Niektorí ľudia zaobchádzajú so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým termínom z oblastí vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca taxametra (kde stále existujú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „získať podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.
Matematická postupnosť čísel
Číselná postupnosť sa zvyčajne nazýva séria čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.
a 1 je prvý člen sekvencie;
a 2 je druhý člen sekvencie;
a 7 je siedmy člen sekvencie;
a n je n-tý člen sekvencie;
Nás však nezaujíma žiadna ľubovoľná množina čísel a čísel. Svoju pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom vzťahom, ktorý možno matematicky jasne sformulovať. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.
a je hodnota člena číselnej postupnosti;
n je jeho sériové číslo;
f(n) je funkcia, kde poradové číslo v číselnej postupnosti n je argument.
Definícia
Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:
a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;
a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;
d - rozdiel (určité číslo).
Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.
V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „rastúca“.
V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Zadaná hodnota člena
Niekedy je potrebné určiť hodnotu ľubovoľného člena an aritmetickej progresie. To sa dá dosiahnuť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetickej progresie, počnúc prvým po požadovaný. Nie vždy je však táto cesta akceptovateľná, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového či osemmiliónového členu. Tradičné výpočty zaberú veľa času. Špecifický aritmetický postup však možno študovať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej progresie možno určiť ako súčet prvého člena progresie s rozdielom progresie, vynásobený číslom požadovaného člena, znížený o jeden.
Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.
Príklad výpočtu hodnoty daného výrazu
Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:
Prvý člen sekvencie je 3;
Rozdiel v číselnom rade je 1,2.
Úloha: musíte nájsť hodnotu 214 výrazov
Riešenie: Na určenie hodnoty daného výrazu použijeme vzorec:
a(n) = a1 + d(n-1)
Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.
Výhody tohto spôsobu výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.
Súčet daného počtu výrazov
Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Na tento účel tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet je potrebné nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.
Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého členu, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:
Príklad výpočtu
Napríklad vyriešme problém s nasledujúcimi podmienkami:
Prvý člen postupnosti je nula;
Rozdiel je 0,5.
Problém vyžaduje určenie súčtu členov radu od 56 do 101.
Riešenie. Na určenie veľkosti progresie použijeme vzorec:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.
s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je teda:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie
Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku – taxametra (taxi car meter). Uvažujme o tomto príklade.
Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km cesty) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov/km. Dojazdová vzdialenosť je 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.
1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v cene pristátia.
30 - 3 = 27 km.
2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.
Členské číslo – počet najazdených kilometrov (mínus prvé tri).
Hodnota člena je súčet.
Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.
Postupový rozdiel d = 22 r.
číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27+1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra je 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od hviezdy. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných oblastiach matematiky.
Iný typ číselnej postupnosti je geometrický
Geometrická progresia je charakterizovaná vyššou rýchlosťou zmien v porovnaní s aritmetickou progresiou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii a medicíne, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja v geometrickom postupe.
N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ sa zodpovedajúcim spôsobom rovná 2, potom:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - hodnota aktuálneho členu geometrickej progresie;
b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;
q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).
Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrická progresia vykresľuje trochu iný obraz:
Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:
Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. člen postupu
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu:
Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:
Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Mnoho ľudí počulo o aritmetickej progresii, ale nie každý má dobrú predstavu o tom, čo to je. V tomto článku uvedieme zodpovedajúcu definíciu a tiež zvážime otázku, ako nájsť rozdiel v aritmetickej progresii, a uvedieme niekoľko príkladov.
Matematická definícia
Ak teda hovoríme o aritmetickej alebo algebraickej postupnosti (tieto pojmy definujú to isté), potom to znamená, že existuje určitý číselný rad, ktorý spĺňa nasledujúci zákon: každé dve susedné čísla v rade sa líšia o rovnakú hodnotu. Matematicky je to napísané takto:
Tu n znamená číslo prvku a n v postupnosti a číslo d je rozdiel postupu (jeho názov vyplýva z uvedeného vzorca).
