Obyčajné zlomkové čísla sa prvýkrát stretávajú so školákmi v 5. ročníku a sprevádzajú ich po celý život, pretože v každodennom živote je často potrebné považovať alebo použiť predmet nie ako celok, ale v samostatných častiach. Začnite študovať túto tému - zdieľania. Akcie sú rovnaké diely, na ktoré sa delí ten či onen objekt. Nie vždy je totiž možné napríklad dĺžku alebo cenu výrobku vyjadriť ako celé číslo, treba brať do úvahy časti alebo zlomky nejakej miery. Samotné slovo „zlomok“, ktoré vzniklo zo slovesa „rozdeliť“ - rozdeliť na časti a má arabské korene, vzniklo v ruskom jazyku v 8. storočí.
Zlomkové výrazy boli dlho považované za najťažšie odvetvie matematiky. V 17. storočí, keď sa objavili prvé učebnice matematiky, sa nazývali „lomené čísla“, čo bolo pre ľudí veľmi ťažké pochopiť.
Modernú formu jednoduchých zlomkových zvyškov, ktorých časti sú oddelené vodorovnou čiarou, prvýkrát presadil Fibonacci – Leonardo z Pisy. Jeho diela sú datované do roku 1202. Ale cieľom tohto článku je jednoducho a jasne vysvetliť čitateľovi, ako sa násobia zmiešané zlomky s rôznymi menovateľmi.
Násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Spočiatku to stojí za to určiť typy zlomkov:
- správne;
- nesprávne;
- zmiešané.
Ďalej si musíte pamätať, ako sa násobia zlomkové čísla s rovnakými menovateľmi. Samotné pravidlo tohto procesu nie je ťažké formulovať nezávisle: výsledkom násobenia jednoduchých zlomkov s rovnakými menovateľmi je zlomkový výraz, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov týchto zlomkov. . To znamená, že v skutočnosti je novým menovateľom druhá mocnina jedného z pôvodne existujúcich.
Pri násobení jednoduché zlomky s rôznymi menovateľmi pre dva alebo viac faktorov sa pravidlo nemení:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Jediný rozdiel je v tom, že vytvorené číslo pod zlomkovou čiarou bude súčinom rôznych čísel a prirodzene ho nemožno nazvať druhou mocninou jedného číselného výrazu.
Stojí za to zvážiť násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi pomocou príkladov:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Príklady používajú metódy na redukciu zlomkových výrazov. Čísla čitateľa môžete zmenšiť iba číslami menovateľa; susediace faktory nad alebo pod zlomkovou čiarou sa nedajú zmenšiť.
Spolu s jednoduchými zlomkami existuje aj koncept zmiešaných zlomkov. Zmiešané číslo pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti, to znamená, že je to súčet týchto čísel:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Ako funguje násobenie?
Na zváženie je uvedených niekoľko príkladov.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Príklad používa násobenie čísla číslom obyčajná zlomková časť, pravidlo pre túto akciu možno zapísať takto:
a* b/c = a*b /c.
V skutočnosti je takýto súčin súčtom rovnakých zlomkových zvyškov a počet členov označuje toto prirodzené číslo. Špeciálny prípad:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Existuje aj iné riešenie, ako vynásobiť číslo zlomkovým zvyškom. Stačí vydeliť menovateľa týmto číslom:
d* e/f = e/f: d.
Táto technika je užitočná, keď je menovateľ delený prirodzeným číslom bez zvyšku alebo, ako sa hovorí, celým číslom.
Preveďte zmiešané čísla na nesprávne zlomky a získajte produkt vyššie opísaným spôsobom:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Tento príklad zahŕňa spôsob reprezentácie zmiešanej frakcie ako nesprávnej frakcie a môže byť reprezentovaný aj ako všeobecný vzorec:
a bc = a*b+ c / c, kde menovateľ nového zlomku vznikne vynásobením celej časti menovateľom a pripočítaním k čitateľovi pôvodného zlomkového zvyšku a menovateľ zostáva rovnaký.
Tento proces funguje aj v opačnom smere. Ak chcete oddeliť celú časť a zlomkový zvyšok, musíte rozdeliť čitateľa nesprávneho zlomku jeho menovateľom pomocou „rohu“.
Násobenie nesprávnych zlomkov vyrobené všeobecne akceptovaným spôsobom. Pri písaní pod jednou zlomkovou čiarou musíte zlomky podľa potreby zmenšiť, aby ste pomocou tejto metódy znížili čísla a uľahčili výpočet výsledku.
Na internete je množstvo pomocníkov na riešenie aj zložitých matematických úloh v rôznych variáciách programov. Dostatočný počet takýchto služieb ponúka svoju pomoc pri výpočte násobenia zlomkov s rôznymi číslami v menovateľoch - takzvané online kalkulačky na výpočet zlomkov. Sú schopní nielen násobiť, ale aj vykonávať všetky ostatné jednoduché aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami. Práca s ním nie je náročná, vyplníte príslušné polia na webovej stránke, vyberiete znamienko matematickej operácie a kliknete na „vypočítať“. Program počíta automaticky.
