Nelineárne rovnice s dvoma neznámymi
Definícia 1. Nech je A nejaký súbor dvojíc čísel (X; r). Hovoria, že množina A je daná numerická funkcia z z dvoch premenných x a y , ak je zadané pravidlo, pomocou ktorého je každá dvojica čísel z množiny A spojená s určitým číslom.
Špecifikácia numerickej funkcie z dvoch premenných x a y je často označovať Takže:
Kde f (X , r) – akákoľvek iná funkcia ako funkcia
f (X , r) = ax+by+c ,
kde a, b, c sú dané čísla.
Definícia 3. Riešenie rovnice (2) zavolajte na pár čísel ( X; r), pre ktorý vzorec (2) je skutočná rovnosť.
Príklad 1 Vyriešte rovnicu
Keďže druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, zo vzorca (4) vyplýva, že neznáme x a y spĺňajú sústavu rovníc
riešením je dvojica čísel (6; 3).
Odpoveď: (6; 3)
Príklad 2 Vyriešte rovnicu
Preto riešenie rovnice (6) je nekonečný počet dvojíc čísel milý
(1 + r ; r) ,
kde y je ľubovoľné číslo.
lineárne
Definícia 4. Riešenie sústavy rovníc
zavolajte na pár čísel ( X; r) , pri ich dosadení do každej z rovníc tejto sústavy sa získa správna rovnosť.
Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je lineárna, majú tvar
g(X , r)
Príklad 4. Riešiť sústavu rovníc
Riešenie . Vyjadrime neznáme y z prvej rovnice sústavy (7) cez neznámu x a výsledný výraz dosadíme do druhej rovnice sústavy:
Riešenie rovnice
X 1 = - 1 , X 2 = 9 .
teda
r 1 = 8 - X 1 = 9 ,
r 2 = 8 - X 2 = - 1 .
Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna
Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna, majú tvar
kde a, b, c sú dané čísla a g(X , r) – funkcia dvoch premenných x a y.
Príklad 6. Riešiť sústavu rovníc
Riešenie . Poďme vyriešiť homogénnu rovnicu
3X 2 + 2xy - r 2 = 0 ,
3X 2 + 17xy + 10r 2 = 0 ,
zaobchádzať s ňou ako s kvadratickou rovnicou vzhľadom na neznámu x:
.
V prípade X = - 5r, z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu
5r 2 = - 20 ,
ktorá nemá korene.
V prípade
z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu
,
ktorých koreňmi sú čísla r 1 = 3 , r 2 = - 3 . Keď pre každú z týchto hodnôt y nájdeme zodpovedajúcu hodnotu x, získame dve riešenia systému: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .
Odpoveď: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)
Príklady riešenia sústav rovníc iných typov
Príklad 8. Vyriešte systém rovníc (MIPT)
Riešenie . Zavedme nové neznáme u a v, ktoré sú vyjadrené pomocou x a y podľa vzorcov:
Aby sme prepísali systém (12) na nové neznáme, najprv vyjadríme neznáme x a y pomocou u a v. Zo systému (13) vyplýva, že
Vyriešme lineárnu sústavu (14) vylúčením premennej x z druhej rovnice tejto sústavy. Na tento účel vykonáme na systéme (14) nasledujúce transformácie:
- Prvú rovnicu sústavy necháme nezmenenú;
- od druhej rovnice odčítame prvú rovnicu a druhú rovnicu sústavy nahradíme výsledným rozdielom.
Výsledkom je, že systém (14) sa transformuje na ekvivalentný systém
z ktorých nájdeme
Pomocou vzorcov (13) a (15) prepíšeme pôvodný systém (12) do tvaru
Prvá rovnica sústavy (16) je lineárna, takže z nej môžeme vyjadriť neznáme u cez neznáme v a tento výraz dosadiť do druhej rovnice sústavy.
V tomto článku sa pozrieme na metódu riešenia homogénnych goniometrických rovníc.
Homogénne goniometrické rovnice majú rovnakú štruktúru ako homogénne rovnice akéhokoľvek iného typu. Dovoľte mi pripomenúť metódu riešenia homogénnych rovníc druhého stupňa:
Uvažujme homogénne rovnice tvaru
Charakteristické črty homogénnych rovníc:
a) všetky monomiály majú rovnaký stupeň,
b) voľný termín je nula,
c) rovnica obsahuje mocniny s dvoma rôznymi základmi.
Homogénne rovnice sa riešia pomocou podobného algoritmu.
