Faktorizácia polynómov. Metóda výberu plného štvorca

Čo sa stalo faktorizácia? Toto je spôsob, ako zmeniť nepohodlný a zložitý príklad na jednoduchý a roztomilý.) Veľmi účinná technika! Nachádza sa na každom kroku v základnej aj vyššej matematike.

Takéto transformácie sa v matematickom jazyku nazývajú identické transformácie výrazov. Pre tých, ktorí to nevedia, pozrite si odkaz. Je toho veľmi málo, jednoduchého a užitočného.) Zmyslom akejkoľvek transformácie identity je zaznamenanie výrazu v inej forme pri zachovaní jeho podstaty.

Význam faktorizácia mimoriadne jednoduché a jasné. Už od samotného názvu. Možno zabudnete (alebo neviete), čo je násobiteľ, ale môžete prísť na to, že toto slovo pochádza zo slova „násobiť“?) Faktoring znamená: predstavujú výraz v podobe násobenia niečoho niečím. Nech mi matematika a ruský jazyk odpustia...) To je všetko.

Napríklad musíte rozšíriť číslo 12. Pokojne môžete napísať:

Číslo 12 sme teda prezentovali ako násobenie 3 x 4. Upozorňujeme, že čísla napravo (3 a 4) sú úplne iné ako naľavo (1 a 2). Ale veľmi dobre chápeme, že 12 a 3 4 rovnaký. Podstata čísla 12 z transformácie sa nezmenil.

Je možné rozložiť 12 inak? Jednoducho!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=.......

Možnosti rozkladu sú nekonečné.

Faktoring čísel je užitočná vec. Veľmi pomáha napríklad pri práci s korienkami. Faktorizácia algebraických výrazov však nie je len užitočná, ale aj užitočná potrebné! Len napríklad:

Zjednodušiť:

Tí, ktorí nevedia, ako vypočítať výraz, zostávajú na vedľajšej koľaji. Tí, ktorí vedia ako - zjednodušte a získajte:

Efekt je úžasný, však?) Mimochodom, riešenie je celkom jednoduché. Uvidíte sami nižšie. Alebo napríklad táto úloha:

Vyriešte rovnicu:

x 5 - x 4 = 0

Mimochodom, rozhoduje sa v mysli. Použitie faktorizácie. Tento príklad vyriešime nižšie. odpoveď: x 1 = 0; x 2 = 1.

Alebo to isté, ale pre starších):

Vyriešte rovnicu:

V týchto príkladoch som ukázal hlavný účel faktorizácia: zjednodušenie zlomkových výrazov a riešenie niektorých typov rovníc. Tu je základné pravidlo, ktoré si treba zapamätať:

Ak máme pred sebou strašidelný zlomkový výraz, môžeme skúsiť rozložiť čitateľa a menovateľa. Veľmi často sa zlomok zmenšuje a zjednodušuje.

Ak máme pred sebou rovnicu, kde je vpravo nula a vľavo - nechápem čo, môžeme skúsiť faktorizovať ľavú stranu. Niekedy to pomôže).

Základné metódy faktorizácie.

Tu sú najobľúbenejšie metódy:

4. Rozšírenie kvadratického trinomu.

Tieto metódy sa musia pamätať. Presne v tomto poradí. Kontrolujú sa komplexné príklady pre všetky možné metódy rozkladu. A je lepšie skontrolovať v poradí, aby ste sa nezmýlili ... Takže začnime po poriadku.)

1. Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Jednoduchý a spoľahlivý spôsob. Nič zlé od neho nepochádza! Stáva sa to buď dobre, alebo vôbec.) Preto je na prvom mieste. Poďme na to.

Každý pozná (verím!) pravidlo:

a(b+c) = ab+ac

Alebo všeobecnejšie:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Všetky rovnosti fungujú zľava doprava a naopak sprava doľava. Môžeš písať:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

To je celý zmysel vyňatia spoločného faktora zo zátvoriek.

Na ľavej strane A - spoločný multiplikátor pre všetky termíny. Vynásobené všetkým, čo existuje). Na pravej strane je najviac A sa už nachádza mimo zátvoriek.

Praktickú aplikáciu metódy zvážime na príkladoch. Spočiatku je možnosť jednoduchá, až primitívna.) Ale v tejto možnosti označím (zelenou) veľmi dôležité body pre akúkoľvek faktorizáciu.

Faktorizovať:

ah + 9x

Ktoré všeobecný objavuje sa násobiteľ v oboch výrazoch? X, samozrejme! Vysunieme ho zo zátvoriek. Poďme to spraviť. Okamžite napíšeme X mimo zátvorky:

ax+9x=x(

A do zátvorky napíšeme výsledok delenia každý termín práve na tomto X. V poradí:

To je všetko. Samozrejme, netreba to tak podrobne opisovať, to sa robí v mysli. Ale je vhodné pochopiť, čo je čo). Zaznamenávame do pamäte:

Spoločný činiteľ píšeme mimo zátvorky. V zátvorkách píšeme výsledky delenia všetkých členov týmto spoločným činiteľom. V poriadku.

