Vykonajte potrebné merania a nájdite obvod trojuholníka. Hľadanie obvodu trojuholníka rôznymi spôsobmi

Jedným zo základných geometrických tvarov je trojuholník. Vzniká na priesečníku troch priamych segmentov. Tieto úsečky tvoria strany obrázku a ich priesečníky sa nazývajú vrcholy. Každý študent, ktorý študuje kurz geometrie, musí byť schopný nájsť obvod tohto útvaru. Získaná zručnosť bude užitočná pre mnohých v dospelom živote, napríklad bude užitočná pre študenta, inžiniera, staviteľa,

Existujú rôzne spôsoby, ako zistiť obvod trojuholníka. Výber vzorca, ktorý potrebujete, závisí od dostupných zdrojových údajov. Na zapísanie tejto hodnoty v matematickej terminológii sa používa špeciálna notácia - P. Uvažujme, čo je obvod, hlavné metódy jeho výpočtu pre trojuholníkové postavy rôznych typov.

Najjednoduchší spôsob, ako zistiť obvod postavy, je, ak máte údaje na všetkých stranách. V tomto prípade sa používa nasledujúci vzorec:

Písmeno „P“ označuje samotný obvod. Na druhej strane „a“, „b“ a „c“ sú dĺžky strán.

Keď poznáme veľkosť troch veličín, bude stačiť získať ich súčet, čo je obvod.

Alternatívna možnosť

V matematických úlohách sú všetky dané dĺžky málokedy známe. V takýchto prípadoch sa odporúča použiť alternatívny spôsob hľadania požadovanej hodnoty. Keď podmienky označujú dĺžku dvoch priamych čiar, ako aj uhol medzi nimi, výpočet sa vykoná hľadaním tretej. Ak chcete nájsť toto číslo, musíte nájsť druhú odmocninu pomocou vzorca:

.

Obvod na oboch stranách

Na výpočet obvodu nie je potrebné poznať všetky údaje geometrického útvaru. Zvážme metódy výpočtu na oboch stranách.

Rovnoramenný trojuholník

Rovnoramenný trojuholník je taký, v ktorom majú aspoň dve strany rovnakú dĺžku. Nazývajú sa bočné a tretia strana sa nazýva základňa. Rovnaké priame čiary tvoria vrcholový uhol. Zvláštnosťou rovnoramenného trojuholníka je prítomnosť jednej osi symetrie. Os je vertikálna čiara siahajúca od vrcholového uhla a končiaca v strede základne. Vo svojom jadre obsahuje os symetrie tieto pojmy:

• os vrcholového uhla;
• medián k základni;
• výška trojuholníka;
• stredová kolmica.

Na určenie obvodu rovnoramenného trojuholníkového útvaru použite vzorec.

V tomto prípade potrebujete poznať iba dve veličiny: základňu a dĺžku jednej strany. Označenie „2a“ znamená vynásobenie dĺžky strany 2. K výslednému číslu je potrebné pridať hodnotu základne - „b“.

Vo výnimočných prípadoch, keď sa dĺžka základne rovnoramenného trojuholníka rovná jeho bočnej čiare, môžete použiť jednoduchšiu metódu. Vyjadruje sa v nasledujúcom vzorci:

Ak chcete získať výsledok, jednoducho vynásobte toto číslo tromi. Tento vzorec sa používa na nájdenie obvodu rovnostranného trojuholníka.

Užitočné video: problémy na obvode trojuholníka

Správny trojuholník

Hlavným rozdielom medzi pravouhlým trojuholníkom a inými geometrickými tvarmi v tejto kategórii je prítomnosť uhla 90°. Na základe tejto vlastnosti sa určuje typ postavy. Pred určením, ako nájsť obvod pravouhlého trojuholníka, stojí za zmienku, že táto hodnota pre akýkoľvek plochý geometrický útvar je súčtom všetkých strán. Takže v tomto prípade najjednoduchší spôsob, ako zistiť výsledok, je sčítať tri množstvá.

