Čo sa stalo faktorizácia? Toto je spôsob, ako zmeniť nepohodlný a zložitý príklad na jednoduchý a roztomilý.) Veľmi účinná technika! Nachádza sa na každom kroku v základnej aj vyššej matematike.
Takéto transformácie sa v matematickom jazyku nazývajú identické transformácie výrazov. Pre tých, ktorí to nevedia, pozrite si odkaz. Je toho veľmi málo, jednoduchého a užitočného.) Zmyslom akejkoľvek transformácie identity je zaznamenanie výrazu v inej forme pri zachovaní jeho podstaty.
Význam faktorizácia mimoriadne jednoduché a jasné. Už od samotného názvu. Možno zabudnete (alebo neviete), čo je násobiteľ, ale môžete prísť na to, že toto slovo pochádza zo slova „násobiť“?) Faktoring znamená: predstavujú výraz v podobe násobenia niečoho niečím. Nech mi matematika a ruský jazyk odpustia...) To je všetko.
Napríklad musíte rozšíriť číslo 12. Pokojne môžete napísať:
Číslo 12 sme teda prezentovali ako násobenie 3 x 4. Upozorňujeme, že čísla napravo (3 a 4) sú úplne iné ako naľavo (1 a 2). Ale veľmi dobre chápeme, že 12 a 3 4 rovnaký. Podstata čísla 12 z transformácie sa nezmenil.
Je možné rozložiť 12 inak? Jednoducho!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=.......
Možnosti rozkladu sú nekonečné.
Faktoring čísel je užitočná vec. Veľmi pomáha napríklad pri práci s korienkami. Faktorizácia algebraických výrazov však nie je len užitočná, ale aj užitočná potrebné! Len napríklad:
Zjednodušiť:
Tí, ktorí nevedia, ako vypočítať výraz, zostávajú na vedľajšej koľaji. Tí, ktorí vedia ako - zjednodušte a získajte:
Efekt je úžasný, však?) Mimochodom, riešenie je celkom jednoduché. Uvidíte sami nižšie. Alebo napríklad táto úloha:
Vyriešte rovnicu:
x 5 - x 4 = 0
Mimochodom, rozhoduje sa v mysli. Použitie faktorizácie. Tento príklad vyriešime nižšie. odpoveď: x 1 = 0; x 2 = 1.
Alebo to isté, ale pre starších):
Vyriešte rovnicu:
V týchto príkladoch som ukázal hlavný účel faktorizácia: zjednodušenie zlomkových výrazov a riešenie niektorých typov rovníc. Tu je základné pravidlo, ktoré si treba zapamätať:
Ak máme pred sebou strašidelný zlomkový výraz, môžeme skúsiť rozložiť čitateľa a menovateľa. Veľmi často sa zlomok zmenšuje a zjednodušuje.
Ak máme pred sebou rovnicu, kde je vpravo nula a vľavo - nechápem čo, môžeme skúsiť faktorizovať ľavú stranu. Niekedy to pomôže).
Základné metódy faktorizácie.
Tu sú najobľúbenejšie metódy:
4. Rozšírenie kvadratického trinomu.
Tieto metódy sa musia pamätať. Presne v tomto poradí. Kontrolujú sa komplexné príklady pre všetky možné metódy rozkladu. A je lepšie skontrolovať v poradí, aby ste sa nezmýlili ... Takže začnime po poriadku.)
1. Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek.
Jednoduchý a spoľahlivý spôsob. Nič zlé od neho nepochádza! Stáva sa to buď dobre, alebo vôbec.) Preto je na prvom mieste. Poďme na to.
Každý pozná (verím!) pravidlo:
a(b+c) = ab+ac
Alebo všeobecnejšie:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Všetky rovnosti fungujú zľava doprava a naopak sprava doľava. Môžeš písať:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
To je celý zmysel vyňatia spoločného faktora zo zátvoriek.
