Súradnice priesečníka funkčných grafov. Priesečník dvoch čiar

Na vyriešenie geometrickej úlohy súradnicovou metódou je potrebný priesečník, ktorého súradnice sú použité pri riešení. Nastane situácia, keď potrebujete hľadať súradnice priesečníka dvoch čiar v rovine alebo určiť súradnice tých istých čiar v priestore. Tento článok sa zaoberá prípadmi hľadania súradníc bodov, kde sa dané čiary pretínajú.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Je potrebné definovať priesečníky dvoch priamok.

Časť o vzájomnej polohe čiar v rovine ukazuje, že sa môžu zhodovať, byť rovnobežné, pretínať sa v jednom spoločnom bode alebo sa môžu pretínať. Dve čiary v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.

Definícia priesečníka čiar znie takto:

Definícia 1

Bod, v ktorom sa dve priamky pretínajú, sa nazýva ich priesečník. Inými slovami, bod pretínajúcich sa čiar je priesečník.

Pozrime sa na obrázok nižšie.

Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch čiar je potrebné zvážiť nižšie uvedený príklad.

Ak má rovina súradnicový systém O x y, potom sú určené dve priamky a a b. Čiara a zodpovedá všeobecnej rovnici tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, pre čiaru b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom M 0 (x 0 , y 0) je určitý bod roviny, je potrebné určiť, či bod M 0 bude priesečníkom týchto priamok.

Na vyriešenie problému je potrebné dodržať definíciu. Potom sa priamky musia pretínať v bode, ktorého súradnice sú riešením daných rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. To znamená, že súradnice priesečníka sú dosadené do všetkých daných rovníc. Ak po substitúcii dajú správnu identitu, potom sa za ich priesečník považuje M 0 (x 0 , y 0).

Príklad 1

Dané dve pretínajúce sa čiary 5 x - 2 y - 16 = 0 a 2 x - 5 y - 19 = 0. Bude bod M 0 so súradnicami (2, - 3) priesečníkom.

Riešenie

Aby bol priesečník priamok platný, je potrebné, aby súradnice bodu M 0 spĺňali rovnice priamok. Dá sa to skontrolovať ich nahradením. Chápeme to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obe rovnosti sú pravdivé, čo znamená, že M 0 (2, - 3) je priesečníkom daných čiar.

Znázornime toto riešenie na súradnicovej čiare na obrázku nižšie.

odpoveď: daný bod so súradnicami (2, - 3) bude priesečníkom daných čiar.

Príklad 2

Budú sa priamky 5 x + 3 y - 1 = 0 a 7 x - 2 y + 11 = 0 pretínať v bode M 0 (2, - 3)?

Riešenie

Ak chcete problém vyriešiť, musíte do všetkých rovníc nahradiť súradnice bodu. Chápeme to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druhá rovnosť nie je pravdivá, to znamená, že daný bod nepatrí do priamky 7 x - 2 y + 11 = 0. Z toho máme, že bod M 0 nie je priesečníkom priamok.

Nákres jasne ukazuje, že M 0 nie je priesečník čiar. Majú spoločný bod so súradnicami (- 1, 2).

odpoveď: bod so súradnicami (2, - 3) nie je priesečníkom daných čiar.

Pristúpime k hľadaniu súradníc priesečníkov dvoch priamok pomocou daných rovníc v rovine.

Dve pretínajúce sa čiary a a b sú špecifikované rovnicami v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, ktoré sa nachádzajú na O x y. Pri označení priesečníka M 0 zistíme, že by sme mali pokračovať v hľadaní súradníc pomocou rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Z definície je zrejmé, že M 0 je spoločný priesečník priamok. V tomto prípade musia jeho súradnice spĺňať rovnice A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Inými slovami, toto je riešenie výslednej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

To znamená, že na nájdenie súradníc priesečníka je potrebné pridať všetky rovnice do systému a vyriešiť ho.

Príklad 3

Dané dve priamky x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 v rovine. je potrebné nájsť ich priesečník.

Riešenie

Údaje o podmienkach rovnice sa musia zhromaždiť do systému, potom získame x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Ak to chcete vyriešiť, vyriešte prvú rovnicu pre x a dosaďte výraz do druhej:

x - 9 r + 14 = 0 5 x - 2 r - 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 5 x - 2 r. - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r. - 14 5 9 r. - 14 - 2 r. 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 43 r - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r - 14 r = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 r = 2 ⇔ x = 4 r = 2

Výsledné čísla sú súradnice, ktoré bolo potrebné nájsť.

odpoveď: M 0 (4, 2) je priesečník priamok x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0.

