História vývoja číselných sústav.
V každodennom živote sú moderní ľudia obklopení obrovským množstvom najrôznejších informácií, z ktorých nemalú časť tvoria číselné informácie. V skutočnosti si pamätáme telefónne čísla, počítame náklady na nákupy, sledujeme školské hodiny a ich trvanie atď. Historici dokázali, že aj v staroveku si ľudia mohli zapisovať čísla, vykonávať s nimi rôzne aritmetické operácie, ale čísla boli zapísané úplne inými spôsobmi, ako to robíme dnes.
čo je číslo? Spočiatku bol pojem čísla „viazaný“ na objekty, ktoré sa počítali. S rozvojom písma sa objavuje abstraktný pojem prirodzeného čísla. Potreba robiť merania, t.j. porovnanie s inou veličinou rovnakého druhu, zvolenou ako štandard, viedlo k výskytu zlomkových čísel. Ďalší vývoj pojmu číslo priamo súvisel s rozvojom matematiky. Dnes je číslo základným pojmom matematiky a informatiky, ktorý sa chápe ako jeho hodnota, a nie ako symbolický zápis. Bežné znaky používané na označenie čísel sa nazývajú čísla.
Súbor techník na pomenovanie a písanie čísel sa nazýva notácia.
Číselný systém je spôsob písania čísel a pravidiel pre prevádzkové čísla.
Prvé zmienky o číselných sústavách možno datovať do 10. – 11. tisícročia pred n. l. Pri výskume kultúrnych vrstiev siahajúcich do tohto obdobia archeológovia objavili záznamy v podobe sledu čiarok – paličiek. Vedci sa domnievajú, že čísla boli napísané týmto spôsobom a počet paličiek napísaných v riadku sa rovná hodnote čísla. Tento číselný systém bol tzv single (palica) . Ďalší rozvoj počítania viedol k zdokonaľovaniu a rozvoju číselných sústav. Počas svojej histórie ľudstvo používalo rôzne číselné sústavy a mnohé dôkazy o tom prežili dodnes. Napríklad skutočnosť, že hodina má 60 minút a minúta 60 sekúnd naznačuje, že kedysi ľudia používali šesťdesiatkové číselný systém. Archeológovia skutočne objavili počas vykopávok na mieste starovekej babylonskej civilizácie stopy používania takéhoto číselného systému. Dvanásť mesiacov v roku a dvanásť dielikov na ciferníku hodín naznačujú, že sa s najväčšou pravdepodobnosťou kedysi používal duodecimálny číselný systém.
V starovekej Rusi tzv abecedne číselná sústava, v ktorej sa čísla označovali písmenami azbuky so zvláštnym znakom tzv titul a slúžil na rozlíšenie číslic od písmen.
Moderný systém desiatkových čísel vznikol v Indii okolo 5. storočia. AD, vznik tohto systému bol možný po tom, čo sa na označenie chýbajúcej hodnoty začalo používať číslo „0“.
Pozičné a nepozičné číselné sústavy.
Číselné sústavy, v ktorých sú čísla zapísané ako postupnosť číslic, možno rozdeliť do dvoch tried: pozičné a nepozičné. V nepozičných systémoch sa význam číslic nemenia, keď sa mení ich pozícia v postupnosti. Ako príklad nepozičnej sústavy uvedieme známu rímsku číselnú sústavu. V rímskom číselnom systéme sa symbol X na akomkoľvek mieste rovná 10, ale v položke naľavo od hlavného (napríklad XC) sa symbol x rovná –10 a v kombinácii pred vedľajšou jedna (napríklad XV) sa rovná +10. V nepozičných číselných sústavách sú operácie s číslami veľmi ťažké a nemajú žiadne pravidlá. V týchto systémoch nie je možné vyjadriť záporné a zlomkové čísla, takže nepozičné systémy majú obmedzené použitie. Používajú sa najmä na pomenovanie dátumov, zväzkov, kapitol atď.
Naopak, v pozičných číselných sústavách závisí kvantitatívna hodnota číslice v čísle od jej polohy.
Uveďme definície základných, najdôležitejších pojmov pozičných číselných sústav, medzi ktoré patrí základ, abeceda a základ číselných sústav
ZákladňaČíselný systém ukazuje, koľkokrát sa kvantitatívna hodnota číslice zmení pri prechode na susednú pozíciu a aký počet rôznych znakov (číslic) je zahrnutý v takzvanej abecede číselnej sústavy.
AbecedaČíselný systém je množina symbolov (číslic), ktoré sa používajú v pozičnom číselnom systéme na písanie čísel. Takže abecedy číselných systémov, ktoré sú uvedené nižšie, sú nasledovné:
binárne: 0,1.
Osmičkové: 0,1,2,3,4,5,6,7.
Desatinné: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Hexadecimálne: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Základ Pozičný číselný systém je postupnosť čísel, z ktorých každé určuje hodnotu číslice podľa pozície. Inými slovami, môžeme povedať, že základ číselnej sústavy tvoria čísla, ktoré sú postupnými mocninami základu číselnej sústavy.
Základom číselnej sústavy môže byť akékoľvek prirodzené číslo ≥ 2. Príkladom pozičnej číselnej sústavy je desiatková sústava, ktorá sa v živote bežne používa. Arabské číslice 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sa používajú ako desatinné číslice - ktoré sú abecedou desiatkovej číselnej sústavy. Základom číselnej sústavy je 10, čo znamená, že významy číslic na susedných pozíciách sa líšia desaťnásobne a tiež, že v abecede je 10 číslic. Základom desiatkovej číselnej sústavy sú tieto čísla: 1, 10, 100, 1000, 10000 ... 10 n, to znamená, že číslica na nulovej pozícii prispieva jednotkami, číslica na prvej pozícii prispieva desiatkami, číslica na druhej pozícii prispieva príspevok – stovky atď.
Ako príklad si vezmite číslo 5555 zapísané vo vašej bežnej číselnej sústave so základom 10.