Na vyriešenie tohto typu rovnice vydelíme obe strany rovnice (môže byť delené alebo)
Pozor! Pri delení pravej a ľavej strany rovnice výrazom obsahujúcim neznámu môžete stratiť korene. Preto je potrebné skontrolovať, či korene výrazu, ktorým delíme obe strany rovnice, sú koreňmi pôvodnej rovnice.
Ak áno, zapíšeme si tento koreň, aby sme naň neskôr nezabudli, a potom výraz rozdelíme týmto.
Vo všeobecnosti, prvá vec, ktorú musíte urobiť pri riešení akejkoľvek rovnice, ktorá má na pravej strane nulu, je pokúsiť sa vypočítať ľavú stranu rovnice akýmkoľvek dostupným spôsobom. A potom prirovnajte každý faktor k nule. V tomto prípade o korene určite neprídeme.
Takže opatrne rozdeľte ľavú stranu rovnice na výraz výraz po výraze. Dostaneme:
Znížime čitateľa a menovateľa druhého a tretieho zlomku:
Predstavme si náhradu:
Dostaneme kvadratickú rovnicu:
Poďme vyriešiť kvadratickú rovnicu, nájsť hodnoty a potom sa vrátiť k pôvodnej neznámej.
Pri riešení homogénnych goniometrických rovníc je potrebné pamätať na niekoľko dôležitých vecí:
1. Falošný člen možno previesť na druhú mocninu sínusu a kosínusu pomocou základnej trigonometrickej identity:
2. Sínus a kosínus dvojitého argumentu sú monomiály druhého stupňa - sínus dvojitého argumentu možno ľahko previesť na súčin sínusu a kosínu a kosínus dvojitého argumentu na druhú mocninu sínusu alebo kosínusu:
Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia homogénnych goniometrických rovníc.
1. Poďme vyriešiť rovnicu:
Toto je klasický príklad homogénnej trigonometrickej rovnice prvého stupňa: stupeň každého monomiálu je rovný jednej, priesečník sa rovná nule.
Pred vydelením oboch strán rovnice číslom , musíte skontrolovať, či korene rovnice nie sú koreňmi pôvodnej rovnice. Skontrolujeme: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}
Vydeľme obe strany rovnice .
Dostaneme: 
, Kde
, Kde
odpoveď: , Kde
2. Poďme vyriešiť rovnicu:
Toto je príklad homogénnej goniometrickej rovnice druhého stupňa. Pamätáme si, že ak dokážeme vynásobiť ľavú stranu rovnice, potom je vhodné to urobiť. Do tejto rovnice môžeme vložiť . Poďme na to:
Riešenie prvej rovnice: , kde
Druhá rovnica je homogénna goniometrická rovnica prvého stupňa. Ak to chcete vyriešiť, vydeľte obe strany rovnice . Dostaneme:
Odpoveď: , kde ,
3. Poďme vyriešiť rovnicu:
Aby sa táto rovnica „stala“ homogénnou, transformujeme ju na súčin a uvedieme číslo 3 ako súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu:
Presuňme všetky výrazy doľava, otvorme zátvorky a predstavme podobné výrazy. Dostaneme:
Rozložme ľavú stranu na faktor a každý faktor nastavíme na nulu:
Odpoveď: , kde ,
4. Poďme vyriešiť rovnicu:
Vidíme, čo môžeme vytiahnuť zo zátvoriek. Poďme na to:
Prirovnajme každý faktor k nule:
Riešenie prvej rovnice:
Druhá populačná rovnica je klasická homogénna rovnica druhého stupňa. Korene rovnice nie sú koreňmi pôvodnej rovnice, preto obe strany rovnice vydelíme takto:
Riešenie prvej rovnice:
Riešenie druhej rovnice.
Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.
Sprístupnenie informácií tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Dnes budeme študovať homogénne goniometrické rovnice. Najprv sa pozrime na terminológiu: čo je homogénna goniometrická rovnica. Má nasledujúce vlastnosti:
- musí obsahovať niekoľko výrazov;
- všetky pojmy musia mať rovnaký stupeň;
- všetky funkcie zahrnuté v homogénnej goniometrickej identite musia mať nevyhnutne rovnaký argument.