Čo znamená poznať rozdiel d? O tom, ako „ďaleko“ sú susedné čísla od seba. Znalosť d je však nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou na určenie (obnovenie) celej progresie. Potrebujete vedieť ešte jedno číslo, ktorým môže byť absolútne akýkoľvek prvok uvažovanej série, napríklad 4, a10, ale spravidla používajú prvé číslo, to znamená 1.
Vzorce na určenie prvkov postupu
Vo všeobecnosti už vyššie uvedené informácie postačujú na to, aby sme prešli na riešenie konkrétnych problémov. Pred uvedením aritmetického postupu a bude potrebné nájsť jeho rozdiel však predstavíme niekoľko užitočných vzorcov, ktoré uľahčia následný proces riešenia problémov.
Je ľahké ukázať, že akýkoľvek prvok postupnosti s číslom n možno nájsť takto:
a n = a 1 + (n - 1) * d
Skutočne, každý môže tento vzorec skontrolovať jednoduchým vyhľadávaním: ak dosadíte n = 1, dostanete prvý prvok, ak dosadíte n = 2, potom výraz udáva súčet prvého čísla a rozdielu atď.
Podmienky mnohých úloh sú zostavené tak, že pri danej známej dvojici čísel, ktorých čísla sú uvedené aj v postupnosti, je potrebné rekonštruovať celý číselný rad (nájsť rozdiel a prvý prvok). Teraz tento problém vyriešime vo všeobecnej forme.
Nech sú teda dané dva prvky s číslami n a m. Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete vytvoriť systém dvoch rovníc:
an = ai + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Na nájdenie neznámych veličín použijeme na riešenie takejto sústavy známu jednoduchú techniku: odčítajte ľavú a pravú stranu v pároch, rovnosť zostane v platnosti. Máme:
an = ai + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Vylúčili sme teda jednu neznámu (a 1). Teraz môžeme napísať konečný výraz na určenie d:
d = (a n - a m) / (n - m), kde n > m
Dostali sme veľmi jednoduchý vzorec: na výpočet rozdielu d v súlade s podmienkami úlohy je potrebné vziať iba pomer rozdielov medzi samotnými prvkami a ich sériovými číslami. Treba venovať pozornosť jednému dôležitému bodu: rozdiely sa berú medzi „staršími“ a „juniorskými“ členmi, teda n > m („senior“ znamená stojaci ďalej od začiatku sekvencie, jeho absolútna hodnota môže byť buď väčší či menej viac „juniorský“ prvok).
Výraz pre priebeh rozdielu d by sa mal dosadiť do ktorejkoľvek z rovníc na začiatku riešenia úlohy, aby sme získali hodnotu prvého člena.
V našej dobe rozvoja počítačových technológií sa veľa školákov snaží nájsť riešenia svojich úloh na internete, takže často vznikajú otázky tohto typu: nájdite rozdiel aritmetického postupu online. Pri takejto požiadavke vám vyhľadávač vráti niekoľko webových stránok, na ktoré budete musieť zadať údaje známe z podmienky (môžu to byť buď dva termíny progresie alebo súčet určitého počtu z nich ) a okamžite dostanete odpoveď. Tento prístup k riešeniu problému je však neproduktívny z hľadiska rozvoja študenta a chápania podstaty zadanej úlohy.
Riešenie bez použitia vzorcov
Vyriešme prvý problém bez použitia niektorého z uvedených vzorcov. Nech sú dané prvky radu: a6 = 3, a9 = 18. Nájdite rozdiel aritmetickej postupnosti.
Známe prvky stoja blízko seba v rade. Koľkokrát treba pripočítať rozdiel d k najmenšiemu, aby sme dostali najväčší? Trikrát (prvýkrát pridaním d dostaneme 7. prvok, druhýkrát - ôsmy, nakoniec tretíkrát - deviaty). Aké číslo treba pridať k trom trikrát, aby ste dostali 18? Toto je číslo päť. naozaj:
Neznámy rozdiel d = 5.
Samozrejme, riešenie sa mohlo uskutočniť pomocou vhodného vzorca, ale nebolo to urobené úmyselne. Podrobné vysvetlenie riešenia problému by sa malo stať jasným a jasným príkladom toho, čo je aritmetická progresia.
