanego wzoru Newtona-Leibniza;
• Możliwość „dostrzeżenia” bardziej opłacalnej opcji rozwiązania – tj. rozumiesz, jak wygodniej będzie przeprowadzić integrację w tym czy innym przypadku? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
• Cóż, gdzie bylibyśmy bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać całki innego rodzaju i prawidłowe obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania pola figury ograniczonego liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w kratkę, na dużą skalę. Nazwę tej funkcji podpisujemy ołówkiem nad każdym wykresem. Podpisywanie wykresów odbywa się wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu żądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice całkowania zostaną zastosowane. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub niewymierne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeżeli granice całkowania nie są wyraźnie określone, to znajdujemy punkty przecięcia wykresów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pokrywa się z rozwiązaniem analitycznym.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od układu wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Przyjrzyjmy się różnym przykładom znajdowania obszaru figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczna i najprostsza wersja problemu polega na tym, że trzeba znaleźć obszar zakrzywionego trapezu. Co to jest zakrzywiony trapez? Jest to płaska figura ograniczona osią x (y = 0), prosty x = a, x = b i dowolna krzywa ciągła w przedziale od A zanim B. Co więcej, liczba ta nie jest ujemna i nie znajduje się poniżej osi x. W tym przypadku pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe pewnej całce obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakimi liniami ograniczona jest figura? Mamy parabolę y = x2 – 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, to nie jest ujemne, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli mają wartości dodatnie. Następnie podane linie proste x = 1 I x = 3, które biegną równolegle do osi Jednostka organizacyjna, to linie graniczne figury po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, jest to także oś x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowa figura jest zacieniowana, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz natychmiast przystąpić do rozwiązywania problemu. Przed nami prosty przykład zakrzywionego trapezu, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 zbadaliśmy przypadek, gdy zakrzywiony trapez znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, gdy warunki zadania są takie same, z tą różnicą, że funkcja leży pod osią x. Do standardowego wzoru Newtona-Leibniza dodaje się minus. Poniżej zastanowimy się, jak rozwiązać taki problem.

Przykład 2 . Oblicz pole figury ograniczone liniami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

W tym przykładzie mamy parabolę y = x2 + 6x + 2, który pochodzi z osi OH, prosty x = -4, x = -1, y = 0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną liczbę od góry. Bezpośredni x = -4 I x = -1 są to granice, w obrębie których obliczana będzie całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia pola figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia, a także jest ciągła na przedziale [-4; -1] . Co masz na myśli mówiąc, że nie jest pozytywny? Jak widać na rysunku, liczba znajdująca się w obrębie podanych x ma wyłącznie współrzędne „ujemne”, o czym musimy pamiętać i co musimy zobaczyć podczas rozwiązywania problemu. Pole figury szukamy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.

Przejdźmy do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadania obliczanie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej. Wreszcie, niech znajdą go wszyscy, którzy szukają sensu w wyższej matematyce. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć działkę daczy za pomocą funkcji elementarnych i znaleźć jej pole za pomocą całki oznaczonej.

Aby pomyślnie opanować materiał, musisz:

1) Zrozumieć całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.

2) Potrafić zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Z pewnymi całkami na stronie możesz nawiązać ciepłe przyjazne relacje Określona całka. Przykłady rozwiązań. Zadanie „obliczyć pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z wykonaniem rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe również będą istotne. Musisz przynajmniej umieć skonstruować linię prostą, parabolę i hiperbolę.

Zacznijmy od zakrzywionego trapezu. Zakrzywiony trapez to płaska figura ograniczona wykresem jakiejś funkcji y = F(X), oś WÓŁ i linie X = A; X = B.

Pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe całce oznaczonej

Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań powiedzieliśmy, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas podać kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE. To jest, całka oznaczona (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy całkę oznaczoną

Integrand

definiuje krzywą na płaszczyźnie (można ją narysować w razie potrzeby), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

, , , .

Jest to typowa instrukcja przypisania. Najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi zostać skonstruowany PRAWIDŁOWY.

Podczas konstruowania rysunku zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest konstruować wszystkie linie proste (jeśli istnieją) i tylko Następnie– parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Technikę konstrukcji punkt po punkcie można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Znajdziesz tam również bardzo przydatny materiał do naszej lekcji - jak szybko zbudować parabolę.

W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.

Zróbmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie y= 0 określa oś WÓŁ):

Nie będziemy cieniować zakrzywionego trapezu, tutaj jest oczywiste, o jakim obszarze mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:

Na odcinku [-2; 1] wykres funkcji y = X 2 + 2 zlokalizowane nad osiąWÓŁ, Dlatego:

Odpowiedź: .

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza

,

odsyłam do wykładu Określona całka. Przykłady rozwiązań. Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku liczbę komórek na rysunku liczymy „na oko” - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz pole figury ograniczone liniami xy = 4, X = 2, X= 4 i oś WÓŁ.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osiąWÓŁ?

Przykład 3

Oblicz pole figury ograniczone liniami y = były, X= 1 i osie współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli zakrzywiony trapez całkowicie umieszczony pod osią WÓŁ , to jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru:

W tym przypadku:

.

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch typów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, wówczas może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y = 2X – X 2 , y = -X.

Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Konstruując rysunek w problemach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli y = 2X – X 2 i prosto y = -X. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Oznacza to, że dolna granica całkowania A= 0, górna granica całkowania B= 3. Często bardziej opłaca się i szybciej jest konstruować linie punkt po punkcie, a granice całkowania stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

Powtórzmy, że przy konstruowaniu punktowym granice całkowania wyznaczane są najczęściej „automatycznie”.

A teraz działający wzór:

Jeśli w segmencie [ A; B] jakaś funkcja ciągła F(X) większe bądź równe jakaś funkcja ciągła G(X), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie musisz już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią, ale ważne jest, który wykres jest WYŻSZY(w stosunku do innego wykresu), i który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, a zatem od 2 X – X 2 należy odjąć – X.

Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:

Pożądana liczba jest ograniczona parabolą y = 2X – X 2 na górze i prosto y = -X poniżej.

W segmencie 2 X – X 2 ≥ -X. Zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź: .

W rzeczywistości szkolny wzór na obszar krzywoliniowego trapezu w dolnej półpłaszczyźnie (patrz przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem wzoru

.

Ponieważ oś WÓŁ dane równaniem y= 0 i wykres funkcji G(X) umieszczonego poniżej osi WÓŁ, To

.

A teraz kilka przykładów własnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury ograniczony liniami

Podczas rozwiązywania problemów związanych z obliczaniem pola za pomocą całki oznaczonej czasami zdarza się zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były prawidłowe, ale przez nieostrożność... Znaleziono obszar niewłaściwej figury.

Przykład 7

Najpierw zróbmy rysunek:

Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko(przyjrzyj się uważnie stanowi - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi ludzie często decydują, że muszą znaleźć obszar figury zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku [-1; 1] powyżej osi WÓŁ wykres leży prosto y = X+1;

2) Na odcinku powyżej osi WÓŁ znajduje się wykres hiperboli y = (2/X).

Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem:

Odpowiedź:

Przykład 8

Oblicz pole figury ograniczone liniami

Przedstawmy równania w formie „szkolnej”.

i wykonaj rysunek punkt po punkcie:

Z rysunku jasno wynika, że ​​nasza górna granica jest „dobra”: B = 1.

Ale jaka jest dolna granica?! Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co to jest?

Może, A=(-1/3)? Ale gdzie jest gwarancja, że ​​rysunek zostanie wykonany z doskonałą dokładnością, może się to okazać A=(-1/4). A co jeśli nieprawidłowo zbudowaliśmy wykres?

W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie wyjaśnić granice integracji.

Znajdźmy punkty przecięcia wykresów

W tym celu rozwiązujemy równanie:

.

Stąd, A=(-1/3).

Dalsze rozwiązanie jest banalne. Najważniejsze, aby nie pomylić się z podstawieniami i znakami. Obliczenia w tym przypadku nie należą do najprostszych. Na segmencie

, ,

według odpowiedniego wzoru:

Odpowiedź:

Na zakończenie lekcji spójrzmy na dwa trudniejsze zadania.

Przykład 9

Oblicz pole figury ograniczone liniami

Rozwiązanie: Przedstawmy tę figurę na rysunku.

Aby skonstruować rysunek punkt po punkcie, musisz znać wygląd sinusoidy. Ogólnie rzecz biorąc, przydatna jest znajomość wykresów wszystkich funkcji elementarnych, a także niektórych wartości sinusoidalnych. Można je znaleźć w tabeli wartości funkcje trygonometryczne. W niektórych przypadkach (na przykład w tym przypadku) możliwe jest zbudowanie schematycznego rysunku, na którym powinny być zasadniczo poprawnie wyświetlane wykresy i granice całkowania.

Nie ma tu problemów z granicami całkowania, wynikają one wprost z warunku:

– „x” zmienia się z zera na „pi”. Podejmijmy dalszą decyzję:

Na segmencie wykres funkcji y= grzech 3 X umieszczony nad osią WÓŁ, Dlatego:

(1) Na lekcji możesz zobaczyć, jak sinusy i cosinusy są całkowane do potęg nieparzystych Całki funkcji trygonometrycznych. Uszczypujemy jedną zatokę.

