To však nie je všetko, čo sa dá so zlatým rezom urobiť. Ak jednu vydelíme číslom 0,618, dostaneme 1,618, ak to odmocníme, dostaneme 2,618, ak to dáme na druhú, dostaneme 4,236. Toto sú Fibonacciho expanzné pomery. Jediné číslo, ktoré tu chýba, je 3 236, ktoré navrhol John Murphy.
Čo si o konzistencii myslia odborníci?
Niekto by mohol povedať, že tieto čísla sú už známe, pretože sa používajú v programoch technickej analýzy na určenie rozsahu opráv a rozšírení. Okrem toho tieto isté série hrajú dôležitú úlohu v Eliotovej vlnovej teórii. Sú jeho číselným základom.
Náš odborník Nikolay je osvedčeným portfólio manažérom v investičnej spoločnosti Vostok.
- — Nikolay, myslíš si, že výskyt Fibonacciho čísel a ich derivátov na grafoch rôznych nástrojov je náhodný? A dá sa povedať: „Praktická aplikácia Fibonacciho série“?
- — Mám zlý vzťah k mystike. A ešte viac na burzových grafoch. Všetko má svoje dôvody. v knihe “Fibonacci Levels” krásne opísal, kde sa objavuje zlatý rez, že ho neprekvapilo, že sa objavil na burzových kurzových tabuľkách. Ale márne! V mnohých príkladoch, ktoré uviedol, sa často objavuje číslo Pi. Ale z nejakého dôvodu to nie je zahrnuté v cenových reláciách.
- — Takže neveríte v účinnosť Eliotovho vlnového princípu?
- - Nie, o to nejde. Vlnový princíp je jedna vec. Číselný pomer je iný. A dôvody ich výskytu na cenových grafoch sú tretie
- — Aké sú podľa vás dôvody objavenia sa zlatého rezu na akciových grafoch?
- — Správna odpoveď na túto otázku vám môže priniesť Nobelovu cenu za ekonómiu. Zatiaľ môžeme hádať o skutočných dôvodoch. Zjavne nie sú v súlade s prírodou. Existuje mnoho modelov výmenných cien. Označený jav nevysvetľujú. Ale nepochopenie podstaty javu by nemalo popierať jav ako taký.
- — A ak bude tento zákon niekedy otvorený, bude schopný zničiť proces výmeny?
- — Ako ukazuje teória rovnakej vlny, zákon zmien cien akcií je čistou psychológiou. Zdá sa mi, že znalosť tohto zákona nič nezmení a nedokáže zničiť burzu.
Materiál poskytol blog webmastera Maxima.
Zhoda základných princípov matematiky v rôznych teóriách sa zdá byť neuveriteľná. Možno je to fantázia alebo prispôsobené pre konečný výsledok. Počkaj a uvidíš. Mnohé z toho, čo sa predtým považovalo za neobvyklé alebo nebolo možné: napríklad prieskum vesmíru sa stal bežnou vecou a nikoho neprekvapuje. Taktiež vlnová teória, ktorá môže byť nepochopiteľná, sa časom stane dostupnejšou a zrozumiteľnejšou. To, čo bolo predtým zbytočné, sa v rukách skúseného analytika stane silným nástrojom na predpovedanie budúceho správania.
Fibonacciho čísla v prírode.
Pozri
Teraz si povedzme, ako môžete vyvrátiť skutočnosť, že digitálna séria Fibonacci sa podieľa na akýchkoľvek vzorcoch v prírode.
Zoberme si akékoľvek ďalšie dve čísla a zostavme postupnosť s rovnakou logikou ako Fibonacciho čísla. To znamená, že nasledujúci člen postupnosti sa rovná súčtu predchádzajúcich dvoch. Zoberme si napríklad dve čísla: 6 a 51. Teraz zostavíme postupnosť, ktorú doplníme dvoma číslami 1860 a 3009. Všimnite si, že pri delení týchto čísel dostaneme číslo blízke zlatému rezu.
Zároveň sa čísla, ktoré boli získané pri delení ostatných párov, znížili od prvého k poslednému, čo nám umožňuje povedať, že ak táto séria bude pokračovať donekonečna, dostaneme číslo rovnajúce sa zlatému rezu.
Fibonacciho čísla teda nijako nevyčnievajú. Existujú ďalšie postupnosti čísel, ktorých je nekonečné množstvo, ktoré v dôsledku rovnakých operácií dávajú zlaté číslo phi.
Fibonacci nebol ezoterik. Nechcel dávať do čísel žiadnu mystiku, jednoducho riešil obyčajný problém o králikoch. A napísal postupnosť čísel, ktorá vyplývala z jeho problému, v prvom, druhom a ďalších mesiacoch, koľko králikov bude po chove. Do roka dostal rovnakú sekvenciu. A nemal som vzťah. Nehovorilo sa o žiadnom zlatom pomere alebo božskom vzťahu. To všetko bolo vynájdené po ňom počas renesancie.
V porovnaní s matematikou sú výhody Fibonacciho obrovské. Prevzal číselný systém od Arabov a dokázal jeho platnosť. Bol to ťažký a dlhý boj. Z rímskeho číselného systému: ťažké a nepohodlné na počítanie. Zanikol po Francúzskej revolúcii. Fibonacci nemá nič spoločné so zlatým rezom.
Existuje nekonečné množstvo špirál, najobľúbenejšie sú: prirodzená logaritmická špirála, Archimedova špirála a hyperbolická špirála.
Teraz sa pozrime na Fibonacciho špirálu. Táto po častiach zložená jednotka pozostáva z niekoľkých štvrťkruhov. A nie je to špirála ako taká.
Záver
Bez ohľadu na to, ako dlho hľadáme potvrdenie alebo vyvrátenie použiteľnosti Fibonacciho série na burze, takáto prax existuje.
Obrovské masy ľudí konajú podľa Fibonacciho línie, ktorá sa nachádza v mnohých užívateľských termináloch. Preto, či sa nám to páči alebo nie: Fibonacciho čísla ovplyvňujú a my môžeme tento vplyv využiť.
Nezabudnite si prečítať článok -.
Kanalieva Dana
V tejto práci sme študovali a analyzovali prejav Fibonacciho sekvenčných čísel v realite okolo nás. Objavili sme úžasný matematický vzťah medzi počtom špirál v rastlinách, počtom vetiev v akejkoľvek horizontálnej rovine a Fibonacciho sekvenčnými číslami. V ľudskej štruktúre sme videli aj prísnu matematiku. Molekula ľudskej DNA, v ktorej je zašifrovaný celý vývojový program človeka, dýchací systém, štruktúra ucha - všetko sa riadi určitými číselnými vzťahmi.
Sme presvedčení, že príroda má svoje vlastné zákony vyjadrené pomocou matematiky.
A matematika je veľmi dôležitý nástroj poznania tajomstvá prírody.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
MBOU "Stredná škola Pervomajskaja"
Okres Orenburg, kraj Orenburg
VÝSKUM
"Tajomstvo čísel"
Fibonacci"
Doplnila: Kanalieva Dana
Žiak 6. ročníka
Vedecký poradca:
Gazizová Valeria Valerievna
Učiteľ matematiky najvyššej kategórie
n Experimentálne
2012
Vysvetlivka ……………………………………………………………………………………………… 3.
Úvod. História Fibonacciho čísel ................................................................................. 4.
Kapitola 1. Fibonacciho čísla v živej prírode...........…. ………………………………………… 5.
Kapitola 2. Fibonacciho špirála............................................ .............................. 9.
Kapitola 3. Fibonacciho čísla v ľudských vynálezoch...........……………………………….. 13
Kapitola 4. Náš výskum……………………………………………………………………….. 16.
Kapitola 5. Záver, závery……………………………………………………………………………………………… 19.
Zoznam použitej literatúry a internetových stránok………………………………………………..21.
Predmet štúdia:
Človek, matematické abstrakcie vytvorené človekom, ľudské vynálezy, okolitá flóra a fauna.
Predmet štúdia:
forma a štruktúra skúmaných predmetov a javov.
Účel štúdie:
študovať prejavy Fibonacciho čísel a súvisiaci zákon zlatého rezu v štruktúre živých a neživých predmetov,
nájsť príklady použitia Fibonacciho čísel.
Ciele práce:
Opíšte spôsob konštrukcie Fibonacciho radu a Fibonacciho špirály.
Pozrite si matematické zákonitosti v štruktúre ľudí, flóry a neživej prírody z pohľadu fenoménu zlatého rezu.
Novinka výskumu:
Objav Fibonacciho čísel v realite okolo nás.
Praktický význam:
Využívanie získaných vedomostí a bádateľských zručností pri štúdiu iných školských predmetov.
Zručnosti a schopnosti:
Organizácia a priebeh experimentu.
Použitie odbornej literatúry.
Získanie schopnosti kontrolovať zozbieraný materiál (správa, prezentácia)
Návrh práce s výkresmi, schémami, fotografiami.
Aktívna účasť na diskusiách o vašej práci.
Výskumné metódy:
empirické (pozorovanie, experiment, meranie).
teoretické (logické štádium poznania).
Vysvetľujúca poznámka.
„Čísla vládnu svetu! Číslo je moc, ktorá vládne bohom a smrteľníkom!“ - toto hovorili starí Pythagorejci. Je tento základ Pytagorasovho učenia aktuálny aj dnes? Pri štúdiu vedy o číslach v škole sa chceme uistiť, že javy celého vesmíru skutočne podliehajú určitým numerickým vzťahom, aby sme našli toto neviditeľné spojenie medzi matematikou a životom!
Je naozaj v každom kvete,
V molekule aj v galaxii,
Číselné vzory
Táto prísna „suchá“ matematika?
Obrátili sme sa na moderný zdroj informácií - internet a prečítali sme si o Fibonacciho číslach, o magických číslach, ktoré sú plné veľkého tajomstva. Ukazuje sa, že tieto čísla možno nájsť v slnečniciach a šiškách, v krídlach vážok a hviezdice, v rytmoch ľudského srdca a v hudobných rytmoch...