Algoritmus riešenia
Vyberme si podmienky
A ak je všetko jasné s prvým bodom, potom stojí za to hovoriť o druhom podrobnejšie. Čo to znamená mať rovnaký stupeň pojmov? Pozrime sa na prvý problém:
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Prvý člen v tejto rovnici je 3cosx 3\cos x. Upozorňujeme, že tu existuje iba jedna goniometrická funkcia - cosx\cos x - a žiadne ďalšie goniometrické funkcie tu nie sú prítomné, takže stupeň tohto člena je 1. To isté s druhým - 5sinx 5\sin x - je tu prítomný iba sínus, t.j. stupeň tohto členu je tiež rovný jednej. Takže máme pred sebou identitu pozostávajúcu z dvoch prvkov, z ktorých každý obsahuje goniometrickú funkciu, a to iba jeden. Toto je rovnica prvého stupňa.
Prejdime k druhému výrazu:
4hriech2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Prvým členom tejto konštrukcie je 4hriech2 X 4((\sin )^(2))x.
Teraz môžeme napísať nasledujúce riešenie:
hriech2 x=sinx⋅sinx
((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x
Inými slovami, prvý člen obsahuje dve goniometrické funkcie, t.j. jeho stupeň je dva. Poďme sa zaoberať druhým prvkom - hriech2x\sin 2x. Pripomeňme si tento vzorec - vzorec dvojitého uhla:
sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x
A opäť vo výslednom vzorci máme dve goniometrické funkcie – sínus a kosínus. Mocninná hodnota tohto konštrukčného členu sa teda tiež rovná dvom.
Prejdime k tretiemu prvku - 3. Z kurzu matematiky na strednej škole si pamätáme, že akékoľvek číslo sa dá vynásobiť 1, tak si ho zapíšeme:
˜ 3=3⋅1
A jednotka môže byť napísaná pomocou základnej goniometrickej identity v nasledujúcom tvare:
1=hriech2 x⋅ cos2 X
1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x
Preto môžeme prepísať 3 takto:
3=3(hriech2 x⋅ cos2 X)=3hriech2 x+3 cos2 X
3=3\vľavo(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \vpravo)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x
Náš člen 3 je teda rozdelený na dva prvky, z ktorých každý je homogénny a má druhý stupeň. Sínus v prvom člene sa vyskytuje dvakrát, kosínus v druhom sa tiež vyskytuje dvakrát. 3 teda môže byť reprezentované aj ako člen s mocninným exponentom dva.
To isté s tretím výrazom:
hriech3 x+ hriech2 xcosx=2 cos3 X
Poďme sa pozrieť. Prvý termín je hriech3 X((\sin )^(3))x je goniometrická funkcia tretieho stupňa. Druhý prvok - hriech2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.
hriech2 ((\sin )^(2)) je odkaz s hodnotou sily dva vynásobenou cosx\cos x je prvý výraz. Celkovo má aj tretí člen mocenskú hodnotu tri. Nakoniec, vpravo je ďalší odkaz - 2cos3 X 2((\cos )^(3))x je prvok tretieho stupňa. Máme teda pred sebou homogénnu goniometrickú rovnicu tretieho stupňa.
Máme zapísané tri identity rôzneho stupňa. Venujte pozornosť druhému výrazu. V pôvodnom zázname má jeden z členov argument 2x 2x. Sme nútení zbaviť sa tohto argumentu jeho transformáciou pomocou vzorca sínus dvojitého uhla, pretože všetky funkcie zahrnuté v našej identite musia mať nevyhnutne rovnaký argument. A to je požiadavka na homogénne goniometrické rovnice.
Použijeme vzorec hlavnej goniometrickej identity a zapíšeme konečné riešenie
Utriedili sme si pojmy, prejdime k riešeniu. Bez ohľadu na mocninový exponent sa riešenie rovnosti tohto typu vždy vykonáva v dvoch krokoch:
1) dokázať to
cosx≠0
\cos x\ne 0. Na to stačí pripomenúť si vzorec hlavnej trigonometrickej identity (hriech2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) a dosaďte do tohto vzorca cosx=0\cos x=0. Dostaneme nasledujúci výraz:
hriech2 x=1sinx=±1
\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)
Nahradením získaných hodnôt, t.j cosx\cos x je nula a namiesto toho sinx\sin x — 1 alebo -1, do pôvodného výrazu dostaneme nesprávnu číselnú rovnosť. Toto je odôvodnenie
cosx≠0
2) druhý krok logicky vyplýva z prvého. Pretože
cosx≠0
\cos x\ne 0, obe naše strany konštrukcie delíme o cosn X((\cos )^(n))x, kde n n je samotný mocninový exponent homogénnej goniometrickej rovnice. Čo nám to dáva:
\[\začiatok(pole)(·(35)(l))
sinxcosx=tgxcosxcosx=1
\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(pole)\]
Vďaka tomu je naša ťažkopádna počiatočná konštrukcia zredukovaná na rovnicu n n-stupeň vzhľadom na dotyčnicu, ktorého riešenie možno jednoducho zapísať pomocou zmeny premennej. To je celý algoritmus. Pozrime sa, ako to funguje v praxi.