5 3 5 2 5 1 5 0 = 5000+500+50+5
Ako je vidieť z príkladu 5, postavenie na 0. pozícii predstavuje príspevok rovný 5 jednotkám, 5. stojí na 1. pozícii príspevok rovný 5 desiatkam, 5. stojí na 2. pozícii príspevok rovný 5 stovkám, 5 stojaci na 3. mieste znáša príspevok vo výške 5 tis.
V akomkoľvek pozičnom číselnom systéme so základom väčším ako 1 sa číslo zapisuje ako postupnosť číslic oddelených čiarkou na dve postupnosti.
pozície , tie, ktoré sa nachádzajú naľavo od čiarky, sú očíslované sprava doľava číslami 0, 1, 2, ... a napravo od čiarky sú očíslované v rade zľava doprava -1, -2, - 3 atď. Vyvolajú sa očíslované pozície číslic .
Postupnosť číslic umiestnených naľavo od desatinnej čiarky sa nazýva celá časť čísla a napravo od desatinnej čiarky sa nazýva zlomková časť.
Moderné počítače v súčasnosti využívajú najmä pozičné číselné sústavy so základňami 2, 8, 16 a 10, aj keď sa objavili pokusy, aj keď nie celkom úspešné, použiť aj iné číselné sústavy (napríklad trojčlenné).
Za zmienku stojí dôležitá vlastnosť základu číselnej sústavy - v akejkoľvek pozičnej číselnej sústave je základ zapísaný ako 10, ale má inú kvantitatívnu hodnotu. Napríklad v binárnej číselnej sústave 10 je dvojka, v trojkovej číselnej sústave 10 je tri a v desiatkovej číselnej sústave 10 je desať.
Odoslanie dobrej práce do databázy znalostí je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár
Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí pri štúdiu a práci využívajú vedomostnú základňu, vám budú veľmi vďační.
Uverejnené dňa http://www.allbest.ru/
MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE
FEDERÁLNA ŠTÁTNA ROZPOČTOVÁ VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA STREDNÉHO ODBORNÉHO VZDELÁVANIA
"ŠTÁTNA UNIVERZITA TYUMEN"
SURGUT INŠTITÚT EKONOMIKY, MANAŽMENTU A PRÁVA (POBOČKA) Tyumen State University
Téma: "História číselných sústav"
Vykonané:
Žiak 1. ročníka BD-154-O
Kutová A.A.
Skontrolované:
Volkova T.G.
Surgut 2015
1. História číselných sústav
2. Desatinná číselná sústava
Literatúra
1. História číselných sústav
Notový zápis je súbor techník a pravidiel na označovanie a pomenovanie čísel.
Moderný človek sa v každodennom živote neustále stretáva s číslami: pamätáme si autobusové a telefónne čísla, počítame náklady na nákupy v obchode, spravujeme náš rodinný rozpočet v rubľoch a kopejkách (stovky rubľov) atď. Čísla, čísla... sú s nami všade. Čo ľudia vedeli o číslach pred niekoľkými tisíckami rokov? Otázka nie je jednoduchá, ale veľmi zaujímavá. Historici dokázali, že už pred piatimi tisíckami rokov si ľudia mohli zapisovať čísla a vykonávať s nimi aritmetické operácie. Samozrejme, princípy nahrávania boli úplne iné, ako sú teraz. Ale v každom prípade bolo číslo zobrazené pomocou jedného alebo viacerých symbolov.
Tieto symboly zapojené do písania čísel sa v matematike a informatike nazývajú čísla.
Čo však potom ľudia chápu pod slovom „číslo“?
Spočiatku koncept abstraktného čísla chýbal, číslo bolo „viazané“ na tie konkrétne objekty, ktoré sa počítali. Abstraktný pojem prirodzeného čísla sa objavuje spolu s vývojom písma. Zlomkové čísla boli vynájdené, keď vznikla potreba vykonať merania. Meranie, ako je známe, je porovnanie s inou veličinou rovnakého druhu, zvolenou ako štandard.
Norma sa tiež nazýva merná jednotka. Je jasné, že jednotka merania sa nie vždy zmestila do meranej hodnoty ako celé číslo. Preto vznikla praktická potreba zaviesť „menšie“ čísla ako prirodzené. Ďalší vývoj pojmu číslo bol determinovaný rozvojom matematiky.
Pojem čísla je základným pojmom v matematike aj informatike. V budúcnosti, pri prezentácii materiálu, podľa čísla budeme chápať jeho hodnotu, a nie jeho symbolický zápis.
Dnes, na samom konci 20. storočia, ľudstvo používa na zaznamenávanie čísel najmä desiatkovú číselnú sústavu. Čo je to číselná sústava?
Notový zápis je spôsob zaznamenávania (reprezentácie) čísel.
Rôzne číselné sústavy, ktoré existovali v minulosti a ktoré sa v súčasnosti používajú, sú rozdelené do dvoch skupín: pozičné a nepozičné.
Najpokročilejšie sú pozičné číselné sústavy, t.j. systémy zápisu čísel, v ktorých príspevok každej číslice k hodnote čísla závisí od jej polohy (pozície) v postupnosti číslic reprezentujúcich číslo. Napríklad naša zvyčajná desiatková sústava je pozičná: v čísle 34 číslica 3 označuje počet desiatok a „prispieva“ k hodnote čísla 30 a v čísle 304 tá istá číslica 3 označuje počet stoviek a „prispieva“ k hodnote čísla 300.
Číselné sústavy, v ktorých každá číslica zodpovedá hodnote, ktorá nezávisí od jej miesta v čísle, sa nazývajú nepozičné.
Pozičné číselné sústavy sú výsledkom dlhého historického vývoja nepozičných číselných sústav.
Jednotkový systém
Potreba písať čísla sa objavila vo veľmi dávnych dobách, akonáhle ľudia začali počítať. Množstvo predmetov, napríklad oviec, bolo znázornené nakreslením čiar alebo pätiek na nejakom tvrdom povrchu: kameň, hlina, drevo (vynález papiera bol ešte veľmi, veľmi ďaleko). Každá ovca v takomto zázname zodpovedala jednému riadku. Takéto „záznamy“ našli archeológovia pri vykopávkach kultúrnych vrstiev z obdobia paleolitu (10 - 11 tisíc rokov pred Kristom).
Vedci nazvali tento spôsob písania čísel jednotkový ("palička") číselný systém. V ňom sa na zaznamenávanie čísel použil iba jeden typ znaku - „palica“. Každé číslo v takejto číselnej sústave bolo označené pomocou čiary tvorenej tyčinkami, ktorých počet sa rovnal určenému číslu.
Nevýhody takéhoto systému na písanie čísel a obmedzenia jeho aplikácie sú zrejmé: čím väčšie číslo je potrebné napísať, tým dlhší je reťazec paličiek. A keď zapisujete veľké číslo, je ľahké urobiť chybu pridaním ďalšieho počtu tyčiniek alebo naopak, nezapísať ich.
Dá sa navrhnúť, že na uľahčenie počítania začali ľudia zoskupovať predmety do 3, 5, 10 kusov. A pri nahrávaní používali znaky zodpovedajúce skupine niekoľkých predmetov. Pri počítaní sa samozrejme používali prsty, takže sa najskôr objavili znaky označujúce skupinu predmetov po 5 a 10 kusoch (jednotkách). Tak vznikli pohodlnejšie systémy na zaznamenávanie čísel.
Staroegyptský desiatkový nepozičný systém
Staroegyptský číselný systém, ktorý vznikol v druhej polovici tretieho tisícročia pred Kristom, používal špeciálne čísla na vyjadrenie čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Čísla v egyptskom číselnom systéme boli napísané ako kombinácie týchto číslic, pričom každé z nich sa opakovalo najviac deväťkrát.
Príklad. Starovekí Egypťania zapísali číslo 345 takto:
Jednotky desiatky stoviek
Tyčová aj staroegyptská číselná sústava boli založené na jednoduchom princípe sčítania, podľa ktorého hodnota čísla sa rovná súčtu hodnôt číslic zapojených do jeho zaznamenávania. Vedci klasifikujú staroegyptský číselný systém ako nepozičný desiatkový.
Babylonský šesťdesiatkový systém
Tiež ďaleko od našich dní, dvetisíc rokov pred naším letopočtom, v inej veľkej civilizácii – Babylonskej – ľudia zapisovali čísla inak.
Čísla v tomto číselnom systéme pozostávali z dvoch typov znakov: rovný klin slúžil na označenie jednotiek a ležiaci klin - na označenie desiatok.
Na určenie hodnoty čísla bolo potrebné rozdeliť obrázok čísla na číslice sprava doľava. Nový výboj sa začal objavením sa rovného klinu po ležiacom, ak vezmeme do úvahy číslo sprava doľava.
Napríklad: Číslo 32 bolo napísané takto:
Ako čísla v tomto systéme slúžili znaky rovný klin a ležiaci klin. Číslo 60 bolo opäť označené rovnakým rovným klinom ako 1, rovnaké znamienko bolo označené číslami 3600 = 60 2, 216000 = 60 3 a všetky ostatné mocniny 60. Preto sa babylonská číselná sústava nazývala šesťdesiatkový.
Hodnota čísla bola určená hodnotami jeho jednotlivých číslic, ale berúc do úvahy skutočnosť, že číslice v každej nasledujúcej číslici znamenali 60-krát viac ako rovnaké číslice v predchádzajúcej číslici.
Príklad. Číslo 92=60+32 bolo napísané takto:
a číslo 444 v tomto systéme zápisu čísla malo tvar
pretože 444=7*60+24.
Čisto kvôli prehľadnosti sú horná číslica (vľavo) a vedľajšia číslica oddelené medzerou (ktorú Babylončania nemali).
Babylončania písali všetky čísla od 1 do 59 v desiatkovej nepozičnej sústave a číslo ako celok - v pozičnej sústave so základom 60. jednotka číslo šesťdesiatkové
Záznam počtu medzi Babylončanmi bol nejednoznačný, pretože nebolo žiadne číslo, ktoré by predstavovalo nulu. Vyššie uvedený zápis čísla 92 by mohol znamenať nielen 92=60+32, ale napríklad aj 3632=3600+32. Na určenie absolútnej hodnoty čísla boli potrebné ďalšie informácie. Následne Babylončania zaviedli špeciálny symbol na označenie chýbajúcej šesťdesiatkovej číslice
čo zodpovedá vzhľadu číslice 0 v desiatkovom čísle.
Príklad. Číslo 3632 sa teraz muselo písať takto:
Ale tento symbol sa väčšinou neumiestňoval na koniec čísla, t.j. tento symbol stále nebol číslom „nula“ v našom chápaní a opäť boli potrebné ďalšie informácie na rozlíšenie 1 od 60, od 3600 atď.
Babylončania si nikdy nezapamätali násobilku, pretože... bolo to prakticky nemožné. Pri výpočtoch boli použité hotové násobiace tabuľky.
Babylonský šesťdesiatnik systém je prvý známy číselný systém, ktorý je čiastočne založený na pozičnom princípe.
Babylonský systém zohral veľkú úlohu vo vývoji matematiky a astronómie a jeho stopy sa zachovali dodnes. Stále teda delíme hodinu na 60 minút a minútu na 60 sekúnd. Podľa vzoru Babylončanov rozdeľujeme kruh na 360 častí (stupňov).
rímsky systém
Nám známy Roman systém sa príliš zásadne nelíši od egyptského. V ňom uviesť čísla 1, 5, 10, 50, 100, A 1000 používajú sa veľké latinské písmená I, V, X, C, D A M sú to číslice tejto číselnej sústavy.
Číslo v rímskej číselnej sústave je označené množinou po sebe idúcich číslic. Hodnota čísla je:
1. súčet hodnôt niekoľkých rovnakých čísel v rade (nazvime ich skupina prvého typu);
2. rozdiel medzi hodnotami dvoch číslic, ak je naľavo od väčšej číslice menšia. V tomto prípade sa hodnota menšej číslice odpočíta od hodnoty väčšej číslice. Spolu tvoria skupinu druhého typu. Všimnite si, že ľavá číslica môže byť menšia ako pravá o maximálne jeden rád: teda iba X(10) sa môže objaviť pred L(50) a C(100) medzi „najnižšími“ a iba pred D (500) a M(1000) C(100), pred V(5) - iba I(1);
3. súčet hodnôt skupín a čísel, ktoré nie sú zahrnuté v skupinách prvého alebo druhého typu.
Príklad 1. Číslo 32 v rímskej číselnej sústave má tvar XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (dve skupiny prvého typu).
Príklad 2. Číslo 444, ktoré má v desiatkovom zápise 3 rovnaké číslice, zapíšeme v rímskej číselnej sústave ako CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (tri skupiny druhý typ).
Príklad 3. Číslo 1974 v rímskej číselnej sústave bude mať tvar MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (spolu so skupinami oboch typov, jednotlivé "čísla").
2. Desatinná číselná sústava
Desatinná sistéma čísla- toto je nám všetkým známa a dobre známa pozičná číselná sústava, no začneme ňou našu štúdiu a budeme ju posudzovať z pozícií, ktoré nám pomôžu pochopiť iné pre nás nezvyčajné číselné sústavy.
Základom systému je teda číslo desať (10), čo znamená, že na vyjadrenie čísel (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sa používa desať číslic.
Len počítajme v tomto systéme, počítajme a zapisovajme čísla z čísel, ktoré máme k dispozícii:
nula - 0 ;
Jeden - 1 ;
Osem - 8 ;
Deväť - 9 ;
Čo urobiť ďalej? Všetky čísla sú preč. Ako znázorniť číslo desať? Aby sme sa dostali zo situácie, predstavme si nový pojem – „desiatka“ a povedzme, že desať je jedna desať a nula jednotiek. A to už je možné zapísať - „10“.
takže, Desať - 10 (jedna desať, nula jednotiek)
Jedenásť - 11 (jedna desiatka, jedna jednotka)
dvadsať - 20 (dve desiatky, nula jednotiek)
Deväťdesiat deväť - 99 (deväť desiatok, deväť jednotiek)
Sto - 100 (sto, nula desiatok, nula jednotiek)
A tak vždy, keď už nemáme dosť číslic na zobrazenie ďalšieho čísla, zväčšíme jednotky počítania (t.j. počítame po desiatkach, stovkách atď.) a napíšeme číslo predĺžené o jednu číslicu.
Zvážte číslo 4329 zapísané v desiatkovej číselnej sústave. Dá sa o nej povedať, že obsahuje: štyritisíc, tristo, dve desiatky a deväť jednotiek. A jeho hodnotu môžete získať prostredníctvom čísel, ktoré sú v ňom uvedené, a to nasledovne.
4329 = 4 *1000+3 *100+2 *10+9 *1, tu a pod znakom * (hviezdička) znamená násobenie.
Ale rad čísel 1000, 100, 10, 1 nie je nič iné ako celočíselné mocniny čísla 10 (základ číselného systému), a preto ho možno zapísať:
4329 = 4 *10 3 +3 *10 2 +2 *10 1 +9 *10 0
Podobne pre zlomkové číslo (desatinné), napríklad: 0.235 (nultý bod dvesto tridsaťpäť tisícin), môžeme o ňom povedať, že obsahuje: dve desatiny, tri stotiny a päťtisíciny. A jeho hodnota sa dá vypočítať takto:
0.235 = 2 *0.1 + 3 *0.01 + 5 *0.001
A tu rad čísel 0,1 0,01 0,001 1 nie je nič iné ako celočíselné mocniny čísla 10 a môžeme tiež písať:
0.235 = 2 *10 -1 + 3 *10 -2 + 5 *10 -3
Pre zmiešané číslo 752.159 môžeme napísať rovnakým spôsobom:
752.369 = 7 *10 2 +5 *10 1 +2 *10 0 +3 *10 -1 +6 *10 -2 +9 *10 -3
Teraz, ak očíslujeme číslice celej časti ľubovoľného čísla sprava doľava ako 0,1,2...n (číslovanie začína od nuly!). A číslice zlomkovej časti zľava doprava, napríklad -1,-2,-3...-m, potom hodnotu ľubovoľného desatinného čísla možno vypočítať pomocou vzorca:
N= d n10 n +d n-110 n-1 +…+d 1 10 1 +d 0 10 0 +d -1 10 -1 +d -2 10 -2 +…+d -(m-1)10 -(m-1) +d -m10 -m
Kde: n- počet číslic v celej časti čísla mínus jedna;
m- počet číslic v zlomkovej časti čísla
d i- stojaca číslica i- poradie
Tento vzorec sa nazýva vzorec na bitové rozšírenie desatinného čísla, t.j. číslo zapísané v desiatkovej číselnej sústave. Ale ak je v tomto vzorci číslo desať nahradené nejakým prirodzeným číslom q, potom dostaneme rozkladový vzorec pre číslo vyjadrené v číselnej sústave so základom q:
N= d nqn +d n-1qn-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1)q-(m-1) +d -mq-m
Pomocou posledného vzorca môžeme vždy získať hodnotu čísla zapísaného v ľubovoľnej pozičnej číselnej sústave.
Záver
Dnes sme zvyknutí používať v každodennom živote systém desiatkových čísel. Desatinné číslice vyjadrujú čas, číslo domu a telefónu, ceny, rozpočty, je na nich založený metrický systém mier.
Aritmetické operácie s desatinnými číslami sa vykonávajú pomocou pomerne jednoduchých operácií, ktoré vychádzajú z tabuliek násobenia a sčítania, ktoré pozná každý školák. Tieto pravidlá, ktoré sme sa naučili vo veľmi ranom veku, sú výsledkom každodennej praxe tak pevne, že s nimi podvedome pracujeme. Z tohto dôvodu si dnes mnohí ľudia ani neuvedomujú existenciu iných číselných sústav.
Literatúra
1. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/system.html
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0 %D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0 %BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F
3. http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm
4. Bosová L.L. Informatika a IKT: Učebnica pre 6. ročník. - M.: BINOM. Vedomostné laboratórium, 2012
5. http://www.reshinfo.com/desytichnaja_systema.php
Uverejnené na Allbest.ru
Podobné dokumenty
Štúdium histórie číselných sústav. Opis jednotkových a dvojkových číselných sústav, starogrécke, slovanské, rímske a babylonské číslovanie miest. Analýza binárneho kódovania v počítači. Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého.
test, pridaný 11.4.2013
Koncept číselnej sústavy. História vývoja číselných sústav. Pojem prirodzené číslo, ordinálne vzťahy. Vlastnosti systému desiatkových čísel. Všeobecné otázky štúdia číslovania nezáporných celých čísel v počiatočnom kurze matematiky.
kurzová práca, pridané 29.04.2017
Súbor techník a pravidiel na písanie a čítanie čísel. Vymedzenie pojmov: číselná sústava, figúrka, číslo, číslica. Klasifikácia a určovanie základu číselných sústav. Rozdiel medzi číselnými a cifernými, pozičnými a nepozičnými číselnými sústavami.
prezentácia, pridané 15.04.2015
Pojem a matematický obsah číselných sústav, ich odrody a rozsah použitia. Rozlišovacie znaky a znaky pozičných a nepozičných, dvojkových a desiatkových číselných sústav. Postup prevodu čísel z jedného systému do druhého.
prezentácia, pridaná 10.11.2010
Číselný systém používaný v modernej matematike, používaný v počítačoch. Zápis čísel pomocou rímskych číslic. Prevod desatinných čísel do iných číselných sústav. Prevod zlomkových a zmiešaných binárnych čísel. Aritmetika v pozičných číselných sústavách.
abstrakt, pridaný 07.09.2009
Vynález systému desiatkových čísel je jedným z hlavných úspechov ľudského myslenia. Bez nej by moderná technika a veda vo všeobecnosti len ťažko mohla existovať, tým menej by mohla vzniknúť. História čísel. Čísla a počítanie. Spôsoby, ako si zapamätať čísla.
abstrakt, pridaný 13.04.2008
Matematická teória čísel. Pojem číselných sústav. Aplikácie binárnej číselnej sústavy. Výpočtová technika a informačné technológie. Abecedné nejednotné binárne kódovanie. Výhody a nevýhody dvojkovej číselnej sústavy.
abstrakt, pridaný 25.12.2014
Definície číselnej sústavy, čísla, čísla, abeceda. Typy číselných sústav. Výhody a nevýhody binárnych kódov. Konverzia šestnástkovej sústavy na osmičkovú a jej rozdelenie na tetrády a triády. Riešenie Bachetovej úlohy metódou ternárneho vyváženého systému.
prezentácia, pridané 20.06.2011
História vývoja číselných sústav. Nepozičné, pozičné a desiatkové číselné sústavy. Využitie číselných sústav vo výpočtovej technike a informačných technológiách. Binárne kódovanie informácií v počítači. Konštrukcia binárnych kódov.
kurzová práca, pridané 21.06.2010
Podstata dvojkových, osmičkových a hexadecimálnych číselných sústav, ich charakteristické znaky a vzťahy. Príklad algoritmov na prevod čísel z jedného systému do druhého. Zostavenie pravdivostnej tabuľky a logického diagramu pre dané logické funkcie.
História zaznamenávania čísel a číselných systémov siaha až do obdobia počítania medzi ľuďmi. Ľudia zobrazovali množstvo rôznych predmetov pomocou pätiek alebo pomlčiek. Aplikovali sa na povrchy, ktoré v tom čase slúžili ako „papier“: hlinené tabuľky, kôra stromov alebo kamene. Prvé informácie o takýchto záznamoch archeológovia datujú do obdobia paleolitu, teda do 10. – 11. tisícročia pred Kristom.
Táto metóda záznamu sa nazýva systém čísel jednotiek. Všetky čísla boli označené čiarou pomlčiek (alebo akýmikoľvek inými znakmi, napríklad bodkami): čím viac znakov v riadku, tým väčšie číslo. Tento systém počítania nebol pohodlný, pretože pri veľkých číslach bolo ľahké urobiť chybu v počte tyčiniek. Zakaždým ich bolo treba spočítať.
Pre zjednodušenie počítania sa položky začali spájať do malých skupín po 3, 5 a 10 jednotiek. Okrem toho každá skupina zodpovedala svojmu vlastnému označeniu na liste. Keďže najpohodlnejším počítaním bolo vždy počítanie na prstoch, ako prvé dostali svoje označenie kombinácie predmetov 10 a 5 jednotiek. To je to, čo položilo základ pre pohodlný číselný systém.
Systém, ktorý používali starí Gréci, sa nazýval podkrovie. Prvé štyri čísla boli napísané pomlčkami. Číslo päť malo svoj vlastný znak - "pi", rovnako ako číslo desať - prvé písmeno slova "deca". Sto, tisíc a desaťtisíc bolo napísaných ako H, X, M.
Tento systém bol v treťom storočí pred Kristom nahradený iónskym systémom. Čísla od jednej do deviatky boli označené písmenami gréckej abecedy: od prvého do deviateho. Písmená desať až osemnásť označovali desiatky – od desať do deväťdesiat. A posledných deväť boli stovky – od sto do deväťsto.
Východní a južní Slovania zapisovali čísla aj pomocou abecedy. Niektorí z nich používali slovanskú abecedu, pričom každému písmenu dávali číselnú hodnotu. Ostatné - iba tie písmená, ktoré sa nachádzajú v gréckej abecede. Špeciálna ikona, ktorá bola umiestnená nad číslom - „názov“, umožnila rozlíšiť písmená od čísel. Toto číslovanie sa v Rusku používalo až do 18. storočia.
Začiatok vlády Petra I. priniesol do krajiny arabské číslovanie, ktoré sa používa dodnes. V liturgických knihách sa však dodnes používa slovanský záznamový systém.
Každý z nás aspoň trochu pozná „rímsky systém“, ktorý označuje storočia, výročia, názvy konferencií, strofy poézie a kapitoly kníh. To je to, čo kedysi používali starí Rimania. Bádatelia sa domnievajú, že si ho požičali obyvatelia Ríma od Etruskov. Všetky celé čísla v tejto sústave do 5000 sa zapisujú pomocou čísel I, V, X. Ak je pred ním veľké číslo a za ním menšie, sčítajú sa. Ak je to naopak – menší je pred väčším – odpočítajú sa. Rovnaké číslo sa umiestni najviac trikrát za sebou. Akákoľvek aritmetická operácia v takomto zápise čísel sa stáva ťažkou úlohou. Až do 13. storočia v Taliansku a do 16. storočia v západnej Európe ho však používali.
Prvé miesto alebo pozičné číslovanie bolo „vytvorené“ v Babylone v roku 4000 pred Kristom. Jeho podstatou je, že jedna číslica môže predstavovať rôzne čísla v závislosti od miesta, kde stojí. Pozoruhodným príkladom je moderný desiatkový systém. V závislosti od pozície v čísle môže číslo predstavovať desať, jeden alebo sto.
Babylonský systém bol šesťdesiatkový, pretože spočiatku nebol založený na 10, ale na 60. Všetky menšie čísla boli zapísané v dvoch znakoch – desiatkach a jednotkách. Samotné čísla boli napísané na hlinených tabuľkách s trojuholníkovými palicami, takže vyzerali ako klin. Znaky sa opakovali v závislosti od počtu.
Šesťdesiatkový systém sa nerozšíril za hranicami starovekého Babylonu, ale šesťdesiatkové zlomky sa používali v krajinách strednej Ázie, západnej Európy, Stredného východu a severnej Afriky. Pred príchodom desatinných čísel hrali dôležitú úlohu v astronómii a iných vedách. Dnes si tento systém pripomíname rozdelením minúty na 60 sekúnd, hodinu na 60 minút a uhol na 360 stupňov.
Všetky číselné sústavy možno rozdeliť na pozičné a nepozičné. Znaky, ktoré používame na písanie čísel, sa nazývajú čísla.
Pozícia číslice v zapísanom čísle v nepozičných systémoch nemá vplyv na hodnotu, ktorú označuje. Ide napríklad o systémy, ktoré používajú na písanie číslic písmená – slovanské a rímske.
Poloha číslice v pozičných systémoch určuje hodnotu veličiny, ktorá sa do nej zapisuje. V tomto prípade je pozícia miesto, ktoré táto číslica zaberá v čísle. A počet číslic, ktoré sa používajú na záznam, sa nazýva základ systému. Príkladmi takéhoto systému sú babylonské šesťdesiatkové číslo a moderné desatinné číslo.
Pozičné systémy používajú malý počet znakov, čo uľahčuje písanie veľkých čísel. Preto je dnes vo svete bežnejší. Okrem toho poskytuje pohodlie a jednoduchosť pri vykonávaní aritmetických operácií s číslami.
Najrozšírenejší v našej dobe je indoarabský desiatkový systém. Prvýkrát sa v ňom objavila nula pri písaní čísel. Má tento názov, pretože používa desať číslic.
Najjednoduchší spôsob, ako pochopiť rozdiely medzi pozičným systémom a nepozičným systémom, je porovnať dve čísla zapísané v jednom a druhom. Prvý porovnáva čísla, ktoré sú na rovnakom mieste, zľava doprava. Čím väčšie číslo, tým väčšia je samotná hodnota. Napríklad číslo 245 bude väčšie ako číslo 123, pretože dvojka na tejto pozícii je väčšia ako 1. Pre nepozičný systém tento zákon neplatí. Ak porovnáme Roman IX a VI, prvé bude väčšie ako druhé, hoci I v rovnakej pozícii je menšie ako V.
Binárny číselný systém so základnou 2 predstavuje kladný pozičný číselný systém s celými číslami. Umožňuje zapísať všetky číselné hodnoty pomocou dvoch znakov. Najčastejšie používané čísla sú 0 a 1.
Osmičková kladná polohová sústava je založená na 8. Akékoľvek číslo v nej možno zapísať pomocou číslic 0 až 7. Túto sústavu využívajú digitálne a počítačové zariadenia. Bol to ten, ktorý sa používal na úsvite počítačovej éry, ale teraz ustúpil pokročilejšiemu - hexadecimálnemu.
Najznámejšia na svete, desiatková sústava je pozičná sústava so základom 10. Na vyjadrenie čísel používa arabské číslice od 0 do 9.
Jeden z najpopulárnejších systémov staroveku, duodecimálny, sa v niektorých oblastiach vedy stále používa. Je tiež hlavným medzi niektorými národmi Tibetu a Nigérie, ale pripomína sa aj v iných kultúrach. Napríklad v našom jazyku sa zachovalo slovo „tucet“ a v angličtine „tucet“, ktoré nás odkazuje na číslo dvanásť. Jeho základ je 12. Ako znaky sa používajú písmená A a B a čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Hexadecimálna číselná sústava – predstavuje pozičnú kladnú sústavu so základom 16 číslic. Ako jeho čísla sa používajú písmená latinskej abecedy A, B, C, D, E, F na označenie čísel od desať do pätnásť a čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0.
Hexadecimálny číselný systém sa používa v moderných počítačových programoch na kódovanie fontov. Hexadecimálne čísla sa používajú na kódovanie farieb v mnohých moderných počítačových grafických programoch. Weboví dizajnéri tiež šifrujú farby pomocou hexadecimálneho kódu. Napríklad kód #00ff00 predstavuje zelenú farbu. Dve f v strede tohto kódu zodpovedajú číslu 256 v desiatkovej sústave.
Pri práci s počítačmi sú najčastejšie používané číselné sústavy dvojkové, osmičkové a šestnástkové. Ľudia aj počítače odvádzajú skvelú prácu v týchto systémoch. Niektoré prípady nás však nútia obrátiť sa na menej populárne číselné sústavy. Takýmito sústavami sú sedemčlenná, trojčlenná a číselná sústava so základom 32. Všetky aritmetické operácie v nich sa nelíšia od bežných.
Primitívny človek takmer nemusel počítať. „Jeden“, „dva“ a „veľa“ - to sú všetky jeho čísla. Moderní ľudia sa musia s číslami potýkať doslova na každom kroku. Musíte vedieť správne pomenovať a napísať akékoľvek číslo, bez ohľadu na to, aké veľké môže byť. Ak by sa každé číslo volalo špeciálnym menom a písomne označené špeciálnym znakom, nikto by si nemohol pamätať všetky tieto slová a znaky. Ako sa s touto úlohou vyrovnať? Dobrý notačný systém nám pomáha.
