Úvod
Študijné otázky:
Pojmy a definície matematickej logiky.
Základné operácie výrokovej algebry.
Zákony a dôsledky Booleovej algebry.
Záver
Úvod
Teoretickým základom pre konštrukciu počítača sú špeciálne matematické disciplíny. Jednou z nich je algebra logiky, alebo Booleovská algebra (J. Boole je anglický matematik 19. storočia, zakladateľ tejto disciplíny). Jeho aparatúra je široko používaná na popis počítačových obvodov, ich návrh a optimalizáciu.
1. Pojmy a definície matematickej logiky.
Logika- veda, ktorá študuje zákony a formy myslenia; doktrína metód uvažovania a dôkazov.
Matematická logika (teoretická logika, symbolická logika) je odvetvie matematiky, ktoré študuje dôkazy a otázky základov matematiky. "Téma modernej matematickej logiky je rôznorodá." Podľa definície P. S. Poretského je „matematická logika logikou podľa predmetu, matematika podľa metódy“. Podľa definície N.I. Kondakova je „matematická logika po tradičnej logike druhou etapou vývoja formálnej logiky, ktorá využíva matematické metódy a špeciálny aparát symbolov a skúma myslenie pomocou kalkulu (formalizovaných jazykov). Táto definícia zodpovedá definícii S. K. Kleene: matematická logika je „logika vyvinutá pomocou matematických metód“. Aj A. A. Markov definuje modernú logiku ako „presnú vedu, ktorá využíva matematické metódy“. Všetky tieto definície si neprotirečia, ale navzájom sa dopĺňajú.
Použitie matematických metód v logike je možné, keď sú úsudky formulované v nejakom presnom jazyku. Takéto presné jazyky majú dve stránky: syntax a sémantiku. Syntax je súbor pravidiel na vytváranie jazykových objektov (zvyčajne nazývaných vzorce). Sémantika je súbor konvencií, ktoré opisujú naše chápanie vzorcov (alebo niektorých z nich) a umožňujú nám považovať niektoré vzorce za pravdivé a iné nie.
Matematická logika študuje základné logické súvislosti a vzťahy logický (deduktívny) záver, pomocou jazyka matematiky.
Prostredníctvom abstraktného myslenia sa učíme zákony sveta, podstatu predmetov a to, čo majú spoločné. Hlavnými formami abstraktného myslenia sú pojmy, úsudky a závery.
koncepcia- forma myslenia, ktorá odráža podstatné znaky jednotlivého predmetu alebo triedy homogénnych predmetov. Pojmy v jazyku sú vyjadrené slovami.
Rozsah koncepcie- súbor predmetov, z ktorých každý má vlastnosti tvoriace obsah pojmu. Existujú všeobecné a individuálne pojmy.
Podľa objemu sa rozlišujú tieto vzťahy pojmov:
identity alebo koincidencia objemov, čo znamená, že objem jedného konceptu sa rovná objemu iného konceptu;
podriadenosti alebo zahrnutie zväzkov: rozsah jedného z pojmov je úplne zahrnutý do rozsahu druhého;
výnimkou zväzky - prípad, v ktorom nie je jediný znak, ktorý by bol v dvoch zväzkoch;
križovatka alebo čiastočná zhoda objemov;
podriadenosti zväzky - prípad, keď zväzky dvoch pojmov, ktoré sa navzájom vylučujú, sú zahrnuté do zväzku tretieho.
Rozsudok- je to forma myslenia, v ktorej sa niečo potvrdzuje alebo popiera o objektoch, vlastnostiach alebo ich vzťahoch.
Záver- forma myslenia, prostredníctvom ktorej z jedného alebo viacerých úsudkov, nazývaných premisy, získavame podľa určitých pravidiel vyvodzovania úsudok-záver.
Algebra v najširšom zmysle slova náuka o všeobecných operáciách, podobných sčítaniu a násobeniu, ktoré možno vykonávať nielen na číslach, ale aj na iných matematických objektoch.
Algebra logiky (výroková algebra, Booleova algebra 1 ) - oddiel matematickej logiky, v ktorom sa študujú logické operácie s výrokmi. Najčastejšie sa predpokladá (tzv. binárna alebo binárna logika, na rozdiel napr. od ternárnej logiky), že tvrdenia môžu byť iba pravdivé alebo nepravdivé.
Príklady algebier: algebra prirodzených čísel, algebra racionálnych čísel, algebra polynómov, algebra vektorov, algebra matíc, algebra množín atď. Objektmi algebry logiky alebo Booleovej algebry sú výroky.
Vyhlásenie- je akákoľvek veta akéhokoľvek jazyka (výrok), ktorej obsah možno určiť ako pravdivý alebo nepravdivý.
Akékoľvek vyjadrenie resp pravda, alebo falošný; nemôže to byť oboje súčasne.
V prirodzenom jazyku sú výroky vyjadrené oznamovacími vetami. Zvolacie a opytovacie vety nie sú výroky.
Výroky môžu byť vyjadrené pomocou matematických, fyzikálnych, chemických a iných symbolov. Môžete vytvoriť tvrdenia z dvoch číselných výrazov ich spojením so znamienkami rovnosti alebo nerovnosti.
Výpis je tzv jednoduché(elementárna), ak žiadna jej časť sama osebe nie je vyhlásením.
Výrok pozostávajúci z jednoduchých výrokov sa nazýva zložený(komplikované).
Jednoduché výroky v logickej algebre sa označujú veľkými latinskými písmenami:
A= (Aristoteles - zakladateľ logiky),
IN= (Na jabloniach rastú banány).
O opodstatnenosti pravdivosti alebo nepravdivosti jednoduchých tvrdení sa rozhoduje mimo algebry logiky. Napríklad pravdivosť alebo nepravdivosť výroku: „Súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov“ je stanovená geometriou a v Euklidovej geometrii je toto tvrdenie pravdivé a v Lobačevského nepravdivé.
Pravdivému tvrdeniu je priradená 1, nepravdivému 0. A = 1, IN = 0.
Algebra logiky je abstrahovaná od sémantického obsahu výrokov. Zaujíma ju len jeden fakt – či je daný výrok pravdivý alebo nepravdivý, čo umožňuje určiť pravdivosť alebo nepravdivosť zložených výrokov algebraickými metódami.
MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE
Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania
"ŠTÁTNA PEDAGOGICKÁ UNIVERZITA LIPETSK"
Fakulta fyziky, matematiky a informatiky
Katedra matematiky
Test na tému:
"História vývoja matematickej logiky"
Vykonané:
študent 2. ročníka
Skupina MF-2
Ponamareva Victoria Sergeevna
Vedecký poradca:
Ph.D. Sc., docent
Ershova Alexandra Alekseevna
Lipetsk, 2014
Úvod
§1. História vzniku matematickej logiky
§2. Aplikácia matematickej logiky
§3. Matematická logika v technike
§4. Matematická logika v kryptografii
§5. Matematická logika v programovaní
Záver
Bibliografia
matematický zápis kryptografia logické programovanie
Úvod
Logika<#"center">§1. História vzniku matematickej logiky
Matematická logika úzko súvisí s logikou a vďačí jej za svoj vznik. Základy logiky, vedy o zákonoch a formách ľudského myslenia (odtiaľ jeden z jej názvov – formálna logika), položil najväčší starogrécky filozof Aristoteles (384 – 322 pred Kr.), ktorý vo svojich pojednaniach dôkladne preskúmal terminológiu logiky, podrobne rozobral teóriu inferencií a dôkazov, opísal množstvo logických operácií, sformuloval základné zákony myslenia vrátane zákonov protirečenia a vylúčenia tretieho. Aristotelov príspevok k logike je veľmi veľký, nie bezdôvodne sa nazýva Aristotelova logika. Sám Aristoteles poznamenal, že veda, ktorú vytvoril, a matematika (vtedy nazývaná aritmetika) mali veľa spoločného. Pokúsil sa spojiť tieto dve vedy, a to znížiť reflexiu, alebo skôr odvodenie, na výpočet založený na počiatočných princípoch. Aristoteles sa v jednom zo svojich pojednaní priblížil k jednému z odvetví matematickej logiky – teórii dôkazov.
Následne mnohí filozofi a matematici rozvíjali jednotlivé ustanovenia logiky a niekedy dokonca načrtli kontúry moderného výrokového počtu, no najbližšie k vytvoreniu matematickej logiky sa dostal už v druhej polovici 17. storočia vynikajúci nemecký vedec Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 - 1716), ktorý ukázal cestu k prekladu logiky „z verbálneho kráľovstva plného neistôt do kráľovstva matematiky, kde sú vzťahy medzi predmetmi alebo výrokmi definované s úplnou presnosťou“. Leibniz dokonca dúfal, že v budúcnosti filozofi namiesto bezvýsledných hádok zoberú papier a zistia, ktorý z nich má pravdu. Zároveň sa Leibniz vo svojich prácach dotkol aj binárneho číselného systému.
Treba poznamenať, že myšlienka použitia dvoch znakov na kódovanie informácií je veľmi stará. Austrálski domorodci počítali po dvoch a niektoré kmene lovcov a zberačov z Novej Guiney a Južnej Ameriky tiež používali binárny systém počítania. Niektoré africké kmene prenášajú správy pomocou bubnov vo forme kombinácií zvonenia a tupých úderov. Známym príkladom dvojznakového kódovania je Morseova abeceda, kde sú písmená abecedy reprezentované určitými kombináciami bodiek a pomlčiek.
Po Leibnizovi robilo výskum v tejto oblasti veľa vynikajúcich vedcov, no skutočný úspech tu dosiahol anglický matematik-samouk George Boole (1815-1864), ktorého odhodlanie nemalo hraníc. Finančná situácia Georgových rodičov (ktorých otec bol obuvník) mu umožňovala absolvovať iba základnú školu pre chudobných. Po nejakom čase si Buhl, ktorý vystriedal niekoľko povolaní, otvoril malú školu, kde učil. Veľa času venoval sebavzdelávaniu a čoskoro sa začal zaujímať o myšlienky symbolickej logiky. V roku 1847 Boole publikoval článok „Mathematical Analysis of Logic or Experience in the Calculus of Deductive Inferences“ a v roku 1854 svoju hlavnú prácu „Štúdium zákonov myslenia, na ktorých sú založené matematické teórie logiky a pravdepodobnosti“. objavil.
Boole vynašiel druh algebry - systém zápisov a pravidiel použiteľných pre všetky druhy objektov, od čísel a písmen až po vety. Pomocou tohto systému mohol zakódovať výroky (výroky, ktoré bolo potrebné dokázať ako pravdivé alebo nepravdivé) pomocou symbolov svojho jazyka a potom s nimi manipulovať, podobne ako sa manipuluje s číslami v matematike. Základné operácie Booleovej algebry sú konjunkcia (AND), disjunkcia (OR) a negácia (NOT).
Po určitom čase sa ukázalo, že Booleov systém je vhodný na popis elektrických spínacích obvodov. Prúd v obvode môže pretekať alebo nie, rovnako ako vyhlásenie môže byť pravdivé alebo nepravdivé. A o niekoľko desaťročí neskôr, už v 20. storočí, vedci spojili matematický aparát vytvorený Georgeom Boolom s binárnym číselným systémom, čím položili základ pre vývoj digitálneho elektronického počítača.
Určitých ustanovení Booleovej práce sa do tej či onej miery pred ním aj po ňom dotkli iní matematici a logici. Dnes sa však v tejto oblasti medzi matematických klasikov zaraďujú práve diela Georga Boolea a on sám je právom považovaný za zakladateľa matematickej logiky a o to viac jej najdôležitejších častí – algebry logiky (Booleova algebra ) a algebra výrokov.
K rozvoju logiky výrazne prispeli aj ruskí vedci P.S. Poretsky (1846-1907), I.I. Zhegalkin (1869-1947).
V 20. storočí zohral obrovskú úlohu vo vývoji matematickej logiky D. Hilbert (1862-1943), ktorý navrhol program na formalizáciu matematiky spojený s rozvojom základov samotnej matematiky. Napokon, v posledných desaťročiach 20. storočia bol rýchly rozvoj matematickej logiky spôsobený rozvojom teórie algoritmov a algoritmických jazykov, teórie automatov, teórie grafov (S.K. Kleene, A. Church, A.A Markov, P.S. Novikov, Hegel a mnohí ďalší).
Hegel (1770-1831) hovoril veľmi ironicky o zákone protirečenia a zákone vylúčeného stredu. Predovšetkým to posledné predstavil v tejto podobe: „Duch je zelený alebo nie je zelený“ a položil „záludnú“ otázku: ktorý z týchto dvoch výrokov je pravdivý? Odpoveď na túto otázku však nie je ťažká. Ani jedno z dvoch tvrdení: „Duch je zelený“ a „Duch nie je zelený“ nie je pravdivé, pretože obe sú nezmyselné. Zákon vylúčeného stredu platí len pre zmysluplné výroky. Iba oni môžu byť pravdivé alebo nepravdivé. Čo je nezmyselné, nie je ani pravda, ani nepravda. Hegelova kritika logických zákonov bola založená, ako to často býva, na tom, že im dal zmysel, ktorý nemajú, a prisúdil im funkcie, ku ktorým nemajú žiaden vzťah. Príkladom tohto prístupu je prípad kritiky zákona vylúčeného stredu. Kritika zákona vylúčeného stredu (L. Bauer) viedla k vytvoreniu nového smeru v logike - intuicionistickej logiky. V druhom prípade tento zákon nie je akceptovaný a všetky metódy uvažovania, ktoré sú s ním spojené, sú vyradené. Medzi odmietnutými je napríklad dôkaz, ktorý vedie k rozporu alebo absurdite.