Na ľavej strane A - spoločný multiplikátor pre všetky termíny. Vynásobené všetkým, čo existuje). Na pravej strane je najviac A sa už nachádza mimo zátvoriek.
Praktickú aplikáciu metódy zvážime na príkladoch. Spočiatku je možnosť jednoduchá, až primitívna.) Ale v tejto možnosti označím (zelenou) veľmi dôležité body pre akúkoľvek faktorizáciu.
Faktorizovať:
ah + 9x
Ktoré všeobecný objavuje sa násobiteľ v oboch výrazoch? X, samozrejme! Vysunieme ho zo zátvoriek. Poďme to spraviť. Okamžite napíšeme X mimo zátvorky:
ax+9x=x(
A do zátvorky napíšeme výsledok delenia každý termín práve na tomto X. V poradí:
To je všetko. Samozrejme, netreba to tak podrobne opisovať, to sa robí v mysli. Ale je vhodné pochopiť, čo je čo). Zaznamenávame do pamäte:
Spoločný činiteľ píšeme mimo zátvorky. V zátvorkách píšeme výsledky delenia všetkých členov týmto spoločným činiteľom. V poriadku.
Výraz sme teda rozšírili ah + 9x pomocou násobiteľov. Premenil to na násobenie x podľa (a+9). Podotýkam, že v pôvodnom výraze bolo aj násobenie, dokonca dve: a·x a 9·x. Ale to nebol faktorizovaný! Pretože tento výraz okrem násobenia obsahoval aj sčítanie, znamienko „+“! A vo výraze x(a+9) Neexistuje nič iné ako násobenie!
Ako to!? - Počujem rozhorčený hlas ľudu - A v zátvorkách!?)
Áno, v zátvorkách je dodatok. Ale trik je v tom, že zatiaľ čo zátvorky nie sú otvorené, zvažujeme ich ako jedno písmeno. A všetky akcie robíme úplne so zátvorkami, ako s jedným písmenom. V tomto zmysle vo výraze x(a+9) Neexistuje nič okrem násobenia. Toto je celý zmysel faktorizácie.
Mimochodom, je možné nejako skontrolovať, či sme urobili všetko správne? Jednoducho! Stačí vynásobiť to, čo ste uviedli (x) v zátvorkách a zistiť, či to fungovalo originálny výraz? Ak to funguje, všetko je skvelé!)
x(a+9)=ax+9x
Stalo.)
V tomto primitívnom príklade nie sú žiadne problémy. Ale ak je tam viacero pojmov, a dokonca s rôznymi znamienkami... Skrátka každý tretí študent sa pokazí). Preto:
V prípade potreby skontrolujte faktorizáciu inverzným násobením.
Faktorizovať:
3x + 9x
Hľadáme spoločný faktor. No s X je všetko jasné, dá sa vytiahnuť. Je toho viac všeobecný faktor? Áno! Toto je trojka. Výraz môžete napísať takto:
3x+3 3x
Tu je hneď jasné, že spoločný faktor bude 3x. Tu to vytiahneme:
3x+3 3x=3x(a+3)
Rozšírený.
Čo sa stane, ak ho vytiahnete iba x? Nič zvláštne:
3ax+9x=x(3a+9)
Toto bude tiež faktorizácia. Ale v tomto fascinujúcom procese je zvykom rozložiť všetko na maximum, kým je príležitosť. Tu v zátvorkách je možnosť uviesť trojku. Ukáže sa:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
To isté, len s jednou akciou navyše.) Pamätajte:
Pri vyberaní spoločného činiteľa zo zátvoriek sa snažíme vyňať maximálne spoločný faktor.
Budeme pokračovať v zábave?)
