Ako riešiť príklady s mocninou a zlomkami. Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie mocnin

Zlomok je pomer čitateľa k menovateľovi a menovateľ sa nesmie rovnať nule a čitateľ môže byť čokoľvek.

Pri zvyšovaní ľubovoľného zlomku na ľubovoľnú mocninu musíme zvlášť zvýšiť čitateľa a menovateľa zlomku na túto mocninu, potom musíme tieto mocniny spočítať a tak získať zlomok umocnený na mocninu.

Napríklad:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2/3)^3 = (2/3) · (2 /3) · (2/3) = 2^3 / 3^3

Negatívny stupeň

Ak máme do činenia so záporným stupňom, musíme najprv zlomok obrátiť a až potom ho zvýšiť na stupeň podľa vyššie uvedeného pravidla.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Listový stupeň

Pri práci s doslovnými hodnotami, ako sú „x“ a „y“, sa umocňovanie riadi rovnakým pravidlom ako predtým.

Môžeme sa otestovať aj zvýšením zlomku ½ na tretiu mocninu, výsledkom čoho je ½ * ½ * ½ = 1/8, čo je v podstate rovnaké ako

Doslovné umocnenie x^y

Násobenie a delenie zlomkov s mocninami

Ak vynásobíme mocniny s rovnakými základmi, potom samotný základ zostane rovnaký a pripočítame exponenty. Ak delíme stupne s rovnakými základmi, potom základ stupňa tiež zostáva rovnaký a exponenty stupňov sa odčítajú.

Dá sa to veľmi jednoducho ukázať na príklade:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Mohli by sme získať to isté, ak by sme jednoducho zvýšili menovateľa a čitateľa na mocninu 3 a 4 oddelene.

Zvyšovanie zlomku so silou na inú moc

Pri zvyšovaní zlomku, ktorý už je na mocninu, opäť na mocninu, musíme najprv vykonať vnútorné umocnenie a potom prejsť na vonkajšiu časť umocnenia. Inými slovami, môžeme jednoducho vynásobiť tieto sily a zvýšiť zlomok na výslednú moc.

Napríklad:

(2^4)^2 = 2^4 2 = 2^8

Zvýšené na jednu odmocninu

Nesmieme zabúdať ani na to, že umocnenie absolútne ľubovoľného zlomku na nulovú mocninu nám dá 1, rovnako ako každé iné číslo, keď sa umocní na nulu, dostaneme 1.

Obyčajnú druhú odmocninu možno vyjadriť aj ako mocninu zlomku

Druhá odmocnina 3 = 3^(1/2)

Ak máme do činenia s druhou odmocninou, pod ktorou sa zlomok nachádza, tak si vieme predstaviť tento zlomok, v čitateľovi ktorého bude druhá odmocnina 2. stupňa (keďže ide o odmocninu)

A menovateľ bude obsahovať aj druhú odmocninu, t.j. inými slovami, uvidíme vzťah dvoch koreňov, to môže byť užitočné pri riešení niektorých problémov a príkladov.

Ak zlomok, ktorý je pod odmocninou, zvýšime na druhú mocninu, dostaneme rovnaký zlomok.

Súčin dvoch frakcií s tou istou silou sa bude rovnať súčinu týchto dvoch frakcií, z ktorých každá bude samostatne vlastniť svoju vlastnú silu.

Pamätajte: nemôžete deliť nulou!

Nezabudnite tiež na veľmi dôležitú poznámku, že zlomok, akým je menovateľ, by sa nemal rovnať nule. V budúcnosti budeme v mnohých rovniciach používať toto obmedzenie, nazývané ODZ - rozsah prípustných hodnôt

Pri porovnávaní dvoch zlomkov s rovnakým základom, ale rôznymi mocnosťami, väčší bude zlomok, ktorého mocnina je väčšia, a menší bude ten s menšou mocninou; ak sú nielen základy, ale aj mocniny rovnaké, zlomok sa považuje za rovnaký.

Vzorce stupňov používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.

číslo c je n-tá mocnina čísla a Kedy:

Operácie so stupňami.

1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele pripočítajú:

a m·a n = a m + n .

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú:

3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:

(a/b) n = an/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:

(a m) n = a m n.

Každý vzorec vyššie platí v smere zľava doprava a naopak.

Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operácie s koreňmi.

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná podielu dividendy a deliteľa koreňov:

3. Pri zvýšení odmocniny na mocninu stačí povýšiť radikálne číslo na túto mocninu:

4. Ak zvýšite stupeň koreňa v n raz a zároveň zabudovať do n mocnina je radikálne číslo, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň koreňa v n súčasne extrahujte koreň n-tá mocnina radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Titul so záporným exponentom. Mocnina určitého čísla s kladným (celým) exponentom je definovaná ako mocnina vydelená mocninou toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:

Vzorec a m:a n =a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj s m< n.

Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovať a m:a n =a m - n sa stal spravodlivým, keď m=n, vyžaduje sa prítomnosť nulového stupňa.

Titul s nulovým indexom. Mocnina akéhokoľvek čísla, ktoré sa nerovná nule s nulovým exponentom, sa rovná jednej.

Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo A na stupeň m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m-tá mocnina tohto čísla A.

Je logické prejsť k rozprávaniu operácie s algebraickými zlomkami. S algebraickými zlomkami sú definované nasledujúce operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie a zvyšovanie na prirodzenú mocninu. Okrem toho sú všetky tieto akcie uzavreté v tom zmysle, že v dôsledku ich vykonania sa získa algebraický zlomok. Pozrime sa na každú z nich v poradí.

Áno, hneď stojí za zmienku, že akcie s algebraickými zlomkami sú zovšeobecnením zodpovedajúcich akcií s obyčajnými zlomkami. Preto sa zodpovedajúce pravidlá takmer slovo od slova zhodujú s pravidlami na vykonávanie sčítania a odčítania, násobenia, delenia a umocňovania obyčajných zlomkov.

Navigácia na stránke.

Sčítanie algebraických zlomkov

Sčítanie ľubovoľných algebraických zlomkov zapadá do jedného z nasledujúcich dvoch prípadov: v prvom sa sčítajú zlomky s rovnakými menovateľmi, v druhom s rôznymi menovateľmi. Začnime pravidlom pre sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi.

Ak chcete pridať algebraické zlomky s podobnými menovateľmi, pridajte čitateľov a menovateľa ponechajte rovnaký.

Ohlásené pravidlo vám umožňuje prejsť od sčítania algebraických zlomkov k sčítaniu polynómov nájdených v čitateloch. Napríklad, .

Ak chcete pridať algebraické zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte postupovať podľa nasledujúceho pravidla: priveďte ich k spoločnému menovateľovi a potom pridajte výsledné zlomky s rovnakými menovateľmi.

Napríklad, keď sčítate algebraické zlomky a najprv ich treba uviesť do spoločného menovateľa, v dôsledku toho budú mať tvar A podľa toho, po ktorom sa vykoná sčítanie týchto zlomkov s rovnakými menovateľmi: .

Odčítanie

Ďalšia akcia, odčítanie algebraických zlomkov, sa vykoná podobne ako sčítanie. Ak sú menovatele pôvodných algebraických zlomkov rovnaké, potom stačí odčítať polynómy v čitateloch a menovateľ ponechať rovnaký. Ak sú menovatele odlišné, potom sa najskôr vykoná redukcia na spoločného menovateľa, po ktorej sa odčítajú výsledné zlomky s rovnakými menovateľmi.

Uveďme si príklady.

Odčítajme algebraické zlomky a , ich menovatelia sú rovnakí, teda . Výsledný algebraický zlomok možno ďalej zmenšiť: .

Teraz odčítajme zlomok od zlomku. Ide o algebraické zlomky s rôznymi menovateľmi, preto ich najprv privedieme k spoločnému menovateľovi, ktorým je v tomto prípade 5 x (x-1), máme A . Zostáva už len odpočítať:

Násobenie algebraických zlomkov

Algebraické zlomky sa dajú násobiť. Táto akcia sa vykonáva podobne ako pri násobení obyčajných zlomkov podľa nasledujúceho pravidla: na vynásobenie algebraických zlomkov musíte vynásobiť čitateľov oddelene a menovateľov oddelene.

