Ako vytvoriť nemožný trojuholník z papierovej schémy. Paradoxný svet nemožných predmetov

Dmitrij Rakov

Naše oči nemôžu vedieť
povaha predmetov.
Tak im to nenúťte
bludy rozumu.

Titus Lucretius Carus

Bežný výraz „optická ilúzia“ je vo svojej podstate nesprávny. Oči nás nemôžu oklamať, keďže sú len medzičlánkom medzi objektom a ľudským mozgom. Optická ilúzia sa zvyčajne nevyskytuje kvôli tomu, čo vidíme, ale preto, že nevedome uvažujeme a nedobrovoľne sa mýlime: „myseľ sa môže pozerať na svet očami, a nie očami“.

Jednou z najpozoruhodnejších oblastí umeleckého hnutia optického umenia (op-art) je imp-art (nemožné umenie), založené na zobrazovaní nemožných postáv. Nemožné objekty sú kresby na rovine (akákoľvek rovina je dvojrozmerná) zobrazujúce trojrozmerné štruktúry, ktoré v skutočnom trojrozmernom svete nemožno existovať. Klasická a jedna z najjednoduchších figúrok je nemožný trojuholník.

V nemožnom trojuholníku je každý uhol sám osebe možný, ale vzniká paradox, keď ho berieme do úvahy ako celok. Strany trojuholníka smerujú k divákovi aj od neho, takže jeho jednotlivé časti nemôžu tvoriť skutočný trojrozmerný objekt.

Presne povedané, náš mozog interpretuje kresbu na rovine ako trojrozmerný model. Vedomie nastavuje „hĺbku“, v ktorej sa nachádza každý bod obrazu. Naše predstavy o skutočnom svete čelia protirečeniu, určitej nezrovnalosti a musíme urobiť nejaké predpoklady:

• rovné 2D čiary sa interpretujú ako rovné 3D čiary;
• 2D rovnobežné čiary sa interpretujú ako 3D rovnobežné čiary;
• ostré a tupé uhly sa interpretujú ako pravé uhly v perspektíve;
• vonkajšie čiary sa považujú za hranicu formulára. Táto vonkajšia hranica je mimoriadne dôležitá pre vytvorenie úplného obrazu.

Ľudské vedomie najprv vytvorí všeobecný obraz objektu a potom skúma jednotlivé časti. Každý uhol je kompatibilný s priestorovou perspektívou, ale keď sa spojí, vytvorí priestorový paradox. Ak zatvoríte niektorý z rohov trojuholníka, nemožnosť zmizne.

História nemožných postáv

S chybami v priestorovej výstavbe sa stretávali umelci aj pred tisíc rokmi. Za prvého, kto skonštruoval a analyzoval nemožné predmety, sa však považuje švédsky umelec Oscar Reutersvärd, ktorý v roku 1934 nakreslil prvý nemožný trojuholník pozostávajúci z deviatich kociek.

		"Moskva", grafika (maskara, ceruzka), 50x70 cm, 2003

Anglický matematik a fyzik Roger Penrose, nezávislý od agentúry Reuters, znovu objavil nemožný trojuholník a uverejnil jeho obraz v britskom psychologickom časopise v roku 1958. Ilúzia využíva „falošnú perspektívu“. Niekedy sa táto perspektíva nazýva čínska, pretože podobný spôsob kreslenia, keď je hĺbka kresby „nejednoznačná“, sa často nachádzal v dielach čínskych umelcov.

Na výkrese "Tri slimáky" nie sú malé a veľké kocky orientované v normálnej izometrickej projekcii. Menšia kocka susedí s väčšou na prednej a zadnej strane, čo znamená, že podľa trojrozmernej logiky má rovnaké rozmery niektorých strán ako väčšia. Spočiatku sa zdá, že kresba je skutočným znázornením pevného telesa, ale ako analýza postupuje, odhaľujú sa logické rozpory tohto objektu.

Kresba „Tri slimákov“ pokračuje v tradícii druhej slávnej nemožnej figúrky – nemožnej kocky (krabica).

"IQ", grafika (maskara, ceruzka), 50x70 cm, 2001		"Hore a dole", M. Escher

Kombináciu rôznych predmetov možno nájsť aj v nie celkom serióznej kresbe „IQ“ (inteligenčný kvocient). Je zaujímavé, že niektorí ľudia nevnímajú nemožné predmety, pretože ich myseľ nedokáže identifikovať ploché obrázky s trojrozmernými predmetmi.

Donald E. Simanek naznačil, že pochopenie vizuálnych paradoxov je jedným z charakteristických znakov toho druhu kreativity, ktorým disponujú najlepší matematici, vedci a umelci. Mnohé diela s paradoxnými predmetmi možno klasifikovať ako „intelektuálne matematické hry“. Moderná veda hovorí o 7-rozmernom alebo 26-rozmernom modeli sveta. Takýto svet sa dá modelovať iba pomocou matematických vzorcov, ľudia si to jednoducho nevedia predstaviť. Tu prichádzajú vhod nemožné figúrky. Z filozofického hľadiska slúžia ako pripomienka, že akékoľvek javy (v systémovej analýze, vede, politike, ekonómii atď.) by sa mali posudzovať vo všetkých zložitých a nezrejmých vzťahoch.

V obraze „Nemožná abeceda“ sú prezentované rôzne nemožné (a možné) predmety.

Treťou populárnou nemožnou postavou je neuveriteľné schodisko, ktoré vytvoril Penrose. Po nej budete nepretržite buď stúpať (proti smeru hodinových ručičiek), alebo klesať (v smere hodinových ručičiek). Penroseov model tvoril základ slávneho obrazu M. Eschera „Hore a dole“ („Vzostupne a zostupne“).

Existuje ďalšia skupina objektov, ktoré nemožno implementovať. Klasickou figúrkou je nemožný trojzubec, čiže „čertova vidlička“.