Zvážte výraz:
3akh + 9х-8а-24
Čo si odnesieme? Tri, X? Nie... Nemôžeš. Pripomínam, že môžete len vytiahnuť všeobecný multiplikátor, tj vo všetkom výrazy. Preto on všeobecný. Taký násobič tu nie je... Čo, nemusíš to rozširovať!? No áno, boli sme tak šťastní... Zoznámte sa:
2. Zoskupovanie.
V skutočnosti možno zoskupovanie len ťažko nazvať nezávislou metódou faktorizácie. Toto je skôr spôsob, ako sa dostať zo zložitého príkladu.) Musíte zoskupiť pojmy, aby všetko fungovalo. Dá sa to ukázať len na príklade. Takže máme výraz:
3akh + 9х-8а-24
Je vidieť, že existuje niekoľko spoločných písmen a číslic. Ale... generál neexistuje žiadny multiplikátor, ktorý by bol vo všetkých pojmoch. Neklesajme na duchu a rozbiť výraz na kúsky. Zoskupovanie. Aby mal každý kúsok spoločný faktor, je si čo odniesť. Ako to zlomíme? Áno, dali sme len zátvorky.
Dovoľte mi pripomenúť, že zátvorky je možné umiestniť kdekoľvek a akokoľvek chcete. Len podstata príkladu sa nezmenil. Môžete to urobiť napríklad takto:
3akh + 9х-8а-24=(3ах+9х)-(8ах+24)
Venujte prosím pozornosť druhým zátvorkám! Pred nimi je znamienko mínus a 8a A 24 pozitívne! Ak pre kontrolu otvoríme zátvorky späť, značky sa zmenia a máme to originálny výraz. Tie. podstata výrazu zo zátvoriek sa nezmenila.
Ale ak ste práve vložili zátvorky bez toho, aby ste vzali do úvahy zmenu znamienka, napríklad takto:
3akh + 9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )
bola by to chyba. Vpravo - už iné výraz. Otvorte zátvorky a všetko bude viditeľné. Nemusíte sa ďalej rozhodovať, áno...)
Ale vráťme sa k faktorizácii. Pozrime sa na prvé zátvorky (3ax+9x) a myslíme si, je tu niečo, čo by sme mohli vytiahnuť? No, tento príklad sme vyriešili vyššie, môžeme to vziať 3x:
(3x+9x)=3x(a+3)
Preštudujme si druhé zátvorky, môžeme tam pridať osmičku:
(8a+24)=8(a+3)
Celý náš výraz bude:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Faktorizované? Nie Výsledok rozkladu by mal byť iba násobenie ale u nás znamienko mínus všetko kazí. Ale... Oba pojmy majú spoločný faktor! Toto (a+3). Nie nadarmo som povedal, že celé zátvorky sú akoby jedným písmenom. To znamená, že tieto zátvorky je možné zo zátvoriek vybrať. Áno, presne tak to znie.)
Robíme, ako je opísané vyššie. Píšeme spoločný činiteľ (a+3), do druhej zátvorky píšeme výsledky delenia členov o (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Všetky! Na pravej strane nie je nič okrem násobenia! To znamená, že faktorizácia bola úspešne dokončená!) Tu je:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Stručne zopakujme podstatu skupiny.
Ak výraz nie všeobecný multiplikátor pre každý výrazy rozdelíme do zátvoriek tak, aby v zátvorkách bol spoločný činiteľ bol. Vytiahneme to a uvidíme, čo sa stane. Ak máte šťastie a v zátvorkách ostali úplne identické výrazy, tieto zátvorky presunieme zo zátvoriek.
Dodám, že zoskupovanie je tvorivý proces). Nie vždy to vyjde na prvýkrát. Je to v poriadku. Niekedy musíte vymeniť výrazy a zvážiť rôzne možnosti zoskupenia, kým nenájdete úspešnú. Hlavná vec je nestratiť srdce!)
Príklady.
Teraz, keď ste sa obohatili o vedomosti, môžete riešiť zložité príklady.) Na začiatku hodiny boli tri z týchto...
Zjednodušiť:
V podstate sme tento príklad už riešili. Bez toho, aby sme o tom sami vedeli.) Pripomínam vám: ak dostaneme strašný zlomok, pokúsime sa rozpočítať čitateľa a menovateľa. Ďalšie možnosti zjednodušenia jednoducho nie.