Výraz sme teda rozšírili ah + 9x pomocou násobiteľov. Premenil to na násobenie x podľa (a+9). Podotýkam, že v pôvodnom výraze bolo aj násobenie, dokonca dve: a·x a 9·x. Ale to nebol faktorizovaný! Pretože tento výraz okrem násobenia obsahoval aj sčítanie, znamienko „+“! A vo výraze x(a+9) Neexistuje nič iné ako násobenie!

Ako to!? - Počujem rozhorčený hlas ľudu - A v zátvorkách!?)

Áno, v zátvorkách je dodatok. Ale trik je v tom, že zatiaľ čo zátvorky nie sú otvorené, zvažujeme ich ako jedno písmeno. A všetky akcie robíme úplne so zátvorkami, ako s jedným písmenom. V tomto zmysle vo výraze x(a+9) Neexistuje nič okrem násobenia. Toto je celý zmysel faktorizácie.

Mimochodom, je možné nejako skontrolovať, či sme urobili všetko správne? Jednoducho! Stačí vynásobiť to, čo ste uviedli (x) v zátvorkách a zistiť, či to fungovalo originálny výraz? Ak to funguje, všetko je skvelé!)

x(a+9)=ax+9x

Stalo.)

V tomto primitívnom príklade nie sú žiadne problémy. Ale ak je tam viacero pojmov, a dokonca s rôznymi znamienkami... Skrátka každý tretí študent sa pokazí). Preto:

V prípade potreby skontrolujte faktorizáciu inverzným násobením.

Faktorizovať:

3x + 9x

Hľadáme spoločný faktor. No s X je všetko jasné, dá sa vytiahnuť. Je toho viac všeobecný faktor? Áno! Toto je trojka. Výraz môžete napísať takto:

3x+3 3x

Tu je hneď jasné, že spoločný faktor bude 3x. Tu to vytiahneme:

3x+3 3x=3x(a+3)

Rozšírený.

Čo sa stane, ak ho vytiahnete iba x? Nič zvláštne:

3ax+9x=x(3a+9)

Toto bude tiež faktorizácia. Ale v tomto fascinujúcom procese je zvykom rozložiť všetko na maximum, kým je príležitosť. Tu v zátvorkách je možnosť uviesť trojku. Ukáže sa:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

To isté, len s jednou akciou navyše.) Pamätajte:

Pri vyberaní spoločného činiteľa zo zátvoriek sa snažíme vyňať maximálne spoločný faktor.

Budeme pokračovať v zábave?)

Zvážte výraz:

3akh + 9х-8а-24

Čo si odnesieme? Tri, X? Nie... Nemôžeš. Pripomínam, že môžete len vytiahnuť všeobecný multiplikátor, tj vo všetkom výrazy. Preto on všeobecný. Taký násobič tu nie je... Čo, nemusíš to rozširovať!? No áno, boli sme tak šťastní... Zoznámte sa:

2. Zoskupovanie.

V skutočnosti možno zoskupovanie len ťažko nazvať nezávislou metódou faktorizácie. Toto je skôr spôsob, ako sa dostať zo zložitého príkladu.) Musíte zoskupiť pojmy, aby všetko fungovalo. Dá sa to ukázať len na príklade. Takže máme výraz:

3akh + 9х-8а-24

Je vidieť, že existuje niekoľko spoločných písmen a číslic. Ale... generál neexistuje žiadny multiplikátor, ktorý by bol vo všetkých pojmoch. Neklesajme na duchu a rozbiť výraz na kúsky. Zoskupovanie. Aby mal každý kúsok spoločný faktor, je si čo odniesť. Ako to zlomíme? Áno, dali sme len zátvorky.

Dovoľte mi pripomenúť, že zátvorky je možné umiestniť kdekoľvek a akokoľvek chcete. Len podstata príkladu sa nezmenil. Môžete to urobiť napríklad takto:

3akh + 9х-8а-24=(3ах+9х)-(8ах+24)

Venujte prosím pozornosť druhým zátvorkám! Pred nimi je znamienko mínus a 8a A 24 pozitívne! Ak pre kontrolu otvoríme zátvorky späť, značky sa zmenia a máme to originálny výraz. Tie. podstata výrazu zo zátvoriek sa nezmenila.

Ale ak ste práve vložili zátvorky bez toho, aby ste vzali do úvahy zmenu znamienka, napríklad takto:

3akh + 9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

bola by to chyba. Vpravo - už iné výraz. Otvorte zátvorky a všetko bude viditeľné. Nemusíte sa ďalej rozhodovať, áno...)

