Je čas to vyriešiť metódy extrakcie koreňov. Sú založené na vlastnostiach koreňov, najmä na rovnosti, ktorá platí pre každé nezáporné číslo b.
Nižšie sa pozrieme na hlavné metódy extrakcie koreňov jeden po druhom.
Začnime s najjednoduchším prípadom - extrahovanie koreňov z prirodzených čísel pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
Ak tabuľky štvorcov, kociek atď. Ak ho nemáte po ruke, je logické použiť metódu extrakcie koreňa, ktorá zahŕňa rozklad radikálneho čísla na prvočísla.
Za zmienku stojí najmä to, čo je možné pre korene s nepárnymi exponentmi.
Nakoniec uvažujme o metóde, ktorá nám umožňuje postupne nájsť číslice koreňovej hodnoty.
Začnime.
Pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
V najjednoduchších prípadoch vám umožňujú extrahovať korene tabuľky štvorcov, kociek atď. Čo sú to za tabuľky?
Tabuľka druhých mocnín celých čísel od 0 do 99 vrátane (zobrazená nižšie) pozostáva z dvoch zón. Prvá zóna tabuľky je umiestnená na sivom pozadí, výberom konkrétneho riadku a konkrétneho stĺpca umožňuje zostaviť číslo od 0 do 99. Napríklad, vyberme riadok 8 desiatok a stĺpec 3 jednotiek, čím sme opravili číslo 83. Druhá zóna zaberá zvyšok tabuľky. Každá bunka sa nachádza na priesečníku určitého riadku a určitého stĺpca a obsahuje druhú mocninu príslušného čísla od 0 do 99. Na priesečníku nami zvoleného radu 8 desiatok a stĺpca 3 jednotiek je bunka s číslom 6 889, čo je druhá mocnina čísla 83.
Tabuľky kociek, tabuľky štvrtej mocniny čísel od 0 do 99 atď. sú podobné tabuľke štvorcov, len v druhej zóne obsahujú kocky, štvrté mocniny atď. zodpovedajúce čísla.
Tabuľky štvorcov, kociek, štvrtej mocniny atď. umožňujú extrahovať odmocniny, kocky, štvrté odmocniny atď. podľa čísel v týchto tabuľkách. Vysvetlíme si princíp ich použitia pri extrakcii koreňov.
Povedzme, že potrebujeme extrahovať n-tú odmocninu čísla a, pričom číslo a je obsiahnuté v tabuľke n-tých mocnín. Pomocou tejto tabuľky nájdeme číslo b také, že a=b n. Potom 
, preto číslo b bude želaným koreňom n-tého stupňa.
Ako príklad si ukážeme, ako použiť tabuľku kociek na extrakciu odmocniny 19 683. V tabuľke kociek nájdeme číslo 19 683, z nej zistíme, že toto číslo je kockou čísla 27, teda 
.
Je zrejmé, že tabuľky n-tých mocnín sú veľmi vhodné na extrakciu koreňov. Tie však často nie sú po ruke a ich zostavenie si vyžaduje určitý čas. Okrem toho je často potrebné extrahovať korene z čísel, ktoré nie sú obsiahnuté v príslušných tabuľkách. V týchto prípadoch sa musíte uchýliť k iným metódam extrakcie koreňov.
Rozloženie radikálneho čísla na prvočíslo
Pomerne pohodlný spôsob, ako extrahovať koreň prirodzeného čísla (ak je, samozrejme, koreň extrahovaný), je rozložiť radikálové číslo na prvočísla. Jeho ide o to: potom je celkom jednoduché ho reprezentovať ako mocninu s požadovaným exponentom, čo vám umožňuje získať hodnotu odmocniny. Ujasnime si tento bod.
Nech sa vezme n-tá odmocnina prirodzeného čísla a a jeho hodnota sa rovná b. V tomto prípade platí rovnosť a=b n. Číslo b, ako každé prirodzené číslo, môže byť reprezentované ako súčin všetkých jeho prvočísel p 1 , p 2 , …, p m v tvare p 1 ·p 2 ·...·p m a v tomto prípade radikálového čísla a je reprezentované ako (p 1 ·p 2 ... p m) n . Keďže rozklad čísla na prvočiniteľ je jedinečný, rozklad radikálového čísla a na prvočíslo bude mať tvar (p 1 ·p 2 ·...·p m) n, čo umožňuje vypočítať hodnotu odmocniny. ako .
