Vzorec na výpočet aritmetického priemeru. Moskovská štátna univerzita polygrafického umenia

Téma aritmetický priemer a geometrický priemer je zaradená do matematického programu pre 6. – 7. ročník. Keďže je paragraf celkom ľahko pochopiteľný, rýchlo ho prejde a do konca školského roka ho žiaci zabudli. Znalosť základnej štatistiky je však potrebná na zloženie jednotnej štátnej skúšky, ako aj na medzinárodné skúšky SAT. A pre každodenný život rozvinuté analytické myslenie nikdy neuškodí.

Ako vypočítať aritmetický priemer a geometrický priemer čísel

Povedzme, že existuje séria čísel: 11, 4 a 3. Aritmetický priemer je súčet všetkých čísel vydelený počtom daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 11, 4, 3 bude odpoveď 6. Ako získate 6?

Riešenie: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Menovateľ musí obsahovať číslo, ktoré sa rovná počtu čísel, ktorých priemer je potrebné nájsť. Súčet je deliteľný 3, keďže existujú tri členy.

Teraz musíme zistiť geometrický priemer. Povedzme, že existuje séria čísel: 4, 2 a 8.

Geometrický priemer čísel je súčinom všetkých daných čísel umiestnených pod odmocninou s mocninou rovnajúcou sa počtu daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 4, 2 a 8 bude odpoveď 4. Takto ukázalo sa:

Riešenie: ∛(4 × 2 × 8) = 4

V oboch možnostiach sme dostali celé odpovede, keďže pre príklad boli použité špeciálne čísla. To sa nestáva vždy. Vo väčšine prípadov musí byť odpoveď zaokrúhlená alebo ponechaná pri koreni. Napríklad pre čísla 11, 7 a 20 je aritmetický priemer ≈ 12,67 a geometrický priemer je ∛1540. A pre čísla 6 a 5 budú odpovede 5,5 a √30.

Môže sa stať, že sa aritmetický priemer rovná geometrickému priemeru?

Samozrejme, že môže. Ale len v dvoch prípadoch. Ak existuje séria čísel pozostávajúca iba z jednotiek alebo núl. Je tiež pozoruhodné, že odpoveď nezávisí od ich počtu.

Dôkaz s jednotkami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetický priemer).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrický priemer).

Dôkaz s nulami: (0 + 0) / 2 = 0 (aritmetický priemer).

√(0 × 0) = 0 (geometrický priemer).

Iná možnosť nie je a ani nemôže byť.

Metóda priemerov

3.1 Podstata a význam priemerov v štatistike. Typy priemerov

Priemerná veľkosť v štatistike je zovšeobecnená charakteristika kvalitatívne homogénnych javov a procesov podľa nejakej premennej charakteristiky, ktorá ukazuje úroveň charakteristiky vztiahnutej na jednotku populácie. priemerná hodnota abstraktné, pretože charakterizuje hodnotu charakteristiky v nejakej neosobnej jednotke obyvateľstva.Esencia priemerná hodnota je, že prostredníctvom jednotlivca a náhody sa odhaľuje všeobecné a nevyhnutné, teda tendencia a vzor vo vývoji hromadných javov. Znaky, ktoré sú zovšeobecnené v priemerných hodnotách, sú vlastné všetkým jednotkám populácie. Z tohto dôvodu má priemerná hodnota veľký význam pre identifikáciu vzorcov, ktoré sú súčasťou masových javov a ktoré nie sú viditeľné v jednotlivých jednotkách populácie.

Všeobecné zásady používania priemerov:

je potrebný primeraný výber jednotky populácie, pre ktorú sa vypočítava priemerná hodnota;

pri určovaní priemernej hodnoty treba vychádzať z kvalitatívneho obsahu spriemerovanej charakteristiky, brať do úvahy vzťah skúmaných charakteristík, ako aj údaje dostupné na výpočet;

priemerné hodnoty by sa mali vypočítať na základe kvalitatívne homogénnych populácií, ktoré sa získajú metódou zoskupovania, ktorá zahŕňa výpočet systému zovšeobecňujúcich ukazovateľov;

celkové priemery musia byť podporené skupinovými priemermi.

