Kvadratická rovnica - ľahké riešenie! *Ďalej uvádzané ako „KU“. Priatelia, zdalo by sa, že v matematike nemôže byť nič jednoduchšie ako vyriešiť takúto rovnicu. Niečo mi však hovorilo, že veľa ľudí s ním má problémy. Rozhodol som sa zistiť, koľko zobrazení na požiadanie poskytuje Yandex za mesiac. Tu je to, čo sa stalo, pozrite sa:

Čo to znamená? To znamená, že tieto informácie hľadá mesačne asi 70 000 ľudí, a to je leto a čo sa stane počas školského roka - žiadostí bude dvakrát toľko. To nie je prekvapujúce, pretože chlapci a dievčatá, ktorí už dávno ukončili školu a pripravujú sa na jednotnú štátnu skúšku, tieto informácie hľadajú a školáci sa tiež snažia osviežiť si pamäť.

Napriek tomu, že existuje veľa stránok, ktoré vám poradia, ako vyriešiť túto rovnicu, rozhodol som sa tiež prispieť a materiál zverejniť. Po prvé, chcem, aby návštevníci prichádzali na moju stránku na základe tejto požiadavky. po druhé, v iných článkoch, keď sa objaví téma „KU“, uvediem odkaz na tento článok; po tretie, poviem vám o jeho riešení trochu viac, ako sa zvyčajne uvádza na iných stránkach. Začnime! Obsah článku:

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

kde koeficienty a,ba c sú ľubovoľné čísla, pričom a≠0.

V školskom kurze je materiál uvedený v tejto forme - rovnice sú rozdelené do troch tried:

1. Majú dva korene.

2. *Mať iba jeden koreň.

3. Nemajú korene. Tu je potrebné poznamenať, že nemajú skutočné korene

Ako sa vypočítavajú korene? Len!

Vypočítame diskriminant. Pod týmto „strašným“ slovom sa skrýva veľmi jednoduchý vzorec:

Koreňové vzorce sú nasledovné:

*Tieto vzorce musíte vedieť naspamäť.

Môžete okamžite zapísať a vyriešiť:

Príklad:

1. Ak D > 0, potom má rovnica dva korene.

2. Ak D = 0, potom rovnica má jeden koreň.

3. Ak D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pozrime sa na rovnicu:

V tomto ohľade, keď je diskriminant rovný nule, školský kurz hovorí, že sa získa jeden koreň, tu sa rovná deviatim. Všetko je správne, je to tak, ale...

Táto myšlienka je trochu nesprávna. V skutočnosti existujú dva korene. Áno, áno, nečudujte sa, dostanete dva rovnaké korene a aby som bol matematicky presný, odpoveď by mala písať dva korene:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale je to tak - malá odbočka. V škole si to môžete zapísať a povedať, že existuje jeden koreň.

Teraz ďalší príklad:

Ako vieme, koreň zo záporného čísla nemožno vziať, takže v tomto prípade neexistuje žiadne riešenie.

To je celý rozhodovací proces.

Kvadratická funkcia.

To ukazuje, ako vyzerá riešenie geometricky. Toto je mimoriadne dôležité pochopiť (v budúcnosti v jednom z článkov podrobne rozoberieme riešenie kvadratickej nerovnosti).

Toto je funkcia formulára:

kde x a y sú premenné

a, b, c – dané čísla, pričom a ≠ 0

Graf je parabola:

To znamená, že sa ukáže, že riešením kvadratickej rovnice s „y“ rovným nule nájdeme priesečníky paraboly s osou x. Môžu existovať dva z týchto bodov (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) a žiadny (diskriminant je záporný). Podrobnosti o kvadratickej funkcii Môžete zobraziťčlánok Inny Feldmanovej.

Pozrime sa na príklady:

Príklad 1: Riešte 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpoveď: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ľavú a pravú stranu rovnice bolo možné okamžite vydeliť 2, teda zjednodušiť. Výpočty budú jednoduchšie.

Príklad 2: Rozhodnite sa x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Zistili sme, že x 1 = 11 a x 2 = 11

V odpovedi je dovolené napísať x = 11.

Odpoveď: x = 11

Príklad 3: Rozhodnite sa x 2 – 8 x + 72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je záporný, v reálnych číslach neexistuje riešenie.