Riešime skutočné problémy
Úloha č.1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Už sme zistili, že ide o homogénnu goniometrickú rovnicu s mocninným exponentom rovným jednej. Preto si to najprv zistime cosx≠0\cos x\ne 0. Predpokladajme opak, že
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1.
Výslednú hodnotu dosadíme do nášho výrazu, dostaneme:
3⋅0+5⋅(±1) = 0±5=0
\začiatok(zarovnanie)& 3\cbodka 0+5\cbodka \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\koniec (zarovnanie)
Na základe toho to môžeme povedať cosx≠0\cos x\ne 0. Rozdeľte našu rovnicu o cosx\cos x, pretože celý náš výraz má mocninu jedna. Dostaneme:
3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5
\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(zarovnať)
Toto nie je tabuľková hodnota, takže odpoveď bude zahŕňať arctgx arctgx:
x=arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z
x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Pretože arctg arctg arctg je nepárna funkcia, môžeme z argumentu odstrániť „mínus“ a umiestniť ho pred arctg. Dostávame konečnú odpoveď:
x=−arctg 3 5 + π n, n∈Z
x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Úloha č.2
4hriech2 x+sin2x−3=0
4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0
Ako si pamätáte, skôr ako to začnete riešiť, musíte vykonať nejaké transformácie. Vykonávame transformácie:
4hriech2 x+2sinxcosx−3 (hriech2 x+ cos2 X)=0 4hriech2 x+2sinxcosx−3 hriech2 x-3 cos2 x=0hriech2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0
\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\koniec (zarovnať)
Dostali sme štruktúru pozostávajúcu z troch prvkov. V prvom termíne vidíme hriech2 ((\sin )^(2)), t.j. jeho mocnina je dva. V druhom termíne vidíme sinx\sin x a cosx\cos x - opäť sú tu dve funkcie, sú vynásobené, takže celkový stupeň je opäť dva. V treťom odkaze vidíme cos2 X((\cos )^(2))x – podobné prvej hodnote.
Dokážme to cosx=0\cos x=0 nie je riešením tejto konštrukcie. Aby sme to dosiahli, predpokladajme opak:
\[\začiatok(pole)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\koniec(pole)\]
Dokázali sme to cosx=0\cos x=0 nemôže byť riešením. Prejdime k druhému kroku – vydeľte celý náš výraz cos2 X((\cos )^(2))x. Prečo štvorec? Pretože mocninný exponent tejto homogénnej rovnice je rovný dvom:
hriech2 Xcos2 X+2sinxcosxcos2 X−3=0 t g2 x+2tgx−3=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)
Je možné tento výraz vyriešiť pomocou diskriminantu? Samozrejme môžete. Navrhujem však pripomenúť si vetu, ktorá sa obracia na Vietovu vetu, a dostaneme, že tento polynóm môžeme reprezentovať vo forme dvoch jednoduchých polynómov, a to:
(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z
\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(zarovnať)
Veľa študentov sa pýta, či sa oplatí písať samostatné koeficienty pre každú skupinu riešení identít alebo sa neobťažovať a písať všade rovnaké. Osobne sa domnievam, že je lepšie a spoľahlivejšie používať rôzne písmená, takže ak vstúpite na serióznu technickú univerzitu s dodatočnými testami z matematiky, skúšajúci v odpovedi nenachádzajú chybu.