Chcel by som upozorniť na podstatu akejkoľvek kritiky zákonov formálnej logiky: všetci priaznivci konceptu „rozšírenia“ formálnej logiky posúvajú ťažisko logického výskumu od štúdia správnych metód uvažovania k rozvoju akýchkoľvek špecifických problémov: teórie poznania, kauzalita, indukcia atď. Do logiky sa vnášajú témy, ktoré sú samy osebe zaujímavé a dôležité, ale nemajú žiadny vzťah k samotnej formálnej logike, ako súbor techník správneho myslenia. Zákon vylúčeného stredu, bez ohľadu na rozpory samotné, zakazuje uznať dva protichodné výroky ako súčasne pravdivé alebo súčasne nepravdivé. Toto je jeho význam.
Záver: nemožno sa vyhýbať uznaniu jedného z dvoch protichodných tvrdení ako pravdivého a hľadať medzi nimi niečo tretie.
Výsledok aplikácie: dosiahne sa jednoznačné logické myslenie.
Štvrtý zákon je zákonom dostatočného rozumu.
Formulácia: každá pravdivá myšlienka má dostatočný základ.
Komentár: Tento zákon v podstate hovorí, že všetky myšlienky, ktoré sa dajú vysvetliť, sa považujú za pravdivé a tie, ktoré sa vysvetliť nedajú, sa považujú za falošné. Vo výrokovej logike tento zákon nemá vzorec, keďže má vecný charakter. Stojí za to venovať sa tomu trochu podrobnejšie:
Dostatočným, teda skutočným, nefiktívnym základom našich myšlienok môže byť individuálna prax. Pravdivosť niektorých úsudkov je potvrdená ich priamym porovnaním so skutočnosťou (Príklad: „[Je pravda, že] prší“, „[Je lož, že] som bol v Acapulcu“). Ale osobná skúsenosť je obmedzená. Preto sa pri reálnych činnostiach musíte vždy spoliehať na skúsenosti iných ľudí. Vďaka rozvoju vedeckého poznania subjekt využíva ako základ svojich myšlienok skúsenosti svojich predchodcov, zakotvené v zákonoch a axiómach vedy, v princípoch a ustanoveniach existujúcich v akejkoľvek oblasti ľudskej činnosti. Na potvrdenie konkrétneho prípadu nie je potrebné sa uchýliť k jeho praktickému overeniu alebo zdôvodňovať ho pomocou osobných skúseností. Ak napríklad poznám Archimedov princíp, nemusím nevyhnutne hľadať vodný kúpeľ, aby som tam umiestnil predmet, aby som zistil, koľko schudol. Archimedov zákon bude dostatočným základom na potvrdenie tohto konkrétneho prípadu.
Účelom vedy nie je len získavanie vedomostí, ale aj ich odovzdávanie. To je dôvod, prečo nie sú povolené žiadne logické nedostatky vo formálnej prezentácii už získaných vedomostí. Vedomosti teda musia byť logicky kontrolované. Práve to je optimálne pre jeho zachovanie, prenos a rozvoj. A práve preto môžu vedecké poznatky ako súbor už overených logických tvrdení slúžiť ako základ pre následné dôkazné úvahy.
Zákon dostatočného rozumu sa v skutočnosti scvrkáva na nasledujúcu požiadavku: „každý úsudok musí byť odôvodnený predtým, ako bude prijatý ako pravda“. Z tohto zákona teda vyplýva, že pri správnom uvažovaní by sa nič nemalo brať len na vieru. V každom prípade každého tvrdenia by sa mali uviesť dôvody, pre ktoré sa považuje za pravdivé. Ako vidíme, zákon dostatočného rozumu spočiatku pôsobí ako metodologický princíp, ktorý zabezpečuje schopnosť myslenia poskytnúť základ pre následné uvažovanie. Všetko, čo už bolo správne preukázané, totiž môže slúžiť ako základ pre následné dokazovanie.
Záver: dostatočným základom pre akúkoľvek myšlienku môže byť akákoľvek iná myšlienka, ktorá už bola testovaná a uznaná za pravdivú, z ktorej vyplýva pravdivosť danej myšlienky.
Výsledok aplikácie: právo zabezpečuje platnosť myslenia. Vo všetkých prípadoch, keď niečo tvrdíme, sme povinní dokázať, že máme pravdu, t.j. poskytnúť dostatočné dôvody na podporu pravdivosti našich myšlienok.
§2. Aplikácia matematickej logiky
Kombinácia matematicko-logického prístupu s inými matematickými prístupmi, predovšetkým s pravdepodobnostno-štatistickými myšlienkami a metódami – na pozadí hlbokého záujmu o výpočtové zariadenia – bola do značnej miery rozhodujúca pri formovaní koncepcie kybernetiky ako komplexného vedeckého smeru s. procesy ako jej predmet.
V niektorých prípadoch sa používa technický aparát matematickej logiky (syntéza reléových kontaktných obvodov); Okrem toho, čo je obzvlášť dôležité, myšlienky matematickej logiky, samozrejme, v teórii algoritmov, ale aj celej vedy ako celku a pre ňu charakteristický štýl myslenia mali a majú veľmi veľký vplyv na tie jedinečné oblasti činnosti, ktorých obsahom je automatické spracovanie informácií (informatika), využitie v kryptografii a automatizácii procesov riadenia (kybernetika).
Informatika je veda, ktorá študuje počítač, ako aj interakciu počítača s človekom.
Konštrukcia logických strojov je zaujímavou kapitolou v histórii logiky a kybernetiky. Zachytáva prvé projekty na vytvorenie umelej inteligencie a prvé debaty o tejto možnosti. Myšlienka logických strojov sa objavila v 13. storočí u španielskeho scholastika Raymonda Lulla, potom ju uvažoval Leibniz a dostala nový rozvoj v 19. storočí, po objavení sa matematickej logiky. V roku 1870 postavil anglický filozof a ekonóm William Stanley Jevons v Manchestri logické piano , ktorý vyvodil dôsledky z algebraicky napísaných premís a zdôraznil prijateľné kombinácie pojmov. Hovorí sa tomu aj rozklad výrokov na zložky. Je dôležité upozorniť na možnosť praktického využitia logického stroja na riešenie zložitých logických problémov.
Moderné univerzálne počítače sú tiež logické stroje. Bolo to zavedenie logických operácií, ktoré ich urobilo takými flexibilnými; umožňuje im tiež modelovať uvažovanie. Teda aritmetická vetva inteligentné automaty spojené s logickým. V 20. rokoch sa však formálna logika zdala príliš abstraktná a metafyzická na to, aby sa dala aplikovať na život. Medzitým už bolo možné predvídať zavedenie logického počtu do technológie.