Vo vedeckej terminológii sa strany, ktoré susedia s pravým uhlom, nazývajú „nohy“ a strany protiľahlé k uhlu 90 ° sa nazývajú prepona. Rysy tejto postavy študoval starogrécky vedec Pythagoras. Podľa Pytagorovej vety sa druhá mocnina prepony rovná súčtu štvorcov nôh.

.

Na základe tejto vety je odvodený ďalší vzorec, ktorý vysvetľuje, ako nájsť obvod trojuholníka pomocou dvoch známych strán. Obvod pre zadanú dĺžku nôh môžete vypočítať pomocou nasledujúcej metódy.

.

Ak chcete zistiť obvod a mať informácie o veľkosti jednej nohy a prepony, musíte určiť dĺžku druhej prepony. Na tento účel sa používajú nasledujúce vzorce:

.

Taktiež obvod opísaného typu postavy je určený bez údajov o rozmeroch nôh.

Budete potrebovať poznať dĺžku prepony, ako aj uhol, ktorý k nej prilieha. Pri znalosti dĺžky jednej z nôh, ak je k nej uhol, sa obvod obrázku vypočíta podľa vzorca:

.

Predbežná informácia

Obvod každého plochého geometrického útvaru v rovine je definovaný ako súčet dĺžok všetkých jeho strán. Trojuholník nie je výnimkou. Najprv predstavíme koncept trojuholníka, ako aj typy trojuholníkov v závislosti od strán.

Definícia 1

Trojuholník nazveme geometrický útvar, ktorý tvoria tri body navzájom spojené úsečkami (obr. 1).

Definícia 2

V rámci Definície 1 budeme body nazývať vrcholy trojuholníka.

Definícia 3

V rámci definície 1 sa segmenty budú nazývať strany trojuholníka.

Je zrejmé, že každý trojuholník bude mať 3 vrcholy a tri strany.

V závislosti od vzťahu strán k sebe sa trojuholníky delia na skalnaté, rovnoramenné a rovnostranné.

Definícia 4

Trojuholník budeme nazývať scalene, ak žiadna z jeho strán nie je rovnaká ako žiadna iná.

Definícia 5

Trojuholník budeme nazývať rovnoramenný, ak sú jeho dve strany rovnaké, ale nie sú rovné tretej strane.

Definícia 6

Trojuholník nazývame rovnostranný, ak sú všetky jeho strany rovnaké.

Všetky typy týchto trojuholníkov môžete vidieť na obrázku 2.

Ako nájsť obvod scalenového trojuholníka?

Dostaneme skalický trojuholník, ktorého dĺžky strán sa rovnajú $α$, $β$ a $γ$.

Záver: Ak chcete nájsť obvod skalnatého trojuholníka, musíte spočítať všetky dĺžky jeho strán.

Príklad 1

Nájdite obvod scalenového trojuholníka rovný $34$ cm, $12$ cm a $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Odpoveď: 57 $ cm.

Príklad 2

Nájdite obvod pravouhlého trojuholníka, ktorého nohy sú $ 6 $ a $ 8 $ cm.

Najprv nájdime dĺžku prepony tohto trojuholníka pomocou Pytagorovej vety. Označme to teda $α$

$α=10$ Podľa pravidla pre výpočet obvodu scalenového trojuholníka dostaneme

$P=10+8+6=24$ cm

Odpoveď: $ 24 $ pozri.

Ako nájsť obvod rovnoramenného trojuholníka?

Dostaneme rovnoramenný trojuholník, dĺžky strán budú rovné $α$ a dĺžka základne $β$.

Určením obvodu plochého geometrického útvaru získame ten

$P=α+α+β=2α+β$

Záver: Ak chcete zistiť obvod rovnoramenného trojuholníka, pridajte dvojnásobok dĺžky jeho strán k dĺžke jeho základne.

Príklad 3

Nájdite obvod rovnoramenného trojuholníka, ak jeho strany sú $ 12 $ cm a jeho základňa je $ 11 $ cm.

Z vyššie uvedeného príkladu to vidíme

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Odpoveď: 35 $ cm.

Príklad 4

Nájdite obvod rovnoramenného trojuholníka, ak jeho výška prikreslená k základni je 8 $ cm a základňa je 12 $ cm.