Všimnite si, že ak rozklad radikálneho čísla a na prvočísla nemôže byť vyjadrený vo forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, potom n-tá odmocnina takéhoto čísla a nie je úplne extrahovaná.
Vyrovnajme sa s tým pri riešení príkladov.
Príklad.
Vezmite druhú odmocninu zo 144 .
Riešenie.
Ak sa pozriete na tabuľku štvorcov uvedenú v predchádzajúcom odseku, môžete jasne vidieť, že 144 = 12 2, z čoho je zrejmé, že druhá odmocnina zo 144 sa rovná 12.
Ale vo svetle tohto bodu nás zaujíma, ako sa získava koreň rozkladom radikálneho čísla 144 na prvočísla. Poďme sa pozrieť na toto riešenie.
Poďme sa rozložiť 144 k hlavným faktorom:
To znamená 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Na základe výsledného rozkladu je možné vykonať nasledujúce transformácie: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. teda 
.
Pomocou vlastností stupňa a vlastností koreňov by sa riešenie dalo formulovať trochu inak: .
odpoveď:
Na upevnenie materiálu zvážte riešenia dvoch ďalších príkladov.
Príklad.
Vypočítajte hodnotu koreňa.
Riešenie.
Prvočíslo radikálového čísla 243 má tvar 243=3 5 . teda 
.
odpoveď:
Príklad.
Je koreňová hodnota celé číslo?
Riešenie.
Aby sme odpovedali na túto otázku, rozložme koreňové číslo na prvočísla a uvidíme, či ho možno reprezentovať ako kocku celého čísla.
Máme 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Výsledný rozklad nie je reprezentovaný ako kocka celého čísla, pretože stupeň prvočiniteľa 7 nie je násobkom troch. Preto odmocnina z 285 768 nemôže byť extrahovaná úplne.
odpoveď:
Nie
Extrahovanie koreňov z zlomkových čísel
Je čas zistiť, ako extrahovať koreň zlomkového čísla. Nech sa zlomkové radikálové číslo zapíše ako p/q. Podľa vlastnosti koreňa kvocientu platí nasledujúca rovnosť. Z tejto rovnosti vyplýva pravidlo na extrakciu koreňa zlomku: Odmocnina zlomku sa rovná podielu delenia odmocniny čitateľa odmocninou menovateľa.
Pozrime sa na príklad extrakcie koreňa zo zlomku.
Príklad.
Aká je druhá odmocnina bežného zlomku 25/169?
Riešenie.
Podľa tabuľky štvorcov zistíme, že druhá odmocnina čitateľa pôvodného zlomku je 5 a druhá odmocnina menovateľa je 13. Potom 
. Tým je ukončená extrakcia koreňa obyčajnej frakcie 25/169.
odpoveď:
Odmocnina desatinného zlomku alebo zmiešaného čísla sa extrahuje po nahradení koreňových čísel bežnými zlomkami.
Príklad.
Vezmite odmocninu desatinného zlomku 474,552.
Riešenie.
Predstavme si pôvodný desatinný zlomok ako obyčajný zlomok: 474,552=474552/1000. Potom 
. Zostáva extrahovať kubické korene, ktoré sú v čitateli a menovateli výsledného zlomku. Pretože 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, potom 
A 
. Zostáva už len dokončiť výpočty 
.
odpoveď:
.
Odmocnina zo záporného čísla
Stojí za to zastaviť extrakciu koreňov zo záporných čísel. Pri štúdiu koreňov sme povedali, že keď je koreňový exponent nepárne číslo, potom môže byť pod znamienkom odmocniny záporné číslo. Týmto položkám sme dali nasledujúci význam: pre záporné číslo −a a nepárny exponent odmocniny 2 n−1, 
. Táto rovnosť dáva pravidlo na extrakciu nepárnych koreňov zo záporných čísel: Ak chcete extrahovať odmocninu zo záporného čísla, musíte vziať odmocninu z opačného kladného čísla a pred výsledok vložiť znamienko mínus.