Ale vráťme sa k faktorizácii. Pozrime sa na prvé zátvorky (3ax+9x) a myslíme si, je tu niečo, čo by sme mohli vytiahnuť? No, tento príklad sme vyriešili vyššie, môžeme to vziať 3x:

(3x+9x)=3x(a+3)

Preštudujme si druhé zátvorky, môžeme tam pridať osmičku:

(8a+24)=8(a+3)

Celý náš výraz bude:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktorizované? Nie Výsledok rozkladu by mal byť iba násobenie ale u nás znamienko mínus všetko kazí. Ale... Oba pojmy majú spoločný faktor! Toto (a+3). Nie nadarmo som povedal, že celé zátvorky sú akoby jedným písmenom. To znamená, že tieto zátvorky je možné zo zátvoriek vybrať. Áno, presne tak to znie.)

Robíme, ako je opísané vyššie. Píšeme spoločný činiteľ (a+3), do druhej zátvorky píšeme výsledky delenia členov o (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Všetky! Na pravej strane nie je nič okrem násobenia! To znamená, že faktorizácia bola úspešne dokončená!) Tu je:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Stručne zopakujme podstatu skupiny.

Ak výraz nie všeobecný multiplikátor pre každý výrazy rozdelíme do zátvoriek tak, aby v zátvorkách bol spoločný činiteľ bol. Vytiahneme to a uvidíme, čo sa stane. Ak máte šťastie a v zátvorkách ostali úplne identické výrazy, tieto zátvorky presunieme zo zátvoriek.

Dodám, že zoskupovanie je tvorivý proces). Nie vždy to vyjde na prvýkrát. Je to v poriadku. Niekedy musíte vymeniť výrazy a zvážiť rôzne možnosti zoskupenia, kým nenájdete úspešnú. Hlavná vec je nestratiť srdce!)

Príklady.

Teraz, keď ste sa obohatili o vedomosti, môžete riešiť zložité príklady.) Na začiatku hodiny boli tri z týchto...

Zjednodušiť:

V podstate sme tento príklad už riešili. Bez toho, aby sme o tom sami vedeli.) Pripomínam vám: ak dostaneme strašný zlomok, pokúsime sa rozpočítať čitateľa a menovateľa. Ďalšie možnosti zjednodušenia jednoducho nie.

No, tu nie je rozšírený menovateľ, ale čitateľ... Už počas hodiny sme rozšírili čitateľa! Páči sa ti to:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Výsledok rozšírenia zapíšeme do čitateľa zlomku:

Podľa pravidla zmenšovania zlomkov (hlavná vlastnosť zlomku) môžeme deliť (súčasne!) čitateľa a menovateľa rovnakým číslom, alebo výrazom. Zlomok z tohto nemení.Čitateľa a menovateľa teda vydelíme výrazom (3x-8). A tu a tam dostaneme jedny. Konečný výsledok zjednodušenia:

Chcel by som obzvlášť zdôrazniť: zmenšiť zlomok je možné vtedy a len vtedy, ak v čitateli a menovateli, okrem násobenia výrazov nič tam nie je. Preto transformácia súčtu (rozdielu) na násobenie tak dôležité pre zjednodušenie. Samozrejme, ak výrazy iný, potom sa nič nezníži. Stane sa to. Ale faktorizácia dáva šancu. Táto šanca bez rozkladu tu jednoducho nie je.

Príklad s rovnicou:

Vyriešte rovnicu:

x 5 - x 4 = 0

Vyberieme spoločný faktor x 4 mimo zátvoriek. Dostaneme:

x 4 (x-1) = 0

Uvedomujeme si, že súčin faktorov sa rovná nule vtedy a len vtedy, keď je ktorýkoľvek z nich nulový. Ak máte pochybnosti, nájdite mi pár nenulových čísel, ktoré po vynásobení dajú nulu.) Napíšeme teda najprv prvý faktor:

Pri takejto rovnosti sa nás druhý faktor netýka. Ktokoľvek môže byť, ale nakoniec to bude stále nula. Aké číslo k štvrtej mocnine dáva nula? Iba nula! A žiadne iné... Preto:

Zistili sme prvý faktor a našli jeden koreň. Pozrime sa na druhý faktor. Teraz sa už nestaráme o prvý faktor.):

Tu sme našli riešenie: x 1 = 0; x 2 = 1. Ktorýkoľvek z týchto koreňov zodpovedá našej rovnici.

Veľmi dôležitá poznámka. Upozorňujeme, že sme vyriešili rovnicu kúsok po kúsku! Každý faktor bol rovný nule, bez ohľadu na iné faktory. Mimochodom, ak v takejto rovnici nie sú dva faktory, ako je ten náš, ale tri, päť, toľko, koľko chcete, vyriešime podobný. Kúsok po kúsku. Napríklad:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Každý, kto otvorí zátvorky a všetko vynásobí, sa na tejto rovnici navždy zasekne.) Správny žiak hneď uvidí, že naľavo nie je nič okrem násobenia a napravo nula. A začne (vo svojej mysli!) porovnávať všetky zátvorky tak, aby boli nulové. A dostane (za 10 sekúnd!) správne riešenie: x 1 = 1; x2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Skvelé, však?) Takéto elegantné riešenie je možné, ak je ľavá strana rovnice faktorizované. Máte tip?)