Úloha č.3
hriech3 x+ hriech2 xcosx=2 cos3 X
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x
Už vieme, že ide o homogénnu goniometrickú rovnicu tretieho stupňa, nie sú potrebné žiadne špeciálne vzorce a všetko, čo sa od nás vyžaduje, je presunúť člen 2cos3 X 2((\cos )^(3))x doľava. Poďme prepísať:
hriech3 x+ hriech2 xcosx−2 cos3 x=0
((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0
Vidíme, že každý prvok obsahuje tri goniometrické funkcie, takže táto rovnica má mocninu tri. Poďme to vyriešiť. V prvom rade to musíme dokázať cosx=0\cos x=0 nie je koreň:
\[\začiatok(pole)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\koniec(pole)\]
Dosaďte tieto čísla do našej pôvodnej konštrukcie:
(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0-0=0±1=0
\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\koniec (zarovnať)
teda cosx=0\cos x=0 nie je riešením. Dokázali sme to cosx≠0\cos x\ne 0. Teraz, keď sme to dokázali, vydeľme našu pôvodnú rovnicu o cos3 X((\cos )^(3))x. Prečo v kocke? Pretože sme práve dokázali, že naša pôvodná rovnica má tretiu mocninu:
hriech3 Xcos3 X+hriech2 xcosxcos3 X−2=0 t g3 x+t g2 x-2=0
\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end (zarovnať)
Predstavme si novú premennú:
tgx=t
Prepíšme konštrukciu:
t3 +t2 −2=0
((t)^(3))+((t)^(2))-2=0
Máme kubickú rovnicu. Ako to vyriešiť? Spočiatku, keď som len dával dokopy tento video tutoriál, som plánoval najprv hovoriť o faktoringových polynómoch a iných technikách. Ale v tomto prípade je všetko oveľa jednoduchšie. Pozrite sa na našu danú identitu, pričom výraz s najvyšším stupňom má hodnotu 1. Všetky koeficienty sú navyše celé čísla. To znamená, že môžeme použiť dôsledok z Bezoutovej vety, ktorý hovorí, že všetky korene sú deliteľmi čísla -2, teda voľného člena.
Vynára sa otázka: čím sa delí -2? Keďže 2 je prvočíslo, nie je veľa možností. Môžu to byť nasledujúce čísla: 1; 2; -1; -2. Negatívne korene okamžite zmiznú. prečo? Pretože obe sú väčšie ako 0 v absolútnej hodnote t3 ((t)^(3)) bude mať väčší modul ako t2 ((t)^(2)). A keďže kocka je nepárna funkcia, preto číslo v kocke bude záporné a t2 ((t)^(2)) - kladné a celá táto konštrukcia s t = -1 t = -1 a t = -2 t=-2, nebude väčšie ako 0. Odčítajte od neho -2 a získajte číslo, ktoré je určite menšie ako 0. Zostávajú len 1 a 2. Dosaďte každé z týchto čísel:
˜ t=1 -> 1+1-2=0 -> 0=0
˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0
Dostali sme správnu číselnú rovnosť. teda t = 1 t=1 je koreň.
t=2→8+4-2=0→10≠0
t=2\až 8+4-2=0\až 10\ne 0
t = 2 t=2 nie je koreň.
Podľa následku a tej istej Bezoutovej vety každý polynóm, ktorého koreň je X0 ((x)_(0)), reprezentujú ho v tvare:
Q(x)=(x= X0 )P(x)
Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)
V našom prípade v roli X x je premenná t t, a v úlohe X0 ((x)_(0)) je koreň rovný 1. Získame:
t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)
((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)
Ako nájsť polynóm P (t) P\left(t\right)? Je zrejmé, že musíte urobiť nasledovné:
P(t)= t3 +t2 −2 t-1
P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)
Nahradíme:
t3 +t2 +0⋅t-2t-1=t2 +2t +2
\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2
Náš pôvodný polynóm je teda rozdelený bezo zvyšku. Našu pôvodnú rovnosť teda môžeme prepísať takto:
(t-1) ( t2 +2t+2)=0
(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0
Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový. Prvý násobiteľ sme už zvažovali. Pozrime sa na to druhé:
t2 +2t+2=0
((t)^(2))+2t+2=0
Skúsení študenti si už pravdepodobne uvedomili, že táto konštrukcia nemá korene, ale predsa len vypočítajme diskriminant.
D=4-4⋅2=4-8=-4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
Diskriminant je menší ako 0, preto výraz nemá korene. Celkovo sa obrovská konštrukcia znížila na obvyklú rovnosť:
\[\začiatok(pole)(·(35)(l))
t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(pole)\]
Na záver by som rád pridal pár poznámok k poslednej úlohe:
- bude podmienka vždy splnená? cosx≠0\cos x\ne 0 a oplatí sa vôbec túto kontrolu vykonávať? Samozrejme, nie vždy. V prípadoch, kedy cosx=0\cos x=0 je riešením našej rovnosti, mali by sme ho vyňať zo zátvoriek a potom v zátvorkách zostane plnohodnotná homogénna rovnica.
- Čo je delenie polynómu polynómom. Toto totiž väčšina škôl neštuduje a keď študenti vidia takýto dizajn prvýkrát, zažijú mierny šok. Ale v skutočnosti je to jednoduchá a krásna technika, ktorá výrazne uľahčuje riešenie rovníc vyšších stupňov. Samozrejme tomu bude venovaný samostatný videonávod, ktorý zverejním v blízkej dobe.