Ak pozorne preštudujete obrázok, všimnete si, že tri zuby sa postupne menia na dva na jednej základni, čo vedie ku konfliktu. Porovnáme počet zubov nad a pod a dospejeme k záveru, že objekt je nemožný.

Existuje nejaký väčší úžitok z nemožných kresieb ako hry mysle? Niektoré nemocnice zámerne zavesia obrázky nemožných predmetov, pretože pohľad na ne môže pacientov zamestnať na dlhší čas. Bolo by logické vyvesiť takéto kresby na pokladniach, policajných staniciach a iných miestach, kde čakanie v rade niekedy trvá celú večnosť. Kresby by mohli pôsobiť ako akési „chronofágy“, t.j. žrútov času.

Bolo vynájdených niekoľko nemožných figúrok – rebrík, trojuholník a x-hrot. Tieto čísla sú v trojrozmernom obraze skutočne celkom reálne. Ale keď umelec premieta objem na papier, predmety sa zdajú nemožné. Trojuholník, ktorý sa tiež nazýva „tribar“, sa stal nádherným príkladom toho, ako sa nemožné stane možným, keď vynaložíte úsilie.

Všetky tieto postavy sú krásne ilúzie. Výdobytky ľudského génia využívajú umelci, ktorí maľujú v štýle imp art.

Nič nie je nemožné. To možno povedať o Penroseovom trojuholníku. Ide o geometricky nemožný útvar, ktorého prvky nemožno spájať. Koniec koncov, nemožný trojuholník sa stal možným. Švédsky maliar Oscar Reutersvärd predstavil svetu v roku 1934 nemožný trojuholník z kociek. O. Reutersvard je považovaný za objaviteľa tejto vizuálnej ilúzie. Na počesť tejto udalosti bola neskôr táto kresba vytlačená na švédskej poštovej známke.

A v roku 1958 publikoval matematik Roger Penrose v anglickom časopise publikáciu o nemožných číslach. Bol to on, kto vytvoril vedecký model ilúzie. Roger Penrose bol neuveriteľný vedec. Venoval sa výskumu v teórii relativity, ako aj fascinujúcej kvantovej teórii. Spolu so S. Hawkingom mu bola udelená Wolfova cena.

Je známe, že umelec Maurits Escher pod dojmom tohto článku namaľoval svoje úžasné dielo - litografiu „Vodopád“. Je však možné vytvoriť Penrosov trojuholník? Ako to urobiť, ak je to možné?

Tribar a realita

Hoci sa tento údaj považuje za nemožný, vyrobiť Penrosov trojuholník vlastnými rukami je také jednoduché ako lúskanie hrušiek. Dá sa vyrobiť z papiera. Milovníci origami jednoducho nemohli ignorovať kmeň a napriek tomu našli spôsob, ako vytvoriť a držať v rukách vec, ktorá sa predtým zdala mimo predstavivosti vedca.

Pri pohľade na projekciu trojrozmerného objektu z troch na seba kolmých čiar nás však klamú vlastné oči. Pozorovateľ si myslí, že vidí trojuholník, hoci v skutočnosti nevidí.

Remeslá z geometrie

Tribarový trojuholník, ako je uvedené, v skutočnosti nie je trojuholníkom. Penrosov trojuholník je ilúzia. Len pod určitým uhlom vyzerá predmet ako rovnostranný trojuholník. Objekt vo svojej prirodzenej podobe však tvoria 3 strany kocky. V takejto izometrickej projekcii sa v rovine zhodujú 2 uhly: ten, ktorý je najbližšie k divákovi, a ten, ktorý je najďalej.

Optická ilúzia sa samozrejme rýchlo odhalí, len čo tento predmet zoberiete. Tieň tiež odhaľuje ilúziu, pretože tieň kmeňa jasne ukazuje, že uhly sa v skutočnosti nezhodujú.

Tribar vyrobený z papiera. Schéma

Ako vyrobiť Penrosov trojuholník vlastnými rukami z papiera? Existujú nejaké schémy pre tento model? Dnes boli vynájdené 2 rozloženia, aby sa dal zložiť taký nemožný trojuholník. Základná geometria vám presne povie, ako zložiť objekt.

Ak chcete zložiť trojuholník Penrose vlastnými rukami, budete musieť prideliť iba 10-20 minút. Musíte si pripraviť lepidlo, nožnice na niekoľko strihov a papier, na ktorom je vytlačený diagram.

Z takého polotovaru sa získa najobľúbenejší nemožný trojuholník. Výroba origami remesla nie je príliš náročná. Na prvý raz to teda určite vyjde aj školákovi, ktorý práve začal študovať geometriu.

Ako vidíte, ukazuje sa, že je to veľmi pekné remeslo. Druhý kus vyzerá inak a inak sa skladá, no samotný Penroseov trojuholník nakoniec vyzerá rovnako.

Kroky na vytvorenie Penrosovho trojuholníka z papiera.

Vyberte si jeden z 2 vhodných polotovarov, skopírujte súbor a vytlačte. Tu uvádzame príklad druhého modelu rozloženia, ktorý je o niečo jednoduchší.

Samotný origami polotovar „Tribar“ už obsahuje všetky potrebné tipy. V skutočnosti sa pokyny pre obvod nevyžadujú. Stačí ho stiahnuť na hrubé papierové médium, inak bude nepohodlné pracovať a postava nebude fungovať. Ak nemôžete okamžite tlačiť na lepenku, musíte náčrt pripojiť k novému materiálu a vystrihnúť výkres pozdĺž obrysu. Pre pohodlie môžete upevniť pomocou sponiek.

Čo urobiť ďalej? Ako zložiť Penrosov trojuholník vlastnými rukami krok za krokom? Musíte postupovať podľa tohto akčného plánu:

1. Pomocou zadnej strany nožníc nakreslite čiary, kde sa potrebujete ohnúť, podľa pokynov. Ohnite všetky čiary
2. V prípade potreby urobíme rezy.
3. Pomocou PVA zlepíme tie odrezky, ktoré sú určené na držanie dielu pohromade do jedného celku.