No, posledný príklad pre starších):

Vyriešte rovnicu:

Je to trochu podobné predchádzajúcemu, nemyslíte?) Samozrejme. Je čas si uvedomiť, že v siedmej triede algebry sa pod písmenami môžu skrývať sínusy, logaritmy a čokoľvek iné! Faktoring funguje v celej matematike.

Vyberieme spoločný faktor lg 4 x mimo zátvoriek. Dostaneme:

log 4 x = 0

Toto je jeden koreň. Pozrime sa na druhý faktor.

Tu je konečná odpoveď: x 1 = 1; x 2 = 10.

Dúfam, že ste si uvedomili silu faktorizácie pri zjednodušovaní zlomkov a riešení rovníc.)

V tejto lekcii sme sa naučili o spoločnom faktoringu a zoskupovaní. Zostáva pochopiť vzorce pre skrátené násobenie a kvadratický trinom.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Čo robiť, ak ste v procese riešenia úlohy z Jednotnej štátnej skúšky alebo na prijímacej skúške z matematiky dostali polynóm, ktorý nie je možné rozložiť štandardnými metódami, ktoré ste sa naučili v škole? V tomto článku vám učiteľ matematiky povie o jednej efektívnej metóde, ktorej štúdium je mimo rámca školských osnov, ale pomocou ktorej nie je faktorizácia polynómu náročná. Prečítajte si tento článok až do konca a pozrite si priložený videonávod. Znalosti, ktoré získate, vám pomôžu pri skúške.

Rozdelenie polynómu metódou delenia

V prípade, že ste dostali polynóm väčší ako druhý stupeň a dokázali ste uhádnuť hodnotu premennej, pri ktorej sa tento polynóm rovná nule (napríklad táto hodnota sa rovná ), vedzte! Tento polynóm možno rozdeliť .

Napríklad je ľahké vidieť, že polynóm štvrtého stupňa zaniká pri . To znamená, že ho možno bezo zvyšku deliť , čím sa získa polynóm tretieho stupňa (menej o jeden). To znamená, že ho prezentujte vo forme:

Kde A, B, C A D- nejaké čísla. Rozšírime zátvorky:

Keďže koeficienty pre rovnaké stupne musia byť rovnaké, dostaneme:

Takže máme:

Pokračuj. Stačí prejsť cez niekoľko malých celých čísel, aby sme zistili, že polynóm tretieho stupňa je opäť deliteľný číslom . Výsledkom je polynóm druhého stupňa (o jeden menej). Potom prejdite na nový záznam:

Kde E, F A G- nejaké čísla. Znova otvoríme zátvorky a dospejeme k nasledujúcemu výrazu:

Opäť z podmienky rovnosti koeficientov pre rovnaké stupne získame:

Potom dostaneme:

To znamená, že pôvodný polynóm možno faktorizovať takto:

V zásade, ak je to potrebné, pomocou vzorca rozdielu štvorcov môže byť výsledok vyjadrený aj v tejto forme:

Tu je jednoduchý a efektívny spôsob faktorizácie polynómov. Pamätajte si to, môže sa vám to hodiť pri skúške alebo matematickej súťaži. Skontrolujte, či ste sa naučili používať túto metódu. Skúste sami vyriešiť nasledujúcu úlohu.

Faktor polynómu:

Svoje odpovede píšte do komentárov.

Materiál pripravil Sergey Valerievich

Aby bolo možné faktorizovať, je potrebné zjednodušiť výrazy. To je potrebné, aby sa mohlo ďalej znižovať. Rozšírenie polynómu má zmysel vtedy, keď jeho stupeň nie je nižší ako dva. Polynóm s prvým stupňom sa nazýva lineárny.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Článok bude pokrývať všetky koncepty rozkladu, teoretické základy a metódy faktorizácie polynómu.

teória

Veta 1

Pri akomkoľvek polynóme so stupňom n, ktorý má tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sú reprezentované ako súčin s konštantným faktorom s najvyšším stupňom a n a n lineárnych faktorov (x - x i), i = 1, 2, ..., n, potom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kde x i, i = 1, 2, …, n sú korene polynómu.

Veta je určená pre korene komplexného typu x i, i = 1, 2, …, n a pre komplexné koeficienty a k, k = 0, 1, 2, …, n. To je základ každého rozkladu.

Keď koeficienty tvaru a k, k = 0, 1, 2, …, n sú reálne čísla, potom sa komplexné korene budú vyskytovať v konjugovaných pároch. Napríklad korene x 1 a x 2 súvisia s polynómom v tvare P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sa považujú za komplexne konjugované, potom sú ostatné korene reálne, z čoho dostaneme, že polynóm má tvar P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).