Matematická logika uľahčuje mechanizáciu duševnej práce. Dnešné stroje vykonávajú oveľa zložitejšie logické operácie ako ich skromné prototypy z prelomu storočia.
Problém umelej inteligencie je zložitý a mnohostranný. Zrejme sa nepomýlime, ak povieme, že konečné hranice mechanizácie myslenia možno stanoviť len experimentálne. Všimnime si tiež, že v modernej kybernetike sa diskutuje o možnosti modelovania nielen formálnych, ale aj zmysluplných myšlienkových procesov.
§3.MatematickálogikyVtechnológie
Úloha logického spracovania binárnych dát v súčasnej fáze vývoja výpočtovej techniky výrazne vzrástla. Je to spôsobené predovšetkým vytvorením technických systémov. implementácia v tej či onej forme technológií na získavanie a zhromažďovanie vedomostí, modelovanie individuálnych intelektuálnych funkcií človeka. Jadrom takýchto systémov sú výkonné počítače a výpočtové systémy. Okrem toho existuje veľká trieda aplikovaných problémov, ktoré možno zredukovať na riešenie logických problémov, napríklad spracovanie a syntéza obrazu a problémy s transportom. Požadovaný výkon výpočtových nástrojov sa dosahuje paralelizáciou a prelínaním výpočtových procesov. Toto sa spravidla realizuje na základe veľmi rozsiahlych integrovaných obvodov (VLSI). Technológia VLSI a ich štruktúra však kladie na algoritmy množstvo špecifických požiadaviek, a to: pravidelnosť, organizáciu výpočtov s paralelným tokom, superlineárnu prevádzkovú zložitosť (viacnásobné využitie každého prvku vstupných dát), lokalizáciu výpočtových prepojení, dvoj- rozmernosť realizačného priestoru výpočtov. Tieto požiadavky si vyžadujú riešenie problému efektívnosti ponory algoritmu do výpočtového prostredia, alebo, ako sa bežne hovorí, mapovanie algoritmu do architektúry výpočtových zariadení. V súčasnosti sa predtým všeobecne rozšírené názory ukázali ako nesprávne, konkrétne, že prechod na architektúru počítačov s paralelným potrubím bude vyžadovať len menšie úpravy známych algoritmov. Ukázalo sa, že paralelizmus a zreťazenie výpočtových procesov si vyžaduje vývoj nových algoritmov aj pre tie úlohy, pre ktoré existovali dobre naštudované a odskúšané metódy a algoritmy na riešenie, ale zamerané na sekvenčný princíp implementácie. Podľa odborníkov by sme v nasledujúcom desaťročí mali očakávať vznik nových konceptov konštrukcie výpočtových nástrojov. Predpovede sú založené na výsledkoch prebiehajúceho pokročilého výskumu, najmä v oblasti biočipov a organických prepínacích prvkov. Niektoré oblasti majú za cieľ vytvárať obvody vo forme vrstiev organických molekúl a filmov s vysoko vyvinutou štruktúrou. To podľa výskumníkov umožní rásť, pestovať počítače založené na genetickom inžinierstve a posilňujú analógiu medzi prvkami technických systémov a mozgovými bunkami. Neuropočítače, ktoré napodobňujú intelektuálne funkcie biologických objektov vrátane ľudí, tak nadobúdajú skutočnú podobu. Podľa všetkého sa molekulárna elektronika stane základom pre vytvorenie počítačov šiestej generácie. To všetko objektívne podmieňuje intenzívnu prácu na metódach syntézy logických algoritmov spracovania dát a ich efektívne ponorenie do operačného prostredia binárnych prvkov. Je zrejmé, že binárne prvky a binárne údaje si navzájom najviac zodpovedajú, pokiaľ ide o reprezentáciu a spracovanie týchto prvkov na takýchto prvkoch, ak ich posudzujeme oddelene. Predpokladajme, že algebra logiky nad číslami (0,1) je implementovaná na binárnom prvku s využitím jeho operačného zdroja v plnom rozsahu. Inými slovami, vyvstáva otázka o efektivite a niekedy aj o možnosti implementácie daného algoritmu na takejto sieti (štruktúre). Toto je podstata ponorenia algoritmu do štruktúry.
§4. Matematická logika v kryptografii
Kryptografia študuje metódy odosielania správ v prestrojení tak, aby iba príjemcovia odosielateľa mohli odstrániť prestrojenie a prečítať si správu. Všeobecná schéma ochrany informácií je znázornená na obrázku 2. Fáza kódovania chýb je založená na zavedení prebytku informácií do prenášanej správy, dostatočného na prekonanie rušenia na komunikačnej linke. Povedzme napríklad postupnosť znakov ako 0A 1. Zároveň sa v komunikačnej sieti môžu s určitou pravdepodobnosťou vyskytnúť chyby príjmu signálu 0 namiesto signálu 1alebo naopak, potom kodér vyšle 00000 v piatich impulzoch pre každý symbol správy ai, ak ai -0 a naopak. Na prijímacom konci je prijatá sekvencia impulzov rozdelená na päť impulzov, ktoré sa nazývajú bloky. Ak prijatý blok obsahuje 2 alebo menej 0 impulzov, potom sa rozhodne, že bol vyslaný symbol ai-1. Týmto spôsobom sa výrazne zníži počiatočná pravdepodobnosť chyby. Elegantnejšie metódy kódovania, ktoré s dostatočnou spoľahlivosťou umožňujú zadávať nie až taký veľký prebytok informácií. Na vyjadrenie informácie je potrebné zadať určitú abecedu, z ktorej bude správa pozostávať (konečné usporiadané množiny týchto symbolov). Označme A mocnosť zvolenej abecedy. Budeme tiež predpokladať, že všetky množiny informácií alebo, čo je to isté, množina všetkých možných správ sú konečné. Ako mieru informácie v správe danej dĺžky môžeme vziať log 2z množstva rôznych správ, samozrejme. Potom množstvo informácií pripadajúcich na jeden znak abecedy X=log 2a. Ďalej máme do činenia so slovami dĺžky S, potom celkový počet takýchto slov bude N=AS (karteziánsky S-stupeň abecedy), a teda množstvo informácií v slove Y=Log 2N=Log 2As=SX. Leví podiel kryptoanalýzy tvoria metódy založené na pravdepodobnostnej analýze kryptogramu a navrhovanom zdrojovom jazyku. Keďže každý bežný jazyk má nadbytok informácií, nerovnomerne rozložených v slovách, písmená abecedy tohto jazyka môžu mať stabilné konkrétne vlastnosti. Napríklad v angličtine je to často sa opakujúce písmeno e , navyše kombinácie písmen a ich kombinácie môžu byť frekvenčnými charakteristikami. Všeobecná schéma kryptosystému s tajným kľúčom je znázornená na obrázku 3. Tu X je otvorený text, Y je textová šifra, K je šifrový kľúč, R je náhodná sekvencia.