V závislosti od povahy primárnych údajov, rozsahu použitia a spôsobu výpočtu v štatistike sa rozlišujú: hlavné typy médií:

1) výkonové priemery(aritmetický priemer, harmonický, geometrický, stredný štvorcový a kubický);

2) štrukturálne (neparametrické) prostriedky(režim a medián).

V štatistike správnu charakteristiku skúmanej populácie podľa rôznych charakteristík v každom jednotlivom prípade poskytuje len veľmi špecifický typ priemeru. Otázka, aký typ priemeru je potrebné použiť v konkrétnom prípade, sa rieši prostredníctvom špecifickej analýzy skúmanej populácie, ako aj na základe princípu zmysluplnosti výsledkov pri sčítaní alebo pri vážení. Tieto a ďalšie princípy sú vyjadrené v štatistike teória priemerov.

Napríklad aritmetický priemer a harmonický priemer sa používajú na charakterizáciu priemernej hodnoty premenlivej charakteristiky v skúmanej populácii. Geometrický priemer sa používa iba pri výpočte priemerných mier dynamiky a kvadratický priemer sa používa iba pri výpočte variačných indexov.

Vzorce na výpočet priemerných hodnôt sú uvedené v tabuľke 3.1.

Tabuľka 3.1 – Vzorce na výpočet priemerných hodnôt

Označenia:- množstvá, pre ktoré sa vypočítava priemer; - priemer, kde stĺpec vyššie naznačuje, že dochádza k priemerovaniu jednotlivých hodnôt; - frekvencia (opakovateľnosť jednotlivých hodnôt charakteristiky).

Je zrejmé, že rôzne priemery sú odvodené od všeobecný vzorec pre priemerný výkon (3.1) :

, (3.1)

keď k = + 1 - aritmetický priemer; k = -1 - harmonický priemer; k = 0 - geometrický priemer; k = +2 - stredná odmocnina.

Priemerné hodnoty môžu byť jednoduché alebo vážené. Vážené priemery nazývajú sa hodnoty, ktoré berú do úvahy, že niektoré varianty hodnôt atribútov môžu mať rôzne čísla; v tomto ohľade musí byť každá možnosť vynásobená týmto číslom. „Váhy“ sú v tomto prípade počty agregovaných jednotiek v rôznych skupinách, t.j. Každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia f sa nazýva štatistická váha alebo Priemerná hmotnosť.

Nakoniec správna voľba priemeru predpokladá nasledujúcu postupnosť:

a) stanovenie všeobecného ukazovateľa populácie;

b) určenie matematického vzťahu veličín pre daný všeobecný ukazovateľ;

c) nahradenie jednotlivých hodnôt priemernými hodnotami;

d) výpočet priemeru pomocou príslušnej rovnice.

3.2 Aritmetický priemer a jeho vlastnosti a techniky výpočtu. Harmonický priemer

Aritmetický priemer– najbežnejší typ strednej veľkosti; vypočítava sa v prípadoch, keď objem spriemerovanej charakteristiky je tvorený súčtom jej hodnôt pre jednotlivé jednotky študovanej štatistickej populácie.

Najdôležitejšie vlastnosti aritmetického priemeru:

1. Súčin priemeru súčtom početností sa vždy rovná súčtu súčinov variantov (jednotlivých hodnôt) podľa početností.

2. Ak odpočítate (pripočítate) ľubovoľné číslo od každej možnosti, potom sa nový priemer zníži (zvýši) o rovnaké číslo.

3. Ak sa každá možnosť vynásobí (vydelí) nejakým ľubovoľným číslom, potom sa nový priemer zvýši (zníži) o rovnakú hodnotu

4. Ak sa všetky frekvencie (váhy) vydelia alebo vynásobia ľubovoľným číslom, aritmetický priemer sa nezmení.

5. Súčet odchýlok jednotlivých možností od aritmetického priemeru je vždy nula.

Od všetkých hodnôt atribútu môžete odčítať ľubovoľnú konštantnú hodnotu (najlepšie hodnotu strednej možnosti alebo možností s najvyššou frekvenciou), výsledné rozdiely znížiť spoločným faktorom (najlepšie o hodnotu intervalu), a vyjadrite frekvencie v jednotlivostiach (v percentách) a vypočítaný priemer vynásobte spoločným faktorom a pridajte ľubovoľnú konštantnú hodnotu. Táto metóda výpočtu aritmetického priemeru sa nazýva spôsob výpočtu od podmienenej nuly .