Kľúčové body
Homogénne goniometrické rovnice sú obľúbenou témou vo všetkých druhoch testov. Dajú sa vyriešiť veľmi jednoducho – stačí si raz zacvičiť. Aby bolo jasné, o čom hovoríme, predstavme si novú definíciu.
Homogénna goniometrická rovnica je taká, v ktorej každý nenulový člen pozostáva z rovnakého počtu goniometrických faktorov. Môžu to byť sínusy, kosínusy alebo ich kombinácie – spôsob riešenia je vždy rovnaký.
Stupeň homogénnej goniometrickej rovnice je počet goniometrických faktorov zahrnutých v nenulových členoch. Príklady:
sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text( cos )x=0 - identita 1. stupňa;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text( hriech)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2. stupeň;
sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. stupeň;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 - a táto rovnica nie je homogénna, pretože vpravo je jednotka - nenulový člen, v ktorom nie sú žiadne trigonometrické faktory;
sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 je tiež nehomogénna rovnica. Element hriech2x\sin 2x je druhého stupňa (keďže môže byť reprezentovaný
sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x je prvý a člen 3 je vo všeobecnosti nula, pretože v ňom nie sú žiadne sínusy ani kosínusy.
Všeobecná schéma riešenia
Schéma riešenia je vždy rovnaká:
Predstierajme to cosx=0\cos x=0. Potom sinx=±1\sin x=\pm 1 - to vyplýva z hlavnej identity. Poďme nahradiť sinx\sin x a cosx\cos x do pôvodného výrazu, a ak je výsledkom nezmysel (napríklad výraz 5=0 5=0), prejdite na druhý bod;
Všetko delíme mocninou kosínusu: cosx, cos2x, cos3x... - závisí od hodnoty mocniny rovnice. Dostaneme obvyklú rovnosť s dotyčnicami, ktorá sa dá bezpečne vyriešiť po nahradení tgx=t.
tgx=tNájdené korene budú odpoveďou na pôvodný výraz.
Pomocou tejto video lekcie si študenti budú môcť naštudovať tému homogénnych goniometrických rovníc.
Dajme si definície:
1) homogénna trigonometrická rovnica prvého stupňa vyzerá ako a sin x + b cos x = 0;
2) homogénna trigonometrická rovnica druhého stupňa vyzerá ako sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Uvažujme rovnicu a sin x + b cos x = 0. Ak sa a rovná nule, potom rovnica bude vyzerať ako b cos x = 0; ak sa b rovná nule, potom rovnica bude vyzerať ako sin x = 0. Toto sú rovnice, ktoré sme nazvali najjednoduchšie a boli vyriešené skôr v predchádzajúcich témach.
Teraz zvážte možnosť, keď a a b sa nerovnajú nule. Vydelením častí rovnice kosínusom x vykonáme transformáciu. Dostaneme a tg x + b = 0, potom sa tg x bude rovnať - b/a.
Z uvedeného vyplýva, že rovnica a sin mx + b cos mx = 0 je homogénna trigonometrická rovnica prvého stupňa. Ak chcete vyriešiť rovnicu, vydeľte jej časti koeficientom cos mx.
Pozrime sa na príklad 1. Vyriešte 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Najprv vydeľte časti rovnice kosínusom (x/2). Keď vieme, že sínus delený kosínom je tangens, dostaneme 7 tan (x/2) - 5 = 0. Transformáciou výrazu zistíme, že hodnota tan (x/2) sa rovná 5/7. Riešenie tejto rovnice má tvar x = arctan a + πn, v našom prípade x = 2 arctan (5/7) + 2πn.
Uvažujme rovnicu a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:
1) s nulou bude rovnica vyzerať ako b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Transformáciou dostaneme výraz cos x (b sin x + c cos x) = 0 a pristúpime k riešeniu dvoch rovnice. Po vydelení častí rovnice kosínusom x dostaneme b tg x + c = 0, čo znamená tg x = - c/b. Keď vieme, že x = arctan a + πn, riešenie v tomto prípade bude x = arctan (- с/b) + πn.
2) ak sa a nerovná nule, potom vydelením častí rovnice druhou mocninou kosínusu získame rovnicu obsahujúcu dotyčnicu, ktorá bude kvadratická. Táto rovnica sa dá vyriešiť zavedením novej premennej.
3) keď sa c rovná nule, rovnica bude mať tvar a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Túto rovnicu možno vyriešiť odstránením sínusu x zo zátvorky.