Pozrime sa na výkres podľa problémových podmienok:

Keďže trojuholník je rovnoramenný, $BD$ je tiež medián, preto $AD=6$ cm.

Pomocou Pytagorovej vety z trojuholníka $ADB$ nájdeme bočnú stranu. Označme to teda $α$

Podľa pravidla pre výpočet obvodu rovnoramenného trojuholníka dostaneme

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Odpoveď: $ 32 $ pozri.

Ako zistiť obvod rovnostranného trojuholníka?

Dostaneme rovnostranný trojuholník, ktorého dĺžky všetkých strán sú rovné $α$.

Určením obvodu plochého geometrického útvaru získame ten

$P=α+α+α=3α$

Záver: Ak chcete zistiť obvod rovnostranného trojuholníka, vynásobte dĺžku strany trojuholníka 3 $.

Príklad 5

Nájdite obvod rovnostranného trojuholníka, ak jeho strana je $12$ cm.

Z vyššie uvedeného príkladu to vidíme

$P=3\cdot 12=36$ cm

P=a+b+c Ako zistiť obvod trojuholníka: Každý vie, že zistenie obvodu je také jednoduché ako lúskanie hrušiek – stačí zrátať všetky tri strany trojuholníka. Existuje však niekoľko ďalších spôsobov, ako môžete nájsť súčet dĺžok strán trojuholníka. Krok 1 Vzhľadom na známy polomer vpísanej kružnice v trojuholníku a jej obsah nájdite obvod pomocou vzorca P=2S/r. Krok 2 Ak poznáte dva uhly, napríklad α a β, susediace so stranou a dĺžku tejto strany, potom na nájdenie obvodu použite vzorec a+sinα∙a/(sin(180°-α-β )) + sinβ∙a /(sin(180°-α-β)). Krok 3 Ak podmienka označuje susedné strany a uhol β medzi nimi, pri hľadaní obvodu berte do úvahy kosínusovú vetu. Potom P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), kde a^2 a b^2 sú druhé mocniny dĺžok susedných strán. Výraz pod koreňom je dĺžka tretej neznámej strany vyjadrená pomocou kosínusovej vety. Krok 4 Pre rovnoramenný trojuholník má obvodový vzorec tvar P=2a+b, kde a sú strany a b je jeho základňa. Krok 5 Vypočítajte obvod pravidelného trojuholníka pomocou vzorca P=3a. Krok 6 Nájdite obvod pomocou polomerov kruhov vpísaných do trojuholníka alebo opísaných okolo neho. Takže pre rovnostranný trojuholník si zapamätajte a použite vzorec P=6r√3=3R√3, kde r je polomer opísanej kružnice a R je polomer kružnice opísanej. Krok 7 Pre rovnoramenný trojuholník použite vzorec P=2R(2sinα+sinβ), v ktorom α je uhol v základni a β je uhol opačný k základni.

Každý trojuholník sa rovná súčtu dĺžok jeho troch strán. Všeobecný vzorec na zistenie obvodu trojuholníka:

P = a + b + c

Kde P je obvod trojuholníka, a, b A c- jeho strany.

Nájdete ho postupným sčítaním dĺžok jeho strán alebo vynásobením dĺžky strany 2 a pridaním dĺžky základne k produktu. Všeobecný vzorec na nájdenie obvodu rovnoramenných trojuholníkov bude vyzerať takto:

P = 2a + b

Kde P je obvod rovnoramenného trojuholníka, a- niektorá zo strán, b- základňa.

Môžete ho nájsť postupným sčítaním dĺžok jeho strán alebo vynásobením dĺžky ktorejkoľvek z jeho strán číslom 3. Všeobecný vzorec na zistenie obvodu rovnostranných trojuholníkov bude vyzerať takto:

P = 3a

Kde P je obvod rovnostranného trojuholníka, a- ktorákoľvek z jeho strán.