Prečo je táto postupnosť čísel v našom svete taká bežná?
Chceli sme vedieť o tajomstvách Fibonacciho čísel. Táto výskumná práca bola výsledkom našej činnosti.
hypotéza:
v realite okolo nás je všetko postavené podľa úžasne harmonických zákonov s matematickou presnosťou.
Všetko na svete je premyslené a vypočítané naším najdôležitejším dizajnérom - Prírodou!
Úvod. História Fibonacciho série.
Úžasné čísla objavil taliansky stredoveký matematik Leonardo z Pisy, známy skôr ako Fibonacci. Cestou po východe sa zoznámil s výdobytkami arabskej matematiky a prispel k ich presunu na Západ. V jednom zo svojich diel s názvom „Kniha výpočtov“ predstavil Európe jeden z najväčších objavov všetkých čias – systém desiatkových čísel.
Jedného dňa si lámal hlavu nad riešením matematického problému. Snažil sa vytvoriť vzorec, ktorý by opísal postupnosť chovu králikov.
Riešením bol číselný rad, ktorého každé nasledujúce číslo je súčtom dvoch predchádzajúcich:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
Čísla, ktoré tvoria túto postupnosť, sa nazývajú „Fibonacciho čísla“ a samotná postupnosť sa nazýva Fibonacciho postupnosť.
"No a čo?" - poviete: "Naozaj môžeme sami prísť s podobnými radmi čísel, ktoré sa zvyšujú podľa daného postupu?" Skutočne, keď sa objavila séria Fibonacci, nikto vrátane neho netušil, ako blízko sa mu podarilo dostať k vyriešeniu jednej z najväčších záhad vesmíru!
Fibonacci viedol samotársky životný štýl, trávil veľa času v prírode a pri prechádzke v lese si všimol, že ho tieto čísla začali doslova prenasledovať. Všade v prírode sa s týmito číslami stretával znova a znova. Napríklad okvetné lístky a listy rastlín presne zapadajú do daného číselného radu.
Vo Fibonacciho číslach je zaujímavá vlastnosť: kvocient delenia nasledujúceho Fibonacciho čísla predchádzajúcim, keď samotné čísla rastú, má tendenciu k 1,618. Práve toto konštantné číslo delenia sa v stredoveku nazývalo Božská proporcia a teraz sa označuje ako zlatý rez alebo zlatý podiel.
V algebre sa toto číslo označuje gréckym písmenom phi (Ф)
Takže φ = 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
Nezáleží na tom, koľkokrát delíme jedno druhým číslom, ktoré k nemu susedí, vždy dostaneme 1,618. A ak urobíme opak, teda menšie číslo vydelíme väčším, dostaneme 0,618, toto je prevrátená hodnota 1 618. nazývaná aj zlatý rez.
Fibonacciho séria mohla zostať len matematickým incidentom, nebyť toho, že všetci výskumníci zlatého rozdelenia vo svete rastlín a zvierat, nehovoriac o umení, vždy prišli k tomuto radu ako k aritmetickému vyjadreniu zákona zlatého. divízie.
Vedci, ktorí analyzovali ďalšiu aplikáciu tohto číselného radu na prírodné javy a procesy, zistili, že tieto čísla sú obsiahnuté doslova vo všetkých objektoch živej prírody, v rastlinách, zvieratách a ľuďoch.
Úžasná matematická hračka sa ukázala ako jedinečný kód vložený do všetkých prírodných objektov samotným Stvoriteľom vesmíru.
Pozrime sa na príklady, kde sa Fibonacciho čísla vyskytujú v živej a neživej prírode.
Fibonacciho čísla v živej prírode.
Ak sa pozriete na rastliny a stromy okolo nás, môžete vidieť, koľko listov je na každom z nich. Z diaľky sa zdá, že vetvy a listy na rastlinách sú umiestnené náhodne, v žiadnom konkrétnom poradí. Vo všetkých rastlinách však zázračným, matematicky presným spôsobom, ktorá vetva odkiaľ vyrastie, ako budú vetvy a listy umiestnené v blízkosti stonky alebo kmeňa. Od prvého dňa svojho objavenia sa rastlina vo svojom vývoji presne riadi týmito zákonmi, to znamená, že sa náhodou neobjaví ani jeden list, ani jeden kvet. Ešte pred jeho objavením je rastlina už presne naprogramovaná. Koľko konárov bude na budúcom strome, kde budú rásť konáre, koľko listov bude na každom konári a ako a v akom poradí budú listy usporiadané. Spoločná práca botanikov a matematikov objasnila tieto úžasné prírodné javy. Ukázalo sa, že Fibonacciho séria sa prejavuje v usporiadaní listov na konári (fylotaxia), v počte otáčok na stonke, v počte listov v cykle, a preto sa prejavuje aj zákon zlatého rezu. sám.
Ak sa vydáte hľadať číselné vzory v živej prírode, všimnete si, že tieto čísla sa často nachádzajú v rôznych špirálovitých formách, ktoré sú vo svete rastlín také bohaté. Napríklad odrezky listov sú priľahlé k stonke v špirále, ktorá prebieha medzi nimidva susediace listy:plná rotácia - pri lieske,- pri dube, - pri topoľoch a hruškách,- pri vŕbe.
Semená slnečnice, Echinacea purpurea a mnohých ďalších rastlín sú usporiadané v špirálach a počet špirál v každom smere je Fibonacciho číslo.
Slnečnica, 21 a 34 špirál. Echinacea, 34 a 55 špirál.
Jasný, symetrický tvar kvetov tiež podlieha prísnemu zákonu.
Pri mnohých kvetoch je počet okvetných lístkov presne taký, ako čísla zo série Fibonacci. Napríklad:
dúhovka, 3p. masliaka, 5 lep. zlatý kvet, 8 lep. delphinium,
13 lep.
čakanka, 21lep. astra, 34 lep. sedmokrásky, 55 lep.
Séria Fibonacci charakterizuje štrukturálnu organizáciu mnohých živých systémov.
Už sme povedali, že pomer susedných čísel vo Fibonacciho rade je číslo φ = 1,618. Ukazuje sa, že človek sám je jednoducho zásobárňou čísel phi.
Proporcie jednotlivých častí nášho tela sú číslom veľmi blízkym zlatému rezu. Ak sa tieto proporcie zhodujú so vzorcom zlatého pomeru, potom sa vzhľad alebo telo osoby považujú za ideálne proporcie. Princíp výpočtu miery zlata na ľudskom tele možno znázorniť vo forme diagramu.
M/m = 1,618
Prvý príklad zlatého rezu v štruktúre ľudského tela:
Ak vezmeme bod pupka ako stred ľudského tela a vzdialenosť medzi chodidlom človeka a bodom pupka ako mernú jednotku, potom sa výška osoby rovná číslu 1,618.
Ľudská ruka
Stačí k sebe priblížiť dlaň a pozorne sa pozrieť na ukazovák a hneď v ňom nájdete vzorec zlatého rezu. Každý prst našej ruky pozostáva z troch falangov.
Súčet prvých dvoch falangov prsta vo vzťahu k celej dĺžke prsta udáva číslo zlatého rezu (s výnimkou palca).
Navyše, pomer medzi prostredníkom a malíčkom sa tiež rovná zlatému rezu.
Osoba má 2 ruky, prsty na každej ruke pozostávajú z 3 falangov (okrem palca). Na každej ruke je 5 prstov, teda spolu 10, ale s výnimkou dvoch dvojfalangových palcov je vytvorených len 8 prstov podľa princípu zlatého rezu. Zatiaľ čo všetky tieto čísla 2, 3, 5 a 8 sú čísla Fibonacciho postupnosti.
Zlatý rez v štruktúre ľudských pľúc
Americký fyzik B.D. West a Dr. A.L. Goldberger počas fyzikálnych a anatomických štúdií zistil, že zlatý rez existuje aj v štruktúre ľudských pľúc.
Zvláštnosť priedušiek, ktoré tvoria ľudské pľúca, spočíva v ich asymetrii. Priedušky pozostávajú z dvoch hlavných dýchacích ciest, z ktorých jedna (ľavá) je dlhšia a druhá (pravá) je kratšia.
Zistilo sa, že táto asymetria pokračuje vo vetvách priedušiek, vo všetkých menších dýchacích cestách. Navyše pomer dĺžok krátkych a dlhých priedušiek je tiež zlatým pomerom a rovná sa 1:1,618.
Umelci, vedci, módni návrhári, dizajnéri robia svoje výpočty, kresby alebo náčrty na základe pomeru zlatého rezu. Využívajú merania z ľudského tela, ktoré bolo tiež vytvorené podľa princípu zlatého rezu. Pred vytvorením svojich majstrovských diel Leonardo Da Vinci a Le Corbusier prevzali parametre ľudského tela vytvoreného podľa zákona zlatého podielu.
Existuje aj iná, prozaickejšia aplikácia proporcií ľudského tela. Pomocou týchto vzťahov napríklad analytici kriminality a archeológovia používajú fragmenty častí ľudského tela na rekonštrukciu vzhľadu celku.
Zlaté proporcie v štruktúre molekuly DNA.
Všetky informácie o fyziologických vlastnostiach živých bytostí, či už ide o rastlinu, zviera alebo človeka, sú uložené v mikroskopickej molekule DNA, ktorej štruktúra obsahuje aj zákon zlatého pomeru. Molekula DNA pozostáva z dvoch vertikálne prepletených špirál. Dĺžka každej z týchto špirál je 34 angstromov a šírka 21 angstromov. (1 angstrom je sto milióntina centimetra).
Takže 21 a 34 sú čísla nasledujúce za sebou v postupnosti Fibonacciho čísel, to znamená, že pomer dĺžky a šírky logaritmickej špirály molekuly DNA nesie vzorec zlatého pomeru 1:1,618.
Nielen vzpriamení chodci, ale ani všetky plávajúce, lezúce, lietajúce a skákajúce tvory neunikli osudu podriadiť sa číslu phi. Ľudský srdcový sval sa stiahne na 0,618 svojho objemu. Štruktúra ulity slimáka zodpovedá Fibonacciho proporciám. A takýchto príkladov možno nájsť neúrekom – ak by tu bola túžba skúmať prírodné objekty a procesy. Svet je tak presiaknutý Fibonacciho číslami, že sa niekedy zdá, že vesmír sa dá vysvetliť iba nimi.
Fibonacciho špirála.
V matematike neexistuje iná forma, ktorá by mala rovnaké jedinečné vlastnosti ako špirála, pretože
Štruktúra špirály je založená na pravidle zlatého rezu!
Aby sme pochopili matematickú konštrukciu špirály, zopakujme si, čo je zlatý rez.
Zlatý rez je také proporčné rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, pri ktorom celý segment súvisí s väčšou časťou, ako samotná väčšia časť súvisí s menšou, alebo inými slovami, menšia časť súvisí s čím väčší je tým väčší k celku.
To je (a+b) /a = a / b
Obdĺžnik s presne týmto pomerom strán sa začal nazývať zlatý obdĺžnik. Jeho dlhé strany sú v pomere ku krátkym stranám v pomere 1,168:1.
Zlatý obdĺžnik má veľa nezvyčajných vlastností. Vyrezanie štvorca zo zlatého obdĺžnika, ktorého strana sa rovná menšej strane obdĺžnika,
opäť nám vznikne menší zlatý obdĺžnik.
Tento proces môže pokračovať donekonečna. Keď budeme pokračovať v odkrajovaní štvorcov, skončíme pri stále menších zlatých obdĺžnikoch. Navyše budú umiestnené v logaritmickej špirále, čo je dôležité pri matematických modeloch prírodných objektov.
Napríklad špirálovitý tvar môžeme vidieť v usporiadaní slnečnicových semien, v ananásoch, kaktusoch, štruktúre ružových lístkov atď.
Sme prekvapení a potešení špirálovitou štruktúrou mušlí.
U väčšiny slimákov, ktoré majú ulity, ulita rastie v tvare špirály. Niet však pochýb o tom, že tieto nerozumné stvorenia nielenže nemajú o špirále ani potuchy, ale nemajú ani tie najjednoduchšie matematické znalosti, aby si sami vytvorili škrupinu v tvare špirály.
Ale ako potom boli tieto nerozumné stvorenia schopné určiť a zvoliť si pre seba ideálnu formu rastu a existencie vo forme špirálovej škrupiny? Dokázali by si tieto živé tvory, ktoré vedecký svet nazývajú primitívne formy života, spočítať, že špirálovitý tvar škrupiny by bol pre ich existenciu ideálny?
Pokúšať sa vysvetliť vznik takejto aj najprimitívnejšej formy života náhodnou kombináciou určitých prírodných okolností je prinajmenšom absurdné. Je jasné, že tento projekt je vedomým výtvorom.
Špirály existujú aj u ľudí. Pomocou špirál počujeme:
Vo vnútornom uchu človeka je tiež orgán nazývaný slimák ("slimák"), ktorý vykonáva funkciu prenosu zvukových vibrácií. Táto kostná štruktúra je naplnená tekutinou a vytvorená v tvare slimáka so zlatými proporciami.
Na našich dlaniach a prstoch sú špirály:
V živočíšnej ríši nájdeme aj množstvo príkladov špirál.
Rohy a kly zvierat sa vyvíjajú v tvare špirály, pazúry levov a zobáky papagájov sú logaritmické tvary a pripomínajú tvar osi, ktorá má tendenciu sa otáčať do špirály.
Je zaujímavé, že oblaky hurikánu a cyklónu sa krútia ako špirála a je to jasne viditeľné z vesmíru:
V oceánskych a morských vlnách môže byť špirála matematicky znázornená na grafe s bodmi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 a 55.
Každý spozná aj takúto „každodennú“ a „prozaickú“ špirálu.
Koniec koncov, voda uniká z kúpeľne v špirále:
Áno, a žijeme v špirále, pretože galaxia je špirála zodpovedajúca vzorcu Zlatého rezu!
Takže sme zistili, že ak vezmeme Zlatý obdĺžnik a rozdelíme ho na menšie obdĺžnikyv presnej Fibonacciho postupnosti a potom každú z nich znova a znova rozdeľte v takých pomeroch, dostanete systém nazývaný Fibonacciho špirála.
Túto špirálu sme objavili v tých najneočakávanejších objektoch a javoch. Teraz je jasné, prečo sa špirála nazýva aj „krivka života“.
Špirála sa stala symbolom evolúcie, pretože všetko sa vyvíja v špirále.
Fibonacciho čísla v ľudských vynálezoch.
Vedci a umelci, ktorí pozorovali zákon v prírode vyjadrený postupnosťou Fibonacciho čísel, sa ho snažia napodobniť a stelesniť tento zákon vo svojich výtvoroch.
Pomer phi vám umožňuje vytvárať majstrovské diela maľby a správne zapadnúť architektonické štruktúry do priestoru.
Nielen vedci, ale aj architekti, dizajnéri a umelci sú ohromení touto dokonalou špirálou lastúry nautilus,
zaberajú najmenej miesta a poskytujú najmenšie tepelné straty. Americkí a thajskí architekti, inšpirovaní príkladom „komorového nautila“ v otázke umiestnenia maxima do minimálneho priestoru, sú zaneprázdnení vývojom zodpovedajúcich projektov.
Od nepamäti sa podiel zlatého rezu považuje za najvyšší podiel dokonalosti, harmónie a dokonca božskosti. Zlatý rez nájdeme v sochách a dokonca aj v hudbe. Príkladom sú hudobné diela Mozarta. Dokonca aj výmenné kurzy a hebrejská abeceda obsahujú zlatý rez.
Chceme sa však zamerať na jedinečný príklad vytvorenia efektívnej solárnej inštalácie. Americký školák z New Yorku Aidan Dwyer dal dokopy svoje vedomosti o stromoch a zistil, že účinnosť solárnych elektrární sa dá zvýšiť pomocou matematiky. Počas zimnej prechádzky sa Dwyer čudoval, prečo stromy potrebujú taký „vzor“ konárov a listov. Vedel, že konáre na stromoch sú usporiadané podľa Fibonacciho postupnosti a listy vykonávajú fotosyntézu.
V určitom okamihu sa inteligentný chlapec rozhodol skontrolovať, či táto poloha konárov pomáha zbierať viac slnečného svetla. Aidan postavil pilotnú elektráreň na svojom dvore pomocou malých solárnych panelov namiesto listov a otestoval ju v akcii. Ukázalo sa, že v porovnaní s bežným plochým solárnym panelom jeho „strom“ zhromažďuje o 20 % viac energie a efektívne funguje o 2,5 hodiny dlhšie.
Dwyerov model slnečného stromu a grafy vytvorené študentom.
"Táto inštalácia tiež zaberá menej miesta ako plochý panel, v zime zbiera o 50 % viac slnka aj tam, kde nie je otočená na juh, a nehromadí sa v nej toľko snehu. Navyše, dizajn v tvare stromu je oveľa vhodnejší pre mestská krajina,“ poznamenáva mladý vynálezca.
Aidana spoznali jeden z najlepších mladých prírodovedcov roku 2011. Súťaž Mladý prírodovedec v roku 2011 usporiadalo Prírodovedné múzeum v New Yorku. Aidan podal predbežnú patentovú prihlášku na svoj vynález.
Vedci naďalej aktívne rozvíjajú teóriu Fibonacciho čísel a zlatého rezu.
Yu Matiyasevich rieši Hilbertov 10. problém pomocou Fibonacciho čísel.
Vznikajú elegantné metódy riešenia množstva kybernetických problémov (teória vyhľadávania, hry, programovanie) pomocou Fibonacciho čísel a zlatého rezu.
V USA dokonca vzniká Mathematical Fibonacci Association, ktorá od roku 1963 vydáva špeciálny časopis.
Vidíme teda, že rozsah Fibonacciho postupnosti čísel je veľmi mnohostranný:
Vedci pozorovaním javov vyskytujúcich sa v prírode dospeli k pozoruhodným záverom, že celý sled udalostí, ktoré sa vyskytujú v živote, revolúcie, krachy, bankroty, obdobia prosperity, zákony a vlny rozvoja na akciových a devízových trhoch, cykly rodinného života, a tak ďalej, sú organizované na časovej škále vo forme cyklov a vĺn. Tieto cykly a vlny sú tiež rozdelené podľa Fibonacciho číselného radu!
Na základe týchto poznatkov sa človek naučí predvídať a riadiť rôzne udalosti v budúcnosti.
4. Náš výskum.
Pokračovali sme v pozorovaní a študovali štruktúru
borovicová šiška
yarrow
komár
osoba
A presvedčili sme sa, že v týchto na prvý pohľad tak odlišných objektoch boli neviditeľne prítomné rovnaké čísla Fibonacciho postupnosti.
Takže, krok 1.
Vezmime si šišku:
Poďme sa na to pozrieť bližšie:
Všimli sme si dve série Fibonacciho špirál: jedna - v smere hodinových ručičiek, druhá - proti smeru hodinových ručičiek, ich počet 8 a 13.
Krok 2.
Vezmime si rebríček:
Starostlivo zvážme štruktúru stoniek a kvetov:
Všimnite si, že každá nová vetva rebríka rastie z pazuchy a nové vetvy vyrastajú z novej vetvy. Sčítaním starej a novej vetvy sme našli Fibonacciho číslo v každej horizontálnej rovine.
Krok 3.
Objavujú sa Fibonacciho čísla v morfológii rôznych organizmov? Zvážte známeho komára:
Vidíme: 3 páry nôh, hlava 5 tykadlá, brucho sa delí na 8 segmentov.
Záver:
Pri našom výskume sme videli, že v rastlinách okolo nás, živých organizmoch a dokonca aj v štruktúre človeka sa prejavujú čísla z Fibonacciho postupnosti, čo odráža harmóniu ich štruktúry.
Šiška, rebríček, komár a ľudská bytosť sú usporiadané s matematickou presnosťou.
Hľadali sme odpoveď na otázku: ako sa Fibonacciho séria prejavuje v realite okolo nás? Ale keď sme na to odpovedali, dostávali sme stále viac otázok.
Odkiaľ sa vzali tieto čísla? Kto je tento architekt vesmíru, ktorý sa ho pokúsil urobiť ideálnym? Špirála sa krúti alebo odvíja?
Aké úžasné je pre človeka zažiť tento svet!!!
Keď nájde odpoveď na jednu otázku, dostane ďalšiu. Ak to vyrieši, dostane dve nové. Keď sa s nimi vysporiada, objavia sa ďalší traja. Keď ich vyriešil, bude mať päť nevyriešených. Potom osem, potom trinásť, 21, 34, 55...
poznáš?
Záver.
samotným tvorcom do všetkých predmetov
Poskytuje sa jedinečný kód
A ten, kto je priateľský k matematike,
On to bude vedieť a pochopí!
Študovali sme a analyzovali prejav Fibonacciho sekvenčných čísel v realite okolo nás. Dozvedeli sme sa tiež, že vzory tohto číselného radu, vrátane vzorov „zlatej“ symetrie, sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v planetárnych a kozmických systémoch, v génových štruktúrach živých organizmov.
Objavili sme prekvapivý matematický vzťah medzi počtom špirál v rastlinách, počtom vetiev v akejkoľvek horizontálnej rovine a číslami vo Fibonacciho postupnosti. Videli sme, ako sa tomuto tajomnému zákonu podriaďuje aj morfológia rôznych organizmov. V ľudskej štruktúre sme videli aj prísnu matematiku. Molekula ľudskej DNA, v ktorej je zašifrovaný celý vývojový program človeka, dýchací systém, štruktúra ucha - všetko sa riadi určitými číselnými vzťahmi.
Dozvedeli sme sa, že šišky, ulity slimákov, morské vlny, zvieracie rohy, cyklónové oblaky a galaxie tvoria logaritmické špirály. Dokonca aj ľudský prst, ktorý sa skladá z troch falangov v zlatom pomere voči sebe navzájom, nadobúda pri stlačení špirálovitý tvar.
Večnosť času a svetelné roky priestoru oddeľujú borovicový kužeľ a špirálovú galaxiu, ale štruktúra zostáva rovnaká: koeficient 1,618 ! Možno je to primárny zákon upravujúci prírodné javy.
Potvrdzuje sa teda naša hypotéza o existencii špeciálnych číselných vzorov, ktoré sú zodpovedné za harmóniu.
Skutočne, všetko na svete je premyslené a vypočítané naším najdôležitejším dizajnérom - Prírodou!
Sme presvedčení, že Príroda má svoje vlastné zákony, vyjadrené pomocou matematiky. A matematika je veľmi dôležitý nástroj
spoznávať tajomstvá prírody.
Zoznam literatúry a internetových stránok:
1.
Vorobiev N. N. Fibonacciho čísla. - M., Nauka, 1984.
2. Ghika M. Estetika proporcií v prírode a umení. - M., 1936.
3. Dmitriev A. Chaos, fraktály a informácie. // Veda a život, č.5, 2001.
4. Kashnitsky S. E. Harmónia utkaná z paradoxov // Kultúra a
Život. - 1982.- č.10.
5. Malajčina G. Harmónia - identita paradoxov // MN. - 1982.- č.19.
6. Sokolov A. Tajomstvá zlatého rezu // Mládežnícka technika. - 1978.- č.5.
7. Stakhov A.P. Kódy zlatého podielu. - M., 1984.
8. Urmantsev Yu.A. Symetria prírody a povaha symetrie. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu. A. Zlatý rez // Príroda. - 1968.- č.11.
10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Zlatý pomer/trojka
Pohľad na povahu harmónie.-M., 1990.
11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Symetria vo vede a umení. -M.:
Taliansky matematik Leonardo Fibonacci žil v 13. storočí a ako jeden z prvých v Európe začal používať arabské (indické) číslice. Prišiel s trochu umelým problémom o králikoch, ktoré sa chovajú na farme, pričom všetky sú považované za samice a samci sú ignorovaní. Králiky sa začínajú množiť po dosiahnutí veku dvoch mesiacov a potom každý mesiac porodia králika. Králiky nikdy nezomrú.
Musíme určiť, koľko králikov bude na farme n mesiacov, ak v počiatočnom čase bol iba jeden novonarodený králik.
Je zrejmé, že farmár má jedného králika v prvom mesiaci a jedného králika v druhom mesiaci. Do tretieho mesiaca budú dva králiky, do štvrtého mesiaca tri atď. Označme počet králikov v n mesiac ako . teda 
,
,
,
,
,
…
Je možné zostaviť algoritmus na nájdenie 
pri akomkoľvek n.
Podľa vyhlásenia o probléme celkový počet králikov 
V n+1 mesiac je rozdelený na tri zložky:
mesačné králiky neschopné reprodukcie, v množstve
;
Tak dostaneme
. (8.1)
Vzorec (8.1) umožňuje vypočítať sériu čísel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..
Čísla v tomto poradí sa volajú Fibonacciho čísla .
Ak prijmeme 
A 
, potom pomocou vzorca (8.1) môžete určiť všetky ostatné Fibonacciho čísla. Vzorec (8.1) sa nazýva opakujúci
vzorec ( opakovanie
– „návrat“ v latinčine).
Príklad 8.1. Predpokladajme, že je tam schodisko n kroky. Môžeme na ňu stúpať v krokoch po jednom kroku, alebo v krokoch po dvoch krokoch. Koľko kombinácií rôznych liftingových metód existuje?
Ak n= 1, existuje len jedno riešenie problému. Pre n= 2 sú 2 možnosti: dva jednoduché kroky alebo jeden dvojitý. Pre n= 3 sú 3 možnosti: tri jednoduché schodíky alebo jeden jednoduchý a jeden dvojitý, alebo jeden dvojitý a jeden jednoduchý.
V nasledujúcom prípade n= 4, máme 5 možností (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Aby sme odpovedali na náhodne položenú otázku n, označme počet možností ako 
, a skúsme určiť 
podľa známeho 
A 
. Ak začneme jedným krokom, tak máme 
kombinácie pre zvyšok n kroky. Ak začneme dvojitým krokom, tak máme 
kombinácie pre zvyšok n– 1 krok. Celkový počet možností pre n+1 krok sa rovná
. (8.2)
Výsledný vzorec pripomína vzorec (8.1) ako dvojča. To nám však neumožňuje identifikovať počet kombinácií 
s Fibonacciho číslami 
. Vidíme to napríklad 
, Ale 
. Vzniká však nasledujúca závislosť:
.
Toto platí pre n= 1, 2 a tiež platí pre všetkých n. Fibonacciho čísla a počet kombinácií 
sa vypočítajú pomocou rovnakého vzorca, ale počiatočné hodnoty 
,
A 
,
líšia sa.
Príklad 8.2. Tento príklad má praktický význam pre problémy kódovania na opravu chýb. Nájdite počet všetkých binárnych slov dĺžky n, ktorý neobsahuje niekoľko núl za sebou. Označme toto číslo pomocou 
. samozrejme, 
a slová dĺžky 2, ktoré spĺňajú naše obmedzenie, sú: 10, 01, 11, t.j. 
. Nechaj 
- také slovo z n postavy. Ak je symbol 
, To 
môže byť ľubovoľné ( 
)-doslovné slovo, ktoré neobsahuje niekoľko núl za sebou. To znamená, že počet slov končiacich na jednu je 
.
Ak je symbol 
, tak určite 
, a prvý 
symbol 
môžu byť ľubovoľné, s výhradou uvažovaných obmedzení. Preto existuje 
dĺžka slov
n s nulou na konci. Celkový počet slov, ktoré nás zaujímajú, sa teda rovná
.
Zvažujem to 
A 
, výsledná postupnosť čísel sú Fibonacciho čísla.
Príklad 8.3. V príklade 7.6 sme zistili, že počet binárnych slov s konštantnou hmotnosťou t(a dĺžka k) sa rovná 
. Teraz nájdime počet binárnych slov s konštantnou hmotnosťou t, ktorý neobsahuje niekoľko núl za sebou.
Môžete uvažovať takto. Nechaj 
počet núl v predmetných slovách. Akékoľvek slovo má 
medzery medzi najbližšími nulami, z ktorých každá obsahuje jednu alebo viac jednotiek. Predpokladá sa, že 
. Inak neexistuje ani jedno slovo bez susedných núl.
Ak z každého intervalu odstránime práve jednu jednotku, dostaneme slovo dĺžky 
obsahujúce 
nuly. Akékoľvek takéto slovo možno uvedeným spôsobom získať od niektorých (a iba jedného) k-spisovné slovo obsahujúce 
nuly, z ktorých žiadne dve nesusedia. To znamená, že požadovaný počet sa zhoduje s počtom všetkých slov dĺžky 
, obsahujúci presne 
nuly, t.j. rovná sa 
.
Príklad 8.4. Dokážme, že súčet 
rovné Fibonacciho číslam pre akékoľvek celé číslo 
. Symbol 
znamenať najmenšie celé číslo väčšie alebo rovné
. Napríklad, ak 
, To 
; A keď 
, To 
strop("strop"). Je tam aj symbol 
, ktorý označuje najväčšie celé číslo menšie alebo rovné
. V angličtine sa táto operácia nazýva poschodie
("podlaha").
Ak 
, To 
. Ak 
, To 
. Ak 
, To 
.
V uvažovaných prípadoch sa teda súčet skutočne rovná Fibonacciho číslam. Teraz uvádzame dôkaz pre všeobecný prípad. Keďže Fibonacciho čísla možno získať pomocou rovnice opakovania (8.1), musí byť splnená rovnosť:
.
A skutočne to funguje:
Tu sme použili predtým získaný vzorec (4.4): 
.
Súčet Fibonacciho čísel
Určme súčet prvého n Fibonacciho čísla.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Je ľahké vidieť, že pridaním jednotky na pravú stranu každej rovnice opäť dostaneme Fibonacciho číslo. Všeobecný vzorec na určenie súčtu prvého n Fibonacciho čísla majú tvar:
Dokážme to pomocou metódy matematickej indukcie. Ak to chcete urobiť, napíšte:
Táto suma by sa mala rovnať 
.
Zmenšením ľavej a pravej strany rovnice o –1 dostaneme rovnicu (6.1).
Vzorec pre Fibonacciho čísla
Veta 8.1. Fibonacciho čísla možno vypočítať pomocou vzorca
.
Dôkaz. Overme si platnosť tohto vzorca pre n= 0, 1, a potom dokážeme platnosť tohto vzorca pre ľubovoľný n indukciou. Vypočítajme pomer dvoch najbližších Fibonacciho čísel:
Vidíme, že pomer týchto čísel kolíše okolo 1,618 (ak ignorujeme prvých pár hodnôt). Táto vlastnosť Fibonacciho čísel sa podobá podmienkam geometrickej progresie. Prijmime 
,
(
). Potom výraz
prevedené na
ktorý po zjednodušení vyzerá takto
.
Získali sme kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú rovnaké:
Teraz môžeme napísať:
(Kde c je konštanta). Obaja členovia 
A 
neuvádzajte napríklad Fibonacciho čísla 
, zatiaľ čo 
. Avšak rozdiel 
spĺňa rovnicu opakovania:
Pre n= 0 dáva tento rozdiel 
, teda: 
. Avšak, kedy n= 1 máme 
. Získať 
, musíte prijať: 
.
Teraz máme dve sekvencie: 
A 
, ktoré začínajú rovnakými dvoma číslami a spĺňajú rovnaký vzorec opakovania. Musia byť rovnaké: 
. Veta bola dokázaná.
Pri zvyšovaní nčlenom 
sa stáva veľmi veľkým 
a úloha člena 
rozdiel sa znižuje. Preto na slobode n môžeme približne písať
.
Ignorujeme 1/2 (pretože Fibonacciho čísla sa zvyšujú do nekonečna ako n do nekonečna).
Postoj 
volal Zlatý pomer, používa sa mimo matematiky (napríklad v sochárstve a architektúre). Zlatý rez je pomer medzi uhlopriečkou a stranou pravidelný päťuholník(obr. 8.1).
Ryža. 8.1. Pravidelný päťuholník a jeho uhlopriečky
Na označenie zlatého rezu je zvykom používať písmeno 
na počesť slávneho aténskeho sochára Phidiasa.
základné čísla
Všetky prirodzené čísla, veľké, spadajú do dvoch tried. Prvý zahŕňa čísla, ktoré majú práve dvoch prirodzených deliteľov, jedného a samého seba, druhý zahŕňa všetky ostatné. Volajú sa čísla prvej triedy jednoduché a druhý - zložený. Prvočísla v rámci prvých troch desiatok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Vlastnosti prvočísel a ich vzťah so všetkými prirodzenými číslami študoval Euklides (3. storočie pred Kristom). Ak si zapíšete prvočísla za sebou, všimnete si, že ich relatívna hustota klesá. Na prvých desať sú 4, teda 40 %, na sto – 25, t.j. 25 %, promile – 168, t.j. menej ako 17 %, na milión – 78498, t.j. menej ako 8% atď. Ich celkový počet je však nekonečný.
Medzi prvočíslami sú dvojice takých čísel, medzi ktorými je rozdiel rovný dvom (tzv jednoduché dvojčatá), konečnosť alebo nekonečnosť takýchto párov však nebola dokázaná.
Euklides považoval za samozrejmé, že vynásobením iba prvočísel možno získať všetky prirodzené čísla a každé prirodzené číslo možno znázorniť ako súčin prvočísel jedinečným spôsobom (až do poradia faktorov). Prvočísla teda tvoria multiplikatívny základ prirodzeného radu.
Štúdium distribúcie prvočísel viedlo k vytvoreniu algoritmu, ktorý umožňuje získať tabuľky prvočísel. Takýto algoritmus je sito Eratosthenes(3. storočie pred Kristom). Táto metóda spočíva v odstránení (napríklad vyčiarknutím) týchto celých čísel danej postupnosti 
, ktoré sú deliteľné aspoň o jedno z prvočísel menších 
.
Veta 8 . 2 . (Euklidovská veta). Počet prvočísel je nekonečný.
Dôkaz. Euklidovu vetu dokážeme o nekonečnosti počtu prvočísel metódou navrhnutou Leonhardom Eulerom (1707–1783). Euler zvažoval súčin nad všetkými prvočíslami p:
pri 
. Tento súčin konverguje a ak sa rozšíri, potom sa v dôsledku jedinečnosti rozkladu prirodzených čísel na prvočísla ukáže, že sa rovná súčtu radu 
, z ktorého vyplýva Eulerova identita:
.
Odkedy 
rad vpravo diverguje (harmonický rad), potom z Eulerovej identity vyplýva Euklidova veta.
Ruský matematik P.L. Čebyšev (1821–1894) odvodil vzorec, ktorý určuje hranice, v ktorých leží počet prvočísel 
, nepresahujúci X:
,
Kde 
,
.
Už ste niekedy počuli, že matematika sa nazýva „kráľovná všetkých vied“? Súhlasíte s týmto tvrdením? Pokiaľ pre vás matematika zostane len súborom nudných úloh v učebnici, sotva zažijete krásu, všestrannosť a dokonca aj humor tejto vedy.
Ale v matematike sú témy, ktoré pomáhajú robiť zaujímavé pozorovania vecí a javov, ktoré sú pre nás bežné. A dokonca sa pokúsiť preniknúť závojom tajomstva stvorenia nášho Vesmíru. Vo svete existujú zaujímavé vzorce, ktoré sa dajú opísať pomocou matematiky.
Predstavujeme Fibonacciho čísla
Fibonacciho čísla pomenovať prvky číselnej postupnosti. V ňom sa každé ďalšie číslo v rade získa sčítaním dvoch predchádzajúcich čísel.
Príklad sekvencie: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Môžete to napísať takto:
F 0 = 0, F 1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2, n ≥ 2
Môžete začať sériu Fibonacciho čísel so zápornými hodnotami n. Okrem toho je postupnosť v tomto prípade obojsmerná (to znamená, že pokrýva záporné a kladné čísla) a má tendenciu k nekonečnu v oboch smeroch.
Príklad takejto postupnosti: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
Vzorec v tomto prípade vyzerá takto:
Fn = Fn+1 - Fn+2 alebo inak môžete urobiť toto: F-n = (-1) n+1 Fn.
To, čo dnes poznáme ako „Fibonacciho čísla“, poznali starí indickí matematici dávno predtým, ako sa začali používať v Európe. A toto meno je vo všeobecnosti jedna súvislá historická anekdota. Začnime tým, že sám Fibonacci sa počas svojho života nikdy nevolal Fibonacci – toto meno sa začalo vzťahovať na Leonarda z Pisy až niekoľko storočí po jeho smrti. Ale povedzme si o všetkom pekne po poriadku.
Leonardo z Pisy, známy ako Fibonacci
Syn obchodníka, ktorý sa stal matematikom a následne získal uznanie od potomstva ako prvý významný matematik v Európe počas stredoveku. V neposlednom rade aj vďaka Fibonacciho číslam (ktoré sa, pamätajme, ešte tak nenazývali). Čo opísal na začiatku 13. storočia vo svojom diele „Liber abaci“ („Kniha Abacus“, 1202).
Cestoval som s otcom na východ, Leonardo študoval matematiku s arabskými učiteľmi (a v tých časoch patrili k najlepším odborníkom v tejto veci av mnohých iných vedách). Čítal diela matematikov staroveku a starovekej Indie v arabských prekladoch.
Keď Fibonacci dôkladne pochopil všetko, čo čítal, a použil svoju vlastnú zvedavú myseľ, napísal niekoľko vedeckých pojednaní o matematike, vrátane vyššie uvedenej „Knihy počítadla“. Okrem toho som vytvoril:
- "Practica geometriae" ("Prax geometrie", 1220);
- "Flos" ("Flower", 1225 - štúdia o kubických rovniciach);
- "Liber quadratorum" ("Kniha štvorcov", 1225 - problémy s neurčitými kvadratickými rovnicami).
Bol veľkým fanúšikom matematických turnajov, preto vo svojich pojednaniach venoval veľkú pozornosť rozboru rôznych matematických problémov.
O Leonardovom živote zostalo len veľmi málo biografických informácií. Pokiaľ ide o meno Fibonacci, pod ktorým sa zapísal do dejín matematiky, bolo mu pridelené až v 19. storočí.
Fibonacci a jeho problémy
Po Fibonaccim zostalo veľké množstvo problémov, ktoré boli v nasledujúcich storočiach medzi matematikmi veľmi obľúbené. Pozrieme sa na problém s králikmi, ktorý sa rieši pomocou Fibonacciho čísel.
Králiky nie sú len cennou kožušinou
Fibonacci si stanovil tieto podmienky: existuje pár novonarodených králikov (samec a samica) takého zaujímavého plemena, že pravidelne (od druhého mesiaca) produkujú potomstvo - vždy jeden nový pár králikov. Tiež, ako by ste mohli hádať, muž a žena.
Tieto podmienené králiky sú umiestnené v obmedzenom priestore a chovajú sa s nadšením. Je tiež stanovené, že ani jeden králik nezomrie na nejakú záhadnú králičiu chorobu.
Musíme si spočítať, koľko králikov dostaneme za rok.
- Na začiatku 1 mesiaca máme 1 pár králikov. Na konci mesiaca sa pária.
- Druhý mesiac - máme už 2 páry králikov (pár má rodičov + 1 pár je ich potomstvo).
- Tretí mesiac: Prvý pár porodí nový pár, druhý pár sa pári. Celkom - 3 páry králikov.
- Štvrtý mesiac: Prvý pár porodí nový pár, druhý pár nestráca čas a tiež porodí nový pár, tretí pár sa ešte len pári. Celkom - 5 párov králikov.
Počet králikov v n mesiac = počet párov králikov z predchádzajúceho mesiaca + počet párov novorodencov (je rovnaký počet párov králikov ako párov králikov pred 2 mesiacmi). A to všetko popisuje vzorec, ktorý sme už uviedli vyššie: Fn = Fn-1 + Fn-2.
Takto získame opakujúce sa (vysvetlenie o rekurzia– nižšie) číselný rad. V ktorej sa každé ďalšie číslo rovná súčtu predchádzajúcich dvoch:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
V sekvencii môžete pokračovať dlho: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Ale keďže sme si stanovili konkrétne obdobie - rok, zaujíma nás výsledok získaný 12. „ťahom“. Tie. 13. člen poradia: 377.
Odpoveď na problém: Ak budú splnené všetky uvedené podmienky, získa sa 377 králikov.
Jedna z vlastností Fibonacciho číselnej postupnosti je veľmi zaujímavá. Ak vezmete dva po sebe idúce páry zo série a vydelíte väčšie číslo menším číslom, výsledok sa bude postupne približovať Zlatý pomer(viac si o tom môžete prečítať neskôr v článku).
Z matematického hľadiska „hranica vzťahov a n+1 Komu a n rovná zlatému rezu".
Ďalšie problémy teórie čísel
- Nájdite číslo, ktoré možno deliť 7. Ak ho tiež vydelíte 2, 3, 4, 5, 6, zvyšok bude jedna.
- Nájdite štvorcové číslo. Je o nej známe, že ak k nej pripočítate 5 alebo odčítate 5, dostanete opäť štvorcové číslo.
Odporúčame vám hľadať odpovede na tieto problémy sami. Svoje možnosti nám môžete zanechať v komentároch k tomuto článku. A potom vám povieme, či boli vaše výpočty správne.
Vysvetlenie rekurzie
Rekurzia– definícia, popis, obraz objektu alebo procesu, ktorý obsahuje tento samotný objekt alebo proces. To znamená, že v podstate je objekt alebo proces súčasťou samého seba.
Rekurzia je široko používaná v matematike a informatike, dokonca aj v umení a populárnej kultúre.
Fibonacciho čísla sa určujú pomocou rekurentného vzťahu. Pre číslo n>2 n- e číslo sa rovná (n – 1) + (n – 2).
Vysvetlenie zlatého rezu
Zlatý pomer- rozdelenie celku (napríklad segmentu) na časti, ktoré spolu súvisia podľa nasledujúceho princípu: väčšia časť súvisí s menšou rovnako ako celá hodnota (napríklad súčet dvoch segmentov) na väčšiu časť.
Prvú zmienku o zlatom reze možno nájsť u Euklida v jeho pojednaní „Prvky“ (asi 300 pred Kristom). V kontexte konštrukcie pravidelného obdĺžnika.
Nám známy termín uviedol do obehu v roku 1835 nemecký matematik Martin Ohm.
Ak zlatý rez približne opíšeme, predstavuje pomerné rozdelenie na dve nerovnaké časti: približne 62 % a 38 %. V číselnom vyjadrení je zlatý rez číslo 1,6180339887 .
Zlatý rez nachádza praktické uplatnenie vo výtvarnom umení (obrazy Leonarda da Vinciho a iných renesančných maliarov), architektúre, kinematografii („Bojová loď Potemkin“ od S. Esensteina) a iných oblastiach. Dlho sa verilo, že zlatý rez je najestetickejšia proporcia. Tento názor je populárny dodnes. Aj keď podľa výsledkov výskumu vizuálne väčšina ľudí tento podiel nevníma ako najúspešnejšiu možnosť a považuje ho za príliš pretiahnutý (neúmerný).
- Dĺžka sekcie s = 1, A = 0,618, b = 0,382.
- Postoj s Komu A = 1, 618.
- Postoj s Komu b = 2,618
Teraz sa vráťme k Fibonacciho číslam. Zoberme si dva po sebe idúce pojmy z jeho postupnosti. Vydeľte väčšie číslo menším číslom a dostanete približne 1,618. A teraz použijeme rovnaké väčšie číslo a ďalší člen radu (t. j. ešte väčšie číslo) - ich pomer je skorý 0,618.
Tu je príklad: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 a 233/377 = 0,618
Mimochodom, ak sa pokúsite urobiť rovnaký experiment s číslami od začiatku postupnosti (napríklad 2, 3, 5), nič nebude fungovať. Takmer. Na začiatku sekvencie sa sotva dodržiava pravidlo zlatého rezu. Ale ako postupujete v sérii a čísla sa zvyšujú, funguje to skvele.
A na výpočet celého radu Fibonacciho čísel stačí poznať tri členy postupnosti, ktoré prichádzajú jeden po druhom. Môžete sa o tom presvedčiť na vlastné oči!
Zlatý obdĺžnik a Fibonacciho špirála
Ďalšou zaujímavou paralelou medzi Fibonacciho číslami a zlatým rezom je takzvaný „zlatý obdĺžnik“: jeho strany sú v pomere 1,618 ku 1. Ale už vieme, čo je číslo 1,618, však?
Zoberme si napríklad dva po sebe idúce členy Fibonacciho série – 8 a 13 – a zostrojme obdĺžnik s nasledujúcimi parametrami: šírka = 8, dĺžka = 13.
A potom veľký obdĺžnik rozdelíme na menšie. Povinná podmienka: dĺžky strán obdĺžnikov musia zodpovedať Fibonacciho číslam. Tie. Dĺžka strany väčšieho obdĺžnika sa musí rovnať súčtu strán dvoch menších obdĺžnikov.
Spôsob, akým sa to robí na tomto obrázku (pre pohodlie sú obrázky podpísané latinkou).
Mimochodom, obdĺžniky môžete zostaviť v opačnom poradí. Tie. začnite stavať so štvorcami so stranou 1. Do ktorých sa podľa princípu uvedeného vyššie dopĺňajú obrazce so stranami rovnými Fibonacciho číslam. Teoreticky by sa dalo pokračovať donekonečna – veď Fibonacciho séria je formálne nekonečná.
Ak spojíme rohy obdĺžnikov získaných na obrázku hladkou čiarou, dostaneme logaritmickú špirálu. Alebo skôr jeho špeciálnym prípadom je Fibonacciho špirála. Vyznačuje sa najmä tým, že nemá hranice a nemení tvar.
Podobná špirála sa často nachádza v prírode. Mušle sú jedným z najvýraznejších príkladov. Navyše, niektoré galaxie, ktoré možno vidieť zo Zeme, majú špirálový tvar. Ak dávate pozor na predpovede počasia v televízii, možno ste si všimli, že cyklóny majú pri fotografovaní zo satelitov podobný špirálovitý tvar.
Je zvláštne, že špirála DNA tiež dodržiava pravidlo zlatého rezu - zodpovedajúci vzor je možné vidieť v intervaloch jej ohybov.
Takéto úžasné „náhody“ nemôžu len vzrušovať mysle a viesť k hovoreniu o nejakom jedinom algoritme, ktorému sa riadia všetky javy v živote vesmíru. Už chápete, prečo sa tento článok volá takto? A aké úžasné svety vám môže otvoriť matematika?
Fibonacciho čísla v prírode
Spojenie medzi Fibonacciho číslami a zlatým rezom naznačuje zaujímavé vzory. Tak zvláštne, že je lákavé pokúsiť sa nájsť sekvencie podobné Fibonacciho číslam v prírode a dokonca aj počas historických udalostí. A príroda k takýmto domnienkam naozaj dáva podnety. Dá sa však všetko v našom živote vysvetliť a opísať pomocou matematiky?
Príklady živých vecí, ktoré možno opísať pomocou Fibonacciho postupnosti:
- usporiadanie listov (a konárov) v rastlinách - vzdialenosti medzi nimi korelujú s Fibonacciho číslami (fylotaxia);
- usporiadanie slnečnicových semien (semená sú usporiadané v dvoch radoch špirál skrútených v rôznych smeroch: jeden rad v smere hodinových ručičiek, druhý proti smeru hodinových ručičiek);
- usporiadanie šupín z borovicových šišiek;
- okvetné lístky;
- ananásové bunky;
- pomer dĺžok falangov prstov na ľudskej ruke (približne) atď.
Problémy kombinatoriky
Fibonacciho čísla sú široko používané pri riešení kombinatorických problémov.
Kombinatorika je odvetvie matematiky, ktoré študuje výber určitého počtu prvkov z určenej množiny, enumerácie atď.
Pozrime sa na príklady kombinatorických problémov určených pre stredoškolskú úroveň (zdroj - http://www.problems.ru/).
Úloha č. 1:
Lesha stúpa po schodoch s 10 schodmi. Naraz vyskočí buď o krok, alebo o dva. Koľkými spôsobmi môže Lesha vyliezť po schodoch?
Počet spôsobov, ktorými môže Lesha vyliezť po schodoch n kroky, označme a n. Z toho vyplýva 1 = 1, a 2= 2 (Lesha skočí buď o jeden alebo dva kroky).
Je tiež dohodnuté, že Lesha vyskočí po schodoch n> 2 kroky. Povedzme, že prvýkrát skočil o dva kroky. To znamená, že podľa podmienok problému potrebuje skočiť ďalšie n – 2 kroky. Potom je počet spôsobov dokončenia výstupu popísaný ako a n–2. A ak predpokladáme, že Lesha prvýkrát skočila iba o jeden krok, potom opíšeme počet spôsobov, ako dokončiť výstup ako a n–1.