Pozrime sa na príklad riešenia.
Príklad.
Nájdite hodnotu koreňa.
Riešenie.
Transformujme pôvodný výraz tak, aby pod znamienkom koreňa bolo kladné číslo: 
. Teraz nahradíme zmiešané číslo obyčajným zlomkom: 
. Aplikujeme pravidlo extrakcie koreňa z obyčajnej frakcie: 
. Zostáva vypočítať korene v čitateli a menovateli výsledného zlomku: 
.
Tu je zhrnutie riešenia: 
.
odpoveď:
.
Bitové hľadanie koreňovej hodnoty
Vo všeobecnom prípade je pod odmocninou číslo, ktoré pomocou techník diskutovaných vyššie nemôže byť reprezentované ako n-tá mocnina žiadneho čísla. Ale v tomto prípade je potrebné poznať význam daného koreňa, aspoň do určitého znamienka. V tomto prípade na extrahovanie koreňa môžete použiť algoritmus, ktorý vám umožní postupne získať dostatočný počet číslicových hodnôt požadovaného čísla.
Prvým krokom tohto algoritmu je zistiť, aký je najvýznamnejší bit koreňovej hodnoty. Na tento účel sa čísla 0, 10, 100, ... postupne zvyšujú na mocninu n až do okamihu, keď číslo presiahne radikálne číslo. Potom číslo, ktoré sme v predchádzajúcej fáze zvýšili na mocninu n, bude označovať zodpovedajúcu najvýznamnejšiu číslicu.
Zvážte napríklad tento krok algoritmu pri extrakcii druhej odmocniny z piatich. Vezmite čísla 0, 10, 100, ... a odmocnite ich, kým nedostaneme číslo väčšie ako 5. Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , čo znamená, že najvýznamnejšia číslica bude číslica jednotiek. Hodnota tohto bitu, ako aj nižších, sa zistí v ďalších krokoch algoritmu extrakcie koreňa.
Všetky nasledujúce kroky algoritmu sú zamerané na postupné objasnenie hodnoty koreňa nájdením hodnôt ďalších bitov požadovanej hodnoty koreňa, počnúc najvyšším a prechodom k najnižším. Napríklad hodnota koreňa v prvom kroku je 2, v druhom 2,2, v treťom 2,23 a tak ďalej 2,236067977…. Popíšme, ako sa nachádzajú hodnoty bitov.
Číslice sa nachádzajú vyhľadávaním v ich možných hodnotách 0, 1, 2, ..., 9. V tomto prípade sa paralelne vypočítajú n-té mocniny zodpovedajúcich čísel a porovnajú sa s radikálnym číslom. Ak v určitom štádiu hodnota stupňa prekročí radikálne číslo, potom sa hodnota číslice zodpovedajúcej predchádzajúcej hodnote považuje za nájdenú a vykoná sa prechod na ďalší krok algoritmu extrakcie koreňa; ak sa tak nestane, potom je hodnota tejto číslice 9.
Vysvetlime tieto body na rovnakom príklade extrakcie druhej odmocniny z piatich.
Najprv zistíme hodnotu číslice jednotiek. Prejdeme cez hodnoty 0, 1, 2, ..., 9, počítajúc 0 2, 1 2, ..., 9 2, až kým nedostaneme hodnotu väčšiu ako radikálne číslo 5. Je vhodné uviesť všetky tieto výpočty vo forme tabuľky: 
Takže hodnota číslice jednotky je 2 (keďže 2 2<5
, а 2 3 >5). Prejdime k hľadaniu hodnoty desatiny miesta. V tomto prípade odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, pričom výsledné hodnoty porovnáme s radikálnym číslom 5: 
Od 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, potom hodnota desatiny miesta je 2. Môžete pokračovať v hľadaní hodnoty stotín miesta: 
Takto bola nájdená ďalšia hodnota odmocniny z piatich, rovná sa 2,23. A tak môžete pokračovať v hľadaní hodnôt: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Na konsolidáciu materiálu analyzujeme extrakciu koreňa s presnosťou na stotiny pomocou uvažovaného algoritmu.