Námestie

Ak chcete zmerať plochu trojuholníka, môžete ho porovnať s rovnobežníkom. Zvážte trojuholník ABC:

Ak vezmete rovnaký trojuholník a umiestnite ho tak, aby ste dostali rovnobežník, dostanete rovnobežník s rovnakou výškou a základňou ako daný trojuholník:

V tomto prípade je spoločnou stranou zložených trojuholníkov uhlopriečka vytvoreného rovnobežníka. Z vlastností rovnobežníkov je známe, že uhlopriečka vždy rozdeľuje rovnobežník na dva rovnaké trojuholníky, čo znamená, že plocha každého trojuholníka sa rovná polovici plochy rovnobežníka.

Pretože plocha rovnobežníka sa rovná súčinu jeho základne a výšky, plocha trojuholníka sa bude rovnať polovici tohto súčinu. Takže pre Δ ABC plocha bude rovnaká

Teraz zvážte pravouhlý trojuholník:

Dva rovnaké pravouhlé trojuholníky možno zložiť do obdĺžnika umiestnením ich prepony proti sebe. Pretože plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho susedných strán, plocha daného trojuholníka je:

Z toho môžeme vyvodiť záver, že plocha akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu nôh deleného 2.

Z týchto príkladov môžeme vyvodiť záver Plocha akéhokoľvek trojuholníka sa rovná súčinu dĺžky základne a výšky základne, delenej 2. Všeobecný vzorec na nájdenie oblasti trojuholníkov bude vyzerať takto:

Kde S je plocha trojuholníka, a- jeho základ, h a- výška znížená k základni a.

Obvod každého trojuholníka je dĺžka čiary, ktorá ohraničuje obrázok. Na jej výpočet je potrebné zistiť súčet všetkých strán tohto mnohouholníka.

Výpočet z daných dĺžok strán

Keď je ich význam známy, je to ľahké. Označením týchto parametrov písmenami m, n, k a obvodu písmenom P dostaneme vzorec na výpočet: P = m+n+k. Zadanie: Je známe, že trojuholník má dĺžku strán 13,5 decimetra, 12,1 decimetra a 4,2 decimetra. Zistite obvod. Riešime: Ak sú strany tohto mnohouholníka a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, potom P = 29,8 dm. Odpoveď: P = 29,8 dm.

Obvod trojuholníka, ktorý má dve rovnaké strany

Takýto trojuholník sa nazýva rovnoramenný. Ak tieto rovnaké strany majú dĺžku centimetrov a tretia strana má dĺžku b centimetrov, potom je obvod ľahké zistiť: P = b + 2a. Zadanie: trojuholník má dve strany 10 decimetrov, základňu 12 decimetrov. Nájdite P. Riešenie: Nech strana a = c = 10 dm, základňa b = 12 dm. Súčet strán P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Odpoveď: P = 32 decimetrov.

Obvod rovnostranného trojuholníka

Ak majú všetky tri strany trojuholníka rovnaký počet meracích jednotiek, nazýva sa rovnostranný. Iný názov je správny. Obvod pravidelného trojuholníka zistíme pomocou vzorca: P = a+a+a = 3·a. Problém: Máme rovnostranný trojuholníkový pozemok. Jedna strana má 6 metrov. Nájdite dĺžku plotu, ktorý možno použiť na ohradenie tejto oblasti. Riešenie: Ak je strana tohto mnohouholníka a = 6 m, potom dĺžka plota je P = 3 6 = 18 (m). Odpoveď: P = 18 m.

Trojuholník, ktorý má uhol 90°

Nazýva sa obdĺžnikový. Prítomnosť pravého uhla umožňuje nájsť neznáme strany pomocou definície goniometrických funkcií a Pytagorovej vety. Najdlhšia strana sa nazýva prepona a označuje sa c. Existujú ďalšie dve strany, a a b. Podľa vety pomenovanej po Pythagorovi máme c 2 = a 2 + b 2 . Nohy a = √ (c 2 - b 2) a b = √ (c 2 - a 2). Keď poznáme dĺžku dvoch ramien a a b, vypočítame preponu. Potom zistíme súčet strán obrázku sčítaním týchto hodnôt. Zadanie: Nohy pravouhlého trojuholníka majú dĺžku 8,3 cm a 6,2 cm. Je potrebné vypočítať obvod trojuholníka. Riešenie: Označme nohy a = 8,3 cm, b = 6,2 cm Podľa Pytagorovej vety prepona c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 ,33 (cm = 10,43). ). P = 24,9 (cm). Alebo P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (cm). Odpoveď: P = 24,9 cm. Hodnoty koreňov boli merané s presnosťou na desatiny. Ak poznáme hodnoty prepony a nohy, potom získame hodnotu P výpočtom P = √ (c 2 - b 2) + b + c. Úloha 2: Úsek zeme ležiaci oproti uhlu 90 stupňov, 12 km, jedna z nôh je 8 km. Ako dlho bude trvať prechádzka po celom areáli, ak sa budete pohybovať rýchlosťou 4 kilometre za hodinu? Riešenie: ak je najväčší úsek 12 km, menší je b = 8 km, potom dĺžka celej trasy bude P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 ( km). Čas zistíme tak, že cestu vydelíme rýchlosťou. 28,9:4 = 7,225 (h). Odpoveď: dá sa to obísť za 7,3 hod. Hodnotu odmocnín a odpoveď berieme s presnosťou na desatiny. Súčet strán pravouhlého trojuholníka nájdete, ak je zadaná jedna zo strán a hodnota jedného z ostrých uhlov. Keď poznáme dĺžku nohy b a hodnotu uhla β oproti nej, nájdeme neznámu stranu a = b/ tan β. Nájdite preponu c = a: sinα. Obvod takéhoto útvaru nájdeme sčítaním výsledných hodnôt. P = a + a/ sinα + a/ tan a, alebo P = a (1 / sin a+ 1+1 / tan a). Úloha: V obdĺžniku Δ ABC s pravým uhlom C má noha BC dĺžku 10 m, uhol A je 29 stupňov. Potrebujeme nájsť súčet strán Δ ABC. Riešenie: Označme známu stranu BC = a = 10 m, uhol oproti nej ∟A = α = 30°, potom stranu AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), preponu AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Alebo P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m Máme: P = 47,2 m Hodnotu goniometrických funkcií vezmeme s presnosťou na stotiny, dĺžku strán a obvodu zaokrúhlime na desatiny. Ak máme hodnotu ramena α a priľahlého uhla β, zistíme, čomu sa rovná druhé rameno: b = a tan β. Prepona v tomto prípade bude rovná nohe delenej kosínusom uhla β. Obvod zistíme podľa vzorca P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Zadanie: Noha trojuholníka s uhlom 90 stupňov je 18 cm, susedný uhol je 40 stupňov. Nájdite P. Riešenie: Označme známu stranu BC = 18 cm, ∟β = 40°. Potom neznáma strana AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), prepona AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Súčet strán obrázku je P = 56,3 (cm). Alebo P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm Odpoveď: P = 56,3 cm Ak je známa dĺžka prepony c a nejaký uhol α, potom sa nohy budú rovnať súčinu prepony pre prvý - sínus a druhý - kosínus tohto uhla. Obvod tohto obrazca je P = (sin α + 1+ cos α)*c. Zadanie: Prepona pravouhlého trojuholníka AB = 9,1 centimetra a uhol je 50 stupňov. Nájdite súčet strán tohto obrázku. Riešenie: Označme preponu: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, potom jedno z ramien BC má dĺžku a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), rameno AC = b = 9 . 1 · 0,64 = 5,8 (cm). To znamená, že obvod tohto mnohouholníka je P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Alebo P = 9,1 · (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Odpoveď: P = 21,9 centimetra.

Ľubovoľný trojuholník, ktorého jedna strana nie je známa

Ak máme hodnoty dvoch strán a a c a uhol medzi týmito stranami γ, tretiu nájdeme pomocou kosínusovej vety: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, kde β je uhol ležiace medzi stranami a a c. Potom nájdeme obvod. Úloha: Δ ABC má segment AB s dĺžkou 15 dm a segment AC s dĺžkou 30,5 dm. Uhol medzi týmito stranami je 35 stupňov. Vypočítajte súčet strán Δ ABC. Riešenie: Pomocou kosínusovej vety vypočítame dĺžku tretej strany. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) Máme: P = 65,6 dm.

Súčet strán ľubovoľného trojuholníka, v ktorom sú dĺžky dvoch strán neznáme

Keď poznáme dĺžku iba jedného segmentu a hodnotu dvoch uhlov, môžeme zistiť dĺžku dvoch neznámych strán pomocou sínusovej vety: „v trojuholníku sú strany vždy úmerné hodnotám sínusov opačné uhly." Kde je b = (a* sin β)/ sin a. Podobne c = (a sin γ): sin a. Obvod v tomto prípade bude P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Úloha: Máme Δ ABC. V ňom je dĺžka strany BC 8,5 mm, hodnota uhla C je 47° a uhol B je 35°. Nájdite súčet strán tohto obrázku. Riešenie: Označme dĺžky strán BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. Zo vzťahov získaných zo sínusovej vety zistíme nohy AC = b = (8,5 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Súčet strán tohto mnohouholníka je teda P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Odpoveď: P = 23,5 mm. V prípade, že existuje iba dĺžka jedného segmentu a hodnoty dvoch susedných uhlov, najprv vypočítame uhol opačný k známej strane. Súčet všetkých uhlov tohto obrázku je 180 stupňov. Preto ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Ďalej nájdeme neznáme segmenty pomocou sínusovej vety. Úloha: Máme Δ ABC. Má segment BC rovný 10 cm Hodnota uhla B je 48 stupňov, uhol C je 56 stupňov. Nájdite súčet strán Δ ABC. Riešenie: Najprv nájdite hodnotu uhla A na opačnej strane BC. A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Teraz pomocou vety o sínusoch vypočítame dĺžku strany AC = 10·0,74: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC* sin C/ sin A = 8,6. Obvod trojuholníka je P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Výsledok: P = 26,2 cm.

Výpočet obvodu trojuholníka pomocou polomeru kružnice, ktorá je v ňom vpísaná

Niekedy nie je známa ani jedna strana problému. Existuje však hodnota pre oblasť trojuholníka a polomer kruhu v ňom vpísaný. Tieto veličiny spolu súvisia: S = r p. Keď poznáme oblasť trojuholníka a polomer r, môžeme nájsť polobvod p. Nájdeme p = S: r. Problém: Pozemok má rozlohu 24 m2, polomer r je 3 m. Nájdite počet stromov, ktoré je potrebné vysadiť rovnomerne pozdĺž čiary ohraničujúcej tento pozemok, ak medzi dvoma susednými má byť vzdialenosť 2 metre . Riešenie: Súčet strán tohto obrázku nájdeme takto: P = 2 · 24: 3 = 16 (m). Potom vydeľte dvoma. 16:2= 8. Spolu: 8 stromov.

Súčet strán trojuholníka v karteziánskych súradniciach

Vrcholy ABC majú súradnice: A (x1; y1), B (x2; y2), C(x3; y3). Nájdite druhé mocniny každej strany AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Ak chcete nájsť obvod, stačí sčítať všetky segmenty. Zadanie: Súradnice vrcholov Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Nájdite súčet strán tohto obrázku. Riešenie: vložením hodnôt zodpovedajúcich súradníc do obvodového vzorca dostaneme P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Máme: P = 16,6. Ak obrazec nie je v rovine, ale v priestore, potom každý z vrcholov má tri súradnice. Preto vzorec pre súčet strán bude mať ešte jeden člen.

Vektorová metóda

Ak je obrazec daný súradnicami jeho vrcholov, obvod možno vypočítať pomocou vektorovej metódy. Vektor je segment, ktorý má smer. Jeho modul (dĺžka) je označená symbolom ǀᾱǀ. Vzdialenosť medzi bodmi je dĺžka zodpovedajúceho vektora alebo absolútna hodnota vektora. Uvažujme trojuholník ležiaci v rovine. Ak majú vrcholy súradnice A (x 1; y 1), M (x 2; y 2), T (x 3; y 3), potom dĺžku každej strany nájdeme pomocou vzorcov: ǀAMǀ = √ ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( y 1 - y 3) 2). Obvod trojuholníka získame sčítaním dĺžok vektorov. Podobne nájdite súčet strán trojuholníka v priestore.