Uveďme si príklad. Vynásobme algebraický zlomok zlomkom . Podľa uvedeného pravidla máme . Zostáva len previesť výsledný zlomok na algebraický zlomok; v tomto prípade musíte vynásobiť monomický a polynóm (a vo všeobecnom prípade vynásobiť polynómy) v čitateli a menovateli: .

Stojí za zmienku, že pred násobením algebraických zlomkov je vhodné faktorizovať polynómy nachádzajúce sa v ich čitateľoch a menovateľoch. Je to spôsobené možnosťou zníženia výslednej frakcie. Napríklad,
.

Táto akcia je podrobnejšie popísaná v článku.

divízie

Prejdime k operáciám s algebraickými zlomkami. Ďalej nasleduje delenie algebraických zlomkov. Nasledujúce pravidlo redukuje delenie algebraických zlomkov na násobenie: ak chcete deliť jeden algebraický zlomok druhým, musíte vynásobiť prvý zlomok prevráteným zlomkom druhého.

Algebraický zlomok, prevrátený k danému zlomku, je zlomok so zameneným čitateľom a menovateľom. Inými slovami, dva algebraické zlomky sa považujú za vzájomne inverzné, ak je ich súčin identicky rovný jednej (analogicky s).

Uveďme si príklad. Urobme rozdelenie . Recipročný zlomok deliteľa je . Teda, .

Podrobnejšie informácie nájdete v článku spomenutom v predchádzajúcom odseku: násobenie a delenie algebraických zlomkov.

Zvýšenie algebraického zlomku na mocninu

Nakoniec prejdeme k poslednej akcii s algebraickými zlomkami – zvyšovaniu na prirodzenú mocninu. , ako aj spôsob, akým sme definovali násobenie algebraických zlomkov, nám umožňuje zapísať pravidlo na umocnenie algebraického zlomku: musíte zvlášť zvýšiť čitateľa na túto mocninu a zvlášť menovateľa.

Ukážme si príklad vykonania tejto akcie. Zvýšme algebraický zlomok na druhú mocninu. Podľa vyššie uvedeného pravidla máme . Zostáva umocniť jednočlen v čitateli na mocninu a tiež zvýšiť polynóm v menovateli na mocninu, čím získame algebraický zlomok tvaru. .

Riešenie ďalších typických príkladov je uvedené v článku, ktorý zvyšuje algebraický zlomok na mocninu.

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Autorské práva chytrých študentov

Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť www.site, vrátane interných materiálov a vzhľadu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.

Lekcia na tému: "Pravidlá násobenia a delenia mocnín s rovnakými a rôznymi exponentmi. Príklady"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania. Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 7. ročník
Manuál k učebnici Yu.N. Makarycheva Manuál k učebnici od A.G. Mordkovič

Účel lekcie: naučiť sa vykonávať operácie s mocninami čísel.

Najprv si spomeňme na pojem „moc čísla“. Výraz v tvare $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ môže byť reprezentovaný ako $a^n$.

Platí to aj naopak: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Táto rovnosť sa nazýva „zaznamenanie stupňa ako produktu“. Pomôže nám to určiť, ako násobiť a deliť právomoci.
Pamätajte:
a– základ titulu.
n– exponent.
Ak n=1, čo znamená číslo A vzal raz a podľa toho: $a^n= 1$.
Ak n = 0, potom $a^0= 1$.

Prečo sa to deje, zistíme, keď sa zoznámime s pravidlami násobenia a rozdelenia právomocí.

Pravidlá násobenia

a) Ak sa mocniny s rovnakým základom násobia.
Ak chcete získať $a^n * a^m$, napíšeme stupne ako súčin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
Obrázok ukazuje, že číslo A zobral n+m krát, potom $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Príklad.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Túto vlastnosť je vhodné použiť na zjednodušenie práce pri zvýšení čísla na vyšší výkon.
Príklad.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ak sa násobia stupne s rôznymi základmi, ale rovnakým exponentom.
Ak chcete získať $a^n * b^n$, napíšeme stupne ako súčin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Ak zameníme faktory a spočítame výsledné dvojice, dostaneme: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Takže $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Príklad.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Pravidlá rozdelenia

a) Základ stupňa je rovnaký, ukazovatele sa líšia.
Zvážte delenie mocniny väčším exponentom delením mocniny menším exponentom.

Takže potrebujeme $\frac(a^n)(a^m)$, Kde n>m.

Zapíšme stupne ako zlomok:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Pre pohodlie zapisujeme delenie ako jednoduchý zlomok.

Teraz znížme zlomok.

Ukazuje sa: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
znamená, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Táto vlastnosť pomôže vysvetliť situáciu so zvýšením čísla na nulovú mocninu. Predpokladajme, že n=m, potom $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Príklady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Základy stupňa sú rôzne, ukazovatele sú rovnaké.
Povedzme, že $\frac(a^n)( b^n)$ je nevyhnutný. Napíšme mocniny čísel ako zlomky:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Pre pohodlie si to predstavme.

Pomocou vlastnosti zlomkov rozdelíme veľký zlomok na súčin malých, dostaneme.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Podľa toho: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Príklad.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Ciele: zopakovať pravidlo pre násobenie obyčajných zlomkov a naučiť sa, ako toto pravidlo aplikovať na násobenie ľubovoľných zlomkov; upevniť pri cvičeniach zručnosti zmenšovania zlomkov a vlastnosti mocnín s rovnakými základmi.

Počas vyučovania

I. Analýza testovacej práce.

1. Uveďte chyby, ktorých sa žiaci v teste dopustili.

2. Riešiť úlohy, ktoré žiakom spôsobovali ťažkosti.

II. Ústna práca.

1. Zopakujte vlastnosti stupňov s rovnakými základmi:

2. Prezentujte ako moc so základňou

Prezrite si základnú vlastnosť zlomku a použite túto vlastnosť na zmenšenie zlomkov.

III. Vysvetlivky k novému materiálu.

1. Dokážme, že rovnosť

platí pre všetky prípustné hodnoty premenných, to znamená pre b≠0 a d≠0.

2. Pravidlo: Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť ich čitateľov a vynásobiť ich menovateľov a napísať prvý súčin ako čitateľ a druhý ako menovateľ zlomku.

3. Zvážte riešenie príkladov 1, 2, 3 a 4 na stranách 26-27 učebnice.

4. Pravidlo pre násobenie zlomkov platí pre súčin troch alebo viacerých faktorov.

Napríklad:

1. Riešenie č. 108 (ústne).

2. Vyriešte č. 109 (a, c, e) na tabuli a do zošitov.

Žiaci sa rozhodujú sami, potom sa skontroluje riešenie.

3. Riešenie č. 112 (c; d; f).

Domáca úloha: preštudujte si odsek 5 (1-4); vyriešiť č. 109 (b; d; f),

č. 112 (a; b; d), č. 118 (a; c; d), č. 119 (b; d), č. 120 (a; c).

2. lekcia

Ciele: odvodiť pravidlo povýšenia zlomku na mocninu a naučiť žiakov toto pravidlo uplatňovať pri vykonávaní cvičení; upevniť pravidlo násobenia zlomkov a zručnosti zmenšovania zlomkov, rozvíjať logické myslenie žiakov.

Počas vyučovania

I. Ústna práca.

4. Kontrolujte si domácu úlohu náhodne v zošitoch.

II. Učenie sa nového materiálu.

1. Zvážte otázku povýšenia zlomku na mocninu. Dokážme to

2. Pravidlo. Ak chcete zlomok zvýšiť na mocninu, musíte zvýšiť čitateľa a menovateľa na túto mocninu a zapísať prvý výsledok do čitateľa a druhý do menovateľa zlomku.

3. Analyzujte riešenie príkladu 5 na strane 28 učebnice:

III. Robiť cvičenia.

1. 115 riešte ústne.

2. Vyriešte číslo 116 sami s kontrolou alebo pripomienkovaním na mieste.

IV. Samostatná práca (10 min).

V. Zhrnutie lekcie.

1. Vytvorte pravidlo na násobenie zlomkov.

2. Vytvorte pravidlo pre umocnenie zlomku na mocninu.

Domáca úloha: naučiť sa pravidlá odseku 5; riešiť č. 117, č. 121 (a; d), č. 122 (a; c), č. 123 (a), č. 124, č. 130 (a; b).