Najprv určíme najvýznamnejšiu číslicu. Aby sme to urobili, dáme kocku čísla 0, 10, 100 atď. kým nedostaneme číslo väčšie ako 2 151 186. Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , takže najvýznamnejšou číslicou sú desiatky.
Určme jej hodnotu. 
Od 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, potom hodnota miesta v desiatkach je 1. Prejdime k jednotkám. 
Hodnota číslice jednotiek je teda 2. Prejdime na desiaty. 
Keďže aj 12,9 3 je menej ako radikálne číslo 2 151,186 , hodnota desiateho miesta je 9 . Zostáva vykonať posledný krok algoritmu, ten nám dá hodnotu koreňa s požadovanou presnosťou. 
V tomto štádiu sa zistí hodnota koreňa s presnosťou na stotiny: 
.
Na záver tohto článku by som chcel povedať, že existuje mnoho ďalších spôsobov, ako extrahovať korene. Ale pre väčšinu úloh postačujú tie, ktoré sme študovali vyššie.
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).
Bibliografický popis: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Metódy extrakcie druhej odmocniny // Mladý vedec. 2017. №2.2. S. 76-77..02.2019).
Kľúčové slová : druhá odmocnina, extrakcia druhej odmocniny.
Na hodinách matematiky som sa zoznámil s pojmom odmocnina, a operáciou extrakcie druhej odmocniny. Začalo ma zaujímať, či je extrahovanie druhej odmocniny možné len pomocou tabuľky štvorcov, pomocou kalkulačky, alebo existuje spôsob, ako to extrahovať ručne. Našiel som viacero spôsobov: vzorec starovekého Babylonu, cez riešenie rovníc, metódu vyhadzovania úplného štvorca, Newtonovu metódu, geometrickú metódu, grafickú metódu (, ), metódu hádania, metódu odpočtu nepárnych čísel.
Zvážte nasledujúce metódy:
Rozložme to na prvočísla pomocou kritérií deliteľnosti 27225=5*5*3*3*11*11. Teda
- TO Kanadská metóda. Túto rýchlu metódu objavili mladí vedci na jednej z popredných kanadských univerzít v 20. storočí. Jeho presnosť nie je väčšia ako dve až tri desatinné miesta.
kde x je číslo, z ktorého sa musí extrahovať koreň, c je číslo najbližšieho štvorca), napríklad:
=5,92
- V stĺpci. Táto metóda vám umožňuje nájsť približnú hodnotu odmocniny akéhokoľvek reálneho čísla s akoukoľvek vopred určenou presnosťou. Medzi nevýhody tejto metódy patrí zvyšujúca sa náročnosť výpočtu so zvyšujúcim sa počtom nájdených číslic. Na manuálne extrahovanie koreňa sa používa zápis podobný dlhému deleniu
Algoritmus druhej odmocniny
1. Zlomkovú časť a celočíselnú časť delíme oddelene od čiarky na hranici dvoch číslic v každej tvári ( bozkávaťčasť - sprava doľava; zlomkové- zľava doprava). Je možné, že celočíselná časť môže obsahovať jednu číslicu a zlomková časť môže obsahovať nuly.
2. Extrakcia začína zľava doprava a vyberieme číslo, ktorého druhá mocnina nepresahuje číslo na prvej ploche. Toto číslo odmocníme a napíšeme pod číslo na prvej strane.
3. Nájdite rozdiel medzi číslom na prvej ploche a druhou mocninou vybraného prvého čísla.
4. K výslednému rozdielu pripočítame ďalšiu hranu, výsledné číslo bude deliteľné. Vzdelávajme sa rozdeľovač. Prvú vybranú číslicu odpovede zdvojnásobíme (vynásobíme 2), dostaneme počet desiatok deliteľa a počet jednotiek by mal byť taký, aby jeho súčin celým deliteľom nepresiahol deliteľa. Vybrané číslo si zapíšeme ako odpoveď.