Odpoveď: žiadne riešenie

Diskriminant je negatívny. Existuje riešenie!

Tu si povieme o riešení rovnice v prípade, že dostaneme záporný diskriminant. Vieš niečo o komplexných číslach? Nebudem sa tu rozpisovať o tom, prečo a kde vznikli a aká je ich špecifická úloha a nevyhnutnosť v matematike, to je téma na veľký samostatný článok.

Koncept komplexného čísla.

Trochu teórie.

Komplexné číslo z je číslo tvaru

z = a + bi

kde a a b sú reálne čísla, i je takzvaná imaginárna jednotka.

a+bi – toto je JEDNO ČÍSLO, nie dodatok.

Imaginárna jednotka sa rovná odmocnine mínus jedna:

Teraz zvážte rovnicu:

Získame dva konjugované korene.

Neúplná kvadratická rovnica.

Uvažujme o špeciálnych prípadoch, keď sa koeficient „b“ alebo „c“ rovná nule (alebo sa oba rovnajú nule). Dajú sa ľahko vyriešiť bez akýchkoľvek diskriminátorov.

Prípad 1. Koeficient b = 0.

Rovnica sa stáva:

Poďme sa transformovať:

Príklad:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Prípad 2. Koeficient c = 0.

Rovnica sa stáva:

Poďme transformovať a faktorizovať:

*Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

Príklad:

9x 2 – 45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 alebo x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Prípad 3. Koeficienty b = 0 a c = 0.

Tu je jasné, že riešenie rovnice bude vždy x = 0.

Užitočné vlastnosti a vzorce koeficientov.

Existujú vlastnosti, ktoré umožňujú riešiť rovnice s veľkými koeficientmi.

AX 2 + bx+ c=0 platí rovnosť

a + b+ c = 0, To

- ak pre koeficienty rovnice AX 2 + bx+ c=0 platí rovnosť

a+ c =b, To

Tieto vlastnosti pomáhajú riešiť určitý typ rovnice.

Príklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Súčet kurzov je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, čo znamená

Príklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Rovnosť platí a+ c =b, Prostriedky

Zákonitosti koeficientov.

1. Ak sa v rovnici ax 2 + bx + c = 0 koeficient „b“ rovná (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom sa jej korene rovnajú

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ak sa v rovnici ax 2 – bx + c = 0 koeficient „b“ rovná (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom sa jej korene rovnajú

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 15x 2 – 226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ak v rov. ax 2 + bx – c = 0 koeficient „b“ sa rovná (a 2 – 1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom sú jeho korene rovnaké

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ak sa v rovnici ax 2 – bx – c = 0 koeficient „b“ rovná (a 2 – 1) a koeficient c sa číselne rovná koeficientu „a“, potom sa jej korene rovnajú

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietov teorém.

Vietova veta je pomenovaná po slávnom francúzskom matematikovi Francoisovi Vietovi. Pomocou Vietovej vety môžeme vyjadriť súčet a súčin koreňov ľubovoľnej KU pomocou jej koeficientov.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Celkovo číslo 14 dáva iba 5 a 9. Toto sú korene. S určitou zručnosťou, pomocou prezentovanej vety, môžete okamžite vyriešiť veľa kvadratických rovníc ústne.

Okrem toho Vietova veta. Je to výhodné v tom, že po vyriešení kvadratickej rovnice zvyčajným spôsobom (cez diskriminant) možno výsledné korene skontrolovať. Odporúčam to robiť vždy.

SPÔSOB PREPRAVY

Pri tejto metóde sa koeficient „a“ násobí voľným členom, akoby mu bol „hodený“, preto sa nazýva tzv. "prenosová" metóda. Táto metóda sa používa vtedy, keď sa korene rovnice dajú ľahko nájsť pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Ak A± b+c≠ 0, potom sa použije technika prenosu, napríklad:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pomocou Vietovej vety v rovnici (2) je ľahké určiť, že x 1 = 10 x 2 = 1

Výsledné korene rovnice je potrebné vydeliť 2 (keďže boli „vyhodené“ z x 2), dostaneme

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Aké je zdôvodnenie? Pozri, čo sa deje.

Diskriminanty rovníc (1) a (2) sú rovnaké:

Ak sa pozriete na korene rovníc, dostanete iba rôznych menovateľov a výsledok závisí presne od koeficientu x 2:

Druhý (upravený) má korene, ktoré sú 2-krát väčšie.