Hľadanie súradníc vedie k riešeniu systému lineárnych rovníc. Ak je podmienkou daný iný typ rovnice, potom by sa mala zredukovať na normálnu formu.

Príklad 4

Určte súradnice priesečníkov priamok x - 5 = y - 4 - 3 a x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Riešenie

Najprv musíte uviesť rovnice do všeobecného tvaru. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R sa transformuje takto:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Potom vezmeme rovnicu kanonického tvaru x - 5 = y - 4 - 3 a transformujeme ju. Chápeme to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 r - 4 ⇔ 3 x - 5 r + 20 = 0

Odtiaľ máme, že súradnice sú priesečníkom

x - 9 r + 14 = 0 3 x - 5 r + 20 = 0 ⇔ x - 9 r = - 14 3 x - 5 r = - 20

Na nájdenie súradníc použijeme Cramerovu metódu:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1

odpoveď: M° (- 5, 1).

Existuje aj spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka čiar umiestnených v rovine. Je použiteľné, keď je jedna z priamok daná parametrickými rovnicami v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Potom namiesto hodnoty x dosadíme x = x 1 + a x · λ a y = y 1 + a y · λ, kde dostaneme λ = λ 0, čo zodpovedá priesečníku so súradnicami x 1 + a x · λ 0 y1 + ay · λ0.

Príklad 5

Určte súradnice priesečníka priamky x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3.

Riešenie

Je potrebné vykonať substitúciu v x - 5 = y - 4 - 3 výrazom x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, potom dostaneme:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Pri riešení zistíme, že λ = -1. Z toho vyplýva, že medzi priamkami x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 je priesečník. Na výpočet súradníc je potrebné do parametrickej rovnice dosadiť výraz λ = - 1. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

odpoveď: M° (- 5, 1).

Ak chcete plne pochopiť tému, musíte poznať niektoré nuansy.

Najprv musíte pochopiť umiestnenie čiar. Keď sa pretnú, zistíme súradnice, v ostatných prípadoch nebude riešenie. Aby ste sa vyhli tejto kontrole, môžete vytvoriť systém v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ak existuje riešenie, dôjdeme k záveru, že čiary sa pretínajú. Ak neexistuje riešenie, potom sú paralelné. Keď má systém nekonečný počet riešení, hovorí sa, že sa zhodujú.

Príklad 6

Dané čiary x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4. Zistite, či majú spoločný bod.

Riešenie

Zjednodušením daných rovníc dostaneme 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 a 4 3 x - y - 4 = 0.

Rovnice by sa mali zhromaždiť do systému pre následné riešenie:

1 3 x - 1 4 r - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 r = 1 4 3 x - y = 4

Z toho vidíme, že rovnice sú vyjadrené cez seba, potom dostaneme nekonečný počet riešení. Potom rovnice x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 definujú rovnakú čiaru. Preto neexistujú žiadne priesečníky.

odpoveď: dané rovnice definujú rovnakú priamku.

Príklad 7

Nájdite súradnice bodu pretínajúcich sa čiar 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Riešenie

Podľa stavu je to možné, linky sa nebudú pretínať. Je potrebné vytvoriť sústavu rovníc a riešiť. Na riešenie je potrebné použiť Gaussovu metódu, pretože s jej pomocou je možné skontrolovať kompatibilitu rovnice. Dostaneme systém formulára:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 r - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 r. = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dostali sme nesprávnu rovnosť, čo znamená, že systém nemá žiadne riešenia. Dospeli sme k záveru, že čiary sú rovnobežné. Neexistujú žiadne priesečníky.

Druhé riešenie.

Najprv musíte určiť prítomnosť priesečníkov čiar.

n 1 → = (2, 2 - 3) je normálový vektor priamky 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, potom vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 je normálový vektor pre priamku 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Je potrebné skontrolovať kolinearitu vektorov n 1 → = (2, 2 - 3) a n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Získame rovnosť v tvare 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Je to správne, pretože 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Z toho vyplýva, že vektory sú kolineárne. To znamená, že čiary sú rovnobežné a nemajú žiadne priesečníky.

odpoveď: neexistujú žiadne priesečníky, čiary sú rovnobežné.

Príklad 8

Nájdite súradnice priesečníka daných priamok 2 x - 1 = 0 a y = 5 4 x - 2 .

Riešenie

Na vyriešenie zostavíme sústavu rovníc. Dostaneme

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Nájdite determinant hlavnej matice. Na to platí 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Keďže sa nerovná nule, sústava má 1 riešenie. Z toho vyplýva, že čiary sa pretínajú. Poďme vyriešiť systém na hľadanie súradníc priesečníkov:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Zistili sme, že priesečník daných čiar má súradnice M 0 (1 2, - 11 8).

odpoveď: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore

Rovnakým spôsobom sa nájdu priesečníky priamych čiar v priestore.

Keď sú priamky a a b dané v súradnicovej rovine O x y z rovnicami pretínajúcich sa rovín, potom existuje priamka a, ktorú je možné určiť pomocou danej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 a priamka b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D4 = 0.

Keď je bod M 0 priesečníkom priamok, potom jeho súradnice musia byť riešeniami oboch rovníc. Získame lineárne rovnice v systéme:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B4y + C4z + D4 = 0

Pozrime sa na podobné úlohy pomocou príkladov.

Príklad 9

Nájdite súradnice priesečníka daných priamok x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Riešenie

Poskladáme sústavu x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 a vyriešime. Ak chcete nájsť súradnice, musíte vyriešiť pomocou matice. Potom získame hlavnú maticu tvaru A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 a rozšírenú maticu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Určíme Gaussovu hodnosť matice.

Chápeme to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Z toho vyplýva, že poradie rozšírenej matice má hodnotu 3. Potom zo sústavy rovníc x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 vyplýva len jedno riešenie.

Základ minor má determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, potom posledná rovnica neplatí. Získame, že x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Riešenie sústavy x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

To znamená, že priesečník x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 má súradnice (1, - 3, 0).

odpoveď: (1 , - 3 , 0) .

Sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 má len jedno riešenie. To znamená, že priamky a a b sa pretínajú.

V iných prípadoch rovnica nemá riešenie, teda ani spoločné body. To znamená, že nie je možné nájsť bod so súradnicami, pretože neexistuje.

Preto sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 sa rieši Gaussovou metódou. Ak je nekompatibilný, čiary sa nepretínajú. Ak existuje nekonečný počet riešení, potom sa zhodujú.

Môžete to vyriešiť výpočtom základnej a rozšírenej hodnosti matice a potom použiť Kroneckerovu-Capelliho vetu. Dostávame jedno, veľa riešení alebo žiadne.

Príklad 10

Sú uvedené rovnice priamok x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 a x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Nájdite priesečník.

Riešenie

Najprv si vytvoríme sústavu rovníc. Dostaneme, že x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Riešime to Gaussovou metódou:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Je zrejmé, že systém nemá žiadne riešenia, čo znamená, že čiary sa nepretínajú. Neexistuje žiadny priesečník.

odpoveď: neexistuje žiadny priesečník.

Ak sú čiary dané pomocou kužeľových alebo parametrických rovníc, musíte ich zredukovať na formu rovníc pretínajúcich sa rovín a potom nájsť súradnice.

Príklad 11

Dané dve priamky x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R a x 2 = y - 3 0 = z 5 v O x y z. Nájdite priesečník.

Riešenie

Priamky definujeme rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín. Chápeme to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Nájdeme súradnice 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, preto vypočítame poradie matice. Hodnosť matice je 3 a menší základ je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, čo znamená, že posledná rovnica musí byť zo systému vylúčená. Chápeme to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Riešime systém Cramerovou metódou. Dostaneme, že x = - 2 y = 3 z = - 5. Odtiaľto dostaneme, že priesečník daných čiar dáva bod so súradnicami (- 2, 3, - 5).

odpoveď: (- 2 , 3 , - 5) .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V dvojrozmernom priestore sa dve priamky pretínajú iba v jednom bode, definovanom súradnicami (x,y). Keďže obe priamky prechádzajú ich priesečníkom, súradnice (x,y) musia spĺňať obe rovnice, ktoré tieto priamky opisujú. S niektorými ďalšími schopnosťami môžete nájsť priesečníky parabol a iných kvadratických kriviek.

Kroky

Priesečník dvoch čiar

Napíšte rovnicu každého riadku, pričom izolujte premennú „y“ na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice. Možno, že rovnica, ktorá vám bola poskytnutá, bude obsahovať premennú f(x) alebo g(x) namiesto „y“; v tomto prípade izolujte takúto premennú. Ak chcete izolovať premennú, vykonajte príslušné výpočty na oboch stranách rovnice.

• Ak vám nie sú dané rovnice čiar, na základe informácií, ktoré poznáte.
• Príklad. Dané priamky opísané rovnicami a y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Ak chcete izolovať „y“ v druhej rovnici, pridajte číslo 12 na obe strany rovnice:

1. Hľadáte priesečník oboch priamok, teda bod, ktorého súradnice (x, y) spĺňajú obe rovnice. Keďže premenná „y“ sa nachádza na ľavej strane každej rovnice, výrazy nachádzajúce sa na pravej strane každej rovnice možno prirovnať. Napíšte novú rovnicu.

   • Príklad. Pretože y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) A y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), potom môžeme napísať nasledujúcu rovnosť: .

2. Nájdite hodnotu premennej "x". Nová rovnica obsahuje iba jednu premennú, "x". Ak chcete nájsť "x", izolujte túto premennú na ľavej strane rovnice vykonaním príslušnej matematiky na oboch stranách rovnice. Mali by ste dostať rovnicu v tvare x = __ (ak to nedokážete, pozrite si túto časť).

   • Príklad. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Pridať 2 x (\displaystyle 2x) na každú stranu rovnice:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Odčítajte 3 z každej strany rovnice:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Vydeľte každú stranu rovnice 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Zistenú hodnotu premennej "x" použite na výpočet hodnoty premennej "y". Za týmto účelom nahraďte nájdenú hodnotu „x“ do rovnice (akejkoľvek) priamky.

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) A y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Skontrolujte odpoveď. Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu „x“ do inej rovnice riadku a nájdite hodnotu „y“. Ak získate rôzne hodnoty y, skontrolujte, či sú vaše výpočty správne.

   • Príklad: x = 3 (\displaystyle x=3) A y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dostali ste rovnakú hodnotu pre y, takže vo výpočtoch nie sú žiadne chyby.

5. Zapíšte si súradnice (x,y). Po vypočítaní hodnôt „x“ a „y“ ste našli súradnice priesečníka dvoch čiar. Zapíšte súradnice priesečníka v tvare (x,y).

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) A y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dve priamky sa teda pretínajú v bode so súradnicami (3,6).

6. Výpočty v špeciálnych prípadoch. V niektorých prípadoch nie je možné nájsť hodnotu premennej "x". To však neznamená, že ste urobili chybu. Špeciálny prípad nastáva, keď je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

   • Ak sú dve čiary rovnobežné, nepretínajú sa. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zníži a vaša rovnica sa zmení na nezmyselnú rovnosť (napr. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). V takom prípade do odpovede napíšte, že sa čiary nepretínajú alebo neexistuje žiadne riešenie.
   • Ak obe rovnice opisujú jednu priamku, potom bude existovať nekonečný počet priesečníkov. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zníži a vaša rovnica sa zmení na prísnu rovnosť (napr. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). V takom prípade do odpovede napíšte, že tieto dva riadky sa zhodujú.

   Problémy s kvadratickými funkciami

   1. Definícia kvadratickej funkcie. V kvadratickej funkcii má jedna alebo viac premenných druhý stupeň (ale nie vyšší), napr. x 2 (\displaystyle x^(2)) alebo y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafy kvadratických funkcií sú krivky, ktoré sa nemusia pretínať alebo sa môžu pretínať v jednom alebo dvoch bodoch. V tejto časti vám povieme, ako nájsť priesečník alebo body kvadratických kriviek.

   2. Prepíšte každú rovnicu izoláciou premennej „y“ na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice.

      • Príklad. Nájdite bod(y) priesečníka grafov x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) A
      • Izolujte premennú "y" na ľavej strane rovnice:
      • A y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • V tomto príklade dostanete jednu kvadratickú funkciu a jednu lineárnu funkciu. Pamätajte, že ak dostanete dve kvadratické funkcie, výpočty sú podobné krokom uvedeným nižšie.

   3. Prirovnajte výrazy na pravej strane každej rovnice. Keďže premenná „y“ sa nachádza na ľavej strane každej rovnice, výrazy nachádzajúce sa na pravej strane každej rovnice možno prirovnať.

      • Príklad. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) A y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Preneste všetky členy výslednej rovnice na jej ľavú stranu a na pravú stranu napíšte 0. Ak to chcete urobiť, urobte základnú matematiku. To vám umožní vyriešiť výslednú rovnicu.

      • Príklad. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Odčítajte „x“ od oboch strán rovnice:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Odčítajte 7 od oboch strán rovnice:

   5. Vyriešte kvadratickú rovnicu. Presunutím všetkých členov rovnice na jej ľavú stranu získate kvadratickú rovnicu. Dá sa vyriešiť tromi spôsobmi: pomocou špeciálneho vzorca a.

      • Príklad. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Keď vynásobíte rovnicu, dostanete dva binomy, ktoré po vynásobení dostanete pôvodnú rovnicu. V našom príklade prvý termín x 2 (\displaystyle x^(2)) možno rozložiť na x * x. Napíšte toto: (x) (x) = 0
      • V našom príklade môže byť voľný člen -6 faktorizovaný do nasledujúcich faktorov: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • V našom príklade je druhým členom x (alebo 1x). Pridajte každý pár faktorov fiktívneho výrazu (v našom príklade -6), kým nezískate 1. V našom príklade sú vhodnou dvojicou faktorov fiktívneho výrazu čísla -2 a 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), pretože − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Do prázdnych políčok doplňte nájdenú dvojicu čísel: .

   6. Nezabudnite na druhý priesečník dvoch grafov. Ak problém vyriešite rýchlo a nie veľmi opatrne, môžete zabudnúť na druhý priesečník. Tu je návod, ako nájsť súradnice x dvoch priesečníkov:

      • Príklad (faktorizácia). Ak v rov. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) jeden z výrazov v zátvorkách sa bude rovnať 0, potom sa celá rovnica bude rovnať 0. Preto ju môžeme zapísať takto: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) A x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (to znamená, že ste našli dva korene rovnice).
      • Príklad (použitie vzorca alebo dokončenie dokonalého štvorca). Pri použití jednej z týchto metód sa v procese riešenia objaví druhá odmocnina. Napríklad rovnica z nášho príkladu bude mať tvar x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Pamätajte, že pri odmocnení dostanete dve riešenia. V našom prípade: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), A 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Napíšte teda dve rovnice a nájdite dve hodnoty x.

   7. Grafy sa pretínajú v jednom bode alebo sa nepretínajú vôbec. Takéto situácie nastanú, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

      • Ak sa grafy pretínajú v jednom bode, potom sa kvadratická rovnica rozloží na identické faktory, napríklad (x-1) (x-1) = 0, a druhá odmocnina z 0 sa objaví vo vzorci ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). V tomto prípade má rovnica len jedno riešenie.
      • Ak sa grafy vôbec nepretínajú, rovnica sa nerozloží a vo vzorci sa objaví druhá odmocnina záporného čísla (napr. − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). V takom prípade do odpovede napíšte, že neexistuje riešenie.

Lekcia zo série „Geometrické algoritmy“

Dobrý deň, milý čitateľ!

Pokračujme v oboznamovaní sa s geometrickými algoritmami. V minulej lekcii sme našli rovnicu priamky pomocou súradníc dvoch bodov. Dostali sme rovnicu v tvare:

Dnes si napíšeme funkciu, ktorá pomocou rovníc dvoch priamok zistí súradnice ich priesečníka (ak nejaký existuje). Na kontrolu rovnosti reálnych čísel použijeme špeciálnu funkciu RealEq().

Body na rovine sú opísané dvojicou reálnych čísel. Pri použití reálneho typu je lepšie implementovať porovnávacie operácie pomocou špeciálnych funkcií.

Dôvod je známy: na type Real v programovacom systéme Pascal neexistuje vzťah poradia, preto je lepšie nepoužívať záznamy v tvare a = b, kde a a b sú reálne čísla.
Dnes predstavíme funkciu RealEq() na implementáciu operácie „=“ (úplne rovnaká):

Funkcia RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (prísne rovnaké) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Úloha. Sú dané rovnice dvoch priamok: a . Nájdite bod ich priesečníka.

Riešenie. Samozrejmým riešením je vyriešiť systém lineárnych rovníc: Prepíšme tento systém trochu inak:
(1)

Uveďme nasledujúcu notáciu: , , . Tu je D determinant systému a sú to determinanty vyplývajúce z nahradenia stĺpca koeficientov pre zodpovedajúcu neznámu stĺpcom voľných členov. Ak , potom je systém (1) určitý, to znamená, že má jedinečné riešenie. Toto riešenie možno nájsť pomocou nasledujúcich vzorcov: , ktoré sú tzv Cramerove vzorce. Dovoľte mi pripomenúť, ako sa vypočítava determinant druhého rádu. Determinant rozlišuje dve uhlopriečky: hlavnú a vedľajšiu. Hlavná diagonála pozostáva z prvkov v smere od ľavého horného rohu determinantu k pravému dolnému rohu. Bočná uhlopriečka - z pravého horného rohu do ľavého dolného rohu. Determinant druhého rádu sa rovná súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky mínus súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky.

Kód používa funkciu RealEq() na kontrolu rovnosti. Výpočty na reálnych číslach sa vykonávajú s presnosťou _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(presnosť výpočtu) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funkcia RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (prísne rovnaké) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Zostavili sme program, pomocou ktorého môžete pri znalosti rovníc priamok nájsť súradnice ich priesečníkov.

Pri riešení niektorých geometrických úloh pomocou súradnicovej metódy musíte nájsť súradnice priesečníka čiar. Najčastejšie musíte hľadať súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine, ale niekedy je potrebné určiť súradnice priesečníka dvoch priamok v priestore. V tomto článku sa budeme zaoberať hľadaním súradníc bodu, v ktorom sa pretínajú dve priamky.

Navigácia na stránke.

Priesečník dvoch priamok je definícia.

Najprv definujme priesečník dvoch priamok.

Aby ste teda našli súradnice priesečníka dvoch priamok definovaných v rovine všeobecnými rovnicami, musíte vyriešiť sústavu zloženú z rovníc daných priamok.

Pozrime sa na príklad riešenia.

Príklad.

Nájdite priesečník dvoch priamok definovaných v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine rovnicami x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

Riešenie.

Dostali sme dve všeobecné rovnice priamok, urobme z nich systém: . Riešenia výsledného systému rovníc sa dajú ľahko nájsť vyriešením jeho prvej rovnice vzhľadom na premennú x a dosadením tohto výrazu do druhej rovnice:

Nájdené riešenie sústavy rovníc nám dáva požadované súradnice priesečníka dvoch priamok.

odpoveď:

M°(4,2) x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

Takže nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok, definovaných všeobecnými rovnicami v rovine, vedie k riešeniu systému dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi premennými. Ale čo ak priamky v rovine nie sú dané všeobecnými rovnicami, ale rovnicami iného typu (pozri typy rovníc priamky v rovine)? V týchto prípadoch môžete najskôr zredukovať rovnice čiar do všeobecného tvaru a až potom nájsť súradnice priesečníka.

Príklad.

A .

Riešenie.

Pred nájdením súradníc priesečníka daných priamok zredukujeme ich rovnice do všeobecného tvaru. Prechod z parametrických rovníc priamok všeobecná rovnica tohto riadku je nasledovná:

Teraz vykonajte potrebné kroky s kanonickou rovnicou priamky:

Požadované súradnice priesečníka čiar sú teda riešením systému rovníc tvaru . Na jeho vyriešenie používame:

odpoveď:

M 0 (-5, 1)

Existuje ďalší spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine. Je vhodné použiť, keď je jedna z čiar daná parametrickými rovnicami formulára a druhá je rovnica priamky iného typu. V tomto prípade v inej rovnici namiesto premenných x a y môžete nahradiť výrazy A , odkiaľ bude možné získať hodnotu, ktorá zodpovedá priesečníku daných čiar. V tomto prípade má priesečník čiar súradnice.

Pomocou tejto metódy nájdime súradnice priesečníka čiar z predchádzajúceho príkladu.

Príklad.

Určte súradnice priesečníka čiar A .

Riešenie.

Dosadíme do rovnice priamkový výraz:

Po vyriešení výslednej rovnice dostaneme . Táto hodnota zodpovedá spoločnému bodu čiar A . Súradnice priesečníka vypočítame dosadením priamky do parametrických rovníc:
.

odpoveď:

M° (-5, 1).