Odtiaľ dostaneme nasledujúcu rovnosť: a n = a n–1 + a n–2(vyzerá povedome, však?).
Odkedy vieme 1 A a 2 a nezabudnite, že podľa podmienok problému existuje 10 krokov, všetky vypočítajte v poradí a n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, 10 = 89.
Odpoveď: 89 spôsobov.
Úloha č. 2:
Musíte nájsť počet slov dlhých 10 písmen, ktoré pozostávajú iba z písmen „a“ a „b“ a nesmú obsahovať dve písmená „b“ za sebou.
Označme podľa a n počet slov dĺžka n písmená, ktoré pozostávajú iba z písmen „a“ a „b“ a neobsahujú dve písmená „b“ za sebou. znamená, 1= 2, a 2= 3.
V sekvencii 1, a 2, <…>, a n prostredníctvom predchádzajúcich vyjadríme každého jej ďalšieho člena. Preto je počet slov dĺžky n písmená, ktoré tiež neobsahujú dvojité písmeno „b“ a začínajú písmenom „a“, sú a n–1. A ak je slovo dlhé n písmená začínajú písmenom „b“, je logické, že ďalšie písmeno v takomto slove je „a“ (napokon, podľa podmienok úlohy nemôžu byť dve „b“). Preto je počet slov dĺžky n v tomto prípade označujeme písmená ako a n–2. V prvom aj druhom prípade akékoľvek slovo (dĺžka n – 1 A n – 2 písmenami) bez dvojitého „b“.
Podarilo sa nám zdôvodniť prečo a n = a n–1 + a n–2.
Poďme teraz počítať a 3= a 2+ 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, 10= a 9+ a 8= 144. A dostaneme známu Fibonacciho postupnosť.
odpoveď: 144.
Úloha č. 3:
Predstavte si, že existuje páska rozdelená na bunky. Ide doprava a trvá neurčito. Na prvý štvorec pásky umiestnite kobylku. Na ktorejkoľvek bunke pásky sa môže pohybovať iba doprava: buď o jednu, alebo o dve. Koľko spôsobov môže kobylka preskočiť zo začiatku pásky na n-té bunky?
Označme počet spôsobov, ako presunúť kobylku pozdĺž pásu n-té bunky ako a n. V tomto prípade 1 = a 2= 1. Tiež v n+1 Kobylka môže vstúpiť do -tej bunky buď z n-tú bunku, alebo cez ňu preskočiť. Odtiaľ a n + 1 = a n – 1 + a n. Kde a n = Fn – 1.
odpoveď: Fn – 1.
Podobné problémy si môžete vytvoriť aj sami a pokúsiť sa ich vyriešiť na hodinách matematiky so svojimi spolužiakmi.
Fibonacciho čísla v populárnej kultúre
Samozrejme, taký nezvyčajný jav ako Fibonacciho čísla nemôže pritiahnuť pozornosť. V tomto prísne overenom vzore je stále niečo príťažlivé až tajomné. Nie je prekvapujúce, že Fibonacciho sekvencia sa akosi „rozsvietila“ v mnohých dielach modernej populárnej kultúry rôznych žánrov.
O niektorých z nich vám povieme. A ty sa znova pokúšaš hľadať sám seba. Ak ho nájdete, podeľte sa s nami v komentároch – aj my sme zvedaví!
- Fibonacciho čísla sa spomínajú v bestselleri Dana Browna Da Vinciho kód: Fibonacciho sekvencia slúži ako kód, ktorý používajú hlavní hrdinovia knihy na otvorenie trezoru.
- V americkom filme Pán Nikto z roku 2009 je v jednej epizóde adresa domu súčasťou Fibonacciho sekvencie – 12358. Okrem toho v ďalšej epizóde musí hlavná postava zavolať na telefónne číslo, ktoré je v podstate rovnaké, ale mierne skreslené (číslica navyše za číslom 5) sekvencia: 123-581-1321.
- V seriáli „Connection“ z roku 2012 je hlavná postava, chlapec trpiaci autizmom, schopný rozoznať vzorce v udalostiach, ktoré sa dejú vo svete. Vrátane cez Fibonacciho čísla. A riadiť tieto udalosti aj cez čísla.
- Vývojári java hry pre mobilné telefóny Doom RPG umiestnili na jednu z úrovní tajné dvere. Kód, ktorý ho otvára, je Fibonacciho sekvencia.
- V roku 2012 vydala ruská rocková skupina Splin koncepčný album „Optical Deception“. Ôsma skladba sa volá „Fibonacci“. Verše vedúceho skupiny Alexandra Vasilieva hrajú na postupnosť Fibonacciho čísel. Pre každý z deviatich po sebe idúcich výrazov existuje zodpovedajúci počet riadkov (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 Vlak vyrazil
1 Jeden kĺb praskol
1 Jeden rukáv sa triasol
2 To je všetko, vezmite si veci
To je všetko, vezmite si veci
3 Žiadosť o vriacu vodu
Vlak ide k rieke
Vlak ide cez tajgu<…>.
- Limerick (krátka báseň špecifickej formy - zvyčajne päť riadkov, so špecifickým rýmom, obsahovo vtipný, v ktorom sa prvý a posledný riadok opakujú alebo čiastočne duplikujú) od Jamesa Lyndona tiež používa odkaz na Fibonacciho sekvencia ako vtipný motív:
Husté jedlo Fibonacciho manželiek
Bolo to len v ich prospech, nič iné.
Manželky podľa povestí vážili,
Každá je ako predchádzajúce dve.
Poďme si to zhrnúť
Dúfame, že sme vám dnes mohli povedať veľa zaujímavých a užitočných vecí. Fibonacciho špirálu teraz môžete napríklad hľadať v prírode okolo vás. Možno to budete práve vy, kto bude schopný odhaliť „tajomstvo života, vesmíru a vôbec“.
Pri riešení kombinatorických úloh použite vzorec pre Fibonacciho čísla. Môžete sa spoľahnúť na príklady opísané v tomto článku.
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
Vo vesmíre je stále veľa nevyriešených záhad, z ktorých niektoré už vedci dokázali identifikovať a popísať. Fibonacciho čísla a zlatý rez tvoria základ pre rozpletanie sveta okolo nás, konštruovanie jeho podoby a optimálneho zrakového vnímania človekom, pomocou ktorého môže cítiť krásu a harmóniu.
Zlatý pomer
Princíp určovania rozmerov zlatého rezu je základom dokonalosti celého sveta a jeho častí v jeho štruktúre a funkciách, jeho prejav možno vidieť v prírode, umení a technike. Doktrína zlatého podielu bola založená ako výsledok výskumu starovekých vedcov o povahe čísel.
Vychádza z teórie proporcií a pomerov delenia segmentov, ktorú vytvoril staroveký filozof a matematik Pytagoras. Dokázal, že pri rozdelení segmentu na dve časti: X (menšie) a Y (väčšie), pomer väčšej k menšej sa bude rovnať pomeru ich súčtu (celý segment):
Výsledkom je rovnica: x 2 - x - 1 = 0, ktorý je riešený ako x=(1±√5)/2.
Ak vezmeme do úvahy pomer 1/x, potom sa rovná 1,618…
Dôkazy o používaní zlatého rezu starovekými mysliteľmi sú uvedené v Euklidovej knihe „Elements“, napísanej už v 3. storočí. BC, ktorý toto pravidlo aplikoval na konštrukciu pravidelných päťuholníkov. Medzi pytagorejcami je táto postava považovaná za posvätnú, pretože je symetrická aj asymetrická. Pentagram symbolizoval život a zdravie.
Fibonacciho čísla
Slávna kniha Liber abaci od talianskeho matematika Leonarda z Pisy, ktorý sa neskôr stal známym ako Fibonacci, vyšla v roku 1202. Vedec v nej prvýkrát cituje vzor čísel, v ktorých je každé číslo súčtom 2 predchádzajúce číslice. Fibonacciho postupnosť čísel je nasledovná:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 atď.
Vedec tiež uviedol niekoľko vzorov:
- Akékoľvek číslo zo série vydelené ďalším číslom sa bude rovnať hodnote, ktorá má tendenciu k 0,618. Navyše prvé Fibonacciho čísla nedávajú také číslo, ale keď sa posunieme od začiatku postupnosti, tento pomer bude čoraz presnejší.
- Ak vydelíte číslo zo série predchádzajúcim, výsledok sa ponáhľa na 1,618.
- Jedno číslo vydelené ďalším číslom bude ukazovať hodnotu s tendenciou k 0,382.
Uplatnenie spojenia a vzorov zlatého rezu, Fibonacciho čísla (0,618) nájdeme nielen v matematike, ale aj v prírode, histórii, architektúre a stavebníctve a v mnohých ďalších vedách.
Archimedova špirála a zlatý obdĺžnik
Špirály, veľmi bežné v prírode, študoval Archimedes, ktorý dokonca odvodil aj ich rovnicu. Tvar špirály vychádza zo zákonov zlatého rezu. Pri jeho odvíjaní sa získa dĺžka, na ktorú je možné aplikovať proporcie a Fibonacciho čísla; krok sa zvyšuje rovnomerne.
Paralelu medzi Fibonacciho číslami a zlatým rezom možno vidieť zostrojením „zlatého obdĺžnika“, ktorého strany sú proporcionálne 1,618:1. Stavia sa prechodom z väčšieho obdĺžnika na menšie tak, aby sa dĺžky strán rovnali číslam zo série. Môže byť tiež skonštruovaný v opačnom poradí, počnúc štvorcom „1“. Keď sú rohy tohto obdĺžnika spojené čiarami v strede ich priesečníka, získa sa Fibonacciho alebo logaritmická špirála.
História používania zlatých proporcií
Mnohé staroveké architektonické pamiatky Egypta boli postavené s použitím zlatých proporcií: slávne Cheopsove pyramídy atď. Architekti starovekého Grécka ich široko používali pri stavbe architektonických objektov, ako sú chrámy, amfiteátre a štadióny. Napríklad také proporcie boli použité pri stavbe antického chrámu Parthenon (Atény) a iných objektov, ktoré sa stali majstrovskými dielami starovekej architektúry, demonštrujúc harmóniu založenú na matematických vzoroch.
V neskorších storočiach záujem o zlatý rez upadol a na vzory sa zabudlo, ale opäť sa obnovil v renesancii s knihou františkánskeho mnícha L. Pacioli di Borgo „Božský pomer“ (1509). Obsahoval ilustrácie Leonarda da Vinciho, ktorý zaviedol nový názov „zlatý pomer“. Vedecky bolo dokázaných aj 12 vlastností zlatého rezu a autor hovoril o tom, ako sa prejavuje v prírode, v umení a nazval ho „princíp budovania sveta a prírody“.
Vitruviánsky muž Leonardo
Kresba, ktorú Leonardo da Vinci použil na ilustráciu knihy Vitruvius v roku 1492, zobrazuje ľudskú postavu v 2 polohách s rukami roztiahnutými do strán. Postava je vpísaná do kruhu a štvorca. Táto kresba sa považuje za kanonické proporcie ľudského tela (mužského), ktoré opísal Leonardo na základe ich štúdia v pojednaniach rímskeho architekta Vitruvia.
Stred tela ako bod v rovnakej vzdialenosti od konca rúk a nôh je pupok, dĺžka rúk sa rovná výške osoby, maximálna šírka ramien = 1/8 výšky, vzdialenosť od hornej časti hrudníka po vlasy = 1/7, od hornej časti hrudníka po vrch hlavy = 1/6 atď.
Odvtedy sa kresba používa ako symbol zobrazujúci vnútornú symetriu ľudského tela.
Leonardo použil termín „zlatý pomer“ na označenie proporčných vzťahov v ľudskej postave. Napríklad vzdialenosť od pása k chodidlám súvisí s rovnakou vzdialenosťou od pupka po temeno hlavy rovnakým spôsobom ako výška s prvou dĺžkou (od pása nadol). Tento výpočet sa robí podobne ako pomer segmentov pri výpočte zlatého podielu a smeruje k 1,618.
Všetky tieto harmonické proporcie často využívajú umelci na vytváranie krásnych a pôsobivých diel.
Výskum zlatého rezu v 16. až 19. storočí
S využitím zlatého rezu a Fibonacciho čísel prebieha výskum problematiky proporcií už stáročia. Paralelne s Leonardom da Vincim pracoval na rozvoji teórie správnych proporcií ľudského tela aj nemecký umelec Albrecht Durer. Na tento účel dokonca vytvoril špeciálny kompas.
V 16. storočí Otázkou súvislosti medzi Fibonacciho číslom a zlatým rezom sa venovala práca astronóma I. Keplera, ktorý tieto pravidlá prvýkrát aplikoval na botaniku.
V 19. storočí čakal zlatý rez nový „objav“. s publikáciou „Estetického skúmania“ nemeckého vedca profesora Zeisiga. Povýšil tieto proporcie na absolútne a vyhlásil, že sú univerzálne pre všetky prírodné javy. Uskutočnil štúdie obrovského počtu ľudí, alebo skôr ich telesných proporcií (asi 2 000), na základe výsledkov ktorých boli vyvodené závery o štatisticky potvrdených vzorcoch v pomeroch rôznych častí tela: dĺžka ramien, predlaktia, ruky, prsty atď.
Študovali sa aj umelecké predmety (vázy, architektonické štruktúry), hudobné tóny a veľkosti pri písaní básní - to všetko zobrazoval Zeisig prostredníctvom dĺžok segmentov a čísel a zaviedol aj pojem „matematická estetika“. Po obdržaní výsledkov sa ukázalo, že bola získaná séria Fibonacci.
Fibonacciho číslo a zlatý rez v prírode
V rastlinnom a živočíšnom svete existuje tendencia k morfológii vo forme symetrie, ktorá sa pozoruje v smere rastu a pohybu. Rozdelenie na symetrické časti, v ktorých sú pozorované zlaté proporcie - tento vzor je vlastný mnohým rastlinám a zvieratám.
Prírodu okolo nás možno opísať pomocou Fibonacciho čísel, napríklad:
- usporiadanie listov alebo vetiev akýchkoľvek rastlín, ako aj vzdialenosti, zodpovedajú sérii daných čísel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 atď.;
- slnečnicové semená (šupiny na šiškách, ananásové bunky), usporiadané v dvoch radoch pozdĺž skrútených špirál v rôznych smeroch;
- pomer dĺžky chvosta a celého tela jašterice;
- tvar vajíčka, ak nakreslíte čiaru cez jeho širokú časť;
- pomer veľkostí prstov na ruke človeka.
A samozrejme, medzi najzaujímavejšie tvary patria špirálovité ulity slimákov, vzory na pavučinách, pohyb vetra vo vnútri hurikánu, dvojitá špirála v DNA a štruktúra galaxií – to všetko zahŕňa Fibonacciho sekvenciu.
Použitie zlatého rezu v umení
Bádatelia hľadajúci príklady využitia zlatého rezu v umení podrobne študujú rôzne architektonické objekty a maliarske diela. Sú tu známe sochárske diela, ktorých tvorcovia sa držali zlatých rozmerov – sochy Dia Olympského, Apolóna Belvedera a
Jeden z výtvorov Leonarda da Vinciho, „Portrét Mony Lisy“, je už mnoho rokov predmetom výskumu vedcov. Zistili, že kompozícia diela pozostáva výlučne zo „zlatých trojuholníkov“ spojených do pravidelného päťuholníka-hviezdy. Všetky da Vinciho diela sú dôkazom toho, aké hlboké boli jeho znalosti o stavbe a proporciách ľudského tela, vďaka čomu dokázal zachytiť neuveriteľne tajomný úsmev Mony Lisy.
Zlatý rez v architektúre
Vedci napríklad skúmali architektonické majstrovské diela vytvorené podľa pravidiel „zlatého rezu“: egyptské pyramídy, Panteón, Parthenon, katedrála Notre Dame de Paris, katedrála Vasilija Blaženého atď.
Parthenon - jedna z najkrajších budov v starovekom Grécku (5. storočie pred Kristom) - má 8 stĺpov a 17 na rôznych stranách, pomer jeho výšky k dĺžke strán je 0,618. Výčnelky na jeho fasádach sú vyrobené podľa „zlatého pomeru“ (foto nižšie).
Jedným z vedcov, ktorý vymyslel a úspešne aplikoval vylepšenie modulárneho systému proporcií pre architektonické objekty (tzv. „modulor“), bol francúzsky architekt Le Corbusier. Modulátor je založený na meracom systéme spojenom s podmieneným rozdelením na časti ľudského tela.
Ruský architekt M. Kazakov, ktorý v Moskve postavil niekoľko obytných budov, ako aj budovu Senátu v Kremli a Golitsynovu nemocnicu (dnes 1. klinika pomenovaná po N. I. Pirogovovi), bol jedným z architektov, ktorí využili zákony pri projektovaní a konštrukcia o zlatom reze.
Aplikácia proporcií v dizajne
V odevnom dizajne všetci módni návrhári vytvárajú nové obrázky a modely s prihliadnutím na proporcie ľudského tela a pravidlá zlatého rezu, hoci od prírody nie všetci ľudia majú ideálne proporcie.
Pri plánovaní krajinného dizajnu a vytváraní trojrozmerných parkových kompozícií pomocou rastlín (stromov a kríkov), fontán a malých architektonických objektov možno uplatniť aj zákony „božských proporcií“. Kompozícia parku má byť predsa zameraná na vytvorenie dojmu na návštevníka, ktorý sa v ňom bude môcť voľne pohybovať a nájsť kompozičné centrum.
Všetky prvky parku sú v takých proporciách, aby pomocou geometrickej štruktúry, vzájomnej polohy, osvetlenia a svetla vytvárali dojem harmónie a dokonalosti.
Aplikácia zlatého rezu v kybernetike a technike
Zákony zlatého rezu a Fibonacciho čísla sa objavujú aj v energetických prechodoch, v procesoch prebiehajúcich s elementárnymi časticami, ktoré tvoria chemické zlúčeniny, vo vesmírnych systémoch a v genetickej štruktúre DNA.
Podobné procesy sa vyskytujú v ľudskom tele, ktoré sa prejavujú v biorytmoch jeho života, v činnosti orgánov, napríklad mozgu alebo zraku.
Algoritmy a vzory zlatých proporcií sú široko používané v modernej kybernetike a počítačovej vede. Jednou z jednoduchých úloh, ktoré musia začínajúci programátori riešiť, je napísať vzorec a určiť súčet Fibonacciho čísel do určitého čísla pomocou programovacích jazykov.
Moderný výskum teórie zlatého rezu
Od polovice 20. storočia prudko vzrástol záujem o problémy a vplyv zákonov zlatých rozmerov na ľudský život a zo strany mnohých vedcov rôznych profesií: matematikov, etnických vedcov, biológov, filozofov, zdravotníckych pracovníkov, ekonómov, hudobníkov, atď.
V USA začal v 70. rokoch vychádzať časopis The Fibonacci Quarterly, kde vychádzali práce na túto tému. V tlači sa objavujú diela, v ktorých sa zovšeobecnené pravidlá zlatého rezu a Fibonacciho série využívajú v rôznych oblastiach poznania. Napríklad pre kódovanie informácií, chemický výskum, biologický výskum atď.
To všetko potvrdzuje závery starovekých a moderných vedcov, že zlatý podiel mnohostranne súvisí so základnými otázkami vedy a prejavuje sa v symetrii mnohých výtvorov a javov sveta okolo nás.