1. pozri, či rovnica obsahuje sin 2 x;
2. Ak rovnica obsahuje člen a sin 2 x, potom rovnicu možno vyriešiť vydelením oboch strán kosínusovou druhou mocninou a potom zavedením novej premennej.
3. Ak rovnica neobsahuje sin 2 x, potom rovnicu možno vyriešiť odstránením cosx zo zátvoriek.
Uvažujme príklad 2. Vyberme kosínus zo zátvoriek a získajme dve rovnice. Koreň prvej rovnice je x = π/2 + πn. Na vyriešenie druhej rovnice vydelíme časti tejto rovnice kosínusom x a transformáciou získame x = π/3 + πn. Odpoveď: x = π/2 + πn a x = π/3 + πn.
Vyriešme príklad 3, rovnicu v tvare 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 a nájdime jej korene, ktoré patria do segmentu od - π po π. Pretože Táto rovnica je nehomogénna, je potrebné ju dostať do homogénneho tvaru. Pomocou vzorca sin 2 x + cos 2 x = 1 dostaneme rovnicu sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Vydelením všetkých častí rovnice cos 2 x dostaneme tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Zadaním novej premennej z = tan 2x riešime rovnicu, ktorej koreň je z = 1. Potom tan 2x = 1, z čoho vyplýva, že x = π/8 + (πn)/2. Pretože podľa podmienok úlohy musíte nájsť korene, ktoré patria do segmentu od - π do π, riešenie bude mať tvar - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
DEKODOVANIE TEXTU:
Homogénne goniometrické rovnice
Dnes sa pozrieme na to, ako sa riešia „homogénne goniometrické rovnice“. Sú to rovnice špeciálneho typu.
Zoznámime sa s definíciou.
Rovnica formulára a hriech x+bcosX = 0 (a sínus x plus je kosínus x sa rovná nule) sa nazýva homogénna trigonometrická rovnica prvého stupňa;
rovnica tvaru a hriech 2 x+bhriech xcosX+scos 2 X= 0 (a sínusová štvorec x plus je sínus x kosínus x plus se kosínusová štvorec x sa rovná nule) sa nazýva homogénna trigonometrická rovnica druhého stupňa.
Ak a=0, potom rovnica nadobudne tvar bcosX = 0.
Ak b = 0 , potom dostaneme a hriech x = 0.
Tieto rovnice sú elementárne trigonometrické a ich riešenie sme rozoberali v našich predchádzajúcich témach
Uvažujme prípad, keď sa oba koeficienty nerovnajú nule. Rozdeľme obe strany rovnice AhriechX+ bcosX = 0 člen za členom cosX.
Môžeme to urobiť, pretože kosínus x je nenulový. Veď keby cosX = 0 , potom rovnica AhriechX+ bcosX = 0 bude mať formu AhriechX = 0 , A≠ 0, teda hriechX = 0 . Čo je nemožné, pretože podľa základnej goniometrickej identity hriech 2x+cos 2 X=1 .
Delenie oboch strán rovnice AhriechX+ bcosX = 0 člen za členom cosX, dostaneme: + = 0
Vykonajte transformácie:
1. Keďže = tg x teda =a tg x
2 znížiť o cosX, Potom
Tak dostaneme nasledujúci výraz a tg x + b = 0.
Vykonajte transformáciu:
1.presunúť b na pravú stranu výrazu s opačným znamienkom
a tg x = - b
2. Zbavme sa násobilky a delenie oboch strán rovnice a
opálenie x= -.
Záver: Rovnica formulára ako vmx+bcosmx = 0 (a sínus em x plus je kosínus em x sa rovná nule) sa tiež nazýva homogénna trigonometrická rovnica prvého stupňa. Ak to chcete vyriešiť, rozdeľte obe strany cosmx.
PRÍKLAD 1. Vyriešte rovnicu 7 sin - 5 cos = 0 (sedem sínusov x cez dva mínus päť kosínusov x nad dva sa rovná nule)
Riešenie. Vydelením oboch strán členu rovnice cos dostaneme
1. = 7 tan (keďže pomer sínusu ku kosínusu je tangens, potom sedem sínusov x x dva delené kosínusom x x dvoma sa rovná 7 tan x x dva)
2. -5 = -5 (so skratkou cos)
Takto sme dostali rovnicu
7tg - 5 = 0, Transformujme výraz, posunieme mínus päť na pravú stranu a zmeníme znamienko.
Rovnicu sme zredukovali na tvar tg t = a, kde t=, a =. A keďže táto rovnica má riešenie pre akúkoľvek hodnotu A a tieto riešenia majú tvar
x = arctan a + πn, potom bude mať riešenie našej rovnice tvar:
Arctg + πn, nájdite x
x = 2 arktan + 2πn.