Hotový model je možné prelakovať ľubovoľnou farbou, alebo si do práce môžete vopred vziať farebný kartón. Ale aj keď je predmet z bieleho papiera, aj tak každého, kto do vašej obývačky vstúpi prvýkrát, takéto remeslo určite odradí.

Kresba trojuholníka

Ako nakresliť Penrosov trojuholník? Nie každý rád robí origami, ale veľa ľudí miluje kreslenie.

Na začiatok nakreslite pravidelný štvorec ľubovoľnej veľkosti. Potom sa dovnútra nakreslí trojuholník, ktorého základňa je spodná strana štvorca. V každom rohu je umiestnený malý obdĺžnik, ktorého všetky strany sú vymazané; Zostanú len tie strany, ktoré susedia s trojuholníkom. To je potrebné, aby sa zabezpečilo, že čiary sú rovné. Výsledkom je trojuholník so zrezanými rohmi.

Ďalšou fázou je obraz druhej dimenzie. Z ľavej strany horného dolného rohu je nakreslená striktne priama čiara. Rovnaká čiara je nakreslená od ľavého dolného rohu a nie je mierne posunutá k prvej čiare 2. dimenzie. Ďalšia čiara je nakreslená z pravého rohu rovnobežne so spodnou stranou hlavnej postavy.

Poslednou fázou je nakresliť tretiu do druhej dimenzie pomocou troch ďalších malých čiar. Malé čiary začínajú od čiar druhého rozmeru a dotvárajú obraz trojrozmerného objemu.

Ďalšie Penroseove figúrky

Pomocou rovnakej analógie môžete nakresliť ďalšie tvary - štvorec alebo šesťuholník. Ilúzia bude zachovaná. Ale napriek tomu tieto čísla už nie sú také úžasné. Takéto polygóny sa jednoducho zdajú byť veľmi skrútené. Moderná grafika umožňuje vytvárať zaujímavejšie verzie slávneho trojuholníka.

Okrem trojuholníka je svetoznáme aj Penroseovo schodisko. Cieľom je oklamať oko, aby sa zdalo, že človek neustále stúpa nahor, keď sa pohybuje v smere hodinových ručičiek, a nadol, keď sa pohybuje proti smeru hodinových ručičiek.

Nepretržité schodisko je najlepšie známe pre jeho spojenie s obrazom M. Eschera „Vzostup a zostup“. Je zaujímavé, že keď človek prejde všetky 4 ramená tohto iluzórneho schodiska, vždy skončí tam, kde začal.

Sú známe aj iné predmety, ktoré zavádzajú ľudskú myseľ, ako napríklad nemožný blok. Alebo krabica vyrobená podľa rovnakých zákonov ilúzie s pretínajúcimi sa hranami. Ale všetky tieto predmety už boli vynájdené na základe článku pozoruhodného vedca – Rogera Penrosa.

Nemožný trojuholník v Perthe

Postava pomenovaná po matematikovi je poctená. Bol jej postavený pomník. V roku 1999 bol v jednom z austrálskych miest (Perth) nainštalovaný veľký Penrosov trojuholník vyrobený z hliníka, ktorý je vysoký 13 metrov. Turisti si užívajú fotenie vedľa hliníkového obra. Ale ak si na fotenie zvolíte iný uhol, podvod sa stane zrejmým.

supervízor

učiteľ matematiky

1.Úvod ……………………………………………………….. 3

2. Historické pozadie…………………………………………..…4

3. Hlavná časť…………………………………………………………………..7

4. Dôkaz nemožnosti Penrosovho trojuholníka......9

5. Závery………………………………………………………………………..………………11

6. Literatúra……………………………………………….…… 12

Relevantnosť: Matematika je predmet, ktorý sa študuje od prvej až po strednú školu. Mnohí študenti to považujú za ťažké, nezaujímavé a zbytočné. Ak sa však pozriete za stránky učebnice, prečítate si ďalšiu literatúru, matematické sofizmy a paradoxy, vaša predstava o matematike sa zmení a budete mať chuť študovať viac, ako sa študuje v školskom kurze matematiky.

Cieľ práce:

ukazujú, že existencia nemožných figúrok rozširuje obzory, rozvíja priestorovú predstavivosť a využívajú ju nielen matematici, ale aj umelci.

Úlohy :

1. Preštudujte si literatúru na túto tému.

2. Zvážte nemožné obrazce, vytvorte model nemožného trojuholníka, dokážte, že nemožný trojuholník v rovine neexistuje.

3. Urobte rozvinutie nemožného trojuholníka.

4. Zvážte príklady použitia nemožného trojuholníka vo výtvarnom umení.

Úvod

Historicky hrala matematika dôležitú úlohu vo výtvarnom umení, najmä v perspektívnej maľbe, ktorá zahŕňa realistické zobrazenie trojrozmernej scény na plochom plátne alebo kúsku papiera. Podľa moderných názorov sú matematika a výtvarné umenie navzájom veľmi vzdialené disciplíny, prvá je analytická, druhá emocionálna. Matematika nehrá očividnú úlohu vo väčšine súčasného umenia a v skutočnosti mnohí umelci len zriedka alebo vôbec nevyužívajú perspektívu. Existuje však veľa umelcov, ktorí sa zameriavajú na matematiku. Cestu týmto jednotlivcom vydláždilo niekoľko významných osobností výtvarného umenia.

Vo všeobecnosti neexistujú žiadne pravidlá alebo obmedzenia na používanie rôznych tém v matematickom umení, ako sú nemožné figúry, Möbiove pásy, skreslenie alebo neobvyklé perspektívne systémy a fraktály.

História nemožných postáv

Nemožné figúry sú určitým typom matematického paradoxu, ktorý pozostáva z pravidelných častí spojených v nepravidelnom komplexe. Ak by sme sa pokúsili sformulovať definíciu pojmu „nemožné predmety“, znelo by to asi takto – fyzicky možné postavy zostavené v nemožnej forme. Ale je oveľa príjemnejšie sa na ne pozerať a vytvárať definície.