Súbor niekoľkých mien a znakov, ktoré vám umožňujú zapísať si ľubovoľné číslo a dať mu meno, sa nazýva číselná sústava alebo číslovanie.
Takmer na celom svete sa abeceda v jazyku čísel skladá z 10 číslic, od 0 do 9. Deväť z nich sa používa na označenie prvých deviatich prirodzených čísel a desiate - nula - neoznačuje žiadne číslo; takzvaný „pozičný zásek“. Tento jazyk sa nazýva desiatkový číselný systém.
Nie vždy a nie všade však ľudia používali desiatkovú sústavu. Z čisto matematického hľadiska nemá žiadne zvláštne výhody oproti iným číselným sústavám a táto sústava vďačí za svoje široké rozšírenie nie všeobecným zákonom matematiky, ale dôvodom úplne iného charakteru.
V poslednom čase desiatková sústava vážne konkuruje binárnym a čiastočne ternárnym sústavám, ktoré moderné počítače „uprednostňujú“.
Ako ľudia počítali a ako volali čísla pred vynálezom písma, nikto nevie s istotou. O tomto sa dá len hádať. Jedna vec je istá: ľudstvo ovládalo počítanie veľmi pomaly. V čase vynájdenia písma však už ľudia vedeli dobre počítať.
Pred štyrmi tisíckami rokov najrozvinutejšie národy (Egypťania, Chaldejci) vedeli písať a používať nielen celé čísla, ale aj najjednoduchšie zlomkové čísla. Navyše v tom čase už existovali školy, ktoré vyučovali umenie počítať.
Primitívnym písmom neboli žiadne písmená. Každá vec, každá akcia bola znázornená obrázkom. Postupne boli obrázky jednoduchšie. Spolu s obrazom predmetov a akcií sa objavili špeciálne postavy, označujúce rôzne vlastnosti vecí, ako aj ikony pre slová zodpovedajúce našim predložkám a spojkám.
Takto vzniklo písmo nazývané hieroglyfy; v hieroglyfickej notácii každý symbol nezodpovedá zvuku, ako u nás, ale celému slovu.
Vtedy neexistovali žiadne špeciálne znaky (čísla) na písanie čísel. Ale slová „jeden“, „dva“, ... „sedemnásť“ a tak ďalej zodpovedali určitým hieroglyfom. Nebolo ich až tak veľa, keďže vtedy ľudia nepoznali veľké počty.
V niektorých krajinách (napríklad v Číne a Japonsku) sa hieroglyfické písmo zachovalo dodnes. Tu je napríklad (pozri obr. 2) niekoľko hieroglyfov:
Ryža. 2
U Slovanov bolo poradie číslic pri písaní čísla rovnaké ako v jeho hovorenom mene. Hovoria napríklad „pätnásť“ (v slovanskom jazyku – „päť na desať“), pričom najprv volajú počet jednotiek, potom desať. Slovania písali takto, to znamená, že pred ním písali päť a za ním desať. Naopak, v čísle „dvadsaťtri“ uvádzajú najskôr desiatky, potom jednotky, u Slovanov najskôr tri, potom dvadsať sa to prejavilo aj v písmene.
Na rozlíšenie čísel od písmen bola nad nimi umiestnená špeciálna ikona - nadpis. Bol umiestnený iba nad jedným z čísel. Na mieste číslice, jej pozícii v zázname čísla, nezáležalo.
Pomocou týchto znakov sa ľahko písali veľké čísla. Nápis titlo znamenal tisíce. Opakovaním tohto znaku bolo možné písať veľmi veľké čísla
Čísla do tisícky sa v starovekej Rusi nazývali takmer rovnako ako teraz. Mierny rozdiel bol vo výslovnosti (napríklad „jedna“ sa volala „jedna“ a podobne). Desaťtisíc sa nazývalo „tma“ a toto číslo sa považovalo za také obrovské, že to isté slovo bolo použité na označenie akéhokoľvek množstva, ktoré nebolo možné spočítať.
Neskôr (XVI - XVII storočia) sa objavil zvláštny systém pomenovávania čísel, takzvané „veľké slovanské číslo“, v tomto systéme sa čísla do 999999 nazývali takmer rovnako ako teraz. Slovo „tma“ už znamená milión. Okrem toho sa objavujú tieto názvy: „temnota tém“ alebo „légia“ (čiže milión miliónov alebo bilión sa rovná 10); „légia légií“ alebo „modr“ (septillion, 1024); nakoniec „modr modrov“ alebo „havran“ (to znamená 1048).
Pozičné číslovanie zrejme vzniklo v starovekom Babylone (asi pred štyrmi tisíckami rokov). Povieme si o tom trochu neskôr. V Indii to malo podobu pozičného desiatkového číslovania pomocou nuly. Tento číselný systém si od hinduistov požičali Arabi, ktorí sa stali v 8. – 9. stor. jeden z najkultúrnejších národov na svete. Európania ho prevzali od Arabov (odtiaľ názov „arabské číslice“).
Obzvlášť zaujímavá je babylonská matematika. Babylonské číslovanie existovalo jeden a pol tisíc rokov (od 18. do 3. storočia pred Kristom) a bolo široko používané na celom Blízkom východe. Ovplyvnila čínsku, indickú a grécku matematiku.
Babylončania písali palicami na dosky z mäkkej hliny a potom svoje „rukopisy“ pálili. Výsledkom boli odolné tehlové „dokumenty“, ktoré sa čiastočne zachovali dodnes, často sa nachádzajú pri vykopávkach v Mezopotámii (dnes Irak). Preto bolo možné celkom dobre študovať najmä babylonské dejiny a matematiku.
Na prelome XIX - XVIII storočia. pred Kristom došlo k spojeniu dvoch národov: Sumerov a Akkadov. Každý z týchto národov mal pomerne rozvinutý obchod, váhy a peňažné jednotky, ale žiadny z týchto národov nemal rozvinuté číslovanie.