Odpoveď: x=2 arktan + 2πn.
Prejdime k homogénnej goniometrickej rovnici druhého stupňa
Asin 2 x+b sin x cos x +scos 2 x = 0.
Zoberme si niekoľko prípadov.
I. Ak a=0, potom rovnica nadobudne tvar bhriechXcosX+scos 2 X= 0.
Pri riešení napr Potom použijeme metódu faktorizácie rovníc. Vytiahneme to cosX za zátvorku a dostaneme: cosX(bhriechX+scosX)= 0 . Kde cosX= 0 alebo
b hriech x +scos x = 0. A už vieme, ako tieto rovnice vyriešiť.
Vydeľme obe strany členu rovnice cosх, dostaneme
1 (keďže pomer sínusu ku kosínusu je tangens).
Tak dostaneme rovnicu: b tg x + c = 0
Rovnicu sme zredukovali na tvar tg t = a, kde t= x, a =. A keďže táto rovnica má riešenie pre akúkoľvek hodnotu A a tieto riešenia majú tvar
x = arctan a + πn, potom riešenie našej rovnice bude:
x = arctan + πn, .
II. Ak a≠0, potom obe strany rovnice člen po člene rozdelíme na cos 2 X.
(Podobným spôsobom ako v prípade homogénnej goniometrickej rovnice prvého stupňa, kosínus x nemôže ísť k nule).
III. Ak c=0, potom rovnica nadobudne tvar Ahriech 2 X+ bhriechXcosX= 0. Túto rovnicu je možné vyriešiť faktorizačnou metódou (vyberieme hriechX za zátvorkou).
To znamená, že pri riešení rovnice Ahriech 2 X+ bhriechXcosX+scos 2 X= 0 môžete postupovať podľa algoritmu:
PRÍKLAD 2. Vyriešte rovnicu sinxcosx - cos 2 x= 0 (sínus x krát kosínus x mínus odmocnina trojnásobku kosínusu na druhú x sa rovná nule).
Riešenie. Rozložme to na faktor (cosx dáme zo zátvoriek). Dostaneme
cos x(sin x - cos x)= 0, t.j. cos x=0 alebo sin x - cos x= 0.
Odpoveď: x =+ πn, x= + πn.
PRÍKLAD 3. Vyriešte rovnicu 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (tri sínusy na druhú dva x mínus dvojnásobok súčinu sínus dva x krát kosínus dva x plus tri kosínus na druhú mocninu dva x) a nájdite jej korene patriace interval (- π; π).
Riešenie. Táto rovnica nie je homogénna, preto urobme niekoľko transformácií. Číslo 2 nachádzajúce sa na pravej strane rovnice nahradíme súčinom 2 1
Keďže podľa hlavnej goniometrickej identity sin 2 x + cos 2 x =1, potom
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = otvorením zátvoriek dostaneme: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 hriech 2 x + 2 cos 2 x
To znamená, že rovnica 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 bude mať tvar:
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.
Získali sme homogénnu goniometrickú rovnicu druhého stupňa. Aplikujme metódu delenia po členoch cos 2 2x:
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
Zavedieme novú premennú z= tan2х.
Máme z 2 - 2 z + 1 = 0. Toto je kvadratická rovnica. Všímajúc si na ľavej strane skrátený vzorec násobenia - druhú mocninu rozdielu (), dostaneme (z - 1) 2 = 0, t.j. z = 1. Vráťme sa k obrátenej substitúcii:
Rovnicu sme zredukovali do tvaru tg t = a, kde t= 2x, a =1. A keďže táto rovnica má riešenie pre akúkoľvek hodnotu A a tieto riešenia majú tvar
x = arctan x a + πn, potom riešenie našej rovnice bude:
2х= arctan1 + πn,
x = + , (x sa rovná súčtu pi krát osem a pi en krát dva).
Všetko, čo musíme urobiť, je nájsť hodnoty x, ktoré sú obsiahnuté v intervale
(- π; π), t.j. uspokojiť dvojitú nerovnosť - π x π. Pretože
x= +, potom - π + π. Vydelíme všetky časti tejto nerovnosti π a vynásobíme 8, dostaneme
posuňte o jeden doprava a doľava, pričom znamienko zmeníte na mínus jedna
vydelíme štyrmi dostaneme,
Pre pohodlie oddeľujeme celé časti na zlomky
- Táto nerovnosť je splnená nasledujúcim celým číslom n: -2, -1, 0, 1