S chybami v priestorovej výstavbe sa stretávali umelci aj pred tisíc rokmi. Ale švédsky umelec Oscar Reutersvärd, ktorý maľoval v roku 1934, sa právom považuje za prvého, kto skonštruoval a analyzoval nemožné predmety. prvý nemožný trojuholník pozostávajúci z deviatich kociek.

Reutersvaerdov trojuholník

Anglický matematik a fyzik Roger Penrose, nezávislý od agentúry Reuters, znovu objavil nemožný trojuholník a v roku 1958 uverejnil jeho obraz v britskom psychologickom časopise. Ilúzia používa „falošnú perspektívu“. Niekedy sa táto perspektíva nazýva čínska, pretože podobný spôsob kreslenia, keď je hĺbka kresby „nejednoznačná“, sa často nachádzal v dielach čínskych umelcov.

Escher Falls

V roku 1961 Holanďan M. Escher, inšpirovaný nemožným Penroseovým trojuholníkom, vytvoril slávnu litografiu „Vodopád“. Voda na obrázku nekonečne tečie, za vodným kolesom prechádza ďalej a končí späť na mieste štartu. V podstate ide o obraz perpetuum mobile, ale každý pokus o skutočné vybudovanie tejto štruktúry je odsúdený na neúspech.

Ďalší príklad nemožných postáv je uvedený na výkrese „Moskva“, ktorý zobrazuje nezvyčajný diagram moskovského metra. Obraz najskôr vnímame ako celok, no keď pohľadom obkreslíme jednotlivé línie, presvedčíme sa o nemožnosti ich existencie.

« Moskva", grafika (atrament, ceruzka), 50x70 cm, 2003.

Kresba „Tri slimáky“ pokračuje v tradícii druhej slávnej nemožnej postavy – nemožnej kocky (krabica).

Nemožná kocka "Tri slimáky".

Kombináciu rôznych predmetov možno nájsť aj v nie celkom serióznej kresbe „IQ“ (inteligenčný kvocient). Je zaujímavé, že niektorí ľudia nevnímajú nemožné predmety, pretože ich myseľ nedokáže identifikovať ploché obrázky s trojrozmernými predmetmi.

Donald Simanek naznačil, že pochopenie vizuálnych paradoxov je jedným z charakteristických znakov toho druhu kreativity, ktorým disponujú najlepší matematici, vedci a umelci. Mnohé diela s paradoxnými predmetmi možno klasifikovať ako „intelektuálne matematické hry“. Moderná veda hovorí o 7-rozmernom alebo 26-rozmernom modeli sveta. Takýto svet sa dá modelovať iba pomocou matematických vzorcov, ľudia si to jednoducho nevedia predstaviť. Tu prichádzajú vhod nemožné figúrky.

Treťou populárnou nemožnou postavou je neuveriteľné schodisko, ktoré vytvoril Penrose. Po nej budete nepretržite buď stúpať (proti smeru hodinových ručičiek), alebo klesať (v smere hodinových ručičiek). Penroseov model vytvoril základ pre slávny obraz M. Eschera „Hore a dole“ Neuveriteľné Penroseovo schodisko

Nemožný trojzubec

"Diablova vidlička"

Existuje ďalšia skupina objektov, ktoré nemožno implementovať. Klasickou figúrkou je nemožný trojzubec, čiže „čertova vidlička“. Ak pozorne preštudujete obrázok, všimnete si, že tri zuby sa postupne menia na dva na jednej základni, čo vedie ku konfliktu. Porovnáme počet zubov nad a pod a dospejeme k záveru, že objekt je nemožný. Ak zatvoríme hornú časť trojzubca rukou, uvidíme veľmi reálny obraz – tri okrúhle zuby. Ak zatvoríme spodnú časť trojzubca, uvidíme aj skutočný obraz – dva obdĺžnikové zuby. Ak však vezmeme do úvahy celú postavu ako celok, ukáže sa, že tri okrúhle zuby sa postupne menia na dva obdĺžnikové.

Môžete teda vidieť, že popredie a pozadie tejto kresby sú v rozpore. To znamená, že to, čo bolo pôvodne v popredí, ide späť a pozadie (stredný zub) ide dopredu. Okrem zmeny popredia a pozadia je na tejto kresbe ešte jeden efekt - ploché okraje hornej časti trojzubca sa v spodnej časti zaobľujú.

Hlavná časť.

Trojuholník- postava pozostávajúca z 3 susedných častí, ktorá neprijateľným spojením týchto častí vytvára ilúziu matematicky nemožnej štruktúry. Táto trojlúčová štruktúra sa tiež nazýva inak námestie Penroses

Grafický princíp tejto ilúzie vďačí za svoju formuláciu psychológovi a jeho synovi Rogerovi, fyzikovi. Penruzov štvorec pozostáva z 3 štvorcových tyčí umiestnených v 3 vzájomne kolmých smeroch; každá sa pripája k ďalšej v pravom uhle, to všetko je umiestnené v trojrozmernom priestore. Tu je jednoduchý recept, ako nakresliť túto izometrickú projekciu Penroseovho štvorca:

· Orezajte rohy rovnostranného trojuholníka pozdĺž čiar rovnobežných so stranami;

· Nakreslite rovnobežky so stranami vo vnútri orezaného trojuholníka;

· Znova orezajte rohy;

· Nakreslite rovnobežky vo vnútri znova;

· Predstavte si v jednom z rohov ktorúkoľvek z dvoch možných kociek;

· Pokračujte „vecou“ v tvare L;

· Spustite tento dizajn v kruhu.

· Ak by sme zvolili inú kocku, štvorec by bol „pretočený“ opačným smerom .

Vývoj nemožného trojuholníka.