Na dokončenie obrazu je potrebné prediskutovať ešte jeden bod.

Pred zistením súradníc priesečníka dvoch priamok na rovine je vhodné sa presvedčiť, či sa dané priamky skutočne pretínajú. Ak sa ukáže, že pôvodné čiary sa zhodujú alebo sú rovnobežné, potom nemôže byť reč o nájdení súradníc priesečníka takýchto čiar.

Môžete sa samozrejme zaobísť bez takejto kontroly a okamžite vytvoriť systém rovníc formulára a vyriešiť to. Ak má systém rovníc jedinečné riešenie, potom udáva súradnice bodu, v ktorom sa pôvodné priamky pretínajú. Ak sústava rovníc nemá riešenia, potom môžeme usúdiť, že pôvodné priamky sú rovnobežné (keďže neexistuje dvojica reálnych čísel x a y, ktorá by súčasne spĺňala obe rovnice daných priamok). Z prítomnosti nekonečného počtu riešení sústavy rovníc vyplýva, že pôvodné priamky majú nekonečne veľa spoločných bodov, čiže sa zhodujú.

Pozrime sa na príklady, ktoré zodpovedajú týmto situáciám.

Príklad.

Zistite, či sa čiary a pretínajú, a ak sa pretínajú, potom nájdite súradnice priesečníka.

Riešenie.

Uvedené rovnice priamok zodpovedajú rovniciam A . Poďme vyriešiť systém zložený z týchto rovníc .

Je zrejmé, že rovnice sústavy sú lineárne vyjadrené jedna cez druhú (druhú rovnicu sústavy získame z prvej vynásobením oboch jej častí číslom 4), preto sústava rovníc má nekonečný počet riešení. Rovnice teda definujú rovnakú priamku a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto priamok.

odpoveď:

Rovnice a definujú rovnakú priamku v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy, takže nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka.

Príklad.

Nájdite súradnice priesečníka čiar A , Ak je to možné.

Riešenie.

Stav problému umožňuje, že čiary sa nemusia pretínať. Vytvorme systém z týchto rovníc. Pokúsme sa ho vyriešiť, pretože nám umožňuje určiť kompatibilitu alebo nekompatibilitu systému rovníc, a ak je kompatibilný, nájsť riešenie:

Posledná rovnica sústavy sa po priamom prechode Gaussovou metódou zmenila na nesprávnu rovnosť, preto sústava rovníc nemá riešenia. Z toho môžeme usúdiť, že pôvodné čiary sú rovnobežné a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto čiar.

Druhé riešenie.

Poďme zistiť, či sa dané čiary pretínajú.

- vektor normálnej čiary a vektor je normálny čiarový vektor . Skontrolujeme vykonanie A : rovnosť je pravdivé, pretože normálové vektory daných čiar sú kolineárne. Potom sú tieto čiary rovnobežné alebo zhodné. Nemôžeme teda nájsť súradnice priesečníka pôvodných čiar.

odpoveď:

Nie je možné nájsť súradnice priesečníka daných čiar, pretože tieto čiary sú rovnobežné.

Príklad.

Nájdite súradnice priesečníka čiar 2x-1=0 a , ak sa pretínajú.

Riešenie.

Zostavme si sústavu rovníc, ktoré sú všeobecnými rovnicami daných priamok: . Determinant hlavnej matice tohto systému rovníc je nenulový , preto má sústava rovníc jedinečné riešenie, ktoré udáva priesečník daných priamok.

Aby sme našli súradnice priesečníka čiar, musíme vyriešiť systém:

Výsledné riešenie nám dáva súradnice priesečníka čiar, tj. 2x-1=0 a .

odpoveď:

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore.

Súradnice priesečníka dvoch priamok v trojrozmernom priestore sa nachádzajú podobne.

Pozrime sa na riešenia príkladov.

Príklad.

Nájdite súradnice priesečníka dvoch priamok daných v priestore rovnicami A .

Riešenie.

Zostavme sústavu rovníc z rovníc daných čiar: . Riešenie tohto systému nám poskytne požadované súradnice priesečníka priamok v priestore. Poďme nájsť riešenie napísanej sústavy rovníc.

Hlavná matica systému má tvar a predĺžená - .

Poďme definovať A a poradie matice T. Používame