Preto výsledok vydelíme 2.

*Ak trojicu prehodíme, výsledok vydelíme 3 atď.

Odpoveď: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie a jednotná štátna skúška.

Stručne vám poviem o jeho dôležitosti - MUSÍTE BYŤ SCHOPNÝ ROZHODOVAŤ sa rýchlo a bez premýšľania, musíte poznať vzorce koreňov a diskriminantov naspamäť. Mnoho problémov zahrnutých v úlohách jednotnej štátnej skúšky sa scvrkáva na riešenie kvadratickej rovnice (vrátane geometrických).

Niečo, čo stojí za zmienku!

1. Forma zápisu rovnice môže byť „implicitná“. Napríklad je možný nasledujúci záznam:

15+ 9x 2 - 45x = 0 alebo 15x+42+9x 2 - 45x=0 alebo 15 -5x+10x 2 = 0.

Musíte to priniesť do štandardného formulára (aby ste sa pri riešení nezmiatli).

2. Pamätajte, že x je neznáma veličina a možno ju označiť ľubovoľným iným písmenom - t, q, p, h a ďalšími.

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Program nielenže dáva odpoveď na problém, ale tiež zobrazuje proces riešenia dvoma spôsobmi:
- pomocou diskriminantu
- pomocou Vietovej vety (ak je to možné).

Okrem toho sa odpoveď zobrazuje ako presná, nie približná.
Napríklad pre rovnicu \(81x^2-16x-1=0\) sa odpoveď zobrazí v nasledujúcom tvare:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ a nie takto: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov na všeobecnovzdelávacích školách pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou a rodičom pri ovládaní riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Môžete tak viesť vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov či sestier, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešenia problémov.

Ak nepoznáte pravidlá zadávania kvadratického polynómu, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie kvadratického polynómu

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) atď.

Čísla je možné zadať ako celé alebo zlomkové čísla.
Okrem toho je možné zadávať zlomkové čísla nielen vo forme desatinných miest, ale aj vo forme obyčajného zlomku.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch môže byť zlomková časť oddelená od celej časti bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné zlomky takto: 2,5x – 3,5x^2

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Výsledok: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Pri zadávaní výrazu môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa pri riešení kvadratickej rovnice najskôr zjednoduší zavedený výraz.
Napríklad: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Rozhodnite sa

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Kvadratická rovnica a jej korene. Neúplné kvadratické rovnice

Každá z rovníc
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
vyzerá ako
\(ax^2+bx+c=0, \)
kde x je premenná, a, b a c sú čísla.
V prvej rovnici a = -1, b = 6 a c = 1,4, v druhej a = 8, b = -7 a c = 0, v tretej a = 1, b = 0 a c = 4/9. Takéto rovnice sa nazývajú kvadratické rovnice.

Definícia.
Kvadratická rovnica sa nazýva rovnica v tvare ax 2 +bx+c=0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a \(a \neq 0 \).

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice. Číslo a sa nazýva prvý koeficient, číslo b je druhý koeficient a číslo c je voľný člen.

V každej z rovníc tvaru ax 2 +bx+c=0, kde \(a\neq 0\) je najväčšia mocnina premennej x druhá mocnina. Odtiaľ názov: kvadratická rovnica.

Všimnite si, že kvadratická rovnica sa tiež nazýva rovnica druhého stupňa, pretože jej ľavá strana je polynómom druhého stupňa.

Kvadratická rovnica, v ktorej sa koeficient x 2 rovná 1, sa nazýva daná kvadratická rovnica. Napríklad uvedené kvadratické rovnice sú rovnice
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ak v kvadratickej rovnici ax 2 +bx+c=0 je aspoň jeden z koeficientov b alebo c rovný nule, potom sa takáto rovnica nazýva neúplná kvadratická rovnica. Teda rovnice -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sú neúplné kvadratické rovnice. V prvom z nich b=0, v druhom c=0, v treťom b=0 a c=0.

Existujú tri typy neúplných kvadratických rovníc:
1) ax 2 +c=0, kde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Uvažujme o riešení rovníc každého z týchto typov.