Inflexná čiara

Čiara rezu

Aké prvky sa používajú na zostavenie nemožného trojuholníka? Presnejšie, z akých prvkov sa nám to zdá (presne sa zdá!) postavené? Dizajn je založený na obdĺžnikovom rohu, ktorý sa získa spojením dvoch rovnakých pravouhlých tyčí v pravom uhle. Sú potrebné tri takéto rohy, a teda šesť kusov tyčí. Tieto rohy musia byť určitým spôsobom navzájom vizuálne „prepojené“, aby tvorili uzavretú reťaz. To, čo sa stane, je nemožný trojuholník.

Prvý roh umiestnite do vodorovnej roviny. Pripojíme k nemu druhý roh, pričom jeden z jeho okrajov nasmerujeme nahor. Nakoniec k tomuto druhému rohu pripevníme tretí roh tak, aby jeho okraj bol rovnobežný s pôvodnou horizontálnou rovinou. V tomto prípade budú dva okraje prvého a tretieho rohu rovnobežné a nasmerované rôznymi smermi.

Teraz sa skúsme pozrieť na postavu z rôznych bodov v priestore (alebo vytvoriť skutočný drôtený model). Predstavte si, ako to vyzerá z jedného bodu, z druhého, z tretieho... Keď sa bod pozorovania zmení (alebo - čo je to isté - keď sa konštrukcia otáča v priestore), bude sa zdať, že tieto dva „končia“ hrany našich rohov sa navzájom pohybujú. Nie je ťažké vybrať polohu, v ktorej sa budú spájať (samozrejme, že blízky roh sa nám bude zdať hrubší ako dlhší).

Ale ak je vzdialenosť medzi rebrami oveľa menšia ako vzdialenosť od rohov k bodu, z ktorého sa pozeráme na našu štruktúru, potom obe rebrá budú mať pre nás rovnakú hrúbku a vznikne myšlienka, že tieto dve rebrá sú vlastne pokračovaním. jeden od druhého.

Mimochodom, ak sa súčasne pozrieme na zobrazenie štruktúry v zrkadle, neuvidíme tam uzavretý okruh.

A z vybraného pozorovacieho bodu vidíme na vlastné oči zázrak, ktorý sa stal: je tam uzavretá reťaz troch rohov. Len nemeňte bod pozorovania, aby sa táto ilúzia (v skutočnosti je to ilúzia!) nezrútila. Teraz môžete nakresliť objekt, ktorý vidíte, alebo umiestniť objektív fotoaparátu do nájdeného bodu a získať fotografiu nemožného objektu.

Ako prví sa o tento fenomén začali zaujímať manželia Penrosovci. Využili možnosti, ktoré vznikajú pri mapovaní trojrozmerného priestoru a trojrozmerných objektov do dvojrozmernej roviny (teda dizajnu) a upozornili na určitú neistotu dizajnu – otvorená štruktúra troch rohov môže byť vnímaná ako uzavretý okruh.

Ako už bolo spomenuté, jednoduchý model možno ľahko vyrobiť z drôtu, čo v princípe vysvetľuje pozorovaný efekt. Vezmite rovný kus drôtu a rozdeľte ho na tri rovnaké časti. Potom ohnite vonkajšie časti tak, aby tvorili pravý uhol so strednou časťou, a otočte ich voči sebe o 900. Teraz otočte túto postavu a sledujte ju jedným okom. V určitej polohe sa bude zdať, že je vytvorený z uzavretého kusu drôtu. Zapnutím stolovej lampy môžete pozorovať tieň dopadajúci na stôl, ktorý sa tiež na určitom mieste postavy v priestore zmení na trojuholník.

Túto konštrukčnú vlastnosť však možno pozorovať aj v inej situácii. Ak vytvoríte prsteň z drôtu a potom ho roztiahnete v rôznych smeroch, získate jednu otáčku valcovej špirály. Táto slučka je, samozrejme, otvorená. Ale pri premietaní na rovinu môžete získať uzavretú čiaru.

Opäť sme sa presvedčili, že z projekcie do roviny, z kresby sa trojrozmerná postava rekonštruuje nejednoznačne. To znamená, že projekcia obsahuje určitú nejednoznačnosť, podhodnotenie, čo vedie k „nemožnému trojuholníku“.

A môžeme povedať, že „nemožný trojuholník“ Penrosov, podobne ako mnohé iné optické ilúzie, je na rovnakej úrovni ako logické paradoxy a slovné hračky.

Dôkaz nemožnosti Penrosovho trojuholníka

Analýzou vlastností dvojrozmerného obrazu trojrozmerných objektov v rovine sme pochopili, ako vlastnosti tohto zobrazenia vedú k nemožnému trojuholníku.

Je veľmi ľahké dokázať, že nemožný trojuholník neexistuje, pretože každý z jeho uhlov je správny a ich súčet je 2700 namiesto „umiestnených“ 1800.

Navyše, aj keď vezmeme do úvahy nemožný trojuholník zlepený z uhlov menších ako 900, potom v tomto prípade dokážeme, že nemožný trojuholník neexistuje.

Zoberme si ďalší trojuholník, ktorý sa skladá z niekoľkých častí. Ak sú časti, z ktorých sa skladá, usporiadané inak, dostanete presne rovnaký trojuholník, ale s jednou malou chybičkou. Jeden štvorec bude chýbať. Ako je to možné? Alebo je to stále ilúzia?

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Nemožný trojuholník" width="298" height="161">!}

Využitie fenoménu vnímania

Existuje nejaký spôsob, ako posilniť efekt nemožnosti? Sú niektoré predmety „nemožnejšie“ ako iné? A tu na záchranu prichádzajú zvláštnosti ľudského vnímania. Psychológovia zistili, že oko začína skúmať predmet (obrázok) z ľavého dolného rohu, potom pohľad skĺzne doprava do stredu a klesne do pravého dolného rohu obrázku. Táto trajektória môže byť spôsobená tým, že naši predkovia sa pri stretnutí s nepriateľom najprv pozreli na najnebezpečnejšiu pravú ruku a potom sa pohľad presunul doľava, na tvár a postavu. Umelecké vnímanie bude teda výrazne závisieť od toho, ako je zostavená kompozícia obrazu. Táto vlastnosť sa zreteľne prejavila v stredoveku pri výrobe tapisérií: ich dizajn bol zrkadlovým obrazom originálu a dojem, ktorý tapisérie vyvolávajú, a originály sa líšia.