Komentujte

Korene polynómu sa môžu opakovať. Zoberme si dôkaz algebrickej vety, dôsledok Bezoutovej vety.

Základná veta algebry

Veta 2

Každý polynóm so stupňom n má aspoň jeden koreň.

Bezoutova veta

Po delení polynómu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), potom dostaneme zvyšok, ktorý sa rovná polynómu v bode s, potom dostaneme

Pn x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynóm so stupňom n - 1.

Dôsledok Bezoutovej vety

Keď sa koreň polynómu P n (x) považuje za s, potom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Qn - 1 (x) . Tento dôsledok je dostatočný, keď sa použije na opis riešenia.

Rozdelenie kvadratického trinomu

Štvorcový trojčlen v tvare a x 2 + b x + c možno rozdeliť na lineárne faktory. potom dostaneme, že a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kde x 1 a x 2 sú korene (komplexné alebo skutočné).

To ukazuje, že samotná expanzia sa redukuje na následné riešenie kvadratickej rovnice.

Príklad 1

Faktor kvadratického trinomu.

Riešenie

Je potrebné nájsť korene rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby ste to dosiahli, musíte pomocou vzorca nájsť hodnotu diskriminantu, potom dostaneme D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Odtiaľ to máme

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Z toho dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Ak chcete vykonať kontrolu, musíte otvoriť zátvorky. Potom dostaneme výraz vo forme:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po kontrole sa dostávame k pôvodnému výrazu. To znamená, že môžeme konštatovať, že rozklad bol vykonaný správne.

Príklad 2

Faktor kvadratického trinomu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 .

Riešenie

Zistíme, že je potrebné vypočítať výslednú kvadratickú rovnicu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Ak chcete nájsť korene, musíte určiť hodnotu diskriminantu. Chápeme to

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Z toho dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Príklad 3

Vynásobte polynóm 2 x 2 + 1.

Riešenie

Teraz musíme vyriešiť kvadratickú rovnicu 2 x 2 + 1 = 0 a nájsť jej korene. Chápeme to

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Tieto korene sa nazývajú komplexne konjugované, čo znamená, že samotná expanzia môže byť znázornená ako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Príklad 4

Rozlož kvadratickú trojčlenku x 2 + 1 3 x + 1 .

Riešenie

Najprv musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a nájsť jej korene.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Po získaní koreňov píšeme

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Komentujte

Ak je diskriminačná hodnota záporná, potom polynómy zostanú polynómami druhého rádu. Z toho vyplýva, že ich nebudeme rozširovať na lineárne faktory.

Metódy faktorizácie polynómu stupňa vyššieho ako dva

Pri rozklade sa predpokladá univerzálna metóda. Väčšina všetkých prípadov je založená na dôsledku Bezoutovej vety. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať hodnotu koreňa x 1 a znížiť jeho stupeň delením polynómom o 1 delením (x - x 1). Výsledný polynóm potrebuje nájsť koreň x 2 a proces vyhľadávania je cyklický, kým nedosiahneme úplné rozšírenie.

Ak sa koreň nenájde, potom sa použijú iné metódy faktorizácie: zoskupenie, ďalšie výrazy. Táto téma zahŕňa riešenie rovníc s vyššími mocninami a celočíselnými koeficientmi.

Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek

Uvažujme prípad, keď sa voľný člen rovná nule, potom tvar polynómu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Je vidieť, že koreň takéhoto polynómu sa bude rovnať x 1 = 0, potom je možné polynóm znázorniť ako výraz P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Táto metóda sa považuje za vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.

Príklad 5

Faktor polynómu tretieho stupňa 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Riešenie

Vidíme, že x 1 = 0 je koreň daného polynómu, potom môžeme odstrániť x zo zátvoriek celého výrazu. Dostaneme:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Prejdime k hľadaniu koreňov štvorcového trojčlenu 4 x 2 + 8 x - 1. Poďme nájsť diskriminant a korene:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Potom z toho vyplýva

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Na začiatok zoberme do úvahy metódu rozkladu obsahujúcu celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kde koeficient najvyššieho stupňa je 1.

Keď má polynóm celé číslo, potom sa považujú za deliteľa voľného člena.

Príklad 6

Rozložte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Riešenie

Zvážme, či existujú úplné korene. Je potrebné zapísať deliteľa čísla - 18. Dostaneme, že ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Z toho vyplýva, že tento polynóm má celočíselné korene. Môžete to skontrolovať pomocou Hornerovej schémy. Je to veľmi pohodlné a umožňuje vám rýchlo získať koeficienty expanzie polynómu:

Z toho vyplýva, že x = 2 a x = - 3 sú korene pôvodného polynómu, ktorý možno znázorniť ako súčin tvaru:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Pristúpime k rozvoju kvadratického trinómu v tvare x 2 + 2 x + 3.

Keďže diskriminant je záporný, znamená to, že neexistujú žiadne skutočné korene.

odpoveď: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentujte

Namiesto Hornerovej schémy je dovolené použiť výber koreňa a delenie polynómu polynómom. Prejdime k úvahe o expanzii polynómu obsahujúceho celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z ktorých najvyššia sa rovná jednej.

Tento prípad nastáva pre racionálne zlomky.

Príklad 7

Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Riešenie

Je potrebné nahradiť premennú y = 2 x, mali by ste prejsť na polynóm s koeficientmi rovnými 1 na najvyššom stupni. Musíte začať vynásobením výrazu číslom 4. Chápeme to

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Keď má výsledná funkcia tvaru g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celé číslo, potom je ich umiestnenie medzi deliteľmi voľného člena. Záznam bude vyzerať takto:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Prejdime k výpočtu funkcie g (y) v týchto bodoch, aby sme vo výsledku dostali nulu. Chápeme to

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Zistíme, že y = - 5 je koreň rovnice v tvare y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, čo znamená, že x = y 2 = - 5 2 je koreň pôvodnej funkcie.

Príklad 8

Je potrebné rozdeliť stĺpcom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.

Riešenie

Zapíšme si to a získame:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Kontrola deliteľov zaberie veľa času, preto je výhodnejšie výsledný kvadratický trojčlen v tvare x 2 + 7 x + 3 rozložiť na faktor. Vyrovnaním nuly nájdeme diskriminant.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Z toho vyplýva

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Umelé techniky faktorizácie polynómu

Racionálne korene nie sú vlastné všetkým polynómom. Aby ste to dosiahli, musíte použiť špeciálne metódy na nájdenie faktorov. Ale nie všetky polynómy môžu byť rozšírené alebo reprezentované ako súčin.

Metóda zoskupovania

Existujú prípady, keď môžete zoskupiť členy polynómu, aby ste našli spoločný faktor a dali ho mimo zátvorky.

Príklad 9

Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Riešenie

Pretože koeficienty sú celé čísla, potom korene môžu byť pravdepodobne aj celé čísla. Pre kontrolu vezmite hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, aby ste vypočítali hodnotu polynómu v týchto bodoch. Chápeme to

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

To ukazuje, že neexistujú žiadne korene, je potrebné použiť iný spôsob expanzie a riešenia.

Je potrebné zoskupiť:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Po zoskupení pôvodného polynómu ho musíte reprezentovať ako súčin dvoch štvorcových trojčlenov. Aby sme to dosiahli, musíme faktorizovať. dostaneme to

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentujte

Jednoduchosť zoskupovania neznamená, že výber výrazov je dostatočne jednoduchý. Neexistuje žiadna špecifická metóda riešenia, preto je potrebné použiť špeciálne vety a pravidlá.

Príklad 10

Faktor polynóm x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Riešenie

Daný polynóm nemá celočíselné korene. Pojmy by mali byť zoskupené. Chápeme to

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktorizácii to dostaneme

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Použitie skrátených vzorcov na násobenie a Newtonovho binomu na faktor polynómu

Zo vzhľadu často nie je vždy jasné, ktorá metóda by sa mala pri rozklade použiť. Po vykonaní transformácií môžete zostaviť čiaru pozostávajúcu z Pascalovho trojuholníka, inak sa nazývajú Newtonov binom.

Príklad 11

Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Riešenie

Je potrebné previesť výraz do formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Postupnosť koeficientov súčtu v zátvorkách je označená výrazom x + 1 4 .

To znamená, že máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Po nanesení rozdielu štvorcov dostaneme

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Zvážte výraz, ktorý je v druhej zátvorke. Je jasné, že tam nie sú žiadni rytieri, takže by sme mali znova použiť vzorec rozdielu štvorcov. Dostaneme vyjadrenie formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Príklad 12

Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Riešenie

Začnime transformovať výraz. Chápeme to

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek. Dostaneme:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metóda nahradenia premennej pri faktorizácii polynómu

Pri nahradení premennej sa stupeň zníži a polynóm sa rozloží.

Príklad 13

Faktor polynóm tvaru x 6 + 5 x 3 + 6 .

Riešenie

Podľa podmienky je zrejmé, že je potrebné urobiť náhradu y = x 3. Dostaneme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Korene výslednej kvadratickej rovnice sú teda y = - 2 a y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie súčtu kociek. Dostávame výrazy vo forme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

To znamená, že sme získali požadovaný rozklad.

Vyššie uvedené prípady pomôžu pri zvažovaní a faktorizácii polynómu rôznymi spôsobmi.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vo všeobecnosti si táto úloha vyžaduje kreatívny prístup, pretože neexistuje univerzálna metóda na jej riešenie. Ale skúsme dať pár tipov.

V drvivej väčšine prípadov je faktorizácia polynómu založená na dôsledku Bezoutovej vety, to znamená, že koreň sa nájde alebo vyberie a stupeň polynómu sa zníži o jednu delením číslom . Hľadá sa koreň výsledného polynómu a proces sa opakuje až do úplného rozšírenia.