Ak chcete vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 +c=0 pre \(c \neq 0 \), presuňte jej voľný člen na pravú stranu a vydeľte obe strany rovnice a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Šípka doprava x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pretože \(c \neq 0 \), potom \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ak \(-\frac(c)(a)>0\), potom má rovnica dva korene.

Ak \(-\frac(c)(a) Na vyriešenie neúplnej kvadratickej rovnice tvaru ax 2 +bx=0 s \(b \neq 0 \) vynásobíme jej ľavú stranu a získame rovnicu
\(x(ax+b)=0 \šípka doprava \vľavo\( \začiatok(pole)(l) x=0 \\ ax+b=0 \koniec(pole) \vpravo. \šípka doprava \vľavo\( \začiatok (pole)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(pole) \vpravo. \)

To znamená, že neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +bx=0 pre \(b \neq 0 \) má vždy dva korene.

Neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = 0, a preto má jeden koreň 0.

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Uvažujme teraz, ako vyriešiť kvadratické rovnice, v ktorých sú koeficienty neznámych aj voľný člen nenulové.

Vyriešme kvadratickú rovnicu vo všeobecnom tvare a ako výsledok získame vzorec pre korene. Tento vzorec potom možno použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.

Vyriešte kvadratickú rovnicu ax 2 +bx+c=0

Delením oboch strán a získame ekvivalentnú redukovanú kvadratickú rovnicu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformujme túto rovnicu výberom štvorca binomu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \šípka doprava \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \šípka doprava \) \(\vľavo(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \šípka doprava \left(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \šípka doprava \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Šípka doprava x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \šípka doprava \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikálny výraz je tzv diskriminant kvadratickej rovnice ax 2 +bx+c=0 („diskriminačný“ v latinčine - diskriminátor). Označuje sa písmenom D, t.j.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz pomocou diskriminačného zápisu prepíšeme vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kde \(D= b^2-4ac \)

Je zrejmé, že:
1) Ak D>0, potom má kvadratická rovnica dva korene.
2) Ak D=0, potom má kvadratická rovnica jeden koreň \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ak D Teda v závislosti od hodnoty diskriminantu môže mať kvadratická rovnica dva korene (pre D > 0), jeden koreň (pre D = 0) alebo nemá žiadne korene (pre D Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca, je vhodné postupovať nasledovne:
1) vypočítajte diskriminant a porovnajte ho s nulou;
2) ak je diskriminant kladný alebo rovný nule, použite koreňový vzorec; ak je diskriminant záporný, zapíšte, že neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Daná kvadratická rovnica ax 2 -7x+10=0 má korene 2 a 5. Súčet koreňov je 7 a súčin je 10. Vidíme, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu prijatému s opačným znak a súčin koreňov sa rovná voľnému termínu. Túto vlastnosť má každá redukovaná kvadratická rovnica, ktorá má korene.

Súčet koreňov vyššie uvedenej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Tie. Vietova veta hovorí, že korene x 1 a x 2 redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 majú vlastnosť:
\(\vľavo\( \začiatok(pole)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \koniec(pole) \vpravo. \)

Rovnica formulára

Výraz D= b 2 - 4 ak volal diskriminačný kvadratická rovnica. AkD = 0, potom má rovnica jeden skutočný koreň; ak D> 0, potom má rovnica dva skutočné korene.
V prípade D = 0 , niekedy sa hovorí, že kvadratická rovnica má dva rovnaké korene.
Použitie notácie D= b 2 - 4 ak, môžeme vzorec (2) prepísať do tvaru

Ak b= 2k, potom vzorec (2) má tvar:

Kde k= b / 2 .
Posledný vzorec je obzvlášť vhodný v prípadoch, keď b / 2 - celé číslo, t.j. koeficient b- párne číslo.
Príklad 1: Vyriešte rovnicu 2 X 2 - 5 x + 2 = 0 . Tu a = 2, b = -5, c = 2. Máme D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Pretože D > 0 , potom má rovnica dva korene. Nájdite ich pomocou vzorca (2)

Takže X 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
to jest X 1 = 2 A X 2 = 1 / 2 - korene danej rovnice.
Príklad 2: Vyriešte rovnicu 2 X 2 - 3 x + 5 = 0 . Tu a = 2, b = -3, c = 5. Hľadanie diskriminujúceho D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Pretože D 0 , potom rovnica nemá skutočné korene.

Neúplné kvadratické rovnice. Ak v kvadratickej rovnici sekera 2 +bx+ c =0 druhý koeficient b alebo voľný člen c sa rovná nule, potom sa nazýva kvadratická rovnica neúplné. Neúplné rovnice sú oddelené, pretože na nájdenie ich koreňov nemusíte použiť vzorec pre korene kvadratickej rovnice – rovnicu je jednoduchšie vyriešiť rozpočítaním jej ľavej strany.
Príklad 1: vyriešiť rovnicu 2 X 2 - 5 x = 0 .
Máme X(2x - 5) = 0 . Takže buď X = 0 , alebo 2 X - 5 = 0 , teda X = 2.5 . Takže rovnica má dva korene: 0 A 2.5
Príklad 2: vyriešiť rovnicu 3 X 2 - 27 = 0 .
Máme 3 X 2 = 27 . Preto korene tejto rovnice sú 3 A -3 .

Vietov teorém. Ak redukovaná kvadratická rovnica X 2 +px+q =0 má skutočné korene, potom sa ich súčet rovná - p a produkt je rovnaký q, teda

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(súčet koreňov vyššie uvedenej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu).

Vidiecka stredná škola Kopyevskaya

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

obec Kopevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice od al-Khorezmiho

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa už v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace so zisťovaním výmer pozemkov a s výkopovými prácami vojenského charakteru, ako aj ako s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Kvadratické rovnice sa dali vyriešiť okolo roku 2000 pred Kristom. e. Babylončania.

Pomocou modernej algebraickej notácie môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu dospeli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty poskytujú len problémy s riešeniami položenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu, akým boli nájdené.

Napriek vysokému stupňu rozvoja algebry v Babylone chýba v klinových textoch koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice.

Diophantusova aritmetika neobsahuje systematickú prezentáciu algebry, ale obsahuje systematickú sériu problémov sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri skladaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Problém 11.„Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96“

Diophantus to zdôvodňuje nasledovne: z podmienok úlohy vyplýva, že požadované čísla sa nerovnajú, keďže ak by boli rovnaké, ich súčin by sa nerovnal 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovicu ich sumy, t.j. 10 + x, druhý je menej, t.j. 10-te roky. Rozdiel medzi nimi 2x .

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

x 2 – 4 = 0 (1)

Odtiaľ x = 2. Jedno z požadovaných čísel sa rovná 12 , iné 8 . Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y(20 - y) = 96,

r 2 - 20 r + 96 = 0. (2)

Je zrejmé, že výberom polovičného rozdielu požadovaných čísel ako neznámeho Diophantus zjednodušuje riešenie; podarí sa mu problém zredukovať na riešenie neúplnej kvadratickej rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

Problémy s kvadratickými rovnicami sa nachádzajú už v astronomickom pojednaní „Aryabhattiam“, ktoré v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta (7. storočie), načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jedinú kanonickú formu:

ach 2 + b x = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem A, môže byť aj negatívny. Brahmaguptove pravidlo je v podstate rovnaké ako naše.

V starovekej Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. V jednej zo starých indických kníh sa o takýchto súťažiach píše toto: „Ako slnko prežiari hviezdy svojou žiarou, tak učený človek zažiari slávu iného na verejných zhromaždeniach, kde navrhuje a rieši algebraické problémy.“ Problémy boli často prezentované v poetickej forme.

Toto je jeden z problémov slávneho indického matematika 12. storočia. Bhaskari.

Problém 13.

"Kŕdeľ šikovných opíc a dvanásť pozdĺž viníc...

Úrady sa po jedle bavili. Začali skákať, vešať sa...

Sú ich na námestí, časť 8. Koľko tam bolo opíc?

Zabával som sa na čistinke. Povedz mi, v tomto balení?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel, že korene kvadratických rovníc sú dvojhodnotové (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13 je:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara pod rúškom píše:

x 2 - 64x = -768

a na dokončenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec sa pripočíta k obom stranám 32 2 , potom dostanete:

x 2 – 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice v al - Khorezmi

V algebraickom pojednaní al-Khorezmiho je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor počíta 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax 2 + c = b X.

2) „Štvorce sa rovnajú číslam“, t.j. ax 2 = c.

3) „Korene sa rovnajú číslu“, t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. ax 2 + c = b X.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslam“, t.j. ach 2 + bx = s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx + c = ax2.

Pre al-Khorezmiho, ktorý sa vyhýbal používaniu záporných čísel, sú členy každej z týchto rovníc sčítaním a nie odčítaním. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor uvádza metódy riešenia týchto rovníc pomocou techník al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutia sa, samozrejme, úplne nezhodujú s našimi. Nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu

al-Khorezmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulové riešenie, zrejme preto, že v konkrétnych praktických problémoch na ňom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc al-Khorezmi stanovuje pravidlá ich riešenia pomocou konkrétnych numerických príkladov a potom geometrických dôkazov.

Problém 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň" (implikuje koreň rovnice x 2 + 21 = 10x).

Autorovo riešenie znie asi takto: rozdeľte počet koreňov na polovicu, dostanete 5, vynásobte 5 samým sebou, odčítajte 21 od súčinu, zostane 4. Zoberte odmocninu zo 4, dostanete 2. Odčítajte 2 od 5 , dostanete 3, toto bude požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 k 5, čo dáva 7, to je tiež koreň.

Traktát al-Khorezmiho je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala a ktorá systematicky stanovuje klasifikáciu kvadratických rovníc a dáva vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII bb

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc podľa línií al-Khwarizmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky z krajín islamu aj zo starovekého Grécka, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z Knihy Abacus boli použité takmer vo všetkých európskych učebniciach 16. - 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

x 2 + bx = c,

pre všetky možné kombinácie znakov koeficientov b , s sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice vo všeobecnom tvare je dostupné od Viète, ale Viète rozpoznal iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. Okrem pozitívnych sa berú do úvahy aj negatívne korene. Až v 17. storočí. Vďaka práci Girarda, Descartesa, Newtona a ďalších vedcov dostáva metóda riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

1.6 O Vietovej vete

Veta vyjadrujúca vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, pomenovaná po Vietovi, sformuloval po prvý raz v roku 1591 takto: „Ak B + D, vynásobeny A - A 2 , rovná sa BD, To A rovná sa IN a rovní D ».

Aby sme porozumeli Viete, mali by sme si to pamätať A, ako každé samohláskové písmeno, znamenalo neznáme (naše X), samohlásky IN, D- koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená formulácia Vieta znamená: ak existuje

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viète zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Vietu má však k modernej podobe ešte ďaleko. Nepoznal záporné čísla a preto pri riešení rovníc uvažoval len o prípadoch, keď všetky odmocniny boli kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva majestátna budova algebry. Kvadratické rovnice sa široko používajú pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice od školy (8. ročník) až po maturitu.

Po získaní všeobecnej predstavy o rovnosti a po oboznámení sa s jedným z ich typov - číselnými rovnosťami, môžete začať hovoriť o inom type rovnosti, ktorý je z praktického hľadiska veľmi dôležitý - o rovniciach. V tomto článku sa pozrieme na čo je rovnica a čo sa nazýva koreň rovnice. Tu uvedieme zodpovedajúce definície, ako aj rôzne príklady rovníc a ich koreňov.

Navigácia na stránke.

čo je rovnica?

Cielený úvod do rovníc sa zvyčajne začína na hodinách matematiky v 2. ročníku. V tomto čase je uvedené nasledovné definícia rovnice:

Definícia.

Rovnica je rovnosť obsahujúca neznáme číslo, ktoré je potrebné nájsť.

Neznáme čísla v rovniciach sa zvyčajne označujú malými latinskými písmenami, napríklad p, t, u atď., ale najčastejšie sa používajú písmená x, y a z.

Teda rovnica je určená z hľadiska formy zápisu. Inými slovami, rovnosť je rovnica, keď dodržiava určené pravidlá písania – obsahuje písmeno, ktorého hodnotu je potrebné nájsť.

Uveďme príklady úplne prvých a najjednoduchších rovníc. Začnime rovnicami v tvare x=8, y=3 atď. Rovnice, ktoré obsahujú aritmetické znaky spolu s číslami a písmenami, vyzerajú trochu komplikovanejšie, napríklad x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Rôznorodosť rovníc narastá po oboznámení sa s - začínajú sa objavovať rovnice so zátvorkami, napríklad 2·(x−1)=18 a x+3·(x+2·(x−2))=3. Neznáme písmeno v rovnici sa môže objaviť niekoľkokrát, napríklad x+3+3·x−2−x=9, písmená môžu byť aj na ľavej strane rovnice, na jej pravej strane alebo na oboch stranách rovnice. rovnica, napríklad x·(3+1)−4=8, 7−3=z+1 alebo 3·x−4=2·(x+12) .

