čo je funkcia? Funkčná závislosť alebo funkcia je závislosť medzi dvoma premennými tak, že každá hodnota je nezávisle premenná. Základné vlastnosti funkcie

Funkcia je matematická veličina zobrazujúca závislosť jedného prvku "y" z iného "X".

Inými slovami: závislosť pri nazývaná premenná funkcia X, ak každá hodnota môže nadobudnúť X zodpovedá jednej alebo viacerým definovaným hodnotám pri. Variabilné X- Toto argument funkcie.

Rozsah pri vždy záleží na veľkosti X, teda argument X je nezávislá premenná a funkciu pri - závislá premenná.

Vysvetlime si to na príklade:

Nechaj T je bod varu vody a R- Atmosférický tlak. Počas pozorovania sa zistilo, že každá hodnota môže nadobudnúť R, vždy zodpovedá rovnakej hodnote T. teda T je funkcia argumentu R.

Funkčná závislosť T od R umožňuje určiť tlak pomocou špeciálnych tabuliek pri pozorovaní bodu varu vody bez barometra, napríklad:

Je vidieť, že existujú významy argumentT, ktorý nemôže dosiahnuť bod varu, napríklad nemôže byť nižší ako „absolútna nula“ (- 273 ° C). Teda nemožná hodnota T= - 300 °C, žiadna hodnota nezodpovedá R. Preto definícia hovorí: „každá hodnota, ktorá môže nadobudnúť X…" a nie pre každú hodnotu x...

V čom R je argumentačnú funkciuT. Teda závislosť R od T umožňuje pri monitorovaní tlaku bez teplomera určiť bod varu vody pomocou podobnej tabuľky:

Druhá definícia funkcie.

Ak je hodnota každého argumentu X zodpovedá jednej funkčnej hodnote pri, potom sa zavolá funkcia jednoznačné; ak dva alebo viac, tak polysémantický(dvojciferný, trojmiestny). Ak nie je uvedené, že funkcia je viachodnotová, malo by sa chápať, že je jednohodnotová.

Napríklad:

Súčet ( S) uhly mnohouholníka sú číselná funkcia (n) strany. Argumentovať n môže nadobúdať iba celočíselné hodnoty, ale nie menšie ako 3 . Závislosť S od n vyjadrené prostredníctvom vzorca:

S = π (n - 2).

Jednotkou merania v tomto príklade je radián. V čom n- Toto argumentačnú funkciu S a funkčná závislosť n od S vyjadrené vzorcom:

n = S/ π + 2.

ArgumentovaťS môže nadobúdať iba hodnoty, ktoré sú násobkom π , (π , 2 π , 3 π atď.).

Vysvetlime si ešte jednu vec príklad:

Strana štvorca X je funkciou jeho plochy S (X = √ S). Argument môže mať akúkoľvek kladnú hodnotu.

Argumentovať- to je vždy premenlivé množstvo, funkcia je zvyčajne tiež premenná hodnota, v závislosti od argumentu, ale nie je vylúčená možnosť jej stálosti.

Napríklad:

Vzdialenosť pohybujúceho sa bodu od stacionárneho bodu je funkciou času cesty; zvyčajne sa mení, ale keď sa bod pohybuje po kruhu, vzdialenosť od stredu zostáva konštantná.

Zároveň nie je trvanie pohybu v kruhu funkcia vzdialenosti od centra.

Takže keď je funkcia konštantná hodnota, potom nemožno zameniť argument a funkciu.

PREDNÁŠKA 1. FUNKČNÁ ZÁVISLOSŤ.

1. Pojem funkcie

Pojem funkcie je spolu s pojmom číslo a premenná jedným z najdôležitejších pojmov modernej matematiky. V prírodných vedách a technike sa často stretávame so závislosťami niektorých veličín od iných s takzvanými funkčnými závislosťami.

Funkčná závislosť jednej veličiny (y) od druhej (x) znamená, že každej hodnote x zodpovedá jedna hodnota y. Hodnota x sa nazýva nezávislá premenná a y závislá premenná alebo funkcia tejto premennej. Tiež sa hovorí, že x je argument funkcie y.

Pojem „funkcia“ prvýkrát zaviedol v roku 1692 Gottfried Wilhelm Leibniz.

1. Plocha S štvorca je funkciou dĺžky a jeho strany: S = a2. 2. Objem V gule možno vyjadriť ako polomer R gule:

V = 4 3 πR3.

3. Objem kužeľa V s danou výškou h závisí od polomeru r jeho základne:

V = 1 3 πr2 h.

4. Nech dráha z, ktorú prejde voľne padajúce teleso, závisí od času t,

uplynulo od začiatku pádu. Táto závislosť je vyjadrená vzorcom z = gt 2 2 (g zrýchlenie voľného pádu).

Definícia 1. Ak každá hodnota, ktorú môže premenná x nadobudnúť, je podľa nejakého pravidla alebo zákona spojená s jednou konkrétnou hodnotou premennej y, potom hovoria, že y je jednohodnotová funkcia x, a označujú y = f (X).

Množina všetkých hodnôt argumentu x, pre ktoré je definovaná funkcia y = f (x), sa nazýva doména definície tejto funkcie (O.O.F.).

Množina všetkých hodnôt prevzatých premennou y sa nazýva doména funkčných hodnôt (O.Z.F.) funkcie y = f (x).

Funkcia sa volá aj vtedy, ak pre ľubovoľné x z definičného oboru platí rovnosť f (−x) = f (x).

Funkcia sa nazýva nepárna, ak pre ľubovoľné x z definičného oboru platí rovnosť f (−x) = −f (x).

Funkcia sa nazýva periodická s periódou T > 0, ak pre ľubovoľné x z oblasti

Riešenie. Definičný obor arcsínusu je množina bodov zo segmentu [−1, 1]. V dôsledku toho sa problém redukuje na vyriešenie nerovnosti

Takže f (−x) = −f (x), t.j. funkcia je nepárna.

f (x + 2π) = tan(x + 2π) sin(3x + 2π) + detská postieľka (2x + 2π) =

Tg x sin 3x + detská postieľka 2x = f (x).

Takže, f (x + 2π) = f (x), t.j. funkcia je periodická s periódou 2π.

2. Metódy určenia funkcie

Analytická metóda je špecifikovať funkciu pomocou vzorcov alebo rovníc.

Napríklad: y = hriech x, y = x2, y2 + x2 = 1 atď.

Ak rovnica, ktorou je funkcia špecifikovaná, nie je vyriešená vzhľadom na y, potom sa funkcia nazýva implicitná. Ak je takéto riešenie možné, implicitnú funkciu možno zredukovať na explicitný tvar, teda na tvar y = f (x).

Napríklad rovnicu 2x + 3y − 5 = 0 možno považovať za implicitnú funkciu. Po vyriešení pre y dostaneme rovnakú funkciu, ale v explicitnom tvare:

y = 5 − 2x.

Všimnite si, že pri analytickej metóde špecifikácie funkcie existujú prípady, keď funkcia nie je daná jedným, ale niekoľkými vzorcami, napríklad:

Tabuľková metóda je spôsob špecifikácie funkcie pomocou tabuľky. Príkladom takejto úlohy sú tabuľky goniometrických funkcií, logaritmy atď. Tabuľková metóda špecifikácie funkcie je široko používaná v rôznych druhoch experimentov a pozorovaní. Tabuľky sa ľahko používajú, ale nevýhodou tejto metódy je, že funkcia nie je špecifikovaná pre všetky hodnoty argumentov.

Grafická metóda. Graf funkcie y = f (x) je množina bodov (x, y) roviny XOY, ktorých súradnice sú spojené vzťahom y = f (x).

Výhodou grafického spôsobu určenia funkcie je jej prehľadnosť. Grafický spôsob určenia funkcie sa používa pri obsluhe rôznych záznamových zariadení. V medicíne sa napríklad práca srdca analyzuje pomocou kardiografu.

Funkcie mocninné, exponenciálne, logaritmické, trigonometrické, inverzné trigonometrické, konštantné (konštantné) sa nazývajú základné elementárne funkcie.

Grafy základných elementárnych funkcií

3. Viachodnotové funkcie

Niekedy musíte zvážiť situáciu, keď každá hodnota nezávislej premennej x je spojená s niekoľkými hodnotami y. V tomto prípade to hovoria

pre √ x > 0: pre každé kladné číslo sú dve reálne čísla,

líšia sa znamienkami, ktorých druhé mocniny sa rovnajú x. Pokiaľ ide o funkciu Arcsinx, priraďuje každú hodnotu x zo segmentu [−1, 1] nekonečnej množine hodnôt y, ktoré možno zapísať pomocou vzorca

y = (−1)k arcsin x + πk, (k = 0, 2, ...).