Téma aritmetických operácií so zlomkami je aktuálna počas celého vzdelávania žiakov stredných a vysokých škôl. Na strednej škole už nepovažujú za najjednoduchší druh, ale celočíselné zlomkové výrazy, ale skôr získané znalosti pravidiel pre transformáciu a výpočty sa uplatňujú v pôvodnej podobe. Dobre zvládnuté základné znalosti dávajú úplnú istotu v úspešnom riešení najzložitejších problémov.
Na záver má zmysel citovať slová Leva Nikolajeviča Tolstého, ktorý napísal: „Človek je zlomok. Nie je v silách človeka zväčšiť svojho čitateľa – svoje zásluhy – ale každý môže znížiť svojho menovateľa – svoju mienku o sebe a týmto poklesom sa priblížiť k svojej dokonalosti.
Poznámka! Pred napísaním konečnej odpovede skontrolujte, či môžete skrátiť zlomok, ktorý ste dostali.
Odčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi, príklady:
,
,
Odčítanie správneho zlomku od jednotky.
Ak je potrebné odpočítať zlomok od jednotky, ktorá je vlastná, jednotka sa prevedie do tvaru nevlastného zlomku, jej menovateľ sa rovná menovateľovi odčítaného zlomku.
Príklad odčítania správneho zlomku od jednotky:
Menovateľ zlomku, ktorý sa má odpočítať = 7 , t.j. jedničku predstavíme ako nevlastný zlomok 7/7 a odčítame ju podľa pravidla na odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Odčítanie správneho zlomku od celého čísla.
Pravidlá pre odčítanie zlomkov - správne z celého čísla (prirodzené číslo):
- Dané zlomky, ktoré obsahujú celočíselnú časť, prevedieme na nesprávne. Získame normálne členy (nezáleží na tom, či majú rôznych menovateľov), ktoré vypočítame podľa vyššie uvedených pravidiel;
- Ďalej vypočítame rozdiel medzi zlomkami, ktoré sme dostali. V dôsledku toho takmer nájdeme odpoveď;
- Vykonáme spätnú transformáciu, to znamená, že sa zbavíme nesprávneho zlomku - vyberieme celú časť v zlomku.
Odčítajte správny zlomok od celého čísla: reprezentujte prirodzené číslo ako zmiešané číslo. Tie. Zoberieme jednotku v prirodzenom čísle a prevedieme ju do tvaru nesprávneho zlomku, pričom menovateľ je rovnaký ako menovateľ odčítaného zlomku.
Príklad odčítania zlomkov:
V príklade sme jednotku nahradili nesprávnym zlomkom 7/7 a namiesto 3 sme zapísali zmiešané číslo a zlomok od zlomkovej časti odčítali.
Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Alebo inak povedané, odčítanie rôznych zlomkov.
Pravidlo na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné najskôr tieto zlomky zredukovať na najnižší spoločný menovateľ (LCD) a až potom vykonať odčítanie ako pri zlomkoch s rovnakými menovateľmi.
Spoločným menovateľom viacerých zlomkov je LCM (najmenší spoločný násobok) prirodzené čísla, ktoré sú menovateľmi týchto zlomkov.
Pozor! Ak v konečnom zlomku majú čitateľ a menovateľ spoločné faktory, zlomok sa musí zmenšiť. Nevlastný zlomok je najlepšie reprezentovaný ako zmiešaný zlomok. Ponechanie výsledku odčítania bez zmenšenia zlomku tam, kde je to možné, je neúplné riešenie príkladu!
Postup pri odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.
- nájsť LCM pre všetkých menovateľov;
- vložte ďalšie faktory pre všetky zlomky;
- vynásobte všetky čitateľa dodatočným faktorom;
- Výsledné produkty zapíšeme do čitateľa, pričom pod všetky zlomky podpíšeme spoločného menovateľa;
- odčítajte čitateľov zlomkov, pričom pod rozdiel podpíšte spoločného menovateľa.
Rovnakým spôsobom sa sčítanie a odčítanie zlomkov vykonáva, ak sú v čitateli písmená.
Odčítanie zlomkov, príklady:
Odčítanie zmiešaných zlomkov.
O odčítanie zmiešaných zlomkov (čísel) oddelene sa celočíselná časť odčíta od celočíselnej časti a zlomková časť sa odčíta od zlomkovej časti.
Prvá možnosť odčítania zmiešaných zlomkov.
Ak zlomkové časti rovnaký menovatele a čitateľa zlomkovej časti podbodu (odčítame ho od neho) ≥ čitateľ zlomkovej časti podbodu (odčítame ho).
Napríklad:
Druhá možnosť odčítania zmiešaných zlomkov.
Keď zlomkové časti rôzne menovateľov. Na začiatok privedieme zlomkové časti k spoločnému menovateľovi a potom odpočítame celú časť od celej časti a zlomkovú časť od zlomkovej časti.
Napríklad:
Tretia možnosť odčítania zmiešaných zlomkov.
Zlomková časť minuendu je menšia ako zlomková časť subtrahendu.
Príklad:
Pretože Zlomkové časti majú rôznych menovateľov, čo znamená, ako pri druhej možnosti, najprv privedieme obyčajné zlomky k spoločnému menovateľovi.
Čitateľ zlomkovej časti minuendu je menší ako čitateľ zlomkovej časti čiastkového bodu.3 < 14. To znamená, že vezmeme jednotku z celej časti a zredukujeme túto jednotku do tvaru nesprávneho zlomku s rovnakým menovateľom a čitateľom. = 18.
Do čitateľa na pravej strane napíšeme súčet čitateľov, potom otvoríme zátvorky v čitateli na pravej strane, to znamená, že všetko vynásobíme a dáme podobné. Zátvorky v menovateli neotvárame. Je zvykom ponechať produkt v menovateľoch. Dostaneme:
Táto lekcia bude zahŕňať sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s rôznymi menovateľmi. Na to je potrebné zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Zároveň už vieme, ako zredukovať algebraické zlomky na spoločného menovateľa. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je jednou z najdôležitejších a najťažších tém v kurze 8. ročníka. Okrem toho sa táto téma objaví v mnohých témach v kurze algebry, ktorý budete v budúcnosti študovať. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi a tiež rozoberieme niekoľko typických príkladov.
Pozrime sa na najjednoduchší príklad obyčajných zlomkov.
Príklad 1 Pridajte zlomky: .
Riešenie:
Pripomeňme si pravidlo sčítania zlomkov. Na začiatok treba zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Spoločným menovateľom obyčajných zlomkov je najmenší spoločný násobok(LCM) pôvodných menovateľov.
Definícia
Najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslami aj .
Ak chcete nájsť LCM, musíte rozdeliť menovateľov do hlavných faktorov a potom vybrať všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté v expanzii oboch menovateľov.
; . Potom LCM čísel musí obsahovať dve dvojky a dve trojky: .
Po nájdení spoločného menovateľa musíte nájsť ďalší faktor pre každý zlomok (v skutočnosti vydeľte spoločného menovateľa menovateľom zodpovedajúceho zlomku).
Každý zlomok sa potom vynásobí výsledným dodatočným faktorom. Dostaneme zlomky s rovnakými menovateľmi, ktoré sme sa naučili sčítať a odčítať v predchádzajúcich lekciách.
Dostaneme: 
.
odpoveď:.
Uvažujme teraz o sčítaní algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv sa pozrime na zlomky, ktorých menovateľmi sú čísla.
Príklad 2 Pridajte zlomky: .
Riešenie:
Algoritmus riešenia je úplne podobný predchádzajúcemu príkladu. Je ľahké nájsť spoločného menovateľa týchto zlomkov: a ďalšie faktory pre každý z nich.
.
odpoveď:.
Takže poďme formulovať algoritmus na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi:
1. Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa zlomkov.
2. Nájdite ďalšie faktory pre každý zo zlomkov (vydelením spoločného menovateľa menovateľom daného zlomku).
3. Vynásobte čitateľov zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.
4. Sčítajte alebo odčítajte zlomky pomocou pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi.
Uvažujme teraz o príklade so zlomkami, ktorých menovateľ obsahuje písmenové výrazy.
Príklad 3 Pridajte zlomky: .
Riešenie:
Keďže výrazy písmen v oboch menovateľoch sú rovnaké, mali by ste pre čísla nájsť spoločného menovateľa. Konečný spoločný menovateľ bude vyzerať takto: . Riešenie tohto príkladu teda vyzerá takto:.
odpoveď:.
Príklad 4. Odčítajte zlomky: .
Riešenie:
Ak nemôžete „podvádzať“ pri výbere spoločného menovateľa (nemôžete ho faktorizovať ani používať skrátené vzorce na násobenie), musíte ako spoločný menovateľ brať súčin menovateľov oboch zlomkov.
odpoveď:.
Vo všeobecnosti je pri riešení takýchto príkladov najťažšou úlohou nájsť spoločného menovateľa.
Pozrime sa na zložitejší príklad.
Príklad 5. Zjednodušiť: .
Riešenie:
Pri hľadaní spoločného menovateľa sa musíte najskôr pokúsiť rozdeliť menovateľov pôvodných zlomkov (pre zjednodušenie spoločného menovateľa).
V tomto konkrétnom prípade:
Potom je ľahké určiť spoločného menovateľa: 
.
Zisťujeme ďalšie faktory a riešime tento príklad:
odpoveď:.
Teraz stanovme pravidlá pre sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Príklad 6. Zjednodušiť: .
Riešenie:
odpoveď:.
Príklad 7. Zjednodušiť: .
Riešenie:
.
odpoveď:.
Uvažujme teraz o príklade, v ktorom sa nesčítajú dva, ale tri zlomky (napokon, pravidlá sčítania a odčítania pre väčší počet zlomkov zostávajú rovnaké).
Príklad 8. Zjednodušiť: .
§ 87. Sčítanie zlomkov.
Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je činnosť spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.
Postupne zvážime tri prípady:
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad: 1/5 + 2/5.
Zoberme si segment AB (obr. 17), vezmime ho ako jeden a rozdeľme ho na 5 rovnakých častí, potom časť AC tohto segmentu sa bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.
Z výkresu je zrejmé, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Ak vezmeme do úvahy tieto členy a výsledný súčet, vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.
Z toho dostaneme nasledujúce pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnaký menovateľ.
Pozrime sa na príklad:
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Pridajme zlomky: 3 / 4 + 3 / 8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:
Medzičlánok 6/8 + 3/8 sa nepodarilo napísať; napísali sme to sem kvôli prehľadnosti.
Ak teda chcete pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najprv zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa, pridať ich čitateľov a označiť spoločného menovateľa.
Zoberme si príklad (nad príslušné zlomky napíšeme ďalšie faktory):
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
Sčítajme čísla: 2 3/8 + 3 5/6.
Najprv prinesme zlomkové časti našich čísel do spoločného menovateľa a prepíšme ich znova:
Teraz postupne pridávame celé číslo a zlomkové časti:
§ 88. Odčítanie zlomkov.
Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pomocou ktorej sa pri súčte dvoch pojmov a jedného z nich nájde ďalší. Uvažujme tri prípady za sebou:
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Pozrime sa na príklad:
13 / 15 - 4 / 15
Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude predstavovať 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED rovný 4/15 AB.
Musíme odpočítať zlomok 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:
Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov, ale menovateľ zostal rovnaký.
Preto, aby ste odčítali zlomky s podobnými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa podradníka od čitateľa minuendu a ponechať rovnaký menovateľ.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Príklad. 3/4 - 5/8
Najprv zredukujme tieto zlomky na najnižšieho spoločného menovateľa:
Stredná 6 / 8 - 5 / 8 je tu napísaná kvôli prehľadnosti, ale môže byť neskôr preskočená.
Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najprv zmenšiť na najnižšieho spoločného menovateľa, potom odčítať čitateľa mínusu od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.
Pozrime sa na príklad:
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.
Zredukujme zlomkové časti minuendu a subtrahendu na najnižšieho spoločného menovateľa:
Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď je zlomková časť subtrahendu väčšia ako zlomková časť minuendu. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celej časti menovky, rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať ju k zlomkovej časti menovky. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:
§ 89. Násobenie zlomkov.
Pri štúdiu násobenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percenta daného čísla. Uvažujme ich postupne.
1. Násobenie zlomku celým číslom.
Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobiť zlomok (násobiteľ) celým číslom (faktorom) znamená vytvoriť súčet identických členov, v ktorých sa každý člen rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.
To znamená, že ak potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:
Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. teda
Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko je jednotiek v celom čísle. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa
alebo znížením jeho menovateľa 
, potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, vynásobíte čitateľa týmto celým číslom a menovateľa ponecháte rovnaký, alebo ak je to možné, vydelíte menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.
Pri násobení sú možné skratky, napríklad:
2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito problémami a inými je v tom, že udávajú počet niektorých objektov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Aby sme uľahčili pochopenie, najprv uvedieme príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.
Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?
Úloha 2. Vlak musí prejsť vzdialenosť medzi mestami A a B rovnajúcu sa 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?
Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko murovaných domov je celkovo?
Toto sú niektoré z mnohých problémov, s ktorými sa stretávame pri hľadaní časti daného čísla. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.
Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; To znamená, že ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:
Riešenie problému 2. Pointa problému je v tom, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Najprv vypočítame 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:
300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).
Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte zdvojnásobiť výsledný kvocient, t. j. vynásobiť 2:
100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).
Riešenie problému 3. Tu musíte určiť počet tehlových domov, ktoré tvoria 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,
400 : 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).
Na výpočet troch štvrtín zo 400 je potrebné výsledný kvocient strojnásobiť, t. j. vynásobiť 3:
100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).
Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete zistiť hodnotu zlomku z daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
Skôr (§ 26) bolo ustanovené, že násobením celých čísel treba rozumieť sčítanie rovnakých členov (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tomto odseku (bod 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.
V oboch prípadoch násobenie pozostávalo z nájdenia súčtu identických členov.
Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia sa na tento prípad nevzťahuje. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.
Z tohto dôvodu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t. j. inými slovami odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.
Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobenie celého čísla (multiplikandu) zlomkom (multiplikand) znamená nájdenie tohto zlomku multiplikandu.
Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.
Teraz však vyvstáva zaujímavá a dôležitá otázka: prečo sa také zdanlivo odlišné operácie, ako je hľadanie súčtu rovnakých čísel a hľadanie zlomku čísla, nazývajú v aritmetike rovnakým slovom „násobenie“?
Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpovede na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia rovnakou akciou.
Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?
Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).
Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené zlomkom: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?“
Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).
Čísla v ňom môžete zmeniť ešte niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad vezmite 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.
Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.
Ako vynásobíte celé číslo zlomkom?
Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:
Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdime 1/4 z 50 a potom 3/4.
1/4 z 50 je 50/4;
3/4 z čísla 50 sú .
Preto.
Uvažujme o ďalšom príklade: 12 5 / 8 =?
1/8 z čísla 12 je 12/8,
5/8 z čísla 12 je .
teda
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa tohto zlomku podpísať ako menovateľa.
Napíšme toto pravidlo pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38
Je dôležité si uvedomiť, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) zníženia, Napríklad:
4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, t.j. pri násobení zlomku zlomkom musíte nájsť zlomok, ktorý je vo faktore z prvého zlomku (násobilku).
Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.
Ako vynásobíte zlomok zlomkom?
Zoberme si príklad: 3/4 vynásobené 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Najprv nájdime 1/7 z 3/4 a potom 5/7
1/7 z počtu 3/4 bude vyjadrená takto:
5/7 čísla 3/4 budú vyjadrené takto:
teda
Ďalší príklad: 5/8 vynásobené 4/9.
1/9 z 5/8 je ,
4/9 z počtu 5/8 je .
teda 
Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.
Toto pravidlo možno napísať vo všeobecnej forme takto:
Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Pozrime sa na príklady:
5. Násobenie zmiešaných čísel. Keďže zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v prípadoch, keď sú násobiteľ alebo násobiteľ alebo oba faktory vyjadrené ako zmiešané čísla, sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobme napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Premeňme každý z nich na nesprávny zlomok a výsledné zlomky potom vynásobme podľa pravidla pre násobenie zlomku zlomkom:
Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom ich vynásobiť podľa pravidla pre násobenie zlomkov zlomkami.
Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, potom sa násobenie môže vykonať na základe distribučného zákona takto:
6. Pojem úroku. Pri riešení úloh a vykonávaní rôznych praktických výpočtov používame všetky druhy zlomkov. Ale treba mať na pamäti, že mnohé veličiny im umožňujú nie hocijaké, ale prirodzené delenie. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to kopejka, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si vziať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok, alebo desaťkopejka. Môžete si vziať štvrtinu rubľa, t. j. 25 kopejok, pol rubľa, t. j. 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Ale prakticky neberú, napríklad 2/7 rubľa, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.
Jednotka hmotnosti, teda kilogram, umožňuje predovšetkým desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g. A také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1/13 nie sú bežné.
Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desatinné delenie.
Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Dlhoročné skúsenosti ukázali, že takýmto dobre odôvodneným rozdelením je „stoté“ rozdelenie. Uvažujme o niekoľkých príkladoch týkajúcich sa najrozmanitejších oblastí ľudskej praxe.
1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.
Príklad. Predchádzajúca cena knihy bola 10 rubľov. Znížila sa o 1 rubeľ. 20 kopejok
2. Sporiteľne vyplácajú vkladateľom 2/100 zo sumy uloženej na sporenie počas roka.
Príklad. Do pokladne sa vloží 500 rubľov, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.
PRÍKLAD Na škole bolo len 1200 žiakov, z toho 60 maturovalo.
Stotina čísla sa nazýva percento.
Slovo „percento“ je prevzaté z latinčiny a jeho koreň „cent“ znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohto výrazu vyplýva zo skutočnosti, že pôvodne v starom Ríme sa úrok nazýval peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každých sto“. Slovo „cent“ sa počúva v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (povedzme centimeter).
Napríklad namiesto toho, aby sme povedali, že za posledný mesiac závod vyrobil 1/100 všetkých výrobkov, ktoré vyrobil, bolo chybných, povieme toto: za posledný mesiac závod vyrobil jedno percento chýb. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.
Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:
1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.
2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy uloženej na sporenie.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent zo všetkých žiakov školy.
Na skrátenie písmena je zvykom písať namiesto slova „percento“ symbol %.
Musíte si však uvedomiť, že pri výpočtoch sa znak % zvyčajne nezapisuje, ale môže byť zapísaný v probléme a v konečnom výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s týmto symbolom napísať zlomok s menovateľom 100.
Musíte byť schopní nahradiť celé číslo označenou ikonou zlomkom s menovateľom 100:
Naopak, musíte si zvyknúť písať celé číslo s uvedeným symbolom namiesto zlomku s menovateľom 100:
7. Nájdenie percenta daného čísla.
Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového palivového dreva?
Zmyslom tohto problému je, že brezové palivové drevo tvorilo len časť palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená v zlomku 30/100. To znamená, že máme za úlohu nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30/100 (problémy s nájdením zlomku čísla sa riešia vynásobením čísla zlomkom.).
To znamená, že 30 % z 200 sa rovná 60.
Zlomok 30/100, ktorý sa vyskytuje v tomto probléme, môže byť zmenšený o 10. Toto zmenšenie by bolo možné urobiť od samého začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.
Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Deti 11-ročné tvorili 21 %, deti 12-ročné tvorili 61 % a napokon 13-ročné deti tvorili 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?
V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, t.j. postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.
To znamená, že tu budete musieť trikrát nájsť zlomok čísla. Poďme na to:
1) Koľko tam bolo 11-ročných detí?
2) Koľko tam bolo 12-ročných detí?
3) Koľko tam bolo 13-ročných detí?
Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:
63 + 183 + 54 = 300
Treba tiež poznamenať, že súčet percent uvedených v probléme je 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To naznačuje, že celkový počet detí v tábore bol braný ako 100 %.
3 a d a h a 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na potraviny, 6 % na byty a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v probléme?
Na vyriešenie tohto problému musíte 5-krát nájsť zlomok 1 200. Poďme na to.
1) Koľko peňazí sa minulo na jedlo? Problém hovorí, že tento výdavok je 65 % z celkového zárobku, teda 65/100 z čísla 1 200. Urobme výpočet:
2) Koľko peňazí ste zaplatili za byt s kúrením? Uvažovaním podobne ako v predchádzajúcom dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:
3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?
4) Koľko peňazí sa minulo na kultúrne potreby?
5) Koľko peňazí pracovník ušetril?
Pre kontrolu je užitočné sčítať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percentuálnych čísel uvedených vo vyhlásení o probléme.
Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto problémy sa týkali rôznych vecí (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky na robotníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, lebo vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent daných čísel.
§ 90. Delenie zlomkov.
Pri štúdiu delenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla z jeho daného zlomku.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
Uvažujme ich postupne.
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
Ako bolo naznačené v oddelení celých čísel, delenie je dej, ktorý spočíva v tom, že pri súčine dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ) sa nájde ďalší faktor.
Pozreli sme sa na delenie celého čísla celým číslom v časti o celých číslach. Stretli sme sa tam s dvoma prípadmi delenia: delenie bez zvyšku, alebo „úplne“ (150 : 10 = 15) a delenie so zvyškom (100 : 9 = 11 a 1 zvyšok). Môžeme teda povedať, že v obore celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa celým číslom. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).
Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin číslom 12 by sa rovnal 7. Takéto číslo je zlomok 7 / 12, pretože 7 / 12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.
Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ sa rovná deliteľovi.
2. Delenie zlomku celým číslom.
Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa vyššie uvedenej definície delenia tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); je potrebné nájsť druhý faktor, ktorý by po vynásobení 3 dostal daný súčin 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá pred nami bola, bolo zmenšiť zlomok 6/7 3-krát.
Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď znížením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:
V tomto prípade je čitateľ 6 deliteľný 3, takže čitateľ by sa mal zmenšiť 3-krát.
Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:
Na základe toho je možné vytvoriť pravidlo: Ak chcete zlomok vydeliť celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom.(Ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.
3. Delenie celého čísla zlomkom.
Nech je potrebné deliť 5 1/2, t.j. nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Toto číslo musí byť samozrejme väčšie ako 5, pretože 1/2 je vlastný zlomok a pri násobení čísla musí byť súčin správneho zlomku menší ako súčin, ktorý sa násobí. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , čo znamená x 1/2 = 5.
Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 by dalo 5. Keďže vynásobenie určitého čísla 1/2 znamená nájsť 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznámeho čísla X sa rovná 5 a celé číslo X dvakrát toľko, t.j. 5 2 = 10.
Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10
Skontrolujme to: 
Pozrime sa na ďalší príklad. Povedzme, že chcete deliť 6 2/3. Skúsme najprv nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).
Obr.19
Nakreslíme úsečku AB rovnú 6 jednotkám a každú jednotku rozdelíme na 3 rovnaké časti. V každej jednotke sú tri tretiny (3/3) celého segmentu AB 6-krát väčšie, t.j. napríklad 18/3. Pomocou malých zátvoriek spojíme 18 výsledných segmentov po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v 6 jednotkách 9-krát, alebo, inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. teda
Ako získať tento výsledok bez výkresu iba pomocou výpočtov? Uvažujme takto: potrebujeme vydeliť 6 2/3, t.j. musíme odpovedať na otázku, koľkokrát sú 2/3 obsiahnuté v 6. Najprv zistime: koľkokrát je 1/3 obsiahnutá v 6? V celej jednotke sú 3 tretiny a v 6 jednotkách 6-krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. To znamená, že 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b jednotkách nie 18-krát, ale o polovicu menej, t.j. 18: 2 = 9 Preto pri delení 6 2/3 sme urobili nasledovné:
Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.
Napíšme pravidlo pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné porovnať zistené pravidlo s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Upozorňujeme, že tam bol získaný rovnaký vzorec.
Pri delení sú možné skratky, napr.
4. Delenie zlomku zlomkom.
Povedzme, že potrebujeme vydeliť 3/4 3/8. Čo bude znamenať číslo, ktoré je výsledkom delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).
Zoberme si segment AB, vezmime ho ako jeden, rozdeľme ho na 4 rovnaké časti a označme 3 takéto časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch pôvodných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojme 3 takéto segmenty oblúkmi, potom každý zo segmentov AD a DC bude rovný 3/8 segmentu AB. Nákres ukazuje, že segment rovný 3/8 je obsiahnutý v segmente, ktorý sa rovná 3/4 presne 2 krát; To znamená, že výsledok delenia možno zapísať takto:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Pozrime sa na ďalší príklad. Povedzme, že potrebujeme vydeliť 15/16 3/32:
Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznáme číslo X sú 15/16
1/32 neznámeho čísla X je ,
32/32 čísel X makeup .
teda
Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa, a druhý menovateľ.
Napíšme pravidlo pomocou písmen:
Pri delení sú možné skratky, napr.
5. Delenie zmiešaných čísel.
Pri delení zmiešaných čísel ich treba najskôr previesť na nesprávne zlomky a následne výsledné zlomky rozdeliť podľa pravidiel pre delenie zlomkov. Pozrime sa na príklad:
Poďme previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Teraz sa rozdeľme:
Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť pomocou pravidla na delenie zlomkov.
6. Nájdenie čísla z jeho daného zlomku.
Medzi rôznymi problémami so zlomkami sú niekedy také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a musíte toto číslo nájsť. Tento typ problému bude opakom problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu bol daný zlomok čísla a bolo potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa pustíme do riešenia tohto typu problému.
Úloha 1. Sklenári v prvý deň zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?
Riešenie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.
Dom mal 150 okien.
Úloha 2. Predajňa predala 1 500 kg múky, čo sú 3/8 celkových zásob múky, ktoré mala predajňa. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?
Riešenie. Z podmienok problému je zrejmé, že 1 500 kg predanej múky tvorí 3/8 celkových zásob; To znamená, že 1/8 tejto rezervy bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:
1 500 : 3 = 500 (to je 1/8 rezervy).
Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. teda
500 8 = 4 000 (kg).
Počiatočná zásoba múky v predajni bola 4 000 kg.
Z posúdenia tohto problému možno odvodiť nasledujúce pravidlo.
Na nájdenie čísla z danej hodnoty jeho zlomku stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.
Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je obzvlášť zreteľne vidieť z posledného, sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).
Keď sme sa však naučili deliť zlomky, vyššie uvedené problémy možno vyriešiť jednou akciou, a to: delením zlomkom.
Napríklad posledná úloha môže byť vyriešená jednou akciou takto:
V budúcnosti vyriešime problémy s nájdením čísla z jeho zlomku jednou akciou - delením.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
V týchto problémoch budete musieť nájsť číslo, ktoré pozná niekoľko percent tohto čísla.
Úloha 1. Začiatkom tohto roka som dostal od sporiteľne 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne poskytujú vkladateľom výnos 2 % ročne.)
Problém je v tom, že som vložil určitú sumu peňazí do sporiteľne a zostal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?
Keď teda poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce problémy sa riešia delením:
To znamená, že v sporiteľni bolo uložených 3 000 rubľov.
Úloha 2. Rybári za dva týždne splnili mesačný plán na 64 %, pričom vylovili 512 ton rýb. Aký mali plán?
Z podmienok problému je známe, že rybári časť plánu splnili. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Nevieme, koľko ton rýb treba pripraviť podľa plánu. Nájdenie tohto čísla bude riešením problému.
Takéto problémy sa riešia rozdelením:
To znamená, že podľa plánu treba pripraviť 800 ton rýb.
Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko z cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30 % celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?
Z problémových podmienok je zrejmé, že 30% trasy z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:
§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.
Vezmime zlomok 2/3 a namiesto menovateľa nahradíme čitateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme prevrátenú hodnotu tohto zlomku.
Ak chcete získať zlomok, ktorý je prevrátený k danému zlomku, musíte namiesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a namiesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať prevrátenú hodnotu ľubovoľného zlomku. Napríklad:
3/4, rub 4/3; 5/6, obrátene 6/5
Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.
Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Hľadaním prevráteného zlomku daného zlomku sme dostali celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:
1/3, rub 3; 1/5, obrátene 5
Keďže pri hľadaní reciprokých zlomkov sme sa stretli aj s celými číslami, v ďalšom budeme hovoriť nie o reciprokých zlomkoch, ale o reciprokých číslach.
Poďme zistiť, ako napísať inverznú hodnotu k celému číslu. V prípade zlomkov sa to dá vyriešiť jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať prevrátenú hodnotu celého čísla, pretože každé celé číslo môže mať menovateľ 1. To znamená, že inverzná hodnota k 7 bude 1/7, pretože 7 = 7/1; pre číslo 10 bude inverzná hodnota 1/10, pretože 10 = 10/1
Táto myšlienka môže byť vyjadrená rôzne: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jednotky daným číslom. Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. V skutočnosti, ak potrebujeme napísať prevrátenú časť zlomku 5/9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť ju 5/9, t.j.
Teraz poukážeme na jednu vec nehnuteľnosť recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin recipročných čísel sa rovná jednej. Naozaj:
Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné čísla nasledujúcim spôsobom. Povedzme, že potrebujeme nájsť prevrátenú hodnotu 8.
Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdite iné číslo, ktoré je prevrátené k 7/12 a označme ho písmenom X , potom 7.12 X = 1, teda X = 1: 7 / 12 alebo X = 12 / 7 .
Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.
Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:
Venujte zvláštnu pozornosť výrazu a porovnajte ho s daným: .
Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch sa stane to isté. Preto môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením deliteľa prevrátenou hodnotou deliteľa.
Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.
Uvažujme zlomok $\frac63$. Jeho hodnota je 2, pretože $\frac63 =6:3 = 2$. Čo sa stane, ak sa čitateľ a menovateľ vynásobia 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Je zrejmé, že hodnota zlomku sa nezmenila, takže $\frac(12)(6)$ ako y sa tiež rovná 2. Môžete násobiť čitateľa a menovateľa o 3 a získate $\frac(18)(9)$, alebo o 27 a získate $\frac(162)(81)$, alebo o 101 a získate $\frac(606)(303)$. V každom z týchto prípadov je hodnota zlomku, ktorý dostaneme delením čitateľa menovateľom, 2. To znamená, že sa nezmenila.
Rovnaký vzor je pozorovaný v prípade iných frakcií. Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(120)(60)$ (rovná sa 2) vydelí 2 (výsledok je $\frac(60)(30)$) alebo 3 (výsledok je $\frac(40)(20) $), alebo o 4 (výsledok $\frac(30)(15)$) atď., potom v každom prípade zostane hodnota zlomku nezmenená a rovná sa 2.
Toto pravidlo platí aj pre zlomky, ktoré sa nerovnajú celé číslo.
Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(1)(3)$ vynásobí 2, dostaneme $\frac(2)(6)$, teda hodnota zlomku sa nezmenila. A v skutočnosti, ak koláč rozdelíte na 3 časti a jednu z nich odoberiete, alebo ho rozdelíte na 6 častí a odoberiete 2 časti, dostanete v oboch prípadoch rovnaké množstvo koláča. Preto sú čísla $\frac(1)(3)$ a $\frac(2)(6)$ totožné. Sformulujme všeobecné pravidlo.
Čitateľ a menovateľ ľubovoľného zlomku možno násobiť alebo deliť rovnakým číslom bez zmeny hodnoty zlomku.
Toto pravidlo sa ukazuje ako veľmi užitočné. Napríklad umožňuje v niektorých prípadoch, ale nie vždy, vyhnúť sa operáciám s veľkým počtom.
Napríklad môžeme vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(126)(189)$ číslom 63 a dostaneme zlomok $\frac(2)(3)$, s ktorým sa počíta oveľa jednoduchšie. Ešte jeden príklad. Čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(155)(31)$ môžeme vydeliť 31 a dostaneme zlomok $\frac(5)(1)$ alebo 5, keďže 5:1=5.
V tomto príklade sme sa prvýkrát stretli zlomok, ktorého menovateľ je 1. Takéto zlomky zohrávajú dôležitú úlohu vo výpočtoch. Malo by sa pamätať na to, že akékoľvek číslo možno deliť 1 a jeho hodnota sa nezmení. To znamená, že $\frac(273)(1)$ sa rovná 273; $\frac(509993)(1)$ sa rovná 509993 a tak ďalej. Preto nemusíme deliť čísla , pretože každé celé číslo môže byť reprezentované ako zlomok s menovateľom 1.
S takýmito zlomkami, ktorých menovateľ je 1, môžete vykonávať rovnaké aritmetické operácie ako so všetkými ostatnými zlomkami: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Možno sa pýtate, na čo je dobré, ak celé číslo reprezentujeme ako zlomok s jednotkou pod čiarou, keďže je pohodlnejšie pracovať s celým číslom. Ide však o to, že reprezentácia celého čísla ako zlomku nám dáva možnosť vykonávať rôzne operácie efektívnejšie, keď sa zaoberáme celými číslami aj zlomkami súčasne. Napríklad učiť sa pridať zlomky s rôznymi menovateľmi. Predpokladajme, že potrebujeme pridať $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(5)$.
Vieme, že môžeme sčítať iba zlomky, ktorých menovatelia sa rovnajú. To znamená, že sa musíme naučiť zmenšovať zlomky do tvaru, v ktorom sú ich menovatelia rovnakí. V tomto prípade budeme opäť potrebovať skutočnosť, že môžeme čitateľa a menovateľa zlomku vynásobiť rovnakým číslom bez toho, aby sme zmenili jeho hodnotu.
Najprv vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(1)(3)$ 5. Dostaneme $\frac(5)(15)$, hodnota zlomku sa nezmenila. Potom vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(1)(5)$ 3. Dostaneme $\frac(3)(15)$, opäť sa hodnota zlomku nezmenila. Preto $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Teraz sa pokúsime použiť tento systém na sčítanie čísel obsahujúcich celé číslo aj zlomkové časti.
Musíme pridať $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Najprv preveďme všetky pojmy na zlomky a získame: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Teraz musíme priviesť všetky zlomky k spoločnému menovateľovi, preto vynásobíme čitateľa a menovateľa prvého zlomku 12, druhého 4 a tretieho 3. Výsledkom je $\frac(36 )(12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, čo sa rovná $\frac(55)(12)$. Ak sa chcete zbaviť nesprávny zlomok, možno ho premeniť na číslo pozostávajúce z celého čísla a zlomku: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ alebo $4\frac(7 ) (12) $.
Všetky pravidlá, ktoré to umožňujú operácie so zlomkami, ktoré sme práve študovali, platia aj v prípade záporných čísel. Takže -1: 3 možno zapísať ako $\frac(-1)(3)$ a 1: (-3) ako $\frac(1)(-3)$.
Keďže delenie záporného čísla kladným číslom aj delenie kladného čísla záporným výsledkom sú záporné čísla, v oboch prípadoch bude odpoveď záporné číslo. Teda
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ alebo $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Znamienko mínus, ak je napísané týmto spôsobom, sa vzťahuje na celý zlomok a nie samostatne na čitateľa alebo menovateľa.
Na druhej strane, (-1) : (-3) možno zapísať ako $\frac(-1)(-3)$, a keďže delenie záporného čísla záporným číslom dáva kladné číslo, potom $\frac (-1 )(-3)$ možno zapísať ako $+\frac(1)(3)$.
Sčítanie a odčítanie negatívnych zlomkov sa vykonáva podľa rovnakej schémy ako sčítanie a odčítanie pozitívnych zlomkov. Napríklad, čo je $ 1-1\frac13$? Predstavme obe čísla ako zlomky a získajme $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Prenesme zlomky do spoločného menovateľa a dostaneme $\frac(1 \krát 3)(1 \krát 3)-\frac(4)(3)$, teda $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ alebo $-\frac(1)(3)$.