Túto vlastnosť možno úspešne použiť pri vytváraní výtvorov s nemožnými predmetmi, zvyšovaním alebo znižovaním „stupňa nemožnosti“. Existuje tiež perspektíva získania zaujímavých kompozícií pomocou počítačovej technológie, a to buď z niekoľkých obrazov otočených (možno s použitím rôznych typov symetrií) jeden voči druhému, čo dáva divákom iný dojem z objektu a hlbšie pochopenie podstaty dizajnu. , alebo z jedného otáčaného (stále alebo trhavo) pomocou jednoduchého mechanizmu v určitých uhloch.

Tento smer možno nazvať polygonálny (polygonálny). Ilustrácie zobrazujú obrázky navzájom otočené. Kompozícia vznikla nasledovne: kresba na papieri, vyhotovená atramentom a ceruzkou, bola naskenovaná, prevedená do digitálnej podoby a spracovaná v grafickom editore. Je možné zaznamenať pravidelnosť - otočený obrázok má väčší „stupeň nemožnosti“ ako pôvodný. To sa dá ľahko vysvetliť: umelec sa v procese práce podvedome snaží vytvoriť „správny“ obraz.

Záver

Použitie rôznych matematických čísel a zákonov nie je obmedzené na vyššie uvedené príklady. Pozorným preštudovaním všetkých uvedených obrázkov môžete objaviť ďalšie geometrické telesá alebo vizuálne interpretácie matematických zákonov, ktoré nie sú uvedené v tomto článku.

Matematické výtvarné umenie dnes prekvitá a mnohí umelci vytvárajú obrazy v Escherovom štýle a vo svojom vlastnom štýle. Títo umelci pracujú v rôznych médiách, vrátane sochárstva, maľby na ploché a trojrozmerné povrchy, litografie a počítačovej grafiky. A najobľúbenejšími témami v matematickom umení zostávajú mnohosteny, nemožné postavy, Möbiove pásy, skreslené perspektívne systémy a fraktály.

Závery:

1. Takže zvažovanie nemožných figúrok rozvíja našu priestorovú predstavivosť, pomáha nám „vystúpiť“ z roviny do trojrozmerného priestoru, čo nám pomôže pri štúdiu stereometrie.

2. Modely nemožných postáv pomáhajú uvažovať o projekciách na rovinu.

3. Úvaha o matematických sofizmoch a paradoxoch podnecuje záujem o matematiku.

Pri vykonávaní tejto práce

1. Dozvedel som sa, ako, kedy, kde a kto prvýkrát považoval za nemožné postavy, že existuje veľa takýchto postáv, umelci sa neustále pokúšajú zobraziť tieto postavy.

2. Spolu s ockom som vytvoril model nemožného trojuholníka, preskúmal som jeho priemet do roviny a videl som paradox tohto obrazca.

3. Preskúmané reprodukcie umelcov zobrazujúcich tieto postavy

4. Mojich spolužiakov môj výskum zaujal.

V budúcnosti využijem nadobudnuté vedomosti na hodinách matematiky a zaujímalo ma, či existujú aj iné paradoxy?

LITERATÚRA

1. Kandidát technických vied D. RAKOV História nemožných postáv

2. Nemožné postavy.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. Alekseeva Illusions · 7 komentárov

4. J. Timothy Unrach. – Úžasné postavy.
(Vydavateľstvo AST LLC, Vydavateľstvo Astrel LLC, 2002, 168 s.)

5. . - Grafické umenie.
(Art-Rodnik, 2001)

6. Douglas Hofstadter. – Gödel, Escher, Bach: táto nekonečná girlanda. (Vydavateľstvo "Bakhrakh-M", 2001)

7. A. Konenko – Tajomstvá nemožných postáv
(Omsk: Levsha, 199)

Nemožná postava je jedným z typov optických klamov, postava, ktorá sa na prvý pohľad javí ako projekcia obyčajného trojrozmerného objektu,

pri starostlivom skúmaní sú viditeľné protichodné spojenia prvkov postavy. Vytvára sa ilúzia o nemožnosti existencie takejto postavy v trojrozmernom priestore.

♦♦♦
Nemožné postavy

Najznámejšie nemožné postavy sú nemožný trojuholník, nekonečné schodisko a nemožný trojzubec.

Nemožný Perrosov trojuholník

Ilúzia Reutersvard (Reutersvard, 1934)

Všimnite si tiež, že zmena v organizácii postavy umožnila vnímať centrálne umiestnenú „hviezdu“.
_________

Escherova nemožná kocka

V skutočnosti môžu v reálnom svete existovať všetky nemožné postavy. Všetky objekty nakreslené na papieri sú teda projekciou trojrozmerných objektov, preto je možné vytvoriť trojrozmerný objekt, ktorý pri premietnutí do roviny bude vyzerať nemožne. Pri pohľade na takýto predmet z určitého bodu bude tiež vyzerať nemožne, ale pri pohľade z akéhokoľvek iného bodu sa efekt nemožnosti stratí.

13-metrová plastika nemožného trojuholníka vyrobená z hliníka bola postavená v roku 1999 v Perthe (Austrália). Tu bol nemožný trojuholník znázornený vo svojej najvšeobecnejšej podobe - vo forme troch lúčov spojených navzájom v pravom uhle.

Diablova vidlička
Medzi všetkými nemožnými postavami má nemožný trojzubec ("diablova vidlička") osobitné miesto.

Ak rukou zatvoríme pravú stranu trojzubca, uvidíme veľmi reálny obraz – tri okrúhle zuby. Ak zatvoríme spodnú časť trojzubca, uvidíme aj skutočný obraz – dva obdĺžnikové zuby. Ak však vezmeme do úvahy celú postavu ako celok, ukáže sa, že tri okrúhle zuby sa postupne menia na dva obdĺžnikové.