Ďalej, po štúdiu prirodzených čísel sa človek zoznámi s celými, racionálnymi, reálnymi číslami, študujú sa nové matematické objekty: mocniny, odmocniny, logaritmy atď., pričom sa objavujú stále nové a nové typy rovníc, ktoré tieto veci obsahujú. Príklady z nich nájdete v článku základné typy rovnícštúdium na škole.

V 7. ročníku spolu s písmenami, ktoré znamenajú nejaké konkrétne čísla, začínajú zvažovať písmená, ktoré môžu nadobudnúť rôzne hodnoty, nazývajú sa premenné (pozri článok). Zároveň sa do definície rovnice vkladá slovo „premenná“ a stáva sa takto:

Definícia.

Rovnica nazývaná rovnosť obsahujúca premennú, ktorej hodnotu je potrebné nájsť.

Napríklad rovnica x+3=6·x+7 je rovnica s premennou x a 3·z−1+z=0 je rovnica s premennou z.

Na hodinách algebry v tom istom 7. ročníku sa stretávame s rovnicami obsahujúcimi nie jednu, ale dve rôzne neznáme premenné. Nazývajú sa rovnice v dvoch premenných. V budúcnosti je v rovniciach povolená prítomnosť troch alebo viacerých premenných.

Definícia.

Rovnice s jedným, dvoma, tromi atď. premenných– ide o rovnice obsahujúce vo svojom zápise jednu, dve, tri, ... neznáme premenné, resp.

Napríklad rovnica 3,2 x+0,5=1 je rovnica s jednou premennou x, rovnica v tvare x−y=3 je rovnica s dvomi premennými x a y. A ešte jeden príklad: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Je zrejmé, že takáto rovnica je rovnica s tromi neznámymi premennými x, y a z.

Čo je koreňom rovnice?

Definícia rovnice priamo súvisí s definíciou koreňa tejto rovnice. Urobme nejaké úvahy, ktoré nám pomôžu pochopiť, čo je koreňom rovnice.

Povedzme, že máme rovnicu s jedným písmenom (premennou). Ak sa namiesto písmena zahrnutého v položke tejto rovnice nahradí určité číslo, rovnica sa zmení na číselnú rovnosť. Navyše výsledná rovnosť môže byť buď pravdivá alebo nepravdivá. Ak napríklad v rovnici a+1=5 dosadíte namiesto písmena a číslo 2, dostanete nesprávnu číselnú rovnosť 2+1=5. Ak do tejto rovnice dosadíme číslo 4 namiesto a, dostaneme správnu rovnosť 4+1=5.

V praxi sa v drvivej väčšine prípadov zaujímajú tie hodnoty premennej, ktorých substitúcia do rovnice dáva správnu rovnosť; tieto hodnoty sa nazývajú korene alebo riešenia tejto rovnice.

Definícia.

Koreň rovnice- je to hodnota písmena (premennej), pri ktorej dosadení sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť.

Všimnite si, že koreň rovnice v jednej premennej sa nazýva aj riešenie rovnice. Inými slovami, riešenie rovnice a koreň rovnice sú to isté.

Vysvetlime si túto definíciu na príklade. Aby sme to urobili, vráťme sa k rovnici napísanej vyššie a+1=5. Podľa uvedenej definície koreňa rovnice je číslo 4 koreňom tejto rovnice, keďže pri dosadení tohto čísla namiesto písmena a dostaneme správnu rovnosť 4+1=5 a číslo 2 nie je jej koreň, keďže zodpovedá nesprávnej rovnosti tvaru 2+1= 5 .

V tomto bode vyvstáva množstvo prirodzených otázok: „Má nejaká rovnica koreň a koľko koreňov má daná rovnica? My im odpovieme.