Geometrický priemer nachádza svoje uplatnenie pri určovaní priemerných rýchlostí rastu (priemerných rastových koeficientov), ​​keď sú jednotlivé hodnoty charakteristiky prezentované vo forme relatívnych hodnôt. Používa sa tiež, ak je potrebné nájsť priemer medzi minimálnymi a maximálnymi hodnotami charakteristiky (napríklad medzi 100 a 1000000).

Hlavné námestie používa sa na meranie variácie charakteristiky v súhrne (výpočet smerodajnej odchýlky).

Platí v štatistikách pravidlo väčšiny priemerov:

X škody.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Štrukturálne priemery (režim a medián)

Na určenie štruktúry populácie sa používajú špeciálne priemerné ukazovatele, ktoré zahŕňajú medián a modus, alebo takzvané štrukturálne priemery. Ak je aritmetický priemer vypočítaný na základe použitia všetkých variantov hodnôt atribútov, potom medián a režim charakterizujú hodnotu variantu, ktorý zaberá určitú priemernú pozíciu v hodnotenom rade variácií.

Móda- najtypickejšia, najčastejšie sa vyskytujúca hodnota atribútu. Pre diskrétne série Módou bude možnosť s najvyššou frekvenciou. Na určenie módy intervalové série Najprv sa určí modálny interval (interval s najvyššou frekvenciou). Potom sa v tomto intervale nájde hodnota funkcie, ktorou môže byť režim.

Ak chcete nájsť konkrétnu hodnotu režimu intervalového radu, musíte použiť vzorec (3.2)

(3.2)

kde XMo je spodná hranica modálneho intervalu; i Mo - hodnota modálneho intervalu; f Mo - frekvencia modálneho intervalu; f Mo-1 - frekvencia intervalu predchádzajúceho modálnemu; f Mo+1 je frekvencia intervalu nasledujúceho po modálnom.

Móda je rozšírená v marketingových aktivitách pri skúmaní spotrebiteľského dopytu, najmä pri určovaní najobľúbenejších veľkostí oblečenia a obuvi a pri regulácii cenovej politiky.

Medián - hodnota premenlivej charakteristiky spadajúca do stredu hodnotenej populácie. Pre zoradené série s nepárnym číslom jednotlivé hodnoty (napríklad 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) bude mediánom hodnota, ktorá sa nachádza v strede radu, t.j. štvrtá hodnota je 6. Pre zoradené série s párnym číslom jednotlivé hodnoty (napríklad 1, 5, 7, 10, 11, 14) bude mediánom aritmetický priemer, ktorý sa vypočíta z dvoch susedných hodnôt. Pre náš prípad je medián (7+10)/2= 8,5.

Ak teda chcete nájsť medián, musíte najprv určiť jeho sériové číslo (jeho pozíciu v radení) pomocou vzorcov (3.3):

(ak nie sú žiadne frekvencie)

N Ja =
(ak existujú frekvencie) (3.3)

kde n je počet jednotiek v súhrne.

Číselná hodnota mediánu intervalové série určené akumulovanými frekvenciami v diskrétnych variačných sériách. Ak to chcete urobiť, musíte najskôr uviesť interval, v ktorom sa nachádza medián v intervalovom rade distribúcie. Medián je prvý interval, v ktorom súčet akumulovaných frekvencií presahuje polovicu pozorovaní z celkového počtu všetkých pozorovaní.

Číselná hodnota mediánu sa zvyčajne určuje vzorcom (3.4)

(3.4)

kde x Ме je spodná hranica mediánu intervalu; iMe - hodnota intervalu; SМе -1 je akumulovaná frekvencia intervalu, ktorý predchádza mediánu; fMe - frekvencia stredného intervalu.

V rámci zisteného intervalu sa medián vypočíta aj pomocou vzorca Me = xl e, kde druhý faktor na pravej strane rovnosti ukazuje umiestnenie mediánu v rámci intervalu mediánu a x je dĺžka tohto intervalu. Medián rozdeľuje sériu variácií na polovicu podľa frekvencie. Stále sa rozhoduje kvartily , ktoré rozdeľujú variačný rad na 4 časti rovnakej pravdepodobnosti a decilov , rozdelením riadku na 10 rovnakých častí.

