Pri štúdiu algebry na strednej škole (9. ročník) je jednou z dôležitých tém náuka o číselných postupnostiach, ktoré zahŕňajú postupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku sa pozrieme na aritmetický postup a príklady s riešeniami.
Čo je to aritmetická progresia?
Aby sme to pochopili, je potrebné definovať príslušný postup, ako aj poskytnúť základné vzorce, ktoré sa neskôr použijú pri riešení problémov.
Je známe, že v niektorých algebraických postupnostiach sa 1. člen rovná 6 a 7. člen sa rovná 18. Je potrebné nájsť rozdiel a obnoviť túto postupnosť na 7. člen.
Na určenie neznámeho členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do nej známe údaje z podmienky, teda čísla a 1 a a 7, máme: 18 = 6 + 6 * d. Z tohto výrazu ľahko vypočítate rozdiel: d = (18 - 6) /6 = 2. Tým sme odpovedali na prvú časť úlohy.
Ak chcete obnoviť postupnosť na 7. člen, mali by ste použiť definíciu algebraickej progresie, to znamená a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atď. V dôsledku toho obnovíme celú postupnosť: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Príklad č. 3: zostavenie postupu
Poďme si problém ešte viac skomplikovať. Teraz musíme odpovedať na otázku, ako nájsť aritmetickú progresiu. Môžeme uviesť nasledujúci príklad: sú uvedené dve čísla, napríklad - 4 a 5. Je potrebné vytvoriť algebraickú postupnosť tak, aby sa medzi ne umiestnili ďalšie tri členy.
Predtým, ako začnete tento problém riešiť, musíte pochopiť, aké miesto budú v budúcom postupe zaberať dané čísla. Keďže medzi nimi budú ďalšie tri členy, potom a 1 = -4 a a 5 = 5. Po zistení prejdeme k problému, ktorý je podobný predchádzajúcemu. Opäť pre n-tý člen použijeme vzorec, dostaneme: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, čo sme tu dostali, nie je celočíselná hodnota rozdielu, ale je to racionálne číslo, takže vzorce pre algebraickú postupnosť zostávajú rovnaké.
Teraz pripočítajme nájdený rozdiel k 1 a obnovíme chýbajúce členy progresie. Získame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, čo sa zhoduje s podmienkami problému.
Príklad č. 4: prvý termín postupu
Pokračujme v uvádzaní príkladov aritmetickej progresie s riešeniami. Vo všetkých predchádzajúcich úlohách bolo známe prvé číslo algebraickej progresie. Uvažujme teraz problém iného typu: nech sú dané dve čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je potrebné zistiť, ktorým číslom táto postupnosť začína.
Doteraz používané vzorce predpokladajú znalosť a 1 a d. Vo vyhlásení o probléme nie je o týchto číslach nič známe. Napriek tomu si zapíšeme výrazy pre každý výraz, o ktorom sú dostupné informácie: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali sme dve rovnice, v ktorých sú 2 neznáme veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukovaný na riešenie sústavy lineárnych rovníc.
Najjednoduchším spôsobom riešenia tohto systému je vyjadrenie 1 v každej rovnici a následné porovnanie výsledných výrazov. Prvá rovnica: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnica: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Prirovnaním týchto výrazov dostaneme: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odkiaľ je rozdiel d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (uvedené sú len 3 desatinné miesta).
Ak poznáte d, môžete pre 1 použiť ktorýkoľvek z 2 vyššie uvedených výrazov. Napríklad po prvé: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Ak máte pochybnosti o dosiahnutom výsledku, môžete si ho skontrolovať, napríklad určiť 43. termín progresie, ktorý je uvedený v podmienke. Získame: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Malá chyba je spôsobená tým, že pri výpočtoch bolo použité zaokrúhľovanie na tisíciny.
Príklad č. 5: suma
Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov s riešeniami pre súčet aritmetickej progresie.
Nech je daný číselný postup v nasledujúcom tvare: 1, 2, 3, 4, ...,. Ako vypočítať súčet 100 z týchto čísel?
Vďaka rozvoju výpočtovej techniky je možné tento problém vyriešiť, to znamená sčítať postupne všetky čísla, čo počítač urobí hneď, ako človek stlačí kláves Enter. Problém sa však dá vyriešiť mentálne, ak si všimnete, že prezentovaný rad čísel je algebraická postupnosť a jej rozdiel sa rovná 1. Použitím vzorca pre súčet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Je zaujímavé, že tento problém sa nazýva „gausovský“, pretože začiatkom 18. storočia ho slávny Nemec, ešte len 10-ročný, dokázal vyriešiť v hlave za pár sekúnd. Chlapec nepoznal vzorec pre súčet algebraickej postupnosti, ale všimol si, že ak sčítate čísla na koncoch postupnosti v pároch, vždy dostanete rovnaký výsledok, teda 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a keďže tieto súčty budú presne 50 (100 / 2), na získanie správnej odpovede stačí vynásobiť 50 číslom 101.
