V matematike a štatistike priemer aritmetický (alebo jednoduchý priemer) množiny čísel je súčet všetkých čísel v tejto množine vydelený ich počtom. Aritmetický priemer je obzvlášť univerzálnym a najbežnejším vyjadrením priemeru.

Budete potrebovať

• Vedomosti z matematiky.

Inštrukcie

1. Nech je daný súbor štyroch čísel. Treba objaviť priemer význam túto súpravu. Aby sme to dosiahli, najprv nájdeme súčet všetkých týchto čísel. Možné čísla sú 1, 3, 8, 7. Ich súčet je S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Množina čísel musí pozostávať z čísel rovnakého znamienka, inak stráca zmysel pri výpočte priemernej hodnoty.

2. Priemerná význam množina čísel sa rovná súčtu čísel S vydelenému počtom týchto čísel. To znamená, že sa to ukazuje priemer význam rovná sa: 19/4 = 4,75.

3. Pre sadu čísel je tiež možné zistiť nielen priemer aritmetika, ale aj priemer geometrický. Geometrický priemer niekoľkých pravidelných reálnych čísel je číslo, ktoré môže nahradiť ktorékoľvek z týchto čísel tak, že sa ich súčin nemení. Geometrický priemer G sa hľadá pomocou vzorca: N-tá odmocnina súčinu množiny čísel, kde N je číslo v množine. Pozrime sa na rovnakú množinu čísel: 1, 3, 8, 7. Poďme ich nájsť priemer geometrický. Aby sme to urobili, vypočítajme súčin: 1*3*8*7 = 168. Teraz z čísla 168 musíte extrahovať 4. koreň: G = (168)^1/4 = 3,61. Teda priemer geometrická množina čísel je 3,61.

Priemerná Geometrický priemer sa vo všeobecnosti používa menej často ako aritmetický priemer, môže však byť užitočný pri výpočte priemernej hodnoty ukazovateľov, ktoré sa v čase menia (mzda jednotlivého zamestnanca, dynamika ukazovateľov akademického výkonu atď.).

Budete potrebovať

• Inžiniersky kalkulátor

Inštrukcie

1. Aby ste našli geometrický priemer radu čísel, musíte najprv vynásobiť všetky tieto čísla. Povedzme, že máte množinu piatich ukazovateľov: 12, 3, 6, 9 a 4. Vynásobme všetky tieto čísla: 12x3x6x9x4=7776.

2. Teraz z výsledného čísla musíte extrahovať koreň moci rovnajúci sa počtu prvkov série. V našom prípade z čísla 7776 bude potrebné extrahovať piaty koreň pomocou inžinierskej kalkulačky. Číslo získané po tejto operácii - v tomto prípade číslo 6 - bude geometrickým priemerom pre počiatočnú skupinu čísel.

3. Ak nemáte po ruke inžiniersku kalkulačku, môžete vypočítať geometrický priemer série čísel pomocou funkcie SRGEOM v Exceli alebo pomocou jednej z online kalkulačiek špeciálne navrhnutých na výpočet geometrických stredných hodnôt.

Poznámka!
Ak potrebujete nájsť geometrický priemer každého pre 2 čísla, potom nepotrebujete inžiniersku kalkulačku: môžete extrahovať druhú odmocninu (druhú odmocninu) ľubovoľného čísla pomocou najbežnejšej kalkulačky.

Užitočné rady
Na rozdiel od aritmetického priemeru nie je geometrický priemer tak silne ovplyvnený veľkými odchýlkami a výkyvmi medzi jednotlivými hodnotami v súbore skúmaných ukazovateľov.

Priemerná hodnota je jedným z porovnávaní množiny čísel. Predstavuje číslo, ktoré nemôže byť mimo rozsahu definovaného najväčšou a najmenšou hodnotou v danej množine čísel. Priemerná aritmetická hodnota je obzvlášť bežne používaný typ priemeru.

Inštrukcie

1. Spočítajte všetky čísla v množine a vydeľte ich počtom členov, aby ste dostali aritmetický priemer. V závislosti od určitých podmienok výpočtu je niekedy jednoduchšie rozdeliť každé z čísel počtom hodnôt v množine a sčítať súčet.

2. Ak nie je možné vypočítať aritmetický priemer z vašej hlavy, použite povedzme kalkulačku, ktorá je súčasťou operačného systému Windows. Môžete ho otvoriť s podporou v dialógovom okne spustenia programu. Ak to chcete urobiť, stlačte „klávesové skratky“ WIN + R alebo kliknite na tlačidlo „Štart“ a vyberte príkaz „Spustiť“ z hlavnej ponuky. Potom do vstupného poľa zadajte calc a stlačte kláves Enter na klávesnici alebo kliknite na tlačidlo „OK“. To isté možno vykonať prostredníctvom hlavnej ponuky - otvorte ju, prejdite do časti „Všetky programy“ a do segmentov „Typické“ a vyberte riadok „Kalkulačka“.

3. Postupne zadajte všetky čísla sady stlačením klávesu Plus na klávesnici po všetkých (okrem posledného) alebo kliknutím na príslušné tlačidlo v rozhraní kalkulačky. Čísla môžete zadávať aj z klávesnice alebo kliknutím na príslušné tlačidlá rozhrania.

4. Stlačte lomítko alebo kliknite na túto ikonu v rozhraní kalkulačky po zadaní poslednej hodnoty množiny a zadajte počet čísel v poradí. Potom stlačte znamienko rovnosti a kalkulačka vypočíta a zobrazí aritmetický priemer.

5. Na rovnaký účel môžete použiť aj tabuľkový editor Microsoft Excel. V takom prípade spustite editor a do susedných buniek zadajte všetky hodnoty postupnosti čísel. Ak po zadaní celého čísla stlačíte Enter alebo kláves so šípkou nadol alebo doprava, samotný editor presunie zameranie vstupu do susednej bunky.

6. Vyberte všetky zadané hodnoty a v ľavom dolnom rohu okna editora (v stavovom riadku) uvidíte aritmetický priemer pre vybrané bunky.

7. Ak chcete vidieť iba priemer, kliknite na bunku vedľa posledného zadaného čísla. Rozbaľte rozbaľovací zoznam s obrázkom gréckeho písmena sigma (Σ) v skupine príkazov Úpravy na karte Hlavné. Vyberte riadok " Priemerná“ a editor vloží do vybranej bunky potrebný vzorec na výpočet aritmetického priemeru. Stlačte kláves Enter a hodnota sa vypočíta.

Aritmetický priemer je jednou z mier centrálnej náchylnosti, ktorá sa široko používa v matematike a štatistických výpočtoch. Je veľmi ľahké nájsť aritmetický priemer pre niekoľko hodnôt, ale každý problém má svoje vlastné nuansy, ktoré musíte poznať, aby ste mohli správne výpočty vykonať.

Čo je aritmetický priemer

Aritmetický priemer definuje priemernú hodnotu pre každé počiatočné pole čísel. Inými slovami, z určitej množiny čísel sa vyberie hodnota, ktorá je univerzálna pre všetky prvky, ktorej matematické porovnanie so všetkými prvkami je približne rovnaké. Aritmetický priemer sa používa prednostne pri príprave finančných a štatistických výkazov alebo pri výpočte kvantitatívnych výsledkov podobných zručností.

Ako nájsť aritmetický priemer

Nájdenie aritmetického priemeru pre pole čísel by malo začať určením algebraického súčtu týchto hodnôt. Napríklad, ak pole obsahuje čísla 23, 43, 10, 74 a 34, ich algebraický súčet sa bude rovnať 184. Pri zápise sa aritmetický priemer označuje písmenom? (mu) alebo x (x s čiarou). Ďalej by sa mal algebraický súčet vydeliť počtom čísel v poli. V uvažovanom príklade bolo päť čísel, preto sa aritmetický priemer bude rovnať 184/5 a bude 36,8.

Funkcie práce so zápornými číslami

Ak pole obsahuje záporné čísla, potom sa aritmetický priemer nájde pomocou podobného algoritmu. Rozdiel existuje len pri výpočte v programovacom prostredí, alebo ak problém obsahuje ďalšie údaje. V týchto prípadoch nájdenie aritmetického priemeru čísel s rôznymi znamienkami pozostáva z troch krokov: 1. Hľadanie univerzálneho aritmetického priemeru štandardnou metódou;2. Nájdenie aritmetického priemeru záporných čísel.3. Výpočet aritmetického priemeru kladných čísel Výsledky každej akcie sú oddelené čiarkami.

Prirodzené a desatinné zlomky

Ak je pole čísel reprezentované desatinnými zlomkami, riešenie sa vykoná metódou výpočtu aritmetického priemeru celých čísel, ale zníženie súčtu sa vykoná podľa požiadaviek úlohy na presnosť výsledku. pri práci s prirodzenými zlomkami by sa mali zredukovať na spoločného menovateľa, ktorý sa vynásobí počtom čísel v poli. Čitateľ výsledku bude súčtom daných čitateľov počiatočných zlomkových prvkov.

Geometrický priemer čísel závisí nielen od absolútnej hodnoty samotných čísel, ale aj od ich počtu. Nie je možné zamieňať geometrický priemer a aritmetický priemer čísel, pretože sa zisťujú pomocou rôznych metodológií. V tomto prípade je geometrický priemer vždy menší alebo rovnaký ako aritmetický priemer.

Budete potrebovať

• Inžiniersky kalkulátor.

Inštrukcie

1. Uvažujme, že vo všeobecnom prípade geometrický priemer čísel nájdeme vynásobením týchto čísel a získaním odmocniny mocniny, ktorá zodpovedá počtu čísel. Napríklad, ak potrebujete nájsť geometrický priemer piatich čísel, potom budete musieť extrahovať piaty koreň z produktu.

2. Ak chcete nájsť geometrický priemer 2 čísel, použite základné pravidlo. Nájdite ich súčin, potom vezmite druhú odmocninu čísla dva, ktorá zodpovedá stupňu odmocniny. Povedzme, že ak chcete nájsť geometrický priemer čísel 16 a 4, nájdite ich súčin 16 4 = 64. Z výsledného čísla odoberte druhú odmocninu?64=8. Toto bude požadovaná hodnota. Upozorňujeme, že aritmetický priemer týchto 2 čísel je väčší a rovná sa 10. Ak koreň nie je extrahovaný celý, zaokrúhlite súčet na požadované poradie.

3. Ak chcete nájsť geometrický priemer viac ako 2 čísel, použite aj základné pravidlo. Ak to chcete urobiť, nájdite súčin všetkých čísel, pre ktoré potrebujete nájsť geometrický priemer. Z výsledného produktu extrahujte odmocninu rovnajúcej sa počtu čísel. Napríklad, ak chcete nájsť geometrický priemer čísel 2, 4 a 64, nájdite ich súčin. 2 4 64=512. Pretože je potrebné nájsť výsledok geometrického priemeru 3 čísel, extrahujte zo súčinu tretí koreň. Je ťažké to urobiť verbálne, takže použite inžiniersku kalkulačku. Na tento účel má tlačidlo „x^y“. Vytočte číslo 512, stlačte tlačidlo „x^y“, potom vytočte číslo 3 a stlačením tlačidla „1/x“ nájdite hodnotu 1/3, stlačte tlačidlo „=“. Získame výsledok zvýšenia 512 na 1/3, čo zodpovedá tretiemu odmocneniu. Získajte 512^1/3=8. Toto je geometrický priemer čísel 2,4 a 64.

4. S podporou inžinierskej kalkulačky môžete nájsť geometrický priemer pomocou inej metódy. Nájdite na klávesnici tlačidlo denníka. Potom zoberte logaritmus pre všetky čísla, nájdite ich súčet a vydeľte ho počtom čísel. Zoberte antilogaritmus z výsledného čísla. Toto bude geometrický priemer čísel. Povedzme, že ak chcete nájsť geometrický priemer rovnakých čísel 2, 4 a 64, vykonajte na kalkulačke súbor operácií. Vytočte číslo 2, potom stlačte tlačidlo log, stlačte tlačidlo „+“, vytočte číslo 4 a znova stlačte log a „+“, vytočte 64, stlačte log a „=“. Výsledkom bude číslo, ktoré sa rovná súčtu desatinných logaritmov čísel 2, 4 a 64. Výsledné číslo vydeľte tromi, pretože ide o počet čísel, podľa ktorých sa hľadá geometrický priemer. Zo súčtu zoberte antilogaritmus prepnutím registračného tlačidla a použite rovnaký logovací kľúč. Výsledkom bude číslo 8, to je požadovaný geometrický priemer.

Poznámka!
Priemerná hodnota nemôže byť väčšia ako najväčšie číslo v súbore a menšia ako najmenšie.

Užitočné rady
V matematickej štatistike sa priemerná hodnota veličiny nazýva matematické očakávanie.

Metóda priemerov

3.1 Podstata a význam priemerov v štatistike. Typy priemerov

Priemerná veľkosť v štatistike je zovšeobecnená charakteristika kvalitatívne homogénnych javov a procesov podľa nejakej premennej charakteristiky, ktorá ukazuje úroveň charakteristiky vztiahnutej na jednotku populácie. priemerná hodnota abstraktné, pretože charakterizuje hodnotu charakteristiky v nejakej neosobnej jednotke obyvateľstva.Esencia priemerná hodnota je, že prostredníctvom jednotlivca a náhody sa odhaľuje všeobecné a nevyhnutné, teda tendencia a vzor vo vývoji hromadných javov. Znaky, ktoré sú zovšeobecnené v priemerných hodnotách, sú vlastné všetkým jednotkám populácie. Z tohto dôvodu má priemerná hodnota veľký význam pre identifikáciu vzorcov, ktoré sú súčasťou masových javov a ktoré nie sú viditeľné v jednotlivých jednotkách populácie.

Všeobecné zásady používania priemerov:

je potrebný primeraný výber jednotky populácie, pre ktorú sa vypočítava priemerná hodnota;

pri určovaní priemernej hodnoty treba vychádzať z kvalitatívneho obsahu spriemerovanej charakteristiky, brať do úvahy vzťah skúmaných charakteristík, ako aj údaje dostupné na výpočet;

priemerné hodnoty by sa mali vypočítať na základe kvalitatívne homogénnych populácií, ktoré sa získajú metódou zoskupovania, ktorá zahŕňa výpočet systému zovšeobecňujúcich ukazovateľov;

celkové priemery musia byť podporené skupinovými priemermi.

V závislosti od povahy primárnych údajov, rozsahu použitia a spôsobu výpočtu v štatistike sa rozlišujú: hlavné typy médií:

1) výkonové priemery(aritmetický priemer, harmonický, geometrický, stredný štvorcový a kubický);

2) štrukturálne (neparametrické) prostriedky(režim a medián).

V štatistike správnu charakteristiku skúmanej populácie podľa rôznych charakteristík v každom jednotlivom prípade poskytuje len veľmi špecifický typ priemeru. Otázka, aký typ priemeru je potrebné použiť v konkrétnom prípade, sa rieši prostredníctvom špecifickej analýzy skúmanej populácie, ako aj na základe princípu zmysluplnosti výsledkov pri sčítaní alebo pri vážení. Tieto a ďalšie princípy sú vyjadrené v štatistike teória priemerov.

Napríklad aritmetický priemer a harmonický priemer sa používajú na charakterizáciu priemernej hodnoty premenlivej charakteristiky v skúmanej populácii. Geometrický priemer sa používa iba pri výpočte priemerných mier dynamiky a kvadratický priemer sa používa iba pri výpočte variačných indexov.

Vzorce na výpočet priemerných hodnôt sú uvedené v tabuľke 3.1.

Tabuľka 3.1 – Vzorce na výpočet priemerných hodnôt

Typy priemerov	Výpočtové vzorce
	jednoduché	vážený
1. Aritmetický priemer
2. Harmonický priemer
3. Geometrický priemer
4. Stredný štvorec

Označenia:- množstvá, pre ktoré sa vypočítava priemer; - priemer, kde stĺpec vyššie naznačuje, že dochádza k priemerovaniu jednotlivých hodnôt; - frekvencia (opakovateľnosť jednotlivých hodnôt charakteristiky).

Je zrejmé, že rôzne priemery sú odvodené od všeobecný vzorec pre priemerný výkon (3.1) :

, (3.1)

keď k = + 1 - aritmetický priemer; k = -1 - harmonický priemer; k = 0 - geometrický priemer; k = +2 - stredná odmocnina.

Priemerné hodnoty môžu byť jednoduché alebo vážené. Vážené priemery nazývajú sa hodnoty, ktoré berú do úvahy, že niektoré varianty hodnôt atribútov môžu mať rôzne čísla; v tomto ohľade musí byť každá možnosť vynásobená týmto číslom. „Váhy“ sú v tomto prípade počty agregovaných jednotiek v rôznych skupinách, t.j. Každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia f sa nazýva štatistická váha alebo Priemerná hmotnosť.

Nakoniec správna voľba priemeru predpokladá nasledujúcu postupnosť:

a) stanovenie všeobecného ukazovateľa populácie;

b) určenie matematického vzťahu veličín pre daný všeobecný ukazovateľ;

c) nahradenie jednotlivých hodnôt priemernými hodnotami;

d) výpočet priemeru pomocou príslušnej rovnice.

3.2 Aritmetický priemer a jeho vlastnosti a techniky výpočtu. Harmonický priemer

Aritmetický priemer– najbežnejší typ strednej veľkosti; vypočítava sa v prípadoch, keď objem spriemerovanej charakteristiky je tvorený súčtom jej hodnôt pre jednotlivé jednotky študovanej štatistickej populácie.

Najdôležitejšie vlastnosti aritmetického priemeru:

1. Súčin priemeru súčtom početností sa vždy rovná súčtu súčinov variantov (jednotlivých hodnôt) podľa početností.

2. Ak odpočítate (pripočítate) ľubovoľné číslo od každej možnosti, potom sa nový priemer zníži (zvýši) o rovnaké číslo.

3. Ak sa každá možnosť vynásobí (vydelí) nejakým ľubovoľným číslom, potom sa nový priemer zvýši (zníži) o rovnakú hodnotu

4. Ak sa všetky frekvencie (váhy) vydelia alebo vynásobia ľubovoľným číslom, aritmetický priemer sa nezmení.

5. Súčet odchýlok jednotlivých možností od aritmetického priemeru je vždy nula.

Od všetkých hodnôt atribútu môžete odčítať ľubovoľnú konštantnú hodnotu (najlepšie hodnotu strednej možnosti alebo možností s najvyššou frekvenciou), výsledné rozdiely znížiť spoločným faktorom (najlepšie o hodnotu intervalu), a vyjadrite frekvencie v jednotlivostiach (v percentách) a vypočítaný priemer vynásobte spoločným faktorom a pridajte ľubovoľnú konštantnú hodnotu. Táto metóda výpočtu aritmetického priemeru sa nazýva spôsob výpočtu od podmienenej nuly .

Geometrický priemer nachádza svoje uplatnenie pri určovaní priemerných rýchlostí rastu (priemerných rastových koeficientov), ​​keď sú jednotlivé hodnoty charakteristiky prezentované vo forme relatívnych hodnôt. Používa sa tiež, ak je potrebné nájsť priemer medzi minimálnymi a maximálnymi hodnotami charakteristiky (napríklad medzi 100 a 1000000).

Hlavné námestie používa sa na meranie variácie charakteristiky v súhrne (výpočet smerodajnej odchýlky).

Platí v štatistikách pravidlo väčšiny priemerov:

X škody.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Štrukturálne priemery (režim a medián)

Na určenie štruktúry populácie sa používajú špeciálne priemerné ukazovatele, ktoré zahŕňajú medián a modus, alebo takzvané štrukturálne priemery. Ak je aritmetický priemer vypočítaný na základe použitia všetkých variantov hodnôt atribútov, potom medián a režim charakterizujú hodnotu variantu, ktorý zaberá určitú priemernú pozíciu v hodnotenom rade variácií.

Móda- najtypickejšia, najčastejšie sa vyskytujúca hodnota atribútu. Pre diskrétne série Módou bude možnosť s najvyššou frekvenciou. Na určenie módy intervalové série Najprv sa určí modálny interval (interval s najvyššou frekvenciou). Potom sa v tomto intervale nájde hodnota funkcie, ktorou môže byť režim.

Ak chcete nájsť konkrétnu hodnotu režimu intervalového radu, musíte použiť vzorec (3.2)

(3.2)

kde XMo je spodná hranica modálneho intervalu; i Mo - hodnota modálneho intervalu; f Mo - frekvencia modálneho intervalu; f Mo-1 - frekvencia intervalu predchádzajúceho modálnemu; f Mo+1 je frekvencia intervalu nasledujúceho po modálnom.

Móda je rozšírená v marketingových aktivitách pri skúmaní spotrebiteľského dopytu, najmä pri určovaní najobľúbenejších veľkostí oblečenia a obuvi a pri regulácii cenovej politiky.

Medián - hodnota premenlivej charakteristiky spadajúca do stredu hodnotenej populácie. Pre zoradené série s nepárnym číslom jednotlivé hodnoty (napríklad 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) bude mediánom hodnota, ktorá sa nachádza v strede radu, t.j. štvrtá hodnota je 6. Pre zoradené série s párnym číslom jednotlivé hodnoty (napríklad 1, 5, 7, 10, 11, 14) bude mediánom aritmetický priemer, ktorý sa vypočíta z dvoch susedných hodnôt. Pre náš prípad je medián (7+10)/2= 8,5.

Ak teda chcete nájsť medián, musíte najprv určiť jeho sériové číslo (jeho pozíciu v radení) pomocou vzorcov (3.3):

(ak nie sú žiadne frekvencie)

N Ja =
(ak existujú frekvencie) (3.3)

kde n je počet jednotiek v súhrne.

Číselná hodnota mediánu intervalové série určené akumulovanými frekvenciami v diskrétnych variačných sériách. Ak to chcete urobiť, musíte najskôr uviesť interval, v ktorom sa nachádza medián v intervalovom rade distribúcie. Medián je prvý interval, v ktorom súčet akumulovaných frekvencií presahuje polovicu pozorovaní z celkového počtu všetkých pozorovaní.

Číselná hodnota mediánu sa zvyčajne určuje vzorcom (3.4)

(3.4)

kde x Ме je spodná hranica mediánu intervalu; iMe - hodnota intervalu; SМе -1 je akumulovaná frekvencia intervalu, ktorý predchádza mediánu; fMe - frekvencia stredného intervalu.

V rámci zisteného intervalu sa medián vypočíta aj pomocou vzorca Me = xl e, kde druhý faktor na pravej strane rovnosti ukazuje umiestnenie mediánu v rámci intervalu mediánu a x je dĺžka tohto intervalu. Medián rozdeľuje sériu variácií na polovicu podľa frekvencie. Stále sa rozhoduje kvartily , ktoré rozdeľujú variačný rad na 4 časti rovnakej pravdepodobnosti a decilov , rozdelením riadku na 10 rovnakých častí.

Najbežnejšou formou štatistických ukazovateľov používaných v sociálno-ekonomickom výskume je priemerná hodnota, ktorá je zovšeobecnenou kvantitatívnou charakteristikou charakteristiky štatistickej populácie. Priemerné hodnoty sú, ako to bolo, „reprezentantmi“ celej série pozorovaní. V mnohých prípadoch možno priemer určiť pomocou počiatočného priemerného pomeru (ARR) alebo jeho logického vzorca: . Napríklad na výpočet priemernej mzdy zamestnancov podniku je potrebné vydeliť celkový mzdový fond počtom zamestnancov: Čitateľ počiatočného pomeru priemeru je jeho určujúcim ukazovateľom. Pre priemerné mzdy je takýmto určujúcim ukazovateľom mzdový fond. Pre každý ukazovateľ použitý v sociálno-ekonomickej analýze možno na výpočet priemeru zostaviť iba jeden skutočný počiatočný pomer. Treba tiež dodať, že na presnejšie odhadnutie smerodajnej odchýlky pre malé vzorky (s počtom prvkov menším ako 30) by sa v menovateli nemal používať výraz pod koreňom n, A n- 1.

Pojem a typy priemerov

Priemerná hodnota- ide o všeobecný ukazovateľ štatistickej populácie, ktorý eliminuje individuálne rozdiely v hodnotách štatistických veličín, čo vám umožňuje porovnávať rôzne populácie navzájom. Existuje 2 triedy priemerné hodnoty: výkonové a štrukturálne. Štrukturálne priemery zahŕňajú móda A medián , ale najčastejšie sa používa výkonové priemery rôzne druhy.

Výkonové priemery

Výkonové priemery môžu byť jednoduché A vážený.

Jednoduchý priemer sa vypočíta, keď existujú dve alebo viac nezoskupených štatistických veličín usporiadaných v náhodnom poradí pomocou nasledujúceho všeobecného vzorca priemeru výkonu (pre rôzne hodnoty k (m)):

Vážený priemer sa vypočíta zo zoskupených štatistík pomocou nasledujúceho všeobecného vzorca:

Kde x - priemerná hodnota skúmaného javu; x i – i-tá verzia spriemerovanej charakteristiky;

f i – váha i-tej možnosti.

kde X sú hodnoty jednotlivých štatistických hodnôt alebo stred intervalov zoskupovania;
m je exponent, ktorého hodnota určuje tieto typy mocninových priemerov:
keď m = -1 harmonický priemer;
pri m = 0 geometrický priemer;
s m = 1 aritmetický priemer;
keď m = 2 odmocnina;
pri m = 3 je priemer kubický.

Pomocou všeobecných vzorcov pre jednoduché a vážené priemery pre rôzne exponenty m získame konkrétne vzorce každého typu, o ktorých budeme podrobnejšie diskutovať nižšie.

Aritmetický priemer

Aritmetický priemer - počiatočný moment prvého rádu, matematické očakávanie hodnôt náhodnej premennej s veľkým počtom testov;

Aritmetický priemer je najčastejšie používaná priemerná hodnota, ktorá sa získa dosadením m=1 do všeobecného vzorca. Aritmetický priemer jednoduché má nasledujúci tvar:

alebo

kde X sú hodnoty veličín, pre ktoré sa musí vypočítať priemerná hodnota; N je celkový počet hodnôt X (počet jednotiek v skúmanej populácii).

Napríklad študent zložil 4 skúšky a získal tieto známky: 3, 4, 4 a 5. Vypočítajme priemerné skóre pomocou jednoduchého vzorca aritmetického priemeru: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4. Aritmetický priemer vážený má nasledujúci tvar:

Kde f je počet veličín s rovnakou hodnotou X (frekvencia). >Napríklad študent zložil 4 skúšky a získal tieto známky: 3, 4, 4 a 5. Vypočítajme priemerné skóre pomocou vzorca váženého aritmetického priemeru: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4. Ak sú hodnoty X špecifikované ako intervaly, potom sa na výpočty používajú stredy intervalov X, ktoré sú definované ako polovičný súčet hornej a dolnej hranice intervalu. A ak interval X nemá dolnú alebo hornú hranicu (otvorený interval), potom na jeho nájdenie použite rozsah (rozdiel medzi hornou a dolnou hranicou) susedného intervalu X. Napríklad podnik má 10 zamestnancov s praxou do 3 rokov, 20 zamestnancov s praxou 3 až 5 rokov, 5 zamestnancov s praxou nad 5 rokov. Potom vypočítame priemernú dĺžku služby zamestnancov pomocou vzorca váženého aritmetického priemeru, pričom ako X vezmeme stred dĺžky servisných intervalov (2, 4 a 6 rokov): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 roka.

Funkcia AVERAGE

Táto funkcia vypočíta priemer (aritmetický) svojich argumentov.

AVERAGE(číslo1; číslo2; ...)

Číslo1, číslo2, ... sú od 1 do 30 argumentov, pre ktoré sa vypočítava priemer.

Argumenty musia byť čísla alebo názvy, polia alebo odkazy obsahujúce čísla. Ak argument, ktorým je pole alebo odkaz, obsahuje texty, boolovské hodnoty alebo prázdne bunky, potom sa takéto hodnoty ignorujú; počítajú sa však bunky, ktoré obsahujú nulové hodnoty.

Funkcia AVERAGE

Vypočíta aritmetický priemer hodnôt uvedených v zozname argumentov. Okrem čísel môže výpočet zahŕňať aj textové a logické hodnoty, ako napríklad TRUE a FALSE.

AVERAGE(hodnota1,hodnota2,...)

Hodnota1, hodnota2,... sú 1 až 30 buniek, rozsahov buniek alebo hodnôt, pre ktoré sa vypočítava priemer.

Argumenty musia byť čísla, názvy, polia alebo odkazy. Polia a odkazy obsahujúce text sa interpretujú ako 0 (nula). Prázdny text ("") sa interpretuje ako 0 (nula). Argumenty obsahujúce hodnotu TRUE sú interpretované ako 1, Argumenty obsahujúce hodnotu FALSE sú interpretované ako 0 (nula).

Aritmetický priemer sa používa najčastejšie, ale sú chvíle, kedy je potrebné použiť aj iné typy priemerov. Pozrime sa na takéto prípady ďalej.

Harmonický priemer

Harmonický priemer na určenie priemerného súčtu recipročných hodnôt;

Harmonický priemer sa používa vtedy, keď zdrojové dáta neobsahujú frekvencie f pre jednotlivé hodnoty X, ale sú prezentované ako ich súčin Xf. Označením Xf=w vyjadríme f=w/X a nahradením týchto zápisov do vzorca pre aritmetický vážený priemer dostaneme vzorec pre harmonický vážený priemer:

Vážený harmonický priemer sa teda používa, keď sú frekvencie f neznáme a w=Xf je známe. V prípadoch, keď všetky w = 1, teda jednotlivé hodnoty X sa vyskytujú raz, použije sa priemerný harmonický primárny vzorec: alebo Napríklad auto išlo z bodu A do bodu B rýchlosťou 90 km/h a späť rýchlosťou 110 km/h. Na určenie priemernej rýchlosti použijeme vzorec pre priemernú harmonickú jednoduchú, keďže v príklade je daná vzdialenosť w 1 =w 2 (vzdialenosť z bodu A do bodu B je rovnaká ako z bodu B do A), čo je rovná súčinu rýchlosti (X) a času (f). Priemerná rýchlosť = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/h.

Funkcia SRGARM

Vráti harmonický priemer množiny údajov. Harmonický priemer je prevrátená hodnota aritmetického priemeru prevrátených hodnôt.

SRGARM(číslo1;číslo2; ...)

Číslo1, číslo2, ... sú od 1 do 30 argumentov, pre ktoré sa vypočítava priemer. Namiesto argumentov oddelených bodkočiarkou môžete použiť pole alebo odkaz na pole.

Harmonický priemer je vždy menší ako geometrický priemer, ktorý je vždy menší ako aritmetický priemer.

Geometrický priemer

Geometrická stredná hodnota na odhad priemernej rýchlosti rastu náhodných premenných, zistenie hodnoty charakteristiky v rovnakej vzdialenosti od minimálnych a maximálnych hodnôt;

Geometrický priemer používané pri určovaní priemerných relatívnych zmien. Geometrický priemer poskytuje najpresnejší výsledok spriemerovania, ak je úlohou nájsť hodnotu X, ktorá by bola rovnako vzdialená od maximálnych aj minimálnych hodnôt X. Napríklad v rokoch 2005 až 2008index inflácie v Rusku bolo: v roku 2005 - 1,109; v roku 2006 - 1 090; v roku 2007 - 1 119; v roku 2008 - 1 133. Keďže index inflácie je relatívna zmena (dynamický index), priemernú hodnotu je potrebné vypočítať pomocou geometrického priemeru: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, teda za obdobie od roku 2005 do roku 2008 rástli ceny ročne v priemere o 11,26 %. Chybný výpočet pomocou aritmetického priemeru by poskytol nesprávny výsledok 11,28 %.

Funkcia SRGEOM

Vráti geometrický priemer poľa alebo intervalu kladných čísel. Napríklad funkciu SRGEOM možno použiť na výpočet priemernej miery rastu, ak je špecifikovaný zložený príjem s variabilnými sadzbami.

SRGEOM (číslo1; číslo2; ...)

Číslo1, číslo2, ... sú od 1 do 30 argumentov, pre ktoré sa vypočítava geometrický priemer. Namiesto argumentov oddelených bodkočiarkou môžete použiť pole alebo odkaz na pole.

Hlavné námestie

Stredný štvorec – počiatočný moment druhého rádu.

Hlavné námestie používa sa v prípadoch, keď počiatočné hodnoty X môžu byť kladné aj záporné, napríklad pri výpočte priemerných odchýlok. Hlavnou aplikáciou kvadratického priemeru je meranie variácie hodnôt X.

Priemerný kubický

Priemerný kubický je počiatočný moment tretieho rádu.

Priemerný kubický sa používa veľmi zriedkavo, napríklad pri výpočte indexov chudoby pre rozvojové krajiny (TIN-1) a pre rozvinuté krajiny (TIN-2), ktoré navrhuje a vypočítava OSN.

V procese štúdia matematiky sa školáci oboznamujú s pojmom aritmetický priemer. V budúcnosti sa v štatistike a niektorých iných vedách študenti stretávajú s výpočtom iných.Čím môžu byť a čím sa navzájom líšia?

význam a rozdiely

Presné ukazovatele nie vždy poskytujú pochopenie situácie. Na posúdenie konkrétnej situácie je niekedy potrebné analyzovať veľké množstvo čísel. A potom prídu na pomoc priemery. Umožňujú nám posúdiť situáciu ako celok.

Od školských čias si mnohí dospelí pamätajú existenciu aritmetického priemeru. Výpočet je veľmi jednoduchý - súčet postupnosti n členov sa vydelí n. To znamená, že ak potrebujete vypočítať aritmetický priemer v poradí hodnôt 27, 22, 34 a 37, musíte vyriešiť výraz (27+22+34+37)/4, pretože 4 hodnoty sa používajú pri výpočtoch. V tomto prípade bude požadovaná hodnota 30.

Geometrický priemer sa často študuje ako súčasť školského kurzu. Výpočet tejto hodnoty je založený na extrakcii n-tej odmocniny súčinu n členov. Ak vezmeme rovnaké čísla: 27, 22, 34 a 37, potom sa výsledok výpočtov bude rovnať 29,4.

Harmonický priemer sa na stredných školách väčšinou neštuduje. Používa sa však pomerne často. Táto hodnota je prevrátenou hodnotou aritmetického priemeru a vypočíta sa ako podiel n - počtu hodnôt a súčtu 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n. Ak pre výpočet vezmeme znova to isté, harmonická bude 29,6.

Vážený priemer: vlastnosti

Všetky vyššie uvedené hodnoty sa však nemusia použiť všade. Napríklad v štatistikách pri výpočte niektorých hrá dôležitú úlohu „váha“ každého čísla použitého vo výpočtoch. Výsledky sú skôr orientačné a správne, pretože zohľadňujú viac informácií. Táto skupina veličín sa všeobecne nazýva „vážený priemer“. V škole sa neučia, preto sa oplatí pozrieť si ich podrobnejšie.

V prvom rade stojí za to povedať, čo znamená „váha“ konkrétnej hodnoty. Najjednoduchšie sa to dá vysvetliť na konkrétnom príklade. Dvakrát denne sa v nemocnici meria telesná teplota každého pacienta. Zo 100 pacientov na rôznych oddeleniach nemocnice bude mať 44 normálnu teplotu – 36,6 stupňa. Ďalších 30 bude mať zvýšenú hodnotu - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39 a zvyšné dve - 40. A ak vezmeme aritmetický priemer, potom táto hodnota vo všeobecnosti pre nemocnicu bude viac ako 38 stupňa! Ale takmer polovica pacientov má absolútne A tu by bolo správnejšie použiť váženú priemernú hodnotu a „váhou“ každej hodnoty bude počet ľudí. V tomto prípade bude výsledok výpočtu 37,25 stupňov. Rozdiel je zrejmý.

V prípade výpočtov váženého priemeru možno „váhu“ brať ako počet zásielok, počet ľudí pracujúcich v daný deň, vo všeobecnosti čokoľvek, čo sa dá zmerať a ovplyvniť konečný výsledok.

Odrody

Vážený priemer súvisí s aritmetickým priemerom diskutovaným na začiatku článku. Prvá hodnota, ako už bolo spomenuté, však zohľadňuje aj váhu každého čísla použitého pri výpočtoch. Okrem toho existujú aj vážené geometrické a harmonické hodnoty.

V číselnom rade sa používa ešte jedna zaujímavá variácia. Toto je vážený kĺzavý priemer. Na tomto základe sa počítajú trendy. Okrem samotných hodnôt a ich váhy sa tam používa aj periodicita. A pri výpočte priemernej hodnoty v určitom časovom bode sa berú do úvahy aj hodnoty za predchádzajúce časové obdobia.

Výpočet všetkých týchto hodnôt nie je taký ťažký, ale v praxi sa zvyčajne používa iba obyčajný vážený priemer.

Metódy výpočtu

V dobe rozšírenej informatizácie nie je potrebné počítať vážený priemer ručne. Bolo by však užitočné poznať vzorec výpočtu, aby ste mohli získané výsledky skontrolovať a v prípade potreby upraviť.

Najjednoduchším spôsobom je zvážiť výpočet pomocou konkrétneho príkladu.

Je potrebné zistiť, aká je priemerná mzda v tomto podniku, berúc do úvahy počet pracovníkov, ktorí dostávajú jeden alebo iný plat.

Takže vážený priemer sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

x = (a 1 *š 1 +a 2 *š 2 +...+a n *š n)/(š 1 +š 2 +...+š n)

Výpočet by bol napríklad takýto:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Je zrejmé, že pri manuálnom výpočte váženého priemeru nie sú žiadne zvláštne ťažkosti. Vzorec na výpočet tejto hodnoty v jednej z najobľúbenejších aplikácií so vzorcami - Excel - vyzerá ako funkcia SUMPRODUCT (séria čísel; séria váh) / SUM (séria váh).

Priemerná hodnota je všeobecný ukazovateľ charakterizujúci typickú úroveň javu. Vyjadruje hodnotu charakteristiky na jednotku populácie.

Priemerná hodnota je:

1) najtypickejšia hodnota atribútu pre populáciu;

2) objem atribútu populácie, rovnomerne rozdelený medzi jednotky populácie.

Charakteristika, pre ktorú sa vypočítava priemerná hodnota, sa v štatistike nazýva „priemerná“.

Priemer vždy zovšeobecňuje kvantitatívnu variáciu znaku, t.j. v priemerných hodnotách sa eliminujú jednotlivé rozdiely medzi jednotkami v populácii vplyvom náhodných okolností. Na rozdiel od priemeru absolútna hodnota charakterizujúca úroveň charakteristiky jednotlivej jednotky populácie neumožňuje porovnávať hodnoty charakteristiky medzi jednotkami patriacimi do rôznych populácií. Ak teda potrebujete porovnať úrovne odmeňovania pracovníkov v dvoch podnikoch, nemôžete na tomto základe porovnávať dvoch zamestnancov rôznych podnikov. Odmeňovanie pracovníkov vybraných na porovnanie nemusí byť pre tieto podniky typické. Ak porovnáme veľkosť mzdových prostriedkov v posudzovaných podnikoch, neberie sa do úvahy počet zamestnancov, a preto nie je možné určiť, kde je úroveň miezd vyššia. V konečnom dôsledku sa dajú porovnávať len priemerné ukazovatele, t.j. Koľko v priemere zarobí jeden zamestnanec v každom podniku? Preto je potrebné vypočítať priemernú hodnotu ako zovšeobecňujúcu charakteristiku populácie.

Je dôležité poznamenať, že počas procesu priemerovania musí celková hodnota úrovní atribútov alebo ich konečná hodnota (v prípade výpočtu priemerných úrovní v dynamickom rade) zostať nezmenená. Inými slovami, pri výpočte priemernej hodnoty by nemal byť skreslený objem skúmanej charakteristiky a výrazy zostavené pri výpočte priemeru musia nevyhnutne dávať zmysel.

Výpočet priemeru je jednou z bežných techník zovšeobecňovania; priemerný ukazovateľ popiera to, čo je spoločné (typické) pre všetky jednotky skúmanej populácie, pričom zároveň ignoruje rozdiely jednotlivých jednotiek. V každom fenoméne a jeho vývoji je spojenie náhody a nevyhnutnosti. Pri výpočte priemerov sa v dôsledku pôsobenia zákona veľkých čísel náhodnosť ruší a vyrovnáva, takže je možné abstrahovať od nedôležitých vlastností javu, od kvantitatívnych hodnôt charakteristiky v každom konkrétnom prípade. . Schopnosť abstrahovať od náhodnosti jednotlivých hodnôt a výkyvov spočíva vo vedeckej hodnote priemerov ako zovšeobecňujúcich charakteristík agregátov.

Aby bol priemer skutočne reprezentatívny, musí byť vypočítaný s prihliadnutím na určité zásady.

Zastavme sa pri niektorých všeobecných zásadách používania priemerov.

1. Priemer sa musí určiť pre populácie pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek.

2. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu pozostávajúcu z dostatočne veľkého počtu jednotiek.

3. Priemer sa musí vypočítať pre populáciu, ktorej jednotky sú v normálnom, prirodzenom stave.

4. Priemer by sa mal vypočítať s prihliadnutím na ekonomický obsah skúmaného ukazovateľa.

5.2. Druhy priemerov a metódy ich výpočtu

Pozrime sa teraz na typy priemerných hodnôt, vlastnosti ich výpočtu a oblasti použitia. Priemerné hodnoty sú rozdelené do dvoch veľkých tried: priemery výkonu, štrukturálne priemery.

Mocninné prostriedky zahŕňajú najznámejšie a často používané typy, ako je geometrický priemer, aritmetický priemer a štvorcový priemer.

Modus a medián sa považujú za štrukturálne priemery.

Zamerajme sa na priemery výkonu. Výkonové priemery v závislosti od prezentácie zdrojových údajov môžu byť jednoduché alebo vážené. Jednoduchý priemer Vypočítava sa na základe nezoskupených údajov a má nasledujúcu všeobecnú formu:

,

kde Xi je variant (hodnota) spriemerovanej charakteristiky;

n – možnosť čísla.

Vážený priemer sa vypočítava na základe zoskupených údajov a má všeobecný vzhľad

,

kde X i je variant (hodnota) spriemerovanej charakteristiky alebo stredná hodnota intervalu, v ktorom sa variant meria;

m – index priemerného stupňa;

f i – frekvencia ukazujúca, koľkokrát sa vyskytuje hodnota i-e spriemerovanej charakteristiky.

Ak vypočítate všetky typy priemerov pre rovnaké počiatočné údaje, ich hodnoty sa ukážu byť odlišné. Platí tu pravidlo väčšiny priemerov: so zvyšujúcim sa exponentom m sa zvyšuje aj zodpovedajúca priemerná hodnota:

V štatistickej praxi sa aritmetické priemery a harmonické vážené priemery používajú častejšie ako iné typy vážených priemerov.

Druhy energetických prostriedkov

Druh moci priemer	Index stupeň (m)	Vzorec na výpočet
		Jednoduché	Vážené
Harmonický
Geometrické
Aritmetika
Kvadratický
Kubický

Harmonický priemer má zložitejšiu štruktúru ako aritmetický priemer. Harmonický priemer sa používa na výpočty, keď sa ako váhy nepoužívajú jednotky populácie - nositelia charakteristiky, ale súčin týchto jednotiek hodnotami charakteristiky (t.j. m = Xf). Priemerná harmonická jednoduchá by sa mala uchýliť v prípadoch určovania napríklad priemerných nákladov na prácu, čas, materiály na jednotku výroby, na jednu časť pre dva (tri, štyri atď.) podniky, pracovníkov zaoberajúcich sa výrobou rovnakého typu výrobku, rovnakej časti, výrobku.

Hlavnou požiadavkou na vzorec na výpočet priemernej hodnoty je, aby všetky fázy výpočtu mali skutočné zmysluplné opodstatnenie; výsledná priemerná hodnota by mala nahradiť jednotlivé hodnoty atribútu pre každý objekt bez narušenia spojenia medzi jednotlivými a súhrnnými ukazovateľmi. Inými slovami, priemerná hodnota sa musí vypočítať tak, že pri nahradení každej jednotlivej hodnoty spriemerovaného ukazovateľa jej priemernou hodnotou zostane nejaký výsledný sumárny ukazovateľ, tak či onak spojený so spriemerovaným ukazovateľom, nezmenený. Tento súčet je tzv definovanie pretože povaha jeho vzťahu s jednotlivými hodnotami určuje špecifický vzorec na výpočet priemernej hodnoty. Ukážme toto pravidlo na príklade geometrického priemeru.

Vzorec geometrického priemeru

používa sa najčastejšie pri výpočte priemernej hodnoty na základe individuálnej relatívnej dynamiky.

Geometrický priemer sa používa, ak je daná postupnosť reťazovej relatívnej dynamiky, ktorá indikuje napríklad nárast objemu výroby v porovnaní s úrovňou predchádzajúceho roka: i 1, i 2, i 3,…, i n. Je zrejmé, že objem výroby za posledný rok je určený jej počiatočnou úrovňou (q 0) a následným nárastom v priebehu rokov:

q n = q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Ak vezmeme q n ako určujúci ukazovateľ a nahradíme jednotlivé hodnoty ukazovateľov dynamiky priemernými, dostaneme sa k vzťahu

Odtiaľ

Špeciálny typ priemerných hodnôt - štrukturálne priemery - sa používa na štúdium vnútornej štruktúry distribučných radov hodnôt atribútov, ako aj na odhad priemernej hodnoty (typu výkonu), ak je podľa dostupných štatistických údajov jeho výpočet nie je možné vykonať (napr. ak v uvažovanom príklade neboli k dispozícii údaje o objeme výroby aj o výške nákladov podľa skupín podnikov).

Ukazovatele sa najčastejšie používajú ako štrukturálne priemery móda - najčastejšie sa opakujúca hodnota atribútu – a mediány – hodnota charakteristiky, ktorá rozdeľuje usporiadanú postupnosť svojich hodnôt na dve rovnaké časti. Výsledkom je, že pre jednu polovicu jednotiek v populácii hodnota atribútu nepresahuje strednú úroveň a pre druhú polovicu nie je nižšia ako ona.

Ak má sledovaná charakteristika diskrétne hodnoty, potom pri výpočte modu a mediánu nie sú žiadne zvláštne ťažkosti. Ak sú údaje o hodnotách atribútu X prezentované vo forme usporiadaných intervalov jeho zmeny (intervalový rad), výpočet režimu a mediánu sa trochu skomplikuje. Keďže hodnota mediánu rozdeľuje celú populáciu na dve rovnaké časti, končí v jednom z intervalov charakteristiky X. Pomocou interpolácie sa hodnota mediánu nachádza v tomto intervale mediánu:

,

kde X Me je spodná hranica stredného intervalu;

h Ja – jeho hodnota;

(Sum m)/2 – polovica z celkového počtu pozorovaní alebo polovica objemu ukazovateľa, ktorý sa používa ako váha vo vzorcoch na výpočet priemernej hodnoty (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);

S Me-1 – súčet pozorovaní (alebo objem váhového atribútu) naakumulovaných pred začiatkom intervalu mediánu;

m Me – počet pozorovaní alebo objem vážiacej charakteristiky v strednom intervale (aj v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení).

Pri výpočte modálnej hodnoty charakteristiky na základe údajov intervalového radu je potrebné venovať pozornosť skutočnosti, že intervaly sú identické, pretože od toho závisí indikátor opakovateľnosti hodnôt charakteristiky X. intervalový rad s rovnakými intervalmi, veľkosť módu je určená ako

,

kde X Mo je nižšia hodnota modálneho intervalu;

m Mo – počet pozorovaní alebo objem váhovej charakteristiky v modálnom intervale (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);

m Mo-1 – to isté pre interval predchádzajúci modálnemu;

m Po+1 – to isté pre interval nasledujúci po modálnom;

h – hodnota intervalu zmeny charakteristiky v skupinách.

ÚLOHA 1

Za skupinu priemyselných podnikov za vykazovaný rok sú k dispozícii nasledujúce údaje

№ podnikov	Objem produktu, milióny rubľov.		Priemerný počet zamestnancov, ľudí.	Zisk, tisíc rubľov
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Je potrebné zoskupiť podniky na výmenu produktov v týchto intervaloch:

až 200 miliónov rubľov


od 200 do 400 miliónov rubľov.


1. od 400 do 600 miliónov rubľov.
   

   Za každú skupinu a za všetky spolu určite počet podnikov, objem výroby, priemerný počet zamestnancov, priemerný výkon na zamestnanca. Prezentujte výsledky zoskupenia vo forme štatistickej tabuľky. Formulujte záver.
   

   RIEŠENIE
   

   Zoskupíme podniky podľa výmeny produktov, vypočítame počet podnikov, objem výroby a priemerný počet zamestnancov pomocou jednoduchého vzorca priemeru. Výsledky zoskupovania a výpočtov sú zhrnuté v tabuľke.
   

   Skupiny podľa objemu produktu	№ podnikov	Objem produktu, milióny rubľov.	Priemerné ročné náklady na fixné aktíva, milióny rubľov.	Stredný spánok šťavnaté množstvo zamestnancov, ľudí.	Zisk, tisíc rubľov	Priemerný výkon na zamestnanca
   1 skupina až 200 miliónov rubľov	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Priemerná úroveň		198,3			24,9
   2. skupina od 200 do 400 miliónov rubľov.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Priemerná úroveň		282,3	37,6	1530	64,0
   3 skupina od 400 do 600 miliónov	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Priemerná úroveň		512,9	34,4	1421	120,9
   Celkovo v súhrne		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   V priemere		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Záver. V uvažovanej populácii teda najväčší počet podnikov z hľadiska objemu výroby patril do tretej skupiny – sedem, resp. polovica podnikov. V tejto skupine je aj priemerná ročná cena investičného majetku a vysoký priemerný počet zamestnancov - 9974 osôb, najmenej ziskové sú podniky prvej skupiny.
   

   ÚLOHA 2
   

   K dispozícii sú nasledujúce údaje o podnikoch spoločnosti
   

   Číslo podniku zahrnutého v spoločnosti	Ja štvrť		II štvrťrok
   	Výstup produktu, tisíc rubľov.		Človeko-dni odpracované robotníkmi	Priemerný výkon na pracovníka za deň, rub.
   	59390,13