Existujú rovnice, ktoré majú korene a rovnice, ktoré nemajú korene. Napríklad rovnica x+1=5 má koreň 4, ale rovnica 0 x=5 nemá korene, keďže bez ohľadu na to, aké číslo do tejto rovnice dosadíme namiesto premennej x, dostaneme nesprávnu rovnosť 0=5 .

Pokiaľ ide o počet koreňov rovnice, existujú rovnice, ktoré majú určitý konečný počet koreňov (jeden, dva, tri atď.), ako aj rovnice, ktoré majú nekonečný počet koreňov. Napríklad rovnica x−2=4 má jeden koreň 6, korene rovnice x 2 =9 sú dve čísla −3 a 3, rovnica x·(x−1)·(x−2)=0 má tri korene 0, 1 a 2 a riešením rovnice x=x je ľubovoľné číslo, to znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Malo by sa povedať niekoľko slov o akceptovanom označení koreňov rovnice. Ak rovnica nemá korene, zvyčajne píšu „rovnica nemá korene“ alebo používajú znak prázdnej množiny ∅. Ak má rovnica korene, potom sa píšu oddelené čiarkami alebo sa píšu ako prvky súpravy v zložených zátvorkách. Napríklad, ak sú koreňmi rovnice čísla −1, 2 a 4, napíšte −1, 2, 4 alebo (−1, 2, 4). Je tiež prípustné zapísať korene rovnice vo forme jednoduchých rovníc. Napríklad, ak rovnica obsahuje písmeno x a korene tejto rovnice sú čísla 3 a 5, potom môžete napísať x=3, x=5 a často sa pridávajú dolné indexy x 1 =3, x 2 =5 na premennú, ako keby označoval korene čísel rovnice. Nekonečná množina koreňov rovnice sa zvyčajne zapisuje v tvare, ak je to možné, používa sa aj zápis pre množiny prirodzených čísel N, celé čísla Z a reálne čísla R. Napríklad, ak koreň rovnice s premennou x je ľubovoľné celé číslo, potom napíšte , a ak korene rovnice s premennou y sú akékoľvek reálne číslo od 1 do 9 vrátane, potom napíšte .

Pre rovnice s dvomi, tromi alebo viacerými premennými sa spravidla nepoužíva pojem „koreň rovnice“, v týchto prípadoch sa hovorí o „riešení rovnice“. Čo sa nazýva riešenie rovníc s viacerými premennými? Uveďme zodpovedajúcu definíciu.

Definícia.

Riešenie rovnice s dvoma, tromi atď. premenných nazývaný pár, tri atď. hodnoty premenných, čím sa táto rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť.

Ukážme vysvetľujúce príklady. Uvažujme rovnicu s dvoma premennými x+y=7. Dosadíme namiesto x číslo 1 a namiesto y číslo 2 a máme rovnosť 1+2=7. Je zrejmé, že je to nesprávne, preto pár hodnôt x=1, y=2 nie je riešením napísanej rovnice. Ak vezmeme pár hodnôt x=4, y=3, tak po dosadení do rovnice dospejeme k správnej rovnosti 4+3=7, preto je tento pár premenných hodnôt podľa definície riešením na rovnicu x+y=7.

Rovnice s niekoľkými premennými, podobne ako rovnice s jednou premennou, nemusia mať žiadne korene, môžu mať konečný počet koreňov alebo môžu mať nekonečný počet koreňov.

Dvojica, trojica, štvorica atď. Hodnoty premenných sa často píšu stručne, pričom ich hodnoty sú oddelené čiarkami v zátvorkách. V tomto prípade zapísané čísla v zátvorkách zodpovedajú premenným v abecednom poradí. Ujasnime si tento bod návratom k predchádzajúcej rovnici x+y=7. Riešenie tejto rovnice x=4, y=3 môžeme stručne zapísať ako (4, 3).

Najväčšia pozornosť v školskom kurze matematiky, algebry a začiatkov analýzy je venovaná hľadaniu koreňov rovníc s jednou premennou. O pravidlách tohto procesu budeme veľmi podrobne diskutovať v článku. riešenie rovníc.

Bibliografia.

• Matematika. 2 triedy Učebnica pre všeobecné vzdelanie inštitúcie s adj. na elektrón dopravca. O 14:00 1. časť / [M. I. Moro, M. A. Bantová, G. V. Beltyuková atď.] - 3. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2012. - 96 s.: chor. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: učebnica pre 7. ročník všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.