§5.MatematickálogikyVprogramovanie
Funkcia jedného argumentu je pravidlo, ktoré priraďuje akúkoľvek hodnotu ležiacu v rozsahu zmien tohto argumentu (čo bude aj doména definície tejto funkcie) s inou hodnotou ležiacou v rozsahu hodnôt funkcie.
Pojem funkcie sa preniesol do programovacích jazykov. Programovací jazyk má zvyčajne množstvo vstavaných funkcií, ako napríklad sin, cos, sqrt atď. Okrem toho má programátor možnosť definovať svoje vlastné funkcie. Dokážu pracovať nielen s reálnymi číslami, ale aj s rôznymi dátovými typmi, zvyčajne vrátane celočíselných, reálnych, boolovských, znakov. Môžu pracovať aj so štruktúrami. V jazykoch Pascal, Algol=68 a PL/1 existujú napríklad typy záznamov (záznamy), polia (polia), zoznamy (zoznamy), súbory záznamov (súbory pozostávajúce zo záznamov) a hodnoty funkcií môžu byť ukazovateľmi na tieto štruktúry. Toto všetko je v súlade s konceptom domény definície, mimo ktorej funkcia nie je definovaná. V programovacích jazykoch je táto oblasť zvyčajne špecifikovaná uvedením dátového typu, čo je určitá množina hodnôt. V Pascal teda musí kompilátor zabezpečiť, aby sa na hodnotu nesprávneho typu neaplikovala žiadna funkcia, ktorá by nespadala do rozsahu funkcie.
Funkcia mnohých argumentov. Teraz musíme zovšeobecniť definíciu, aby pokryla funkcie mnohých argumentov. Aby sme to dosiahli, zhromaždíme n argumentov do usporiadanej množiny, ktorú budeme považovať za jeden argument. Zoberme si funkciu odčítania diff(x.y). Interpretuje sa ako zobrazenie párov<х,у>na celé čísla. Vo forme množiny usporiadaných párov to možno zapísať takto: diff = (<<5,3>, 2>. <<6,3>, 3>, <<4,5>, -1>...) Ak by sme namiesto toho mali funkciu štyroch argumentov h(x,y,z,w), použili by sme zobrazenie definované na štyroch
Záver
Matematická logika veľa prispela k rýchlemu rozvoju informačných technológií v 20. storočí, ale pojem „súd“, ktorý sa objavil v logike už v časoch Aristotela a na ktorom ako základ spočíva logický základ prirodzeného jazyka , vypadol zo svojho zorného poľa. Takéto opomenutie vôbec neprispelo k rozvoju logickej kultúry v spoločnosti a dokonca medzi mnohými vyvolalo ilúziu, že počítače nie sú schopné myslieť o nič horšie ako samotní ľudia. Mnohým dokonca nie je trápne ani to, že na pozadí všeobecnej informatizácie v predvečer tretieho tisícročia sú logické absurdity v rámci samotnej vedy (nehovoriac o politike, zákonodarstve a pseudovede) ešte bežnejšie ako na konci 19. . A aby sme pochopili podstatu týchto absurdít, netreba sa obracať na zložité matematické štruktúry s viacmiestnymi vzťahmi a rekurzívnymi funkciami, ktoré sa používajú v matematickej logike. Ukazuje sa, že na pochopenie a analýzu týchto absurdít úplne stačí použiť oveľa jednoduchšiu matematickú štruktúru úsudku, ktorá nielenže neodporuje matematickým základom modernej logiky, ale ich istým spôsobom dopĺňa a rozširuje.
Bibliografia
1.Igošin, V.I. Matematická logika a teória algoritmov [Text] / V.I. Igošin. - M.: Akadémia, 2008. - 448 s.; s chorým.
Styazhkin, N.I. Formovanie matematickej logiky [Text] / N.I. Stjazhkin. - M.: Nauka, 1967. - 508 s.; s chorým.
Markov, A.A. Prvky matematickej logiky [Text] / A.A. Markov. - M.: MsÚ, 2004. - 310 s.; s chorým.
Curry, H.B. Základy matematickej logiky [Text]/Kh.B. Kari. - M.: Mir, 1969. - 568 s.; s chorým.
Doučovanie
Potrebujete pomôcť so štúdiom témy?
Naši špecialisti vám poradia alebo poskytnú doučovacie služby na témy, ktoré vás zaujímajú.
Odošlite žiadosť s uvedením témy práve teraz, aby ste sa dozvedeli o možnosti konzultácie.
Jedno z mien modernej logiky, ktoré prišlo v druhom. poschodie. 19 štart 20. storočie nahradiť tradičnú logiku. Termín symbolická logika sa používa aj ako iný názov pre modernú etapu vývoja vedy o logike. Definícia…… Filozofická encyklopédia
matematická logika- SYMBOLICKÁ LOGIKA, matematická logika, teoretická logika je oblasť logiky, v ktorej sa logické závery študujú pomocou logického počtu založeného na prísnom symbolickom jazyku. Výraz "L. S." bolo to zrejme prvýkrát... Encyklopédia epistemológie a filozofie vedy
MATEMATICKÁ LOGIKA- Hovorí sa tomu aj symbolická logika. M. l. ide o rovnakú aristotelovskú sylogistickú logiku, ale len ťažkopádne slovné závery sú v nej nahradené matematickou symbolikou. Tým sa dosiahne po prvé stručnosť, po druhé prehľadnosť, v... ... Encyklopédia kultúrnych štúdií
MATEMATICKÁ LOGIKA- MATEMATICKÁ logika, deduktívna logika, využívajúca matematické metódy na štúdium metód uvažovania (záverov); matematická teória deduktívneho uvažovania... Moderná encyklopédia
MATEMATICKÁ LOGIKA- deduktívna logika, vrátane matematických metód na štúdium metód uvažovania (závery); matematická teória deduktívneho uvažovania. Matematická logika sa nazýva aj logika používaná v matematike... Veľký encyklopedický slovník
MATEMATICKÁ LOGIKA- (symbolická logika), analytický úsek logiky, výsledok aplikácie matematických metód na problémy klasickej logiky. Zvažuje pojmy, ktoré môžu byť pravdivé alebo nepravdivé, vzťah medzi pojmami a ich manipulácia, vrátane... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník
MATEMATICKÁ LOGIKA- jedna z popredných sekcií modernej logiky a matematiky. Vznikla v 19-20 čl. ako implementácia myšlienky možnosti zapísať všetky počiatočné predpoklady v jazyku znakov podobnom matematickým a tým nahradiť uvažovanie výpočtami.... ... Najnovší filozofický slovník
matematická logika- podstatné meno, počet synoným: 1 logistika (9) ASIS Slovník synonym. V.N. Trishin. 2013… Slovník synonym
matematická logika- - Telekomunikačné témy, základné pojmy EN matematická logika... Technická príručka prekladateľa
MATEMATICKÁ LOGIKA- teoretická logika, symbolická logika, odvetvie matematiky venujúce sa štúdiu matematiky. dôkazy a otázky základov matematiky. Historický náčrt. Myšlienka vybudovania univerzálneho jazyka pre všetku matematiku a formalizáciu na základe... ... Matematická encyklopédia
knihy
- Matematická logika, Ershov Jurij Leonidovič, Palyutin Evgeniy Andreevich. Kniha načrtáva základný klasický kalkul matematickej logiky: výrokový a predikátový kalkul; je tu stručné zhrnutie základných pojmov teórie a teórie množín... Kúpiť za 1447 UAH (iba Ukrajina)
- Matematická logika, Ershov Yu.L.. Kniha načrtáva základný klasický kalkul matematickej logiky: výrokový a predikátový kalkul; je tam stručné zhrnutie základných pojmov teórie množín a teórie...
Ostatné sekcie
MATEMATICKÁ LOGIKA,
deduktívna logika vrátane matematických metód na štúdium metód uvažovania (závery); matematická teória deduktívneho uvažovania. Matematická logika sa tiež nazýva logika používaná v matematike.
Pojmy deduktívna teória a počet zohrávajú dôležitú úlohu v matematickej logike.Calculus
je súbor pravidiel odvodzovania, ktoré umožňujú považovať niektoré vzorce za odvoditeľné. Inferenčné pravidlá sú rozdelené do dvoch tried. Niektoré z nich priamo kvalifikujú niektoré vzorce ako odvoditeľné. Takéto vyvodzovacie pravidlá sa zvyčajne nazývajú axiómy . Iné umožňujú, aby sa vzorce považovali za odvoditeľné, ak sú nejakým vopred určeným spôsobom syntakticky spojené s konečnými súbormi odvoditeľných vzorcov. Široko používaným pravidlom druhého typu je pravidlo modus ponens: ak sú vzorce a odvoditeľné, potom aj vzorec.
Vzťah kalkulu k sémantike vyjadrujú pojmy sémantickej vhodnosti a sémantickej úplnosti kalkulu. O kalkulu I sa hovorí, že je sémanticky vhodný pre jazyk I, ak je akýkoľvek vzorec jazyka I odvodený v I správny. Podobne sa hovorí, že kalkul I je sémanticky úplný v jazyku I, ak je nejaký správny vzorec v jazyku I odvoditeľný v I.
Matematická logika študuje logické súvislosti a vzťahy, ktoré sú základom logického (deduktívneho) odvodzovania pomocou jazyka matematiky.
Mnohé z jazykov uvažovaných v matematickej logike majú sémanticky úplné a sémanticky použiteľné výpočty. Známy je najmä výsledok K. Gödela, že takzvaný klasický predikátový kalkul je sémanticky úplný a sémanticky vhodný pre jazyk klasickej predikátovej logiky prvého rádu. Na druhej strane existuje veľa jazykov, pre ktoré je vytvorenie sémanticky úplného a sémanticky vhodného kalkulu nemožné. V tejto oblasti je klasickým výsledkom Gödelova veta o neúplnosti, ktorá tvrdí, že pre jazyk formálnej aritmetiky nie je možné sémanticky úplný a sémanticky použiteľný kalkul.
Stojí za zmienku, že v praxi je veľa základných logických operácií povinnou súčasťou inštrukčnej sady všetkých moderných mikroprocesorov, a preto sú zahrnuté v programovacích jazykoch. Ide o jednu z najdôležitejších praktických aplikácií metód matematickej logiky študovaných v moderných učebniciach informatiky.
Úseky matematickej logiky
Algebra logiky
Výroková logika
Teória dôkazov
Teória modelov
Výroková logika
(alebo výroková logika z anglického propositional logic, alebo výrokový počet) je formálna teória, ktorej hlavným predmetom je pojem logického výroku. Z hľadiska expresivity ju možno charakterizovať ako klasickú logiku nultého rádu.
Napriek svojej dôležitosti a širokému rozsahu použitia je výroková logika najjednoduchšou logikou a má veľmi obmedzené prostriedky na štúdium úsudkov.
Algebra logiky (algebra výrokov) - oddiel matematickej logiky, v ktorom sa študujú logické operácie s výrokmi. Najčastejšie sa predpokladá, že tvrdenia môžu byť iba pravdivé alebo nepravdivé.
Základné prvky, s ktorými algebra logiky funguje, sú výroky. Výkazy sú postavené na množine na ktorých prvkoch sú definované tri operácie:
Negácia (unárna operácia),
Konjunkcia (binárna),
Disjunkcia (binárna),
ako aj konštanty - logická nula 0 a logická jednotka 1.
Teória pravdepodobnosti je oblasť matematiky, ktorá študuje náhodné udalosti, ich vlastnosti a operácie s nimi.
V teórii pravdepodobnosti sa študujú tie náhodné udalosti, ktoré sa dajú reprodukovať za rovnakých podmienok a majú nasledujúcu vlastnosť: ako výsledok experimentu za podmienky S môže nastať udalosť A s určitou pravdepodobnosťou p.
Základné pojmy teórie pravdepodobnosti sú: udalosť, pravdepodobnosť, náhodný jav, náhodný jav, matematické očakávanie, disperzia, distribučná funkcia, priestor pravdepodobnosti.
Ako veda sa teória pravdepodobnosti objavuje v polovici 17. storočia. Prvé práce sa objavujú v súvislosti s výpočtom pravdepodobností v hazardných hrách. Skúmanie predpovedí výhier pri hádzaní kockami,Blaise Pascal a Pierre Fermat, vo svojej korešpondencii z roku 1654 objavili prvé pravdepodobnostné zákony. Najmä v tejto korešpondencii prišli ku konceptu matematického očakávania a teorémov násobenia a sčítania pravdepodobností. V roku 1657 boli tieto výsledky prezentované v knihe H. Huygensa „On Calculations in Gambling“, ktorá je prvým pojednaním o teórii pravdepodobnosti.
Dosiahol veľký úspech v teórii pravdepodobnosti Jacob Bernoulli : ustanovil zákon veľkých čísel v najjednoduchšom prípade, sformuloval mnoho konceptov modernej teórie pravdepodobnosti. Napísal monografiu o teórii pravdepodobnosti, ktorá vyšla posmrtne v roku 1713, s názvom „Umenie predpokladov“.
V prvej polovici 19. storočia sa teória pravdepodobnosti začala aplikovať na teóriu pozorovacích chýb. V tomto čase to bolo dokázanéMoivre-Laplaceova veta (1812) a Poissonova veta(1837), čo sú prvé limitné vety. Laplace rozšíril a systematizoval matematické základy teórie pravdepodobnosti. Gauss a Legendre vyvinuli metódu najmenších štvorcov.
V druhej polovici 19. storočia väčšinu objavov v teórii pravdepodobnosti urobili ruskí vedciP. L. Čebyšev a jeho študentov a A. M. Ljapunov a A. A Markov.V roku 1867 Čebyšev sformuloval a celkom jednoducho dokázal zákon veľkých čísel za veľmi všeobecných podmienok. V roku 1887 prvýkrát sformuloval a navrhol metódu riešenia centrálnej limitnej vety pre súčty nezávislých náhodných premenných. V roku 1901 túto vetu dokázal Lyapunov za všeobecnejších podmienok. Markov v roku 1907 prvýkrát uvažoval o testovacej schéme spojenej v reťazci, čím položil základ pre teóriu Markovových reťazcov. Tiež významne prispel k výskumu týkajúcemu sa teórie veľkých čísel a centrálnej limitnej vety.
Začiatkom 20. storočia sa rozšíril okruh aplikácií teórie pravdepodobnosti, vznikli systémy prísne matematického zdôvodňovania a nové metódy teórie pravdepodobnosti. Počas tohto obdobia vďaka úsiliuAndrej Nikolajevič Kolmogorovteória pravdepodobnosti nadobúda modernú podobu.
V roku 1926 získal Kolmogorov ako postgraduálny študent potrebné a dostatočné podmienky, za ktorých platí zákon veľkých čísel. V roku 1933 Kolmogorov vo svojej práci „Základné pojmy teórie pravdepodobnosti“ predstavil axiomatiku teórie pravdepodobnosti, ktorá je všeobecne uznávaná ako najlepšia.
Matematický aparát teórie pravdepodobnosti je široko používaný vo vede a technike. Najmä v astronómii sa na výpočet dráh komét používa metóda najmenších štvorcov. V medicíne sa teória pravdepodobnosti využíva aj pri hodnotení účinnosti liečebných metód.
/
BDE matematika /
Odpočet
Pamätáte si, ako Sherlock Holmes neustále hovoril o svojich dedukčných schopnostiach? Čo je teda odpočet?
ODPOČET (lat. deductio - zrážka)-
túto formu myslenia, keď je nová myšlienka odvodená čisto logickým spôsobomz predošlých myšlienok. Táto postupnosť myšlienok sa nazýva záver a každá zložka tohto záveru je buď predtým dokázaná myšlienka, axióma alebo hypotéza. Posledná myšlienka daného záveru sa nazýva záver.
Deduktívnu inferenciu, ktorá je predmetom tradičnej logiky, používame vždy, keď potrebujeme uvažovať o jave na základe nám už známej všeobecnej pozície a vyvodiť potrebný záver týkajúci sa tohto javu. Poznáme napríklad nasledujúcu konkrétnu skutočnosť – „daná rovina pretína guľu“ a všeobecné pravidlo týkajúce sa všetkých rovín pretínajúcich loptičku – „každá časť lopty rovinou je kruh“. Ak použijeme toto všeobecné pravidlo na konkrétny fakt, každý správne zmýšľajúci človek nevyhnutne dospeje k rovnakému záveru: „to znamená, že táto rovina je kruh“.
Štruktúra deduktívneho uvažovania a donucovací charakter jeho pravidielzobrazoval najčastejšie vzťahy medzi predmetmi hmotného sveta: vzťahy rodu, druhu a jednotlivca, teda všeobecný, zvláštny a individuálny: čo je vlastné všetkým druhom daného rodu, je vlastné aj akémukoľvek druhu; čo je vlastné všetkým jedincom rodu, je vlastné aj každému jedincovi.
Teóriu dedukcie prvýkrát podrobne rozvinul Aristoteles. Objasnil požiadavky, ktoré musia spĺňať jednotlivé myšlienky tvoriace deduktívnu inferenciu, definoval význam pojmov a odhalil pravidlá pre určité typy deduktívnej inferencie. Pozitívnou stránkou Aristotelovej doktríny dedukcie je, že odráža skutočné zákony objektívneho sveta.
Výraz „odpočet“ v užšom zmysle slova tiež znamená:
1) Metóda výskumu pozostáva z nasledovného: aby sa na získanie nových poznatkov o predmete alebo skupine homogénnych predmetov je potrebné po prvé nájsť najbližší rod, do ktorého tieto predmety patria, a po druhé, aplikovať na ne zodpovedajúci zákon vlastný celému danému rodu predmetov.
Deduktívna metóda hrá v matematike obrovskú úlohu. Je známe, že všetky vety sú odvodené logicky pomocou dedukcie z malého konečného počtu počiatočných princípov nazývaných axiómy.
2) Forma prezentácie učiva v knihe, prednáška, správa, rozhovor, kedy prechádzajú od všeobecných ustanovení, pravidiel, zákonov k menej všeobecným ustanoveniam, pravidlám, zákonom.
Táto metóda vám umožňuje nastaviť formálne axiomatické teórie.
2. Špecifikovanie iba axióm
V tomto prípade sa pravidlá inferencie považujú za všeobecne známe, preto sú špecifikované iba axiómy. Preto s touto konštrukciou viet hovoria, že semiformálna axiomatická teória.
3. Určenie iba pravidiel odvodzovania
Táto metóda konštrukcie teorémov je založená na špecifikácii iba pravidiel inferencie, pretože množina axióm je prázdna. Na základe toho je takto definovaná teória špeciálnym prípadom formálnej teórie. Neskôr sa táto odroda stala známou ako teória prirodzenej inferencie.
Medzi hlavné vlastnosti deduktívnych teórií patria:
1. Kontroverzia
Teória, v ktorej množina teorémov pokrýva celú množinu vzorcov, sa nazýva rozporuplná.
2. Úplnosť
Teória sa nazýva úplná, v ktorej je pre akýkoľvek vzorec odvoditeľná aj F F alebo jeho negáciu -F.
3. Nezávislosť axióm
Keď konkrétnu axiómu teórie nemožno odvodiť z ostatných axióm, nazýva sa tzv nezávislý. Systém axióm sa nazýva nezávislý iba vtedy, ak je každá axióma v ňom nezávislá.
4. Riešiteľnosť
Keď má teória účinný algoritmus, ktorý umožňuje určiť počet krokov na preukázanie vety, teória sa nazýva rozhodnuteľný.
Napríklad výroková logika, logika prvého rádu (predikátový počet), formálna aritmetika (teória S).
Matematická logika, podobne ako klasická logika, študuje procesy inferencie a umožňuje z pravdivosti niektorých úsudkov vyvodiť závery o pravdivosti alebo nepravdivosti iných, bez ohľadu na ich konkrétny obsah. Použitie matematických metód v logike (algebraizácia logiky a konštrukcia logických kalkulov) dalo podnet k rozvoju novej oblasti matematiky s názvom „Matematická logika“. Hlavnou úlohou matematickej logiky je formalizácia vedomostí a uvažovanie. Matematika je veda, v ktorej sú všetky tvrdenia dokázané pomocou záverov, preto je matematická logika v podstate vedou o matematike.
Matematická logika poskytovala prostriedky na vytváranie logických teórií a výpočtový aparát na riešenie problémov. Matematická logika a teória algoritmov našli široké uplatnenie v rôznych oblastiach vedeckého výskumu a techniky (napríklad v teórii automatov, v lingvistike, v teórii reléových obvodov, v ekonomickom výskume, vo výpočtovej technike, v informačných systémoch). , atď.). Základné koncepty matematickej logiky sú základom takých aplikácií, ako sú databázy, expertné systémy a logické programovacie systémy. Tieto isté koncepty sa stávajú metodologickým základom pre popis analýzy a modelovania automatizovanej integrovanej výroby.
Problémy skúmané matematickou logikou je možné posudzovať tak prostredníctvom sémantickej (sémantickej) teórie, ktorá je založená na koncepte algebry, ako aj prostredníctvom formálno-axiomatickej (syntaktickej) teórie, založenej na koncepte logického počtu. Tento kurz skúma obidva tieto prístupy, počnúc výrokovou algebrou, ktorá je potom zovšeobecnená na predikátovú algebru, a oba slúžia na pochopenie konštrukcie logických kalkulov a ich špeciálnych prípadov: výrokového počtu a predikátového počtu.
Časť I. Výroková algebra
Výrokovú algebru možno považovať za transpozíciu výsledkov študovaných v časti „Booleovské funkcie“ do iného (algebraického) jazyka pomocou funkcionálneho jazyka. Pri funkčnom prístupe je každá z logických operácií a vzorcov spojená so špecifickou dvojhodnotovou funkciou. V algebraickom prístupe sa logické operácie interpretujú ako algebraické, pôsobiace na množinu dvoch prvkov.
1. Výpisy a operácie na nich. Vzorce
Hovorením je akékoľvek tvrdenie, o ktorom sa dá celkom určite a objektívne povedať, či je pravdivé alebo nepravdivé.
Napríklad výrok „2 > 0“ je výrok a je pravdivý a výrok „2< 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.
Existujú jednoduché a zložité výroky; výrok sa nazýva jednoduchý, ak žiadna jeho časť nie je výrokom. Jednoduché výroky budeme označovať začiatočnými veľkými písmenami latinskej abecedy A, B, C alebo A 1, A 2, . . .. Komplexné výroky sú charakteristické tým, že sú tvorené z niekoľkých jednoduchých výrokov pomocou logických operácií, t.j. sú vzorce výrokovej algebry.
Pripomeňme si, že algebraická štruktúra alebo algebra je štruktúra tvorená určitou množinou spolu s operáciami na nej zavedenými. Definujme výrokovú algebru.
Označme podľa B = (0, 1) – množina výrokov. Definujme operácie na množine B .
Odmietavý postoj Výrok je výrok, ktorý je pravdivý, ak A je nepravdivé a naopak. Negácia sa označuje (A) a ide o unárnu operáciu.
Nech sú A a B nejaké výroky, zaveďme na nich binárne operácie.
Konjunkcia
výrok A a B je výrok, ktorý nadobúda hodnotu pravdivosti vtedy a len vtedy, ak sú pravdivé oba výroky A aj B. Spojka sa označuje ako A 
B (AB).
Disjunkcia
výrok A a B je výrok, ktorý má hodnotu true, ak je pravdivý aspoň jeden z výrokov A alebo B. Disjunkcia je označená A 
B.
Implicitne výroky A a B sú výroky, ktoré sa vyhodnotia ako nepravdivé vtedy a len vtedy, ak A je pravdivé a B je nepravdivé. Označené AB.
Ekvivalencia výrok A a B je výrok, ktorý je pravdivý vtedy a len vtedy, ak výroky A a B majú rovnaký význam. Označenie operácie je AB (AB).
Logické operácie sú definované aj pomocou tabuliek tzv pravdivostné tabuľky . Pre všetky zadané logické operácie uvádzame súhrnnú pravdivostnú tabuľku.
Výroková (výrazová) premenná je premenná, ktorej hodnoty sú jednoduché príkazy. Označme expresívne premenné pomocou X 1 , X 2 , . . . , X n .
Pojem vzorca výrokovej algebry sa zavádza indukciou. Vzorce výrokovej algebry sú:
1) logické konštanty 0 a 1;
2) výrokové premenné;
3) ak A A IN - vzorce, potom každý z výrazov ( A), (A) (IN), (A) (IN), (A) (IN), (A) ~ (IN) existuje vzorec;
4) iné vzorce okrem tých, ktoré sú zostavené podľa odsekov. 1) - 3), č.
Označme podľa M – množina všetkých vzorcov výrokovej algebry, M je uzavretá pod logickými operáciami.
Pre vzorec zostavený podľa odseku 3 vzorca A A B sa nazývajú podformule. Počet zátvoriek vo vzorci je možné znížiť Poradie operácií vo vzorci je určené ich prioritou. Zoznam logických operácií v zostupnom poradí podľa priority: 
~. Zmena poradia operácií, ako v algebraických operáciách, sa vykonáva pomocou zátvoriek.
Nechaj U – vzorec nad výrokovými premennými X 1 , X 2 , . . . , X n, označené U(X 1 , X 2 , . . . , X n). Množina špecifických hodnôt výrokových premenných X 1 , X 2 , . . . , X n nazývaný výklad vzorca U a je určený ja(U).
Vzorec sa nazýva uskutočniteľné , ak existuje množina premenných hodnôt, pre ktoré má tento vzorec hodnotu 1 (existuje interpretácia ja(U), na ktorom platí vzorec).
Vzorec sa nazýva vyvrátiteľný , ak existuje množina hodnôt premenných, pre ktoré má tento vzorec hodnotu 0 (existuje interpretácia ja(U), na ktorom je vzorec nepravdivý).
Vzorec sa nazýva totožný s pravdou (vzorec TI) príp tautológia , ak tento vzorec nadobudne hodnotu 1 pre všetky množiny hodnôt premenných (vzorec platí pri všetkých interpretáciách).
Vzorec sa nazýva rovnako falošné (TL vzorec) príp rozpor , ak tento vzorec nadobudne hodnotu 0 pre všetky množiny hodnôt premenných (vzorec je pri všetkých interpretáciách nepravdivý).
Vzorce A A IN sa volajú ekvivalent (označené A IN), ak pre akékoľvek hodnoty výrokových premenných je hodnota vzorca A zodpovedá hodnote vzorca IN.
Problémy určovania ekvivalencie, splniteľnosti, falzifikovateľnosti, zhodnej pravdivosti a nepravdivosti vzorcov sa dajú vyriešiť zostavením pravdivostných tabuliek, existujú však aj menej ťažkopádne spôsoby riešenia týchto problémov.