Ak koreň nemožno nájsť, potom sa použijú špecifické metódy rozšírenia: od zoskupovania až po zavedenie ďalších vzájomne sa vylučujúcich výrazov.

Ďalšia prezentácia je založená na zručnostiach riešenia rovníc vyšších stupňov s celočíselnými koeficientmi.

Vymedzenie spoločného faktora.

Začnime s najjednoduchším prípadom, keď sa voľný člen rovná nule, čiže polynóm má tvar .

Je zrejmé, že koreň takéhoto polynómu je , to znamená, že polynóm môžeme reprezentovať v tvare .

Táto metóda nie je nič iné ako uvedenie spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Príklad.

Faktor polynómu tretieho stupňa.

Riešenie.

Je zrejmé, čo je koreňom polynómu, tj X možno vyňať zo zátvoriek:

Poďme nájsť korene kvadratického trinomu

teda

Začiatok stránky

Rozdelenie polynómu s racionálnymi koreňmi.

Najprv uvažujme o metóde rozšírenia polynómu s celočíselnými koeficientmi tvaru , koeficient najvyššieho stupňa sa rovná jednej.

V tomto prípade, ak má polynóm celé číslo, potom sú deliteľmi voľného člena.

Príklad.

Riešenie.

Skontrolujeme, či sú neporušené korene. Ak to chcete urobiť, zapíšte si deliteľa čísla -18 : . To znamená, že ak má polynóm celé číslo, patria medzi zapísané čísla. Skontrolujme tieto čísla postupne pomocou Hornerovej schémy. Jeho výhoda spočíva aj v tom, že nakoniec získame koeficienty expanzie polynómu:

teda x=2 A x = -3 sú korene pôvodného polynómu a môžeme ho reprezentovať ako súčin:

Zostáva rozšíriť kvadratický trinom.

Diskriminant tejto trojčlenky je záporný, preto nemá žiadne skutočné korene.

odpoveď:

komentár:

Namiesto Hornerovej schémy by sa dal použiť výber koreňa a následné delenie polynómu polynómom.

Teraz zvážte rozšírenie polynómu s celočíselnými koeficientmi tvaru , pričom koeficient najvyššieho stupňa sa nerovná jednej.

V tomto prípade môže mať polynóm zlomkové racionálne korene.

Príklad.

Zvážte výraz.

Riešenie.

Vykonaním premennej zmeny y=2x, prejdime k polynómu s koeficientom rovným jednej na najvyššom stupni. Ak to chcete urobiť, najprv vynásobte výraz číslom 4 .

Ak má výsledná funkcia celočíselné korene, potom patria medzi deliteľov voľného člena. Zapíšme si ich:

Poďme postupne vypočítať hodnoty funkcie g(y) v týchto bodoch, kým sa nedosiahne nula.

Faktorizácia rovnice je proces hľadania tých výrazov alebo výrazov, ktoré po vynásobení vedú k počiatočnej rovnici. Faktoring je užitočná zručnosť na riešenie základných problémov algebry a stáva sa takmer nevyhnutným pri práci s kvadratickými rovnicami a inými polynómami. Faktoring sa používa na zjednodušenie algebraických rovníc, aby sa dali ľahšie riešiť. Faktoring vám môže pomôcť eliminovať určité možné odpovede rýchlejšie, ako by ste riešili ručným riešením rovnice.

Kroky

Faktorizácia čísel a základné algebraické výrazy

1. Faktoring čísel. Koncept faktoringu je jednoduchý, ale v praxi môže byť faktoring náročný (ak je daná zložitá rovnica). Najprv sa teda pozrime na koncept faktorizácie pomocou čísel ako príklad, pokračujeme jednoduchými rovnicami a potom prejdeme na zložité rovnice. Faktory daného čísla sú čísla, ktoré po vynásobení dávajú pôvodné číslo. Napríklad faktory čísla 12 sú čísla: 1, 12, 2, 6, 3, 4, pretože 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Podobne si faktory čísla môžete predstaviť ako jeho deliteľa, teda čísla, ktorými je číslo deliteľné.
   • Nájdite všetky faktory čísla 60. Často používame číslo 60 (napríklad 60 minút za hodinu, 60 sekúnd za minútu atď.) a toto číslo má pomerne veľké množstvo faktorov.
     • 60 multiplikátorov: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60.

2. Pamätajte:členy výrazu obsahujúceho koeficient (číslo) a premennú možno tiež faktorizovať. Na tento účel nájdite koeficienty pre premennú. Keď viete, ako faktorizovať členy rovníc, môžete túto rovnicu ľahko zjednodušiť.