(2) W formie używamy głównej tożsamości trygonometrycznej

(3) Zmieńmy zmienną T=co X, to: znajduje się powyżej osi, zatem:

.

.

Notatka: zwróć uwagę, jak obliczana jest całka stycznej do sześcianu; zastosowano tutaj wniosek z podstawowej tożsamości trygonometrycznej

.

Tak naprawdę, aby znaleźć pole figury, nie potrzeba aż tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „obliczyć pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z wykonaniem rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności rysowania będą znacznie bardziej palącą kwestią. W związku z tym przydatne jest odświeżenie pamięci o wykresach podstawowych funkcji elementarnych i przynajmniej umiejętność skonstruowania linii prostej i hiperboli.

Zakrzywiony trapez to płaska figura ograniczona osią, liniami prostymi i wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku w tym przedziale. Niech ta liczba zostanie zlokalizowana nie mniej oś x:

Następnie powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa całce oznaczonej. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne.

Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE.

To jest, pewna całka (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną. Całka definiuje krzywą na płaszczyźnie znajdującej się nad osią (chętni mogą narysować), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

Jest to typowa instrukcja przypisania. Pierwszym i najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi zostać skonstruowany PRAWIDŁOWY.

Podczas konstruowania rysunku zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest konstruować wszystkie linie proste (jeśli istnieją) i tylko Następnie- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Bardziej opłacalne jest budowanie wykresów funkcji punkt po punkcie.

W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.
Narysujmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie definiuje oś):

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, Dlatego:

Odpowiedź:

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej danej osi), to jej pole można obliczyć korzystając ze wzoru:

W tym przypadku:

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch typów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, wówczas może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami , .

Rozwiązanie: Najpierw musisz ukończyć rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i linii prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Oznacza to, że dolna granica całkowania to , górna granica całkowania to .

Jeśli to możliwe, lepiej nie stosować tej metody..

O wiele bardziej opłaca się i szybciej jest konstruować linie punkt po punkcie, a granice integracji stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Rozważymy również taki przykład.

Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

A teraz działająca formuła: Jeśli w segmencie istnieje jakaś funkcja ciągła większe bądź równe jakaś funkcja ciągła , wówczas obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami , można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie musisz już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ważne jest, który wykres jest WYŻSZY(w stosunku do innego wykresu), i który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej

Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.
Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Przykład 4

Oblicz pole figury ograniczone liniami , , , .

Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:

Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko(przyjrzyj się uważnie stanowi - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi często pojawia się „błąd”, polegający na tym, że trzeba znaleźć obszar figury zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych.

Naprawdę:

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem:

Problem 1(o obliczaniu pola zakrzywionego trapezu).

W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych xOy podana jest figura (patrz rysunek) ograniczona osią x, liniami prostymi x = a, x = b (a za pomocą krzywoliniowego trapezu. Konieczne jest obliczenie pola krzywoliniowego trapez.
Rozwiązanie. Geometria daje nam recepty na obliczanie pól wielokątów i niektórych części koła (sektora, odcinka). Korzystając z rozważań geometrycznych, możemy znaleźć jedynie przybliżoną wartość wymaganej powierzchni, rozumując w następujący sposób.

Podzielmy odcinek [a; b] (podstawa zakrzywionego trapezu) na n równych części; podział ten przeprowadza się za pomocą punktów x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Narysujmy przez te punkty proste linie równoległe do osi y. Następnie dany trapez krzywoliniowy zostanie podzielony na n części, na n wąskich kolumn. Pole całego trapezu jest równe sumie pól kolumn.

Rozważmy k-tą kolumnę osobno, tj. zakrzywiony trapez, którego podstawą jest odcinek. Zastąpmy go prostokątem o tej samej podstawie i wysokości równej f(x k) (patrz rysunek). Pole prostokąta jest równe \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdzie \(\Delta x_k \) to długość odcinka; Naturalne jest rozważenie powstałego produktu jako przybliżonej wartości pola k-tej kolumny.

Jeśli teraz zrobimy to samo ze wszystkimi pozostałymi kolumnami, dojdziemy do następującego wyniku: pole S danego trapezu krzywoliniowego jest w przybliżeniu równe polu S n figury schodkowej złożonej z n prostokątów (patrz rysunek):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tutaj, dla zachowania jednolitości zapisu, zakładamy, że a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - długość odcinka, \(\Delta x_1 \) - długość odcinka itp.; w tym przypadku, jak ustaliliśmy powyżej, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Zatem \(S \około S_n \) i ta przybliżona równość jest dokładniejsza, im większe n.
Z definicji uważa się, że wymagana powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest równa granicy ciągu (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o przesuwaniu punktu)
Punkt materialny porusza się po linii prostej. Zależność prędkości od czasu wyraża się wzorem v = v(t). Znajdź ruch punktu w pewnym okresie czasu [a; B].
Rozwiązanie. Gdyby ruch był jednostajny, problem zostałby rozwiązany w bardzo prosty sposób: s = vt, tj. s = v(b-a). W przypadku nierównego ruchu trzeba posłużyć się tymi samymi pomysłami, na których opierało się rozwiązanie poprzedniego problemu.
1) Podziel przedział czasu [a; b] na n równych części.
2) Rozważmy okres czasu i załóżmy, że w tym czasie prędkość była stała, taka sama jak w chwili t k. Zakładamy więc, że v = v(t k).
3) Znajdźmy przybliżoną wartość ruchu punktu w czasie i tę przybliżoną wartość oznaczymy jako sk
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia s:
\(s \około S_n \) gdzie
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Wymagane przemieszczenie jest równe granicy ciągu (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Podsumujmy. Rozwiązania różnych problemów sprowadzono do tego samego modelu matematycznego. Wiele problemów z różnych dziedzin nauki i techniki prowadzi w procesie rozwiązania do tego samego modelu. Oznacza to, że ten model matematyczny musi zostać specjalnie przestudiowany.

Pojęcie całki oznaczonej

Podajmy opis matematyczny modelu, który zbudowano w trzech rozpatrywanych problemach dla funkcji y = f(x), ciągłej (ale niekoniecznie nieujemnej, jak założono w rozważanych zagadnieniach) na przedziale [a; B]:
1) podzielić odcinek [a; b] na n równych części;
2) uzupełnij sumę $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) oblicz $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

W toku analizy matematycznej wykazano, że granica ta istnieje w przypadku funkcji ciągłej (lub fragmentarycznie ciągłej). Jest on nazywany pewna całka funkcji y = f(x) po odcinku [a; B] i oznaczone następująco:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Liczby a i b nazywane są granicami całkowania (odpowiednio dolną i górną).

Wróćmy do zadań omówionych powyżej. Definicję obszaru podaną w Zadaniu 1 można teraz przepisać w następujący sposób:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tutaj S jest obszarem krzywoliniowego trapezu pokazanego na powyższym rysunku. To jest geometryczne znaczenie całki oznaczonej.

Definicja przemieszczenia s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w czasie od t = a do t = b, podana w Zadaniu 2, może zostać przepisana następująco:

Wzór Newtona-Leibniza

Najpierw odpowiedzmy sobie na pytanie: jaki jest związek pomiędzy całką oznaczoną a funkcją pierwotną?

Odpowiedź można znaleźć w Zadaniu 2. Z jednej strony przemieszczenie s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w okresie od t = a do t = b oblicza się ze wzoru Formuła
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Z drugiej strony współrzędna poruszającego się punktu jest funkcją pierwotną prędkości - oznaczmy ją jako s(t); oznacza to, że przemieszczenie s wyraża się wzorem s = s(b) – s(a). W rezultacie otrzymujemy:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdzie s(t) jest funkcją pierwotną v(t).

W toku analizy matematycznej udowodniono następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła na przedziale [a; b], to formuła jest ważna
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdzie F(x) jest funkcją pierwotną f(x).

Podana formuła jest zwykle wywoływana Wzór Newtona-Leibniza na cześć angielskiego fizyka Izaaka Newtona (1643-1727) i niemieckiego filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), którzy otrzymali go niezależnie od siebie i niemal jednocześnie.

W praktyce zamiast pisać F(b) - F(a), używają notacji \(\left. F(x)\right|_a^b \) (czasami nazywa się to podwójna substytucja) i odpowiednio przepisz wzór Newtona-Leibniza w następującej postaci:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Obliczając całkę oznaczoną, najpierw znajdź funkcję pierwotną, a następnie wykonaj podwójne podstawienie.

Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza możemy otrzymać dwie własności całki oznaczonej.

Właściwość 1. Całka z sumy funkcji jest równa sumie całek:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Własność 2. Stały współczynnik można wyjąć ze znaku całki:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Obliczanie pól figur płaskich za pomocą całki oznaczonej

Za pomocą całki możesz obliczyć obszary nie tylko zakrzywionych trapezów, ale także figur płaskich bardziej złożonego typu, na przykład pokazanego na rysunku. Figurę P ograniczają proste x = a, x = b oraz wykresy funkcji ciągłych y = f(x), y = g(x) oraz na odcinku [a; b] zachodzi nierówność \(g(x) \leq f(x) \). Aby obliczyć pole S takiej figury, postępujemy w następujący sposób:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Zatem pole S figury ograniczone liniami prostymi x = a, x = b oraz wykresami funkcji y = f(x), y = g(x), ciągłe na odcinku i takie, że dla dowolnego x z odcinka [A; b] nierówność \(g(x) \leq f(x) \) jest spełniona, obliczona ze wzoru
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabela całek nieoznaczonych (pierwotnych) niektórych funkcji

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Zadanie nr 3. Zrób rysunek i oblicz obszar figury ograniczony liniami

Zastosowanie całki do rozwiązywania problemów stosowanych

Obliczanie powierzchni

Całka oznaczona ciągłej nieujemnej funkcji f(x) jest liczbowo równa obszar krzywoliniowego trapezu ograniczony krzywą y = f(x), osią O x i liniami prostymi x = a i x = b. Zgodnie z tym wzór na powierzchnię zapisuje się w następujący sposób:

Spójrzmy na kilka przykładów obliczania pól figur płaskich.

Zadanie nr 1. Oblicz pole ograniczone liniami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Rozwiązanie. Skonstruujmy figurę, której pole będziemy musieli obliczyć.

y = x 2 + 1 to parabola, której ramiona są skierowane w górę, a parabola jest przesunięta w górę o jedną jednostkę w stosunku do osi O y (rysunek 1).

Rysunek 1. Wykres funkcji y = x 2 + 1

Zadanie nr 2. Oblicz pole ograniczone liniami y = x 2 – 1, y = 0 w zakresie od 0 do 1.

Rozwiązanie. Wykres tej funkcji jest parabolą gałęzi skierowanych w górę, przy czym parabola jest przesunięta względem osi O y w dół o jedną jednostkę (rysunek 2).

Rysunek 2. Wykres funkcji y = x 2 – 1

Zadanie nr 3. Zrób rysunek i oblicz obszar figury ograniczony liniami

y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.

Rozwiązanie. Pierwsza z tych dwóch linii to parabola z ramionami skierowanymi w dół, ponieważ współczynnik x 2 jest ujemny, a druga linia to linia prosta przecinająca obie osie współrzędnych.

Aby skonstruować parabolę, znajdujemy współrzędne jej wierzchołka: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – odcięta wierzchołka; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 to jego rzędna, N(1;9) to wierzchołek.

Znajdźmy teraz punkty przecięcia paraboli i prostej, rozwiązując układ równań:

Zrównywanie prawych stron równania, którego lewe strony są równe.

Otrzymujemy 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 lub x 2 – 12 = 0, skąd .

Zatem punkty są punktami przecięcia paraboli i linii prostej (rysunek 1).

Rysunek 3 Wykresy funkcji y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Konstruujemy prostą y = 2x – 4. Przechodzi ona przez punkty (0;-4), (2;0) na osiach współrzędnych.

Do skonstruowania paraboli można także wykorzystać jej punkty przecięcia z osią 0x, czyli pierwiastki równania 8 + 2x – x 2 = 0 lub x 2 – 2x – 8 = 0. Korzystając z twierdzenia Viety, jest to łatwe znaleźć pierwiastki: x 1 = 2, x 2 = 4.

Rysunek 3 pokazuje figurę (odcinek paraboliczny M 1 N M 2) ograniczoną tymi liniami.

Drugą częścią problemu jest znalezienie obszaru tej figury. Jego pole można obliczyć korzystając z całki oznaczonej ze wzoru .

W odniesieniu do tego warunku otrzymujemy całkę:

2 Obliczanie objętości ciała wirującego

Objętość ciała otrzymaną z obrotu krzywej y = f(x) wokół osi O x oblicza się ze wzoru:

Przy obrocie wokół osi O y formuła wygląda następująco:

Zadanie nr 4. Wyznacz objętość ciała uzyskaną z obrotu zakrzywionego trapezu ograniczonego liniami prostymi x = 0 x = 3 i krzywą y = wokół osi O x.

Rozwiązanie. Narysujmy obrazek (ryc. 4).

Rysunek 4. Wykres funkcji y =

Wymagana objętość to

Zadanie nr 5. Oblicz objętość ciała uzyskaną z obrotu zakrzywionego trapezu ograniczonego krzywą y = x 2 i liniami prostymi y = 0 i y = 4 wokół osi O y.

Rozwiązanie. Mamy:

Przejrzyj pytania