U Akkadov bola základná jednotka - "mekel" - asi 60-krát menšia ako jednotka medzi Sumermi - "mina" (asi pol kilogramu). Peňažnou jednotkou bola mina striebra.
Po zlúčení týchto národov boli oba systémy jednotiek „v obehu“: míny a mekely sa používali rovnakým spôsobom, ako sa teraz používajú kilogramy a gramy (ruble a kopejky), s jediným rozdielom, že väčšia jednotka sa nerovnala. do 100, ale do 60 malých jednotiek. Postupom času sa objavila väčšia jednotka - „talent“: 1 talent = 60 min, 1 min = 60 mekelov.
Ako Babylončania písali čísla? Písali palicami, vtláčali ich do hliny, takže ich hlavnými grafickými prvkami boli kliny. Prvý označoval jednotky, druhý - desiatky, pozri obr. 3.
Ryža. 3
Tieto znaky sú veľmi jasné, počet klinov je nápadný, takže ich nie je potrebné počítať. Ale klinové písmo je veľmi nepohodlné pre odhad veľkosti medzier medzi číslami a nutnosť kopírovať všetko ručne viedla k častým preklepom. Bolo potrebné znamenie rozdelenia a ukázalo sa. Od istého času sa na babylonských tehlách objavuje symbol ^, ktorý zodpovedá našej nule.
Keď však Babylončania zaviedli „pozičnú zátku“ do stredu čísel, nikdy nenapadlo dať ju na koniec. A až do pádu babylonskej kultúry sa čísla 1, 60, 3000 písali rovnako.
Iba hinduisti, ktorí si od nich požičali pozičné číslovanie, sa naučili správne používať nulový znak a zavedením základu 10 namiesto 60 dali zápisu jeho modernú podobu.
Pred tritisíc rokmi už hinduisti používali moderné číslovanie, hoci vtedajšie pamiatky neuvádzajú čísla väčšie ako 100 000. V neskorších prameňoch sa nachádzajú oveľa väčšie čísla – až sto kvadriliónov (1017). Jedna z relatívne mladých legiend o Budhovi hovorí, že poznal mená čísel až do roku 1054. Hinduisti si však zjavne nepredstavovali nekonečnosť prirodzeného radu, verili, že existuje nejaké najväčšie číslo, ktoré poznajú iba bohovia. .
Dôkaz o nekonečnosti číselného radu je zásluhou starogréckych vedcov.
Staroveké číselné sústavy
Sú veľmi rôznorodé, pretože známy spôsob písania čísel pomocou desiatich znakov sa neobjavil okamžite.
V prvom rade treba poznamenať, že existovali dve hlavné číselné sústavy – päťnásobná a známa desiatková. Okrem nich existoval aj 12-miestny systém, ktorý vo všeobecnosti dominoval v Anglicku až do 19. storočia. Hexadecimálny číselný systém k nám prišiel zo starovekého Babylonu, ktorý sa dodnes používa pri meraní uhlových hodnôt - kruh pozostávajúci z 360 stupňov je rozdelený bezo zvyšku na mnoho vhodných čísel. Stojí za zmienku, že v staroveké číselné sústavy z množstva národov možno vysledovať pozostatky staršej päťčlennej sústavy – napríklad u starých Rimanov a Mayov.
Odroda je v skutočnosti malá - väčšinou desatinná alebo päťdecimálna. Ale čo sa týka písania na papier či kameň, vtedy, ako sa hovorí, bol každý sám sebe pánom. Vtedy neexistovali akadémie vied, ani ministerstvá a nikto ani nepočul o štandardoch školského vzdelávania, Číňania vedeli len málo o úspechoch Grékov, mierne povedané, a naopak. Každý si preto vymyslel vlastný spôsob nahrávania.
Snáď za najstarší symbol pre číslo možno považovať zvislú palicu. Pre takmer všetky staroveké národy to prirodzene predstavovalo jeden. Potom to boli dve, tri, alebo menej často štyri palice, resp. Potom sa v podstate po dosiahnutí určitého počtu zaviedli nové znaky, pri ktorých bolo jednoducho nepohodlné zapisovať si veľký počet paličiek.
Inkovia v Južnej Amerike prišli s unikátnym číselným systémom - tipu - čísla boli označené uzlami na šnúrkach! Tvar uzlov, farba šnúrok a ich umiestnenie na šnúrke sa líšili. Systém bol pomerne zložitý a vyžadoval si špeciálne školenie, ale Inkom úplne vyhovoval, čo im umožnilo dokonca viesť dvojité účtovníctvo v účtovníctve!
V starovekom Egypte sa používal systém desiatkových čísel a existovalo niekoľko systémov na zapisovanie čísel. Hieroglyfická forma písma, v ktorej všetky mocniny desiatich, vrátane jednej, mali svoje vlastné znamenie. Rovnako ako iné číselné systémy, akékoľvek číslo môže byť označené pridaním číselných hodnôt týchto znakov. Ide o „obradnú“, dosť ťažkopádnu formu zápisu, takže existoval kňazský (hieratický) číselný systém, v ktorom sa pre jednotky, desiatky atď. boli tam samostatné znaky. Musel som to pridať aj v takomto zázname, ale nápis bol citeľne kratší. Neskôr vzniklo ešte jednoduchšie démotické písmo. Doteraz neboli v mojom systéme vytvorené egyptské číselné systémy kvôli ťažkostiam s kódovaním a typmi písma pre staroegyptské nápisy.
Skutočnou revolúciou bolo objavenie plnohodnotného konceptu nuly indickými matematikmi. Vďaka tomu sa objavil známy desiatkový číselný systém POSITIONAL, o ktorom nemá zmysel hovoriť. Mnoho krajín má svoje vlastné označenia čísel, ale v skutočnosti sa všetky navzájom líšia iba vzhľadom znakov (čísla) a nič viac.
Snažil som sa nielen zbierať všetky tieto Číselné sústavy starovekého sveta a rôznych národov spolu, ale zároveň je to vhodné na použitie. Výsledkom bol program "Titlo" - prekladač čísel .
Viac na túto tému:
