Ako vypočítať druhú odmocninu čísla. Ako nájsť druhú odmocninu? Vlastnosti, príklady extrakcie koreňov

Extrahovanie koreňa veľkého počtu. Drahí priatelia!V tomto článku vám ukážeme, ako extrahovať koreň veľkého čísla bez kalkulačky. Je to potrebné nielen na riešenie určitých typov úloh jednotnej štátnej skúšky (niektoré zahŕňajú pohyb), ale aj pre všeobecný matematický rozvoj je vhodné poznať túto analytickú techniku.

Zdalo by sa, že všetko je jednoduché: započítajte to do faktorov a extrahujte to. Žiaden problém. Napríklad číslo 291600 po rozložení poskytne produkt:

Vypočítame:

Je tu jedno ALE! Metóda je dobrá, ak sa deliteľ 2, 3, 4 atď. dajú ľahko určiť. Ale čo ak číslo, z ktorého extrahujeme koreň, je súčinom prvočísel? Napríklad 152881 je súčinom čísiel 17, 17, 23, 23. Pokúste sa ihneď nájsť tieto deliče.

Podstata metódy, ktorú zvažujeme- Toto je čistá analýza. S rozvinutou zručnosťou je možné rýchlo nájsť koreň. Ak zručnosť nebola nacvičená, ale prístup je jednoducho pochopený, potom je trochu pomalší, ale stále odhodlaný.

Vezmime koreň z roku 190969.

Najprv určme, medzi ktorými číslami (násobkami sto) leží náš výsledok.

Je zrejmé, že výsledok koreňa tohto čísla leží v rozsahu od 400 do 500, pretože

400 2 = 160 000 a 500 2 = 250 000

naozaj:

v strede, bližšie k 160 000 alebo 250 000?

Číslo 190969 je približne v strede, ale stále bližšie k 160 000. Môžeme konštatovať, že výsledok nášho odmocniny bude menší ako 450. Skontrolujeme:

V skutočnosti je to menej ako 450 od roku 190 969< 202 500.

Teraz sa pozrime na číslo 440:

To znamená, že náš výsledok je nižší ako 440, od r 190 969 < 193 600.

Kontrola čísla 430:

Zistili sme, že výsledok tohto koreňa leží v rozsahu od 430 do 440.

Súčin čísel s 1 alebo 9 na konci dáva číslo s 1 na konci. Napríklad 21 x 21 sa rovná 441.

Súčin čísel s 2 alebo 8 na konci dáva číslo so 4 na konci. Napríklad 18 x 18 sa rovná 324.

Súčin čísel s 5 na konci dáva číslo s 5 na konci. Napríklad 25 x 25 sa rovná 625.

Súčin čísel so 4 alebo 6 na konci dáva číslo so 6 na konci. Napríklad 26 x 26 sa rovná 676.

Súčin čísel s 3 alebo 7 na konci dáva číslo s 9 na konci. Napríklad 17 x 17 sa rovná 289.

Keďže číslo 190969 končí číslom 9, je súčinom čísla 433 alebo 437.

*Iba oni, keď odmocní, môžu dať 9 na konci.

Kontrolujeme:

To znamená, že výsledok koreňa bude 437.

To znamená, že sme „našli“ správnu odpoveď.

Ako vidíte, maximum, čo je potrebné, je vykonať 5 akcií v stĺpci. Možno narazíte na značku hneď, alebo urobíte len tri kroky. Všetko závisí od toho, ako presne urobíte počiatočný odhad počtu.

Extrahujte koreň 148996 sami

V úlohe sa získa takýto diskriminant:

Motorová loď prejde 336 km po rieke do cieľa a po zastavení sa vráti do východiskového bodu. Zistite rýchlosť lode v stojatej vode, ak je aktuálna rýchlosť 5 km/h, pobyt trvá 10 hodín a loď sa vráti do východiskového bodu 48 hodín po odchode. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Zobraziť riešenie

Výsledok koreňa je medzi číslami 300 a 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Naozaj 90 000<148996<160000.

Podstata ďalšieho uvažovania spočíva v určení toho, ako je číslo 148996 umiestnené (vzdialené) vzhľadom na tieto čísla.

Vypočítajme rozdiely 148996 – 90000=58996 a 160000 – 148996=11004.

Ukazuje sa, že 148996 je blízko (oveľa bližšie) k 160000. Preto bude výsledok koreňa určite väčší ako 350 a dokonca aj 360.

Môžeme dospieť k záveru, že náš výsledok je väčší ako 370. Ďalej je jasné: keďže 148996 končí číslom 6, znamená to, že musíme odmocniť číslo končiace buď na 4 alebo 6. *Len tieto čísla, keď odmocnime, dávajú koniec 6 .

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Koreňové vzorce. Vlastnosti odmocnin.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

V predchádzajúcej lekcii sme zistili, čo je druhá odmocnina. Je čas zistiť, ktoré existujú vzorce pre korenečo sú vlastnosti koreňov, a čo sa s tým všetkým dá robiť.

Vzorce koreňov, vlastnosti koreňov a pravidlá práce s koreňmi- to je v podstate to isté. Existuje prekvapivo málo vzorcov pre druhé odmocniny. Čo ma určite teší! Alebo skôr, môžete napísať veľa rôznych vzorcov, ale na praktickú a sebavedomú prácu s koreňmi stačia len tri. Všetko ostatné plynie z týchto troch. Hoci mnohí ľudia sú zmätení v troch koreňových vzorcoch, áno...

Začnime tým najjednoduchším. Tu je:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Prvá kapitola.

Nájdenie najväčšej odmocniny celého čísla z daného celého čísla.

170. Predbežné poznámky.

A) Keďže budeme hovoriť o extrakcii iba druhej odmocniny, na skrátenie reči v tejto kapitole namiesto „druhej“ odmocniny povieme jednoducho „odmocnina“.

b) Ak odmocníme čísla prirodzeného radu: 1,2,3,4,5. . . , potom dostaneme nasledujúcu tabuľku štvorcov: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Je zrejmé, že existuje veľa celých čísel, ktoré nie sú v tejto tabuľke; Samozrejme, z takýchto čísel nie je možné extrahovať celý koreň. Ak teda potrebujete extrahovať odmocninu akéhokoľvek celého čísla, napr. je potrebné nájsť √4082, potom súhlasíme s tým, že túto požiadavku pochopíme takto: extrahujte celý koreň 4082, ak je to možné; ak to nie je možné, musíme nájsť najväčšie celé číslo, ktorého druhá mocnina je 4082 (také číslo je 63, pretože 63 2 = 3969 a 64 2 = 4090).

V) Ak je toto číslo menšie ako 100, potom sa jeho koreň nájde pomocou tabuľky násobenia; √60 by teda bolo 7, pretože sedem 7 sa rovná 49, čo je menej ako 60, a osem 8 sa rovná 64, čo je väčšie ako 60.

171. Extrahovanie odmocniny čísla menšieho ako 10 000, ale väčšieho ako 100. Povedzme, že potrebujeme nájsť √4082. Keďže toto číslo je menšie ako 10 000, jeho koreň je menší ako √l0 000 = 100. Na druhej strane je toto číslo väčšie ako 100; to znamená, že jeho odmocnina je väčšia ako (alebo sa rovná 10). (Ak by bolo napríklad potrebné nájsť √ 120 , potom síce číslo 120 > 100, avšak √ 120 sa rovná 10, pretože 11 2 = 121.) Ale každé číslo, ktoré je väčšie ako 10, ale menšie ako 100, má 2 číslice; To znamená, že požadovaný koreň je súčet:

desiatky + jednotky,

a preto sa jeho druhá mocnina musí rovnať súčtu:

Tento súčet musí byť najväčší štvorec z 4082.

Zoberme si najväčšiu z nich, 36, a predpokladajme, že druhá mocnina desiatky odmocniny sa bude rovnať presne tejto najväčšej štvorci. Potom počet desiatok v koreni musí byť 6. Skontrolujme teraz, že by to tak malo byť vždy, t. j. počet desiatok v koreni sa vždy rovná najväčšej odmocnine celého čísla z počtu stoviek radikálu.

V našom príklade totiž nemôže byť počet desiatok odmocniny väčší ako 6, keďže (7 dec.) 2 = 49 stoviek, čo presahuje 4082. Ale nemôže byť menší ako 6, keďže 5 dec. (s jednotkami) je menej ako 6 des. a medzitým (6 des.) 2 = 36 stoviek, čo je menej ako 4082. A keďže hľadáme najväčší celý koreň, nemali by sme za koreň brať 5 des, keď ani 6 desiatok nie je veľa.

Našli sme teda počet desiatok odmocniny, konkrétne 6. Toto číslo napíšeme napravo od znamienka =, pričom si uvedomíme, že to znamená desiatky odmocniny. Zdvihnutím o námestie dostaneme 36 stoviek. Týchto 36 stoviek odpočítame od 40 stoviek radikálneho čísla a odpočítame zvyšné dve číslice tohto čísla. Zvyšok 482 musí obsahovať 2 (6 dec.) (jednotky) + (jednotky)2. Súčin (6 dec.) (jednotky) musí byť desiatky; preto dvojitý súčin desiatok po jednotkách treba hľadať v desiatkach zvyšku, t.j. v 48 (ich počet získame oddelením jednej číslice vpravo od zvyšku 48 "2). Zdvojené desiatky odmocniny doplňte 12. To znamená, že ak vynásobíme 12 jednotkami odmocniny ( ktoré sú zatiaľ neznáme), potom by sme mali dostať číslo obsiahnuté v 48. Preto 48 vydelíme 12.

Ak to chcete urobiť, nakreslite zvislú čiaru naľavo od zvyšku a za ňu (ustúpime od čiary o jedno miesto doľava za účelom, ktorý sa teraz objaví) napíšeme dvojnásobok prvej číslice odmocniny, t. j. 12 a vydeľte ním 48. V kvociente dostaneme 4.

Nemôžeme však vopred zaručiť, že číslo 4 možno brať ako jednotky odmocniny, pretože sme teraz vydelili 12 celý počet desiatok zvyšku, pričom niektoré z nich nemusia patriť k dvojitému súčinu desiatok jednotiek, ale sú súčasťou štvorca jednotiek. Preto môže byť číslo 4 veľké. Musíme to vyskúšať. Je zrejmé, že je vhodné, ak súčet 2 (6 dec.) 4 + 4 2 nie je väčší ako zvyšok 482.

Výsledkom je, že dostaneme súčet oboch naraz. Výsledný produkt bol 496, čo je viac ako zvyšok 482; To znamená, že číslo 4 je veľké. Potom otestujme ďalšie menšie číslo 3 rovnakým spôsobom.

Príklady.

V príklade 4, keď vydelíme 47 desiatok zvyšku 4, dostaneme ako podiel 11. Ale keďže počet jednotiek odmocniny nemôže byť dvojciferné číslo 11 alebo 10, musíme priamo otestovať číslo 9.

V príklade 5 sa po odčítaní 8 od prvej strany štvorca ukáže, že zvyšok je 0 a ďalšia strana tiež pozostáva z núl. To ukazuje, že požadovaný koreň pozostáva len z 8 desiatok, a preto je potrebné namiesto jednotiek umiestniť nulu.

172. Extrahovanie odmocniny čísla väčšieho ako 10000. Povedzme, že potrebujeme nájsť √35782. Keďže radikálové číslo presahuje 10 000, jeho odmocnina je väčšia ako √10000 = 100, a preto pozostáva z 3 alebo viac číslic. Bez ohľadu na to, z koľkých číslic sa skladá, vždy ho môžeme považovať za súčet iba desiatok a jednotiek. Ak sa napríklad ukáže, že odmocnina je 482, potom to môžeme počítať ako množstvo 48 des. + 2 jednotky Potom bude druhá mocnina odmocniny pozostávať z 3 výrazov:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (jednotka) + (jednotka) 2 .

Teraz môžeme uvažovať presne rovnakým spôsobom ako pri hľadaní √4082 (v predchádzajúcom odseku). Jediný rozdiel bude v tom, že na nájdenie desiatok odmocniny z 4082 sme museli extrahovať odmocninu z 40, a to sa dalo urobiť pomocou násobiacej tabuľky; teraz, aby sme získali desiatky√35782, budeme musieť vziať odmocninu z 357, čo sa nedá urobiť pomocou tabuľky násobenia. Ale môžeme nájsť √357 pomocou techniky, ktorá bola opísaná v predchádzajúcom odseku, pretože číslo 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Ďalej postupujeme ako pri hľadaní √4082, a to: naľavo od zvyšku 3382 nakreslíme zvislú čiaru a za ňu napíšeme (odstup o jednu medzeru od čiary) dvojnásobok nájdených desiatok odmocniny, t.j. 36 (dvakrát 18). Vo zvyšku oddelíme jednu číslicu vpravo a počet desiatok zvyšku, teda 338, vydelíme 36. V kvociente dostaneme 9. Toto číslo otestujeme, za čo ho priradíme 36 vpravo a vynásobte ním. Ukázalo sa, že produkt je 3321, čo je menej ako zvyšok. To znamená, že číslo 9 je vhodné, píšeme ho v koreni.

Vo všeobecnosti, ak chcete extrahovať druhú odmocninu akéhokoľvek celého čísla, musíte najprv extrahovať odmocninu jeho stoviek; ak je toto číslo väčšie ako 100, potom budete musieť hľadať koreň počtu stoviek z týchto stoviek, teda desaťtisícov tohto čísla; ak je toto číslo viac ako 100, budete musieť odmocniť z počtu stoviek desiatok tisíc, teda z miliónov daného čísla atď.

Príklady.

V poslednom príklade, keď nájdeme prvú číslicu a odčítame jej druhú mocninu, dostaneme zvyšok 0. Ďalšie 2 číslice odčítame 51. Oddelením desiatok dostaneme 5 des, zatiaľ čo dvojitá nájdená číslica odmocniny je 6. To znamená, že z delenia 5 6 dostaneme 0 Na druhé miesto od koreňa umiestnime 0 a ku zvyšku pridáme ďalšie 2 číslice; dostaneme 5110. Potom pokračujeme ako obvykle.

V tomto príklade sa požadovaný koreň skladá len z 9 stoviek, a preto je potrebné umiestniť nuly na miesta desiatok a na miesta jednotiek.

Pravidlo. Aby získali druhú odmocninu daného celého čísla, delia ho z pravej ruky doľava na hrane, pričom v každom sú 2 číslice, s výnimkou poslednej, ktorá môže mať jednu číslicu.
Ak chcete nájsť prvú číslicu odmocniny, zoberte druhú odmocninu prvej tváre.
Na nájdenie druhej číslice sa druhá mocnina prvej číslice odmocniny odčíta od prvej strany, druhá strana sa vezme k zvyšku a počet desiatok výsledného čísla sa vydelí dvojnásobkom prvej číslice odmocniny. ; testuje sa výsledné celé číslo.
Tento test sa vykonáva takto: za zvislú čiaru (naľavo od zvyšku) napíšte dvojnásobok predtým nájdeného čísla koreňa a k nemu na pravej strane pridajte testovanú číslicu, výsledné číslo po tomto pridaní , sa vynásobí testovanou číslicou. Ak je po vynásobení výsledkom číslo väčšie ako zvyšok, potom testovaná číslica nie je vhodná a musí sa testovať nasledujúca menšia číslica.
Ďalšie číslice koreňa sa nachádzajú pomocou rovnakej techniky.
Ak sa po odstránení tváre ukáže, že počet desiatok výsledného čísla je menší ako deliteľ, to znamená menej ako dvojnásobok nájdenej časti odmocniny, potom do koreňa umiestnia 0, odstránia ďalšiu tvár a pokračovať v akcii ďalej.

173. Počet číslic koreňa. Z uvažovania o procese hľadania koreňa vyplýva, že v koreni je toľko číslic, koľko má 2 číslic v radikálovom čísle (ľavá strana môže mať jednu číslicu).

Kapitola druhá.

Extrahovanie približných druhých odmocnín celých čísel a zlomkov .

K extrakcii druhej odmocniny polynómov pozri dodatky k 2. časti § 399 a nasl.

174. Znaky presnej odmocniny. Presná druhá odmocnina daného čísla je číslo, ktorého druhá mocnina sa presne rovná danému číslu. Uveďme niekoľko znakov, podľa ktorých je možné posúdiť, či je možné z daného čísla extrahovať presný koreň alebo nie:

A) Ak z daného celého čísla nie je extrahovaný presný celý koreň (zvyšok sa získa pri extrakcii), potom zlomkový presný koreň nemožno nájsť z takého čísla, pretože každý zlomok, ktorý sa nerovná celému číslu, keď sa vynásobí sám , tiež vytvorí zlomok v produkte, nie celé číslo.

b) Keďže odmocnina zlomku sa rovná odmocnine čitateľa vydelenej odmocninou menovateľa, nemožno nájsť presný odmocninu neredukovateľného zlomku, ak ho nemožno vyňať z čitateľa alebo menovateľa. Napríklad presný koreň nemožno extrahovať zo zlomkov 4/5, 8/9 a 11/15, pretože v prvom zlomku ho nemožno extrahovať z menovateľa, v druhom - z čitateľa a v treťom - ani z čitateľa, ani z menovateľa.

Z čísel, z ktorých nie je možné získať presný koreň, možno získať iba približné korene.

175. Približná odmocnina s presnosťou na 1. Približná druhá odmocnina s presnosťou na 1 daného čísla (celé číslo alebo zlomok, na tom nezáleží) je celé číslo, ktoré spĺňa nasledujúce dve požiadavky:

1) druhá mocnina tohto čísla nie je väčšia ako dané číslo; 2) ale druhá mocnina tohto čísla zväčšeného o 1 je väčšia ako toto číslo. Inými slovami, približná druhá odmocnina s presnosťou na 1 je najväčšia druhá odmocnina z daného čísla, teda odmocnina, ktorú sme sa naučili nájsť v predchádzajúcej kapitole. Tento koreň sa nazýva približný s presnosťou na 1, pretože na získanie presného koreňa by sme museli k tomuto približnému odmocneniu pridať zlomok menší ako 1, takže ak namiesto neznámeho presného odmocnina vezmeme tento približný, chyba menšia ako 1.

Pravidlo. Ak chcete extrahovať približnú druhú odmocninu s presnosťou na 1, musíte extrahovať najväčšiu odmocninu z celej časti daného čísla.

Číslo nájdené týmto pravidlom je približná odmocnina s nevýhodou , pretože chýba presný odmocnina určitého zlomku (menej ako 1). Ak tento odmocninec zväčšíme o 1, dostaneme ďalšie číslo, v ktorom je nad presným odmocninou nejaký prebytok a tento prebytok je menší ako 1. Tento odmocninec zvýšený o 1 možno nazvať aj približným odmocninou s presnosťou na 1, ale s prebytkom. (Názvy: „s nedostatkom“ alebo „s nadbytkom“ v niektorých matematických knihách sú nahradené inými ekvivalentnými slovami: „nedostatkom“ alebo „nadbytkom“.)

176. Približná odmocnina s presnosťou 1/10. Povedzme, že potrebujeme nájsť √2,35104 s presnosťou 1/10. To znamená, že musíte nájsť desatinný zlomok, ktorý by pozostával z celých jednotiek a desatín a ktorý by spĺňal nasledujúce dve požiadavky:

1) druhá mocnina tohto zlomku nepresiahne 2,35104, ale 2) ak ju zväčšíme o 1/10, potom druhá mocnina tohto zvýšeného zlomku presiahne 2,35104.

Aby sme našli takýto zlomok, najprv nájdeme približný koreň s presnosťou na 1, to znamená, že vytiahneme koreň iba z celého čísla 2. Dostaneme 1 (a zvyšok je 1). Číslo 1 napíšeme na koreň a za ním dáme čiarku. Teraz budeme hľadať počet desatín. Aby sme to urobili, stiahneme na zvyšok 1 číslice 35 napravo od desatinnej čiarky a pokračujeme v extrakcii, ako keby sme extrahovali koreň celého čísla 235. Výslednú číslicu 5 zapíšeme do koreňa v miesto desatiny. Nepotrebujeme zvyšné číslice radikálneho čísla (104). Že výsledné číslo 1,5 bude v skutočnosti približný odmocnina s presnosťou 1/10, je možné vidieť z nasledujúceho. Ak by sme našli najväčšiu odmocninu celého čísla 235 s presnosťou na 1, dostali by sme 15. Takže:

15 2 < 235, ale 162 >235.

Vydelením všetkých týchto čísel číslom 100 dostaneme:

To znamená, že číslo 1,5 je desatinný zlomok, ktorý sme nazvali približný koreň s presnosťou 1/10.

Pomocou tejto techniky môžeme tiež nájsť nasledujúce približné korene s presnosťou 0,1:

177. Približná druhá odmocnina s presnosťou na 1/100 až 1/1000 atď.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť približné √248 s presnosťou 1/100. To znamená: nájdite desatinný zlomok, ktorý by pozostával z celých, desatín a stotín a ktorý by spĺňal dve požiadavky:

1) jeho druhá mocnina nepresahuje 248, ale 2) ak tento zlomok zväčšíme o 1/100, potom druhá mocnina tohto zvýšeného zlomku presiahne 248.

Takýto zlomok nájdeme v nasledujúcom poradí: najprv nájdeme celé číslo, potom desatinné číslo, potom stotinové číslo. Koreň celého čísla je 15 celých čísel. Ak chcete získať desatinné číslo, ako sme videli, musíte k zvyšku 23 pridať ďalšie 2 číslice napravo od desatinnej čiarky. V našom príklade tieto čísla nie sú vôbec prítomné, na ich miesto sme dali nuly. Pripočítaním ich k zvyšku a pokračovaním, ako keby sme hľadali koreň celého čísla 24 800, nájdeme desatinnú číslicu 7. Zostáva nájsť desatinnú číslicu. Aby sme to urobili, k zvyšku 151 pridáme ďalšie 2 nuly a pokračujeme v extrakcii, ako keby sme našli koreň celého čísla 2 480 000. Dostaneme 15,74. Že toto číslo je naozaj približná odmocnina z 248 s presnosťou 1/100, je možné vidieť z nasledujúceho. Ak by sme našli najväčšiu druhú odmocninu celého čísla 2 480 000, dostali by sme 1574; znamená:

1574 2 < 2 480 000, ale 1 575 2 > 2 480 000.

Vydelením všetkých čísel číslom 10 000 (= 100 2) dostaneme:

To znamená, že 15,74 je ten desatinný zlomok, ktorý sme nazvali približný koreň s presnosťou 1/100 z 248.

Aplikovaním tejto techniky na nájdenie približného koreňa s presnosťou 1/1000 až 1/10000 atď., zistíme nasledovné.

Pravidlo. Ak chcete extrahovať približný koreň z daného celého čísla alebo z daného desatinného zlomku s presnosťou 1/10 až 1/100 až 1/100 atď., najprv nájdite približný koreň s presnosťou 1 a extrahujte koreň celé číslo (ak nie, píšu o koreni 0 celých čísel).

Potom zistia počet desatín. Ak to chcete urobiť, pridajte k zvyšku 2 číslice radikálového čísla napravo od desatinnej čiarky (ak tam nie sú, pridajte dve nuly k zvyšku) a pokračujte v extrakcii ako pri extrakcii odmocniny celého čísla. . Výsledné číslo sa zapíše do koreňa na miesto desatiny.

Potom nájdite stotinové číslo. Za týmto účelom sa k zvyšku pridajú dve čísla napravo od tých, ktoré boli práve odstránené, atď.

Preto pri extrakcii odmocniny celého čísla s desatinným zlomkom je potrebné rozdeliť na tváre po 2 číslice, počnúc desatinnou čiarkou, a to ako doľava (v celočíselnej časti čísla), tak aj doprava (v zlomková časť).

Príklady.

1) Nájdite až 1/100 koreňov: a) √2; b) √0,3;

V poslednom príklade sme zlomok 3/7 previedli na desatinné číslo tak, že sme vypočítali 8 desatinných miest, aby sme vytvorili 4 plochy potrebné na nájdenie 4 desatinných miest koreňa.

178. Opis tabuľky odmocnín. Na konci tejto knihy je tabuľka odmocnín vypočítaná so štyrmi číslicami. Pomocou tejto tabuľky môžete rýchlo nájsť druhú odmocninu celého čísla (alebo desatinného zlomku), ktoré je vyjadrené maximálne štyrmi číslicami. Pred vysvetlením, ako je táto tabuľka štruktúrovaná, si všimneme, že vždy môžeme nájsť prvú platnú číslicu požadovaného koreňa bez pomoci tabuliek jednoduchým pohľadom na radikálne číslo; môžeme tiež ľahko určiť, ktoré desatinné miesto znamená prvá číslica koreňa, a teda, kde v koreni, keď nájdeme jeho číslice, musíme dať čiarku. Tu je niekoľko príkladov:

1) √5"27,3 . Prvá číslica bude 2, pretože ľavá strana radikálového čísla je 5; a odmocnina z 5 sa rovná 2. Okrem toho, keďže v celočíselnej časti radikálu sú len 2 tváre, potom v celočíselnej časti požadovaného odmocnina musia byť 2 číslice, a preto jeho prvá číslica 2 musí priemerné desiatky.

2) √9,041. Je zrejmé, že v tomto koreňovom adresári budú prvou číslicou 3 prvočísla.

3) √0,00"83"4. Prvá platná číslica je 9, pretože plocha, z ktorej by sa musel odmocniť, aby sa získala prvá platná číslica, je 83 a odmocnina z 83 je 9. Keďže požadované číslo nebude obsahovať celé čísla ani desatiny, prvá číslica 9 musí znamenať stotiny.

4) √0,73"85. Prvý platný údaj je 8 desatín.

5) √0,00"00"35"7. Prvý platný údaj bude 5 tisícin.

Urobme ešte jednu poznámku. Predpokladajme, že potrebujeme extrahovať koreň čísla, ktoré po vyradení obsadeného slova v ňom bude reprezentované radom čísel ako je tento: 5681. Tento koreň môže byť jeden z nasledujúcich:

Ak vezmeme korene, ktoré podčiarkneme jednou čiarou, potom budú všetky vyjadrené rovnakým radom čísel, presne tými číslami, ktoré získame pri extrakcii odmocniny z 5681 (budú to čísla 7, 5, 3, 7 ). Dôvodom je, že plochy, na ktoré treba rozdeliť radikálové číslo pri hľadaní číslic odmocniny, budú vo všetkých týchto príkladoch rovnaké, preto budú číslice pre každý odmocninec rovnaké (iba pozícia desatinnej čiarky bod bude, samozrejme, iný). Rovnakým spôsobom by sa vo všetkých koreňoch, ktoré sme podčiarkli dvoma čiarami, mali získať rovnaké čísla, presne tie, ktoré sa používajú na vyjadrenie √568,1 (tieto čísla budú 2, 3, 8, 3) a pre rovnaké dôvod. Číslice koreňov čísel reprezentovaných (vypustením čiarky) tým istým radom čísel 5681 budú teda dvojakého (a iba dvojakého) druhu: buď ide o riadok 7, 5, 3, 7, alebo riadok 2, 3, 8, 3. To isté, samozrejme, možno povedať o akejkoľvek inej sérii čísel. Preto, ako teraz uvidíme, v tabuľke každý riadok číslic radikálneho čísla zodpovedá 2 riadkom číslic pre korene.

Teraz môžeme vysvetliť štruktúru tabuľky a ako ju používať. Kvôli prehľadnosti vysvetlenia sme tu ukázali začiatok prvej strany tabuľky.

Táto tabuľka sa nachádza na niekoľkých stranách. Na každom z nich sú v prvom stĺpci vľavo umiestnené čísla 10, 11, 12... (do 99). Tieto čísla vyjadrujú prvé 2 číslice čísla, z ktorého sa hľadá druhá odmocnina. V hornom vodorovnom riadku (ako aj v spodnej časti) sú čísla: 0, 1, 2, 3... 9, ktoré predstavujú 3. číslicu tohto čísla, a ďalej vpravo sú čísla 1, 2, 3. . . 9, ktorý predstavuje 4. číslicu tohto čísla. Všetky ostatné vodorovné čiary obsahujú 2 štvorciferné čísla vyjadrujúce odmocniny príslušných čísel.

Predpokladajme, že potrebujete nájsť druhú odmocninu nejakého čísla, či už celého čísla alebo vyjadreného ako desatinný zlomok. V prvom rade nájdeme bez pomoci tabuliek prvú číslicu koreňa a jeho číslicu. Potom čiarku v tomto čísle zahodíme, ak tam je. Predpokladajme najprv, že po zahodení čiarky zostanú napríklad len 3 číslice. 114. Nájdeme v tabuľkách v stĺpci úplne vľavo prvé 2 číslice, teda 11, a posúvame sa z nich doprava po vodorovnej čiare, až kým sa nedostaneme do zvislého stĺpca, v ktorom hore (a dole) je 3. číslica. čísla , teda 4. Na tomto mieste nájdeme dve štvorciferné čísla: 1068 a 3376. Ktoré z týchto dvoch čísel treba vziať a kam v ňom umiestniť čiarku, to určuje prvá číslica odmocniny a jeho číslicu, ktorú sme našli skôr. Ak teda potrebujeme nájsť √0,11"4, potom prvá číslica odmocniny je 3 desatiny, a preto musíme za odmocninu vziať 0,3376. Ak by sme potrebovali nájsť √1,14, prvá číslica odmocniny by bola 1 a my Potom by sme brali 1,068.

Takto ľahko nájdeme:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 atď.

Predpokladajme teraz, že potrebujeme nájsť koreň čísla vyjadreného (pustením desatinnej čiarky) v 4 čísliciach, napríklad √7"45,6. Všimnime si, že prvá číslica odmocniny sú 2 desiatky, nájdeme pre číslo 745, ako bolo teraz vysvetlené, číslice 2729 (toto číslo si všimneme iba prstom, ale nezapisujeme si ho.) Potom sa od tohto čísla presunieme ďalej doprava, až kým sa na pravej strane tabuľky (za posledný tučný riadok) sa stretneme so zvislým stĺpcom, ktorý je označený hore (a dole) 4. číslicou daného čísla, teda číslom 6, a nájdeme tam číslo 1. Toto bude oprava, ktorú treba použiť (v mysli) na predtým nájdené číslo 2729, dostaneme 2730. Toto číslo si zapíšeme a dáme doň čiarku na správne miesto: 27.30.

Takýmto spôsobom nájdeme napr.

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 = 0,2107 atď.

Ak je radikálne číslo vyjadrené iba jednou alebo dvoma číslicami, potom môžeme predpokladať, že za týmito číslicami nasleduje jedna alebo dve nuly, a potom postupovať tak, ako je vysvetlené pre trojciferné číslo. Napríklad √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 atď.

Nakoniec, ak je radikálne číslo vyjadrené viac ako 4 číslicami, potom vezmeme iba prvé 4 z nich a ostatné zahodíme, a aby sme znížili chybu, ak je prvá z vyradených číslic 5 alebo viac ako 5, potom zvýšime o l štvrtú zo zachovaných číslic . Takže:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; a tak ďalej.

Komentujte. Tabuľky označujú približnú druhú odmocninu, niekedy s nedostatkom, niekedy s prebytkom, a to tú z týchto približných odmocničiek, ktorá sa približuje presnej odmocnine.

179. Odmocňovanie z obyčajných zlomkov. Presnú druhú odmocninu neredukovateľnej frakcie možno extrahovať iba vtedy, keď sú oba členy frakcie presnými druhými mocninami. V tomto prípade stačí extrahovať koreň čitateľa a menovateľa oddelene, napríklad:

Najjednoduchší spôsob, ako nájsť približnú druhú odmocninu obyčajného zlomku s určitou presnosťou na desatinné miesta, je najprv previesť obyčajný zlomok na desatinné miesto, pričom v tomto zlomku vypočítate počet desatinných miest za desatinnou čiarkou, ktorý by bol dvojnásobkom počtu desatinných miest. v požadovanom koreni.

Môžete to však urobiť inak. Vysvetlime si to na nasledujúcom príklade:

Nájdite približné √ 5/24

Urobme menovateľa presným štvorcom. Na to by stačilo vynásobiť oba členy zlomku menovateľom 24; ale v tomto príklade to môžete urobiť inak. Rozložme 24 na prvočiniteľa: 24 = 2 2 2 3. Z tohto rozkladu je zrejmé, že ak sa 24 vynásobí 2 a ďalšími 3, potom sa v súčine bude každý jednoduchý činiteľ opakovať párne, a teda , menovateľ sa zmení na štvorec:

Zostáva vypočítať √30 s určitou presnosťou a rozdeliť výsledok o 12. Treba mať na pamäti, že delenie 12 zníži aj zlomok označujúci stupeň presnosti. Ak teda nájdeme √30 s presnosťou 1/10 a výsledok vydelíme 12, dostaneme približnú odmocninu zlomku 5/24 s presnosťou 1/120 (konkrétne 54/120 a 55/120)

Kapitola tri.

Graf funkciex = √y .

180. Inverzná funkcia. Dajme nejakú rovnicu, ktorá určí pri ako funkcia X , napríklad takto: y = x 2 . Dá sa povedať, že určuje nielen pri ako funkcia X , ale aj naopak určuje X ako funkcia pri , aj keď implicitným spôsobom. Aby bola táto funkcia explicitná, musíme túto rovnicu vyriešiť X , pričom pri pre známe číslo; Takže z rovnice, ktorú sme vzali, nájdeme: y = x 2 .

Algebraický výraz získaný pre x po vyriešení rovnice, ktorá definuje y ako funkciu x, sa nazýva inverzná funkcia tej, ktorá definuje y.

Takže funkcia x = √y inverzná funkcia y = x 2 . Ak, ako je zvykom, označíme nezávislú premennú X , a závislý pri , potom inverznú funkciu získanú teraz možno vyjadriť takto: y = √x . Na získanie funkcie inverznej k danej (priamej) je teda potrebné odvodiť z rovnice definujúcej túto danú funkciu X záležiac ​​na r a vo výslednom výraze nahradiť r na X , A X na r .

181. Graf funkcie y = √x . Táto funkcia nie je možná so zápornou hodnotou X , ale dá sa vypočítať (s akoukoľvek presnosťou) pre akúkoľvek kladnú hodnotu X a pre každú takúto hodnotu funkcia dostane dve rôzne hodnoty s rovnakou absolútnou hodnotou, ale s opačnými znamienkami. Ak ste povedomí √ Ak označíme iba aritmetickú hodnotu druhej odmocniny, potom tieto dve hodnoty funkcie možno vyjadriť takto: y = ± √ x Ak chcete vykresliť graf tejto funkcie, musíte najskôr zostaviť tabuľku jej hodnôt. Najjednoduchší spôsob, ako vytvoriť túto tabuľku, je z tabuľky hodnôt priamych funkcií:

y = x 2 .

ak hodnoty pri brať ako hodnoty X , a naopak:

y = ± √ x

Vynesením všetkých týchto hodnôt na výkres dostaneme nasledujúci graf.

Na tom istom výkrese sme znázornili (prerušovanou čiarou) graf priamej funkcie y = x 2 . Porovnajme tieto dva grafy navzájom.

182. Vzťah medzi grafmi priamych a inverzných funkcií. Zostavte tabuľku hodnôt inverznej funkcie y = ± √ x vzali sme za X tie čísla, ktoré sú v tabuľke priamej funkcie y = x 2 slúžili ako hodnoty pre pri , a pre pri vzal tie čísla; ktoré v tejto tabuľke boli hodnoty pre X . Z toho vyplýva, že oba grafy sú rovnaké, len graf priamej funkcie je tak umiestnený vzhľadom na os pri - ako je graf inverznej funkcie umiestnený vzhľadom na os X - ov. V dôsledku toho, ak ohýbame kresbu okolo priamky OA rozpoltený pravý uhol xOy , takže časť výkresu obsahujúca poloos OU , spadol na časť, ktorá obsahuje hriadeľ nápravy Oh , To OU kompatibilné s Oh , všetky divízie OU sa zhoduje s divíziami Oh a body paraboly y = x 2 sa zarovná so zodpovedajúcimi bodmi na grafe y = ± √ x . Napríklad body M A N , ktorého ordinát 4 a úsečky 2 a - 2 , bude sa zhodovať s bodmi M" A N" , pre ktoré je úsečka 4 , a súradnice 2 a - 2 . Ak sa tieto body zhodujú, znamená to, že priamky MM" A NN" kolmo na OA a túto priamku rozdeľte na polovicu. To isté možno povedať o všetkých ostatných zodpovedajúcich bodoch v oboch grafoch.

Graf inverznej funkcie by teda mal byť rovnaký ako graf priamej funkcie, ale tieto grafy sú umiestnené odlišne, a to symetricky navzájom vzhľadom na osi uhla. xOy . Môžeme povedať, že graf inverznej funkcie je odrazom (ako v zrkadle) grafu priamej funkcie vzhľadom na osi uhla xOy .

Fakt 1.
\(\bullet\) Zoberme si nejaké nezáporné číslo \(a\) (to znamená \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina od čísla \(a\) sa nazýva také nezáporné číslo \(b\) , pri odmocnení dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(rovnaké ako )\quad a=b^2\] Z definície vyplýva, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tieto obmedzenia sú dôležitou podmienkou existencie druhej odmocniny a mali by ste na ne pamätať!
Pripomeňme, že každé číslo pri druhej mocnine dáva nezáporný výsledok. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Čomu sa rovná \(\sqrt(25)\)? Vieme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Keďže podľa definície musíme nájsť nezáporné číslo, potom \(-5\) nie je vhodné, preto \(\sqrt(25)=5\) (keďže \(25=5^2\) ).
Nájdenie hodnoty \(\sqrt a\) sa nazýva prevzatie druhej odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) sa nazýva radikálny výraz.
\(\bullet\) Na základe definície výraz \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) atď. nedávajú zmysel.

Fakt 2.
Pre rýchle výpočty bude užitočné naučiť sa tabuľku druhých mocnín prirodzených čísel od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]

Fakt 3.
Aké operácie môžete robiť s odmocninami?
\(\bullet\) Súčet alebo rozdiel druhých odmocnín NIE JE ROVNÝ odmocnine súčtu alebo rozdielu, tj \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ak teda potrebujete vypočítať napríklad \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , najprv musíte nájsť hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\ sqrt(49)\ ) a potom ich zložte. teda \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ak pri pridávaní \(\sqrt a+\sqrt b\) nemožno nájsť hodnoty \(\sqrt a\) alebo \(\sqrt b\), potom sa takýto výraz ďalej netransformuje a zostane tak, ako je. Napríklad v súčte \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) môžeme nájsť \(\sqrt(49)\) je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nemožno transformovať do v každom prípade, preto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Žiaľ, tento výraz nemožno ďalej zjednodušiť\(\bullet\) Súčin/podiel druhých odmocnín sa rovná druhej odmocnine súčinu/podielu, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za predpokladu, že obe strany rovnosti dávajú zmysel)
Príklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Pomocou týchto vlastností je vhodné nájsť druhé odmocniny veľkých čísel ich rozkladom.
Pozrime sa na príklad. Poďme nájsť \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , potom \(44100=100\cdot 441\) . Podľa kritéria deliteľnosti je číslo \(441\) deliteľné \(9\) (keďže súčet jeho číslic je 9 a je deliteľný 9), preto \(441:9=49\), tj \(441=9\ cdot 49\) .
Tak sme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pozrime sa na ďalší príklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Na príklade výrazu \(5\sqrt2\) (krátky zápis pre výraz \(5\cdot \sqrt2\) si ukážeme, ako zadávať čísla pod odmocninu). Keďže \(5=\sqrt(25)\) , potom \ Všimnite si tiež, že napr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

prečo je to tak? Vysvetlíme na príklade 1). Ako ste už pochopili, nemôžeme nejako transformovať číslo \(\sqrt2\). Predstavme si, že \(\sqrt2\) je nejaké číslo \(a\) . Preto výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nie je nič iné ako \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tri ďalšie rovnaké čísla \(a\)). A vieme, že toto sa rovná štyrom takýmto číslam \(a\) , teda \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Často hovoria „nemôžete extrahovať koreň“, keď sa pri hľadaní hodnoty čísla nemôžete zbaviť znamienka \(\sqrt () \ \) koreňa (radikálu) . Napríklad môžete vziať odmocninu čísla \(16\), pretože \(16=4^2\) , teda \(\sqrt(16)=4\) . Ale nie je možné extrahovať odmocninu čísla \(3\), teda nájsť \(\sqrt3\), pretože neexistuje žiadne číslo, ktoré by odmocnilo dalo \(3\) .
Takéto čísla (alebo výrazy s takýmito číslami) sú iracionálne. Napríklad čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) a tak ďalej. sú iracionálne.
Iracionálne sú aj čísla \(\pi\) (číslo „pi“, približne rovné \(3,14\)), \(e\) (toto číslo sa nazýva Eulerovo číslo, približne sa rovná \(2,7) \)) atď.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že každé číslo bude racionálne alebo iracionálne. A spolu všetky racionálne a všetky iracionálne čísla tvoria množinu tzv súbor reálnych čísel. Táto množina je označená písmenom \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všetky čísla, ktoré v súčasnosti poznáme, sa nazývajú reálne čísla.

Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálneho čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdialenosti od bodu \(a\) po \(0\) na skutočná línia. Napríklad \(|3|\) a \(|-3|\) sa rovnajú 3, pretože vzdialenosti od bodov \(3\) a \(-3\) po \(0\) sú rovnaké a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Ak \(a\) je nezáporné číslo, potom \(|a|=a\) .
Príklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ak je \(a\) záporné číslo, potom \(|a|=-a\) .
Príklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Hovorí sa, že pre záporné čísla modul „žerie“ mínus, zatiaľ čo kladné čísla, ako aj číslo \(0\), sú modulom ponechané nezmenené.
ALE Toto pravidlo platí len pre čísla. Ak je pod vaším znamienkom modulu neznáma \(x\) (alebo iná neznáma), napríklad \(|x|\) , o ktorej nevieme, či je kladná, nulová alebo záporná, potom sa zbavte modulu nemôžeme. V tomto prípade tento výraz zostáva rovnaký: \(|x|\) . \(\bullet\) Platia nasledujúce vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytnutý) a\geqslant 0\] Veľmi často sa robí nasledujúca chyba: hovoria, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) sú jedno a to isté. To platí len vtedy, ak \(a\) je kladné číslo alebo nula. Ale ak \(a\) je záporné číslo, potom je to nepravda. Stačí zvážiť tento príklad. Vezmime namiesto \(a\) číslo \(-1\) . Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vôbec neexistuje (napokon, nie je možné použiť znamienko koreňa vložte záporné čísla!).
Preto upozorňujeme na skutočnosť, že \(\sqrt(a^2)\) sa nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Príklad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), pretože \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Keďže \(\sqrt(a^2)=|a|\) , potom \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (výraz \(2n\) označuje párne číslo)
To znamená, že pri preberaní odmocniny čísla, ktoré je do určitej miery, sa tento stupeň zníži na polovicu.
Príklad:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimnite si, že ak modul nie je dodaný, ukáže sa, že koreň čísla sa rovná \(-25\) ); ale pamätáme si, že podľa definície koreňa sa to nemôže stať: pri extrakcii koreňa by sme mali vždy dostať kladné číslo alebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (keďže akékoľvek číslo na párnu mocninu nie je záporné)

Fakt 6.
Ako porovnať dve odmocniny?
\(\bullet\) Pre odmocniny platí: ak \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPríklad:
1) porovnajte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Najprv transformujme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Takže od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Medzi akými celými číslami sa nachádza \(\sqrt(50)\)?
Pretože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porovnajme \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Predpokladajme, že \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\začiatok(zarovnané) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pridajte jeden na obe strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((zarovnanie oboch strán)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnané)\] Vidíme, že sme dostali nesprávnu nerovnosť. Náš predpoklad bol preto nesprávny a \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Všimnite si, že pridanie určitého čísla na obe strany nerovnosti neovplyvní jej znamienko. Násobenie/delenie oboch strán nerovnosti kladným číslom tiež neovplyvní jej znamienko, ale násobenie/delenie záporným číslom obráti znamienko nerovnosti!
Obidve strany rovnice/nerovnice môžete odmocniť LEN AK sú obe strany nezáporné. Napríklad v nerovnosti z predchádzajúceho príkladu môžete odmocniť obe strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Malo by sa to pamätať \[\začiatok (zarovnané) &\sqrt 2\približne 1,4\\ &\sqrt 3\približne 1,7 \koniec (zarovnané)\] Poznanie približného významu týchto čísel vám pomôže pri porovnávaní čísel! \(\bullet\) Aby ste mohli extrahovať koreň (ak sa dá extrahovať) z nejakého veľkého čísla, ktoré nie je v tabuľke štvorcov, musíte najprv určiť, medzi ktorými „stovkami“ sa nachádza, potom – medzi ktorými „ desiatky“ a potom určte poslednú číslicu tohto čísla. Ukážme si, ako to funguje na príklade.
Zoberme si \(\sqrt(28224)\) . Vieme, že \(100^2=10\000\), \(200^2=40\000\) atď. Všimnite si, že \(28224\) je medzi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Preto je \(\sqrt(28224)\) medzi \(100\) a \(200\) .
Teraz určme, medzi ktorými „desiatkami“ sa naše číslo nachádza (teda napríklad medzi \(120\) a \(130\)). Aj z tabuľky štvorcov vieme, že \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atď., potom \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Vidíme teda, že \(28224\) je medzi \(160^2\) a \(170^2\) . Preto je číslo \(\sqrt(28224)\) medzi \(160\) a \(170\) .
Skúsme určiť poslednú číslicu. Spomeňme si, aké jednociferné čísla pri odmocnení dávajú na konci \(4\)? Sú to \(2^2\) a \(8^2\) . Preto \(\sqrt(28224)\) skončí buď na 2 alebo 8. Poďme to skontrolovať. Poďme nájsť \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Preto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Na adekvátne vyriešenie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky si musíte najprv preštudovať teoretický materiál, ktorý vás zoznámi s množstvom teorémov, vzorcov, algoritmov atď. Na prvý pohľad sa môže zdať, že je to celkom jednoduché. Nájsť zdroj, v ktorom by bola teória pre Jednotnú štátnu skúšku z matematiky prezentovaná jednoduchým a zrozumiteľným spôsobom pre študentov s akoukoľvek úrovňou prípravy, je však v skutočnosti pomerne náročná úloha. Školské učebnice nie je možné mať vždy po ruke. A nájsť základné vzorce na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky môže byť ťažké aj na internete.

Prečo je také dôležité študovať teóriu z matematiky nielen pre tých, ktorí robia jednotnú štátnu skúšku?

1. Pretože vám to rozširuje obzory. Štúdium teoretického materiálu z matematiky je užitočné pre každého, kto chce získať odpovede na širokú škálu otázok súvisiacich s poznaním okolitého sveta. Všetko v prírode je usporiadané a má jasnú logiku. To je presne to, čo sa odráža vo vede, prostredníctvom ktorej je možné pochopiť svet.
2. Pretože rozvíja inteligenciu. Štúdiom referenčných materiálov pre jednotnú štátnu skúšku z matematiky, ako aj riešením rôznych problémov sa človek učí logicky myslieť a uvažovať, kompetentne a jasne formulovať myšlienky. Rozvíja schopnosť analyzovať, zovšeobecňovať a vyvodzovať závery.

Pozývame Vás osobne zhodnotiť všetky výhody nášho prístupu k systematizácii a prezentácii vzdelávacích materiálov.

Pozrime sa na tento algoritmus na príklade. nájdeme

1. krok. Číslo pod koreňom rozdeľujeme na dvojciferné tváre (sprava doľava):

2. krok. Vezmeme odmocninu prvej plochy, teda z čísla 65, dostaneme číslo 8. Pod prvú plochu napíšeme druhú mocninu čísla 8 a odčítame. Druhú tvár (59) priradíme zvyšku:

(číslo 159 je prvý zvyšok).

3. krok. Nájdený koreň zdvojnásobíme a výsledok zapíšeme vľavo:

4. krok. Zo zvyšku oddelíme jednu číslicu vpravo (159) a vľavo dostaneme počet desiatok (rovná sa 15). Potom 15 vydelíme dvojnásobkom prvej číslice odmocniny, teda 16, keďže 15 nie je deliteľné 16, výsledkom je kvocient nula, ktorú zapíšeme ako druhú číslicu odmocniny. Takže v kvociente sme dostali číslo 80, ktoré opäť zdvojnásobíme a odstránime ďalšiu hranu

(číslo 15 901 je druhý zvyšok).

5. krok. V druhom zvyšku oddelíme jednu číslicu sprava a výsledné číslo 1590 vydelíme 160. Výsledok (číslo 9) zapíšeme ako tretiu číslicu odmocniny a pripočítame k číslu 160. Výsledné číslo 1609 vynásobíme 9 a nájdite ďalší zvyšok (1420):

Následne sa vykonajú akcie v poradí špecifikovanom v algoritme (koreň možno extrahovať s požadovaným stupňom presnosti).

Komentujte. Ak je radikálnym výrazom desatinný zlomok, potom sa celá jeho časť rozdelí na okraje dvoch číslic sprava doľava, zlomková časť - dve číslice zľava doprava a koreň sa extrahuje podľa určeného algoritmu.

DIDAKTICKÝ MATERIÁL

1. Vezmite druhú odmocninu čísla: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.