Ak musíte funkciu považovať za viachodnotovú, potom to musíte konkrétne uviesť.

4. Inverzná funkcia

Ak rovnicu y = f (x) možno jednoznačne vyriešiť vzhľadom na x, potom sa o funkcii x = g(y) hovorí, že je inverzná k y = f (x). Označuje sa x = f −1 (y) . Navyše y ≡ f (f−1 (y)).

Niekedy sa používa štandardná notácia: x sa chápe ako nezávislá premenná a y sa chápe ako funkcia, t. j. závislá premenná. V tomto prípade by mala byť inverzná funkcia napísaná ako y = g(x) .

Napríklad môžeme povedať, že funkcie y = 2x a y = log2 x sú vzájomne inverzné. Aby sme z grafu danej funkcie y = f (x) získali graf jej inverznej funkcie y = g(x), stačí prvý graf zobraziť symetricky vzhľadom na osi 1. a 3. súradnice. uhly.

Príklad 5. Daná funkcia y = 1 − 2−x . Nájdite inverznú funkciu.

2−x = 1 − y, x =− log(1 − y) .lg 2

Doména definície funkcie (O.O.F.) −∞< y < 1 .

5. Komplexná funkcia

Nech premenná y závisí od premennej u, ktorá zasa závisí od premennej x: y = f (u), u = ϕ(x) . Potom, keď sa zmení x, zmení sa u, a preto sa zmení aj y. To znamená, že y je funkciou x: y = f (ϕ(x)). Táto funkcia sa nazýva komplexná funkcia (alebo funkcia funkcie), premenná u je stredná. Táto komplexná funkcia sa tiež nazýva superpozícia funkcií f a ϕ.

Príklad 6. Daná funkcia f (x) = arccos(log(x)) . Nájdite a) f (10 1 ); b) f (1); c) f (10).

a) f (101) = arccos(log(101)) = arccos(−1) = π.

b), c) vypočítajte si to sami.

Každá funkcia, ktorá sa získa zo základných elementárnych funkcií konečným počtom superpozícií a štyrmi aritmetickými operáciami, sa nazýva elementárna funkcia. Napríklad polynóm stupňa n je elementárna funkcia.

6. Parametrická metóda zadávania funkcie

O funkcii sa hovorí, že je špecifikovaná parametricky, ak je závislosť y na x špecifikovaná pomocou parametra t: kde t prechádza cez nejaké číselné hodnoty.

Ak vynesieme tieto body do roviny XOY, môžeme vidieť, že s plynulou zmenou t dostaneme kružnicu s polomerom jedna so stredom v počiatku. Alebo to môžete urobiť inak, vylúčte parameter t, potom x2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1.

7. Grafické funkcie

Uvažujme o najjednoduchších transformáciách grafov funkcií.

1. Graf funkcie y = f (x + a) získame z grafu funkcie y = f (x) jeho paralelným posunutím pozdĺž osi Ox o |a| jednotky mierky v smere opačnom k ​​znamienku a.

2. Graf funkcie y = f (kx) (k >

„stlačením“ smerom k osi Oy faktorom k pre k > 1 a „natiahnutím“ z osi Oy faktorom 1/k pri

k< 1.

3. Graf funkcie y = kf (x) (k > 0) získame z grafu funkcie y = f (x)

„natiahnutím“ z osi Ox faktorom k pre k > 1 a „stlačením“ smerom k osi Ox faktorom 1/k pri

k< 1.

4. Graf funkcie y = f (x) + b získame z grafu funkcie y = f (x) paralelným posunutím pozdĺž osi Oy o |b| jednotky mierky v smere zhodujúcom sa so značkou b.

5. Graf funkcie y = −f (x) je symetrický ku grafu funkcie y = f (x) vzhľadom na os Ox.

Zvážte zostrojenie grafu funkcie y = kf (mx + b) + a transformáciou grafu funkcie y = f (x). Najprv vykonajte transformáciu identity

Teraz sekvenčným použitím transformácií 1 – 5 zostavíme požadovaný graf funkcie.

Príklad 8. Zostrojte graf funkcie y = 3 sin(2x + 4) transformáciou grafu funkcie y = sin x.

Riešenie. Vykonajte transformáciu identity

y = 3 sin(2x + 4) = 3 sin 2(x + 2).

Zostavíme graf funkcie v nasledujúcom poradí. 1. Zostrojte graf funkcie y = sin x na úsečke.

2. Graf funkcie y = 2 sin x získame stlačením grafu funkcie y = sin x na polovicu pozdĺž osi x.

3. Na zostrojenie grafu funkcie y = sin 2(x + 2) je potrebné posunúť graf funkcie y = sin 2x doľava pozdĺž osi x o dve jednotky.

4. Graf funkcie y = 3 sin 2(x + 2) získame z grafu funkcie y = sin 2(x + 2) tak, že ho trikrát natiahneme pozdĺž ordináty.

I. y = hriech x. II. y = hriech 2x.

III. y = sin 2 (x + 2). IV. y = 3 sin 2 (x + 2).

Definícia: Číselná funkcia je korešpondencia, ktorá spája každé číslo x z určitej množiny s jedným číslom y.

Označenie:

kde x je nezávislá premenná (argument), y je závislá premenná (funkcia). Množina hodnôt x sa nazýva doména funkcie (označená D(f)). Množina hodnôt y sa nazýva rozsah hodnôt funkcie (označuje sa E(f)). Graf funkcie je množina bodov v rovine so súradnicami (x, f(x))

Metódy určenia funkcie.

1. analytická metóda (pomocou matematického vzorca);
2. tabuľková metóda (pomocou tabuľky);
3. deskriptívna metóda (pomocou slovného opisu);
4. grafická metóda (pomocou grafu).

Základné vlastnosti funkcie.

1. Párne a nepárne

Funkcia sa volá aj keď
– definičný obor funkcie je symetrický k nule
f(-x) = f(x)

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi 0r

Funkcia sa nazýva nepárne, ak
– definičný obor funkcie je symetrický k nule
– pre ľubovoľné x z oblasti definície f(-x) = –f(x)

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

2. Frekvencia

Funkcia f(x) sa nazýva periodická s bodkou, ak pre ľubovoľné x z definičnej oblasti f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Graf periodickej funkcie pozostáva z neobmedzene sa opakujúcich identických fragmentov.

3. Monotónnosť (narastajúca, klesajúca)

Funkcia f(x) je rastúca na množine P, ak pre ľubovoľné x 1 a x 2 z tejto množiny tak, že x 1

Funkcia f(x) klesá na množine P ak pre ľubovoľné x 1 a x 2 z tejto množiny tak, že x 1 f(x 2) .

4. Extrémy

Bod X max sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak pre všetky x z nejakého okolia X max je splnená nerovnosť f(x) f(X max).

Hodnota Y max =f(X max) sa nazýva maximum tejto funkcie.

X max – maximálny bod
Pri max - maxime

Bod X min sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak pre všetky x z nejakého okolia X min je splnená nerovnosť f(x) f(X min).

Hodnota Y min =f(X min) sa nazýva minimum tejto funkcie.

X min – minimálny bod
Y min – minimum

X min , X max – extrémne body
Y min , Y max – extrémy.

5. Nuly funkcie

Nula funkcie y = f(x) je hodnota argumentu x, pri ktorej sa funkcia stáva nulou: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – nuly funkcie y = f(x).

Úlohy a testy na tému "Základné vlastnosti funkcie"

• Vlastnosti funkcie - Numerické funkcie 9. ročník

  Lekcie: 2 Zadania: 11 Testy: 1

• Vlastnosti logaritmov - Exponenciálne a logaritmické funkcie 11. stupeň

  Lekcie: 2 Zadania: 14 Testov: 1

• Funkcia druhej odmocniny, jej vlastnosti a graf - Funkcia druhej odmocniny. Vlastnosti druhej odmocniny triedy 8

  Lekcie: 1 Zadania: 9 Testy: 1

• Mocninné funkcie, ich vlastnosti a grafy - Stupne a korene. Výkonové funkcie stupeň 11

  Lekcie: 4 Zadania: 14 Testy: 1

• Funkcie - Dôležité témy pre opakovanie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky

  Úlohy: 24

Po preštudovaní tejto témy by ste mali byť schopní nájsť doménu definície rôznych funkcií, určiť intervaly monotónnosti funkcie pomocou grafov a preskúmať funkcie na párnosť a nepárnosť. Uvažujme o riešení podobných problémov pomocou nasledujúcich príkladov.

Príklady.

1. Nájdite definičný obor funkcie.

Riešenie: doména definície funkcie sa zistí z podmienky

Definícia funkcie, rozsahu a množiny hodnôt. Definície súvisiace so zápisom funkcií. Definície komplexných, numerických, reálnych, monotónnych a viachodnotových funkcií. Definície maxima, minima, hornej a dolnej hranice pre ohraničené funkcie.

Definícia
Funkcia y = f (X) sa nazýva zákon (pravidlo, zobrazenie), podľa ktorého je každý prvok x množiny X spojený s jedným a iba jedným prvkom y množiny Y.

Množina X sa nazýva doména funkcie.
Súbor prvkov y ∈ Y, ktoré majú predobrazy v množine X, sa nazýva súbor funkčných hodnôt(alebo rozsah hodnôt).

doména funkcie sa niekedy nazývajú súbor definícií alebo veľa úloh funkcie.

Prvok x ∈ X volal argument funkcie alebo nezávislá premenná.
Prvok y ∈ Y volal funkčná hodnota alebo závislá premenná.

Samotné zobrazenie f sa nazýva charakteristika funkcie.

Charakteristika f má tú vlastnosť, že ak dva prvky a z definičnej množiny majú rovnaké hodnoty: , tak .

Symbol označujúci charakteristiku môže byť rovnaký ako symbol prvku funkčnej hodnoty. To znamená, že to môžete napísať takto: . Stojí za to pripomenúť, že y je prvok z množiny funkčných hodnôt a je to pravidlo, podľa ktorého je prvok x spojený s prvkom y.

Samotný proces výpočtu funkcie pozostáva z troch krokov. V prvom kroku vyberieme prvok x z množiny X. Potom sa pomocou pravidla prvok x priradí k prvku množiny Y. V treťom kroku je tento prvok priradený k premennej y.

Súkromná hodnota funkcie volať hodnotu funkcie s vybranou (konkrétnou) hodnotou jej argumentu.

Graf funkcie f nazývaný súbor párov.

Komplexné funkcie

Definícia
Nechajte funkcie a byť dané. Okrem toho oblasť definície funkcie f obsahuje množinu hodnôt funkcie g. Potom každému prvku t z oblasti definície funkcie g zodpovedá prvok x a tento x zodpovedá y. Táto korešpondencia sa nazýva komplexná funkcia: .

Komplexná funkcia je tiež tzv zloženie alebo superpozícia funkcií a niekedy sa označuje takto: .

V matematickej analýze sa vo všeobecnosti uznáva, že ak je charakteristika funkcie označená jedným písmenom alebo symbolom, potom špecifikuje rovnakú korešpondenciu. V iných disciplínach však existuje iný spôsob zápisu, podľa ktorého sa zobrazenia s rovnakou charakteristikou, ale rôznymi argumentmi, považujú za odlišné. To znamená, že mapovania sa považujú za odlišné. Uveďme príklad z fyziky. Povedzme, že uvažujeme závislosť hybnosti od súradníc. A majme závislosť súradníc od času. Potom je závislosť impulzu od času komplexnou funkciou. Ale pre stručnosť sa označuje takto: . S týmto prístupom a sú rôzne funkcie. Vzhľadom na rovnaké hodnoty argumentov môžu poskytnúť rôzne hodnoty. Tento zápis nie je v matematike akceptovaný. Ak sa požaduje zníženie, musí sa zaviesť nová charakteristika. Napríklad . Potom je jasne viditeľné, že a sú rôzne funkcie.

Platné funkcie

Doména funkcie a množina jej hodnôt môže byť ľubovoľná množina.
Napríklad číselné postupnosti sú funkcie, ktorých doménou je množina prirodzených čísel a množinou hodnôt sú reálne alebo komplexné čísla.
Krížový súčin je tiež funkcia, pretože pre dva vektory existuje iba jedna hodnota vektora. Tu je doménou definície množina všetkých možných párov vektorov. Množina hodnôt je množina všetkých vektorov.
Booleovský výraz je funkcia. Jeho doménou definície je množina reálnych čísel (alebo akákoľvek množina, v ktorej je definovaná porovnávacia operácia s prvkom „0“). Súbor hodnôt pozostáva z dvoch prvkov - „pravda“ a „nepravda“.

Numerické funkcie zohrávajú v matematickej analýze dôležitú úlohu.

Numerická funkcia je funkcia, ktorej hodnoty sú reálne alebo komplexné čísla.

Skutočná alebo skutočná funkcia je funkcia, ktorej hodnoty sú reálne čísla.

Maximum a minimum

Reálne čísla majú porovnávaciu operáciu. Preto môže byť množina hodnôt reálnej funkcie obmedzená a môže mať najväčšie a najmenšie hodnoty.

Volá sa skutočná funkcia obmedzené zhora (zdola), ak existuje číslo M také, že nerovnosť platí pre všetkých:
.

Zavolá sa funkcia čísla obmedzené, ak existuje číslo M také, že pre všetky:
.

Maximálne M (minimálne m) funkcia f, na nejakej množine X sa hodnota funkcie volá pre určitú hodnotu jej argumentu, pre ktorú pre všetky platí,
.

Horný okraj alebo presná horná hranica Reálna funkcia ohraničená vyššie je najmenšie číslo, ktoré ohraničuje rozsah hodnôt zhora. To znamená, že toto je číslo s, pre ktoré pre každého a pre kohokoľvek existuje argument, ktorého funkčná hodnota presahuje s′: .
Horná hranica funkcie môže byť označená takto:
.

Horná hranica funkcie s hornou hranicou

Spodný okraj alebo presná spodná hranica Skutočná funkcia ohraničená zdola je najväčšie číslo, ktoré ohraničuje jej rozsah hodnôt zdola. To znamená, že toto je číslo i, pre ktoré pre každého a pre kohokoľvek existuje argument, ktorého funkčná hodnota je menšia ako i′: .
Infimum funkcie možno označiť takto:
.

Infimum funkcie s dolnou hranicou je bod v nekonečne.

Každá reálna funkcia na neprázdnej množine X má teda hornú a dolnú hranicu. Ale nie každá funkcia má maximum a minimum.

Ako príklad uvažujme funkciu definovanú na otvorenom intervale.
Na tomto intervale je limitovaný zhora hodnotou 1 a nižšie - hodnota 0 :
pre všetkých .
Táto funkcia má hornú a dolnú hranicu:
.
Ale nemá žiadne maximum a minimum.

Ak vezmeme do úvahy rovnakú funkciu na segmente, potom na tejto množine je ohraničená nad a pod, má hornú a dolnú hranicu a má maximum a minimum:
pre všetkých ;
;
.

Monotónne funkcie

Definície rastúcich a klesajúcich funkcií
Nech je funkcia definovaná na nejakej množine reálnych čísel X. Funkcia sa volá prísne rastúce (prísne klesajúce)
.
Funkcia sa volá neklesajúci (nezvyšujúci sa), ak pre všetky platí nasledujúca nerovnosť:
.

Definícia monotónnej funkcie
Funkcia sa volá monotónna, ak je neklesajúca alebo nezvyšujúca sa.

Viachodnotové funkcie

Príklad viachodnotovej funkcie. Jeho vetvy sú označené rôznymi farbami. Každá vetva je funkcia.

Ako vyplýva z definície funkcie, každý prvok x z definičnej oblasti je spojený len s jedným prvkom z množiny hodnôt. Existujú však zobrazenia, v ktorých prvok x má niekoľko alebo nekonečný počet obrázkov.

Ako príklad zvážte funkciu arkzín: . Je to inverzná funkcia sínus a určuje sa z rovnice:
(1) .
Pre danú hodnotu nezávislej premennej x patriacej do intervalu je táto rovnica splnená nekonečne mnohými hodnotami y (pozri obrázok).

Uložme obmedzenie na riešenia rovnice (1). Nechaj
(2) .
Za tejto podmienky daná hodnota zodpovedá iba jednému riešeniu rovnice (1). To znamená, že korešpondencia definovaná rovnicou (1) za podmienky (2) je funkciou.

Namiesto podmienky (2) môžete zadať akúkoľvek inú podmienku formulára:
(2.n) ,
kde n je celé číslo. Výsledkom je, že pre každú hodnotu n dostaneme vlastnú funkciu, odlišnú od ostatných. Podobných funkcií je veľa viachodnotová funkcia. A funkcia určená z (1) za podmienky (2.n) je vetva viachodnotovej funkcie.

Ide o množinu funkcií definovaných na určitej množine.

Viachodnotová funkčná vetva je jednou z funkcií zahrnutých vo funkcii s viacerými hodnotami.

Jednohodnotová funkcia je funkcia.

Referencie:
O.I. Bešov. Prednášky o matematickej analýze. Časť 1. Moskva, 2004.
L.D. Kudrjavcev. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolského. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 1983.