Úloha podobná predchádzajúcej
Teraz vyriešme podobný problém, ale zmeňme vstupné údaje. Mali by ste teda zistiť, či a3 = 2, a9 = 19.
Samozrejme, opäť sa môžete uchýliť k metóde riešenia „hlavou“. Ale keďže sú dané prvky série, ktoré sú od seba pomerne vzdialené, táto metóda nebude úplne pohodlná. Ale použitie výsledného vzorca nás rýchlo privedie k odpovedi:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Tu sme zaokrúhlili konečné číslo. Rozsah, v akom toto zaokrúhľovanie viedlo k chybe, možno posúdiť skontrolovaním výsledku:
a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Tento výsledok sa líši len o 0,1 % od hodnoty uvedenej v podmienke. Preto za úspešnú voľbu možno považovať zaokrúhľovanie použité na stotiny.
Problémy zahŕňajúce použitie vzorca pre výraz
Zoberme si klasický príklad úlohy na určenie neznámej d: nájdite rozdiel aritmetickej progresie, ak a1 = 12, a5 = 40.
Keď sú zadané dve čísla neznámej algebraickej postupnosti a jedno z nich je prvok a 1, potom nemusíte dlho premýšľať, ale mali by ste okamžite použiť vzorec pre člen a n. V tomto prípade máme:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Pri delení sme dostali presné číslo, takže nemá zmysel kontrolovať správnosť vypočítaného výsledku, ako to bolo urobené v predchádzajúcom odseku.
Vyriešme ďalší podobný problém: potrebujeme nájsť rozdiel aritmetickej progresie, ak a1 = 16, a8 = 37.
Použijeme podobný prístup ako predchádzajúci a dostaneme:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Čo by ste ešte mali vedieť o aritmetickej progresii?
Okrem problémov s hľadaním neznámeho rozdielu alebo jednotlivých prvkov je často potrebné riešiť aj úlohy súčtu prvých členov postupnosti. Úvaha o týchto problémoch je nad rámec článku, pre úplnosť informácií však uvádzame všeobecný vzorec pre súčet n čísel v rade:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Alebo aritmetika je typ usporiadanej číselnej postupnosti, ktorej vlastnosti sa študujú v kurze školskej algebry. Tento článok podrobne rozoberá otázku, ako nájsť súčet aritmetickej progresie.
Čo je to za progresiu?
Predtým, ako prejdeme k otázke (ako nájsť súčet aritmetickej progresie), stojí za to pochopiť, o čom hovoríme.
Akákoľvek postupnosť reálnych čísel, ktorá sa získa pripočítaním (odčítaním) nejakej hodnoty od každého predchádzajúceho čísla, sa nazýva algebraická (aritmetická) postupnosť. Táto definícia, keď je preložená do matematického jazyka, má podobu:
Tu i je poradové číslo prvku riadku a i. Ak teda poznáte iba jedno štartovné číslo, môžete ľahko obnoviť celú sériu. Parameter d vo vzorci sa nazýva progresívny rozdiel.
Dá sa ľahko ukázať, že pre uvažovaný rad čísel platí nasledujúca rovnosť:
a n = ai + d* (n - 1).
To znamená, že ak chcete nájsť hodnotu n-tého prvku v poradí, mali by ste pridať rozdiel d k prvému prvku a 1 n-1 krát.
Aký je súčet aritmetickej progresie: vzorec
Pred uvedením vzorca pre uvedené množstvo je potrebné zvážiť jednoduchý špeciálny prípad. Vzhľadom na postupnosť prirodzených čísel od 1 do 10 musíte nájsť ich súčet. Keďže v postupnosti je málo pojmov (10), je možné problém vyriešiť priamočiaro, teda sčítať všetky prvky v poradí.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Za úvahu stojí jedna zaujímavosť: keďže sa každý člen líši od nasledujúceho o rovnakú hodnotu d = 1, potom párový súčet prvého s desiatym, druhého s deviatym atď. dá rovnaký výsledok. naozaj:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Ako vidíte, týchto súčtov je len 5, teda presne dvakrát menej ako je počet prvkov série. Potom vynásobením počtu súčtov (5) výsledkom každého súčtu (11) sa dostanete k výsledku získanému v prvom príklade.