5. Vezmeme ďalšiu hranu k výslednému rozdielu a vykonáme akcie podľa algoritmu. Ak sa ukáže, že táto tvár je tvárou zlomkovej časti, potom do odpovede vložíme čiarku. (Obr. 1.)
|
|
|
Pomocou tejto metódy môžete extrahovať čísla s rôznou presnosťou, napríklad až na tisíciny. (Obr.2)
Vzhľadom na rôzne metódy extrakcie druhej odmocniny môžeme dospieť k záveru: v každom prípade sa musíte rozhodnúť o výbere najefektívnejšieho, aby ste strávili menej času riešením
Literatúra:
- Kiselev A. Prvky algebry a analýzy. Časť prvá.-M.-1928
Kľúčové slová: odmocnina, odmocnina.
Anotácia: Článok popisuje metódy na extrakciu druhej odmocniny a poskytuje príklady extrakcie odmocniny.
Koreňové vzorce. Vlastnosti odmocnin.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
V predchádzajúcej lekcii sme zistili, čo je druhá odmocnina. Je čas zistiť, ktoré existujú vzorce pre korene, čo sú vlastnosti koreňov, a čo sa s tým všetkým dá robiť.
Vzorce koreňov, vlastnosti koreňov a pravidlá práce s koreňmi- to je v podstate to isté. Existuje prekvapivo málo vzorcov pre druhé odmocniny. Čo ma určite teší! Alebo skôr, môžete napísať veľa rôznych vzorcov, ale na praktickú a sebavedomú prácu s koreňmi stačia len tri. Všetko ostatné plynie z týchto troch. Hoci mnohí ľudia sú zmätení v troch koreňových vzorcoch, áno...
Začnime tým najjednoduchším. Tu je:
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Matematika vznikla, keď si človek uvedomil sám seba a začal sa stavať do pozície autonómnej jednotky sveta. Túžba merať, porovnávať, počítať to, čo vás obklopuje, je základom jednej zo základných vied našich dní. Najprv to boli častice elementárnej matematiky, ktoré umožňovali spájať čísla s ich fyzikálnymi vyjadreniami, neskôr sa závery začali prezentovať len teoreticky (kvôli ich abstrakcii), no po čase, ako povedal jeden vedec, “ matematika dosiahla strop zložitosti, keď z nej zmizla.“ všetky čísla.“ Pojem „druhá odmocnina“ sa objavil v čase, keď ho bolo možné ľahko podporiť empirickými údajmi, ktoré presahujú rovinu výpočtov.
Kde to všetko začalo
Prvá zmienka o koreni, ktorý sa v súčasnosti označuje ako √, bola zaznamenaná v dielach babylonských matematikov, ktorí položili základy modernej aritmetiky. Samozrejme, len málo pripomínali súčasnú podobu – vedci tých rokov najskôr používali objemné tablety. Ale v druhom tisícročí pred Kr. e. Odvodili približný výpočtový vzorec, ktorý ukázal, ako extrahovať druhú odmocninu. Nižšie uvedená fotografia zobrazuje kameň, na ktorom babylonskí vedci vytesali postup na odvodenie √2 a ukázalo sa, že je tak správny, že nezrovnalosť v odpovedi bola zistená len na desiate desatinné miesto.
Okrem toho sa koreň používal, ak bolo potrebné nájsť stranu trojuholníka za predpokladu, že ostatné dve boli známe. No pri riešení kvadratických rovníc niet úniku pred extrakciou koreňa.
Spolu s babylonskými dielami bol predmet článku študovaný aj v čínskom diele „Matematika v deviatich knihách“ a starí Gréci dospeli k záveru, že každé číslo, z ktorého nemožno vytiahnuť koreň bez zvyšku, dáva iracionálny výsledok. .
Pôvod tohto termínu je spojený s arabským znázornením čísla: starovekí vedci verili, že štvorec ľubovoľného čísla vyrastá z koreňa ako rastlina. V latinčine toto slovo znie ako radix (môžete vysledovať vzor - všetko, čo má význam „koreň“, je súhlasné, či už je to reďkovka alebo radikulitída).
Vedci nasledujúcich generácií sa chopili tejto myšlienky a označili ju ako Rx. Napríklad v 15. storočí, aby naznačili, že sa vzala druhá odmocnina z ľubovoľného čísla a, napísali R 2 a. „Kliešť“, známy moderným očiam, sa objavil až v 17. storočí vďaka Rene Descartesovi.
Naše dni
Z matematického hľadiska je druhá odmocnina čísla y číslo z, ktorého druhá mocnina sa rovná y. Inými slovami, z 2 =y je ekvivalentné √y=z. Táto definícia je však relevantná len pre aritmetický koreň, pretože implikuje nezápornú hodnotu výrazu. Inými slovami, √y=z, kde z je väčšie alebo rovné 0.
Vo všeobecnosti, čo platí pre určenie algebraického koreňa, hodnota výrazu môže byť kladná alebo záporná. Vďaka tomu, že z 2 =y a (-z) 2 =y, máme: √y=±z alebo √y=|z|.
Vzhľadom na to, že láska k matematike s rozvojom vedy len vzrástla, existujú k nej rôzne prejavy náklonnosti, ktoré nie sú vyjadrené suchými výpočtami. Napríklad spolu s takými zaujímavými javmi, ako je Deň pí, sa oslavujú aj sviatky druhej odmocniny. Oslavujú sa deväťkrát za sto rokov a určujú sa podľa nasledujúceho princípu: čísla, ktoré v poradí označujú deň a mesiac, musia byť odmocninou roka. Najbližšie teda tento sviatok oslávime 4. apríla 2016.
Vlastnosti druhej odmocniny na poli R
Takmer všetky matematické výrazy majú geometrický základ a tomuto osudu neušlo ani √y, ktoré je definované ako strana štvorca s plochou y.
Ako nájsť koreň čísla?
Existuje niekoľko výpočtových algoritmov. Najjednoduchší, ale zároveň dosť ťažkopádny, je obvyklý aritmetický výpočet, ktorý je nasledovný:
1) od čísla, ktorého koreň potrebujeme, sa postupne odčítavajú nepárne čísla - kým zvyšok na výstupe nie je menší ako odčítaná jednotka alebo dokonca rovný nule. Počet ťahov sa nakoniec stane požadovaným počtom. Napríklad výpočet druhej odmocniny z 25:
Ďalšie nepárne číslo je 11, zvyšok je: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Pre takéto prípady existuje rozšírenie Taylorovho radu:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kde n nadobúda hodnoty od 0 do
+∞ a |y|≤1.
Grafické znázornenie funkcie z=√y
Uvažujme elementárnu funkciu z=√y na poli reálnych čísel R, kde y je väčšie alebo rovné nule. Jeho rozvrh vyzerá takto:
Krivka rastie od začiatku a nevyhnutne pretína bod (1; 1).
Vlastnosti funkcie z=√y na poli reálnych čísel R
1. Oblasť definície uvažovanej funkcie je interval od nuly do plus nekonečna (nula je zahrnutá).
2. Rozsah hodnôt uvažovanej funkcie je interval od nuly do plus nekonečna (nula je opäť zahrnutá).
3. Funkcia nadobúda svoju minimálnu hodnotu (0) iba v bode (0; 0). Neexistuje žiadna maximálna hodnota.
4. Funkcia z=√y nie je párna ani nepárna.
5. Funkcia z=√y nie je periodická.
6. Existuje len jeden priesečník grafu funkcie z=√y so súradnicovými osami: (0; 0).
7. Priesečník grafu funkcie z=√y je zároveň nulou tejto funkcie.
8. Funkcia z=√y neustále rastie.
9. Funkcia z=√y nadobúda len kladné hodnoty, preto jej graf zaberá prvý súradnicový uhol.
Možnosti zobrazenia funkcie z=√y
V matematike sa na uľahčenie výpočtu zložitých výrazov niekedy používa mocninná forma zápisu odmocniny: √y=y 1/2. Táto možnosť je vhodná napríklad pri umocňovaní funkcie: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Táto metóda je tiež dobrou reprezentáciou pre diferenciáciu s integráciou, pretože vďaka nej je druhá odmocnina reprezentovaná ako obyčajná mocninová funkcia.
A pri programovaní je symbol √ nahradený kombináciou písmen sqrt.
Stojí za zmienku, že v tejto oblasti je odmocnina veľmi žiadaná, pretože je súčasťou väčšiny geometrických vzorcov potrebných na výpočty. Samotný počítací algoritmus je pomerne zložitý a je založený na rekurzii (funkcii, ktorá volá sama seba).
Druhá odmocnina v komplexnom poli C
Vo všeobecnosti to bol predmet tohto článku, ktorý podnietil objav poľa komplexných čísel C, pretože matematikov prenasledovala otázka získania párnej odmocniny záporného čísla. Takto sa objavila pomyselná jednotka i, ktorá sa vyznačuje veľmi zaujímavou vlastnosťou: jej druhá mocnina je -1. Vďaka tomu boli kvadratické rovnice vyriešené aj so záporným diskriminantom. V C sú pre druhú odmocninu relevantné rovnaké vlastnosti ako v R, len sú odstránené obmedzenia radikálneho vyjadrenia.
A máte závislosť na kalkulačke? Alebo si myslíte, že je veľmi ťažké vypočítať, napríklad okrem kalkulačky alebo tabuľky štvorcov.
Stáva sa, že školáci sú viazaní na kalkulačku a dokonca vynásobia 0,7 x 0,5 stlačením vzácnych tlačidiel. Hovoria, dobre, ešte viem počítať, ale teraz ušetrím čas... Keď príde skúška... potom sa napnem...
Faktom teda je, že „stresových chvíľ“ už na skúške bude dosť... Ako sa hovorí, voda unáša kamene. Na skúške vás teda maličkosti, ak ich je veľa, môžu zruinovať...
Poďme minimalizovať počet možných problémov.
Odmocnina z veľkého čísla
Teraz budeme hovoriť len o prípade, keď výsledkom extrakcie druhej odmocniny je celé číslo.
Prípad 1.
Takže za každú cenu (napríklad pri výpočte diskriminantu) potrebujeme vypočítať druhú odmocninu z 86436.
Číslo 86436 rozpočítame do prvočísel. Vydelíme 2, dostaneme 43218; opäť vydelíme 2, dostaneme 21609. Číslo nemôže byť deliteľné 2. Ale keďže súčet číslic je deliteľný 3, tak aj samotné číslo je deliteľné 3 (vo všeobecnosti je jasné, že je deliteľné aj 9). . Vydelíme opäť 3 a dostaneme 2401. 2401 nie je úplne deliteľné 3. Nedeliteľné piatimi (nekončí 0 alebo 5).
Máme podozrenie na deliteľnosť 7. Skutočne a ,
Takže kompletná objednávka!
Prípad 2
Potrebujeme vypočítať. Je nepohodlné konať rovnakým spôsobom, ako je opísané vyššie. Snažíme sa faktorizovať...
Číslo 1849 nie je deliteľné 2 (nie je párne)…
Nie je úplne deliteľné 3 (súčet číslic nie je násobkom 3)...
Nie je úplne deliteľné 5 (posledná číslica nie je ani 5, ani 0)…
Nie je to úplne deliteľné 7, nie je to deliteľné 11, nie je to deliteľné 13... No, ako dlho nám bude trvať, kým pretriedime všetky prvočísla?
Uvažujme trochu inak.
Rozumieme tomu
Zúžili sme vyhľadávanie. Teraz si prejdeme čísla od 41 do 49. Navyše je jasné, že keďže posledná číslica čísla je 9, mali by sme sa zastaviť pri možnostiach 43 alebo 47 - iba tieto čísla, keď sa odmocnia, dajú poslednú číslicu 9 .
Tu sa, samozrejme, zastavíme na čísle 43. Naozaj,
P.S. Ako do pekla vynásobíme 0,7 x 0,5?
Mali by ste vynásobiť 5 x 7, ignorovať nuly a znamienka, a potom oddeliť sprava doľava dve desatinné miesta. Dostaneme 0,35.