Aký je aritmetický priemer

Aritmetický priemer viacerých veličín je pomer súčtu týchto veličín k ich počtu.

Aritmetický priemer určitého radu čísel je súčet všetkých týchto čísel vydelený počtom členov. Aritmetický priemer je teda priemerná hodnota číselného radu.

Aký je aritmetický priemer niekoľkých čísel? A rovnajú sa súčtu týchto čísel, ktorý sa vydelí počtom členov v tomto súčte.

Ako nájsť aritmetický priemer

Vo výpočte alebo nájdení aritmetického priemeru viacerých čísel nie je nič zložité, stačí sčítať všetky uvedené čísla a výsledný súčet vydeliť počtom členov. Získaný výsledok bude aritmetický priemer týchto čísel.

Pozrime sa na tento proces podrobnejšie. Čo musíme urobiť, aby sme vypočítali aritmetický priemer a získali konečný výsledok tohto čísla.

Po prvé, na jeho výpočet je potrebné určiť množinu čísel alebo ich počet. Táto sada môže obsahovať veľké a malé čísla a ich počet môže byť ľubovoľný.

Po druhé, všetky tieto čísla je potrebné sčítať a získať ich súčet. Prirodzene, ak sú čísla jednoduché a je ich malý počet, potom je možné výpočty vykonať ručným písaním. Ale ak je súbor čísel pôsobivý, potom je lepšie použiť kalkulačku alebo tabuľku.

A po štvrté, množstvo získané sčítaním sa musí vydeliť počtom čísel. V dôsledku toho dostaneme výsledok, ktorý bude aritmetickým priemerom tohto radu.

Prečo potrebujete aritmetický priemer?

Aritmetický priemer môže byť užitočný nielen pri riešení príkladov a problémov na hodinách matematiky, ale aj na iné účely potrebné v každodennom živote človeka. Takýmito cieľmi môže byť výpočet aritmetického priemeru na výpočet priemerných finančných výdavkov za mesiac, alebo na výpočet času, ktorý strávite na cestách, tiež za účelom zistenia návštevnosti, produktivity, rýchlosti pohybu, výnosu a mnoho ďalšieho.

Skúsme si teda napríklad vypočítať, koľko času strávite cestovaním do školy. Keď idete do školy alebo sa vraciate domov, trávite na cestách zakaždým iný čas, pretože keď sa ponáhľate, kráčate rýchlejšie, a preto cesta trvá menej času. Ale pri návrate domov môžete kráčať pomaly, komunikovať so spolužiakmi, obdivovať prírodu, a preto vám cesta zaberie viac času.

Čas strávený na ceste teda nebudete vedieť presne určiť, no vďaka aritmetickému priemeru približne zistíte čas strávený na ceste.

Predpokladajme, že prvý deň po víkende ste strávili pätnásť minút na ceste z domu do školy, na druhý deň vám cesta trvala dvadsať minút, v stredu ste prešli vzdialenosť za dvadsaťpäť minút a cesta trvala rovnako. veľa času vo štvrtok a v piatok ste sa nikam neponáhľali a vrátili ste sa na celú pol hodinu.

Nájdime aritmetický priemer s pripočítaním času pre všetkých päť dní. takže,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Teraz túto sumu vydeľte počtom dní

Vďaka tejto metóde ste sa dozvedeli, že cesta z domu do školy trvá približne dvadsaťtri minút vášho času.

Domáca úloha

1. Pomocou jednoduchých výpočtov nájdite aritmetický priemer dochádzky študentov vo vašej triede za týždeň.

2. Nájdite aritmetický priemer:

3. Vyriešte problém:

Téma 5. Priemerné hodnoty ako štatistické ukazovatele

Koncept priemernej hodnoty. Rozsah priemerov v štatistickom výskume

Priemerné hodnoty sa používajú vo fáze spracovania a sumarizácie získaných primárnych štatistických údajov. Potreba určiť priemerné hodnoty je spôsobená skutočnosťou, že jednotlivé hodnoty rovnakej charakteristiky pre rôzne jednotky študovaných populácií spravidla nie sú rovnaké.

Priemerná veľkosť nazývaný indikátor, ktorý charakterizuje zovšeobecnenú hodnotu charakteristiky alebo skupiny charakteristík v skúmanej populácii.

Ak sa študuje populácia s kvalitatívne homogénnymi charakteristikami, potom priemerná hodnota tu pôsobí ako typický priemer. Napríklad pre skupiny pracovníkov v určitom odvetví s fixnou úrovňou príjmu sa zisťujú typické priemerné výdavky na základné životné potreby, t.j. typický priemer zovšeobecňuje kvalitatívne homogénne hodnoty atribútu v danej populácii, čo je podiel výdavkov pracovníkov tejto skupiny na základné tovary.

Pri štúdiu populácie s kvalitatívne heterogénnymi charakteristikami môže vystúpiť do popredia atypickosť priemerných ukazovateľov. Sú to napríklad priemerné ukazovatele vyrobeného národného dôchodku na obyvateľa (rôzne vekové skupiny), priemerné ukazovatele výnosov obilia v celom Rusku (regióny rôznych klimatických zón a rôznych obilnín), priemerné ukazovatele pôrodnosti obyvateľstva za všetky regióny krajiny, priemerné teploty za určité obdobie atď. Priemerné hodnoty tu zovšeobecňujú kvalitatívne heterogénne hodnoty charakteristík alebo systémových priestorových agregátov (medzinárodné spoločenstvo, kontinent, štát, región, región atď.) alebo dynamické agregáty predĺžené v čase (storočie, desaťročie, rok, sezóna atď.). ). Takéto priemerné hodnoty sa nazývajú systémové priemery.

Význam priemerných hodnôt teda spočíva v ich zovšeobecňujúcej funkcii. Priemerná hodnota nahrádza veľký počet individuálnych hodnôt atribútu a odhaľuje spoločné vlastnosti, ktoré sú vlastné všetkým jednotkám populácie. To nám zase umožňuje vyhnúť sa náhodným príčinám a identifikovať všeobecné vzorce v dôsledku bežných príčin.

Typy priemerných hodnôt a metódy ich výpočtu

V štádiu štatistického spracovania možno nastaviť rôzne výskumné problémy, na riešenie ktorých je potrebné zvoliť vhodný priemer. V tomto prípade je potrebné riadiť sa nasledujúcim pravidlom: veličiny, ktoré predstavujú čitateľa a menovateľa priemeru, musia spolu logicky súvisieť.

výkonové priemery;

štrukturálne priemery.

Predstavme si nasledujúce konvencie:

množstvá, pre ktoré sa vypočítava priemer;

Priemer, kde stĺpec vyššie naznačuje, že sa uskutočňuje priemerovanie jednotlivých hodnôt;

Frekvencia (opakovateľnosť jednotlivých charakteristických hodnôt).

Zo všeobecného vzorca priemerného výkonu sú odvodené rôzne priemery:

(5.1)

keď k = 1 - aritmetický priemer; k = -1 - harmonický priemer; k = 0 - geometrický priemer; k = -2 - stredná odmocnina.

Priemerné hodnoty môžu byť jednoduché alebo vážené. Vážené priemery Toto sú hodnoty, ktoré berú do úvahy, že niektoré varianty hodnôt atribútov môžu mať rôzne čísla, a preto je potrebné každú možnosť vynásobiť týmto číslom. Inými slovami, „stupnice“ sú počty agregovaných jednotiek v rôznych skupinách, t.j. Každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia f sa nazýva štatistická váha alebo priemerná hmotnosť.

Aritmetický priemer- najbežnejší typ priemeru. Používa sa, keď sa výpočet vykonáva na nezoskupených štatistických údajoch, kde potrebujete získať priemerný termín. Aritmetický priemer je priemerná hodnota charakteristiky, po ktorej získaní zostáva celkový objem charakteristiky v súhrne nezmenený.

Vzorec pre aritmetický priemer (jednoduchý) má tvar

kde n je veľkosť populácie.

Napríklad priemerná mzda zamestnancov podniku sa vypočíta ako aritmetický priemer:

Určujúcimi ukazovateľmi sú tu mzda každého zamestnanca a počet zamestnancov podniku. Pri výpočte priemeru zostala celková výška miezd rovnaká, ale rovnomerne rozdelená medzi všetkých zamestnancov. Napríklad musíte vypočítať priemernú mzdu pracovníkov v malej spoločnosti, ktorá zamestnáva 8 ľudí:

Pri výpočte priemerných hodnôt sa môžu jednotlivé hodnoty spriemerovanej charakteristiky opakovať, takže priemerná hodnota sa vypočíta pomocou zoskupených údajov. V tomto prípade hovoríme o použití vážený aritmetický priemer, ktorý má podobu

(5.3)

Potrebujeme teda vypočítať priemernú cenu akcií akciovej spoločnosti pri obchodovaní na burze. Je známe, že transakcie sa uskutočnili do 5 dní (5 transakcií), počet akcií predaných za predajný kurz bol rozdelený takto:

1 - 800 ak. - 1010 rubľov.

2 - 650 ak. - 990 rubľov.

3 - 700 ak. - 1015 rubľov.

4 - 550 ak. - 900 rubľov.

5 - 850 ak. - 1150 rubľov.

Počiatočný pomer na určenie priemernej ceny akcií je pomer celkového množstva transakcií (TVA) k počtu predaných akcií (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

KPA = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3 550.

V tomto prípade sa priemerná cena akcií rovnala

Je potrebné poznať vlastnosti aritmetického priemeru, čo je veľmi dôležité tak pre jeho použitie, ako aj pre jeho výpočet. Môžeme rozlíšiť tri hlavné vlastnosti, ktoré najviac určovali rozšírené používanie aritmetického priemeru v štatistických a ekonomických výpočtoch.

Vlastnosť jedna (nula): súčet kladných odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od jej priemernej hodnoty sa rovná súčtu záporných odchýlok. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť, pretože ukazuje, že akékoľvek odchýlky (aj + aj -) spôsobené náhodnými príčinami budú vzájomne anulované.

dôkaz:

Vlastnosť dva (minimum): súčet štvorcových odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od aritmetického priemeru je menší ako od akéhokoľvek iného čísla (a), t.j. existuje minimálny počet.

Dôkaz.

Zostavme súčet štvorcových odchýlok od premennej a:

(5.4)

Na nájdenie extrému tejto funkcie je potrebné prirovnať jej deriváciu vzhľadom na a k nule:

Odtiaľto dostaneme:

(5.5)

V dôsledku toho sa extrém súčtu kvadrátov odchýlok dosiahne pri . Tento extrém je minimum, pretože funkcia nemôže mať maximum.

Vlastnosť tri: aritmetický priemer konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštante: pre a = konšt.

Okrem týchto troch najdôležitejších vlastností aritmetického priemeru existujú tzv dizajnové vlastnosti, ktoré používaním elektronickej výpočtovej techniky postupne strácajú svoj význam:

ak sa individuálna hodnota atribútu každej jednotky vynásobí alebo vydelí konštantným číslom, potom sa aritmetický priemer zvýši alebo zníži o rovnakú hodnotu;

aritmetický priemer sa nezmení, ak sa váha (frekvencia) každej hodnoty atribútu vydelí konštantným číslom;

ak sa jednotlivé hodnoty atribútu každej jednotky znížia alebo zvýšia o rovnakú hodnotu, aritmetický priemer sa zníži alebo zvýši o rovnakú hodnotu.

Harmonický priemer. Tento priemer sa nazýva inverzný aritmetický priemer, pretože táto hodnota sa používa, keď k = -1.

Jednoduchý harmonický priemer sa používa, keď sú váhy hodnôt atribútov rovnaké. Jeho vzorec možno odvodiť zo základného vzorca dosadením k = -1:

Potrebujeme napríklad vypočítať priemernú rýchlosť dvoch áut, ktoré prešli tú istú cestu, ale rôznymi rýchlosťami: prvé pri rýchlosti 100 km/h, druhé pri rýchlosti 90 km/h. Pomocou metódy harmonického priemeru vypočítame priemernú rýchlosť:

V štatistickej praxi sa častejšie používa harmonická vážená, ktorej vzorec má tvar

Tento vzorec sa používa v prípadoch, keď váhy (alebo objemy javov) pre každý atribút nie sú rovnaké. V počiatočnom pomere na výpočet priemeru je čitateľ známy, no menovateľ nie je známy.