   • Napríklad výraz 12x možno zapísať ako súčin 12 a x. Môžete tiež napísať 12x ako 3(4x), 2(6x) atď., pričom 12 rozdelíte na faktory, ktoré vám najviac vyhovujú.
     • Môžete riešiť 12x viackrát za sebou. Inými slovami, nemali by ste sa zastaviť na 3 (4x) alebo 2 (6x); pokračovať v rozširovaní: 3(2(2x)) alebo 2(3(2x)) (samozrejme 3(4x)=3(2(2x)) atď.)

3. Aplikujte distributívnu vlastnosť násobenia na faktorové algebraické rovnice. Keď viete, ako faktorizovať čísla a výrazové členy (koeficienty s premennými), môžete zjednodušiť jednoduché algebraické rovnice nájdením spoločného faktora číselného a výrazového člena. Na zjednodušenie rovnice zvyčajne potrebujete nájsť najväčší spoločný faktor (GCD). Toto zjednodušenie je možné vďaka distributívnej vlastnosti násobenia: pre ľubovoľné čísla a, b, c platí rovnosť a(b+c) = ab+ac.

   • Príklad. Vynásobte rovnicu 12x + 6. Najprv nájdite gcd 12x a 6. 6 je najväčšie číslo, ktoré delí 12x aj 6, takže túto rovnicu môžete vynásobiť: 6(2x+1).
   • Tento proces platí aj pre rovnice, ktoré majú záporné a zlomkové členy. Napríklad x/2+4 možno rozdeliť na 1/2(x+8); napríklad -7x+(-21) môže byť prepočítané na -7(x+3).

   Faktorizácia kvadratických rovníc

   1. Uistite sa, že rovnica je uvedená v kvadratickom tvare (ax 2 + bx + c = 0). Kvadratické rovnice majú tvar: ax 2 + bx + c = 0, kde a, b, c sú číselné koeficienty iné ako 0. Ak dostanete rovnicu s jednou premennou (x) a v tejto rovnici je jeden alebo viac členov s premennou druhého rádu môžete presunúť všetky členy rovnice na jednu stranu rovnice a nastaviť ju na nulu.

      • Napríklad, ak vezmeme do úvahy rovnicu: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Dá sa to previesť na rovnicu x 2 + 6x + 9 = 0, čo je kvadratická rovnica.
      • Rovnice s premenným x veľkých objednávok, napríklad x 3, x 4 atď. nie sú kvadratické rovnice. Sú to kubické rovnice, rovnice štvrtého rádu a tak ďalej (pokiaľ takéto rovnice nemožno zjednodušiť na kvadratické rovnice s premennou x umocnenou na 2).

   2. Kvadratické rovnice, kde a = 1, sú rozšírené na (x+d)(x+e), kde d*e=c a d+e=b. Ak má kvadratická rovnica tvar: x 2 + bx + c = 0 (to znamená, že koeficient x 2 je 1), tak takáto rovnica môže byť (ale nie je zaručená) rozšírená na vyššie uvedené faktory. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť dve čísla, ktoré po vynásobení dávajú „c“ a po sčítaní „b“. Keď nájdete tieto dve čísla (d a e), dosaďte ich do nasledujúceho výrazu: (x+d)(x+e), ktorý po otvorení zátvoriek vedie k pôvodnej rovnici.

      • Napríklad, ak je daná kvadratická rovnica x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 a 3+2=5, môžete túto rovnicu rozpočítať na (x+3)(x+2).
      • V prípade negatívnych výrazov vykonajte v procese faktorizácie nasledujúce menšie zmeny:
        • Ak má kvadratická rovnica tvar x 2 -bx+c, potom sa rozširuje na: (x-_)(x-_).
        • Ak má kvadratická rovnica tvar x 2 -bx-c, potom sa rozširuje na: (x+_)(x-_).
      • Poznámka: Medzery je možné nahradiť zlomkami alebo desatinnými miestami. Napríklad rovnica x 2 + (21/2)x + 5 = 0 je rozšírená na (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorizácia metódou pokus-omyl. Jednoduché kvadratické rovnice možno rozdeliť jednoduchým dosadzovaním čísel do možných riešení, kým nenájdete správne riešenie. Ak má rovnica tvar ax 2 +bx+c, kde a>1, možné riešenia sa zapíšu v tvare (dx +/- _)(ex +/- _), kde d a e sú nenulové číselné koeficienty , ktoré pri vynásobení dávajú a. Buď d alebo e (alebo obidva koeficienty) sa môžu rovnať 1. Ak sa oba koeficienty rovnajú 1, použite metódu opísanú vyššie.

      • Napríklad vzhľadom na rovnicu 3x 2 - 8x + 4. Tu má 3 iba dva faktory (3 a 1), takže možné riešenia sú napísané ako (3x +/- _)(x +/- _). V tomto prípade zadaním medzier -2 nájdete správnu odpoveď: -2*3x=-6x a -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x a -2*-2=4, to znamená, že takéto rozšírenie pri otváraní zátvoriek povedie k členom pôvodnej rovnice.