Môžete teda vidieť, že popredie a pozadie tejto kresby sú v rozpore. To znamená, že to, čo bolo pôvodne v popredí, ide späť a pozadie (stredný zub) ide dopredu. Okrem zmeny popredia a pozadia je na tomto výkrese ešte jeden efekt – ploché okraje pravej strany trojzubca sa zaobľujú vľavo.

Účinok nemožnosti je dosiahnutý vďaka tomu, že náš mozog analyzuje obrys postavy a snaží sa spočítať počet zubov. Mozog porovnáva počet zubov na obrázku na ľavej a pravej strane obrázku, čo vyvoláva pocit, že obrázok je nemožný. Ak by bol počet zubov na obrázku výrazne väčší (napríklad 7 alebo 8), potom by bol tento paradox menej výrazný.

Niektoré knihy tvrdia, že nemožný trojzubec patrí do triedy nemožných postáv, ktoré nie je možné vytvoriť v skutočnom svete. V skutočnosti to nie je pravda. VŠETKY nemožné postavy je možné vidieť v skutočnom svete, ale nemožné budú vyzerať len z jedného uhla pohľadu.

______________

Nemožný slon


Koľko nôh má slon?

Stanfordský psychológ Roger Shepard použil myšlienku trojzubec pre svoj obraz nemožného slona.

______________

Penroseovo schodisko(nekonečné schodisko, nemožné schodisko)

Nekonečné schodisko je jednou z najznámejších klasických nemožností.

Ide o návrh schodiska, v ktorom pri pohybe po ňom v jednom smere (na obrázku k článku proti smeru hodinových ručičiek) bude človek donekonečna stúpať a pri protismere bude neustále klesať.

Inými slovami, predstavuje sa nám schodisko, ktoré akoby vedie nahor alebo nadol, ale osoba, ktorá po ňom kráča, nestúpa ani neklesne. Po dokončení svojej vizuálnej trasy sa ocitne na začiatku cesty. Ak by ste skutočne museli chodiť po tých schodoch, chodili by ste po nich bezcieľne nekonečne veľakrát. Môžete to nazvať nekonečnou sizyfovskou úlohou!

Odkedy Penrosovci zverejnili toto číslo, objavilo sa v tlači častejšie ako akýkoľvek iný nemožný predmet. „Nekonečné schodisko“ možno nájsť v knihách o hrách, hádankách, ilúziách, v učebniciach psychológie a iných predmetoch.

"Vzostup a zostup"

„Nekonečný les“ úspešne použil umelec Maurits K. Escher, tentoraz vo svojej očarujúcej litografii „Vzostup a zostup“, vytvorenej v roku 1960.
Na tejto kresbe, ktorá odráža všetky možnosti postavy Penrosea, je veľmi dobre rozpoznateľné nekonečné schodisko úhľadne vpísané do strechy kláštora. Mnísi s kapucňami sa neustále pohybujú po schodoch v smere a proti smeru hodinových ručičiek. Idú k sebe po nemožnej ceste. Nikdy sa im nepodarí ísť hore ani dole.

Nekonečné schodisko sa preto začalo častejšie spájať s Escherom, ktorý ho prekreslil, ako s Penrosovcami, ktorí ho vynašli.

Koľko je tam políc?

Kde sú dvere otvorené?

Navonok alebo dovnútra?

Na plátnach minulých majstrov sa občas objavovali nemožné postavy, napríklad taká je šibenica na obraze Pietera Bruegela (staršieho)
"Straka na šibenici" (1568)

__________

Impossible Arch

Jos de Mey je flámsky umelec, ktorý sa vyškolil na Kráľovskej akadémii výtvarných umení v Gente (Belgicko) a potom 39 rokov učil študentov interiérový dizajn a farby. Od roku 1968 sa jeho zameraním stala kresba. Preslávil sa predovšetkým starostlivým a realistickým prevedením nemožných štruktúr.

Najznámejšie sú nemožné postavy v dielach umelca Mauricea Eschera. Pri skúmaní takýchto kresieb sa každý jednotlivý detail zdá celkom vierohodný, ale keď sa pokúsite vysledovať čiaru, ukáže sa, že táto čiara už nie je napríklad vonkajší roh steny, ale vnútorný.

"relativita"

Táto litografia holandského umelca Eschera bola prvýkrát vytlačená v roku 1953.

Litografia zobrazuje paradoxný svet, v ktorom neplatia zákony reality. Tri reality sú spojené v jednom svete, tri gravitačné sily sú nasmerované navzájom kolmo.

Vznikla architektonická štruktúra, reality spájajú schody. Pre ľudí žijúcich v tomto svete, ale v rôznych rovinách reality, bude rovnaké schodisko smerovať buď hore alebo dole.

"vodopád"

Táto litografia holandského umelca Eschera bola prvýkrát vytlačená v októbri 1961.

Toto Escherovo dielo zobrazuje paradox – padajúca voda vodopádu poháňa koleso, ktoré smeruje vodu na vrchol vodopádu. Vodopád má štruktúru „nemožného“ Penroseovho trojuholníka: litografia bola vytvorená na základe článku v British Journal of Psychology.

Konštrukciu tvoria tri priečniky naukladané na seba v pravom uhle. Vodopád v litografii funguje ako perpetum mobile. Zdá sa tiež, že obe veže sú rovnaké; v skutočnosti je ten napravo o poschodie pod ľavou vežou.

No modernejšie diela :o)
Nekonečné fotografovanie

Úžasné stavenisko

Šachovnica

♦♦♦
Obrázky hore nohami

Čo vidíš: obrovskú vranu s korisťou alebo rybára v člne, rybu a ostrov so stromami?

Rasputin a Stalin

Mladosť a staroba

_________________

Šľachtic a kráľovná

Nemožné je stále možné. A jasným potvrdením toho je nemožný Penroseov trojuholník. Objavený v minulom storočí, stále sa často nachádza vo vedeckej literatúre. A bez ohľadu na to, ako prekvapivo to môže znieť, môžete si to dokonca vyrobiť sami. A urobiť to nie je vôbec ťažké. Mnoho ľudí, ktorí radi kreslia alebo skladajú origami, to už dávno dokázali.

Význam Penrosovho trojuholníka

Pre túto postavu existuje niekoľko mien. Niektorí tomu hovoria nemožný trojuholník, iní jednoducho tribar. Najčastejšie však nájdete definíciu „Penrosov trojuholník“.

Pod týmito definíciami rozumieme jednu z hlavných nemožných postáv. Podľa mena je nemožné získať takúto postavu v skutočnosti. V praxi sa však ukázalo, že sa to stále dá. Je to len tvar, ktorý nadobudne, ak sa naň pozriete z určitého bodu v správnom uhle. Zo všetkých ostatných strán je postava celkom reálna. Predstavuje tri hrany kocky. A je ľahké urobiť takýto dizajn.

História objavovania

Penrosov trojuholník objavil v roku 1934 švédsky umelec Oscar Reutersvard. Figúrka bola prezentovaná vo forme kociek zostavených dohromady. Neskôr sa umelec začal nazývať „otcom nemožných postáv“.

Možno by kresba agentúry Reutersvard zostala málo známa. V roku 1954 však švédsky matematik Roger Penrose napísal článok o nemožných číslach. Toto bol druhý zrod trojuholníka. Je pravda, že vedec to predstavil v známejšej forme. Používal skôr trámy ako kocky. Tri nosníky boli navzájom spojené pod uhlom 90 stupňov. Odlišné bolo aj to, že Reutersvard používal pri kreslení paralelnú perspektívu. A Penrose použil lineárnu perspektívu, ktorá kresbu ešte viac znemožňovala. Takýto trojuholník bol publikovaný v roku 1958 v jednom z britských psychologických časopisov.

V roku 1961 umelec Maurits Escher (Holandsko) vytvoril jednu zo svojich najpopulárnejších litografií „Vodopád“. Vznikol pod dojmom, ktorý vyvolal článok o nemožných postavách.

V 80. rokoch 20. storočia boli na švédskych štátnych poštových známkach vyobrazení tribari a iné nemožné postavy. Takto to pokračovalo niekoľko rokov.

Koncom minulého storočia (presnejšie v roku 1999) vznikla v Austrálii hliníková socha znázorňujúca nemožný Penroseov trojuholník. Dosahoval výšku 13 metrov. Podobné sochy, len menších rozmerov, sa nachádzajú v iných krajinách.

V realite nemožné

Ako ste možno uhádli, Penrosov trojuholník v skutočnosti nie je trojuholníkom v obvyklom zmysle. Predstavuje tri strany kocky. Ak sa však pozriete z určitého uhla, získate ilúziu trojuholníka, pretože 2 uhly sa v rovine úplne zhodujú. Najbližšie a najvzdialenejšie uhly od diváka sú vizuálne kombinované.

Ak ste opatrní, môžete hádať, že kmeň nie je nič iné ako ilúzia. Skutočný vzhľad postavy môže odhaliť jej tieň. Ukazuje, že rohy v skutočnosti nie sú spojené. A samozrejme sa všetko vyjasní, ak zdvihnete postavu.

Vytváranie postavy vlastnými rukami

Penrosov trojuholník si môžete zostaviť sami. Napríklad z papiera alebo lepenky. A diagramy vám s tým pomôžu. Stačí si ich vytlačiť a zlepiť. Na internete sú k dispozícii dve schémy. Jedna z nich je o niečo jednoduchšia, druhá je náročnejšia, no o to obľúbenejšia. Obe sú zobrazené na obrázkoch.

Zaujímavým produktom, ktorý sa hosťom bude určite páčiť, bude trojuholník Penrose. Určite to nezostane bez povšimnutia. Prvým krokom pri jeho vytváraní je príprava diagramu. Prenáša sa na papier (kartón) pomocou tlačiarne. A potom je všetko ešte jednoduchšie. Stačí ho po obvode orezať. Diagram už obsahuje všetky potrebné riadky. Bude pohodlnejšie pracovať s hrubším papierom. Ak je diagram vytlačený na tenkom papieri, ale chcete niečo hrubšie, polotovar sa jednoducho aplikuje na vybraný materiál a vyreže pozdĺž obrysu. Aby sa diagram nehýbal, môže byť zaistený sponkami.

Ďalej musíte určiť čiary, pozdĺž ktorých sa bude obrobok ohýbať. Spravidla je v diagrame znázornený ohnutím dielu. Ďalej určíme miesta, ktoré je potrebné prilepiť. Sú potiahnuté PVA lepidlom. Časť je spojená do jedného obrazca.

Diel je možné natrieť. Alebo môžete spočiatku použiť farebný kartón.

Kreslenie nemožnej postavy

Dá sa nakresliť aj Penrosov trojuholník. Na začiatok nakreslite jednoduchý štvorec na list papiera. Na jeho veľkosti nezáleží. So základňou na spodnej strane štvorca sa nakreslí trojuholník. V jeho rohoch sú nakreslené malé obdĺžniky. Ich strany bude potrebné vymazať a ponechať len tie, ktoré sú spoločné pre trojuholník. Výsledkom by mal byť trojuholník so zrezanými rohmi.

Z ľavej strany horného dolného rohu sa nakreslí priama čiara. Rovnaká čiara, ale o niečo kratšia, je nakreslená z ľavého dolného rohu. Čiara je nakreslená rovnobežne so základňou trojuholníka, ktorá vychádza z pravého rohu. Výsledkom je druhá dimenzia.

Podľa princípu druhého sa kreslí tretí rozmer. Iba v tomto prípade sú všetky priame čiary založené na uhloch obrázku nie v prvom, ale v druhom rozmere.