Ak tieto argumenty zovšeobecníme, môžeme napísať nasledujúci výraz:
Sn = n* (a 1 + a n) / 2.
Tento výraz ukazuje, že vôbec nie je potrebné sčítať všetky prvky za sebou, stačí poznať hodnotu prvého a 1 a posledného a n, ako aj celkový počet členov n.
Predpokladá sa, že Gauss prvýkrát premýšľal o tejto rovnosti, keď hľadal riešenie problému, ktorý dal jeho učiteľ: spočítajte prvých 100 celých čísel.
Súčet prvkov od m do n: vzorec
Vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku odpovedá na otázku, ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti (prvé prvky), ale často je v problémoch potrebné sčítať sériu čísel v strede postupnosti. Ako to spraviť?
Najjednoduchší spôsob, ako odpovedať na túto otázku, je zvážiť nasledujúci príklad: nech je potrebné nájsť súčet členov od m-tej do n-tej. Na vyriešenie problému by ste mali prezentovať daný segment od m do n postupu vo forme nového číselného radu. V tomto znázornení bude m-tý člen a m prvý a a n bude očíslované n-(m-1). V tomto prípade použitím štandardného vzorca pre súčet získame nasledujúci výraz:
Smn = (n - m + 1) * (am + an) / 2.
Príklad použitia vzorcov
Keď vieme, ako nájsť súčet aritmetickej progresie, stojí za to zvážiť jednoduchý príklad použitia vyššie uvedených vzorcov.
Nižšie je číselná postupnosť, mali by ste nájsť súčet jej členov, počnúc 5. a končiac 12.:
Uvedené čísla naznačujú, že rozdiel d je rovný 3. Pomocou výrazu pre n-tý prvok môžete nájsť hodnoty 5. a 12. člena progresie. Ukázalo sa:
a5 = ai + d*4 = -4 + 3*4 = 8;
a12 = a1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Keď poznáte hodnoty čísel na koncoch uvažovanej algebraickej progresie, ako aj viete, aké čísla v sérii zaberajú, môžete použiť vzorec pre súčet získaný v predchádzajúcom odseku. Ukáže sa:
S512 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Stojí za zmienku, že túto hodnotu možno získať inak: najprv nájdite súčet prvých 12 prvkov pomocou štandardného vzorca, potom vypočítajte súčet prvých 4 prvkov pomocou rovnakého vzorca a potom odpočítajte druhý od prvého súčtu.
Aritmetické a geometrické postupnosti
Teoretické informácie
Teoretické informácie
Aritmetický postup |
Geometrická progresia |
|
Definícia |
Aritmetický postup a n je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu členu pripočítanému k rovnakému číslu d (d- progresívny rozdiel) |
Geometrická progresia b n je postupnosť nenulových čísel, z ktorých každý člen počnúc druhým sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým číslom q (q- menovateľ progresie) |
Vzorec opakovania |
Pre akékoľvek prírodné n |
Pre akékoľvek prírodné n |
Vzorec n-tý termín |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Charakteristická vlastnosť |  |
|
| Súčet prvých n členov |  |
 |
Príklady úloh s komentármi
Cvičenie 1
V aritmetickom postupe ( a n) 1 = -6, a 2
Podľa vzorca n-tého členu:
22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 d
Podľa podmienok:
1= -6 teda 22= -6 + 21 d.
Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
odpoveď: 22 = -48.
Úloha 2
Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti: -3; 6;...
1. metóda (použitím n-členného vzorca)
Podľa vzorca pre n-tý člen geometrickej postupnosti:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Pretože b 1 = -3,
2. metóda (použitím opakujúceho sa vzorca)
Keďže menovateľ progresie je -2 (q = -2), potom:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
odpoveď: b 5 = -48.
Úloha 3
V aritmetickom postupe ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Nájdite sedemdesiaty piaty člen tohto postupu.
Pre aritmetickú progresiu má charakteristická vlastnosť tvar 
.
Preto:
.
Dosadíme údaje do vzorca:
odpoveď: 95.
Úloha 4
V aritmetickom postupe ( a n) a n= 3n - 4. Nájdite súčet prvých sedemnástich členov.
Na nájdenie súčtu prvých n členov aritmetickej progresie sa používajú dva vzorce:
.
Ktorý z nich je v tomto prípade vhodnejší?
Podľa podmienky je známy vzorec pre n-tý člen pôvodnej progresie ( a n) a n= 3n - 4. Môžete okamžite nájsť a 1, A 16 bez nájdenia d. Preto použijeme prvý vzorec.
Odpoveď: 368.
Úloha 5
V aritmetickom postupe ( a n) 1 = -6; a 2= -8. Nájdite dvadsiaty druhý termín postupu.
Podľa vzorca n-tého členu:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21 d.
Podľa podmienky, ak 1= -6 teda 22= -6 + 21 d. Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
odpoveď: 22 = -48.
Úloha 6
Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich pojmov geometrickej postupnosti:
Nájdite člen postupnosti označený x.
Pri riešení použijeme vzorec pre n-tý člen b n = b 1 ∙ q n - 1 pre geometrické postupnosti. Prvý termín progresie. Ak chcete nájsť menovateľa progresie q, musíte vziať ktorýkoľvek z daných členov progresie a vydeliť ho predchádzajúcim. V našom príklade môžeme brať a deliť podľa. Dostaneme, že q = 3. Namiesto n dosadíme do vzorca 3, keďže je potrebné nájsť tretí člen danej geometrickej postupnosti.
Nahradením nájdených hodnôt do vzorca dostaneme:
.
Odpoveď: .
Úloha 7
Z aritmetických postupností daných vzorcom n-tého člena vyberte ten, pre ktorý je podmienka splnená 27 > 9:
Keďže daná podmienka musí byť splnená pre 27. člen postupnosti, do každej zo štyroch postupností dosadíme 27 namiesto n. V 4. postupe dostaneme:
.
odpoveď: 4.
Úloha 8
V aritmetickej progresii 1= 3, d = -1,5. Zadajte najväčšiu hodnotu n, pre ktorú platí nerovnosť a n > -6.
Koncept číselnej postupnosti znamená, že každé prirodzené číslo zodpovedá nejakej skutočnej hodnote. Takáto séria čísel môže byť ľubovoľná alebo môže mať určité vlastnosti - progresiu. V druhom prípade možno každý nasledujúci prvok (člen) sekvencie vypočítať pomocou predchádzajúceho.
Aritmetický postup je postupnosť číselných hodnôt, v ktorých sa susedné členy navzájom líšia rovnakým číslom (všetky prvky série, počnúc 2., majú podobnú vlastnosť). Toto číslo - rozdiel medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi - je konštantné a nazýva sa progresívny rozdiel.
Rozdiel v postupe: definícia
Uvažujme postupnosť pozostávajúcu z j hodnôt A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j patrí do množiny prirodzených čísel N. Aritmetika progresia je podľa svojej definície postupnosť, v ktorej a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdiel tejto progresie.
d = a(j) – a(j-1).
Zlatý klinec:
- Rastúca progresia, v tomto prípade d > 0. Príklad: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Klesajúca progresia, potom d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Progresia rozdielov a jej arbitrárne prvky
Ak sú známe 2 ľubovoľné členy progresie (i-tá, k-tá), potom rozdiel pre danú postupnosť možno určiť na základe vzťahu:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, čo znamená d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Rozdiel progresie a jej prvý termín
Tento výraz pomôže určiť neznámu hodnotu iba v prípadoch, keď je známe číslo prvku sekvencie.
Postupový rozdiel a jeho súčet
Súčet progresie je súčtom jej členov. Na výpočet celkovej hodnoty jeho prvých j prvkov použite príslušný vzorec:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale keďže a(j) = a(1) + d(j – 1), potom S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