Príklad č. 6: súčet členov od n do m
Ďalší typický príklad súčtu aritmetickej progresie je nasledujúci: ak je daný rad čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zistiť, aký bude súčet jej členov od 8 do 14. .
Problém sa rieši dvoma spôsobmi. Prvý z nich zahŕňa nájdenie neznámych výrazov od 8 do 14 a ich postupné sčítanie. Keďže existuje málo výrazov, táto metóda nie je celkom náročná na prácu. Napriek tomu sa navrhuje vyriešiť tento problém pomocou druhej metódy, ktorá je univerzálnejšia.
Cieľom je získať vzorec pre súčet algebraickej postupnosti medzi členmi m a n, kde n > m sú celé čísla. Pre oba prípady napíšeme pre súčet dva výrazy:
- Sm = m* (am + a 1) / 2.
- Sn = n* (an + a 1) / 2.
Keďže n > m, je zrejmé, že 2. súčet zahŕňa prvý. Posledný záver znamená, že ak zoberieme rozdiel medzi týmito súčtami a pripočítame k nemu člen a m (v prípade brania rozdielu sa odpočíta od súčtu S n), dostaneme potrebnú odpoveď na úlohu. Máme: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m* (1- m/2). Do tohto výrazu je potrebné dosadiť vzorce pre a n a a m. Potom dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.
Výsledný vzorec je trochu ťažkopádny, avšak súčet S mn závisí len od n, m, a 1 a d. V našom prípade a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosadením týchto čísel dostaneme: S mn = 301.
Ako vidno z vyššie uvedených riešení, všetky úlohy vychádzajú zo znalosti výrazu pre n-tý člen a vzorca pre súčet množiny prvých členov. Pred začatím riešenia niektorého z týchto problémov sa odporúča, aby ste si pozorne prečítali stav, jasne pochopili, čo potrebujete nájsť, a až potom pokračujte v riešení.
Ďalším tipom je usilovať sa o jednoduchosť, to znamená, že ak môžete odpovedať na otázku bez použitia zložitých matematických výpočtov, musíte to urobiť, pretože v tomto prípade je pravdepodobnosť, že urobíte chybu, menšia. Napríklad v príklade aritmetickej progresie s riešením č. 6 by sme sa mohli zastaviť pri vzorci S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a rozdeľte celkový problém na samostatné čiastkové úlohy (v tomto prípade najskôr nájdite pojmy a n a a m).
Ak máte pochybnosti o dosiahnutom výsledku, odporúča sa ho skontrolovať, ako to bolo urobené v niektorých uvedených príkladoch. Zistili sme, ako nájsť aritmetickú progresiu. Ak na to prídete, nie je to také ťažké.
Niektorí ľudia zaobchádzajú so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým termínom z oblastí vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca taxametra (kde stále existujú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „získať podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.
Matematická postupnosť čísel
Číselná postupnosť sa zvyčajne nazýva séria čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.
a 1 je prvý člen sekvencie;
a 2 je druhý člen sekvencie;
a 7 je siedmy člen sekvencie;
a n je n-tý člen sekvencie;
Nás však nezaujíma žiadna ľubovoľná množina čísel a čísel. Svoju pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom vzťahom, ktorý možno matematicky jasne sformulovať. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.
a je hodnota člena číselnej postupnosti;
n je jeho sériové číslo;
f(n) je funkcia, kde poradové číslo v číselnej postupnosti n je argument.
Definícia
Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:
a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;
a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;
d - rozdiel (určité číslo).
Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.
V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „rastúca“.
V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Zadaná hodnota člena
Niekedy je potrebné určiť hodnotu ľubovoľného člena an aritmetickej progresie. To sa dá dosiahnuť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetickej progresie, počnúc prvým po požadovaný. Nie vždy je však táto cesta akceptovateľná, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového či osemmiliónového členu. Tradičné výpočty zaberú veľa času. Špecifický aritmetický postup však možno študovať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej progresie možno určiť ako súčet prvého člena progresie s rozdielom progresie, vynásobený číslom požadovaného člena, znížený o jeden.
Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.
Príklad výpočtu hodnoty daného výrazu
Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:
Prvý člen sekvencie je 3;
Rozdiel v číselnom rade je 1,2.
Úloha: musíte nájsť hodnotu 214 výrazov
Riešenie: Na určenie hodnoty daného výrazu použijeme vzorec:
a(n) = a1 + d(n-1)
Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.
Výhody tohto spôsobu výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.
Súčet daného počtu výrazov
Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Na tento účel tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet je potrebné nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.
Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého členu, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:
Príklad výpočtu
Napríklad vyriešme problém s nasledujúcimi podmienkami:
Prvý člen postupnosti je nula;
Rozdiel je 0,5.
Problém vyžaduje určenie súčtu členov radu od 56 do 101.
Riešenie. Na určenie veľkosti progresie použijeme vzorec:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.
s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je teda:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie
Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku – taxametra (taxi car meter). Uvažujme o tomto príklade.
Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km cesty) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov/km. Dojazdová vzdialenosť je 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.
1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v cene pristátia.
30 - 3 = 27 km.
2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.
Členské číslo – počet najazdených kilometrov (mínus prvé tri).
Hodnota člena je súčet.
Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.
Postupový rozdiel d = 22 r.
číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27+1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra je 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od hviezdy. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných oblastiach matematiky.
Iný typ číselnej postupnosti je geometrický
Geometrická progresia je charakterizovaná vyššou rýchlosťou zmien v porovnaní s aritmetickou progresiou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii a medicíne, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja v geometrickom postupe.
N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ sa zodpovedajúcim spôsobom rovná 2, potom:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - hodnota aktuálneho členu geometrickej progresie;
b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;
q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).
Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrická progresia vykresľuje trochu iný obraz:
Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:
Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. člen postupu
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu:
Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:
Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Mnoho ľudí počulo o aritmetickej progresii, ale nie každý má dobrú predstavu o tom, čo to je. V tomto článku uvedieme zodpovedajúcu definíciu a tiež zvážime otázku, ako nájsť rozdiel v aritmetickej progresii, a uvedieme niekoľko príkladov.
Matematická definícia
Ak teda hovoríme o aritmetickej alebo algebraickej postupnosti (tieto pojmy definujú to isté), potom to znamená, že existuje určitý číselný rad, ktorý spĺňa nasledujúci zákon: každé dve susedné čísla v rade sa líšia o rovnakú hodnotu. Matematicky je to napísané takto:
Tu n znamená číslo prvku a n v postupnosti a číslo d je rozdiel postupu (jeho názov vyplýva z uvedeného vzorca).
Čo znamená poznať rozdiel d? O tom, ako „ďaleko“ sú susedné čísla od seba. Znalosť d je však nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou na určenie (obnovenie) celej progresie. Potrebujete vedieť ešte jedno číslo, ktorým môže byť absolútne akýkoľvek prvok uvažovanej série, napríklad 4, a10, ale spravidla používajú prvé číslo, to znamená 1.
Vzorce na určenie prvkov postupu
Vo všeobecnosti už vyššie uvedené informácie postačujú na to, aby sme prešli na riešenie konkrétnych problémov. Pred uvedením aritmetického postupu a bude potrebné nájsť jeho rozdiel však predstavíme niekoľko užitočných vzorcov, ktoré uľahčia následný proces riešenia problémov.
Je ľahké ukázať, že akýkoľvek prvok postupnosti s číslom n možno nájsť takto:
a n = a 1 + (n - 1) * d
Skutočne, každý môže tento vzorec skontrolovať jednoduchým vyhľadávaním: ak dosadíte n = 1, dostanete prvý prvok, ak dosadíte n = 2, potom výraz udáva súčet prvého čísla a rozdielu atď.
Podmienky mnohých úloh sú zostavené tak, že pri danej známej dvojici čísel, ktorých čísla sú uvedené aj v postupnosti, je potrebné rekonštruovať celý číselný rad (nájsť rozdiel a prvý prvok). Teraz tento problém vyriešime vo všeobecnej forme.
Nech sú teda dané dva prvky s číslami n a m. Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete vytvoriť systém dvoch rovníc:
an = ai + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Na nájdenie neznámych veličín použijeme na riešenie takejto sústavy známu jednoduchú techniku: odčítajte ľavú a pravú stranu v pároch, rovnosť zostane v platnosti. Máme:
an = ai + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Vylúčili sme teda jednu neznámu (a 1). Teraz môžeme napísať konečný výraz na určenie d:
d = (a n - a m) / (n - m), kde n > m
Dostali sme veľmi jednoduchý vzorec: na výpočet rozdielu d v súlade s podmienkami úlohy je potrebné vziať iba pomer rozdielov medzi samotnými prvkami a ich sériovými číslami. Treba venovať pozornosť jednému dôležitému bodu: rozdiely sa berú medzi „staršími“ a „juniorskými“ členmi, teda n > m („senior“ znamená stojaci ďalej od začiatku sekvencie, jeho absolútna hodnota môže byť buď väčší či menej viac „juniorský“ prvok).
Výraz pre priebeh rozdielu d by sa mal dosadiť do ktorejkoľvek z rovníc na začiatku riešenia úlohy, aby sme získali hodnotu prvého člena.
V našej dobe rozvoja počítačových technológií sa veľa školákov snaží nájsť riešenia svojich úloh na internete, takže často vznikajú otázky tohto typu: nájdite rozdiel aritmetického postupu online. Pri takejto požiadavke vám vyhľadávač vráti niekoľko webových stránok, na ktoré budete musieť zadať údaje známe z podmienky (môžu to byť buď dva termíny progresie alebo súčet určitého počtu z nich ) a okamžite dostanete odpoveď. Tento prístup k riešeniu problému je však neproduktívny z hľadiska rozvoja študenta a chápania podstaty zadanej úlohy.
Riešenie bez použitia vzorcov
Vyriešme prvý problém bez použitia niektorého z uvedených vzorcov. Nech sú dané prvky radu: a6 = 3, a9 = 18. Nájdite rozdiel aritmetickej postupnosti.
Známe prvky stoja blízko seba v rade. Koľkokrát treba pripočítať rozdiel d k najmenšiemu, aby sme dostali najväčší? Trikrát (prvýkrát pridaním d dostaneme 7. prvok, druhýkrát - ôsmy, nakoniec tretíkrát - deviaty). Aké číslo treba pridať k trom trikrát, aby ste dostali 18? Toto je číslo päť. naozaj:
Neznámy rozdiel d = 5.
Samozrejme, riešenie sa mohlo uskutočniť pomocou vhodného vzorca, ale nebolo to urobené úmyselne. Podrobné vysvetlenie riešenia problému by sa malo stať jasným a jasným príkladom toho, čo je aritmetická progresia.
Úloha podobná predchádzajúcej
Teraz vyriešme podobný problém, ale zmeňme vstupné údaje. Mali by ste teda zistiť, či a3 = 2, a9 = 19.
Samozrejme, opäť sa môžete uchýliť k metóde riešenia „hlavou“. Ale keďže sú dané prvky série, ktoré sú od seba pomerne vzdialené, táto metóda nebude úplne pohodlná. Ale použitie výsledného vzorca nás rýchlo privedie k odpovedi:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Tu sme zaokrúhlili konečné číslo. Rozsah, v akom toto zaokrúhľovanie viedlo k chybe, možno posúdiť skontrolovaním výsledku:
a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Tento výsledok sa líši len o 0,1 % od hodnoty uvedenej v podmienke. Preto za úspešnú voľbu možno považovať zaokrúhľovanie použité na stotiny.
Problémy zahŕňajúce použitie vzorca pre výraz
Zoberme si klasický príklad úlohy na určenie neznámej d: nájdite rozdiel aritmetickej progresie, ak a1 = 12, a5 = 40.
Keď sú zadané dve čísla neznámej algebraickej postupnosti a jedno z nich je prvok a 1, potom nemusíte dlho premýšľať, ale mali by ste okamžite použiť vzorec pre člen a n. V tomto prípade máme:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Pri delení sme dostali presné číslo, takže nemá zmysel kontrolovať správnosť vypočítaného výsledku, ako to bolo urobené v predchádzajúcom odseku.
Vyriešme ďalší podobný problém: potrebujeme nájsť rozdiel aritmetickej progresie, ak a1 = 16, a8 = 37.
Použijeme podobný prístup ako predchádzajúci a dostaneme:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Čo by ste ešte mali vedieť o aritmetickej progresii?
Okrem problémov s hľadaním neznámeho rozdielu alebo jednotlivých prvkov je často potrebné riešiť aj úlohy súčtu prvých členov postupnosti. Úvaha o týchto problémoch je nad rámec článku, pre úplnosť informácií však uvádzame všeobecný vzorec pre súčet n čísel v rade:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Poradie čísel
Tak si sadnime a začnime písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich je). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:
Poradie čísel
Napríklad pre našu postupnosť:
Priradené číslo je špecifické len pre jedno číslo v poradí. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako te číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.
Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .
V našom prípade: 
Povedzme, že máme číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Napríklad: 
atď.
Táto postupnosť čísel sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius ešte v 6. storočí a v širšom zmysle bol chápaný ako nekonečná číselná postupnosť. Názov „aritmetika“ bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorú študovali starí Gréci.
Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.
Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickým postupom a ktoré nie:
a)
b)
c)
d)
Mám to? Porovnajme naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
Nie je aritmetická progresia - a, d.
Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého členu. Existuje dva spôsob, ako to nájsť.
1. Spôsob
Číslo progresie môžeme pripočítať k predchádzajúcej hodnote, kým nedosiahneme tý člen postupu. Je dobré, že nemáme veľa čo zhrnúť - iba tri hodnoty:
Čiže tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.
2. Metóda
Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám zabralo viac ako jednu hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítaní čísel nemýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom nie je potrebné pripočítať k predchádzajúcej hodnote rozdiel aritmickej progresie. Pozrite sa bližšie na nakreslený obrázok... Určite ste si už všimli istý vzor, a to:
Pozrime sa napríklad, z čoho pozostáva hodnota druhého člena tejto aritmetickej progresie: 
Inými slovami:
Skúste sami takto nájsť hodnotu člena danej aritmetickej postupnosti.
Počítal si? Porovnajte svoje poznámky s odpoveďou:
Upozorňujeme, že ste dostali presne rovnaké číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme k predchádzajúcej hodnote postupne pridali podmienky aritmetickej progresie.
Pokúsme sa „depersonalizovať“ tento vzorec - dajme to všeobecne a získajme:
|
Aritmetická progresívna rovnica. |
Aritmetické progresie sa môžu zvyšovať alebo znižovať.
Zvyšovanie- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:
Zostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:
Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom člene aritmetickej progresie.
Overme si to v praxi.
Dostali sme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z nasledujúcich čísel: Pozrime sa, aké bude te číslo tejto aritmetickej postupnosti, ak na jej výpočet použijeme náš vzorec:
Odvtedy:
Preto sme presvedčení, že vzorec funguje v klesajúcom aj rastúcom aritmetickom postupe.
Pokúste sa sami nájsť th a th term tohto aritmetického postupu.
Porovnajme výsledky:
Vlastnosť aritmetického postupu
Zkomplikujme problém – odvodíme vlastnosť aritmetickej progresie.
Povedzme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Jednoducho, poviete a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:
Nechaj, ah, potom:
Úplnú pravdu. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale čo ak dostaneme v podmienke čísla? Súhlasím, existuje možnosť urobiť chybu vo výpočtoch.
Teraz sa zamyslite nad tým, či je možné vyriešiť tento problém v jednom kroku pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno, a to sa teraz pokúsime ukázať.
Označme požadovaný člen aritmetickej progresie, pretože vzorec na jeho nájdenie je nám známy - ide o rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, Potom:
- predchádzajúci termín postupu je:
- ďalší termín postupu je:
Zhrňme si predchádzajúce a nasledujúce podmienky postupu:
Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je dvojnásobkom hodnoty člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, ak chcete nájsť hodnotu progresívneho člena so známymi predchádzajúcimi a nasledujúcimi hodnotami, musíte ich pridať a vydeliť.
Presne tak, máme rovnaké číslo. Zabezpečme materiál. Vypočítajte si hodnotu progresie sami, nie je to vôbec ťažké.
Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva zistiť iba jeden vzorec, ktorý podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ - Karl Gauss...
Keď mal Carl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou práce študentov v iných triedach, zadal v triede nasledujúcu úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel od do (podľa iných zdrojov po) vrátane.“ Predstavte si prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (to bol Karl Gauss) o minútu neskôr dal správnu odpoveď na úlohu, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok...
Mladý Carl Gauss si všimol istý vzor, ktorý si môžete ľahko všimnúť aj vy.
Povedzme, že máme aritmetickú progresiu pozostávajúcu z -tých členov: Potrebujeme nájsť súčet týchto členov aritmetickej progresie. Samozrejme, všetky hodnoty môžeme sčítať manuálne, ale čo ak úloha vyžaduje nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?
Predstavme si pokrok, ktorý nám bol daný. Pozrite sa bližšie na zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie. 
Skúšali ste to? čo si si všimol? Správny! Ich sumy sú rovnaké
Teraz mi povedzte, koľko takýchto párov je celkovo v postupe, ktorý nám bol daný? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej progresie je rovnaký a podobné dvojice sú rovnaké, dostaneme, že celkový súčet sa rovná:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie teda bude:
V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme rozdiel v progresii. Pokúste sa nahradiť vzorec tého členu do súčtového vzorca.
Čo si dostal?
Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý bol položený Carlovi Gaussovi: vypočítajte si sami, čomu sa rovná súčet čísel začínajúcich od th a súčtu čísel začínajúcich od th.
Koľko ste dostali?
Gauss zistil, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Rozhodli ste sa tak?
V skutočnosti vzorec na súčet členov aritmetickej postupnosti dokázal už v 3. storočí staroveký grécky vedec Diophantus a počas tejto doby vtipní ľudia naplno využívali vlastnosti aritmetického postupu.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčší stavebný projekt tej doby – stavbu pyramídy... Na obrázku je jedna jej strana. 
Kde je tu progres, hovoríte? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy. 
Prečo nie aritmetický postup? Vypočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené na základni. Dúfam, že nebudete počítať pri pohybe prstom po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?
V tomto prípade priebeh vyzerá takto: .
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet členov aritmetického postupu.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov vypočítame 2 spôsobmi).
Metóda 1.
Metóda 2.
A teraz môžete vypočítať na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. Mám to? Výborne, zvládli ste súčet n-tých členov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z blokov na základni, ale z? Skúste si vypočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Zvládli ste to?
Správna odpoveď je bloky:
Školenie
Úlohy:
- Máša sa dostáva do letnej formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát urobí Máša drepy za týždeň, ak na prvom tréningu urobila drepy?
- Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
- Pri ukladaní guľatiny ich drevorubači ukladajú tak, aby každá vrchná vrstva obsahovala o jedno poleno menej ako predchádzajúca. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak základom muriva sú guľatiny?
Odpovede:
- Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
(týždne = dni).odpoveď: Za dva týždne by Masha mala robiť drepy raz denne.
- Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet nepárnych čísel je polovičný, skontrolujme však túto skutočnosť pomocou vzorca na nájdenie tého člena aritmetickej postupnosti:Čísla obsahujú nepárne čísla.
Nahraďte dostupné údaje do vzorca:odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v je rovnaký.
- Spomeňme si na problém o pyramídach. V našom prípade a , keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden log, tak celkovo existuje veľa vrstiev, tj.
Dosadíme údaje do vzorca:odpoveď: V murive sú guľatiny.
Poďme si to zhrnúť
- - číselný rad, v ktorom je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Môže sa zvyšovať alebo znižovať.
- Hľadanie vzorcaČlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom - , kde je počet čísel v postupnosti.
- Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde je počet čísel v postupnosti.
- Súčet členov aritmetickej progresie možno nájsť dvoma spôsobmi:
, kde je počet hodnôt.
ARITMETICKÝ POSTUP. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ
Poradie čísel
Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy môžeme povedať, ktorý je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.
Poradie čísel je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.
Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to jedinečným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.
Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.
Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .
Je veľmi výhodné, ak môže byť tý člen postupnosti špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec
nastaví postupnosť:
A vzorec je nasledujúca postupnosť:
Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel je). Alebo (rozdiel).
vzorec n-tého členu
Vzorec nazývame rekurentný, v ktorom na zistenie tého výrazu potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:
Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou tohto vzorca, budeme musieť vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad, nechajte to. potom:
Je už jasné, aký je vzorec?
V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Ktorý? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:
Teraz je to oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:
Rozhodnite sa sami:
V aritmetickej postupnosti nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.
Riešenie:
Prvý termín je rovnaký. V čom je rozdiel? Tu je čo:
(Preto sa to nazýva rozdiel, pretože sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).
Takže vzorec:
Potom sa stý člen rovná:
Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?
Podľa legendy túto sumu vypočítal veľký matematik Carl Gauss ako 9-ročný chlapec za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a 3. od konca rovnaký atď. Koľko je takých párov celkovo? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel, tj. takže,
Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude:
Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferných násobkov.
Riešenie:
Prvé takéto číslo je toto. Každé nasledujúce číslo sa získa pripočítaním k predchádzajúcemu číslu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom a rozdielom.
Vzorec druhého členu pre túto postupnosť:
Koľko výrazov je v postupe, ak všetky musia byť dvojciferné?
Veľmi ľahké: .
Posledný termín postupu bude rovnaký. Potom suma:
Odpoveď: .
Teraz sa rozhodnite sami:
- Každý deň prebehne športovec viac metrov ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov celkovo nabehá za týždeň, ak prvý deň zabehol km m?
- Cyklista prejde každý deň viac kilometrov ako predchádzajúci deň. Prvý deň precestoval km. Koľko dní potrebuje na cestu, aby prešiel kilometer? Koľko kilometrov prejde počas posledného dňa svojej cesty?
- Cena chladničky v obchode každým rokom klesá o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble a o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.
Odpovede:
- Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých podmienok tohto postupu:
.
odpoveď: - Tu je uvedené: , musí sa nájsť.
Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
.
Nahraďte hodnoty:Koreň zjavne nesedí, takže odpoveď je.
Vypočítajme cestu prejdenú za posledný deň pomocou vzorca tého členu:
(km).
odpoveď: - Vzhľadom na to: . Nájsť: .
Jednoduchšie to už nemôže byť:
(drhnúť).
odpoveď:
ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH
Ide o číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Aritmetický postup môže byť rastúci () a klesajúci ().
Napríklad:
Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti
sa zapisuje vzorcom, kde je počet čísel v postupnosti.
Vlastnosť členov aritmetického postupu
Umožňuje vám ľahko nájsť člen postupu, ak sú známe jeho susedné členy - kde je počet čísel v postupnosti.
Súčet členov aritmetickej progresie
Sumu možno zistiť dvoma spôsobmi:
Kde je počet hodnôt.
Kde je počet hodnôt.
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
Prečo?
Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.
nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?
ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.
Počas skúšky sa vás nebudú pýtať na teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy s časom.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.
Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.
Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.
Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
Ako? Sú dve možnosti:
- Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku - 299 rubľov.
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - 499 rubľov.
Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.
Na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.
„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!
Súčet aritmetického postupu.
Súčet aritmetickej progresie je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému sú všelijaké úlohy. Od základných až po celkom pevné.
Najprv pochopme význam a vzorec sumy. A potom sa rozhodneme. Pre vlastné potešenie.) Význam sumy je jednoduchý ako buchot. Ak chcete nájsť súčet aritmetickej progresie, stačí opatrne pridať všetky jej členy. Ak je týchto výrazov málo, môžete pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak je veľa, alebo veľa... pridávanie je otravné.) V tomto prípade prichádza na pomoc vzorec.
Vzorec na výpočet sumy je jednoduchý:
Poďme zistiť, aké písmená sú zahrnuté vo vzorci. Tým sa veci veľa vyjasnia.
S n - súčet aritmetického postupu. Výsledok sčítania každýčlenov, s najprv Autor: posledný. To je dôležité. Presne sa sčítajú Všetkyčlenov v rade, bez preskakovania alebo preskakovania. A presne, počnúc od najprv. V problémoch, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho členu alebo súčtu piateho až dvadsiateho členu, priame použitie vzorca sklame.)
1 - najprvčlen progresu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprvčíslo riadku.
a n- poslednýčlen progresu. Posledné číslo série. Nie je to veľmi známy názov, ale pri aplikácii na množstvo je veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.
n - číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných výrazov.
Definujme pojem poslednýčlenom a n. Záludná otázka: ktorý člen to bude posledný ak je daný nekonečné aritmetický postup?)
Ak chcete s istotou odpovedať, musíte pochopiť základný význam aritmetického postupu a... pozorne si prečítajte úlohu!)
V úlohe nájsť súčet aritmetickej progresie sa vždy objaví posledný člen (priamo alebo nepriamo), ktorý by mal byť obmedzený. V opačnom prípade konečná, konkrétna suma jednoducho neexistuje. Pri riešení nezáleží na tom, či je daná postupnosť: konečná alebo nekonečná. Nezáleží na tom, ako je to dané: rad čísel alebo vzorec pre n-tý člen.
Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého členu postupnosti po člen s číslom n. V skutočnosti celý názov vzorca vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určená výlučne úlohou. V úlohe sú všetky tieto cenné informácie často zašifrované, áno... Ale nevadí, v príkladoch nižšie tieto tajomstvá odhalíme.)
Príklady úloh na súčte aritmetického postupu.
V prvom rade užitočné informácie:
Hlavná ťažkosť v úlohách zahŕňajúcich súčet aritmetickej progresie spočíva v správnom určení prvkov vzorca.
Autori úloh zašifrujú práve tieto prvky s bezhraničnou predstavivosťou.) Hlavná vec je nebáť sa. Aby sme pochopili podstatu prvkov, stačí ich jednoducho dešifrovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov podrobne. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.
1. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a n = 2n-3,5. Nájdite súčet jeho prvých 10 výrazov.
Dobrá práca. Jednoduché.) Čo potrebujeme vedieť, aby sme určili množstvo pomocou vzorca? Prvý člen 1, posledný termín a n, áno číslo posledného člena n.
Kde získam číslo posledného člena? n? Áno, priamo tam, pod podmienkou! Hovorí: nájdite sumu prvých 10 členov. No a s akým číslom to bude? posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho číslo je desiate!) Preto namiesto a n Dosadíme do vzorca 10 a namiesto toho n- desať. Opakujem, číslo posledného člena sa zhoduje s počtom členov.
Zostáva určiť 1 A 10. Toto sa ľahko vypočíta pomocou vzorca pre n-tý člen, ktorý je uvedený v probléme. Neviete ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez toho to nejde.
1= 21 - 3,5 = -1,5
10= 2,10 - 3,5 = 16,5
S n = S 10.
Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Zostáva ich len nahradiť a spočítať:
To je všetko. odpoveď: 75.
Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:
2. Daná aritmetická progresia (a n), ktorej rozdiel je 3,7; a1 = 2,3. Nájdite súčet jeho prvých 15 výrazov.
Okamžite napíšeme vzorec súčtu:
Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ľubovoľného termínu podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú náhradu:
a15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Zostáva nahradiť všetky prvky do vzorca pre súčet aritmetickej progresie a vypočítať odpoveď:
Odpoveď: 423.
Mimochodom, ak vo vzorci súčtu namiesto a n Jednoducho dosadíme vzorec za n-tý člen a dostaneme:
Ukážeme si podobné a získame nový vzorec pre súčet členov aritmetickej postupnosti:
 |
Ako vidíte, n-tý termín sa tu nevyžaduje a n. Pri niektorých problémoch tento vzorec veľmi pomáha, áno... Tento vzorec si môžete zapamätať. Alebo ho môžete jednoducho zobraziť v správnom čase, ako tu. Koniec koncov, vždy si musíte zapamätať vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý člen.)
Teraz úloha vo forme krátkeho šifrovania):
3. Nájdite súčet všetkých kladných dvojciferných čísel, ktoré sú násobkami troch.
Wow! Ani tvoj prvý člen, ani tvoj posledný, už vôbec nie postup... Ako žiť!?
Budete musieť premýšľať hlavou a vytiahnuť všetky prvky súčtu aritmetického postupu z podmienky. Vieme, čo sú dvojciferné čísla. Pozostávajú z dvoch čísel.) Aké bude dvojciferné číslo najprv? 10, pravdepodobne.) A posledná vec dvojciferné číslo? 99, samozrejme! Trojciferné ho budú nasledovať...
Násobky troch... Hm... To sú čísla, ktoré sú deliteľné tromi, tu! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné... 12... je deliteľné! Niečo sa teda objavuje. Už si môžete zapísať sériu podľa podmienok problému:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bude táto séria aritmetickým postupom? Určite! Každý termín sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak k termínu pridáte 2 alebo 4, povedzme výsledok, t.j. nové číslo už nie je deliteľné 3. Môžete okamžite určiť rozdiel aritmetického postupu: d = 3. Bude sa to hodiť!)
Takže si môžeme bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:
Aké to bude číslo? n posledný člen? Kto si myslí, že 99 sa fatálne mýli... Čísla idú vždy za sebou, no naši členovia preskakujú tri. Nezhodujú sa.
Tu sú dve riešenia. Jedna cesta je pre super pracovitých. Môžete si zapisovať postup, celý rad čísel a prstom počítať počet členov.) Druhý spôsob je pre premýšľavých. Musíte si zapamätať vzorec pre n-tý člen. Ak použijeme vzorec na náš problém, zistíme, že 99 je tridsiaty člen progresie. Tie. n = 30.
Pozrime sa na vzorec pre súčet aritmetickej progresie:
Pozeráme a radujeme sa.) Z výpisu problému sme vytiahli všetko potrebné na výpočet sumy:
1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
Zostáva len elementárna aritmetika. Dosadíme čísla do vzorca a vypočítame:
Odpoveď: 1665
Ďalší typ populárnej hádanky:
4. Daný aritmetický postup:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Nájdite súčet pojmov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.
Pozeráme sa na vzorec sumy a... rozčúlime sa.) Vzorec, pripomínam, vypočíta sumu od prvéhočlenom. A v úlohe musíte vypočítať súčet od dvadsiateho... Vzorec nebude fungovať.
Môžete, samozrejme, napísať celý priebeh v sérii a pridať výrazy od 20 do 34. Ale... je to trochu hlúpe a trvá to dlho, však?)
Existuje elegantnejšie riešenie. Rozdeľme náš seriál na dve časti. Prvá časť bude od prvého funkčného obdobia do devätnásteho. Druhá časť - od dvadsať do tridsaťštyri. Je jasné, že ak spočítame súčet členov prvej časti S 1-19, pripočítajme to súčtom pojmov druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupu od prvého termínu do tridsiateho štvrtého S 1-34. Páči sa ti to:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Z toho môžeme vidieť, že nájdite súčet S 20-34 možno vykonať jednoduchým odčítaním
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Zohľadňujú sa obe sumy na pravej strane od prvéhočlen, t.j. štandardný sumárny vzorec je pre nich celkom použiteľný. Začnime?
Extrahujeme parametre progresie z výpisu problému:
d = 1,5.
1= -21,5.
Na výpočet súčtu prvých 19 a prvých 34 termínov budeme potrebovať 19. a 34. termín. Vypočítame ich pomocou vzorca pre n-tý člen, ako v úlohe 2:
19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5
34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28
Nič nezostalo. Od súčtu 34 výrazov odpočítajte súčet 19 výrazov:
S20-34 = S1-34 - S1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odpoveď: 262,5
Jedna dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočný trik. Namiesto priamej kalkulácie čo potrebujete (S 20-34), počítali sme niečo, čo sa zdá byť nepotrebné - S 1-19. A potom sa rozhodli S 20-34, vyradenie nepotrebného z kompletného výsledku. Tento druh „finty s vašimi ušami“ vás často zachráni pred zlými problémami.)
V tejto lekcii sme sa zamerali na problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej progresie. No, musíte poznať pár vzorcov.)
Praktické rady:
Pri riešení akéhokoľvek problému so súčtom aritmetickej progresie odporúčam okamžite napísať dva hlavné vzorce z tejto témy.
Vzorec pre n-tý termín:
Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať a akým smerom myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.
A teraz úlohy na samostatné riešenie.
5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.
V pohode?) Nápoveda je ukrytá v poznámke k problému 4. No, problém 3 pomôže.
6. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite súčet jeho prvých 24 výrazov.
Nezvyčajné?) Toto je opakujúci sa vzorec. Môžete si o tom prečítať v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto problémy sa často vyskytujú v Štátnej akadémii vied.
7. Vasya si našetril peniaze na dovolenku. Až 4550 rubľov! A rozhodla som sa, že svojej obľúbenej osobe (sebe) doprajem pár dní šťastia). Žite krásne bez toho, aby ste si čokoľvek odopierali. Strávte 500 rubľov v prvý deň a každý nasledujúci deň miňte o 50 rubľov viac ako predchádzajúci! Kým sa neminú peniaze. Koľko dní šťastia mala Vasya?
Je to ťažké?) Doplnkový vzorec z úlohy 2 pomôže.
Odpovede (v neporiadku): 7, 3240, 6.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
