Zvážte definovanie priamky v rovine, v ktorej sú premenné x, y funkciami tretej premennej t (nazývanej parameter):

Pre každú hodnotu t z určitého intervalu zodpovedajú určité hodnoty X A y, a, teda určitý bod M (x, y) roviny. Kedy t prechádza cez všetky hodnoty z daného intervalu, potom bod M (x, y) opisuje nejaký riadok L. Rovnice (2.2) sa nazývajú parametrické priamkové rovnice L.

Ak má funkcia x = φ(t) inverznú hodnotu t = Ф(x), potom dosadením tohto výrazu do rovnice y = g(t) dostaneme y = g(Ф(x)), ktoré určuje r ako funkcia X. V tomto prípade hovoríme, že rovnice (2.2) definujú funkciu r parametricky.

Príklad 1 Nechaj M(x,y)– ľubovoľný bod na kružnici s polomerom R a sústredené v počiatku. Nechaj t– uhol medzi os Vôl a polomer OM(pozri obr. 2.3). Potom x, y sú vyjadrené prostredníctvom t:

Rovnice (2.3) sú parametrické rovnice kruhu. Vylúčme parameter t z rovníc (2.3). Aby sme to urobili, každú rovnicu odmocníme a sčítame, dostaneme: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) alebo x 2 + y 2 = R 2 – rovnica kruhu v karteziáne súradnicový systém. Definuje dve funkcie: Každá z týchto funkcií je daná parametrickými rovnicami (2.3), ale pre prvú funkciu a pre druhú .

Príklad 2. Parametrické rovnice

definujte elipsu s poloosami a, b(obr. 2.4). Vylúčenie parametra z rovníc t dostaneme kanonickú rovnicu elipsy:

Príklad 3. Cykloida je priamka opísaná bodom ležiacim na kružnici, ak sa táto kružnica valí bez kĺzania po priamke (obr. 2.5). Uveďme si parametrické rovnice cykloidy. Nech je polomer valivého kruhu a, bodka M, popisujúci cykloidu, sa na začiatku pohybu zhodoval s pôvodom súradníc.

Poďme určiť súradnice X, y bodov M po otočení kruhu o uhol t
(obr. 2.5), t = ÐMCB. Dĺžka oblúka M.B. rovná dĺžke segmentu O.B. keďže sa kruh valí bez skĺznutia, teda

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – náklady = a(1 – náklady).

Takto sa získajú parametrické rovnice cykloidy:

Pri zmene parametra t od 0 do 2π kružnica sa otočí o jednu otáčku a bod M opisuje jeden oblúk cykloidy. Rovnice (2.5) dávajú r ako funkcia X. Hoci funkcia x = a(t – sint) má inverznú funkciu, ale nie je vyjadrená elementárnymi funkciami, teda funkciou y = f(x) nie je vyjadrená prostredníctvom elementárnych funkcií.

Uvažujme o diferenciácii funkcie definovanej parametricky rovnicami (2.2). Funkcia x = φ(t) na určitom intervale zmeny t má inverznú funkciu t = Ф(x), Potom y = g(Ф(x)). Nechaj x = φ(t), y = g(t) majú deriváty a x"t≠0. Podľa pravidla diferenciácie komplexných funkcií y"x=y"txt"x. Na základe pravidla pre diferenciáciu inverznej funkcie teda:

Výsledný vzorec (2.6) umožňuje nájsť deriváciu pre funkciu špecifikovanú parametricky.

Príklad 4. Nechajte funkciu r, záleží na X, je špecifikovaný parametricky:

Riešenie. .
Príklad 5. Nájdite svah k dotyčnica k cykloide v bode M 0 zodpovedajúcom hodnote parametra.
Riešenie. Z cykloidných rovníc: y" t = asint, x" t = a(1 – náklady), Preto

Tangentový sklon v bode M0 rovná hodnote at t0 = π/4:

DIFERENCIÁLNA FUNKCIA

Nechajte funkciu v bode x 0 má derivát. A-priorita:
teda podľa vlastností limitu (bod 1.8), kde a– nekonečne malý pri Δx → 0. Odtiaľ

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Keďže Δx → 0, druhý člen v rovnosti (2.7) je nekonečne malé číslo vyššieho rádu, v porovnaní s , preto sú Δy a f " (x 0) × Δx ekvivalentné, nekonečne malé (pre f "(x 0) ≠ 0).

Prírastok funkcie Δy teda pozostáva z dvoch členov, z ktorých prvý f "(x 0)×Δx je Hlavná časť prírastok Δy, lineárny vzhľadom na Δx (pre f "(x 0)≠ 0).

Diferenciál funkcia f(x) v bode x 0 sa nazýva hlavná časť prírastku funkcie a označuje sa: D Y alebo df(x0). teda

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Príklad 1 Nájdite diferenciál funkcie D Y a prírastok funkcie Δy pre funkciu y = x 2 pri:
1) svojvoľné X a A X; 2) x 0 = 20, Ax = 0,1.

Riešenie

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Ak x 0 = 20, Δx = 0,1, potom Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 x 0,1 = 4.

Napíšme rovnosť (2.7) v tvare:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Prírastok Δy sa líši od diferenciálu D Y na infinitezimálu vyššieho rádu v porovnaní s Δx, preto sa pri približných výpočtoch používa približná rovnosť Δy ≈ dy, ak je Δx dostatočne malá.

Ak vezmeme do úvahy, že Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), dostaneme približný vzorec:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Príklad 2. Vypočítajte približne.

Riešenie. Zvážte:

Pomocou vzorca (2.10) dostaneme:

Takže ≈ 2,025.

Uvažujme o geometrickom význame diferenciálu df(x 0)(obr. 2.6).

Nakreslime dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode M 0 (x0, f(x 0)), nech φ je uhol medzi dotyčnicou KM0 a osou Ox, potom f"( x 0) = tanφ. Od ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ale PN je prírastok tečnovej ordináty, keď sa x mení z x 0 na x 0 + Δx.

V dôsledku toho sa diferenciál funkcie f(x) v bode x 0 rovná prírastku ordináty dotyčnice.

Poďme nájsť diferenciál funkcie
y = x. Pretože (x)" = 1, potom dx = 1×Δx = Δx. Budeme predpokladať, že diferenciál nezávislej premennej x sa rovná jej prírastku, t.j. dx = Δx.

Ak x je ľubovoľné číslo, potom z rovnosti (2.8) dostaneme df(x) = f "(x)dx, odkiaľ .
Derivácia funkcie y = f(x) sa teda rovná pomeru jej diferenciálu k diferenciálu argumentu.

Uvažujme o vlastnostiach diferenciálu funkcie.

Ak sú u(x), v(x) diferencovateľné funkcie, potom sú platné nasledujúce vzorce:

Na dôkaz týchto vzorcov sa používajú derivačné vzorce pre súčet, súčin a kvocient funkcie. Dokážme napríklad vzorec (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Uvažujme diferenciál komplexnej funkcie: y = f(x), x = φ(t), t.j. y = f(φ(t)).

Potom dy = y" t dt, ale y" t = y" x ×x" t, takže dy = y" x x" t dt. berúc do úvahy,

že x" t = dx, dostaneme dy = y" x dx =f "(x)dx.

Diferenciál komplexnej funkcie y = f(x), kde x =φ(t), má teda tvar dy = f "(x)dx, rovnako ako v prípade, že x je nezávislá premenná. Táto vlastnosť sa volá invariantnosť tvaru diferenciálu A.

Nezaťažujme sa, všetko v tomto odseku je tiež celkom jednoduché. Všeobecný vzorec pre parametricky definovanú funkciu si môžete zapísať, ale aby bolo jasné, hneď napíšem konkrétny príklad. V parametrickom tvare je funkcia daná dvoma rovnicami: . Rovnice sa často nepíšu do zložených zátvoriek, ale postupne: , .

Premenná sa nazýva parameter a môže nadobúdať hodnoty od „mínus nekonečna“ po „plus nekonečno“. Zvážte napríklad hodnotu a dosaďte ju do oboch rovníc: . Alebo ľudsky: "ak sa x rovná štyrom, potom y sa rovná jednej." Na rovine súradníc môžete označiť bod a tento bod bude zodpovedať hodnote parametra. Podobne môžete nájsť bod pre akúkoľvek hodnotu parametra „te“. Pokiaľ ide o „bežnú“ funkciu, pre amerických Indiánov s parametricky definovanou funkciou sú tiež rešpektované všetky práva: môžete zostaviť graf, nájsť deriváty atď. Mimochodom, ak potrebujete nakresliť graf parametricky zadanej funkcie, stiahnite si môj geometrický program na stránke Matematické vzorce a tabuľky.

V najjednoduchších prípadoch je možné funkciu reprezentovať explicitne. Vyjadrime parameter z prvej rovnice: - a dosaďte ho do druhej rovnice: . Výsledkom je obyčajná kubická funkcia.

V „závažnejších“ prípadoch tento trik nefunguje. Ale na tom nezáleží, pretože existuje vzorec na nájdenie derivácie parametrickej funkcie:

Nájdeme derivát „hry vzhľadom na premennú te“:

Všetky pravidlá diferenciácie a tabuľka derivátov sú samozrejme platné pre písmeno , teda v procese hľadania derivátov nie je žiadna novinka. Len mentálne nahraďte všetky „X“ v tabuľke písmenom „Te“.

Nájdeme deriváciu „x vzhľadom na premennú te“:

Teraz už zostáva len nahradiť nájdené deriváty do nášho vzorca:

Pripravený. Derivácia, podobne ako samotná funkcia, závisí aj od parametra.

Pokiaľ ide o notáciu, namiesto zápisu do vzorca by sa to dalo jednoducho napísať bez dolného indexu, pretože ide o „bežný“ derivát „vzhľadom na X“. Ale v literatúre je vždy možnosť, takže nebudem vybočovať zo štandardu.

Príklad 6

Používame vzorec

V tomto prípade:

Takto:

Zvláštnosťou hľadania derivácie parametrickej funkcie je fakt, že v každom kroku je výhodné čo najviac zjednodušiť výsledok. Takže v uvažovanom príklade, keď som to našiel, otvoril som zátvorky pod koreňom (aj keď som to možno neurobil). Je veľká šanca, že pri dosadzovaní do vzorca sa veľa vecí dobre zredukuje. Aj keď, samozrejme, existujú príklady s nemotornými odpoveďami.

Príklad 7

Nájdite deriváciu parametricky zadanej funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

V článku Najjednoduchšie typické problémy s derivátmi pozreli sme sa na príklady, v ktorých sme potrebovali nájsť druhú deriváciu funkcie. Pre parametricky definovanú funkciu môžete nájsť aj druhú deriváciu, a to pomocou nasledujúceho vzorca: . Je celkom zrejmé, že ak chcete nájsť druhú deriváciu, musíte najprv nájsť prvú deriváciu.

Príklad 8

Nájdite prvú a druhú deriváciu parametricky zadanej funkcie

Najprv nájdime prvú deriváciu.
Používame vzorec

V tomto prípade:

Dosadí nájdené deriváty do vzorca. Pre zjednodušenie používame trigonometrický vzorec:

Všimol som si, že pri probléme hľadania derivácie parametrickej funkcie je dosť často pre účely zjednodušenia potrebné použiť trigonometrické vzorce . Zapamätajte si ich alebo ich majte poruke a nenechajte si ujsť príležitosť zjednodušiť každý medzivýsledok a odpovede. Prečo? Teraz musíme vziať derivát , a to je jednoznačne lepšie ako nájsť derivát .

Poďme nájsť druhú deriváciu.
Používame vzorec: .

Pozrime sa na náš vzorec. Menovateľ už bol nájdený v predchádzajúcom kroku. Zostáva nájsť čitateľa - derivát prvého derivátu vzhľadom na premennú „te“:

Zostáva použiť vzorec:

Na posilnenie materiálu vám ponúkam niekoľko ďalších príkladov, ktoré môžete vyriešiť sami.

Príklad 9

Príklad 10

Nájdite a pre funkciu špecifikovanú parametricky

Prajem ti úspech!

Dúfam, že táto lekcia bola užitočná a teraz môžete ľahko nájsť deriváty funkcií špecifikovaných implicitne a z parametrických funkcií

Riešenia a odpovede:

Príklad 3: Riešenie:






Takto:

Derivácia funkcie špecifikovanej implicitne.
Derivácia parametricky definovanej funkcie

V tomto článku sa pozrieme na ďalšie dve typické úlohy, ktoré sa často vyskytujú v testoch z vyššej matematiky. Aby ste látku úspešne zvládli, musíte byť schopní nájsť deriváty aspoň na strednej úrovni. Nájsť deriváty sa môžete naučiť prakticky od nuly v dvoch základných lekciách a Derivácia komplexnej funkcie. Ak sú vaše rozlišovacie schopnosti v poriadku, poďme na to.

Derivácia funkcie špecifikovanej implicitne

Alebo skrátka derivácia implicitnej funkcie. Čo je to implicitná funkcia? Najprv si spomeňme na samotnú definíciu funkcie jednej premennej:

Funkcia jednej premennej je pravidlo, podľa ktorého každej hodnote nezávislej premennej zodpovedá jedna a len jedna hodnota funkcie.

Premenná sa volá nezávislá premenná alebo argument.
Premenná sa volá závislá premenná alebo funkciu .

Doteraz sme sa zamerali na funkcie definované v explicitné formulár. Čo to znamená? Urobme zhrnutie na konkrétnych príkladoch.

Zvážte funkciu

Vidíme, že vľavo máme osamoteného „hráča“ a vpravo - iba "X". Teda funkcia výslovne vyjadrené prostredníctvom nezávislej premennej.

Pozrime sa na ďalšiu funkciu:

Tu sú premenné zmiešané. Navyše akýmkoľvek spôsobom nemožné vyjadrite „Y“ iba prostredníctvom „X“. Aké sú tieto metódy? Prenášanie pojmov z časti do časti so zmenou znamienka, ich presúvanie zo zátvoriek, hádzanie faktorov podľa pravidla proporcie atď. Prepíšte rovnosť a skúste explicitne vyjadriť „y“: . Môžete krútiť a otáčať rovnicu celé hodiny, ale neuspejete.

Dovoľte mi predstaviť vám: – príklad implicitná funkcia.

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že implicitná funkcia existuje(nie však vždy), má graf (rovnako ako „normálna“ funkcia). Implicitná funkcia je úplne rovnaká existuje prvá derivácia, druhá derivácia atď. Ako sa hovorí, všetky práva sexuálnych menšín sú rešpektované.

A v tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť deriváciu funkcie špecifikovanej implicitne. Nie je to také ťažké! Všetky pravidlá diferenciácie a tabuľka derivácií elementárnych funkcií zostávajú v platnosti. Rozdiel je v jednom zvláštnom momente, na ktorý sa pozrieme práve teraz.

Áno, a poviem vám dobrú správu - úlohy uvedené nižšie sa vykonávajú podľa pomerne prísneho a jasného algoritmu bez kameňa pred tromi stopami.

Príklad 1

1) V prvej fáze pripojíme ťahy na obe časti:

2) Používame pravidlá linearity derivácie (prvé dve pravidlá lekcie Ako nájsť derivát? Príklady riešení):

3) Priama diferenciácia.
Ako rozlišovať je úplne jasné. Čo robiť, keď sú pod ťahmi „hry“?

- až do hanby, derivácia funkcie sa rovná jej derivácii: .

Ako sa odlíšiť
Tu máme komplexná funkcia. prečo? Zdá sa, že pod sínusom je iba jedno písmeno „Y“. Faktom však je, že existuje iba jedno písmeno „y“ - JE SAMA FUNKCIOU(pozri definíciu na začiatku lekcie). Sínus je teda vonkajšia funkcia a je to vnútorná funkcia. Pravidlo používame na diferenciáciu komplexnej funkcie :

Produkt rozlišujeme podľa zaužívaného pravidla :

Upozorňujeme, že – je tiež komplexná funkcia, každá „hra so zvončekmi a píšťalkami“ je komplexná funkcia:

Samotné riešenie by malo vyzerať asi takto:


Ak existujú zátvorky, rozbaľte ich:

4) Na ľavej strane zhromažďujeme výrazy, ktoré obsahujú „Y“ s prvočíslom. Presuňte všetko ostatné na pravú stranu:

5) Na ľavej strane vyberieme deriváciu zo zátvoriek:

6) A podľa pravidla proporcie umiestnime tieto zátvorky do menovateľa pravej strany:

Derivát sa našiel. Pripravený.

Je zaujímavé poznamenať, že každá funkcia môže byť prepísaná implicitne. Napríklad funkcia možno prepísať takto: . A rozlíšiť to pomocou algoritmu, o ktorom sme práve hovorili. V skutočnosti sa frázy „implicitná funkcia“ a „implicitná funkcia“ líšia v jednej sémantickej nuancii. Fráza „implicitne špecifikovaná funkcia“ je všeobecnejšia a správnejšia, – táto funkcia je špecifikovaná implicitne, ale tu môžete vyjadriť „hru“ a prezentovať funkciu explicitne. Fráza „implicitná funkcia“ sa vzťahuje na „klasickú“ implicitnú funkciu, keď „y“ nemožno vyjadriť.

Druhé riešenie

Pozor! S druhou metódou sa môžete zoznámiť iba vtedy, ak viete, ako ju s istotou nájsť parciálne deriváty. Začiatočníci v kalkulácii a figuríny, prosím nečítaj a preskoč tento bod, inak bude vaša hlava úplný chaos.

Nájdite deriváciu implicitnej funkcie pomocou druhej metódy.

Všetky výrazy presunieme na ľavú stranu:

A zvážte funkciu dvoch premenných:

Potom je možné nájsť našu deriváciu pomocou vzorca
Poďme nájsť parciálne derivácie:

Takto:

Druhé riešenie umožňuje vykonať kontrolu. Neodporúča sa im však vypisovať konečnú verziu zadania, pretože parciálne derivácie sa ovládajú neskôr a študent, ktorý študuje tému „Derivácia funkcie jednej premennej“, by parciálne derivácie ešte nemal poznať.

Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Pridajte ťahy do oboch častí:

Používame pravidlá linearity:

Hľadanie derivátov:

Otvorenie všetkých zátvoriek:

Všetky výrazy s presunieme na ľavú stranu, zvyšok na pravú stranu:

Konečná odpoveď:

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Úplné riešenie a vzorový návrh na konci lekcie.

Nie je nezvyčajné, že zlomky vznikajú po diferenciácii. V takýchto prípadoch sa musíte zbaviť zlomkov. Pozrime sa na ďalšie dva príklady.

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Obe časti uzavrieme pod ťahy a použijeme pravidlo linearity:

Diferencujte pomocou pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie a pravidlo diferenciácie kvocientov :

Rozšírenie zátvoriek:

Teraz sa musíme zbaviť zlomku. Dá sa to urobiť neskôr, ale racionálnejšie je to urobiť hneď. Menovateľ zlomku obsahuje . Vynásobte na . V detaile to bude vyzerať takto:

Niekedy sa po diferenciácii objavia 2-3 frakcie. Ak by sme mali napríklad ďalší zlomok, potom by bolo potrebné operáciu zopakovať – vynásobiť každý termín každej časti na

Na ľavej strane sme to dali zo zátvoriek:

Konečná odpoveď:

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Jediná vec je, že predtým, ako sa zbavíte zlomku, budete sa musieť najskôr zbaviť trojposchodovej štruktúry samotného zlomku. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Derivácia parametricky definovanej funkcie

Nezaťažujme sa, všetko v tomto odseku je tiež celkom jednoduché. Všeobecný vzorec pre parametricky definovanú funkciu si môžete zapísať, ale aby bolo jasné, hneď napíšem konkrétny príklad. V parametrickom tvare je funkcia daná dvoma rovnicami: . Rovnice sa často nepíšu do zložených zátvoriek, ale postupne: , .

Premenná sa nazýva parameter a môže nadobúdať hodnoty od „mínus nekonečna“ po „plus nekonečno“. Zvážte napríklad hodnotu a dosaďte ju do oboch rovníc: . Alebo ľudsky: "ak sa x rovná štyrom, potom y sa rovná jednej." Na rovine súradníc môžete označiť bod a tento bod bude zodpovedať hodnote parametra. Podobne môžete nájsť bod pre akúkoľvek hodnotu parametra „te“. Pokiaľ ide o „bežnú“ funkciu, pre amerických Indiánov s parametricky definovanou funkciou sú tiež rešpektované všetky práva: môžete zostaviť graf, nájsť deriváty atď. Mimochodom, ak potrebujete nakresliť graf parametricky definovanej funkcie, môžete použiť môj program.

V najjednoduchších prípadoch je možné funkciu reprezentovať explicitne. Vyjadrime parameter z prvej rovnice: - a dosaďte ho do druhej rovnice: . Výsledkom je obyčajná kubická funkcia.

V „závažnejších“ prípadoch tento trik nefunguje. Ale na tom nezáleží, pretože existuje vzorec na nájdenie derivácie parametrickej funkcie:

Nájdeme derivát „hry vzhľadom na premennú te“:

Všetky pravidlá diferenciácie a tabuľka derivátov sú samozrejme platné pre písmeno , teda v procese hľadania derivátov nie je žiadna novinka. Len mentálne nahraďte všetky „X“ v tabuľke písmenom „Te“.

Nájdeme deriváciu „x vzhľadom na premennú te“:

Teraz už zostáva len nahradiť nájdené deriváty do nášho vzorca:

Pripravený. Derivácia, podobne ako samotná funkcia, závisí aj od parametra.

Pokiaľ ide o notáciu, namiesto zápisu do vzorca by sa to dalo jednoducho napísať bez dolného indexu, pretože ide o „bežný“ derivát „vzhľadom na X“. Ale v literatúre je vždy možnosť, takže nebudem vybočovať zo štandardu.

Príklad 6

Používame vzorec

V tomto prípade:

Takto:

Zvláštnosťou hľadania derivácie parametrickej funkcie je fakt, že v každom kroku je výhodné čo najviac zjednodušiť výsledok. Takže v uvažovanom príklade, keď som to našiel, otvoril som zátvorky pod koreňom (aj keď som to možno neurobil). Je veľká šanca, že pri dosadzovaní do vzorca sa veľa vecí dobre zredukuje. Aj keď, samozrejme, existujú príklady s nemotornými odpoveďami.

Príklad 7

Nájdite deriváciu parametricky zadanej funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

V článku Najjednoduchšie typické problémy s derivátmi pozreli sme sa na príklady, v ktorých sme potrebovali nájsť druhú deriváciu funkcie. Pre parametricky definovanú funkciu môžete nájsť aj druhú deriváciu, a to pomocou nasledujúceho vzorca: . Je celkom zrejmé, že ak chcete nájsť druhú deriváciu, musíte najprv nájsť prvú deriváciu.

Príklad 8

Nájdite prvú a druhú deriváciu parametricky zadanej funkcie

Najprv nájdime prvú deriváciu.
Používame vzorec

V tomto prípade:

Nájdené deriváty dosadíme do vzorca. Pre zjednodušenie používame trigonometrický vzorec:

Funkciu je možné špecifikovať niekoľkými spôsobmi. Závisí to od pravidla, ktoré sa používa na jeho určenie. Explicitná forma špecifikácie funkcie je y = f (x). Sú chvíle, keď je jeho popis nemožný alebo nepohodlný. Ak existuje veľa párov (x; y), ktoré je potrebné vypočítať pre parameter t za interval (a; b). Na vyriešenie systému x = 3 náklady t y = 3 sin t s 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definícia parametrickej funkcie

Odtiaľ máme, že x = φ (t), y = ψ (t) sú definované pre hodnotu t ∈ (a; b) a majú inverznú funkciu t = Θ (x) pre x = φ (t), potom hovoríme o špecifikácii parametrickej rovnice funkcie v tvare y = ψ (Θ (x)) .

Sú prípady, keď na štúdium funkcie je potrebné hľadať deriváciu vzhľadom na x. Uvažujme vzorec pre deriváciu parametricky definovanej funkcie tvaru y x " = ψ " (t) φ " (t), hovorme o derivácii 2. a n-tého rádu.

Odvodenie vzorca pre deriváciu parametricky definovanej funkcie

Máme, že x = φ (t), y = ψ (t), definované a diferencovateľné pre t ∈ a; b, kde x t " = φ " (t) ≠ 0 a x = φ (t), potom existuje inverzná funkcia tvaru t = Θ (x).

Na začiatok by ste mali prejsť od parametrickej úlohy k explicitnej. Aby ste to dosiahli, musíte získať komplexnú funkciu tvaru y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), kde je argument x.

Na základe pravidla na nájdenie derivácie komplexnej funkcie dostaneme, že y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

To ukazuje, že t = Θ (x) a x = φ (t) sú inverzné funkcie zo vzorca inverznej funkcie Θ " (x) = 1 φ " (t), potom y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ" (t) .

Prejdime k úvahe o riešení niekoľkých príkladov pomocou tabuľky derivácií podľa diferenciačného pravidla.

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie x = t 2 + 1 y = t.

Riešenie

Podľa podmienky máme, že φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, odtiaľ dostaneme, že φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Musíte použiť odvodený vzorec a napísať odpoveď v tvare:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

odpoveď: yx" = 12 t x = t2 + 1.

Pri práci s deriváciou funkcie h parameter t špecifikuje vyjadrenie argumentu x cez rovnaký parameter t, aby sa nestratilo spojenie medzi hodnotami derivácie a parametricky definovanou funkciou s argumentom to ktorým tieto hodnoty zodpovedajú.

Ak chcete určiť deriváciu druhého rádu parametricky danej funkcie, musíte použiť vzorec pre deriváciu prvého rádu na výslednej funkcii, potom dostaneme, že

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Príklad 2

Nájdite derivácie 2. a 2. rádu danej funkcie x = cos (2 t) y = t 2 .

Riešenie

Podľa podmienky zistíme, že φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Potom po transformácii

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Z toho vyplýva, že y x " = ψ " (t) φ" (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Dostaneme, že tvar derivácie 1. rádu je x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Na vyriešenie musíte použiť odvodený vzorec druhého rádu. Dostaneme vyjadrenie formy

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Potom zadanie derivácie 2. rádu pomocou parametrickej funkcie

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Podobné riešenie je možné vyriešiť pomocou inej metódy. Potom

φ " t = (cos (2 t)) " = - hriech (2 t) 2 t " = - 2 hriechy (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 hriechy (2 t) " = - 2 hriechy (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) = 2

Odtiaľ to máme

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = hriech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

odpoveď: y "" x = hriech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Podobným spôsobom sa nachádzajú derivácie vyššieho rádu s parametricky definovanými funkciami.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Doteraz sme uvažovali o rovniciach priamok na rovine, ktoré priamo spájajú aktuálne súradnice bodov týchto priamok. Často sa však používa iný spôsob definovania čiary, v ktorom sa aktuálne súradnice považujú za funkcie tretej premennej.

Nech sú dané dve funkcie premennej

uvažované pre rovnaké hodnoty t. Potom ktorákoľvek z týchto hodnôt t zodpovedá určitej hodnote a určitej hodnote y, a teda určitému bodu. Keď premenná t prechádza všetkými hodnotami z oblasti definície funkcií (73), bod opisuje v rovine určitú priamku C. Rovnice (73) sa nazývajú parametrické rovnice tejto priamky a premenná sa nazýva parameter.

Predpokladajme, že funkcia má inverznú funkciu. Dosadením tejto funkcie do druhej z rovníc (73) dostaneme rovnicu

vyjadrenie y ako funkcie

Zhodneme sa na tom, že táto funkcia je daná parametricky rovnicami (73). Prechod z týchto rovníc do rovnice (74) sa nazýva eliminácia parametrov. Pri parametricky definovaných funkciách nie je vylúčenie parametra nielen nevyhnutné, ale ani nie vždy prakticky možné.

V mnohých prípadoch je oveľa pohodlnejšie, ak vezmeme do úvahy rôzne hodnoty parametra, potom pomocou vzorcov (73) vypočítať zodpovedajúce hodnoty argumentu a funkcie y.

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1. Nech je ľubovoľný bod na kružnici so stredom v počiatku a polomerom R. Kartézske súradnice x a y tohto bodu sú vyjadrené prostredníctvom jeho polárneho polomeru a polárneho uhla, ktoré tu označíme t, nasledovne ( pozri kapitolu I § 3 ods. 3):

Rovnice (75) sa nazývajú parametrické rovnice kruhu. Parametrom v nich je polárny uhol, ktorý sa mení od 0 do .

Ak sa rovnice (75) odmocnia člen po člene a sčítajú, potom sa na základe identity parameter eliminuje a získa sa rovnica kruhu v karteziánskom súradnicovom systéme, ktorý definuje dve základné funkcie:

Každá z týchto funkcií je špecifikovaná parametricky rovnicami (75), ale rozsahy parametrov pre tieto funkcie sú rôzne. Pre prvého z nich; Grafom tejto funkcie je horný polkruh. Pre druhú funkciu je jej grafom dolný polkruh.

Príklad 2. Uvažujme súčasne elipsu

a kružnica so stredom v počiatku a polomerom a (obr. 138).

Ku každému bodu M elipsy priradíme bod N kružnice, ktorý má rovnakú úsečku ako bod M a nachádza sa s ním na tej istej strane osi Ox. Poloha bodu N, a teda bodu M, je úplne určená polárnym uhlom bodu t. V tomto prípade pre ich spoločnú úsečku dostaneme tento výraz: x = a. Z rovnice elipsy nájdeme ordinátu v bode M:

Znamienko bolo zvolené, pretože ordináta bodu M a ordináta bodu N musia mať rovnaké znamienka.

Pre elipsu sa teda získajú nasledujúce parametrické rovnice:

Tu sa parameter t mení od 0 do .

Príklad 3. Uvažujme kružnicu so stredom v bode a) a polomerom a, ktorá sa v počiatku zjavne dotýka osi x (obr. 139). Predpokladajme, že tento kruh sa valí bez skĺznutia pozdĺž osi x. Potom bod M kruhu, ktorý sa v počiatočnom momente zhodoval s počiatkom súradníc, opisuje priamku nazývanú cykloida.

Odvoďme parametrické rovnice cykloidy, pričom ako parameter t vezmeme uhol MSV rotácie kružnice pri pohybe jej pevného bodu z polohy O do polohy M. Potom pre súradnice a y bodu M získame tieto výrazy:

Vzhľadom k tomu, že kruh sa valí pozdĺž osi bez skĺznutia, dĺžka segmentu OB sa rovná dĺžke oblúka BM. Keďže dĺžka oblúka BM sa rovná súčinu polomeru a a stredového uhla t, potom . Preto . Ale preto,

Tieto rovnice sú parametrické rovnice cykloidy. Keď sa parameter t zmení z 0 na kruh, vykoná sa jedna celá otáčka. Bod M bude opisovať jeden oblúk cykloidy.

Vylúčenie parametra t tu vedie k ťažkopádnym výrazom a je prakticky nepraktické.

Parametrická definícia čiar sa používa najmä v mechanike a úlohu parametra zohráva čas.

Príklad 4. Určme dráhu strely vystrelenej z pištole s počiatočnou rýchlosťou pod uhlom a k horizontále. Odpor vzduchu a rozmery strely zanedbávame, považujeme ju za hmotný bod.

Vyberme si súradnicový systém. Za počiatok súradníc vezmime bod odletu strely z ústia. Nasmerujme os Ox horizontálne a os Oy vertikálne, pričom ich umiestnime do rovnakej roviny s ústím pištole. Ak by neexistovala žiadna gravitačná sila, strela by sa pohybovala priamočiaro, zvierala by s osou Ox uhol a a v čase t by prekonala vzdialenosť. Súradnice strely v čase t by boli v tomto poradí rovnaké komu: . V dôsledku gravitácie musí strela v tomto momente vertikálne klesnúť o určitú hodnotu. Preto sú v skutočnosti v čase t súradnice strely určené vzorcami:

Tieto rovnice obsahujú konštantné veličiny. Keď sa t zmení, zmenia sa aj súradnice v bode trajektórie strely. Rovnice sú parametrické rovnice trajektórie strely, v ktorej parametrom je čas

Vyjadrenie z prvej rovnice a jej dosadenie

druhou rovnicou získame rovnicu dráhy strely v tvare Toto je rovnica paraboly.