No, tu nie je rozšírený menovateľ, ale čitateľ... Už počas hodiny sme rozšírili čitateľa! Páči sa ti to:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Výsledok rozšírenia zapíšeme do čitateľa zlomku:
Podľa pravidla zmenšovania zlomkov (hlavná vlastnosť zlomku) môžeme deliť (súčasne!) čitateľa a menovateľa rovnakým číslom, alebo výrazom. Zlomok z tohto nemení.Čitateľa a menovateľa teda vydelíme výrazom (3x-8). A tu a tam dostaneme jedny. Konečný výsledok zjednodušenia:
Chcel by som osobitne zdôrazniť: zmenšiť zlomok je možné vtedy a len vtedy, ak v čitateli a menovateli, okrem násobenia výrazov nič tam nie je. Preto transformácia súčtu (rozdielu) na násobenie tak dôležité pre zjednodušenie. Samozrejme, ak výrazy iný, potom sa nič nezníži. Stane sa to. Ale faktorizácia dáva šancu. Táto šanca bez rozkladu tu jednoducho nie je.
Príklad s rovnicou:
Vyriešte rovnicu:
x 5 - x 4 = 0
Vyberieme spoločný faktor x 4 mimo zátvoriek. Dostaneme:
x 4 (x-1) = 0
Uvedomujeme si, že súčin faktorov sa rovná nule vtedy a len vtedy, keď je ktorýkoľvek z nich nulový. Ak máte pochybnosti, nájdite mi pár nenulových čísel, ktoré po vynásobení dajú nulu.) Napíšeme teda najprv prvý faktor:
Pri takejto rovnosti sa nás druhý faktor netýka. Ktokoľvek môže byť, ale nakoniec to bude stále nula. Aké číslo k štvrtej mocnine dáva nula? Iba nula! A žiadne iné... Preto:
Zistili sme prvý faktor a našli jeden koreň. Pozrime sa na druhý faktor. Teraz sa už nestaráme o prvý faktor.):
Tu sme našli riešenie: x 1 = 0; x 2 = 1. Ktorýkoľvek z týchto koreňov zodpovedá našej rovnici.
Veľmi dôležitá poznámka. Upozorňujeme, že sme vyriešili rovnicu kúsok po kúsku! Každý faktor bol rovný nule, bez ohľadu na iné faktory. Mimochodom, ak v takejto rovnici nie sú dva faktory, ako je ten náš, ale tri, päť, toľko, koľko chcete, vyriešime podobný. Kúsok po kúsku. Napríklad:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Každý, kto otvorí zátvorky a všetko vynásobí, sa na tejto rovnici navždy zasekne.) Správny žiak hneď uvidí, že naľavo nie je nič okrem násobenia a napravo nula. A začne (vo svojej mysli!) porovnávať všetky zátvorky tak, aby boli nulové. A dostane (za 10 sekúnd!) správne riešenie: x 1 = 1; x2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Skvelé, však?) Takéto elegantné riešenie je možné, ak je ľavá strana rovnice faktorizované. Máte tip?)
No, posledný príklad pre starších):
Vyriešte rovnicu:
Je to trochu podobné predchádzajúcemu, nemyslíte?) Samozrejme. Je čas si uvedomiť, že v siedmej triede algebry sa pod písmenami môžu skrývať sínusy, logaritmy a čokoľvek iné! Faktoring funguje v celej matematike.
Vyberieme spoločný faktor lg 4 x mimo zátvoriek. Dostaneme:
log 4 x = 0
Toto je jeden koreň. Pozrime sa na druhý faktor.
Tu je konečná odpoveď: x 1 = 1; x 2 = 10.
Dúfam, že ste si uvedomili silu faktorizácie pri zjednodušovaní zlomkov a riešení rovníc.)
V tejto lekcii sme sa naučili o spoločnom faktoringu a zoskupovaní. Zostáva pochopiť vzorce pre skrátené násobenie a kvadratický trinom.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Čo robiť, ak ste v procese riešenia úlohy z Jednotnej štátnej skúšky alebo na prijímacej skúške z matematiky dostali polynóm, ktorý nie je možné rozložiť štandardnými metódami, ktoré ste sa naučili v škole? V tomto článku vám učiteľ matematiky povie o jednej účinnej metóde, ktorej štúdium je mimo rámca školských osnov, ale pomocou ktorej nie je faktorizácia polynómu náročná. Prečítajte si tento článok až do konca a pozrite si priložený videonávod. Znalosti, ktoré získate, vám pomôžu pri skúške.
Rozdelenie polynómu metódou delenia
V prípade, že ste dostali polynóm väčší ako druhý stupeň a dokázali ste uhádnuť hodnotu premennej, pri ktorej sa tento polynóm rovná nule (napríklad táto hodnota sa rovná ), vedzte! Tento polynóm možno rozdeliť .
Napríklad je ľahké vidieť, že polynóm štvrtého stupňa zaniká pri . To znamená, že ho možno bezo zvyšku deliť , čím sa získa polynóm tretieho stupňa (menej o jeden). To znamená, že ho prezentujte vo forme:
Kde A, B, C A D- nejaké čísla. Rozšírime zátvorky:
Keďže koeficienty pre rovnaké stupne musia byť rovnaké, dostaneme:
Takže máme:
Pokračuj. Stačí prejsť cez niekoľko malých celých čísel, aby sme zistili, že polynóm tretieho stupňa je opäť deliteľný číslom . Výsledkom je polynóm druhého stupňa (o jeden menej). Potom prejdite na nový záznam:
Kde E, F A G- nejaké čísla. Znova otvoríme zátvorky a dospejeme k nasledujúcemu výrazu:
Opäť z podmienky rovnosti koeficientov pre rovnaké stupne získame:
Potom dostaneme:
To znamená, že pôvodný polynóm možno faktorizovať takto:
V zásade, ak je to potrebné, pomocou vzorca rozdielu štvorcov môže byť výsledok vyjadrený aj v tejto forme:
Tu je jednoduchý a efektívny spôsob faktorizácie polynómov. Pamätajte si to, môže sa vám to hodiť pri skúške alebo matematickej súťaži. Skontrolujte, či ste sa naučili používať túto metódu. Skúste sami vyriešiť nasledujúcu úlohu.
Faktor polynómu:
Svoje odpovede píšte do komentárov.
Materiál pripravil Sergey Valerievich
Uvádza sa 8 príkladov faktoringových polynómov. Zahŕňajú príklady riešenia kvadratických a bikvadratických rovníc, príklady recipročných polynómov a príklady hľadania celých koreňov polynómov tretieho a štvrtého stupňa.
1. Príklady s riešením kvadratickej rovnice
Príklad 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
Riešenie
Vyberieme x 2
mimo zátvoriek:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Korene rovnice:
, .
.
Odpoveď
Príklad 1.2
Faktor polynómu tretieho stupňa:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.
Riešenie
Vyberme x zo zátvoriek:
.
Riešenie kvadratickej rovnice x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jeho diskriminant: .
Keďže diskriminant je nula, korene rovnice sú násobky: ;
.
Odtiaľ dostaneme faktorizáciu polynómu:
.
Odpoveď
Príklad 1.3
Faktor polynómu piateho stupňa:
X 5 – 2 x 4 + 10 x 3.
Riešenie
Vyberieme x 3
mimo zátvoriek:
.
Riešenie kvadratickej rovnice x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jeho diskriminant: .
Keďže diskriminant je menší ako nula, korene rovnice sú zložité: ;
, .
Faktorizácia polynómu má tvar:
.
Ak nás zaujíma faktorizácia s reálnymi koeficientmi, potom:
.
Odpoveď
Príklady faktorizácie polynómov pomocou vzorcov
Príklady s bikvadratickými polynómami
Príklad 2.1
Faktor bikvadratického polynómu:
X 4 + x 2 - 20.
Riešenie
Aplikujme vzorce:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).
;
.
Odpoveď
Príklad 2.2
Faktor polynóm, ktorý sa redukuje na bikvadratický:
X 8 + x 4 + 1.
Riešenie
Aplikujme vzorce:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):
;
;
.
Odpoveď
Príklad 2.3 s opakujúcim sa polynómom
Faktor recipročného polynómu:
.
Riešenie
Recipročný polynóm má nepárny stupeň. Preto má koreň x = - 1
. Vydeľte polynóm x - (-1) = x + 1. V dôsledku toho dostaneme:
.
Urobme náhradu:
, ;
;
;
.
Odpoveď
Príklady faktorizácie polynómov s celočíselnými koreňmi
Príklad 3.1
Faktor polynómu:
.
Riešenie
Predpokladajme, že rovnica
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 – 6 3 2 + 11 3 – 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Takže sme našli tri korene:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Keďže pôvodný polynóm je tretieho stupňa, nemá viac ako tri korene. Keďže sme našli tri korene, sú jednoduché. Potom
.
Odpoveď
Príklad 3.2
Faktor polynómu:
.
Riešenie
Predpokladajme, že rovnica
má aspoň jeden celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 2
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
-2, -1, 1, 2
.
Tieto hodnoty nahrádzame jednu po druhej:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Ak predpokladáme, že táto rovnica má celočíselný koreň, potom je deliteľom čísla 2
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2
.
Nahradíme x = -1
:
.
Takže sme našli ďalší koreň x 2
= -1
. Bolo by možné, ako v predchádzajúcom prípade, rozdeliť polynóm číslom , ale zoskupíme členy:
.
Keďže rovnica x 2 + 2 = 0 nemá skutočné korene, potom má rozklad polynómu tvar.
Pozrime sa na konkrétne príklady, ako faktorizovať polynóm.
Polynómy rozšírime v súlade s .
Faktorové polynómy:
Pozrime sa, či existuje spoločný faktor. áno, rovná sa 7 cd. Vyberme to zo zátvoriek:
Výraz v zátvorkách pozostáva z dvoch pojmov. Už neexistuje spoločný činiteľ, výraz nie je vzorcom pre súčet kociek, čo znamená, že rozklad je dokončený.
Pozrime sa, či existuje spoločný faktor. Nie Polynóm pozostáva z troch členov, takže skontrolujeme, či existuje vzorec pre úplný štvorec. Dva členy sú druhé mocniny výrazov: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², tretí člen sa rovná dvojitému súčinu týchto výrazov: 2∙5x∙3y=30xy. To znamená, že tento polynóm je dokonalý štvorec. Keďže dvojitý súčin má znamienko mínus, je to:
Skontrolujeme, či je možné vyňať spoločný faktor zo zátvoriek. Existuje spoločný faktor, rovná sa a. Vyberme to zo zátvoriek:
V zátvorkách sú dva pojmy. Skontrolujeme, či existuje vzorec pre rozdiel štvorcov alebo rozdielu kociek. a² je druhá mocnina a, 1=1². To znamená, že výraz v zátvorkách možno napísať pomocou vzorca rozdielu štvorcov:
Existuje spoločný faktor, rovná sa 5. Vyberme to zo zátvoriek:
v zátvorkách sú tri pojmy. Skontrolujeme, či je výraz dokonalý štvorec. Dva členy sú druhé mocniny: 16=4² a a² - druhá mocnina a, tretí člen sa rovná dvojitému súčinu 4 a a: 2∙4∙a=8a. Preto je to dokonalé námestie. Keďže všetky výrazy majú znamienko „+“, výraz v zátvorkách je dokonalým štvorcom súčtu:
Zo zátvoriek vyberieme všeobecný násobiteľ -2x:
V zátvorkách je súčet dvoch pojmov. Skontrolujeme, či tento výraz je súčtom kociek. 64 = 4³, x³- kocka x. To znamená, že binomický znak možno rozšíriť pomocou vzorca:
Existuje spoločný multiplikátor. Ale keďže polynóm pozostáva zo 4 členov, najprv a až potom vytiahneme spoločný faktor zo zátvoriek. Zoskupme prvý výraz so štvrtým a druhý s tretím:
Z prvých zátvoriek vyberieme spoločný faktor 4a, z druhej - 8b:
Spoločný násobiteľ zatiaľ neexistuje. Aby sme to dosiahli, vyberieme „-“ z druhých zátvoriek a každé znamienko v zátvorkách sa zmení na opak:
Teraz vyberme spoločný faktor (1-3a) zo zátvoriek:
V druhých zátvorkách je spoločný faktor 4 (to je ten istý faktor, ktorý sme nevynechali zo zátvoriek na začiatku príkladu):
Keďže polynóm pozostáva zo štyroch členov, vykonáme zoskupovanie. Zoskupme prvý výraz s druhým, tretí so štvrtým:
V prvých zátvorkách nie je spoločný faktor, ale existuje vzorec pre rozdiel druhých mocnín, v druhých zátvorkách je spoločný faktor -5:
Objavil sa spoločný multiplikátor (4m-3n). Vyberme to z rovnice.
Čitateľ a menovateľ zlomku sú veľmi často algebraické výrazy, ktoré sa musia najskôr faktorizovať, a potom, keď sa medzi nimi našli rovnaké, vydeliť nimi čitateľa aj menovateľa, to znamená znížiť zlomok. Úlohe rozkladu polynómu je venovaná celá kapitola učebnice algebry 7. ročníka. Faktorizáciu je možné vykonať 3 spôsoby, ako aj kombináciou týchto metód.
1. Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie
Ako je známe, do vynásobte polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého polynómu a sčítať výsledné produkty. Existuje najmenej 7 (sedem) často sa vyskytujúcich prípadov násobenia polynómov, ktoré sú zahrnuté v koncepte. Napríklad,
Tabuľka 1. Faktorizácia 1. spôsobom
2. Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek
Táto metóda je založená na aplikácii distributívneho zákona násobenia. Napríklad,
Každý člen pôvodného výrazu vydelíme faktorom, ktorý vyberieme, a dostaneme výraz v zátvorkách (to znamená, že výsledok vydelenia toho, čo bolo, tým, čo vyberieme, zostane v zátvorke). V prvom rade potrebujete správne určiť násobiteľ, ktorý je potrebné vybrať z držiaka.
Spoločným faktorom môže byť aj polynóm v zátvorkách:
Pri vykonávaní úlohy „faktorizácia“ musíte byť obzvlášť opatrní so znakmi pri vyraďovaní celkového faktora zo zátvoriek. Ak chcete zmeniť znamienko každého výrazu v zátvorke (b - a), vyberme spoločný faktor zo zátvoriek -1 a každý výraz v zátvorke bude vydelený -1: (b - a) = - (a - b) .
Ak je výraz v zátvorkách na druhú mocninu (alebo na akúkoľvek párnu mocninu), potom čísla v zátvorkách je možné zameniť úplne voľne, pretože mínusy vyňaté zo zátvoriek sa po vynásobení zmenia na plus: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 a tak ďalej…
3. Metóda zoskupovania
Niekedy nie všetky výrazy vo výraze majú spoločný faktor, ale iba niektoré. Potom môžete skúsiť skupinové podmienky v zátvorkách, aby sa z každého dal vyňať nejaký faktor. Metóda zoskupovania- ide o dvojité odstránenie spoločných faktorov zo zátvoriek.
4. Použitie viacerých metód naraz
Niekedy je potrebné použiť nie jednu, ale niekoľko metód faktorizácie polynómu naraz.
Toto je zhrnutie témy "faktorizácia". Vyberte ďalšie kroky:
- Prejsť na ďalšie zhrnutie:
